Post on 25-Nov-2015
description
Kuliah 3 :
Perhitungan Besaran Penampang 1. Luas Penampang 2. Titik berat penampang 3. Statis Momen 4. Tegangan Normal
Menghitung luas penampang dan mencari sumbu berat penampang
Menghitung luas penampang tunggal
A = B * H A = B * H
A = * B * H A = * B * H A = * * D2
Menghitung luas penampang majemuk (tersusun)
A = B1* H1 + B2 * H2 + B3 * H3
Menghitung luas penampang majemuk (tersusun)
A = B1*H1 + B2*H2 + B3*H3 + 4**B4*H4
Menghitung luas penampang majemuk (tersusun)
lubang
A = B1* H1 + B2 * H2 + B3 * H3 B4*H4
Menghitung luas penampang majemuk (tersusun)
lub
an
g
A = B1*H1 + B2*H2 + B3*H3 + 4**B4*H4 B5*H5
Menghitung luas penampang majemuk (tersusun)
N
i
iAA1
N = jumlah penampang tunggal pada penampang tersusun Ai = luas penampang tunggal ke i
Mencari sumbu berat penampang tunggal
Mencari sumbu berat penampang tersusun
dengan menggunakan perhitungan statis momen
STATIS MOMEN adalah hasil perkalian antara luas elemen
dengan jarak titik berat elemen ke satu sumbu
tertentu (titik tertentu)
Sumbu berat suatu penampang adalah garis
yang membagi penampang menjadi dua bagian yang sama statis momennya.
Pada umumnya satu penampang mempunyai dua
sumbu berat yang saling tegak lurus. Titik
perpotongan antara dua sumbu berat dikenal sebagai
titik berat penampang.
Contoh 1 Sumbu X dan Y adalah sumbu berat penampang. Untuk menghitung lokasi sumbu X dilakukan dengan perhitungan statis momen ke sisi penampang paling bawah. Untuk menghitung lokasi sumbu Y dilakukan dengan perhitungan statis momen ke sisi penampang paling kiri. A1 = 30*10 = 300 cm2
A2 = 60*15 = 900 cm2
A3 = 30*10 = 300 cm2
A = A1 + A2 + A3 = 1500 cm2
A1*75 + A2*40 + A3*5 = A * Y Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = (22500 + 36000 + 1500)/1500 Y = 40 cm A1*15 + A2*15 + 30*15 = A*X X = (300*15 + 900*15 + 300*15)/1500 X = 15 cm
Contoh 2
A1 = 30*10 = 300 cm2
A2 = 60*15 = 900 cm2
A3 = 30*10 = 300 cm2
A = A1 + A2 + A3 = 1500 cm2
A1*75 + A2*40 + A3*5 = A * Y Y = (300*75 + 900*40 + 300*5)/1500 Y = (22500 + 36000 + 1500)/1500 Y = 40 cm A1*30 + A2*22.5 + 30*15 = A*X X = (300*30 + 900*22.5 + 300*15)/1500 X = 22.5 cm
Contoh 3
A1 = 30*10 = 300 cm2
A2 = 60*15 = 900 cm2
A3 = 30*10 = 300 cm2
A4 = 50 * 10 = 500 cm2
A = A1 + A2 + A3 A4 = 1000 cm2
A1*75 + A2*40 + A3*5 A4 * 40= A * Y Y = (300*75+900*40+300*5-500*40)/1000 Y = (22500 + 36000 + 1500 - 20000)/1000 Y = 40 cm A1*15 + A2*15 + 30*15 A4*15= A*X X = (300*15+900*15+300*15-500*15)/1000 X = 15 cm
Contoh 4
Dimanakah letak sumbu berat X dan Y pada penampang di samping ?
