OLEH :

MUHAMMAD RAHMAWAN

DANANG WAHYU P

LUTFI ADITYA R

LIAWENING VIDYAN P

ABDUL AZIS A

METODE INVERS

OUTLINE

INTRODUCTION

LINEAR INVERSE PROBLEM

Magnetization of a Layer

Determination of

Magnetization Direction

NON LINEAR INVERSE PROBLEM

Shape of Source

Depth to Source

Ideal Bodies

PROBLEM SET

Metode Inversi

Tujuan metode inversi adalah menentukan parameter dari pengamatan atau, untuk menghadapi batasan pengukuran aktual, untuk menemukan kemungkinan tentangnya.

10.1 INTRODUCTIONDanang

10.1 INTRODUCTION

Pada bab 9 kita telah terbiasa dengan hubungan integral antara medan potensial dan penyebab sumbernya. Suatu contoh diberikan selanjutnya, dimana tiap bentuk R merupakan volume yang ditempati sumber. P merupakan titik pengamatan pada (x,y,z) dan selalu diluar R, Q adalah titik integrasi (x’,y’,z’) dalam R, dan r merupakan arah vektor dari Q ke P.

10.1 INTRODUCTION

Pada persamaan diatas ρ(Q) dan M(Q) adalah density dan magnetisasi. Unit fektor F merupakan arah dari medan magnet, dan unit fektor k adalah arah vertikal.

10.1 INTRODUCTION

Kita mungkin menspesifikasi arah dari magnetisasi dalam beberapa situsasi. Ini kadang diasumsikan, contih, magnetisasi seluruhnya diinduksikan oleh medan disekitarnya. Lalu magnetisasi akan hampir tidak berarah (undirectional ) jika sucepbilitas adalah isotropik dan survei magnetik tidak terlalu besar. Pada kasus tersebut, kita dapat membiarkan M(Q)=M(Q)Ḿ pada persamaan 10.2 dan 10.3 dan memindahkan unit vektor dalam kondisi pengurungan. Lalu tiga persamaan, 10.1 hingga 10.3 memiliki bentuk umum sebagai berikut

10.1 INTRODUCTION

Dimana f(P) adalah medan potensial pada P, s(Q) kuantitas fisik (density atau magnetisasi) pada Q, dan ψ(P,Q) merupakan fungsi yang bergantung pada penempatan geometri dari titik pengamatan P dan sumber Q. Persamaan diatas dikenal sebagai persamaan Fredgolm bentuk satu

10.1 INTRODUCTION

Pada metode inversi, akan memasukkan pengukuran f(P) secara langsung pada sisi kiri persamaan 10.5 dan menyelesaikan beberapa aspek dari s(Q) atau R. Penghitungan dari s(Q) dikenal sebagai linear inverse problem, sedangkan penghitungan sifat dari R merupakan nonlinear inverse problem

10.2 LINEAR INVERSE PROBLEM

Dari persamaan 10.5 medan magnetik atau gravitasi secara linear bergantung pada magnetisasi atau densiti dan penentuan magnetisasi dan densiti dari medan magnetik dan gravitasi merupakan linear inverse problem

10.2.1 MAGNETIZATION OF LAYER

Percobaan pertama untuk memodelkan magnetisasi dari kerak samudra dengan metode inversi dimotivasi oleh ketertarikan pemekaran lantai samudra dan bagaimana proses dinamik merekam sifat medan geomagnetik

10.2.1 MAGNETIZATION OF LAYER

Magnetisasi diasumsikan 2 dimensi, model awal mencakum baris kolom poligonal, diatur sehingga atas kolom bersesuaian dengan puncak lapisan magnetik.

10.2.1 MAGNETIZATION OF LAYER

Total medan anomali pada titik i diberikan oleh

Dimana Mj adalah intensitas magnetisasi kolom j

Ψij adalah total medan anomali pada titik i karena kolom j

10.2.1 MAGNETIZATION OF LAYER

10.2.1 MAGNETIZATION OF LAYER

Pada gambar 10.2 mereka membiarkan ΔTi=0 dimanapun kecuali pada titik tunggal, dimana Δti=1nT, dan digunakan persamaan 10.7 untuk menyelesaikan magnetisasi. Secara jelas, solusi realistik untuk Mj mengakibatkan anomali spesial ini seharusnya mendekati 0 untuk seluruh j. Malah sebagai gantinya mereka menemukan solusi magnetisasi yang bervariasi secara tidak realistik (gambar 10.2) dan jumlah dari variasi bergantung pada kedalaman layer dan lebar kolom (gambar 10.3).

