Hal 1 dari 12

Separable Differential Equations

(Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT))

Sebuah persamaan diferensial terpisahkan (PDT) adalah setiap persamaan diferensial yang dapat ditulis

dalam bentuk berikut..

(1)

Bentuk PDT di atas dapat dirubah menjadi PDT berikut dimana komponen variabel x dan

komponen variabel terikat y terpisahkakan dengan tanda =.

Memecahkan persamaan diferensial dipisahkan cukup mudah, yaitu dengan melakukan integrasi pada ruas kanan dan kiri dari persamaan di atas sehingga menjadi seperti berikut:

(2)

Setelah diintegralkan akan diperoleh jawaban dari PDT tsb apakah solusi tersebut implisit atau eksplisit. Perlu dicatat tidak semua solusi persamaan diferensial bisa dibut eksplisit.

Ingat bahwa suatu solusi persamaan diferensial disebut eksplisit jika dapat dituliskan dalam bentuk

, jika tidak maka solusi tersebut adalah solusi implisit.

Kita perlu meneliti tentang interval validitas bagi banyak solusi. Ingat bahwa interval validitas adalah kisaran nilai (domain) variabel independen, x dalam kasus ini, di mana solusi tersebut valid (terdefinisikan). Dengan kata lain, kita perlu untuk menghindari pembagian dengan nol, bilangan kompleks, logaritma dari angka negatif atau nol, dll Sebagian besar solusi yang akan kita dapatkan dari persamaan diferensial dipisahkan tidak akan berlaku untuk semua nilai x.

Contoh 1:

Cari solusi dari PDberikut dan tentukan interval validitas nya!

Solusi:

Solusi di atas adalah solusi umum yang masih implisit. Untuk merubah menjadi jawaban eksplisit

sangat mudah dimana yaitu dengan membuat solusi tsb dalam bentuk , sehingga

diperoleh

Hal 2 dari 12

𝑦(𝑥) = −1

(3𝑥2 + 𝑐)

Karena diketahui kondisi tambahan bahwa y(1)=1/25 maka dari solusi implisit di atas dapat

diaplikasikan sebagai berikut:

Dengan demikian diperoleh solusi spesifik yang eksplisit sebabagai berikut:

𝑦(𝑥) =1

(28 − 3𝑥2 )

Selanjutnya kita perlu meneliti interval validitasnya dari solusi PDT tsb. Pertama, tidak boleh ada

pembagian oleh nol; yaitu pada saat

, karena hal ini akan menyebakan pembagian dengan bilangan

NOL. Ini akan memberikan kita 3 kemungkinan interval validitas, yaitu:

Namun hanya satu dari 3 kemungkinan interval validitas yang memenuhi syarat karena berisi nilai

x=1 dari kondidi inisial yaitu y(1)=1/25. Sehingga interval validitasnya

adalah .

Jika solusi spesifik (khusus) tersebut diplotkan dalam bentuk kurva maka dapat diproleh sbb:

Contoh 2:

Hal 3 dari 12

Contoh 3:

Contoh 4:

Persamaan di atas ternyata bukan PDT!. Upayakan dapat dikonversi menjadi PDT dengan cara berikut:

Kembali ke contoh 4:

Hal 4 dari 12

Solusi di atas adalah solusi umum yang masih implisit. Perlu dicatat bahwa contoh 4 merupakan

kasus non-PDT yang bisa dikonversi menjadi PDT dg mengkonversi menjadi bentuk dy/dx =

F(y/x). Selanjutnya kapankah suatu non-PDT bisa dirubah menjadi dy/dx = F(y/x)?

Contoh 5:

Hal 5 dari 12

Hal 6 dari 12

Hal 7 dari 12

Hal 8 dari 12

Hal 9 dari 12

Hal 10 dari 12

Hal 11 dari 12

Persamaan Bernoulli

Hal 12 dari 12