Post on 19-Nov-2019
Aplikasi Integral
Menghitung Luas Daerah
f(x)
D
a
b
1. Menghitung LuasDaeraha. Misalkan daerah D = (x, y) | a x b, 0 y f (x)
Luas D =?
x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Denganmengambil limitnyadiperoleh:
b
LuasD =A = f (x)dxa
Langkah :
1. IrisD menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri olehluas persegi panjangdengan tinggi f(x) danxalas (lebar)x
A f(x)x
2
Menghitung Luas Daerah
3
y = x2
2 1 2
8A = x2dx = x3
=
0 3 0 3
2
Contoh:Hitung luas daerah yangdibatasi oleh kurva y = x2 , sumbu x, dan x=2.
Luas irisan
x
x2
A x2x
Luas daerah
8
3
1
3 0
2
x3
=
2
A = x2dx =0
Menghitung Luas Daerah
4
b) MisalkandaerahD = (x,y) | a x b, g(x) y h(x)h(x)
g(x)
a x
b
Luas D =?
Langkah :
1. IrisD menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang
dengan tinggi h(x)-g(x) danalas(lebar) x
A (h(x) − g(x))x
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnyadiperoleh:
b
LuasD =A = (h(x) − g(x))dxa
D h(x)-g(x)
Menghitung Luas Daerah
5
− 2))x
Contoh:Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis
y =x +4 dan parabola y = x2 − 2
− x − 6 = 0x2
Titik potong antaragaris dan parabola
x + 4 = x2 −2
y = x2 − 2
y=x+4
-2 3x
(x + 4) − (x2 − 2)
(x −3)(x + 2) = 0
x = -2, x =3
Luas irisan
A ((x + 4) − (x2
Menghitung Luas Daerah
6
3 3
−2 −2
+ x + 6)dxA = ((x + 4) − (x2 − 2))dx =
(−x2
6
1253
1+
1
3 2= −
−2
+ 6x =x3 x 2
Sehingga luas daerah:
Catatan :
• Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x, makatinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah atasdikurangi kurva yang berada disebelah bawah.
• Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D, maka daerah D harus dibagi dua atau lebih.
Menghitung Luas Daerah
7
+ x − 2 = 0x 2
Contoh :Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,
y = x2 dan y = -x +2Jawab :
Titikpotong
x2 = −x +2 (x + 2)(x −1) = 0
x = -2, x =1
y = x2
y=-x+2
A x2 x 1
1 2xx
Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harus dibagi menjadi duabagian
Luas irisanI
A x2x1
Luas irisanII
A2 (−x +2)x
Menghitung Luas Daerah
8
1
0
3 01
1
3A = x2 dx = 1 x3 |1 =
Luas daerah I
Luas daerah II
12
2
1
2 + 2x |2A = − x + 2 dx = − 1 x2
22
= (−2 + 4) − (− 1 + 2) =1
Sehingga luasdaerah
3 2 61 2A = A + A =
1 +
1 =
5
Menghitung Luas Daerah
9
d
(h(y) − g( y))dyc
c). MisalkandaerahD = (x, y) | c y d, g( y) x h(y)
d
g(y)
yh(y)
c
DLuas D =?
Langkah :
1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisandihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi
h(y)-g(y) dan alas (lebar)y
A (h(y) − g( y))y
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan
y
mengambil limitnyadiperoleh:
Luas D = A =
h(y)-g(y)
Menghitung Luas Daerah
10
x = 3− y2
Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh
dan y = x−1
Jawab :
Titik potong antaragaris dan parabola
y +1 = 3 − y2
y2 + y − 2 = 0
(y + 2)(y −1) = 0
y = -2 dan y =1
x = 3y− y=2 x −1
1
-2
y
(3− y2 ) − (y +1)
Luas irisan
A ((3− y2 ) − (y +1))y
Menghitung Luas Daerah
11
1
L = ((3 − y 2 ) − (y +1))dy−2
1
= (−y 2 − y + 2)dy−2
2
91
1−
1
3 2= −
−2
+ 2y = .y3 y2
Sehingga luas daerah:
Catatan :
• Jika irisan sejajar dengan sumbu x, maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelahkiri.
• Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D, maka daerah D harus dibagi dua atau lebih
Soal Latihan
12
Carilah luas yang dibatasi oleh:
a. Kurva y = x3 + x +15, garis x = -2, x = 1, dan sumbux
b. Kurva y2 = x –1, garis y = -4, y = 2, dan sumbu y
c. Kurva x2 = 2 –y dan garis y =x
d. Kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x
e. Kurva x = 4 -y2 , garis x + y –2 =0
f. Kurva y = x2 + 3, kurva y = -x2 + 1, garis x = -3,dangaris 7x + y =11
Menghitung Volume Benda Putar
13
MetodaCakram
a. Daerah D = (x,y) | a x b , 0 y f (x)diputar terhadap sumbux
f(x)
D
a b
Benda putarDaerah D
? Volume benda putar
Menghitung Volume Benda Putar
14x
a b
f(x)
D
x
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris,hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
Jika irisan berbentukpersegipanjang dengan tinggi f(x) dan
alas x diputar terhadapsumbu x
akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal x dan jari-jari f(x),
V f 2 (x) x
b
a
V = f 2 (x) dx
sehingga
f(x)
Catatan:jari-jari =jarak dari sumbu putar ke batas daerah
Menghitung Volume Benda Putar
15x
y = x2
2x
x2
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika
daerah D yang dibatasi oleh y = x2 , sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap sumbux
Jika irisan diputar terhadap sumbu x
akan diperoleh cakram dengan jari-jari
x 2 dan tebalx
Sehingga
V (x2 )2 x = x4x
Volume benda putar
2
05
32
5x5 |2=V = x4 dx=
0
x2
Menghitung Volume Benda Putar
16
b. Daerah D = (x, y) | c y d , 0 x g( y) diputar terhadap sumbuy
d
x=g(y)
c
D
Daerah D Benda putar
? Volume benda putar
c
d
Menghitung Volume Benda Putar
17
y
V g 2 ( y) yc
x=g(y)
D
d
y
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris,hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas y diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatu
cakram lingkaran dengan tebal y danjari-jarig(y).
g(y)
sehingga
d
V = g2(y) dyc
Menghitung Volume Benda Putar
18
4
y = x2
Contoh :Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x2, garis y = 4, dan sumbu y jika diputar terhadap sumbu y
Jika irisandengan tinggi y dan tebal y diputar terhadap sumbu y akandiperoleh
cakram dengan jari-jari y dan tebal yy
y
y
Sehingga
V =( y)2 y = yy
Volume benda putar
0
0
2 4
4
V = ydy =2
y | =8
x = yy
Menghitung Volume Benda Putar
19
Metoda Cincin
b
a. DaerahD = (x,y) | a x b , g(x) y h(x)diputar terhadap sumbux
h(x)
D
g(x)
a
Daerah D Benda putar
? Volume benda putar
Menghitung Volume Benda Putar
20
x
h(x)
g(x)
a b
x
D
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan, danambil limitnya.
Jika irisan berbentuk persegi panjang
dengan tinggi h(x) -g(x) dan alas x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu
cincin dengan tebal x danjari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).
sehingga V (h2 (x) − g 2 (x))x
a
b
V = (h2 (x) − g 2 (x))dx
h(x)
g(x)
Catatan penting!Jari-jari luar = jarak dari sb putar ke batas daerah paling luarJari-jari dalam =jarak dari sb putar ke batas daerah paling dalam
Menghitung Volume BendaPutar
21
y = x2
x
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerahD yang dibatasi oleh y = x,2
sumbu x, dan garis x = 2 diputar
terhadap garis y =-1
21
1+ x2D
Jika irisan diputar terhadap garis y = 1 akan diperoleh suatu cincin dengan
jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar x2 +1
Sehingga
V = ((x2 +1)2 −12)x
= (x4 + 2x2 +1−1)x
=(x4 + 2x2 )xy=-1
2
4 2 5 3 21 205 3 5 3
32 16 17615
0
V = x + 2x dx =( x + x | ) =( + ) = Volume benda putar:
Menghitung Volume BendaPutar
22
Metoda KulitTabung
Diketahui D = (x,y) | a x b , 0 y f (x)
a b
f(x)
D
Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar
Daerah D Benda putar
Volume benda putar?
