Teknik Komputasi Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab

Dosen : Dr. Ir. Nazori Az, M.T

Nama : Fransiscus Xaverius Eko Budi Kristanto NIM : 1111600126 Kelas : XA MAGISTER ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS BUDI LUHUR JAKARTA 2012

Tugas 3

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

1

Soal:

1. Tentukan nilai arus tiap cabang:

2. Gambar dibawah ini menunjukkan arus lalu lintas yang melewati titik2 cabang A, B, C dan D

di jalan raya pada jam sibuk. Tentukan besarnya x1, x2, x3 dan x4 (gunakan Hukum Kircoff

tentang arus)

3. Tentukan solusi SPL berikut ini:

162

10703106

12423

=+−+=+++

=++−=+−+

zyxwzyxw

zyxwzyxw

x1

x3

x2

x4

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

2

Jawab:

1. Penyelesaian nilai arus tiap cabang:

Dari rangkaian terdapat 3 buah loop tertutup, yang masing-masing dinamai I1, I2, dan I3

Persamaan masing-masing loop adalah:

loop 1: 2I1 + 1(I1 – I3) + 3(I1 – I2) = -4

2I1 + I1 – I3 + 3I1 - 3I2 = -4

6I1 - 3I2 - I3 = -4 (persamaan 1)

loop 2: 3(I2 - I1) + 5(I2 - I3) = -7

3I2 - 3I1 + 5I2 - 5I3 = -7

-3I1 + 8I2 – 5I3 = -7 (persamaan 2)

loop 3: 5(I3 – I2) + 1(I3 – I1) + 4I3 = 29

5I3 – 5I2 + I3 – I1 + 4I3 = 29

-I1 – 5I2 + 10I3 = 29 (persamaan 3)

Dijadikan dalam bentuk Matriks:

�6 −3 −1−3 8 −5−1 −5 10

� . �𝐼1𝐼2𝐼2� = �

−4−729�

I1

I3

I2

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

3

Script Program Matlab untuk Mencari I1, I2 dan I3:

% Penyelesaian untuk Mencari I1, I2 dan I3 clear all clc A=[6 -3 -1;-3 8 -5;-1 -5 10]; % Matriks A B=[-4;-7;29]; % Matriks B I=inv(A)*B disp('Nilai I1, I2 dan I3 adalah:') I1=I(1,1) I2=I(2,1) I3=I(3,1)

Hasil:

I = 1.0000 2.0000 4.0000 Nilai I1, I2 dan I3 adalah: I1 = 1.0000 I2 = 2.0000 I3 = 4.0000

Dengan demikian, maka nilai untuk: I1 = 1 A, I2 = 2 A, dan I3 = 4 A

Sekarang mencari arus yang mengalir pada tiap cabang, langkah selanjutnya dengan menamai

cabang-cabangnya sehingga rangkaian menjadi:

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

4

Hukum Kirchoff arus menyatakan bahwa jumlah arus yang masuk dalam suatu simpul sama

dengan arus yang meninggalkannya. Dengan demikian disesuaikan dulu arus loop dengan

cabangnya, maka:

I1 = ia = 1 A

I3 = ib = 4 A

Untuk Simpul: → Simpul A: ia = ib + ic → ic = ia – ib

→ Simpul B: if = id + ie

Sehingga nilai arus yang ada pada cabang adalah:

ia = 1 A

ib = 4 A

ic = ia – ib → 1 – 4 = -3 A

id = I2 - I1 → 2 – 1 = 1 A

ie = I1 - I3 → 1 - 4 = -3 A

if = id + ie → 1 + (-3) = -2 A

I1

I2

I3

A

B

ia i

b

if

id i

e

ic

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

5

2. Penyelesaian untuk mencari nilai x1, x2, x3 dan x4 pada arus lalu lintas:

Arus lalu lintas yang melewati titik-titik cabang A, B, C dan D di jalan raya pada jam sibuk.

Berdasarkan prinsip Hukum Kircoff tentang arus, maka jumlah kendaraan yang masuk menuju

ke titik cabang A, B, C dan D harus sama dengan jumlah kendaraan yang keluar.

