Post on 20-Feb-2023
Matematika EkonomiFEUG
RELASI DAN FUNGSI
Dalam matematika modern, Relasi dan Fungsi digunakan
untuk menunjukkan hubungan setiap elemen Domain dengan
setiap elemenRange yang membentuk pasangan bilangan
berurut.
Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3,
y4} akan merupakan Relasi dengan X sebagai Domain dan Y
sebagai Range, yang ditulis sebagai R: X → Y. Jika
setiap x X dapat dipetakan ke setiap y Y.
Hubungan himpunan X = {x1, x2, x3, x4} dan Y = {y1, y2, y3,
y4} akan merupakan Fungsi dengan X sebagai Domain dan Y
sebagai Range, yang ditulis sebagai F: X → Y. Jika dan
hanya jika (jikka) satu x X dapat dipetakan ke satu y
Y.
RELASI :
XY
R: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut :
A = {(x1,y1), (x1,y3), (x2,y2), (x3,y1), (x3,y3), (x4,y2),
(x4,y4)}
FUNGSI :
Rina Sugiarti Page 1
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
Matematika EkonomiFEUG
XY
F: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut:
A = {(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4)}
Dalam pembahasan matematika ekonomi, hubungan antara
variabel-variabel ekonomi dinyatakan sebagai suatu
fungsi, misalnya hubungan antara jumlah permintaan
sejenis barang (Qd) dan harganya (P) → Qd = f(P),
hubungan antara pengeluaran konsumsi (C) dan pendapatan
(Y) → C = f(Y), hubungan total cost (TC) dan jumlah
produksi (Q) → TC = f(Q).
JENIS-JENIS FUNGSI
Berdasarkan bentuk operator dalam persamaannya, jenis
fungsi terdiri dari fungsi aljabar dan fungsi transeden.
FUNGSI ALJABAR adalah fungsi yang memuat operasi
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian,
penarikan akar, dan perpangkatan.
Fungsi aljabar dapat diklasifikasikan menjadi fungsi
rasional bulat, fungsi rasional pecahan, dan fungsi
irrasional.
Fungsi rasional bulat juga disebut fungsi polinom atau
fungsi berpangkat banyak, yang ditulis sebagai f(x) =
a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + . . . + an-1x + andimana n adalah
bilangan bulat non negatif dan a0,a1, a2, . . . adalah
bilangan real tidak sama dengan nol.
Misal:
Rina Sugiarti Page 2
Matematika EkonomiFEUG
Fungsi polinom berderajat tiga: f(x) = 3x3 + 5x2 - 2x -
1 yang merupakan fungsi kubik.
Fungsi polinom berderajat dua: f(x) = 9x2 + 3x - 15 yang
merupakan fungsi kuadrat.
Fungsi polinom berderajat satu: f(x) = 75x + 150 yang
merupakan fungsi linear.
Fungsi rasional pecahan:
f(x)=ax2+bx+cpx2+qx+r
Fungsi irrasional: f(x) = √ (2x + 5) atau ditulis
f(x) = (2x + 5)1/2
FUNGSI TRANSENDEN yaitu fungsi non aljabar, seperti :
Fungsi goneometri : f(x) = 2 sin 3x + 12
Fungsi logaritma : f(x) = 5log3x
Fungsi eksponensial : f(x) = 12x
Fungsi siklometri : f(x) = arc sin x
Berdasarkan letak variabelnya , fungsi terdiri dari
fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI EKSPLISIT adalah fungsi yang seluruh variabelnya
dipisahkan oleh tanda "=" menjadi ruas kiri dan ruas
kanan, misalnya y = 8x2 + 32
FUNGSI IMPLISIT adalah fungsi yang seluruh variabelnya
terletak dalam ruas yang sama, misalnya y - 8x2 = 32
FUNGSI KOMPOSISI (COMPOSITE FUNCTION)
Fungsi komposisi (composite function) disebut juga sebagai
fungsi majemuk, yaitu fungsi yang diperoleh dengan
mensubstitusikan fungsi lain ke dalamnya.Jika diketahui
y = f(x) dan x = g(z) maka fungsi komposisinya adalah y
= f[g(z)]
Rina Sugiarti Page 3
Matematika EkonomiFEUG
Contoh : Jika f(x) = x2 - x -1 dan g(x) = x - 1 maka
fungsi komposisi f[g(x)] adalah :
f[g(x)] = [g(x)]2 - [g(x)] -1
= (x - 1)2 - (x - 1) - 1
= x2 -3x + 1
FUNGSI INVERS
Fungsi invers adalah fungsi yang diperoleh dengan
mempertukarkan domain dan range fungsi asal, jikka
fungsi asal merupakan fungsi satu-satu.Jika fungsi asal
adalah y = f(x), maka fungsi inversnya adalah x = f-1(y)
atau x = f-1[f(x)].
