Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

-1-

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

1. RELASI DAN FUNGSI

Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggotaA dengan semua anggota B.Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B disebut fungsi/pemetaan dari himpunan A ke B.

Cara menyatakan relasi ada 4 cara, yaitu :1. Dengan diagram panah2. Dengan himpunan pasangan berurutan3. Dengan grafik/diagram4. Dengan rumus

Contoh 1: Diketahui himpunan A:{1,2,3) dan B:{1,2,3,4,5}. Nyatakan relasi “kurang satu dari” dari himpunan A ke himpunan B dengan 4 cara di atas!

Jawab : 1. Dengan diagram panahA B

11 22 33 4

5

2. Dengan himpunan pasangan berurutan R:{(1,2),(2,3),(3,4)}

3. Dengan grafik/diagram B 5 4 3 2

10 A 1 2 3

4. Dengan rumus y = x + 1 jika y B dan x A

A B Himpunan A disebut daerah asal (domain)

1 a Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) 2 b

3 c Himpunan {a,b,c} disebutdaerah hasil (Range)

d e

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

-2-

Tidak semua daerah asal (Df) dan daerah hasil (Rf) terdefinisi. Misal a

hanya terdefinisi jika a0 dan pecahan ab terdefinisi jika b0

Contoh 2: Tentukan Df dan Rf yang terdefinisi dari fungsi :

a) f(x) = x 3 b) f(x) = xx1

2 3

Jawab : a) f(x) = x 3 terdefinisi jika x 3 0 atau ..... Jadi Df : {x/........…….. } Karena a 0 maka Rf : {y/…….........}

b) f(x) = xx1

2 3 terdefinisi jika 2 3 0x atau ......

Jadi Df:{x/.………...... }

f(x) = xx1

2 3 y = xx1

2 3 y(2x -3) = x + 1

2xy - 3y = x + 1 2xy - x = 3y + 1 x(2y - 1) = 3y + 1

x = 3 12 1yy

Syarat pecahan di atas terdefinisi jika ...........0 atau y ......

Jadi Rf:{y/.....………. }

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan relasi berikut dengan rumus ! A B

a. -1 -1 0 0 1 3 2 8 3

b. R : {(-3,-3),(-2,-1),(-1,1),(0,3),(1,5),(2,7)}

c. Y 17

11 7


-3-

3

X 2 4 7 2. Mana yang merupakan fungsi ? Beri alasannya ! A B

A B f A

B f a. 1 a b. 1 f c. 1 a

2 b 2 a 2 b3 c 3 b 3 c4 d 4 c 4 d

3. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !a. R : {(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)} b. R : {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}c. R : {(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)}d. R : {(-1,1),(1,3),(2,4),(1,5)}

4. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !a. Y

b. Y y = x2 1 y = x + 1 X

X0 0

c. y x2 1 d.e

Y YY

x y2 2 4

0 X 0X 0 X

5. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :

a. y = x + 1 b. y xx

21 c. y = x2 5

d. y = x x2 2 4 e. y = x 2 f.

2. MACAM-MACAM FUNGSI


-4-

a. Fungsi KonstanSuatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jikasetiap elemen himpunan A berpasangan dengan tepat dengan sebuah elemenhimpunan B.Fungsi konstan secara umum dinyatakan dengan y = f(x) = c, dengan ckonstanta dan .

Contoh 1: Lukislah garis y = 5

Jawab : Y

0 X

b. Fungsi IdentitasSuatu fungsi disebut fungsi identitas jika untuk setiap anggota daerahasal dipasangkan dengan dirinya sendiri di daerah kawan.Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x

c. Fungsi Modulus (Mutlak)Suatu fungsi disebut fungsi modulus jika setiap anggota daerah asaldipasangkan ke harga modulus/mutlaknya di daerah kawan.Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) =

dibaca “harga mutlak x” yang besarnya :

Misal :

Contoh 2: Lukislah kurva y =

Jawab : Dengan menggunakan bantuan tabel :

x 0 1 2 2,5

3 4 5

y … … … … … … …

Kurvanya : Y


-5-

0 X

d. Fungsi LinearFungsi linear yaitu fungsi yang berderajat satu atau pangkat tertinggidari variabel/peubahnya hanya satu.Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = mx + c, dimana m adalahgradien/arah/kemiringan garis dan c adalah konstanta.Fungsi linear berupa garis lurus.

Contoh 3: Lukislah garis y = 2x + 3

Jawab : Untuk melukis suatu garis tertentu syaratnya minimal diketahuidua titik. Misal x = 0 maka y = …. atau melalui titik ( … , … ) Misal y = 0 maka x = …. atau melalui titik ( … , … )

Y

0X

e. Fungsi KuadratFungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang berderajat dua atau pangkattertingi dari variabelnya dua.Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = , dimana

Contoh 4: Lukislah kurva

Jawab : Cara melukisnya :1. Titik potong dengan sumbu X jika y = …

x = … , x = …2. Titik potong dengan sumbu Y jika x = …

y = ….3. Titik Puncak = TP = ( …. , ….. ) = ….4. Beberapa titik bantu jika perlu.


