Aplikasi Integralexpertcourse.net/assets/document/modul/Teknik/Kalkulus-1/BAB7.pdf · Menghitung...

Aplikasi Integral

Menghitung Luas Daerah

f(x)

D

a

b

1. Menghitung LuasDaeraha. Misalkan daerah D = (x, y) | a x b, 0 y f (x)

Luas D =?

x

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Denganmengambil limitnyadiperoleh:

b

LuasD =A = f (x)dxa

Langkah :

1. IrisD menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri olehluas persegi panjangdengan tinggi f(x) danxalas (lebar)x

A f(x)x

2


3

y = x2

2 1 2

8A = x2dx = x3

=

0 3 0 3

2

Contoh:Hitung luas daerah yangdibatasi oleh kurva y = x2 , sumbu x, dan x=2.

Luas irisan

x

x2

A x2x

Luas daerah

8

3

1

3 0

2

x3

=

2

A = x2dx =0


4

b) MisalkandaerahD = (x,y) | a x b, g(x) y h(x)h(x)

g(x)

a x

b

Luas D =?

Langkah :

1. IrisD menjadi n bagian dan luas satu buah irisan dihampiri oleh luas persegi panjang

dengan tinggi h(x)-g(x) danalas(lebar) x

A (h(x) − g(x))x

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnyadiperoleh:

b

LuasD =A = (h(x) − g(x))dxa

D h(x)-g(x)


5

− 2))x

Contoh:Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis

y =x +4 dan parabola y = x2 − 2

− x − 6 = 0x2

Titik potong antaragaris dan parabola

x + 4 = x2 −2

y = x2 − 2

y=x+4

-2 3x

(x + 4) − (x2 − 2)

(x −3)(x + 2) = 0

x = -2, x =3

Luas irisan

A ((x + 4) − (x2


6

3 3

−2 −2

+ x + 6)dxA = ((x + 4) − (x2 − 2))dx =

(−x2

6

1253

1+

1

3 2= −

−2

+ 6x =x3 x 2

Sehingga luas daerah:

Catatan :

• Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x, makatinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah atasdikurangi kurva yang berada disebelah bawah.

• Jika batas atas dan bawah irisan berubah untuk sembarang irisan di D, maka daerah D harus dibagi dua atau lebih.


7

+ x − 2 = 0x 2

Contoh :Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,

y = x2 dan y = -x +2Jawab :

Titikpotong

x2 = −x +2 (x + 2)(x −1) = 0

x = -2, x =1

y = x2

y=-x+2

A x2 x 1

1 2xx

Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harus dibagi menjadi duabagian

Luas irisanI

A x2x1

Luas irisanII

A2 (−x +2)x


8

1

0

3 01

1

3A = x2 dx = 1 x3 |1 =

Luas daerah I

Luas daerah II

12

2

1

2 + 2x |2A = − x + 2 dx = − 1 x2

22

= (−2 + 4) − (− 1 + 2) =1

Sehingga luasdaerah

3 2 61 2A = A + A =

1 +

1 =

5


9

d

(h(y) − g( y))dyc

c). MisalkandaerahD = (x, y) | c y d, g( y) x h(y)

d

g(y)

yh(y)

c

DLuas D =?

Langkah :

1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah irisandihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi

h(y)-g(y) dan alas (lebar)y

A (h(y) − g( y))y

2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan

y

mengambil limitnyadiperoleh:

Luas D = A =

h(y)-g(y)


10

x = 3− y2

Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh

dan y = x−1

Jawab :

Titik potong antaragaris dan parabola

y +1 = 3 − y2

y2 + y − 2 = 0

(y + 2)(y −1) = 0

y = -2 dan y =1

x = 3y− y=2 x −1

1

-2

y

(3− y2 ) − (y +1)

Luas irisan

A ((3− y2 ) − (y +1))y


11

1

L = ((3 − y 2 ) − (y +1))dy−2

1

= (−y 2 − y + 2)dy−2

2

91

1−

1

3 2= −

−2

+ 2y = .y3 y2

Sehingga luas daerah:

Catatan :

• Jika irisan sejajar dengan sumbu x, maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelahkiri.

