Tugas Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab
-
Upload
fx-eko-budi-kristanto -
Category
Documents
-
view
1.712 -
download
16
description
Transcript of Tugas Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab
Teknik Komputasi Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab
Dosen : Dr. Ir. Nazori Az, M.T
Nama : Fransiscus Xaverius Eko Budi Kristanto NIM : 1111600126 Kelas : XA MAGISTER ILMU KOMPUTER UNIVERSITAS BUDI LUHUR JAKARTA 2012
Tugas 3
Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012
1
Soal:
1. Tentukan nilai arus tiap cabang:
2. Gambar dibawah ini menunjukkan arus lalu lintas yang melewati titik2 cabang A, B, C dan D
di jalan raya pada jam sibuk. Tentukan besarnya x1, x2, x3 dan x4 (gunakan Hukum Kircoff
tentang arus)
3. Tentukan solusi SPL berikut ini:
162
10703106
12423
=+−+=+++
=++−=+−+
zyxwzyxw
zyxwzyxw
x1
x3
x2
x4
Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012
2
Jawab:
1. Penyelesaian nilai arus tiap cabang:
Dari rangkaian terdapat 3 buah loop tertutup, yang masing-masing dinamai I1, I2, dan I3
Persamaan masing-masing loop adalah:
loop 1: 2I1 + 1(I1 – I3) + 3(I1 – I2) = -4
2I1 + I1 – I3 + 3I1 - 3I2 = -4
6I1 - 3I2 - I3 = -4 (persamaan 1)
loop 2: 3(I2 - I1) + 5(I2 - I3) = -7
3I2 - 3I1 + 5I2 - 5I3 = -7
-3I1 + 8I2 – 5I3 = -7 (persamaan 2)
loop 3: 5(I3 – I2) + 1(I3 – I1) + 4I3 = 29
5I3 – 5I2 + I3 – I1 + 4I3 = 29
-I1 – 5I2 + 10I3 = 29 (persamaan 3)
Dijadikan dalam bentuk Matriks:
�6 −3 −1−3 8 −5−1 −5 10
� . �𝐼1𝐼2𝐼2� = �
−4−729�
I1
I3
I2
Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012
3
Script Program Matlab untuk Mencari I1, I2 dan I3:
% Penyelesaian untuk Mencari I1, I2 dan I3 clear all clc A=[6 -3 -1;-3 8 -5;-1 -5 10]; % Matriks A B=[-4;-7;29]; % Matriks B I=inv(A)*B disp('Nilai I1, I2 dan I3 adalah:') I1=I(1,1) I2=I(2,1) I3=I(3,1)
Hasil:
I = 1.0000 2.0000 4.0000 Nilai I1, I2 dan I3 adalah: I1 = 1.0000 I2 = 2.0000 I3 = 4.0000
Dengan demikian, maka nilai untuk: I1 = 1 A, I2 = 2 A, dan I3 = 4 A
Sekarang mencari arus yang mengalir pada tiap cabang, langkah selanjutnya dengan menamai
cabang-cabangnya sehingga rangkaian menjadi:
Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012
4
Hukum Kirchoff arus menyatakan bahwa jumlah arus yang masuk dalam suatu simpul sama
dengan arus yang meninggalkannya. Dengan demikian disesuaikan dulu arus loop dengan
cabangnya, maka:
I1 = ia = 1 A
I3 = ib = 4 A
Untuk Simpul: → Simpul A: ia = ib + ic → ic = ia – ib
→ Simpul B: if = id + ie
Sehingga nilai arus yang ada pada cabang adalah:
ia = 1 A
ib = 4 A
ic = ia – ib → 1 – 4 = -3 A
id = I2 - I1 → 2 – 1 = 1 A
ie = I1 - I3 → 1 - 4 = -3 A
if = id + ie → 1 + (-3) = -2 A
I1
I2
I3
A
B
ia i
b
if
id i
e
ic
Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012
5
2. Penyelesaian untuk mencari nilai x1, x2, x3 dan x4 pada arus lalu lintas:
Arus lalu lintas yang melewati titik-titik cabang A, B, C dan D di jalan raya pada jam sibuk.
Berdasarkan prinsip Hukum Kircoff tentang arus, maka jumlah kendaraan yang masuk menuju
ke titik cabang A, B, C dan D harus sama dengan jumlah kendaraan yang keluar.