-6-

X -2 -1 0 1 2 3 4Y … … … … … … …

Kurvanya : Y

0X

3. SIFAT-SIFAT FUNGSI

Sifat-sifat fungsi ada 4 , yaitu :a. Fungsi Injektif (Satu-satu)

Jika b. Fungsi Surjektif (Onto)

Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerahkawan).

c. Fungsi IntoJika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari

himpunan B.d. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Jika dan hanya jika fungsi f bersifat injektif dan surjektif.

LATIHAN SOAL

1. Fungsi-fungsi berikut termasuk fungsi into, fungsi onto, fungsi satu-satuatau fungsi korespondensi satu-satu dari :

a. 1 a b. 1 a c. 1 a d. 1 a2 b 2 b 2 b 2 b3 c 3 c 3 c 3 c

d 4

2. Lukislah fungsi-fungsi berikut ini :

a.b.c.d. y x x 2 2 8e. y x x 2 4f. y x 3g.

h.

i.


-7-

4. ALJABAR FUNGSI

Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) yang akan dioperasikan secara aljabar, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut :

1.2.3.

4.

Contoh 1: Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan : a. (f + g)(x) b. (f – g)(x) c. (f x g)

(x) d.

Jawab : a. (f + g)(x) = …. b. (f – g)(x) = …. c. (f x g)(x) = ….

d. = ….

LATIHAN SOAL

1. Tentukan rumus f + g, f – g , g – f dan f x g untuk f dan g pada R dengan ketentuan sebagai berikut :f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3 – 5x

2. Tentukan lalu tentukan domainnya agar merupakan fungsi dari :

a. f(x) = 2 – 3x, g(x) = 3 + 5xb. f(x) = x, g(x) = c. f(x) = , g(x) = x + 1

3. Jika f(x) = 2x – 5 dan g(x) = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, maka tentukan :a. rumus f + g, g – f dan f x gb. (f + g)(5), (f – g)(2) dan (f x g)(-1)c. Gambar grafik f + g, g – f dan f x g

4. Fungsi f(x), g(x) dan h(x) di definisikan sebagai berikut :f(x) = {(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}g(x) = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}h(x) = {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)}Tentukan :a. f + g, f + h dan g + hb. f – g, f – h dan g – hc. f x g, f x h dan g x h


-8-

5. FUNGSI KOMPOSISI

Fungsi komposisi berarti gabungan dari beberapa fungsi.

f g f memetakan x ke y ditulis y = f(x)

x y z g memetakan y ke z ditulis z = g(y)

h memetakan x ke z ditulis z = h(x)

h h merupakan komposisi

dari fungsi f dilanjutkan g ditulis h = g o f

dibaca “g noktah f” atau “g bundaran f” z = h(x) = g(y) =

g(f(x)) Karena h(x) = (gof)

(x), maka : (gof)(x) = g(f(x))

Begitupun untuk komposisi tiga fungsi akan berlaku :

(gofoh)(x) = g(f(h(x)))

Contoh 1: Jika f(x) = 2x-1 , g(x) = 3x+4 dan h(x) = 3 2x , maka tentukan : a) (fog)(x) b) (fogoh)(x) c) (goh)(-2)

Jawab : a) (fog)(x) = ……. b) (fogoh)(x) = ………. c) (goh)(-2) = g(h(-2)) = ....………..

Contoh 2: Diketahui f(x) = 2x-1 dan (fog)(x) = 6x+5, maka tentukan g(x) !

Jawab : (fog)(x) = f(g(x)) .... = ....

………….

Contoh 3: Diketahui f(x) = 3x-2 dan (gof)(x) = , maka tentukan g(x) !

Jawab : (gof)(x) = g(f(x)) ... = .... Misal y = .... x = .... Sehingga : g(y) = .....

= ..... Jadi g(x) = ....


-9-

LATIHAN SOAL

1. Jika f(x) = 5x - 3, g(x) = dan h(x) = , maka tentukan :

a. (foh)(x) b. (hog)(2) c. (fogoh)(x)

d. (gofoh)(x) e. (hofog)(2) f. (gohof)(15)

2. Tentukan :

a. Jika f(x) = 4x + 3 dan (fog)(x) = 5x - 1, maka g(x) = ....b. Jika g(x) = 2x - 3 dan (fog)(x) = 10x+7, maka f(x) = ....c. Jika f(x) = 2x + 1 dan (gof)(x) = 12 12 12x x , maka g(x) = ....d. Jika g(x) = 3x - 5 dan (gof)(x) = 3 9 52x x , maka f(x) = ....e. Jika g(x) = x x2 1 dan (gof)(x) = x x2 5 5 , maka f(x) = ....

