Bab 2. LIMIT

2.1. Dua masalah fundamental kalkulus.2.2. Garis Tangen2.3. Konsep Limit2.4. Teorema Limit2.5. Konsep kontinuitas

Dua Masalah Fundamental Kalkulus• Masalah 1 (Masalah Tangen): Diberikan sebuah titik P(x,f(x)) pada kurva y=f(x),

bagaimana menentukan kemiringan garis tangen pada P?

• Masalah 2 (Masalah Luas): Jika f(x) 0 untuk x[a,b], bagaimana

menghitung luas daerah A yaitu suatu bidang yang berada diantara kurva y=f(x) dan sumbu-x sepanjang selang [a,b]?

Grafik f(x)=(x-2)2

2.2. Garis Tangen• Misalkan diberikan suatu fungsi f(x), maka kemiringan

garis tangen L di titik P(a, f(a)) pada kurva y=f(x) dapat diaproksimasi dengan kemiringan garis secant antara titik P dan titik Q(a+h, f(a+h)).

• Bila Q dibuat mendekati P dgn menelusuri kurva y=f(x) dan h menuju 0, maka diperoleh kemiringan garis tangen kurva y=f(x) di titik P(a,f(a)):

).0(,)()(

hh

afhafxymPQ

hafhafm

h

)()(lim0

2.3 Konsep Limit

Definisi IntuitifMisalkan y=f(x) suatu fungsi, a dan L bilangan riil sedemikian hingga:• Bila x dekat a tetapi tidak sama dg a (xa), f(x) dekat ke L• Bila x mendekati a tetapi xa, maka f(x) mendekati L• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg

membuat x cukup dekat a tetapi tdk sama dg a• Maka dapat dikatakan bhw limit f(x) bila x mendekati a

adalah L,Lxf

ax

)(lim

Contoh

1. 54

64lim 2

2

2

xxx

x

0.82 8.02

0.800042.001 79996.0999.10.803922.1 7959.09.1

81818.05.2 7778.05.183333.03 75.01

)()(

xfxxfx

64)( 2

2

xx

xxf

• Hitung )(lim0

xfx

0 if10 if1

||)(.2

0 if00 if1

)(.1

xx

xxxf

xx

xf

Hukum2 Limit:

Pecahan) (Hk..0 jikaasalkan )(lim

)(lim

)()(lim4.

Perkalian) (Hk. )](lim)][(lim[)]()([lim.3

n)Penjumlaha Hk.()](lim[)](lim[)]()([lim 2.

maka )(limdan )(lim adaberikut limit Jika

.Konstanta) (Hk. lim .1

MML

xg

xf

xgxf

LMxgxfxgxf

MLxgxfxgxf

MxgLxf

CC

ax

ax

ax

axaxax

axaxax

axax

ax

Komposisi)Limit tusi/ (Hk.Substi).())(lim())((lim

maka )()(limdan )(limMisalkan .6

(Hk.Akar).lim

maka genap, nilaiuntuk 0 jikadan positifbulat bilangan suatu Jika 5.

Lfxgfxgf

LfxfLxg

ax

nan

axax

Lxax

nn

ax

2.4. Teorema2 Limit1. Teorema Limit trigonometri:

2. Hukum Apit: Misalkan f(x) g(x) h(x) untuk semua x disekitar a namun x a, dan

maka

1sinlim0

x

xx

)(lim)(lim xhLxfaxax

Lxgax

)(lim

cos(x) sin(x)/x 1/cos(x)

1)sin(lim maka ,)cos(

1lim1)cos(lim000

x

xx

xxxx

Contoh

.01sinlim Tunjukkan 2

0x

xx

0dan 11sin1,0Untuk 2 xx

x

222 1sin xx

xx

Apit). Prinsipan (menggunak 01sinlim maka

0limdan 0)lim( karena

2

0

2

0

2

0

xx

xx

x

xx

Bukti:

• Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri)

• Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan)

• Teorema 2:

jika dan hanya jika

Lxfax

)(lim

Lxfax

)(lim

)(lim)(lim xfLxfaxax

Lxfax

)(lim

Contoh

ada tidak )(lim Maka

. .2)2(lim)(lim ,0Untuk

. .11lim)(lim,0Untuk

.0,20,1

)(

0

00

00

xf

xfx

xfxxx

xf

x

xx

xx

kirilimit

kananlimit

Contoh2 limit

later. discussed - examplesuch for limits sided-one Need

exist.not does )( lim0,1

0,1)( (4)

exist.not does 1 lim (3)

.0|| lim (2)

.211)1( lim (1)

0

20

0

22

1

xfx

xxf

x

x

x

x

x

x

x

.633)3(lim39lim

Jadi

.3untuk , 33

)3)(3(39)(

Tetapi

.erdefinisi tidak t)3(39)( Disini

;39lim (5)

3x

2

3x

2

2

2

3x

xx

x

xxx

xxx

xxf

fx

xxf

xx

• Definisi Limit. Limit dari f(x) bila x menuju a adalah L R,

ditulis

jika dan hanya jika, untuk  > 0, terdapat  > 0 sedemikian sehingga jika

0 < |x - a| <  maka |f(x) - L| < .

Lxfax

)(lim