Tugas Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab

Post on 23-Jul-2015

1.715 views 16 download

description

Tugas Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab Kuliah Teknik Komputasi MKOM Universitas Budi Luhur

Transcript of Tugas Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab

Teknik Komputasi Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab

Dosen : Dr. Ir. Nazori Az, M.T

Nama : Fransiscus Xaverius Eko Budi Kristanto NIM : 1111600126 Kelas : XA MAGISTER ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS BUDI LUHUR JAKARTA 2012

Tugas 3

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

1

Soal:

1. Tentukan nilai arus tiap cabang:

2. Gambar dibawah ini menunjukkan arus lalu lintas yang melewati titik2 cabang A, B, C dan D

di jalan raya pada jam sibuk. Tentukan besarnya x1, x2, x3 dan x4 (gunakan Hukum Kircoff

tentang arus)

3. Tentukan solusi SPL berikut ini:

162

10703106

12423

=+−+=+++

=++−=+−+

zyxwzyxw

zyxwzyxw

x1

x3

x2

x4

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

2

Jawab:

1. Penyelesaian nilai arus tiap cabang:

Dari rangkaian terdapat 3 buah loop tertutup, yang masing-masing dinamai I1, I2, dan I3

Persamaan masing-masing loop adalah:

loop 1: 2I1 + 1(I1 – I3) + 3(I1 – I2) = -4

2I1 + I1 – I3 + 3I1 - 3I2 = -4

6I1 - 3I2 - I3 = -4 (persamaan 1)

loop 2: 3(I2 - I1) + 5(I2 - I3) = -7

3I2 - 3I1 + 5I2 - 5I3 = -7

-3I1 + 8I2 – 5I3 = -7 (persamaan 2)

loop 3: 5(I3 – I2) + 1(I3 – I1) + 4I3 = 29

5I3 – 5I2 + I3 – I1 + 4I3 = 29

-I1 – 5I2 + 10I3 = 29 (persamaan 3)

Dijadikan dalam bentuk Matriks:

�6 −3 −1−3 8 −5−1 −5 10

� . �𝐼1𝐼2𝐼2� = �

−4−729�

I1

I3

I2

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

3

Script Program Matlab untuk Mencari I1, I2 dan I3:

% Penyelesaian untuk Mencari I1, I2 dan I3 clear all clc A=[6 -3 -1;-3 8 -5;-1 -5 10]; % Matriks A B=[-4;-7;29]; % Matriks B I=inv(A)*B disp('Nilai I1, I2 dan I3 adalah:') I1=I(1,1) I2=I(2,1) I3=I(3,1)

Hasil:

I = 1.0000 2.0000 4.0000 Nilai I1, I2 dan I3 adalah: I1 = 1.0000 I2 = 2.0000 I3 = 4.0000

Dengan demikian, maka nilai untuk: I1 = 1 A, I2 = 2 A, dan I3 = 4 A

Sekarang mencari arus yang mengalir pada tiap cabang, langkah selanjutnya dengan menamai

cabang-cabangnya sehingga rangkaian menjadi:

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

4

Hukum Kirchoff arus menyatakan bahwa jumlah arus yang masuk dalam suatu simpul sama

dengan arus yang meninggalkannya. Dengan demikian disesuaikan dulu arus loop dengan

cabangnya, maka:

I1 = ia = 1 A

I3 = ib = 4 A

Untuk Simpul: → Simpul A: ia = ib + ic → ic = ia – ib

→ Simpul B: if = id + ie

Sehingga nilai arus yang ada pada cabang adalah:

ia = 1 A

ib = 4 A

ic = ia – ib → 1 – 4 = -3 A

id = I2 - I1 → 2 – 1 = 1 A

ie = I1 - I3 → 1 - 4 = -3 A

if = id + ie → 1 + (-3) = -2 A

I1

I2

I3

A

B

ia i

b

if

id i

e

ic

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

5

2. Penyelesaian untuk mencari nilai x1, x2, x3 dan x4 pada arus lalu lintas:

Arus lalu lintas yang melewati titik-titik cabang A, B, C dan D di jalan raya pada jam sibuk.

Berdasarkan prinsip Hukum Kircoff tentang arus, maka jumlah kendaraan yang masuk menuju

ke titik cabang A, B, C dan D harus sama dengan jumlah kendaraan yang keluar.