Contoh 4
1
2
3
4
A2 = 60 * 15 = 900 cm2
A3 = 30 * 10 = 300 cm2
A4 = 60 * 10 = 600 cm2 A1 = 30 * 10 = 300 cm2
A = A1 + A2 + A3 A4 = 300 + 900 + 300 600 = 900 cm
Contoh 4
1
2
3
4
A2 = 60 * 15 = 900 cm2
Y2 = 40 cm X2 = 15 cm
A3 = 30 * 10 = 300 cm2
Y3 = 3 cm X3 = 15 cm
A4 = 60 * 10 = 600 cm2
Y4 = 45 cm X4 = 15 cm
A1 = 30 * 10 = 300 cm2
Y1 = 75 cm X1 = 15 cm
Y = (300*75+900*40+300*5-600*45)/900 = 36.6667 cm X = (300*15+900*15+300*15-600*15)/900 = 15 cm
Contoh 4 Y = 36.6667 cm X = 15 cm
Statis momen bagian atas = (30*10*(75-36.6667)+ 33.3333*15*33.3333/2 - 38.3333*10*38.3333/2) 12486.09722 cm3
Statis momen bagian bawah = (30*10*(36.6667-5)+ 26.6667*15*26.6667/2 - 21.6667*10*21.6667/2) 12486.12722 cm3
Sumbu X membagi penampang menjadi dua bagian atas dan bawah yang mempunyai statis momen yang sama. Nilai yang tidak sama pada kedua statis momen di atas disebabkan adanya pemotongan atau pembulatan angka pada
hasil perhitungan lokasi sumbu berat y
Contoh 4
No B H A=B*H Y X A*Y A*X
1 30 10 300 75 15 22500 4500
2 15 60 900 40 15 36000 13500
3 30 10 300 5 15 1500 4500
4 10 60 -600 45 15 -27000 -9000
Total 900 33000 13500
Y = 36.66666667
X = 15
Untuk menentukan jarak x dan y maka dapat menggunakan tabel. Cara penggunaan tabel pada contoh soal 4
Contoh 4
Contoh 4 A1 = 30 * 80 = 2400 cm2
Y1 = 40 cm X1 = 15 cm
A4 = 60 * 10 = 600 cm2
Y4 = 45 cm X4 = 15 cm
A2= 60 * 7.5 = 450 cm2
Y4 = 40 cm X4 = 15 cm
A2= 60 * 7.5 = 450 cm2
Y4 = 40 cm X4 = 15 cm
Y = (2400*40-450*40-450*40-600*45)/900 = 36.6667 cm X = (2400*15-450*15-450*15-600*15)/900 = 15 cm
Contoh 5
Y = (400*20+400*45)/800 = 32.5 cm X = (400*20+400*35)/800 = 27.5 cm
A = 40*10 + 40*10 = 800 cm
Contoh 5 A = 40*50 - 40*30 = 800 cm
Y = (2000*25-1200*20)/800 = 32.5 cm X = (2000*20-1200*15)/800 = 27.5 cm
Contoh 6
A2 = 40 * 15 = 600 cm2
Y2 = 30 cm X2 = 32.5 cm
A5= 10 * 40 = 400 cm2
Y5 = 5 cm X5 = 20 cm
Y = (400*55+600*30+100*45+100*15+400*5)/1600 = 30 cm X = (400*20+600*32.5+100*5+100*5+400*20)/1600 = 22.8125 cm
A1 = 10 * 40 = 400 cm2
Y1 = 55 cm X1 = 20 cm
A3= 10 * 10 = 100 cm2
Y3 = 45 cm X3 = 5 cm
A4= 10 * 10 = 100 cm2
Y4 = 15 cm X4 = 5 cm
A = 400+600+100+100+400 = 1600 cm
Contoh 6
Contoh 6
A2= 40 * 15= 600 cm2
Y4 = 30 cm X4 = 22.5 cm
Y = (2400*30-600*30-200*30)/1600 = 30 cm X = (2400*20-600*17.5-200*5)/1600 = 22.8125 cm
A1 = 60 * 40 = 2400 cm2
Y1 = 30 cm X1 = 20 cm
A = 2400-600-200 = 1600 cm
A3= 20 * 10= 200 cm2
Y4 = 30 cm X4 = 5 cm
Pada perhitungan luas penampang dan mencari
posisi sumbu berat penampang, maka jumlah
elemen luas sebaiknya diambil seminimal mungkin
agar proses perhitungan bisa lebih cepat
Kesimpulan : Rumus umum perhitungan luas penampang dan penentuan sumbu berat penampang tersusun :
N
i
iAA1
N = jumlah penampang tunggal pada penampang tersusun Ai = luas penampang tunggal ke i yi = jarak elemen ke i terhadap satu garis referensi tertentu xi = jarak elemen ke i terhadap satu garis referensi tertentu
A
xA
X
A
yA
Y
N
i
ii
N
i
ii
1
1
*
*
Untuk mencari posisi sumbu berat penampang pada satu bidang dengan luas A secara umum dapat
