PERTEMUAN IPersamasan Differensial

Persamaan Differensial ( P.D ) adalah persamaan yang memuat turunan

( derivative ) . atau differensial dari suatu variabel misalnya :

dy = (x2 + 3)dx

Persamaan differensial biasa ( ordinary differential equation ) seperti berikut

dibawah ini.

I-1

Penyelesaian suatu persamaan differensial ialah mencari suatu fungsi yang

tidak memuat turunan dan memenuhi persamaan differensial yang diberikan.

Penyelesaian dapat saja dilakukan satu atau beberapa kali integrasi.

Definisi

Persamaan differensial order satu : Hanya memuat turunan pertama

Persamaan differensial order dua : Memuat derivative oder dua

( dapat juga memuat derivative order satu )

Derajat ( degree ) dari suatu persamaan differensial adalah pangkat dari

order persamaan differensial.

Linear dan nonlinear: Suatu persamaan differensial dikatakan linear bila

persamaan differensial hanya berorder satu sebalikya non linear.

Homogeneous and nonhomogeneous: A differential equation is said to be

homogeneous if there is no isolated constant term in the equation, e.g., each

term in a differential equation for y has y or some derivative of y in each term.

Examples:

1)

Contoh

I-2

Persamaan Differensial Order satu derajat satu.

Bentuknya :

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 atau

P ( x , y ) dx + Q ( x , y ) dy = 0

I ( x , y ) dx + J ( x , y ) dy = 0

Persamaan Differensial ini dibagi atas :

Separable Equations

Persamaan differensial dari bentuk :

dinamakan separabel bila f(x,y) = h(x) g(y); that is, I-3

Untuk penyelesaian dari persamaan ini dilakukan beberapa langkah ( steps )

yaitu :

(1) Untuk g(y) = 0 maka penyelesaian merupakan suatu konstante.

(2) Persamaan (S) ditulis sebagai :

,

Kemudiasn diintegralkan kedua ruas kiri dan kanan yaitu :

akan diperoleh

(3) Konstante yang muncul pada ruas kiri dan kanan , cukup di tulis satu

kali saja

(4) Bila pada persamaan diberikan syarat awal , maka substitusikan syarat

tersebut dalam persamaan pada step (3) maka akan diperoleh

konstante C

I-4

Example 1:    y2 dy + x3 dx = 0

Persamaan diatas sudah memenuhi bentuk umum sehingga langsung di

integralkan.

Example 2:

Pertama harus dilakukan pemisahan variabel seperti berikut :

atau dapat ditulis sebagai berikut :

Kemudian diintegralkan :

I-5

Example 3 :

Lakukan pemisahan variabel

Kemudian diintegralkan :

Misalkan u = (1 + 4x2),

Sehingga du = 8x dx du/8 = x dx

I-6

didapat penyelesaian umum adalah :

Example: Find the particular solution of

Solution : Perform the following steps:

(1) Untuk mencari penyelesaian konstante maka dicari penyelesaian dari

y2 – 1 = 0

diperoleh y = 1 dan y = -1

(2) Persamaan ditulis dalam bentuk :

.

Kedua ruas kiri dan kanan di integralkan :

,

diperoleh

I-7

(3) Penyelesaian dari persamaan adalah :

(4) Karena penyelesaian konstante tidak memenuhi maka selanjutnya

substitusikan syarat y = 2 untuk x = 1 diperoleh :

.

Penyelesan akan menjadi

Kedua ruas dikalikan dengan 2 dan dengan operasi logaritma diperoleh :

Setelah di sederhanakan didapat :

Example: Find all solutions to

.

Solution: First, we look for the constant solutions, that is, we look for the

roots of

I-8

This equation does not have real roots. Therefore, we do not have constant

solutions.

The next step will be to look for the non-constant solutions. We proceed by

separating the two variables to get

.

Then we integrate

Since

we get

Therefore, we have

Finally, because there are no constant solutions, all the solutions are given by

the implicit equation

I-9

Example: Solve the initial value problem

Answer: This is a separable equation. Indeed, we have

Before we get into integration we need to look for the constant solutions. These

are the roots of the equation 1 + y2 . Since this equation has no real roots,

we conclude that no-constant solution exists. Therefore, we proceed with the

separation of the two variables and integration. We have

,

which gives

Since

and

,

we get

I-10

The initial condition y(0)=1 gives

The particular solution to the initial value problem is

,

or in the explicit form

Soal-soal :

1. Selesaikan P.D : x dy + y dx = 0 gabungkan f(y) dengan

dy dan f(x) dengan dx Jawab.

ln y + ln x = c1 atau xy = c

2. Selesaikan P.D : x = y2 + 1

Jawab

arc tg y = ln x + c

3. Selesaikan P.D :

Jawab. y dy = x2 dx ½ y2 = 1/3 x3 + c

I-11

3 y2 – 2x3 = c

4. Selesaikan P.D :

Jawab.

5. Selesaikan P.D : ( xy2 + x ) dx + (yx2 + y ) dy = 0 dan

cari penyelesaian

khusus bila y(1) = 2

Jawab. x ( y2 + 1 ) dx + y ( x2 + 1 ) dy = 0

½ ln ( x2 + 1 ) + ½ ln ( y2 + 1 ) = c1 atau

( x2 + 1 ) ( y2 + 1 ) = c untuk x = 1 dan y = 2

didapat (12+1)(22+1) = c

c = 10 Jadi penyelesaian khusus :

( x2 + 1 ) ( y2 + 1 ) = 10

6. Selesaikan P.D : ( 1 + x2 ) dy + xy dx = 0 Jawab.

ln y + ½ ln ( 1+x2 ) = c1

atau y2 ( 1 + x2 ) = c

I-12

7. Selesaikan P.D : dx – x tg y dy = 0 Jawab.

ln x + ln cos y = ln c atau x cos y = c

8. Selesaikan P.D : dy = ( 4 x + y + 1 ) 2 dx Jawab. misalkan z = 4x + y + 1

arc tg (+ c

WIMS Home References Help About WIMS Help

Solucia

The general solution is :

Some solution curves :

I-13

Size of the drawing : small    average    big   

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=F94AA1D95A.3&+lang=en&+module=tool/

analysis/solucia.en&+cmd=resume&+menu=expert

http://www.falstad.com/diffeq/

I-14

http://www.ies.co.jp/math/java/calc/DiffEqu/DiffEqu.html

http://cs.jsu.edu/mcis/faculty/leathrum/Mathlets/diffeq.html#applettop

I-15

Solving a Separable Ordinary Differential Equation

http://mss.math.vanderbilt.edu/cgi-bin/MSSAgent/~pscrooke/MSS/sepode.def

ODE: dx + dy = 0

2 yThe ODE is: (x - sin(x))dx + (y + e y)dy = 0. 3 2 x y yThe general solution is: -- + cos(x) + e (-1 + y) + -- = c.

3 2

I-16

I-17

I-18

I-19

Tangent Field of a First Order ODE: dy/dx = f(x,y)

http://mss.math.vanderbilt.edu/cgi-bin/MSSAgent/~pscrooke/MSS/tangentfield.def

I-20

ODE: dy/dx = .

The tangent field is plotted over a rectangle in the xy-plane: [-a,a] x [-b,b].

Choose a: b: .

If you would like to see the graph of a particular solution for an IVP, enter an initial condition.

x0:

y0:

2The tangentfield of the ODE: dy/dx = y + x.

TERIMA KASIH

I-21