Sistem Persamaan Linear (SPL) untuk masing-masing cabang adalah:

Titik cabang A: x1 + 100 = x2 + 600

x1 – x2 = 600 - 100

x1 – x2 = 500 (persamaan 1)

Titik cabang B: x1 = x3 + 600 + 1000

x1 – x3 = 1600 (persamaan 2)

Titik cabang C: x2 = x4 + 100 + 1000

x2 – x4 = 1100 (persamaan 3)

Titik cabang D: x3 + 400 = x4 + 500

x3 – x4 = 500 - 400

x3 – x4 = 100 (persamaan 4)

x3

x4

x2

x1

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

6

Sehingga diperoleh 4 persamaan linear sebagai berikut:

100:1100:

6001:500:

434

423

312

211

=−=−=−=−

xxPxxPxxP

xxP

Bentuk Matriks lengkapnya:

1 −1 0 0 5001 −1 0 0 16000 1 0 −1 11000 0 1 −1 100

Script program Matlab Operasi Baris Elementer (OBE):

% Penyelesaian Persamaan Linear dengan OBE clear all clc A=[1 -1 0 0 500;1 0 -1 0 1600;0 1 0 -1 1100;0 0 1 -1 100]; % Data matriks disp('Matriks A:') A disp('Jumlah Persamaan:') n=4 % jumlah persamaan pause %===Proses Triangularisasi=== for j=1:(n-1) %---mulai proses pivot--- if (A(j,j)==0) for p=1:n+1 u=A(j,p); v=A(j+1,p); A(j+1,p)=u; A(j,p)=v; end end %---akhir proses pivot--- jj=j+1; for i=jj:n m=A(i,j)/A(j,j); for k=1:(n+1) A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k)); end end end disp('Matriks A hasil Proses Triangularisasi:') A pause %===Akhir Proses Triangularisasi===

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

7

Hasil:

Matriks A: A = 1 -1 0 0 500 1 0 -1 0 1600 0 1 0 -1 1100 0 0 1 -1 100 Jumlah Persamaan: n = 4 Matriks A hasil Proses Triangularisasi: A = 1 -1 0 0 500 0 1 -1 0 1100 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 100

Berdasarkan matriks hasil proses triangularisasi (Operasi Baris Elementer), hasil akhir

menunjukkan SPL konsisten dengan banyak solusi dan x4 merupakan variabel bebas. Jika

dilakukan proses substitusi mundur, maka hasilnya adalah:

1 −1 0 0 5000 1 −1 0 11000 0 1 −1 00 0 0 0 100

� →

bebas variabel

1001500

4

43

32

21

==

+=+=

xxx

xxxx

Dengan demikian, jika x4 dimasukkan nilai 100, maka hasilnya adalah:

Nilai x3 = x4 = 100

Nilai x2 = 1100 + x3 → 1100 + 100 → 1200

Nilai x1 = 500 + x2 → 500 + 1200 → 1700

Sehingga untuk x4 = 100, maka x3 = 100, x2 = 1200, dan x1 = 1700

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

8

3. Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Invers Matriks:

Persamaan linear:

Bentuk Matriks:

3 2 −1 46 −10 3 11 1 1 12 1 −1 1

� . �

𝑤𝑥𝑦𝑧

� = �

12701016

Diketahui ketentuan Invers Matriks:

Dimana:

𝐴 = �

3 2 −1 46 −10 3 11 1 1 12 1 −1 1

� 𝐵 = �

12701016

� 𝑑𝑎𝑛 𝑋 = �

𝑤𝑥𝑦𝑧

Script Program Matlab:

% Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Invers Matriks clear all clc A=[3 2 -1 4;6 -10 3 1;1 1 1 1;2 1 -1 1] % Matriks A B=[12;70;10;16] % Matriks B X=inv(A)*B disp('Solusi Persamaan Linear adalah:') w=X(1,1) x=X(2,1) y=X(3,1) z=X(4,1)

16210

70310612423

=+−+=+++

=++−=+−+

zyxwzyxw

zyxwzyxw

BAXBAAXA

BAX

1

11

−−

=

=

=

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

9

Hasil:

A = 3 2 -1 4 6 -10 3 1 1 1 1 1 2 1 -1 1 B = 12 70 10 16 X = 11.9802 0.5347 2.9901 -5.5050 Solusi Persamaan Linear adalah: w = 11.9802 x = 0.5347 y = 2.9901 z = -5.5050 Dengan demikian, penyelesaiannya adalah: w = 11.9802, x = 0.5347, y = 2.9901 dan z = -5.5050