Post on 01-Feb-2018
1
PERSAMAAN BERNOULLI
Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng
Pendahuluan
Pada zat cair diam, gaya hidrostatis mudah dihitung karena hanya bekerja gaya tekanan.Pada zat cair mengalir, diperhitungkan kecepatan, arah partikel, kekentalan yang menyebabkan gesekan antar partikel maupun dinding batas. Persamaan energi gerak partikel diturunkan dari
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
persamaan gerak.Persamaan energi → persamaan Euler untuk 3-D, persamaan Bernoulli untuk 1-D.
2
Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli adalahhubungan pendekatan antara tekanan, kecepatan , pdan elevasi dan berlaku dalam aliran mantap, tak termampatkan dimana gaya geseran netto diabaikan.Persamaan berguna dalam daerah aliran di luar lapis batas (boundary layers)
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
batas (boundary layers), dimana gerak fluida ditentukan efek gabungan gaya tekanan dan gaya berat.
Persamaan Bernoulli
Anggapan:Zat cair ideal, tidak mempunyai kekentalanZat cair ideal, tidak mempunyai kekentalanZat cair homogen, tidak termampatkanAliran kontinu dan sepanjang garis arus(irrotational flow)Kecepatan merata
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
pGaya yang bekerja hanya gaya berat dantekanan.
3
Garis aliran
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Gaya-gaya yang Bekerja
Ditinjau elemen zat cair pada garis arus,
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
4
Penurunan Persamaan Bernoulli
Go to Hydrodynamic Analysis
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Gaya-gaya yang Bekerja
p ⎞⎛ ∂
Gaya tekan dari up stream: p.dAd i d t dAds
spp ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+dari down stream:Berat zat cair: W = ρ.g.dA.dsKomponen berat arah s : ρ.g.dA.ds.cosθ
:ρ.g.dAds.∂z/∂sResultan gaya:
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
szdsdAgdsdA
spF
∂∂
−∂∂
−= .... ρ
5
Keseimbangan Gaya
Menurut hukum Newton II:F = M.a
zp ∂∂
Bila v = f(s,t) →
adsdAszdsdAgdsdA
sp ...... ρρ =
∂∂
−∂∂
−
( ) azps
ργ =+∂∂
−
svv
tv
ts
sv
tv
dtdva
∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
==
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Sehingga pers menjadi:→ pers. Euler ( ) 0. =+
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂ zp
ssvv
tv γρ
Persamaan BernoulliDari pers. Euler
Untuk aliran tetap 1-D, dv/dt =0 maka
( ) 0. =+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂ zp
ssvv
tv γρ
atau → pers. Bernoulli
( ) 0. =++ zpdvdv γρ
Czpv =++ γρ 2
21
constHvpz ==++2
2
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
dimana : H = total head (tinggi tekan total)z = potential head (tinggi tempat)p = pressure head (tinggi tekan)
v2/2g = velocity head (tinggi kecepatan)
g2γ
6
Garis Energi Zat Cair Ideal
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Persamaan energi:g
vpzH2
2
++=γ
Persamaan Bernoulli
Tanpa memperhitungkan kehilangan energi, dua titikpada garis arus yang sama memenuhi
2 2P V P V
dimana P/ρ : energi aliran, V2/2 : energi kinetis, dan gz :energi potensial, semua per unit mass.Persamaan Bernoulli dapat dilihat sebagai pernyataankeseimbangan energi mekanis (mechanical energy
2 21 1 2 2
1 21 22 2P V P Vz zg g g gρ ρ+ + = + +
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
keseimbangan energi mekanis (mechanical energybalance)Dinyatakan dalam kata-kata oleh ahli matematik SwissDaniel Bernoulli (1700–1782) dalam teks ditulis padatahun 1738.