10.2.1 MAGNETIZATION OF LAYER

Alasan untuk ketidakstabilan dapat dilihat dari hubungan aljabar sederhana. Tulis

persamaan 10.7 dalam notasi matrik

10.2.1 MAGNETIZATION OF LAYER

Tiap kolom matrik ψij merepresentasikan anomali medan total sepanjang penampang sekitar sel tunggal, namakan, sel j. Jika lebar sel relatif kecil terhadap kedalaman, kemudian penampang sekitar sel j akan sama terhadap penampang sekitar sel j+1 atau sel j-1. dalam kata lain, lebar sel kecil menyebabkan kolum yang dekat dari matrik ψij menjadi sama. Dalam bahasa aljabar matrik, matrik menjadi ill conditioned

10.2.1 MAGNETIZATION OF LAYER

Persamaan 10.8 merupakan ekstensi N-dimensional dari dua persamaan simultan tersebut. Baris dan kolom ψij merupakan variasi fungsi yang halus. Oleh karena itu penghitungan forward dari ΔTi dari Mj merupakan operasi penghalusan (smooting). Terlebih lagi, kedalaman layer relatif terhadap lebar sel,. Jika lebar sel relatif kecil terhadap kedalaman, matrik ψij menjadi ill conditioned, dan perubahan kecil pada ΔTi menyebabkan nilai unrealistik pada penghitungan MJ

10.2.2 DETERMINATION OF MAGNETIC DIRECTIONUNIFORM MAGNETISM

Pada suatu keadaan geologi tertentu, dimungkinkan untuk mengasumsikan suatu benda termagnetisasi seragam sehingga persamaan 10.3 dapat ditulis

10.2.2 DETERMINATION OF MAGNETIC DIRECTION

UNIFORM MAGNETISM

Jika M seragam maka

Dimana Ԑx, Ԑy, Ԑz adalah integral yang melibatkan geometri gunung laut

10.2.2 DETERMINATION OF MAGNETIC DIRECTION

UNIFORM MAGNETISM

Bentuk matriknya adalah

Dimana Ԑij merepresentasikan total medan anomali pada lokasi medan yang beragam

10.2.2 DETERMINATION OF MAGNETIC DIRECTION

Uniform Magnetizat

ionNonuniform Magnetizatio

n

Sebagai tambahan kita dapat mengurangi medan regional F(P) sehingga persamaan 10.9 menjadi

UNIFORM MAGNETIZATION

Untuk mengansumsikan benda yang termagnetisasi seragam maka di perlukan dengan penyelesaian vektor tunggal

Pada dasarnya aplikasi yang terkenal dari metode invers ini digunakan untuk penentuan magnetisasi gunung bawah laut.

Dalam hal ini, pengukuran dilakukan, biasanya di permukaan laut, batimetri dan anomali Total-bidang gunung bawah laut tersebut.

UNIFORM MAGNETIZATION WENING

Secara Kimia dan mineralogi tidak sepenuhnya seragam di seluruh gunung bawah laut karena perubahan Sumber magma selama pembentukan dan karena suhu rendah berikutnya oksidasi dan sirkulasi hidrotermal.

Beberapa studi telah dilakukan untuk memisahkan magnetisasi seragam dengan cara mencari arah magnetisasi seragam.

Dalam setiap studi ini, batas-batas antara seragam magnet bagian dari fitur topografi ditentukan secara subjektif, biasanya dengan pemeriksaan anomali magnetik sisa.

NONUNIFORM MAGNETIZATION

Suatu pendekatan yang berbeda diusulkan oleh Parker et al. [210]. Daripada mengejar satu arah magnetisasi, mereka mencari magnetisasi dengan baik seragam dan komponen tidak seragam sehingga komponen tidak seragam sangat sekecil mungkin. Poin utama mereka dirangkum di sini.

