Post on 17-Feb-2015
MODUL 5
IDENTIFIKASI MODEL
1. Pengantar
Pada modul sebelumnya telah kita pelajari dasar-dasar teori untuk
kelas model yang sangat fleksibel, baik untuk time series yang stasioner
ataupun nonstasioner yang homogen. Dalam modul ini kita akan
mempelajari bagaimana menentukan model yang sesuai untuk suatu data
time series yang kita punyai.
Pertama-tama kita akan mempelajari bagaimana menentukan
model yang sesuai untuk data time series yang stasioner . Kita hitung
ACF dan PACFnya, dan dengan grafik ACF dan PACF ini akan kita
identifikasi model ARMA(p,q) yang kita perkirakan sesuai. Dalam hal ini
caranya adalah dengan membandingkan grafik ACF dan PACF taksiran
dengan ACF dan PACF teoritik, yang telah kita pelajari pada modul 3.
Setelah itu, kita akan mempelajari menentukan model yang sesuai
untuk data time seris nonstasioner yang homogen. Langkah pertama
adalah bagaimana menstasionerkan time series itu, berapa derajat selisih
(difference) yang harus diambil sampai diperoleh time series yang
stasioner, noasikan dengan . Selanjutnya ini kita perlakukan seperti
time series stasioner . Model linier time series nonstasioner yang
homogen dikenal dengan nama ARIMA(p,d,q).
2. Tujuan Instruksional Umum
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat
memahami cara melakukan identifikasi pada model ARMA (untuk data
time series stasioner) dan pada model ARIMA (untuk yang nonstasioner).
– 84 –
– 85 –
3. Tujuan Instruksional Khusus
Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat :
a. melakukan identifikasi model ARMA berdasarkan bentuk grafik ACF
dan PACF taksiran, serta menghitung estimasi awal dari parameter-
parameternya,
b. melakukan identifikasi model ARIMA pada data time series
nonstasioner yang homogen, berdasarkan grafik ACF dan PACF
taksiran, dan menghitung estimasi awal dari parameter-parameternya,
4. Kegiatan Belajar
Modul 5 ini meliputi dua kegiatan belajar yang berisi tentang uraian
identifikasi model ARMA, dan uraian identifikasi model ARIMA untuk data
time series yang tidak stasioner.
4.1. Kegiatan Belajar 1
IDENTIFIKASI MODEL ARMA
Untuk mengilustrasikan identifikasi model pada time series yang
stasioner, kita perhatikan lagi model ARMA(p,q) secara umum adalah
. (5.1)
Jika diketahui suatu data time series yang telah stasioner, langkah-
langkah berikut merupakan tahapan yang bermanfaat untuk melakukan
identifikasi model dugaan sementara yang sesuai.
Tahap 1. Plot data time series
Pada setiap analisis time series, tahap pertama yang harus
dilakukan adalah membuat plot data. Melalui plot data dapat diketahui
– 86 –
apakah data mengandung trend, musiman, outlier, variansi tidak konstan,
atau fenomena nonnormal dan nonstasioner yang lain. Dalam kasus data
time series yang stasioner, maka fenomena-fenomena ini tidak akan
ditemukan. Setelah data sudah diketahui stasioner maka dilanjutkan ke
tahap ke 2 berikut.
Tahap 2. Menghitung dan mencocokkan sampel ACF dan PACF dengan
bentuk-bentuk teoritiknya
Sampel ACF dan PACF yang telah dihitung dengan menggunakan
rumus seperti pada modul 2, selanjutnya digunakan untuk mengidentifi-
kasi tingkat p (tingkat autoregresif tertinggi) dan q (tingkat moving average
tertinggi). Tabel 5.1 berikut adalah tabel yang secara umum dapat
digunakan untuk mengidentifikasi tingkat p dan q dari suatu data time
series berdasarkan bentuk ACF dan PACF taksirannya.
Tabel 5.1. Pola teoritik ACF dan PACF dari proses yang stasioner
Proses ACF PACF
AR(p)Dies down (turun cepat secara eksponensial / sinusoidal)
Cuts off after lag p (terputus setelah lag p)
MA(q) Cuts off after lag q (terputus setelah lag q)
Dies down (turun cepat secara eksponensial / sinusoidal)
ARMA(p,q) Dies down after lag (q-p) (turun cepat setelah lag (q-p))
Dies downafter lag (p-q) (turun cepat setelah lag (p-q))
– 87 –
Untuk time series yang bukan musiman, biasanya 20 nilai dan yang
pertama sudah cukup untuk mengidentifikasi model dugaan sementara
yang sesuai. Jika ada alasan yang cukup untuk menduga bahwa
, maka setiap model harus ditulis dengan . Jadi seringkali juga
kita perlukan uji hipotesis bahwa , dengan membandingkan
dengan yang tergantung pada prosesnya.
Contoh 5.1.
Series A adalah data harian penjualan suatu produk selama 149
hari pengamatan. Plot data, bentuk sampel ACF dan PACFnya di-
tampilkan pada gambar 5.1. Lakukan identifikasi untuk menduga model
yang sesuai untuk series A.
Jawab :
Gambar 6.1 menunjukkan bahwa pola data sudah relatif stasioner
yang menunjukkan tidak adanya trend. Bentuk grafik sampel ACF menun-
jukkan pola yang turun cepat secara eksponensial, dan grafik sampel
PACF menunjukkan pola yang terputus setelah lag 1. Bentuk sampel ACF
dan PACF ini menyerupai bentuk teoritik dari proses AR(1), seperti dapat
dilihat pada tabel 5.1 untuk p=1, sehingga dugaan yang sesuai untuk data
series A adalah AR(1), yaitu
. (5.2)
– 88 –
Time
145
137
129
121
113
105
97
89
81
73
65
57
49
41
33
25
17
9
1
Se
rie
s A
1060
1040
1020
1000
980
960
940
Gambar 5.1. Plot data, sampel ACF dan PACF dari Series A
2015105
1.00.80.60.40.2
0.0-0.2-0.4-0.6
-0.8-1.0
Aut
oco
rrela
tion
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
254.84
244.97
235.99
229.62
225.66
223.55
221.30
218.42
214.05
208.22
201.99
195.69
191.25
189.13
188.93
188.39
184.47
169.61
136.57
85.37
-1.43
-1.38
-1.18
-0.94
-0.69
-0.72
-0.82
-1.02
-1.19
-1.25
-1.28
-1.08
-0.76
-0.24
0.38
1.05
2.11
3.38
4.85
9.15
-0.24
-0.23
-0.19
-0.15
-0.11
-0.12
-0.13
-0.16
-0.19
-0.20
-0.20
-0.17
-0.12
-0.04
0.06
0.16
0.31
0.46
0.58
0.75
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Autocorrelation Function for Series A
2015105
1.00.80.60.40.2
0.0-0.2-0.4-0.6
-0.8-1.0
Partia
l Aut
oco
rrela
tion
TPACLagTPACLagTPACLag
-0.07
-0.96
-1.10
-1.83
-0.64
-0.53
-0.07
0.15
-0.23
0.26
-0.34
-0.43
-0.58
-0.78
-0.30
-1.39
-1.64
0.49
0.47
9.15
-0.01
-0.08
-0.09
-0.15
-0.05
-0.04
-0.01
0.01
-0.02
0.02
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
-0.02
-0.11
-0.13
0.04
0.04
0.75
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Partial Autocorrelation Function for Series A
– 89 –
4.2. Kegiatan Belajar 2
IDENTIFIKASI MODEL ARIMA
Pada dasarnya identifikasi model ARIMA adalah sama dengan
identifikasi pada model ARMA. Perbedaan mendasar terletak pada tahap
1 dimana dari plot data time seriesnya menunjukkan data tidak stasioner,
sehingga perlu dilakukan transformasi (jika variansi tidak konstan) dan
difference (jika mean tidak konstan dan series homogen) terlebih dulu.
Untuk mengilustrasikannya, kita perhatikan lagi model ARIMA(p,d,q) yaitu
. (5.3)
Berikut ini adalah tahapan yang bermanfaat untuk melakukan identifikasi
model dugaan sementara yang sesuai dari time series yang nonstasioner.
Tahap 1. Plot data time series
Melalui plot data dapat diketahui apakah data mengandung trend,
musiman, outlier, variansi tidak konstan, atau fenomena nonnormal dan
nonstasioner yang lain. Dalam kasus data time series yang tidak
stasioner, transformasi untuk menstabilkan varians (Box-Cox power
transformation) dan differencing merupakan bentuk transformasi yang
paling banyak digunakan untuk menstasionerkan data. Sebagai catatan,
jika data tidak stasioner dalam varians dan mean, maka langkah pertama
yang dilakukan terlebih dulu adalah menstabilkan variansinya.
Tahap 2. Menghitung dan mencocokkan sampel ACF dan PACF dari data
time series yang asli
Sampel ACF dan PACF dari data time series yang asli dapat
digunakan untuk penentuan tingkat differencing yang sebaiknya
digunakan. Sebagai petunjuk umum, jika sampel ACF turun sangat
– 90 –
lambat dan sampel PACF terputus setelah lag 1, hal ini mengindikasikan
bahwa differencing diperlukan. Selain itu dapat pula digunakan uji yang
dikenalkan oleh Dickey-Fuller (1979).
Tahap 3. Menghitung dan mencocokkan sampel ACF dan PACF dari data
time series yang telah ditransformasi dan didifferencing dengan
tingkat yang tepat
Sampel ACF dan PACF dari data time series yang telah di-
stasionerkan baik melalui transformasi dan/atau differencing, selanjutnya
dapat digunakan untuk mengidentifikasi tingkat p (tingkat autoregresif
tertinggi) dan q (tingkat moving average tertinggi). Seperti pada identifikasi
model ARMA, tabel 6.1 adalah tabel yang secara umum dapat digunakan
untuk mengidentifikasi tingkat p dan q dari suatu data time series
berdasarkan bentuk ACF dan PACF taksirannya.
Contoh 5.2.
Series B adalah data penjualan harian suatu produk kebutuhan
pokok selama 276 hari pengamatan di suatu tempat perbelanjaan. Plot
data, bentuk sampel ACF dan PACF dari data asli ditampilkan pada
gambar 5.2. Sedangkan plot data, bentuk sampel ACF dan PACF dari
data setelah didifferencing tingkat 1 dapat dilihat pada gambar 5.3.
Lakukan identifikasi untuk menduga model yang sesuai untuk series B.
Jawab :
Gambar 5.2 menunjukkan bahwa pola data tidak stasioner, karena
data menunjukkan adanya trend. Bentuk grafik sampel ACF menunjukkan
pola yang turun sangat lambat dan bernilai disekitar angka 1. Pola ACF ini
– 91 –
penurunannya lebih menyerupai garis lurus. Sedangkan grafik PACF
menunjukkan pola yang terputus setelah lag 3. Dalam hal ini, dugaan
model tidak dapat dilakukan karena data belum stasioner.
Langkah selanjutnya adalah melihat plot data time series hasil
proses differencing tingkat 1. Dari gambar 6.3 dapat dilihat bahwa data
sudah stasioner setelah melalui differencing tingkat 1, atau seringkali
dinotasikan . Sampel ACF dari data menunjukkan pola yang
terputus setelah lag 1, sedangkan sampel PACFnya menunjukkan pola
yang turun cepat seiring bertambahnya lag pengamatan. Dengan
mencocokkan bentuk teoritik ACF dan PACF seperti pada tabel 5.1 dapat
diduga bahwa model yang sesuai untuk adalah MA(1). Sehingga,
model yang sesuai untuk data series B ini diduga adalah model IMA(1,1)
yaitu
. (5.4)
– 92 –
Date
267
253
239
225
211
197
183
169
155
141
127
113
99
85
71
57
43
29
15
1
Se
rie
s B
600
500
400
300
200
100
0
Gambar 5.2. Plot data, sampel ACF dan PACF dari Series B
2015105
1.00.80.60.40.2
0.0-0.2-0.4-0.6
-0.8-1.0
Aut
oco
rrela
tion
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
3616.70
3474.45
3328.95
3176.08
3026.99
2872.12
2712.89
2551.69
2385.97
2213.45
2039.88
1859.87
1677.12
1486.99
1292.76
1088.81
879.92
668.76
448.28
225.84
2.28
2.36
2.48
2.50
2.62
2.73
2.83
2.97
3.14
3.28
3.49
3.69
3.98
4.30
4.76
5.29
5.98
7.17
9.15
14.95
0.69
0.70
0.72
0.71
0.72
0.74
0.74
0.75
0.77
0.77
0.79
0.80
0.81
0.83
0.85
0.86
0.87
0.89
0.89
0.90
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Autocorrelation Function for Series B
2015105
1.00.80.60.40.2
0.0-0.2-0.4-0.6
-0.8-1.0
Part
ial A
utoco
rrela
tion
TPACLagTPACLagTPACLag
-0.30
-0.34
1.74
-0.56
0.11
0.44
-0.10
-0.26
1.09
-0.20
0.62
-0.52
-0.11
-0.80
0.71
1.48
1.29
4.47
7.13
14.95
-0.02
-0.02
0.10
-0.03
0.01
0.03
-0.01
-0.02
0.07
-0.01
0.04
-0.03
-0.01
-0.05
0.04
0.09
0.08
0.27
0.43
0.90
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Partial Autocorrelation Function for Series B
– 93 –
Transforms: difference (1)
Date
267
253
239
225
211
197
183
169
155
141
127
113
99
85
71
57
43
29
15
Se
rie
s B
300
200
100
0
-100
-200
Gambar 5.3. Plot data, sampel ACF dan PACF dari Series B
setelah didifferencing tingkat 1
2015105
1.00.80.60.40.2
0.0-0.2-0.4-0.6
-0.8-1.0
Aut
oco
rrela
tion
LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag
84.87
84.84
84.22
80.40
77.06
76.88
76.51
76.04
75.91
74.81
73.10
72.38
71.55
70.73
69.50
69.21
68.37
66.34
64.79
64.77
0.14
-0.60
1.50
-1.42
0.33
0.47
-0.54
-0.28
0.82
-1.03
0.67
-0.73
0.73
-0.89
0.43
0.74
-1.16
1.02
-0.13
-8.00
0.01
-0.05
0.11
-0.11
0.02
0.04
-0.04
-0.02
0.06
-0.08
0.05
-0.05
0.05
-0.07
0.03
0.05
-0.08
0.07
-0.01
-0.48
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Autocorrelation Function for Wt
2015105
1.00.80.60.40.2
0.0-0.2-0.4-0.6
-0.8-1.0
Partia
l Aut
oco
rrela
tion
TPACLagTPACLagTPACLag
0.29
-0.02
-0.12
-1.69
0.29
-0.81
-1.18
-0.45
-0.32
-1.42
0.37
-0.62
0.36
-0.35
0.42
-1.05
-2.38
-2.03
-5.24
-8.00
0.02
-0.00
-0.01
-0.10
0.02
-0.05
-0.07
-0.03
-0.02
-0.09
0.02
-0.04
0.02
-0.02
0.03
-0.06
-0.14
-0.12
-0.32
-0.48
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Partial Autocorrelation Function for Wt