7
Persamaan Bernoulli
Keseimbangan gaya tegak lurus garis arus
Keseimbangan gaya dalam arah-n tegak lurus garis arusuntuk aliran mantap, tak termampatkan:
untuk aliran sepanjang garis lurus, R → ∞, maka persamaan menjadi:
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
menjadi:
adalah pernyataan untuk variasi tekanan hidrostatissebagaimana sama dengan dalam fluida diam
Persamaan Bernoulli
Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak mantap, termampatkan adalah:
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
8
Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi
Persamaan Bernoulli
P adalah tekanan statis; ini merepresentasi tekanan termodinamika aktual dari fluida.ρV2/2 adalah tekanan dinamis; ini merepresentasikenaikan tekanan bila fluida dalam gerak.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
kenaikan tekanan bila fluida dalam gerak.ρgz adalah tekanan hidrostatis, tergantung pada bidang referensi yang ditetapkan.
Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi
Jumlah tekanan statis, dinamis, dan hidrostatisdisebut tekanan total(konstan sepanjang garis(konstan sepanjang garis arus).Jumlah tekanan statis dan dinamis disebut tekanan stagnasi,
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari :
9
Aplikasi Persamaan Energi
Titik 2 : titik stagnasi
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Dari pers energi didapat: p2 = p1 + ½ ρv12
Tekanan dinamis = ½ ρv12
Tekanan stagnasi = p2
Tabung Stagnasi
gVzp
gVzp
22
22
22
21
11 ++=++
γγ
ppV
pg
Vp
2
)(22
122
1
22
11
−=
=+
ρ
γγ
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
glV
ddl
2
))((2
1 =
−+= γγρ
10
Tabung Stagnasi dalam Pipa
gV2
2
VpH2
γp
Flow
Pipe
gzpH
2++=
γ
2
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
z
0=z
1
Pipa Pitot-statis
Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari:
Piezometer mengukur tekanan statis.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
11
Alat Pengukur Kecepatan (Pitot)
D i i ½ 2
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Dari pers energi : p2 = p1 + ½ ρv12
ρgh2 = ρgh1 + ½ ρv12
( )121 2 hhgv −=
Venturi meter
Total energi titik 1 = total energi titik 2
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Total energi titik 1 = total energi titik 2Dari persamaan tsb dapat dihitung debit aliran
22
21
21
12
AA
ghAACQ
man
dact −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=ρ
ρ
12
Garis Energi dan Garis Tekanan
Sering lebih enak untuk menggambar energi mekanis nenggunakan tinggi.
P/ρg adalah tinggi tekanan; ini merepresentasikan tinggi kolomfluida yang menghasilkan tekanan statis P.V2/2g adalah tinggi kecepatan; ini merepresentasikan elevasi yangdiperlukan untuk fluida mencapai kecepatan V selama jatuh bebas
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
p p p jtanpa gesekan.z adalah tinggi elevasi; ini merepresentasikan energi potensial darifluida.H adalah tinggi total.
Garis Energi dan Garis Tekanan
Garis Tekanan (HGL)
PHGL +
Garis Energy (EGL) (atau tinggi total)
HGL zgρ
= +
2P V
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
2P VEGL zg gρ
= + +
13
Garis Energi Aliran Zat Cair Riil
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
HGL dan EGL
Untuk benda diam seperti wadukatau danau, EGL dan HGL berimpitdengan permukaan bebas zat cair,sepanjang kecepatannya nol danp j g p ytekana statis (gage) = nol.EGL selalu berjarak V2/2g di atasHGL.Dalam idealized Bernoulli-type flow, EGL horisontal dan tingginya tetap konstan. Ini juga untuk HGL bila kecepatan aliran konstan.Untuk aliran saluran terbuka (open-channel flow) HGL berimpit dengan
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
channel flow), HGL berimpit denganpermukaan bebas zat cair, dan EGLberjarak V2/2g di atas permukaanbebas.
14
HGL dan EGL
Tekanan fluida (gage) adalah nol pada titikdimana HGL memotong fluida.Tekanan dalambagian aliran yang terletak di atas HGL negatifbagian aliran yang terletak di atas HGL negatif,dan tekanan bagian yang terletak di bawah HGLpositif.