NONUNIFORM MAGNETIZATION

ARAH MAGNETISASISERAGA

M

TIDAK SERAGA

M

NONUNIFORM MAGNETIZATION PERHITUNGAN

ANOMALI MEDAN TOTAL

DISEDERHANAKAN

DIMANA:

i = TITIK PENGAMATAN

M (Q) = VEKTOR POSISI (DIMENSI TAK TERBATAS)

G = GRENN FUNGSION

NONUNIFORM MAGNETIZATION

HILBERT SPACE

UKURAN ELEMEN

PARKER ET AL MAGNETISASI

DALAM DISTRIBUSI SERAGAM DAN TAK

SERAGAM

Matrix Gram

Satuan magnetisasi pada arah ortogonal

Apabila bentuk object telah dispesifikasi dan yang dibutuhkan adalah distribusi rapat massa sebagai fungsi x (untuk persoalan dua dimensi) atau x dan y (untuk persoalan tiga dimensi). Terdapat tiga cara pendekatan yang dapat digunakan dalam penyelesaian persoalan inversi linear.• pendekatan fourier: diperlukan anomaly fourier pada

anomaly gravitasi dan sintesa fourier pada lapusan ekuivalen dari setiap komponen fourier.

• metode konvolusi: penentuan lapisan ekuivalen langsung dari anomaly yang diamati dengan filter yang telah didesain secara khusus.

• metode matrik: penggunaan aljabar linear untuk mensintesa lapisan.

PERSOALAN INVERSI LINEAR

Proses inversi adalah suatu proses pengolahan data lapangan yang melibatkan teknik penyelesaian matematika dan statistik untuk mendapatkan informasi yang berguna mengenai distribusi sifat fisis bawah permukaan.

Di dalam proses inversi, kita melakukan analisis terhadap data lapangan dengan cara melakukan curve fitting (pencocokan kurva) antara model matematika dan data lapangan. Tujuan dari proses inversi adalah untuk mengestimasi parameter fisis batuan yang tidak diketahui sebelumnya (unknown parameter).

10.3 NONLINIER INVERSE PROBLEM

RAHMAWAN

Pendahuluan

Untuk mendefinisikan sumber tidak dapat diselesaikan dengan inversi linier, sehingga diperlukan inversi nonlinier.Parameter sumber ini meliputi: bentuk sumber, kedalaman, dan ketebalanMetode untuk memperkirakan parameter nonlinier disebut metode nonlinierDalam kenyataannya, Metode nonlinier sering menyederhanakan asumsi sehingga dapat membuatnya menjadi linier

10.3 NONLINIER INVERSE PROBLEM

GAMBARAN UMUM

Inversi

Nonlinier

Bentuk sumber

Metode iterasi

Cordell &

HendersonJachens &

Moring

Bott

Tubuh kompak

Linearisasi

nonlinier

Ketebalan

Kedalaman

Linier

…….

10.3 NONLINIER INVERSE PROBLEM

Sangat bergantung model Menggunakan asumsi penyerdehanaan distribusi sumber Kebenaran dari model kalkulasi bergantung pada benar tidaknya asumsi dengan keadaan sumber sebenarnya, ya iyalahContohnya: metode grafiti yang dapat digunakan mencari batuan kompak, dengan menyederhanakan asumsi bahwa massa tidak terdistribusi, akan sangat mudah dalam menentukan bentukan geologinya.

10.3 NONLINIER INVERSE PROBLEM

Bentuk dari Sumber

METODE ITERASI

Anomali dikalkulasikan dari modelDibandingkan dengan anomali

observasiKemudian model disesuaikan hingga diperoleh perbandingan yang sesuai

Ketiga proses ini diulang hingga didapatkan model yang mirip dengan

hasilProses ini menggunakan logika alogaritma dengan kontrol yang

minimal dari modeler

METODE ITERASI DENGAN CARA BOTT

Contohnya dalam mengestimasikan bentuk cross-sectional dari cekungan sedimen

cekungan diasumsikan memanjang dalam satu arah dan memiliki kontras densitas seragam dengan batuan

sekitarnya.

kedalaman tj, inisiasi blok gj.. Dengan j = 1,2,.., N,

sepanjang profil basin dianggap tegak lurus, dan setiap titik lapangan berpusat di atas blok.