• Jika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D, maka daerah D harus dibagi dua atau lebih

Soal Latihan

12

Carilah luas yang dibatasi oleh:

a. Kurva y = x3 + x +15, garis x = -2, x = 1, dan sumbux

b. Kurva y2 = x –1, garis y = -4, y = 2, dan sumbu y

c. Kurva x2 = 2 –y dan garis y =x

d. Kurva y2 = x, garis x + y = 6, dan sumbu x

e. Kurva x = 4 -y2 , garis x + y –2 =0

f. Kurva y = x2 + 3, kurva y = -x2 + 1, garis x = -3,dangaris 7x + y =11

Menghitung Volume Benda Putar

13

MetodaCakram

a. Daerah D = (x,y) | a x b , 0 y f (x)diputar terhadap sumbux

f(x)

D

a b

Benda putarDaerah D

? Volume benda putar


14x

a b

f(x)

D

x

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris,hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

Jika irisan berbentukpersegipanjang dengan tinggi f(x) dan

alas x diputar terhadapsumbu x

akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal x dan jari-jari f(x),

V f 2 (x) x

b

a

V = f 2 (x) dx

sehingga

f(x)

Catatan:jari-jari =jarak dari sumbu putar ke batas daerah


15x

y = x2

2x

x2

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika

daerah D yang dibatasi oleh y = x2 , sumbu x, dan garis x = 2 diputar terhadap sumbux

Jika irisan diputar terhadap sumbu x

akan diperoleh cakram dengan jari-jari

x 2 dan tebalx

Sehingga

V (x2 )2 x = x4x

Volume benda putar

2

05

32

5x5 |2=V = x4 dx=

0

x2


16

b. Daerah D = (x, y) | c y d , 0 x g( y) diputar terhadap sumbuy

d

x=g(y)

c

D

Daerah D Benda putar


c

d


17

y

V g 2 ( y) yc

x=g(y)

D

d

y

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris,hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas y diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatu

cakram lingkaran dengan tebal y danjari-jarig(y).

g(y)

sehingga

d

V = g2(y) dyc


18

4

y = x2

Contoh :Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = x2, garis y = 4, dan sumbu y jika diputar terhadap sumbu y

Jika irisandengan tinggi y dan tebal y diputar terhadap sumbu y akandiperoleh

cakram dengan jari-jari y dan tebal yy

y

y

Sehingga

V =( y)2 y = yy

Volume benda putar

0

0

2 4

4

V = ydy =2

y | =8

x = yy


19

Metoda Cincin

b

a. DaerahD = (x,y) | a x b , g(x) y h(x)diputar terhadap sumbux

h(x)

D

g(x)

a




20

x

h(x)

g(x)

a b

x

D

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris, hampiri, jumlahkan, danambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjang

dengan tinggi h(x) -g(x) dan alas x diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu

cincin dengan tebal x danjari –jari luar h(x) dan jari-jari dalam g(x).

sehingga V (h2 (x) − g 2 (x))x

a

b

V = (h2 (x) − g 2 (x))dx

h(x)

g(x)

Catatan penting!Jari-jari luar = jarak dari sb putar ke batas daerah paling luarJari-jari dalam =jarak dari sb putar ke batas daerah paling dalam

Menghitung Volume BendaPutar

21

y = x2

x

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerahD yang dibatasi oleh y = x,2

sumbu x, dan garis x = 2 diputar

terhadap garis y =-1

21

1+ x2D

Jika irisan diputar terhadap garis y = 1 akan diperoleh suatu cincin dengan

jari-jari dalam 1 dan jari-jari luar x2 +1

Sehingga

V = ((x2 +1)2 −12)x

= (x4 + 2x2 +1−1)x

=(x4 + 2x2 )xy=-1

2

4 2 5 3 21 205 3 5 3

32 16 17615

0

V = x + 2x dx =( x + x | ) =( + ) = Volume benda putar:


22

Metoda KulitTabung

Diketahui D = (x,y) | a x b , 0 y f (x)

a b

f(x)

D

Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar


Volume benda putar?


23

Ilustrasi Metode KulitTabung


24

x

Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatan iris , hampiri, jumlahkan danambil limitnya.

Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alasx serta berjarakf(x)

b

D

xa x

f(x)

x

x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y

akan diperoleh suatu kulit tabungdengan

tinggi f(x), jari-jari x, dan tebalx

sehingga V 2 x f (x) x

a

b

V = 2 xf (x)dx

Catatanpenting!Jari-jari = jarak dari partisi kesumbu putar.


25

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh y = x

2, sumbu x, dan

y = x2

x 2

x2

D

x

garis x = 2 diputar terhadap sumbuy

Jika irisan dengan tinggi x2 ,tebal x

danberjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperolehkulit tabung dengantinggi x2 , tebal x dan jari jarixSehingga

V = 2 x x2 x = 2 x3 x

Volume benda putar

2

0

2x4 |2 =8V = 2 x3 dx=

0


26

Catatan:

-Metoda cakram/cincinIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar

-Metoda kulit tabung

Irisan dibuat sejajar dengan sumbu putar

Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama

Contoh: Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang

dibatasi Oleh parabola y = x2, garis x= 2, dan sumbu xdiputar terhadap

a. Garis y =4b. Garis x =3


270

224

15

64 32

3 50

5 21

53− ) = − x ) | = (V = (8x2 − x4 )dx = (8 x3

a. Sumbu putar y =4

(i)Metoda cincin

y = x2

2

D

y=4

x

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh cincindengan

dJari-jari dalam =r = (4 − x2 )(4− x2 )

Jari-jari luar =4 rl = 4

− (4 − x2 )2 )x

− x4 )x

Sehingga

V ((4)2

=(8x2

Volume benda putar

2


28

(ii) Metoda kulittabung

y = x2

2

y=4

y

y

Jika irisan diputar terhadap garis y=4 akan diperoleh kulit tabungdengan

4 −yJari-jari = r = 4 −y

D 2− y

y

y)y

Tinggi = h = 2−

Tebal =y

Sehingga

V 2 (4 − y)(2−

y)yy − 2y +y= 2(8−4Volume benda putar

4

y − 2 y +yV = 2(8 − 40

2 53

y)dy = 2(8y − 8 y3 / 2 − y2 + y ) |5/ 2 4 224

0 15=


29

b. Sumbu putar x=3

(i)Metoda cincin

y = x2

2

D

y

x =3 Jika irisandiputar terhadap garis x=3diperoleh cincin dengan

1

=1Jari-jari dalam =rd

3

y 3− y

yJari-jari luar = rl = 3−

Sehingga

y )2 −(1)2 )y

y + y)y

V ((3−

=(8−6

Volume benda putar

4

y + y)dyV = (8−60

0= (8y − 4y3 / 2 + 8 |4 ) = 8


30

y = x2

2

D

x

(ii) Metoda kulittabungx=3

x

x2

3

3-x

Jika irisan diputar terhadap garis x=3 diperoleh kulit tabung dengan

Tinggi = h = x2

Jari-jari = r = 3-x

Tebal =x

Sehingga

V 2(3− x)x2x

= 2 (3x2 − x3 )xVolume benda putar

2

− 1 x4 ) |2 = 2(8− 4) = 84 0

V = 2 (3x2 − x3 )dx = 2(x3

0

Panjang Kurva

31

Persamaan parameter kurva dibidang

x = f(t)y = g(t)

,a t b

Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebut titik ujung dari kurva.

Definisi: Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika

(1)

(i) f ' dan g ' kontinu pada [a,b]

Kurva tidak berubah sekonyong-konyong

(ii) f ' dan g ' tidak secara bersamaan nol pada (a,b)

Panjang Kurva

32

Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitung panjang kurva

Langkah

1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian

a = to t1 t2 ... tn = b

a bt1

● ● ● ●ti−1 ti tn−1

Partisi pada [a,b]