dinyatakan sebagai berikut :
sbXthddAelemenmomenstatisdAySx
sbYthddAelemenmomenstatisdAxSy
A
dAx
X
A
dAy
Y
A
A
A
A
Mencari sumbu berat penampang segitiga
dyyHH
BdA
dyBdAelemenLuas
yHH
BB
H
yH
B
B
A
dAy
Y A
*)(
'*
)(*'
'
HY
HB
HHH
B
Y
HB
yyHH
B
Y
A
dyyHH
By
Y
H
H
3
1
**2
1
*3
1
2
1*
**2
1
*3
1*
2
1*
*)(
33
0
32
0
Mencari sumbu berat penampang segitiga
HY
HB
HB
Y
HB
yB
Y
A
dyyB
Y
dyBdAelemenluas
H
H
2
1
*
02
1*
*
2
1*
**
*
2
0
2
0
Mencari sumbu berat penampang empat persegi panjang
BX
HB
BH
X
HB
xH
X
A
dyxH
X
dxHdAelemenluas
B
B
2
1
*
02
1*
*
2
1*
**
*
2
0
2
0
Mencari sumbu berat penampang empat persegi panjang
3
0cos2
cos3
cos3
sin
sin
sin
3
3
2/
0
0
3
0
2/
0
0
2/
0
RSx
RSx
rSx
ddrrSx
ddrrrSx
ddrrrSx
R
R
R
Mencari sumbu berat penampang lingkaran
x = r cos y = r sin dA = r d dr
3
0sin2
sin3
sin3
cos
cos
cos
3
3
2/
0
0
3
0
2/
0
0
2/
0
RSy
RSy
rSy
ddrrSy
ddrrrSy
ddrrrSy
R
R
R
Mencari sumbu berat penampang lingkaran
x = r cos y = r sin dA = r d dr
Mencari sumbu berat penampang lingkaran
x = r cos y = r sin dA = r d dr
3
4
41
3
41 2
3
2
. R
R
R
R
SyX
3
4
41
3
41 2
3
2
. R
R
R
R
SxY
20 30
20
30
50
10
0
50 100
B
H
B/3H
/3
X
Y
3
36
1BHIx 3
36
1HBIy
Soal 1 (Bobot 50 %)
Sebuah balok memiliki penampang berbentuk kotak berlubang seperti tampak pada
gambar di bawah ini. Ukuran penampang yang tertera pada gambar adalah dalam cm.
Hitunglah :
1.Letak titik berat penampang (x,y) ....................................................................(10 %)
2.Ix, Iy, dan Ixy ........................................................................................................(20 %)
3.Momen inersia maximum dan momen inersia minimum penampang tersebut (Imax
dan Imin) ................................................................................................................ (10 %)
4.Gambarkan sumbu maximum dan minimum penampang, lengkap dengan besar
perputaran sudutnya terhadap sumbu x dengan skala yang benar ........................ (10 %)
20 30
20
30
50
10
0
50 100
20 30
20
30
50
10
0
50 100
a) Mencari Titik Berat
1 2 3 A1 = 2 * 2 = 4 m2 A2 = 1.5*1.5 = 2.25 m2
A3 = *0.5*0.5 = 0.125 m2
A = A1 - A2 + A3 = 1.875 m2
x1 = 1 m
x2 = 0.95 m
x3 = 0.2 + 1/3*0.5 = 0.367 m
y1 = 1 m
y2 = 1.05 m
y3 = 1.3 + 2/3*0.5 = 1.633 m
m1.0181.875
0.367*0.1250.95*2.251*4x
m0.9821.875
1.633*0.1251.05*2.251*4y
)y,x(
Titik berat penampang (x,y) = (1.018;0.982)
20 30
20
30
50
10
0
50 100
0.9
82
m
1.018 m
X
Y
x
y
15 cm 15 cm 15 cm 15 cm 15 cm
10 c
m15 c
m20 c
m15 c
m
Potongan I-I
Tentukan titik berat penampang di atas
15 cm 15 cm 15 cm 15 cm 15 cm
10
cm
15
cm
20
cm
15
cm
Ya
= 3
0.1
47
1Y
b =
29.8
52
9 c
m
Xkr = 37.5 cm Xkn = 37.5 cm
X
Y
Sebuah elemen struktur memiliki penampang berbentuk L berlubang seperti tampak pada gambar di bawah ini. Ukuran penampang yang
tertera pada gambar adalah dalam cm. Hitunglah momen inersia maximum dan momen inersia minimum penampang tersebut (Ix dan Iy),
dan gambarkan (dengan skala yang benar) sumbu-sumbu max/min penampang lengkap dengan besar perputaran sudutnya terhadap sumbu
x.