3. Jika f(x) = 3 - 2x, h(x) = x x2 2 2 dan (hof)(a) = 37, maka tentukan a!

4. Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x + p . Apabila f o g = g o f , maka

tentukan nilai p !

5. Jika f(x) = x + 2 dan (gof) (x) = , maka tentukan g(2x) !

6. SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI

Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi komposisi, kita gunakan contoh-contohberikut :

Contoh 1: Misal f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x – 1. Tentukan : a. (fog)(x) b. (gof)(x)

Jawab : a. (fog)(x) = …. b. (gof)(x) = ….

Jadi bersifat : ….

Contoh 2: Jika f(x) = , g(x) = 2x – 2 dan h(x) = 3x, maka tentukan : a. ((fog)oh)(x) b. (fo(goh))(x)

Jawab : a. (fog)(x) = … ((fog)oh)(x) = ….

b. (goh)(x) = …. (fo(goh))(x) = ….

Jadi bersifat : ….

Contoh 3: Jika f(x) = 2x + 1 dan I(x) = x, maka tentukan : a. (foI)(x) b. (Iof)(x)


-10-

Jawab : a. (foI)(x) = …. b. (Iof)(x) = ….

Jadi bersifat : …..

LATIHAN SOAL

1. Jika f(x) = 4x - 3, g(x) = , h(x) = dan I(x) = x, maka buktikan :

a. fog gof b. foh hof c.fo(goh) = (fog)ohd. go(hof) = (goh)of e. goI = Iog = g f. hoI = Ioh= h

2. Jika f(x) = 10x - 1, g(x) = 3x + 4 dan h(x) = , maka buktikan :

a. (fog)(2) (gof)(2) b. (foh)(-1) (hof)(-1)c. ((fog)oh)(1) = (fo(goh))(1) d. (ho(gof))(m) = ((hog)of)(m)

3. Jika f(x) = 2x + 3, g(x) = dan h(x) = , maka buktikan :

a. (foh) (2) (hof) (2) b. (gof) (-1) (fog) (-1)c. ((hog)of) (3) = (ho(gof)) (3) d. (fo(goh)) (s) = ((fog)oh) (s)

7. INVERS SUATU FUNGSI

Perhatikan gambar berikut ini : A B y merupakan peta dari x

oleh fungsi f dan x merupakan f peta dari y oleh fungsi

maka dikatakan fungsi f dan x y saling invers.

Jadi y = f(x) dan x = Sifat invers : fof x f of x I x 1 1 ( )Syarat fungsi mempunyai invers jika fungsi itu korespondensi satu-satu.

Cara menentukan invers dari y = f(x) :

1. Ubah y = f(x) menjadi x = g(y)2. Ubah x = g(y) menjadi f y g y 1( ) ( )3. Ubah y dengan x

Contoh 1: Tentukan invers dari y = 5x + 3


-11-

Jawab : y = 5x + 3 5x = .... x = ....

....

Contoh 2: Tentukan invers dari

Jawab : y( ..... ) = 3x - 1

................ = .......... ................ = ..........

x ( ...... ) = ..... x = .....

Contoh 3: Jika f(x) = , maka tentukan daerah asal dan daerah hasil f !

Jawab : f(x) = y = .....

.... = .... x = ....

Jadi daerah asal Df:{x/ ..... } dan daerahhasil Rf: {y/ ....... }

LATIHAN SOAL

1. Tentukan invers dari :

a. f(x) = 4x + 5 e. f(x) =

b. f(x) = f. f(x) =

c. f(x) = g. f(x) =

d. f(x) = h. f(x) =

2. Jika f(x) = , maka tentukan

3. Jika f(x) = dan , maka tentukan a !

4. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :

a. b. c.


-12-

8. INVERS FUNGSI KOMPOSISI

A g o f C B

f g x y z f 1 g 1

Contoh 1: Jika f(x) = 5x - 3 dan g(x) = 2 + 4x, maka tentukan : a) b)

Jawab : a) = f(...........) = ....... y = .... x = .....

b) f(x) = 5x - 3 g(x) = 2 + 4x y = 5x - 3 y

= 2 + 4x x = .... x =.... = .....

Contoh 2: Diketahui dan g(x) = 4x - 1. Tentukan fog 1 3

Jawab : = ......

y = ..... ...... = .... x = .....

fog 1 3 ......

LATIHAN SOAL

1. Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 6x - 7, maka tentukan :

a. b. c. d.


-13-

2. Jika f(x) = dan , maka tentukan g(x) !

3. Jika f(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x dan h(x) = 2x, maka tentukan x jika( ) ( )fogoh x 1 1

4. Diketahui f(x) = dan g(x) = 2x - 3. Tentukan :

a. b.

5. Jika f(x) = 3x dan g(x) = , maka tentukan

6. Jika f(x) = dan g(x) = maka tentukan


Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Documents

Transcript of Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers