MODUL 5

IDENTIFIKASI MODEL

1. Pengantar

Pada modul sebelumnya telah kita pelajari dasar-dasar teori untuk

kelas model yang sangat fleksibel, baik untuk time series yang stasioner

ataupun nonstasioner yang homogen. Dalam modul ini kita akan

mempelajari bagaimana menentukan model yang sesuai untuk suatu data

time series yang kita punyai.

Pertama-tama kita akan mempelajari bagaimana menentukan

model yang sesuai untuk data time series yang stasioner . Kita hitung

ACF dan PACFnya, dan dengan grafik ACF dan PACF ini akan kita

identifikasi model ARMA(p,q) yang kita perkirakan sesuai. Dalam hal ini

caranya adalah dengan membandingkan grafik ACF dan PACF taksiran

dengan ACF dan PACF teoritik, yang telah kita pelajari pada modul 3.

Setelah itu, kita akan mempelajari menentukan model yang sesuai

untuk data time seris nonstasioner yang homogen. Langkah pertama

adalah bagaimana menstasionerkan time series itu, berapa derajat selisih

(difference) yang harus diambil sampai diperoleh time series yang

stasioner, noasikan dengan . Selanjutnya ini kita perlakukan seperti

time series stasioner . Model linier time series nonstasioner yang

homogen dikenal dengan nama ARIMA(p,d,q).

2. Tujuan Instruksional Umum

Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat

memahami cara melakukan identifikasi pada model ARMA (untuk data

time series stasioner) dan pada model ARIMA (untuk yang nonstasioner).

– 84 –

– 85 –

3. Tujuan Instruksional Khusus

Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat :

a. melakukan identifikasi model ARMA berdasarkan bentuk grafik ACF

dan PACF taksiran, serta menghitung estimasi awal dari parameter-

parameternya,

b. melakukan identifikasi model ARIMA pada data time series

nonstasioner yang homogen, berdasarkan grafik ACF dan PACF

taksiran, dan menghitung estimasi awal dari parameter-parameternya,

4. Kegiatan Belajar

Modul 5 ini meliputi dua kegiatan belajar yang berisi tentang uraian

identifikasi model ARMA, dan uraian identifikasi model ARIMA untuk data

time series yang tidak stasioner.

4.1. Kegiatan Belajar 1

IDENTIFIKASI MODEL ARMA

Untuk mengilustrasikan identifikasi model pada time series yang

stasioner, kita perhatikan lagi model ARMA(p,q) secara umum adalah

. (5.1)

Jika diketahui suatu data time series yang telah stasioner, langkah-

langkah berikut merupakan tahapan yang bermanfaat untuk melakukan

identifikasi model dugaan sementara yang sesuai.

Tahap 1. Plot data time series

Pada setiap analisis time series, tahap pertama yang harus

dilakukan adalah membuat plot data. Melalui plot data dapat diketahui

– 86 –

apakah data mengandung trend, musiman, outlier, variansi tidak konstan,

atau fenomena nonnormal dan nonstasioner yang lain. Dalam kasus data

time series yang stasioner, maka fenomena-fenomena ini tidak akan

ditemukan. Setelah data sudah diketahui stasioner maka dilanjutkan ke

tahap ke 2 berikut.

Tahap 2. Menghitung dan mencocokkan sampel ACF dan PACF dengan

bentuk-bentuk teoritiknya

Sampel ACF dan PACF yang telah dihitung dengan menggunakan

rumus seperti pada modul 2, selanjutnya digunakan untuk mengidentifi-

kasi tingkat p (tingkat autoregresif tertinggi) dan q (tingkat moving average

tertinggi). Tabel 5.1 berikut adalah tabel yang secara umum dapat

digunakan untuk mengidentifikasi tingkat p dan q dari suatu data time

series berdasarkan bentuk ACF dan PACF taksirannya.

Tabel 5.1. Pola teoritik ACF dan PACF dari proses yang stasioner

Proses ACF PACF

AR(p)Dies down (turun cepat secara eksponensial / sinusoidal)

Cuts off after lag p (terputus setelah lag p)

MA(q) Cuts off after lag q (terputus setelah lag q)

Dies down (turun cepat secara eksponensial / sinusoidal)

ARMA(p,q) Dies down after lag (q-p) (turun cepat setelah lag (q-p))

Dies downafter lag (p-q) (turun cepat setelah lag (p-q))

– 87 –

Untuk time series yang bukan musiman, biasanya 20 nilai dan yang

pertama sudah cukup untuk mengidentifikasi model dugaan sementara

yang sesuai. Jika ada alasan yang cukup untuk menduga bahwa

, maka setiap model harus ditulis dengan . Jadi seringkali juga

kita perlukan uji hipotesis bahwa , dengan membandingkan

dengan yang tergantung pada prosesnya.

Contoh 5.1.

Series A adalah data harian penjualan suatu produk selama 149

hari pengamatan. Plot data, bentuk sampel ACF dan PACFnya di-

tampilkan pada gambar 5.1. Lakukan identifikasi untuk menduga model

yang sesuai untuk series A.

Jawab :

Gambar 6.1 menunjukkan bahwa pola data sudah relatif stasioner

yang menunjukkan tidak adanya trend. Bentuk grafik sampel ACF menun-

jukkan pola yang turun cepat secara eksponensial, dan grafik sampel

PACF menunjukkan pola yang terputus setelah lag 1. Bentuk sampel ACF

dan PACF ini menyerupai bentuk teoritik dari proses AR(1), seperti dapat

dilihat pada tabel 5.1 untuk p=1, sehingga dugaan yang sesuai untuk data

series A adalah AR(1), yaitu

. (5.2)

– 88 –

Time

145

137

129

121

113

105

97

89

81

73

65

57

49

41

33

25

17

9

1

Se

rie

s A

1060

1040

1020

1000

980

960

940

Gambar 5.1. Plot data, sampel ACF dan PACF dari Series A

2015105

1.00.80.60.40.2

0.0-0.2-0.4-0.6

-0.8-1.0

Aut

oco

rrela

tion

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

254.84

244.97

235.99

229.62

225.66

223.55

221.30

218.42

214.05

208.22

201.99

195.69

191.25

189.13

188.93

188.39

184.47

169.61

136.57

85.37

-1.43

-1.38

-1.18

-0.94

-0.69

-0.72

-0.82

-1.02

-1.19

-1.25

-1.28

-1.08

-0.76

-0.24

0.38

1.05

2.11

3.38

4.85

9.15

-0.24

-0.23

-0.19

-0.15

-0.11

-0.12

-0.13

-0.16

-0.19

-0.20

-0.20

-0.17

-0.12

-0.04

0.06

0.16

0.31

0.46

0.58

0.75

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Autocorrelation Function for Series A

2015105

1.00.80.60.40.2

0.0-0.2-0.4-0.6

-0.8-1.0

Partia

l Aut

oco

rrela

tion

TPACLagTPACLagTPACLag

-0.07

-0.96

-1.10

-1.83

-0.64

-0.53

-0.07

0.15

-0.23

0.26

-0.34

-0.43

-0.58

-0.78

-0.30

-1.39

-1.64

0.49

0.47

9.15

-0.01

-0.08

-0.09

-0.15

-0.05

-0.04

-0.01

0.01

-0.02

0.02

-0.03

-0.04

-0.05

-0.06

-0.02

-0.11

-0.13

0.04

0.04

0.75

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Partial Autocorrelation Function for Series A

– 89 –

4.2. Kegiatan Belajar 2

IDENTIFIKASI MODEL ARIMA

Pada dasarnya identifikasi model ARIMA adalah sama dengan

identifikasi pada model ARMA. Perbedaan mendasar terletak pada tahap

1 dimana dari plot data time seriesnya menunjukkan data tidak stasioner,

sehingga perlu dilakukan transformasi (jika variansi tidak konstan) dan

difference (jika mean tidak konstan dan series homogen) terlebih dulu.

Untuk mengilustrasikannya, kita perhatikan lagi model ARIMA(p,d,q) yaitu

. (5.3)

Berikut ini adalah tahapan yang bermanfaat untuk melakukan identifikasi

model dugaan sementara yang sesuai dari time series yang nonstasioner.

Tahap 1. Plot data time series

Melalui plot data dapat diketahui apakah data mengandung trend,

musiman, outlier, variansi tidak konstan, atau fenomena nonnormal dan

nonstasioner yang lain. Dalam kasus data time series yang tidak

stasioner, transformasi untuk menstabilkan varians (Box-Cox power

transformation) dan differencing merupakan bentuk transformasi yang

paling banyak digunakan untuk menstasionerkan data. Sebagai catatan,

jika data tidak stasioner dalam varians dan mean, maka langkah pertama

yang dilakukan terlebih dulu adalah menstabilkan variansinya.

Tahap 2. Menghitung dan mencocokkan sampel ACF dan PACF dari data

time series yang asli

Sampel ACF dan PACF dari data time series yang asli dapat

digunakan untuk penentuan tingkat differencing yang sebaiknya

digunakan. Sebagai petunjuk umum, jika sampel ACF turun sangat

– 90 –

lambat dan sampel PACF terputus setelah lag 1, hal ini mengindikasikan

bahwa differencing diperlukan. Selain itu dapat pula digunakan uji yang

dikenalkan oleh Dickey-Fuller (1979).

Tahap 3. Menghitung dan mencocokkan sampel ACF dan PACF dari data

time series yang telah ditransformasi dan didifferencing dengan

tingkat yang tepat

Sampel ACF dan PACF dari data time series yang telah di-

stasionerkan baik melalui transformasi dan/atau differencing, selanjutnya

dapat digunakan untuk mengidentifikasi tingkat p (tingkat autoregresif

tertinggi) dan q (tingkat moving average tertinggi). Seperti pada identifikasi

model ARMA, tabel 6.1 adalah tabel yang secara umum dapat digunakan

untuk mengidentifikasi tingkat p dan q dari suatu data time series

berdasarkan bentuk ACF dan PACF taksirannya.

Contoh 5.2.

Series B adalah data penjualan harian suatu produk kebutuhan

pokok selama 276 hari pengamatan di suatu tempat perbelanjaan. Plot

data, bentuk sampel ACF dan PACF dari data asli ditampilkan pada

gambar 5.2. Sedangkan plot data, bentuk sampel ACF dan PACF dari

data setelah didifferencing tingkat 1 dapat dilihat pada gambar 5.3.

Lakukan identifikasi untuk menduga model yang sesuai untuk series B.

Jawab :

Gambar 5.2 menunjukkan bahwa pola data tidak stasioner, karena

data menunjukkan adanya trend. Bentuk grafik sampel ACF menunjukkan

pola yang turun sangat lambat dan bernilai disekitar angka 1. Pola ACF ini

– 91 –

penurunannya lebih menyerupai garis lurus. Sedangkan grafik PACF

menunjukkan pola yang terputus setelah lag 3. Dalam hal ini, dugaan

model tidak dapat dilakukan karena data belum stasioner.

Langkah selanjutnya adalah melihat plot data time series hasil

proses differencing tingkat 1. Dari gambar 6.3 dapat dilihat bahwa data

sudah stasioner setelah melalui differencing tingkat 1, atau seringkali

dinotasikan . Sampel ACF dari data menunjukkan pola yang

terputus setelah lag 1, sedangkan sampel PACFnya menunjukkan pola

yang turun cepat seiring bertambahnya lag pengamatan. Dengan

mencocokkan bentuk teoritik ACF dan PACF seperti pada tabel 5.1 dapat

diduga bahwa model yang sesuai untuk adalah MA(1). Sehingga,

model yang sesuai untuk data series B ini diduga adalah model IMA(1,1)

yaitu

. (5.4)

– 92 –

Date

267

253

239

225

211

197

183

169

155

141

127

113

99

85

71

57

43

29

15

1

Se

rie

s B

600

500

400

300

200

100

0

Gambar 5.2. Plot data, sampel ACF dan PACF dari Series B

2015105

1.00.80.60.40.2

0.0-0.2-0.4-0.6

-0.8-1.0

Aut

oco

rrela

tion

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

3616.70

3474.45

3328.95

3176.08

3026.99

2872.12

2712.89

2551.69

2385.97

2213.45

2039.88

1859.87

1677.12

1486.99

1292.76

1088.81

879.92

668.76

448.28

225.84

2.28

2.36

2.48

2.50

2.62

2.73

2.83

2.97

3.14

3.28

3.49

3.69

3.98

4.30

4.76

5.29

5.98

7.17

9.15

14.95

0.69

0.70

0.72

0.71

0.72

0.74

0.74

0.75

0.77

0.77

0.79

0.80

0.81

0.83

0.85

0.86

0.87

0.89

0.89

0.90

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Autocorrelation Function for Series B

2015105

1.00.80.60.40.2

0.0-0.2-0.4-0.6

-0.8-1.0

Part

ial A

utoco

rrela

tion

TPACLagTPACLagTPACLag

-0.30

-0.34

1.74

-0.56

0.11

0.44

-0.10

-0.26

1.09

-0.20

0.62

-0.52

-0.11

-0.80

0.71

1.48

1.29

4.47

7.13

14.95

-0.02

-0.02

0.10

-0.03

0.01

0.03

-0.01

-0.02

0.07

-0.01

0.04

-0.03

-0.01

-0.05

0.04

0.09

0.08

0.27

0.43

0.90

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Partial Autocorrelation Function for Series B

– 93 –

Transforms: difference (1)

Date

267

253

239

225

211

197

183

169

155

141

127

113

99

85

71

57

43

29

15

Se

rie

s B

300

200

100

0

-100

-200

Gambar 5.3. Plot data, sampel ACF dan PACF dari Series B

setelah didifferencing tingkat 1

2015105

1.00.80.60.40.2

0.0-0.2-0.4-0.6

-0.8-1.0

Aut

oco

rrela

tion

LBQTCorrLagLBQTCorrLagLBQTCorrLag

84.87

84.84

84.22

80.40

77.06

76.88

76.51

76.04

75.91

74.81

73.10

72.38

71.55

70.73

69.50

69.21

68.37

66.34

64.79

64.77

0.14

-0.60

1.50

-1.42

0.33

0.47

-0.54

-0.28

0.82

-1.03

0.67

-0.73

0.73

-0.89

0.43

0.74

-1.16

1.02

-0.13

-8.00

0.01

-0.05

0.11

-0.11

0.02

0.04

-0.04

-0.02

0.06

-0.08

0.05

-0.05

0.05

-0.07

0.03

0.05

-0.08

0.07

-0.01

-0.48

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Autocorrelation Function for Wt

2015105

1.00.80.60.40.2

0.0-0.2-0.4-0.6

-0.8-1.0

Partia

l Aut

oco

rrela

tion

TPACLagTPACLagTPACLag

0.29

-0.02

-0.12

-1.69

0.29

-0.81

-1.18

-0.45

-0.32

-1.42

0.37

-0.62

0.36

-0.35

0.42

-1.05

-2.38

-2.03

-5.24

-8.00

0.02

-0.00

-0.01

-0.10

0.02

-0.05

-0.07

-0.03

-0.02

-0.09

0.02

-0.04

0.02

-0.02

0.03

-0.06

-0.14

-0.12

-0.32

-0.48

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Partial Autocorrelation Function for Wt