Paritisi pada kurva

1Q●

●

●Qo

Qi−1● ●Qi Qn

Panjang Kurva

33

2. Hampiri panjang kurva

Qi−1

Qisi

wi

Qi−1Qisi panjang busur

wi panjang tali busur Qi−1Qi

Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur

si wi

ix

yi

= (x )2 + (y )2

i i

= [ f (t ) − f (t )]2 + [g(t ) − g(t )]2

i i−1 i i−1

Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata untukturunan, terdapat sehinggaˆ , t )

i i i−1 it , t (t

f (ti ) − f (ti−1) = f '(ti

)t ˆg (t ) − g(t ) = g ' (t

)ti i−1 i

Panjang Kurva

34

dengan −ti−

1

ti = ti

sehingga

iw = [ f '(t )t ]2 +[g'(tˆ )t ]2

i i i i

i i

22 ˆ= [ f '(t )] +[g '(t )]

ti

Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur

i i

22 ˆn

L [ f '(t )] +[g '(t )]

tii=1

Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh

b

L = [ f '(t)]2 +[g '(t)]2 dta

Panjang Kurva

35

Ctt:

Jika persamaan kurva y=f(x), a x b

b

L = [ f '(t)]2 +[g'(t)]2 dta

dtdt

dx dyb

= [ ]2 +[ ]2 dta

d

L = [ f '(t)]2 +[g'(t)]2 dtc

dxdydx

dt

b

a dx

dx

2

2

2 1+ dy

)dt =) (1+

b

= (a

Jika persamaan kurva x=g(y), c y d

d dx dy= [ ]2 +[ ]2 dt

c dt dt

dxdy

dt

dxd

c dx

dt =

dx

2

2

2 1 + dy

d

= ( ) 1+c

Panjang Kurva

36

Contoh : Hitung panjang kurva

1. x = t 3, y = t 2; 0 t 4

x'(t) = 3t 2 , y'(t) = 2t

Panjang kurva

4 4

= 9t 4 + 4t 2dt0 0

4

= t 2(9t 2 + 4)dt

0

9t 2 + 4dt

L = (3t 2)2 + (2t)2dt04

= t4

018t

d (9t 2 + 4)= t(9t 2 + 4)1/ 2

018 3+ 4)3 / 2 |4= 1 2 (9t2

272740 − 8) = 1 (80 10 −8)= 1 (40

Panjang Kurva

37

2. antara x =1/3 dan x=7y = 2x3 / 2

Jawab :

dx

dy = 3x1 / 2

1/ 3 1/ 3

7

1+ 9xdx

7

L = 1+ (3x1/ 2)2dx =

7

1/3

9(1+ 9x)1/ 2d (1+ 9x)= 1

1/ 327|7 = 2 (512 − 8) = 37 1

27 3= 2 (1 + 9x)3 / 2

Soal Latihan

38

A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh

1. y = x2 dan y = x + 2

y = x3, y = −x, dan y = 82.

3. y = x , y = 4x , y = -x +2

4. y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2.

Soal Latihan

39

B. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang di batasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x

1. y = x3, y = 0, dan x = 2

2. y = 9 − x2 dan y = 0

3.

4.

y = x2 dan y = 4x

y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = /4

y = x3 dan y = x, di kuadran 15.

Soal Latihan

40

Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :C. Daerah D dibatasi oleh kurva y = x dan garis x = 2y.

(1) sumbu x(2) garis x = -1

(3) garis y = 4

(4) sumbu y(5) garis y = -2

(6) garis x = 4

dan garis x+ y = 4.Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :

D. Daerah D dibatasi oleh parabol y = 4x − x 2

(1) sumbu x(2) garis x = 6

(3) sumbu y(4) garis y = -1

Soal Latihan

41

E. Hitung panjang kurva berikut

2 4

y =1

(x2 + 2)3 / 2 , 0 x 13

2

y =x

−ln x

, 2 x 4

y = ln(1 − x2), 0 x 1/ 2

x =1

y (y − 3), 0 y 93

x = 4 sin t, y = 4 cos t − 5; 0 t 1.

2. x = 3t 2 + 2, y = 2t 3 −1/ 2; 1 t 4

3.

4.

5.

6.

Aplikasi Integralexpertcourse.net/assets/document/modul/Teknik/Kalkulus-1/BAB7.pdf · Menghitung...

Documents

Transcript of Aplikasi Integralexpertcourse.net/assets/document/modul/Teknik/Kalkulus-1/BAB7.pdf · Menghitung...