A = 100*30 + 50*65 40*10 A = 5850 cm2
cm56.688y
5850
35*10*4032.5*65*5080*30*100y
cm37.8205x
5850
25*10*4025*65*5050*30*100x
60.00
65
.00
20.0
03
5.0
0
40.00
40.0
06
0.0
02
0.0
0
40.00
20.00
Satuan penampang dalam cm
y
x Y
X
Tentukan posisi sumbu berat penampang
60.00
65
.00
20.0
03
5.0
0
40.00
40.0
06
0.0
02
0.0
0
40.00
20.00
Satuan penampang dalam cm
y
x Y
X
60.00
65
.00
20.0
03
5.0
0
40.00
40.0
06
0.0
02
0.0
0
40.00
20.00
Satuan penampang dalam cm
y
x Y
X
2cm0056A
20*6035*6040*10020*80A
2cm0056A
20*6040*10085*06120*014A
60.00
65
.00
20.0
03
5.0
0
40.00
40.0
06
0.0
02
0.0
0
40.00
20.00
Satuan penampang dalam cm
y
x Y
X
2cm0056A
20*6035*6040*10020*80A
cm54.269y
6500
50*20*6017.5*35*6050*40*100110*20*80y
cm769.68x
6500
80*20*6030*35*6080*40*100100*20*80x
Tegangan normal akibat gaya Normal
(tegangan normal sentris)
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Tegangan normal akibat gaya Normal
Jika pada sebuah batang bekerja gaya normal, maka pada seluruh permukaan penampang batang akan
timbul tegangan normal = P/A
Sebuah balok di atas dua tumpuan menderita beban merata q = 5 kN/m
dan beban normal N = 20 kN. Hitung dan gambarkan tegangan normal
maksimum pada balok
contoh
Akibat gaya normal maka balok akan menderita normal tekan 20 kN.
tekan = 20/(0.3*0.6) = 111.111 kN/m2 = 0.111 MPa
contoh
Pada potongan I-I di tengah bentang balok akan terjadi
tegangan akibat N tekan = 0.111 MPa
contoh
Diketahui sebuah balok sederhana ditumpu sendi-rol pada kedua ujungnya seperti pada gambar di bawah. Panjang balok adalah 10 m, dan balok mendukung beban merata q sebesar 200 kN/m, sudah termasuk berat sendiri balok. Pada balok juga bekerja beban terpusat P1 sebesar 500 kN yang bekerja miring dengan sudut 60o dan beban P2 = 1000 kN. Penampang balok beserta ukurannya adalah seperti pada gambar. Hitung luas penampang dan tegangan normal yang terjadi pada potongan A dan B.
4 m
P2= 100 kNP2= 100 kN
q= 200 kN/m
6m
P1 = 500 kN
60.0I
I
A
A
B
B
4 m
P2= 1000 kNP2= 1000 kN
q= 200 kN/m
6m
P1 = 500 kN
60.0I
I
A
A
B
B
1250 1000- -
S R
Akibat gaya normal 1250 kN maka pada potongan A akan timbul tegangan normal tekan
tekan = 1250/(0.3*0.6) = 6944.444 kN/m2 = 6.944 MPa
Akibat gaya normal 1000 kN maka pada potongan B akan timbul tegangan normal tekan
tekan = 1000/(0.3*0.6) = 5555.555 kN/m2 = 5.556 MPa
4 m
P2= 1000 kNP2= 1000 kN
q= 200 kN/m
6m
P1 = 500 kN
60.0I
I
A
A
B
B
1250 1000- -
S R
4 m
P2= 1000 kNP2= 1000 kN
q= 200 kN/m
6m
P1 = 500 kN
60.0I
I
A
A
B
B
1250 1000- -
S R
30 cm
60 X
Y
N
A= 6.944 MPa B= 5.556 MPa
4 m
P2= 1000 kNP2= 1000 kN
q= 200 kN/m
6m
P1 = 500 kN
60.0I
I
A
A
B
B
S
RHS= 250 kN
1000 750- -
30 cm
60 X
Y
N
A= 5.556 MPa B= 4.167 MPa