Menghitung Volume BendaPutar
23
Ilustrasi Metode KulitTabung
Menghitung Volume BendaPutar
24
x
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris , hampiri, jumlahkan danambil limitnya.
Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alasx serta berjarakf(x)
b
D
xa x
f(x)
x
x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y
akan diperoleh suatu kulit tabungdengan
tinggi f(x), jari-jari x, dan tebalx
sehingga V 2 x f (x) x
a
b
V = 2 xf (x)dx
Catatanpenting!Jari-jari = jarak dari partisi kesumbu putar.
Menghitung Volume BendaPutar
25
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh y = x
2, sumbu x, dan
y = x2
x 2
x2
D
x
garis x = 2 diputar terhadap sumbuy
Jika irisan dengan tinggi x2 ,tebal x
danberjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperolehkulit tabung dengantinggi x2 , tebal x dan jari jarixSehingga
V = 2 x x2 x = 2 x3 x
Volume benda putar
2
0
2x4 |2 =8V = 2 x3 dx=
0
Menghitung Volume BendaPutar
26
Catatan:
-Metoda cakram/cincinIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar
-Metoda kulit tabung
Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar
Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama
Contoh: Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang
dibatasi Oleh parabola y = x2, garis x= 2, dan sumbu xdiputar terhadap
a. Garis y =4b. Garis x =3
Menghitung Volume BendaPutar
270
224
15
64 32
3 50
5 21
53− ) = − x ) | = (V = (8x2 − x4 )dx = (8 x3
a. Sumbu putar y =4
(i)Metoda cincin
y = x2
2
D
y=4
x
Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincindengan
dJari-jari dalam =r = (4 − x2 )(4− x2 )
Jari-jari luar =4 rl = 4
− (4 − x2 )2 )x
− x4 )x
Sehingga
V ((4)2
=(8x2
Volume benda putar
2
Menghitung Volume BendaPutar
28
(ii) Metoda kulittabung
y = x2
2
y=4
y
y
Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabungdengan
4 −yJari-jari = r = 4 −y
D 2− y
y
y)y
Tinggi = h = 2−
Tebal =y
Sehingga
V 2 (4 − y)(2−
y)yy − 2y +y= 2(8−4Volume benda putar
4
y − 2 y +yV = 2(8 − 40
2 53
y)dy = 2(8y − 8 y3 / 2 − y2 + y ) |5/ 2 4 224
0 15=
Menghitung Volume BendaPutar
29
b. Sumbu putar x=3
(i)Metoda cincin
y = x2
2
D
y
x =3 Jika irisandiputar terhadap garis x=3diperoleh cincin dengan
1
=1Jari-jari dalam =rd
3
y 3− y
yJari-jari luar = rl = 3−
Sehingga
y )2 −(1)2 )y
y + y)y
V ((3−
=(8−6
Volume benda putar
4
y + y)dyV = (8−60
0= (8y − 4y3 / 2 + 8 |4 ) = 8
Menghitung Volume BendaPutar
30
y = x2
2
D
x
(ii) Metoda kulittabungx=3
x
x2
3
3-x
Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan
Tinggi = h = x2
Jari-jari = r = 3-x
Tebal =x
Sehingga
V 2(3− x)x2x
= 2 (3x2 − x3 )xVolume benda putar
2
− 1 x4 ) |2 = 2(8− 4) = 84 0
V = 2 (3x2 − x3 )dx = 2(x3
0
Panjang Kurva
31
Persamaan parameter kurva dibidang
x = f(t)y = g(t)
,a t b
Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva.