Contoh : Jika diketahui fungsi asal adalah f(x) = 2x -
1, maka fungsi inversnya adalah :
y = 2x -1
2x = y +1
x = (y + 1)/2
f-1(y) = (y + 1)/2
FUNGSI LINEARKONSTANTA DAN VARIABEL
Dalam matematika murni (pure mathematics) maupun
matematika terapan (applied matematics) dikenal dua jenis
besaran, yaitu konstanta dan variabel.
Konstanta adalah besaran yang nilainya tetap.
Misalnya f(x) = 4 dengan grafiknya sebagai
berikut :
f(x)
4f(x) = 4
Rina Sugiarti Page 4
Matematika EkonomiFEUG
0x
Konstanta terdiri dari konstanta mutlak yang nilainya
tidak bisa berubah sama sekali misalnya dalam f(x) =
4, dan konstanta parameter yang nilainya bisa berubah
tergantung kondisi misalnya dalam f(x) = c
Variabel adalah besaran yang nilainya berubah-ubah,
misalnya dalam f(x) = x + 4 dengan grafik sebagai
berikut:
f(x)
f(x) = x + 4
4
0
x
Berdasarkan nilainya, variabel terdiri dari variabel
diskrit dan varibel kontinu.
Variabel diskrit (discrete variable) adalah variabel yang
nilainya diperoleh dari hasil menghitung (counting) dan
hanya dapat dinyatakan dengan bilangan bulat (integer).
Variabel kontinu (continue variable) adalah variabel yang
nilainya diperoleh dari hasil mengukur (measurement)
dan dapat dinyatakan dengan bilangan bulat maupun
bilangan desimal.
Dalam persamaan garis lurus :(x/a) + (y/b) = 1
x dan y menunjukkan variabel, a dan b menunjukkan
konstanta parameter, dan 1 menunjukkan konstanta
mutlak.
Rina Sugiarti Page 5
Matematika EkonomiFEUG
Dalam persamaan luas suatu lingkaran : A = r2
menunjukkan konstanta mutlak, sedangkan A dan r
menunjukkan variabel.
Dalam persamaan Total Revenue (TR) yang merupakan
fungsi dari Quantity (Q) : TR = 150Q
TR dan Q menunjukkan variabel, sedangkan 150
menunjukkan konstanta mutlak.
Dalam persamaan Total Cost (TC) yang merupakan fungsi
dari biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variable
cost) : TC = + Q
TC dan Q menunjukkan variabel, sedangkan dan
menunjukkan konstanta parameter.
CATATAN :
Dalam matematika ekonomi, penulisan variabel biasanya
menggunakan huruf pertama dari variabel bersangkutan,
seperti P untuk Price, Q untuk Quantity, TC untuk Total
Cost, TR untuk Total Revenue, C untuk Consumption, I untuk
Investment, Y untuk Income, G untuk Government expenditure,
S untuk Saving, T untuk Tax, X untuk Export, M untuk
Import, dan sebagainya. Penulisan konstanta parameter
menggunakan huruf Yunani, seperti α, β, δ, λ, μ dan
seterusnya.Nilai untuk variabel maupun konstanta
biasanya berupa bilangan real, yang terdiri dari
bilangan rasional dan irrasional.
GRAFIK FUNGSI LINEAR
Suatu fungsi linear dapat digambarkan grafiknya dalam
kordinat kartesian yang memiliki sumbu horisontal
sebagai sb-x dan sumbu vertikal sebagai sb-y.
Grafik fungsi linear akan berbentuk garis lurus yang
memiliki kemiringan (slope) dan intersep.
y
Rina Sugiarti Page 6
Matematika EkonomiFEUG
y = f(x)
0
x
Intersep menunjukkan titik potong grafik garis lurus
dengan sumbu vertikal, sedangkan kemiringan (slope)
garis lurus menunjukkan arah (direction) dari garis
lurus tersebut.
