04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang
-
Upload
shivafridavincia -
Category
Documents
-
view
219 -
download
42
description
Transcript of 04 Bab IV Vektor Di Bidang Dan Di Ruang
26/04/23 15:53 1
Aljabar LinearPAC 202
3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
26/04/23 15:53 2
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG
Pokok Bahasan :1. Notasi dan Operasi Vektor2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal3. Perkalian silang dan Aplikasinya
Beberapa Aplikasi :• Proses Grafika Komputer• Kuantisasi pada proses kompresi• Least Square pada Optimasi• Dan lain-lain
26/04/23 15:53 3
Notasi dan OperasiVektor besaran yang mempunyai arah Notasi vektor
321321
3
2
1
,,ˆˆˆ ccckcjcicccc
c
Notasi panjang vektor
3
2
1
ccc
c
adalah 2
32
22
1 cccc
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm
sama dengan satu
26/04/23 15:53 4
Operasi Vektor meliputi :1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama)2. Perkalian vektor
(a) dengan skalar(b) dengan vektor lain
• Hasil kali titik (Dot Product)• Hasil kali silang (Cross Product)
26/04/23 15:53 5
Penjumlahan Vektor
u
v vu
u
u v
vu
Misalkan dan adalah vektor – vektor
didefinisikan
yang berada di ruang yang sama, maka vektor
maka
26/04/23 15:53 6
u
u2
u2
Perkalian vektor dengan skalar
u uk
u
uu
Perkalian vektor dengan skalar k, didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah Jika k > 0 searah dengan
Jika k < 0 berlawanan arah dengan
26/04/23 15:53 7
Scaling
PP
P’P’
26/04/23 15:53 8
321 ,aaaa 321 ,, bbbb
332211 ,,.1 babababa
332211 ,,.2 babababa
321 ,,.3 kakakaak
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut :
adalah vektor-vektor di ruang yang sama
dan
maka
Misalkan
26/04/23 15:53 9
Perkalian antara dua vektor• Hasil kali titik (dot product)• Hasil kali silang (cross product)
Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar
Hasil kali titik (dot product)
Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3
yang menghasilkan vektor
Hasil kali silang (Cross product)
26/04/23 15:53 10
Dot Product
Misalkan adalah vektor pada ruang yang samamaka hasil kali titik antara dua vektor :
dimana : panjang : panjang
: sudut keduanya
cosbaba
,a b
a
b
a
b
26/04/23 15:53 11
Ilustrasi dot product vektor A dan BcosBABA
26/04/23 15:53 12
Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor dan
Jawab :
Karena tan = 1 , artinya = 450
= 4
ia ˆ2 jib ˆ2ˆ2
cosbaba
2182
26/04/23 15:53 13
Ingat aturan cosinus
Perhatikan
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos ac
b
a
b
a
b
ab
cos2222
babaab
b
26/04/23 15:53 14
Selanjutnya dapat ditulis
Ingat bahwa :
cosba
22221 abba
cos1. baba
222
21
2....2 naaaa
222
21
2....3 nbbbb
2222
211
2....4 nn abababab
nnnn
nn
abababaaabbb
2...22......
11
222
21
222
21
nnbabababa ...2211
26/04/23 15:53 15
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya
= 2 (2) + 0 (2)= 4
Beberapa sifat hasilkali titik :1.2.3.
2211 bababa
nnbabababa ...2211
abba
cabacba
Rkbkabakbak dimana,
26/04/23 15:53 16
Proyeksi Ortogonal
Karenaaproyc b
a
b
w
cwa bcwba
bcbw
bbk
bbk
bkc
bahwaterlihat
2bbak
26/04/23 15:53 17
Jadi, rumus proyeksi diperoleh :
Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal
vektor
terhadap vektor
342
u
431
v
bbbaaoyb 2Pr
26/04/23 15:53 18
Jawab :
431
431
2626
431
26)12()12(2
431
)4(314
31
342
Pr
222
2 vvvuuoyv
26/04/23 15:53 19
Cross Product (hasilkali silang)Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.
321
321
ˆˆˆ
BBBAAAkji
BxAC
kBBAA
jBBAA
iBBAA ˆˆˆ
21
21
31
31
32
32
26/04/23 15:53 20
Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)BxAC
26/04/23 15:53 21
Contoh :Tentukan ,dimana
Jawab :
vuw
321
321
ˆˆˆ
vvvuuukji
w
2,2,1 u )1,0,3(v
103221
ˆˆˆ
kji
i)2(01.2 j)2(31.1 k2.30.1
kji ˆ6ˆ7ˆ2
26/04/23 15:53 22
Beberapa sifat Cross Product :a.b.c. 2222 vuvuvu
0 vxuu
0 vxuv
26/04/23 15:53 23
Dari sifat ke-3 diperoleh
2222 vuvuvu
222 cos vuvu
22222 cos vuvu
222 cos1 vu
222 sin vu
sin, vuvxuJadi
26/04/23 15:53 24
Perhatikan ilustrasi berikut :
Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah
u
v
sinv
u
sinGenjangJajaran Luas vuvxu
vu21segitigaLuas
26/04/23 15:53 25
Contoh :Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah :
A = (1, –1, –2)B = (4, 1, 0)C = (2, 3, 3)
Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC !
Jawab :Tulis
= B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5)
AB
AC
26/04/23 15:53 26
Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah
AB AC541223
ˆˆˆ kji
kji ˆ10ˆ13ˆ2
100169421
Luas
27321
26/04/23 15:53 27
Orientasi pada titik B
BA ba
BC bc
BCBA
322223
ˆˆˆ
kji
jki ˆ10ˆ13ˆ2
BCxBA21
100169421
27321
= (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2)
= (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)
Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah :
=
26/04/23 15:53 28
Latihan Bab 41. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh
pasangan vektor berikut : a. dan
b. dan
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut:a. dan
b. dan
21
u
8
6v
73
1u
22
8v
12
a
23
b
31
2a
221
b
26/04/23 15:53 29
3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap
4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor
dan
5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)
2
3u
137
u
402
v