Definisi: Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika
(1)
(i) f ' dan g ' kontinu pada [a,b]
Kurva tidak berubah sekonyong-konyong
(ii) f ' dan g ' tidak secara bersamaan nol pada (a,b)
Panjang Kurva
32
Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva
Langkah
1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian
a = to t1 t2 ... tn = b
a bt1
● ● ● ●ti−1 ti tn−1
Partisi pada [a,b]
Paritisi pada kurva
1Q●
●
●Qo
Qi−1● ●Qi Qn
Panjang Kurva
33
2. Hampiri panjang kurva
Qi−1
Qisi
wi
Qi−1Qisi panjang busur
wi panjang tali busur Qi−1Qi
Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur
si wi
ix
yi
= (x )2 + (y )2
i i
= [ f (t ) − f (t )]2 + [g(t ) − g(t )]2
i i−1 i i−1
Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untukturunan, terdapat sehinggaˆ , t )
i i i−1 it , t (t
f (ti ) − f (ti−1) = f '(ti
)t ˆg (t ) − g(t ) = g ' (t
)ti i−1 i
Panjang Kurva
34
dengan −ti−
1
ti = ti
sehingga
iw = [ f '(t )t ]2 +[g'(tˆ )t ]2
i i i i
i i
22 ˆ= [ f '(t )] +[g '(t )]
ti
Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur
i i
22 ˆn
L [ f '(t )] +[g '(t )]
tii=1
Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh
b
L = [ f '(t)]2 +[g '(t)]2 dta
Panjang Kurva
35
Ctt:
Jika persamaan kurva y=f(x), a x b
b
L = [ f '(t)]2 +[g'(t)]2 dta
dtdt
dx dyb
= [ ]2 +[ ]2 dta
d
L = [ f '(t)]2 +[g'(t)]2 dtc
dxdydx
dt
b
a dx
dx
2
2
2 1+ dy
)dt =) (1+
b
= (a
Jika persamaan kurva x=g(y), c y d
d dx dy= [ ]2 +[ ]2 dt
c dt dt
dxdy
dt
dxd
c dx
dt =
dx
2
2
2 1 + dy
d
= ( ) 1+c
Panjang Kurva
36
Contoh : Hitung panjang kurva
1. x = t 3, y = t 2; 0 t 4
x'(t) = 3t 2 , y'(t) = 2t
Panjang kurva
4 4
= 9t 4 + 4t 2dt0 0
4
= t 2(9t 2 + 4)dt
0
9t 2 + 4dt
L = (3t 2)2 + (2t)2dt04
= t4
018t
d (9t 2 + 4)= t(9t 2 + 4)1/ 2
018 3+ 4)3 / 2 |4= 1 2 (9t2
272740 − 8) = 1 (80 10 −8)= 1 (40
Panjang Kurva
37
2. antara x =1/3 dan x=7y = 2x3 / 2
Jawab :
dx
dy = 3x1 / 2
1/ 3 1/ 3
7
1+ 9xdx
7
L = 1+ (3x1/ 2)2dx =
7
1/3
9(1+ 9x)1/ 2d (1+ 9x)= 1
1/ 327|7 = 2 (512 − 8) = 37 1
27 3= 2 (1 + 9x)3 / 2
Soal Latihan
38
A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh
1. y = x2 dan y = x + 2
y = x3, y = −x, dan y = 82.
3. y = x , y = 4x , y = -x +2
4. y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2.
Soal Latihan
39
B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x
1. y = x3, y = 0, dan x = 2
2. y = 9 − x2 dan y = 0
3.
4.
y = x2 dan y = 4x
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = /4
y = x3 dan y = x, di kuadran 15.
Soal Latihan
40
Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :C. Daerah D dibatasi oleh kurva y = x dan garis x = 2y.
(1) sumbu x(2) garis x = -1
(3) garis y = 4
(4) sumbu y(5) garis y = -2
(6) garis x = 4
dan garis x+ y = 4.Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
D. Daerah D dibatasi oleh parabol y = 4x − x 2
(1) sumbu x(2) garis x = 6
(3) sumbu y(4) garis y = -1
Soal Latihan
41
E. Hitung panjang kurva berikut
2 4
y =1
(x2 + 2)3 / 2 , 0 x 13
2
y =x
−ln x
, 2 x 4
y = ln(1 − x2), 0 x 1/ 2
x =1
y (y − 3), 0 y 93
x = 4 sin t, y = 4 cos t − 5; 0 t 1.
2. x = 3t 2 + 2, y = 2t 3 −1/ 2; 1 t 4
3.
4.
5.
6.