Secara implisit, fungsi linear dinyatakan dengan
persamaan Ax + By + C = 0
Secara eksplisit, fungsi linear dinyatakan dengan
persamaan y = mx + c
dimana m adalah koefisien arah yang menunjukkan
kemiringan grafik fungsi tersebut dan c adalah
konstanta yang menunjukkan intersepnya.
y
y = mx + c y2
B
y1 AC
c
0 x1
x2 x
Karena AC = x2 - x1 dan BC = y2 - y1, maka kemiringan
garis lurus tersebut merupakan tangent sudut CAB,
yaitu :
Rina Sugiarti Page 7
Matematika EkonomiFEUG
m=y2−y1x2−x1
Jika m positif (m > 0), maka kemiringan garis lurus
menunjukkan arah menaik. Sebaliknya jika m negatif (m
< 0), maka kemiringan garis lurus menunjukkan arah
menurun.
MENENTUKAN PERSAMAAN FUNGSI LINEAR
Persamaan garis yang melalui dua titik, misalkan A
(x1, y1) dan B(y1, y2) ada pada suatu garis lurus, maka
persamaan garis yang melalui dua titik tersebut adalah
:
y−y1=y2−y1x2−x1
(x−x1 )y = m(x - x1) + y1
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 4) dan
(-5, 2) :
Jika (x1, y1) = (3, 4) dan (x2, y2)= (-5, 2) maka
persamaan garis tersebut adalah :
y−y1=y2−y1x2−x1
(x−x1 )y−4=
2−4−5−3
(x−3)
4y - 16 = x - 3 → x - 4y + 13 = 0 atau y
= (1/4)x + 13
Persamaan garis melalui titik (a, 0) dan (0, b) adalah
:
Jika (x1, y1) = (0, b) dan (x2, y2)= (a, 0) maka
persamaan garis tersebut adalah :
y−y1=y2−y1x2−x1
(x−x1 )y−b=
0−ba−0
(x−0)
(y/b) - 1 = - x/a → x/a) + (y/b) = 1
Persamaan garis yang melalui (0, 6) dan (4, 0) adalah
(x/4) + (y/6) = 1 atau 3x + 2y - 12 = 0
Persamaan garis melalui (x1, y1) dan memiliki
kemiringan sebesar m adalah:
Rina Sugiarti Page 8
Matematika EkonomiFEUG
y - y1 = m(x - x1)
Tentukan persamaan garis yang melalui (-1, 2) dan
memiliki kemiringan m = -4.
y - 2 = -4(x + 1) → 4x + y + 2 = 0 atau y =
-4x – 2
SOAL-SOAL LATIHAN :
1.Tentukan persamaan garis lurus yang melalui (0, 5) dan
memiliki kemiringan m = 3, kemudian gambarkan
grafiknya.
2.Tentukan persamaan garis lurus melalui (-1, 3) dan
memiliki kemiringan m = -1, kemudian gambarkan
grafiknya.
3.Jika diketahui A(1, 5) dan B(3, 4), maka tentukan
kemiringan dan persamaan garis AB.
4.Suatu perusahaan angkutan besi beton menentukan biaya
angkut berdasarkan persamaan linier C = a + bQ
dimana C adalah total biaya angkut (Rp) dan Q adalah
jumlah barang terangkut (ton). Jika untuk mengangkut
8 ton diperlukan biaya Rp 820.000, - Sedangkan untuk
16 ton besi beton diperlukan biaya Rp 1.620.000,-
maka tentukanlah persamaan biaya angkut besi beton
tersebut.
5.Perusahaan sepatu X menyewa sebuah toko Rp 750.000,-
per bulan ditambah 3% dari hasil penjualan per bulan
di toko tersebut. Jika penjualan bulan September lalu
sebesar Rp 50.000.000,- maka tentukan persamaan biaya
sewa dan jumlah sewa yang harus dibayar perusahaan
kepada pemilik toko untuk bulan September.
6.Diketahui harga obral sejenis barang elektronik adalah
60% dari harga asal ditambah biaya pemeliharaan
sebesar Rp 50.000,- . Jika harga obral diketahui
Rina Sugiarti Page 9
Matematika EkonomiFEUG
sebesar Rp 950.000,- maka tentukanlah persamaan harga
obral barang tersebut dan harga asalnya.
HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS LURUS
Diketahui dua persamaan linier y = m1 + c1 dan y = m2 +
c2. Secara grafik, hubungan kedua persamaan tersebut
akan menunjukkan :
1. Berpotongan tegak lurus, jika m1. m2 = -1
2. Berpotongan sembarang, jika m1 m2 dan c1 c2
3. Sejajar, jika m1 = m2 dan c1 c2
4. Berimpit, jika m1 = m2 dan c1 = c2
JARAK DUA TITIK PADA BIDANG
Jika dua titik A(x1, y1) dan B (x2, y2) membentuk garis
AB sebagai berikut :
y B
A
0
x
Maka jarak garis AB adalah AB=√(x2−x1 )2+(y2−y1 )
2
Tentukanlah jarak garis AB, jika A(8, 5) dan B(3, -7).
AB=√(x2−x1)2+(y2−y1 )
2 → AB=√(3−8)2+(−7−5)2 → AB =
13
SOAL-SOAL LATIHAN :
1.Tentukan bentuk hubungan dua garis lurus dari :
(a) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan -3x + y - 4 = 0
(b) Persamaan 2x + y + 4 = 0 dan 2x + 6y - 4 = 0
(c) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan 4x + 12y - 8 = 0
Rina Sugiarti Page 10
Matematika EkonomiFEUG
(d) Persamaan 2x + 6y - 4 = 0 dan x + 3y - 9 = 0
2.Tentukan persamaan garis melalui titik potong garis 2x
+ y - 3 = 0 dengan sb-x dan tegak lurus terhadap garis
3x + 4y + 6 = 0.
3.Tentukanlah koordinat titik potong dua persamaan
berikut :
(a) y = -x + 3 dan y = 3x – 5
(b) 3x - 4y + 6 = 0 dan x - 2y - 3 = 0
(c) 2x - 3y + 3 = 0 dan 4x - 6y + 12 = 0
4.Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong 2x
+ y - 3 = 0 dengan x - y = 0 dan sejajar dengan 3x +
4y + 6 = 0.
5.Panitia pertandingan bola basket antar universitas
menetapkan harga karcis per orang untuk mahasiswa dan
umum masing-masing adalah Rp 1.000 dan Rp 2.500. Pada
pertandingan babak final terjual 860 lembar karcis
dengan jumlah uang masuk Rp 1.340.000. Tentukanlah
jumlah mahasiswa dan umum yang menonton pertandingan
final tersebut.
6.Tentukan nilai konstanta a dalam persamaan garis y =
ax + 2 agar sejajar dengan garis yang melewati (2, 4)
dan (3, 1).
7.Umur seorang ayah pada dua tahun yang lalu adalah 6
kali umur anaknya. Setelah 18 tahun kemudian, umur
ayah menjadi dua kali umur anaknya. Berapakah umur
anak dan ayah tersebut sekarang.
8.Hitunglah jarak antara titik asal dengan garis y + x =
2
9.Jika A(x, 4) dan B(5,7), maka tentukan nilai x
sehingga jarak AB = 5.
Rina Sugiarti Page 11
Matematika EkonomiFEUG
APLIKASI FUNGSI LINEAR DALAM BISNIS EKONOMIFUNGSI PERMINTAAN
Jumlah permintaan suatu barang (Qd) merupakan fungsi
dari harga barang itu sendiri (P), pendapatan yang
dapat dibelanjakan (Yd), harga barang substitusi (Ps),
selera (T), dan sebagainya.Qd = f(P, Yd, Ps, T, . . . )
Hubungan fungsional tersebut dengan menggunakan
persamaan dapat dituliskan sebagai:Qd = 0 - 1P + 2Yd
+ 3Ps + 4T + . . .
Untuk keperluan penggambaran kurva permintaan dan
sesuai dengan hukum permintaan, maka suatu fungsi
permintaan dinyatakan sebagai Qd = f(P) dan
persamaan permintaannya dituliskan sebagai Qd = 0 -
1P dan kurva permintaan adalah sebagai berikut:
P
Qd = f(P)
0Q
Rina Sugiarti Page 12
Matematika EkonomiFEUG
Jika harga suatu barang naik, maka jumlah permintaan
terhadap barang tersebut akan turun, demikian
sebaliknya.
Suatu dealer jam tangan merk "X" hanya dapat menjual
10 unit jam tangan jika harganya US$ 80 per unit.