Perkiraan ketebalan awal masing-masing blok adalah infinite slab di semua dimensi horisontal.

Dengan persamman graviti didapatkan ketebalan infinite slab

Model penampang melintang dari suatu cekungan sedimen dengan metode Bott. Cekungan diasumsikan memanjang tegak lurus terhadap profil. Cekungan dibagi ke dalam

blok-blok segiempat dengan 1 blok untuk tiap titik medan.

Ketebalan infinite slab berdasarkan pengukuran gravitasi tunggal

Ketiga langkah iterasi ini diulang sampai konvergensi terpenuhi. (menurut modeler)

METODE ITERASI DENGAN CARA BOTT

menggunakan data yang diukur atau diinterpolasi ke kotak persegi panjang

sehingga sumber dapat diselidiki dalam tiga dimensi.

Sumber dimodelkan sebagai sebuah paket dari blok persegi panjang

Satu blok merepresentasikan satu nilai gravitasi, dengan ketebalan tj, j = 1,2, ...,

N, merupakan turunan relatif ke permukaan referensi

METODE ITERASI DENGAN CARA CORDELL DAN HENDERSON

Berbeda dengan dua metode sebelumnya, metode ini menggunakan estimasi bentuk cekungan dengan deposit low-density (dengan mempertimbangkan

kemungkinan basement memiiki nilai densitas yang berbeda)

Metode ini memproses dengan mengelompokkan pengukuran gravity dalam dua komponen:

gb = Komponen yang disebabkan oleh lapisan basement

gd = Komponen akibat variasi densitas

g = nilai gravity setelah dihilangkan medan regional Pemisahan residual gravitasi

METODE ITERASI DENGAN CARA JASCHEN & MORING

Metode

Pemisahan gravitasi residual menjadi dua komponen,

Atas: komponen yang disebabkan oleh variasi densitas dalam basement

Bawah: komponen yang disebabkan oleh cekungan yang terisi.

METODE ITERASI DENGAN CARA JASCHEN & MORING

LINEARIZING THE NONLINEAR

Meskipun medan potensial bergantung pada ketidaklinearan parameter sumber, ketergantungan ini adalah linear terhadap perubahan pada parameter-parameter tersebut

CONTOH

Medan potensial pada prisma polygon dihubungkan dengan koordinat corner polygon dengan cara arc tan dan logaritma. Medan ini adalah fungsi ketidak linearan koordinat poligon. Hubungan ketidak linearan ini dapat diubah menjadi linear dengan mempertimbangkan perubahan kecil parameter.

Approximation of a two dimensional source by an infinitely extended prism with polygonal crosssection. Vectors M and B are projections of magnetization and ambient magnetic field, respectively,onto the x,z plane.

LINEARIZING THE NONLINEAR

Medan potensial prisma poligon dapat dihubungkan dengan koordinat poligon dengan algoritma atau arctangent

Medan gravity atau magnetik dapat diatur dalam prisma poligon dengan menggunakan deret Taylor berdasarkan perubahan posisi koordinat poligon.

Jika perubahan pada koordinat kecil amak deret Taylor dapat disederhanakan dan fungsi perubahan ini menjadi linear.

LINEARIZING THE NONLINEAR

Algoritma digunakan untuk menghitung pengaturan terbaik pada prisma untuk memberikan anomali, dimana bentuk cross-section prisma diubah secara iteratif dengan kuantitas yang kecil dengan teknik least square.

LEAST SQUARE ANALYSIS

Ai menggambarkan pengukuran L yang diskrit pada anomali gravitasi atau magnetik

menggambarkan keadaan yang telah diobservasi dan penghitungan anomali.

DERET TAYLOR PADA DAERAH ANOMALI I

Source region divided into rectangular blocks, where the number of blocks exceeds the number of measurements. As shown here, the source is Considered to be two-dimensional.