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Kecepatan aliran dalam pipa = 0
15
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Aliran zat cair ideal
Garis Energi Aliran Pipa-Waduk
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Aliran zat cair riil
16
Contoh Diketahui: kecepaian dalam outlet pipa dari reservoir adalah 6 m/s dan h = 15 m.Hitung : Tekanan di A.Penyelesaian : persamaan Bernoulli titik 1
Vhp
gVp
gh
gVzp
gVzp
AA
AA
AA
A
)1815(9810)(
20
200
22
2
2
221
11
−=−=
++=++
++=++
γ
γγ
γγ
Titik A
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
kPapg
hp
A
A
2.129
)81.9
5(98 0)2
(
=
γ
Contoh Diketahui: D=30 in, d=1 in, h=4 ftHitung: VA
Penyelesaian: persamaan Bernoulli
Point 1
ghV
gV
gh
gVzp
gVzp
A
AA
A
2
200
200
222
221
11
=
++=++
++=++
γγ
γγPoint A
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
sftghVA
/162
=
=
17
Contoh – Tabung VenturiDiketahui: air 20oC, V1=2 m/s, p1=50 kPa, D=6 cm, d=3 cmHitung : p2 dan p3
Penyelesaian : persamaan kontinuitas. D Dd
Persamaan Bernoulli
2
12
112
2211
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
=
dDV
AAVV
AVAV
1
2
3
VVpp
gVzp
gVzp
)(2
22
22
2112
22
22
21
11
−+=
++=++
ργγ Sama halnya untuk 2 3, atau 1 3
kPap 150=
Nozzle: kecepatan meningkat, tekanan turun
Diffuser: kecepatanturun, tekanan meningkat
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
( )
( )
kPap
Pa
VdDp
120
2]3/61[2
1000000,150
]/1[2
2
24
21
41
=
−+=
−+=ρ
Penurunan tekanan terjadi, selama dianggap tidak ada kehilangan karena gesekan
kPap 1503 =
( ) ]/1[)(24
212 Dd
ppV−
−=
ρTahu penurunan tekanan 1 2 dan d/D, dapat dihitung kecepatan dan debit
Analisis Energi Aliran Mantap
Jika tidak ada kehilangan energi mekanis dan tidak adaperalatan kerja mekanis, maka persamaan Bernoulli menjadi:
2 21 1 2 2P V P Vz z+ + + +
Faktor koreksi energi kinetis, αMenggunakan kecepatan aliran rata-rata dalam persamaandapat menyebabkan kesalahan dalam perhitungan energikinetis; oleh karenanya, α, faktor koreksi energi kinetis,digunakan untuk mengkoreksi kesalahan dengan menggantit i ki ti V2/2 d l i d
1 1 2 21 2
1 22 2z z
g g g gρ ρ+ + = + +
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
term energi kinetis V2/2 dalam persamaan energi denganαVavg
2 /2.
α = 2.0 untuk aliran laminer dalam pipa, dan antara 1.04 dan 1.11 untuk aliran turbulen dalam pipe bulat.
18
Faktor Koreksi Energi Kinetik
Kecepatan rata-rata pada penampang v, energi kinetikv2/2g
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
gKenyataan kecepatan tidak merata, sehingga energikinetik rata-rata α.v2/2gDimana α = koefisien Coriolis
= koreksi energi kinetik
Analisis Energi Aliran Mantap
α sering diabaikan, sepanjang mendekati 1 untuk aliran turbulen danuntuk aliran turbulen dan kontribusi energi kinetis kecil.persamaan energi untuk aliran mantap, tak termampatkan, menjadi
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
19
Harga Faktor Koreksi α
Harga faktor koreksi ∫=A
dAvAv
33
1α
Harga α tegantung distribusi kecepatanAliran dalam pipa : laminer α = 2
turbulen α = 1,01 – 1,15
A
Chapter 6: Persamaan Bernoulli
Setelah dikoreksi persamaan energi menjadi :
gvpz
gvpz
22
22
22
2
21
11
1 αγ
αγ
++=++
Chapter 6: Persamaan Bernoulli