Tetapi jika harganya US$ 60 per unit, maka dapat
terjual sebanyak 20 unit. Tentukanlah persamaan
permintaannya.
FUNGSI PENAWARAN
Sebagaimana fungsi permintaan, untuk keperluan
penggambaran kurva penawaran dan sesuai dengan hukum
penawaran, maka fungsi penawaran dinyatakan sebagai
Qs = f(P) dan persamaan penawarannya Qs = 0 + 1P
dengan kurva penawaran sebagai berikut:
P
Qs = f(P)
0Q
Jika harga suatu barang naik, maka jumlah
penawarannyaakan naik, demikian sebaliknya.
Suatu toko kamera merk "Y" akan menyediakan 50 unit
kamera untuk dijual pada saat harganya US$ 50 per
unit. Sedangkan pada saat harganya US$ 75 per unit,
toko tersebut akan menyediakan sebanyak 100 unit
kamera. tentukanlah persamaan penawarannya.
KESEIMBANGAN PASAR (MARKET EQUILIBRIUM)
Rina Sugiarti Page 13
Matematika EkonomiFEUG
Keseimbangan pasar suatu barang menunjukkan tingkat
harga yang mengakibatkan jumlah permintaan sama dengan
jumlah penawarannya (Qd = Qs).
Secara grafik, keseimbangan pasar tercapai pada titik
potong kurva permintaan dan kurva penawarannya.Pada
titik E tercapai Qd = Qs → Qe
P D S
Pe
E
0Qe Q
Tentukan keseimbangan pasar suatu barang yang
mempunyai persamaan permintaan dan penawaran adalah
Qd = 10 - 5P dan Qs = 3 + 2P
PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR.
Pengenaan pajak terhadap sejenis barang akan
mengakibatkan harganya menjadi lebih mahal, sehingga
kurva penawaran akan bergeser ke kiri atas, yang
menghasilkan keseimbangan pasar yang baru.
Sebaliknya pemberian subsidi terhadap sejenis barang
akan mengakibatkan harganya menjadi lebih murah,
sehingga kurva penawaran akan bergeser ke kanan bawah,
yang menghasilkan keseimbangan pasar yang baru.
P S’
P
Rina Sugiarti Page 14
Matematika EkonomiFEUG
S
S
S’
P’ E’
P E
P E
P’ E’
0
Q 0
QPENGARUH PAJAK TERHADAP KESEIMBANGAN PASARPENGARUH SUBSIDI TERHADAP KESEIMBANGAN PASAR
PAJAK (TAX)
Pajak merupakan pungutan yang ditarik pemerintah (negara)
terhadap wajib pajak tanpa mendapat balas jasa langsung.
Ada dua jenis pajak berdasarkna cara penarikannya, yaitu
pajak langsung dan pajak tidak langsung.
Pajak langsung adalah pajak yang langsung dipungut dari
wajib pajak tanpa fihak perantara, seperti Pajak
Penghasilan (PPh), Pajak Bumi dan Bangunan (PBB), Pajak
Kekayaan, Pajak Kendaraan, Pajak Perusahaan, dan
sebagainya.
Pajak tak langsung adalah pajak yang tidak langsung
dipungut dari wajib pajak, tetapi melalui wajib pungut
yang selanjutnya disetorkan kepada pemerintah (negara),
seperti Pajak Pertambahan Nilai (PPn), Pajak Penjualan,
Pajak Tontonan, Cukai, Pajak Barang Mewah, dan
sebagainya.
Pajak tak langsung seperti PPn dan cukai akan berpengaruh
langsung terhadap harga yang ditawarkan oleh produsen
Rina Sugiarti Page 15
Matematika EkonomiFEUG
sebagai akibat pembebanan pajak terhadap konsumen,
sehingga akan mengubah fungsi penawaran dan keseimbangan
pasar.