Sistem Persamaan Linear (SPL) untuk masing-masing cabang adalah:
Titik cabang A: x1 + 100 = x2 + 600
x1 – x2 = 600 - 100
x1 – x2 = 500 (persamaan 1)
Titik cabang B: x1 = x3 + 600 + 1000
x1 – x3 = 1600 (persamaan 2)
Titik cabang C: x2 = x4 + 100 + 1000
x2 – x4 = 1100 (persamaan 3)
Titik cabang D: x3 + 400 = x4 + 500
x3 – x4 = 500 - 400
x3 – x4 = 100 (persamaan 4)
x3
x4
x2
x1
Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012
6
Sehingga diperoleh 4 persamaan linear sebagai berikut:
100:1100:
6001:500:
434
423
312
211
=−=−=−=−
xxPxxPxxP
xxP
Bentuk Matriks lengkapnya:
�
1 −1 0 0 5001 −1 0 0 16000 1 0 −1 11000 0 1 −1 100
�
Script program Matlab Operasi Baris Elementer (OBE):
% Penyelesaian Persamaan Linear dengan OBE clear all clc A=[1 -1 0 0 500;1 0 -1 0 1600;0 1 0 -1 1100;0 0 1 -1 100]; % Data matriks disp('Matriks A:') A disp('Jumlah Persamaan:') n=4 % jumlah persamaan pause %===Proses Triangularisasi=== for j=1:(n-1) %---mulai proses pivot--- if (A(j,j)==0) for p=1:n+1 u=A(j,p); v=A(j+1,p); A(j+1,p)=u; A(j,p)=v; end end %---akhir proses pivot--- jj=j+1; for i=jj:n m=A(i,j)/A(j,j); for k=1:(n+1) A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k)); end end end disp('Matriks A hasil Proses Triangularisasi:') A pause %===Akhir Proses Triangularisasi===
Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012
7
Hasil:
Matriks A: A = 1 -1 0 0 500 1 0 -1 0 1600 0 1 0 -1 1100 0 0 1 -1 100 Jumlah Persamaan: n = 4 Matriks A hasil Proses Triangularisasi: A = 1 -1 0 0 500 0 1 -1 0 1100 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 100
Berdasarkan matriks hasil proses triangularisasi (Operasi Baris Elementer), hasil akhir
menunjukkan SPL konsisten dengan banyak solusi dan x4 merupakan variabel bebas. Jika
dilakukan proses substitusi mundur, maka hasilnya adalah:
�
1 −1 0 0 5000 1 −1 0 11000 0 1 −1 00 0 0 0 100
� →
bebas variabel
1001500
4
43
32
21
==
+=+=
xxx
xxxx
Dengan demikian, jika x4 dimasukkan nilai 100, maka hasilnya adalah:
Nilai x3 = x4 = 100
Nilai x2 = 1100 + x3 → 1100 + 100 → 1200
Nilai x1 = 500 + x2 → 500 + 1200 → 1700
Sehingga untuk x4 = 100, maka x3 = 100, x2 = 1200, dan x1 = 1700
Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012
8
3. Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Invers Matriks:
Persamaan linear:
Bentuk Matriks:
�
3 2 −1 46 −10 3 11 1 1 12 1 −1 1
� . �
𝑤𝑥𝑦𝑧
� = �
12701016
�
Diketahui ketentuan Invers Matriks:
Dimana:
𝐴 = �
3 2 −1 46 −10 3 11 1 1 12 1 −1 1
� 𝐵 = �
12701016
� 𝑑𝑎𝑛 𝑋 = �
𝑤𝑥𝑦𝑧
�
Script Program Matlab:
% Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Invers Matriks clear all clc A=[3 2 -1 4;6 -10 3 1;1 1 1 1;2 1 -1 1] % Matriks A B=[12;70;10;16] % Matriks B X=inv(A)*B disp('Solusi Persamaan Linear adalah:') w=X(1,1) x=X(2,1) y=X(3,1) z=X(4,1)
16210
70310612423
=+−+=+++
=++−=+−+
zyxwzyxw
zyxwzyxw
BAXBAAXA
BAX
1
11
−
−−
=
=
=
Aplikasi Sistem Persamaan Linear dengan Matlab 2012
9
Hasil:
A = 3 2 -1 4 6 -10 3 1 1 1 1 1 2 1 -1 1 B = 12 70 10 16 X = 11.9802 0.5347 2.9901 -5.5050 Solusi Persamaan Linear adalah: w = 11.9802 x = 0.5347 y = 2.9901 z = -5.5050 Dengan demikian, penyelesaiannya adalah: w = 11.9802, x = 0.5347, y = 2.9901 dan z = -5.5050