Sistem Persamaan Linear (SPL) untuk masing-masing cabang adalah:

Titik cabang A: x1 + 100 = x2 + 600

x1 – x2 = 600 - 100

x1 – x2 = 500 (persamaan 1)

Titik cabang B: x1 = x3 + 600 + 1000

x1 – x3 = 1600 (persamaan 2)

Titik cabang C: x2 = x4 + 100 + 1000

x2 – x4 = 1100 (persamaan 3)

Titik cabang D: x3 + 400 = x4 + 500

x3 – x4 = 500 - 400

x3 – x4 = 100 (persamaan 4)

x3

x4

x2

x1

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

6

Sehingga diperoleh 4 persamaan linear sebagai berikut:

100:1100:

6001:500:

434

423

312

211

=−=−=−=−

xxPxxPxxP

xxP

Bentuk Matriks lengkapnya:

�

1 −1 0 0 5001 −1 0 0 16000 1 0 −1 11000 0 1 −1 100

�

Script program Matlab Operasi Baris Elementer (OBE):

% Penyelesaian Persamaan Linear dengan OBE clear all clc A=[1 -1 0 0 500;1 0 -1 0 1600;0 1 0 -1 1100;0 0 1 -1 100]; % Data matriks disp('Matriks A:') A disp('Jumlah Persamaan:') n=4 % jumlah persamaan pause %===Proses Triangularisasi=== for j=1:(n-1) %---mulai proses pivot--- if (A(j,j)==0) for p=1:n+1 u=A(j,p); v=A(j+1,p); A(j+1,p)=u; A(j,p)=v; end end %---akhir proses pivot--- jj=j+1; for i=jj:n m=A(i,j)/A(j,j); for k=1:(n+1) A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k)); end end end disp('Matriks A hasil Proses Triangularisasi:') A pause %===Akhir Proses Triangularisasi===

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

7

Hasil:

Matriks A: A = 1 -1 0 0 500 1 0 -1 0 1600 0 1 0 -1 1100 0 0 1 -1 100 Jumlah Persamaan: n = 4 Matriks A hasil Proses Triangularisasi: A = 1 -1 0 0 500 0 1 -1 0 1100 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 100

Berdasarkan matriks hasil proses triangularisasi (Operasi Baris Elementer), hasil akhir

menunjukkan SPL konsisten dengan banyak solusi dan x4 merupakan variabel bebas. Jika

dilakukan proses substitusi mundur, maka hasilnya adalah:

�

1 −1 0 0 5000 1 −1 0 11000 0 1 −1 00 0 0 0 100

� →

bebas variabel

1001500

4

43

32

21

==

+=+=

xxx

xxxx

Dengan demikian, jika x4 dimasukkan nilai 100, maka hasilnya adalah:

Nilai x3 = x4 = 100

Nilai x2 = 1100 + x3 → 1100 + 100 → 1200

Nilai x1 = 500 + x2 → 500 + 1200 → 1700

Sehingga untuk x4 = 100, maka x3 = 100, x2 = 1200, dan x1 = 1700

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

8

3. Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Invers Matriks:

Persamaan linear:

Bentuk Matriks:

�

3 2 −1 46 −10 3 11 1 1 12 1 −1 1

� . �

𝑤𝑥𝑦𝑧

� = �

12701016

�

Diketahui ketentuan Invers Matriks:

Dimana:

𝐴 = �

3 2 −1 46 −10 3 11 1 1 12 1 −1 1

� 𝐵 = �

12701016

� 𝑑𝑎𝑛 𝑋 = �

𝑤𝑥𝑦𝑧

�

Script Program Matlab:

% Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Invers Matriks clear all clc A=[3 2 -1 4;6 -10 3 1;1 1 1 1;2 1 -1 1] % Matriks A B=[12;70;10;16] % Matriks B X=inv(A)*B disp('Solusi Persamaan Linear adalah:') w=X(1,1) x=X(2,1) y=X(3,1) z=X(4,1)

16210

70310612423

=+−+=+++

=++−=+−+

zyxwzyxw

zyxwzyxw

BAXBAAXA

BAX

1

11

−

−−

=

=

=

Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012

9

Hasil:

A = 3 2 -1 4 6 -10 3 1 1 1 1 1 2 1 -1 1 B = 12 70 10 16 X = 11.9802 0.5347 2.9901 -5.5050 Solusi Persamaan Linear adalah: w = 11.9802 x = 0.5347 y = 2.9901 z = -5.5050 Dengan demikian, penyelesaiannya adalah: w = 11.9802, x = 0.5347, y = 2.9901 dan z = -5.5050