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran suatu barang
adalah P = 12 – 2Q dan P = 3 + Q, jika pemerintah
mengenakan pajak tetap (pajak spesifik) sebesar T = 3,
maka tentukan: (1) Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah
ada pajak, (2) Besarnya pajak per unit yang ditanggung
produsen dan konsumen, (3) Total pajak yang ditanggung
produsen dan konsumen, (4) Total pajak yang diterima
pemerintah (negara), (5) Gambarkan kurvanya
Jawab:
(1)Keseimbangan pasar sebelum pajak → 12 – 2Q = 3 + Q →
3Q = 9 → Q = 3 dan P = 3 + 3 = 6
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak tercapai pada P = 6
dan Q = 3
Keseimbangan pasar sesudah pajak:
Fungsi penawaran sesudah pajak adalah P = (3 + Q) + 3 → P
= 6 + Q
Sehingga 12 – 2Q = 6 + Q → 3Q = 6 → Q’ = 2 dan P’ = 6 + 2
= 8
Jadi keseimbangan pasar sesudah pajak tercapai pada P’ =
8 dan Q’ =2
(2)Besarnya pajak per unit yang ditanggung produsen
adalah: tp = 6 – (3 + 2) = 1
Sedangkan besarnya pajak per unit yang ditanggung
konsumen adalah: tk = 3 – 1 = 2 atau tk = 8
– 6 =2
(3)Total pajak yang ditanggung produsen dan konsumen: Tp
= 2(1) = 2 dan Tk = 2(2) = 4
(4)Total pajak yang diterima pemerintah: TG = 2(3) = 6
Rina Sugiarti Page 16
Matematika EkonomiFEUG
P
S’
12
S
8 E’
6 E 5
0 2 3
6
Q
PAJAK PERSENTASE (PAJAK PROPORSIONAL)
Pajak persentase atau pajak proporsional adalah pajak
yang dikenakan terhadap suatu barang yang diperhitungkan
sebesar persentase (%) yang tetap dari hasil
penerimaannya. Pajak persentase dituliskan sebagai t%,
dengan pajak sebesar t% maka harga penawaran akan
bertambah sebesar t% dari harga penawaran sebelumnya.
Rina Sugiarti Page 17
3
Matematika EkonomiFEUG
Jika harga penawaran sebelum pajak adalah P = f(Q) dan
ada pajak sebesar t%, maka harga penawaran sesudah pajak
adalah P’ = (100 + t)% f(Q) atau P’ = (100 + t)% P
Untuk menentukan pajak per unit setelah kena pajak
sebesar t% adalah:
tperunit=t% (P)= t%(100+t)%
P'
Contoh soal:
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang:
P = 8 – ½Q dan P = 2 + 2Q, jika terhadap barang tersebut
dikenakan pajak proporsional sebesar 20%. Tentukan (1)
Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah ada pajak, (2)
besarnya pajak per unit, (3) besarnya pajak per unit yang
masing-masing ditanggung oleh konsumen dan produsen, (4)
Total pajak yang ditanggung konsumen dan produsen, (5)
Total pajak yang diterima pemerintah, (6) Gambarkan
kurvanya.
Jawab:
(1)Keseimbangan pasar sebelum pajak:
8 – ½Q = 2 + 2Q → 5/2 Q = 6 → Q = 2.4 dan P = 6.8
Jadi keseimbangan pasar sebelum pajak tercapai pada P
= 6.8 dan Q = 2.4
Fungsi penawaran sesudah pajak: P = 1.2(2 + 2Q) → P =
2.4 + 2.4Q
Keseimbangan pasar sesudah pajak:
8 – ½ Q = 2.4 + 2.4Q → 2.9Q = 5.6 → Q = 1.93 dan P =
7.03
Jadi keseimbangan pasar sesudah pajak tercapai pada P’
= 7.03 dan Q’ = 1.93
P S’
Rina Sugiarti Page 18
Matematika EkonomiFEUG
S
8 7.03 E’ E
-10 1.93 2.4
16 Q
(2)Besarnya pajak per unit:
tperunit=t% (P)= t%(100+t)%
P'→t=0.21.2
7.03=1.17
(3)Besarnya pajak per unit yang ditanggung konsumen dan
produses: tk = 7.03 – 6.8 = 0.23 dan tp = 1.17 – 0.23
= 0.94 atau tp dicari dengan mensubstitusikan Q’ =
1.93 ke dalam fungsi penawaran P = 2 + 2Q → P = 2 +
2(1.93) = 5.86 → tp = 6.8 – 5.86 = 0.94
(4)Total pajak yang ditanggung masing-masing oleh
konsumen dan produsen:
Tk = 0.23 x 1.93 = 0.4439 dan Tp = 0.94 x 1.93 =
1.8142.
(5)Total pajak yang diterima pemerintah: TG = 0.4439 +
1.8142 = 2.2581 atau TG = 1.17 x 1.93 = 2.2581
Rina Sugiarti Page 19
6.