Maximum depth to causative sources based on first,s econd,and third derivatives of their anomalies. Profile A(x) represents either a magnetic or gravity anomaly.

ESTIMASI KEDALAMAN OTOMATIS

metodedekonvolu

si

werner

Naudy’s

phillips

Sinyal analitik

Berbagai teknik menganalisis profil digital magnet pada metode sinyal

analitik atau peta untuk

mendapatkan estimasi

kedalaman sumber dalam

identifikasi dari bagian anomali.

DEPTH TO SOURCE

Istilah anomali magnetik telah menjadi lebih jelas daripada sebelumnya karena diakui bahwa medan magnetik bumi memiliki spektrum kontinyu tetapi dengan dua kontributor yang berbeda.Awalnya, istilah ini berarti pola medan yang sangat lokal . Pada definisi modern adalah bagian dari bidang yang berasal dari kerak bumi. Ukuran yang kuat dan fitur yang mudah diamati, umumnya sampai hanya beberapa puluh kilometer. Intensitasnya berkisar dari beberapa ratus hingga beberapa ribu nanotesla, dan sangat bervariasi tergantung pada geologi daerah.

DEPTH TO SOURCE

THREE-DIMENSIONAL GRAVITY ANOMALIES

Dengan ketentuan :

TWO-DIMENSIONAL GRAVITY ANOMALIES

THREE-DIMENSIONAL MAGNETIC ANOMALIES

Magnetisasi

Magnetisasi saat posisi paralel :

TWO-DIMENSIONAL MAGNETIC ANOMALIES

Magnetisasi

Magnetisasi pada posisi paralel :

Setiap persamaan diterapkan secara spesifik. Beberapa pengetahuan adalah bagian penting dari anomali dalam rangka untuk menemukan amplitudo maksimum dan gradien. Lainnya hanya membutuhkan bagian dari anomali. Dalam prakteknya, banyak persamaan kedalaman berlaku mencoba untuk menentukan nilai terkecil untuk kedalaman maksimum.

Sebuah metode estimasi profil-based atau peta berbasis mendalam berdasarkan konsep bahwa medan magnet struktur lokal adalah fungsi homogen sumber koordinat dan karena itu memenuhi persamaan Euler.

Persamaan Euler, dibahas dalam Bagian 6.4 (persamaan 6.19), telah menyebabkan satu metode tersebut. Persamaan Euler

dalam bentuk umum diberikan oleh

Fungsi / yang memenuhi persamaan Euler dikatakan homogen; jikamereka juga memenuhi persamaan Laplace, mereka dapat direpresentasikan dalam koordinat bola sebagai jumlah harmonik permukaan bola. Setiap turunan spasial dari fungsi homogen juga homogen. Sebagai contoh, mengambil derivatif parsial terhadap x dari kedua sisi Euler hasil persamaan

EULER'S EQUATION

Persamaan Euler telah digunakan oleh sejumlah penulis untuk menganalisis kedua anomali magnetik (Thompson [280], Barongo [12], Reid et al. [242]) dan anomali gravitasi (Marson dan Klingele [176]).

Perhatikan, misalnya, total medan anomali atas tubuh yang sederhana, seperti bola atau silinder. Biarkan Δti menjadi titik i dari survei magnetik di atas tubuh yang sederhana, seperti bola atau silinder, dengan titik pengukuran pada (x, y, z), dan pusat tubuh pada (x0,yo,zo) • Substitusikan ke Persamaan 6.19

Dengan asumsi kita memiliki beberapa cara untuk mengukur atau menghitung gradien horizontal dan vertikal dari total lapangan anomali, persamaan ini hanya memiliki empat unsur yang diketahui: xo, yo, zo, dan n, yang tiga pertama menyediakan lokasi body. Kita dapat memperoleh banyak persamaan yang diperlukan dengan menulis persamaan ini untuk berbagai lokasi pengukuran

dan menggunakan kuadrat-metode untuk menselesaikan untuk diketahui. Jika posisi body diketahui, kita dapat memecahkan n dan belajar sesuatu tentang jenis body yang terlibat (Barongo [12]). Jika di sisi lain kita menduga sifat body (misalnya, kita menduga bahwa body adalah berbentuk bulat), kita dapat memilih n tepat dan menemukan posisi body.

teori dekonvolusi adalah membalikan proses konvolusi. Dimana dalam ilmu seismologi data seismik yang didapat

dari hasil perekaman merupakan hasil konvolusi dari wavelet dengan koefisien refleksi (RC). jika dituliskan

dalam persamaan matematika sebagai berikut :

A * B = C (tanda bintang dibaca konvolusi)jika A= [2,3,4,5,6]dan B= [1,2,3,4,5]

A = B * C

DEKONVOLUSI

maka perhitungan nya sbg berikut:

2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 = 2 x 1 = 2

5 4 3 2 1 =(2 x 2)+(3 x 1)=75 4 3 2 1 =(2 x 3)+(3 x 2)+(4 x 1)=16

5 4 3 2 1 =(2 x 4)+(3 x 3)+(4 x 2)+(5 x 1)=305 4 3 2 1 =(2 x 5)+(3 x 4)+(4 x 3)+(5 x 2)+(1 x 6)=50

5 4 3 2 1 =(3 x 5)+(4 x 4)+(5 x 3)+(6 x 2)=585 4 3 2 1 =(4 x 5)+(5 x 4)+(6 x 3)=58

5 4 3 2 1 =(5 x 5)+(6 x 4)=495 4 3 2 1 =(6 x 5)=30

jadi hasil dari C adalah [ 2 7 16 30 50 58 58 49 30 ]

WERNER DEKONVOLUTION

• Profil berbasis metode estimasi kedalaman otomatis berasal dari analisis gelombang S.

• Werner 'anomali magnetik dari bumi seperti lembaran.

• Polinomial mewakili bidang total anomaly atau derivatif nya (gradien horisontal)

• dapat secara simultan diselesaikan untuk memperkirakan kedalaman, dip, lokasi horisontal, dan kerentanan tubuh sumber (lembaran tipis atau antarmuka).

Teknik ini dibahas oleh Werner [291] dan kemudian diimplementasikan dengan cara yang praktis oleh Hartman, Teskey, dan Friedberg [120]. Grup poin berturut-turut diperlakukan sebagai "jendela" meluncur di sepanjang profil. Metode ini mirip dalam beberapa hal untuk dekonvolusi di interpretasi seismik, di mana gelombang seismik diubah menjadi impuls mewakili reflektor individu. Oleh karena itu metode ini disebut Werner dekonvolusi.

DIAGRAM ALUR WERNER

DEKONVOLUSI

Dengan rumus yang di dapatkan

Dimana,

Abdul Aziz Afif

125090707111013

Kelompok Gravitasi dan Magnet Bumi

10.3.3 IDEAL BODY

Parker [205, 206] membahas bagaimana metode penemuan terbesar dan terikat pada daerah rendah

kepadatan maksimum yang konsisten dengan satu set pengukuran gravitasi. 

Jika batas tersebut dapat ditemukan, maka setiap tubuh gelombang yang menghasilkan anomali dan diamati

harus di suatu tempat yang memiliki kontras densitas sama dengan atau lebih besar dari p.

GAMBAR 10.13

memberikan batas bawah terbesar pada kepadatan

maksimum, sumber terletak pada kedalaman tersebut,

termasuk satu sumber diantaranya harus di suatu

tempat yang memiliki kontras densitas setidaknya sama besar dengan yang sesuai

nilai p.

wilayah cekung di atas ini adalah "kurva trade-off" yang mewakili kisaran solusi yang dapat diterima berdasarkan

alasan matematis.

GAMBAR 10.14 DAN 10.15

Huestis dan Ander [131] menggambarkan algoritma Fortran untuk menghitung tubuh dua dimensi yang ideal, dan Ander dan Huestis [4] memberikan untuk

algoritma tran untuk kasus tiga dimensi.

(Gambar 10.14) diduga disebabkan oleh ruang magma di kedalaman mid-kerak (Blackwell et al. [19]). Hipotesis ini dapat diuji (Blakely [24]) dengan menghitung trade-

off kurva untuk berbagai profil di gradien gravitasi (Gambar 10.15).