Post on 16-Jan-2017
Bab 2. LIMIT
2.1. Dua masalah fundamental kalkulus.2.2. Garis Tangen2.3. Konsep Limit2.4. Teorema Limit2.5. Konsep kontinuitas
Dua Masalah Fundamental Kalkulus• Masalah 1 (Masalah Tangen): Diberikan sebuah titik P(x,f(x)) pada kurva y=f(x),
bagaimana menentukan kemiringan garis tangen pada P?
• Masalah 2 (Masalah Luas): Jika f(x) 0 untuk x[a,b], bagaimana
menghitung luas daerah A yaitu suatu bidang yang berada diantara kurva y=f(x) dan sumbu-x sepanjang selang [a,b]?
Grafik f(x)=(x-2)2
2.2. Garis Tangen• Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringan
garis tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapat diaproksimasi dengan kemiringan garis secant antara titik P dan titik Q(a+h, f(a+h)).
• Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x) dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garis tangen kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)):
).0(,)()(
hh
afhafxymPQ
hafhafm
h
)()(lim0
2.3 Konsep Limit
Definisi IntuitifMisalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga:• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg
membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a
adalah L,Lxf
ax
)(lim
Contoh
1. 54
64lim 2
2
2
xxx
x
0.82 8.02
0.800042.001 79996.0999.10.803922.1 7959.09.1
81818.05.2 7778.05.183333.03 75.01
)()(
xfxxfx
64)( 2
2
xx
xxf
• Hitung )(lim0
xfx
0 if10 if1
||)(.2
0 if00 if1
)(.1
xx
xxxf
xx
xf
Hukum2 Limit:
Pecahan) (Hk..0 jikaasalkan )(lim
)(lim
)()(lim4.
Perkalian) (Hk. )](lim)][(lim[)]()([lim.3
n)Penjumlaha Hk.()](lim[)](lim[)]()([lim 2.
maka )(limdan )(lim adaberikut limit Jika
.Konstanta) (Hk. lim .1
MML
xg
xf
xgxf
LMxgxfxgxf
MLxgxfxgxf
MxgLxf
CC
ax
ax
ax
axaxax
axaxax
axax
ax
Komposisi)Limit tusi/ (Hk.Substi).())(lim())((lim
maka )()(limdan )(limMisalkan .6
(Hk.Akar).lim
maka genap, nilaiuntuk 0 jikadan positifbulat bilangan suatu Jika 5.
Lfxgfxgf
LfxfLxg
ax
nan
axax
Lxax
nn
ax
2.4. Teorema2 Limit1. Teorema Limit trigonometri:
2. Hukum Apit: Misalkan f(x) g(x) h(x) untuk semua x disekitar a namun x a, dan
maka
1sinlim0
x
xx
)(lim)(lim xhLxfaxax
Lxgax
)(lim
cos(x) sin(x)/x 1/cos(x)
1)sin(lim maka ,)cos(
1lim1)cos(lim000
x
xx
xxxx
Contoh
.01sinlim Tunjukkan 2
0x
xx
0dan 11sin1,0Untuk 2 xx
x
222 1sin xx
xx
Apit). Prinsipan (menggunak 01sinlim maka
0limdan 0)lim( karena
2
0
2
0
2
0
xx
xx
x
xx
Bukti:
• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)
• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)
• Teorema 2:
jika dan hanya jika
Lxfax
)(lim
Lxfax
)(lim
)(lim)(lim xfLxfaxax
Lxfax
)(lim
Contoh
ada tidak )(lim Maka
. .2)2(lim)(lim ,0Untuk
. .11lim)(lim,0Untuk
.0,20,1
)(
0
00
00
xf
xfx
xfxxx
xf
x
xx
xx
kirilimit
kananlimit
Contoh2 limit
later. discussed - examplesuch for limits sided-one Need
exist.not does )( lim0,1
0,1)( (4)
exist.not does 1 lim (3)
.0|| lim (2)
.211)1( lim (1)
0
20
0
22
1
xfx
xxf
x
x
x
x
x
x
x
.633)3(lim39lim
Jadi
.3untuk , 33
)3)(3(39)(
Tetapi
.erdefinisi tidak t)3(39)( Disini
;39lim (5)
3x
2
3x
2
2
2
3x
xx
x
xxx
xxx
xxf
fx
xxf
xx
• Definisi Limit. Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L R,
ditulis
jika dan hanya jika, untuk > 0, terdapat > 0 sedemikian sehingga jika
0 < |x - a| < maka |f(x) - L| < .
Lxfax
)(lim