Matematika EkonomiFEUG
Catatan: Jika pajak yang dibebankan sebagai pajak spesifik
(pajak tetap), maka bagian pajak yang ditanggung konsumen
lebih besar daripada pajak yang ditanggung produsen.
Sebaliknya, jika pajaknya merupakan pajak proporsional
(pajak persentase), maka bagian pajak yang ditanggung
konsumen lebih kecil daripada bagian pajak yang ditanggung
produsen.
SUBSIDI
Subsidi adalah bantuan yang diberikan pemerintah kepada
produsen, sehingga harga yang ditawarkan sesuai dengan
keinginan pemerintah dengan harga lebih murah daripada
harga semula. Subsidi akan mengubah fungsi penawaran dan
keseimbangan pasar.
Jika fungsi penawaran terhadap suatu barang sebelum
subsidi adalah P = f(Q) dan ada subsidi terhadap barang
tersebut sebesar s, maka fungsi penawaran sesudah subsidi
adalah P = f(Q) – s
Diketahui fungsi permintaan dan penawaran sejenis barang
adalah P = 10 – ½ Q dan P = 4 + 2Q, jika pemerintah
memberikan subsidi terhadap barang tersebut sebesar s =
2. Tentukan keseimbangan pasar sebelum dan sesudah
subsidi, kemudian gambarkan kurvanya.
Jawab:
Keseimbangan pasar sebelum subsidi: 10 – ½ Q = 4 + 2Q →
5/2 Q = 6 → Q = 2.4 dan P = 8.8 Jadi keseimbangan pasar
tercapai pada P = 8.8 dan Q = 2.4 →E(8.8; 2.4)
Keseimbangan sesudah subsidi: Fungsi penawaran P’ = (4 +
2Q) – 2 → P’ = 2 + 2Q
Rina Sugiarti Page 20
Matematika EkonomiFEUG
10 – ½ Q = 2 + 2Q → 5/2 Q = 8 → Q = 3.2 dan P = 8.4, jadi
keseimbangan pasar yang baru tercapai pada P’ = 8.4 dan
Q’ = 3.2 →E’(8.4; 3.2)
P
10S
10S’
8.8 E
8.4 E’
-2 -1 0 2.4 3.2
Q
ANALISIS TITIK IMPAS (BREAK-EVEN ANALYSIS)
Titik impas (break-even point) tercapai pada saat TC = TR
Total cost (TC) → TC = FC + VC
FC (fixed cost) adalah semua biaya yang dikeluarkan sebelum
dihasilkan output (Q) atau biaya-biaya yang dikeluarkan
Rina Sugiarti Page 21
Matematika EkonomiFEUG
untuk membeli fixed capital (modal tetap) seperti bangunan
pabrik, mesin dan peralatan, kendaraan, dan sebagainya.
Dalam jangka pendek besarnya FC bersifat tetap (fixed)
atau tidak ditentukan oleh jumlah output → FC ≠ f(Q).
Dalam jangka panjang FC juga berubah karena adanya
peningkatan skala ekonomi (economic of scale).
VC (variabel cost) adalah biaya-biaya yang dikeluarkan
ketika produksi mulai menghasilkan output atau biaya-
biaya yang dikeluarkan untuk membeli bahan baku (raw
material) dan bahan penolong (auxiliary goods), energi listrik
dan BBM, sehingga besarnya VC ditentukan oleh jumlah
output (Q)→ VC = f(Q).
TR (total revenue) adalah semua penerimaan dari hasil
penjualan output, sehingga besarnya ditentukan oleh
jumlah output (Q) → TR = f(Q)
Secara spesifik, TC dan TR dirumuskan dengan persamaan
berikut:
TC = k + PQ
TR = P’Q
P dalam TC menunjukkan biaya produksi per unit
P’ dalam TR menunjukkan harga jual per unit
Secara grafik, titik impas digambarkan sebagai berikut:
Rp
TR
TC
BEP
Rina Sugiarti Page 22
Matematika EkonomiFEUG
FC
0 Q*
Q (unit)
Pada tingkat produksi sebesar Q* tercapai BEP → TR = TC →π
= 0
Sebelum BEP →π< 0 (rugi) dan sesudah BEP →π> 0 (untung)
Soal-Soal:
1. PT. XYZ memproduksi sejenis barang elektronik, pada
tingkat penjualan sebesar 10.000 unit perusahaan mendapat
laba sebesar Rp 1.000.000.000,- dengan biaya tetap
sebesar Rp 3 milyar. Jika diketahui harga barang
elektronik tersebut per unitnya sebesar Rp 1000.000,-,
maka:
a) Tentukan fungsi Total Revenue (TR), Total Cost (TC),
dan Variabel Cost (VC)
b) Tentukan Break Even Point (BEP)
c) Bila perusahaan tersebut menjual produknya sebanyak
6.000 unit, apakah perusahaan mengalami kerugian atau
untung?
d) Gambarkan grafiknya
2. Suatu perusahaan harus mengeluarkan biaya sebesar Rp
250 juta meskipun belum berproduksi, tetapi bila
perusahaan berproduksi sebanyak 400 ribu unit maka biaya
variabelnya sebesar Rp 200 juta. Jika produksi
Rina Sugiarti Page 23
Matematika EkonomiFEUG
perusahaan tersebut mencapai 1.250.000 unit, maka akan
diperoleh keuntungan sebesar Rp 50 juta.
a) Tentukan harga jual per unit barang produksi
perusahaan tersebut
b) Tentukan fungsi TC, TR, dan BEP
c) Hitung keuntungan pada tingkat produksi 2.500.000 unit
d) Gambarkan grafiknya
Jawab:
1. Diketahui: Pada penjualan Q = 10.000 →π =
1.000.000.000 dengan FC = 3.000.000.000
Harga jual P = 1.000.000
Rina Sugiarti Page 24
Matematika EkonomiFEUG
a) Fungsi Total Revenue: TR = PQ →TR = 1.000.000 Q
Fungsi Total Cost: TC = FC + VC → TC = 3.000.000.000 +
VC
Pada saat Q = 10.000→π = TR – TC → 1.000.000.000 =
10.000.000.000 – TC
TC = 9.000.000.000 → TC = 3.000.000.000 + VC →
9.000.000.000 = 3.000.000.000 + VC
VC = 6.000.000.000 → VC = PQ →6.000.000.000 = P 10.000
→ P = 600.000
Jadi VC = 600.000 P dan TC = 3.000.000.000 + 600.000 Q
b) Break-Even Point (BEP) → tercapai pada saat TR = TC
1.000.000 Q = 3.000.000.000 + 600.000 Q → 400.000 Q =
3.000.000.000 → Q = 7.500
Jadi BEP tercapai pada Q = 7.500
c) Pada saat Q = 6.000→ TR = 1.000.000 x 6.000 =
6.000.000.000
dan TC = 3.000.000.000 + 600.000(6.000) = 6.600.000.000
jadi TR < TC, sehingga pada saat Q = 6.000 perusahaan
mengalami kerugian
d) Grafiknya:
Rp TR = 1.000.000Q
TC = 3.000.000.000 + 600.000Q
BEP
FC = 3.000.000.000
Rina Sugiarti Page 25
Matematika EkonomiFEUG
0 7.500
2. Diketahui:
Pada saat Q = 0 → FC = 250.000.000 dan pada saat Q =
400.000 → VC = 200.000.000
Pada saat Q = 1.250.000 →π = 50.000.000
a) VC = PQ → 200.000.000 = P 400.000 → P = 500
Jadi TC = 250.000.000 + 500Q
Pada Q = 1.250.000 →π = TR – TC → 50.000.000 = TR –
(250.000.000 + 500(1.250.000))
TR = 925.000.000 → TR = PQ →925.000.000 = P 1.250.000 →
P = 740
Jadi harga jual per unit: P = Rp 740.-
b) Fungsi Total Cost: TC = 250.000.000 + 500Q
Fungsi Total Revenue: TR = 740Q
Break-Even Point: TR = TC → 740Q = 250.000.000 + 500Q →
240Q = 250.000.000
BEP → Q = 1.041.666,67
c) Keuntungan pada Q = 2.500.000 →π = TR – TC
TR = 740 x 2.500.000 = 1.850.000.000
TC = 250.000.000 + 500 x 2.500.000 = 1.500.000.000
Jadi keuntungannya: π = 1.850.000.000 – 1.500.000.000 =
Rp 350.000.000
d) Grafiknya:
Rp TR = 740Q
TC = 250.000.000 + 500Q
Rina Sugiarti Page 26