BAB III · Web viewCara tersebut adalah: 1) faktor integral, 2) metode Lagrange, 3) mengubah...

BAB III

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR

3.1 Bentuk Umum

Persamaan differensial linear dikategorikan sebagai persamaan

differensial tingkat satu derajat satu, sehingga bentuk umum persamaan

differensial linear dapat dinyatakan dengan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0.

Dalam hal yang lebih khusus persamaan differensial linear tingkat satu

dinyatakan dalam bentuk umum

p1(x) + po(x) y = q(x)

dimana p1(x) 0, po(x), q(x) adalah fungsi x yang tidak bergantung

kepada y.

Jika masing-masing bagian pada persamaan differensial linear di atas

diballgi dengan p1(x) maka diperoleh bentuk:

+ y =

dxdy + P(x) y = Q(x), dimana P(x) = dan Q(x) =

P(x) dan Q(x) kontinu dalam suatu interval I Real.

Contoh

1. 2xy = 4x, P(x) = 2x, Q(x) = 4x

2. dxdy y = (2+2x), P(x) = 1, Q(x) = (2+2x)

Persamaan Differensial-Dwi Purnomo 66

3. x dxdy (2-3x )y = x

, P(x) = , Q(x) = 1

4. y ln y dx + (x-ln y) dy = 0

, P(y) = , Q(y) =

5. sin x dxdy (cos x) y = x2 sin x

, P(x) = cot x, Q(x) = x

Contoh persamaan 1-5 di atas adalah persamaan differensial

linear (tingkat 1). Selanjutnya perhatikan persamaan differensial tingkat

satu derajat satu di bawah ini.

6. dxdy 3xy2 = sin x, karena ada y2

7. dxdy (sin x) y3 = ex + 1, karena ada

8. - y = xy , karena Q(x) tergantung selain x, yaitu y

9. + y = x2y, karena Q(x) tergantung selain x, yaitu y.

10. x dy + y x dx = 0.

Contoh 6-10 di atas bukan persamaan differensial linear karena Q(x)

bukan fungsi x yang tidak bergantung pada y sebagaimana syarat yang


disebutkan dalam bentuk umum dan tidak sesuai dengan bentuk dxdy +

P(x) y = Q(x).

3.2 Cara Menentukan Selesaian Persamaan Liner

Persamaan differensial linear dxdy + P(x) y = Q(x) dapat ditentukan

selesaian umumnya dengan beberapa cara. Masing-masing cara

menggunakan pendekatan yang berbeda, walaupun pada akhirnya

diperoleh bentuk umum selesaian yang sama. Cara tersebut adalah: 1)

faktor integral, 2) metode Lagrange, 3) mengubah menjadi PD eksak,

dan 4) persamaan Bernoulli.

1. Cara Faktor Intregral

Misal selesaian dxdy + P(x) y = Q(x) adalah y = uv, dimana u dan v

masing-masing fungsi dari x sehingga y’ = u’v + uv’. Dengan

mensubstitusikan y dan y’ ke persamaan

dxdy + P(x) y = Q(x).

(u’v + uv’) + P(x) uv = Q(x)

v(u’ + P(x)u) + uv’ = Q(x)

Jika dimisalkan u’ + P(x)u = 0 maka uv’ = Q(x), Akibatnya untuk u’ +

P(x) u = 0 diperoleh = - P(x)u

= -P(x) dx


= - P(x) dx

Ln u = - P(x) dx

u =

Substitusikan u ke uv’ = Q(x), sehingga didapatkan

v’ =

=

dv =

v =

= + C

=

v = Q(x) dx + C

Karena selesaiannya y = uv, maka selesaian umum (primitif) persamaan

differensial linear

dxdy + P(x) y = Q(x) adalah

y = ( Q(x) dx + C )

y = Q(x) dx + C

selanjutnya dinamakan faktor integral (I)


Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan differensial

liner di bawah ini

1. dxdy y = (2+2x)

Jawab

P(x) = 1 dan Q(x) = (2+2x)

Faktor integralnya I = = e

Sehingga selesaian umumnya persamaan dxdy y = (2+2x) adalah

ye = ) e dx

y = e x dx + e 2e x x dx

= ( 2e +C ) + 2e (xe - e +C)

= 2 + Ce + 2x – 2 + Ce

= 2x + 2ce

= 2x + ce

2. y ln y dx + (x-ln y) dy = 0

Jawab

y ln y dx + (x-ln y) dy = 0

dydx + x =


P(y) = dan Q(y) =

Faktor integral e = e = e = Ln y

Selesaian umumnya

xe = dy

x Ln y = y dy

= y d(ln y)

= ½ ln + c

Persamaan linear y ln y dx + (x-lny) dy = 0 mempunyai selesaian

umum

2x Ln y = Ln + c

3. x dxdy (2-3x ) y = x

Jawab

Persamaan di atas dibagi dengan x diperoleh persamaan linear baru

+ ( ) y = 1

P(x) = ( ) dan Q(y) = 1

Sehingga faktor integralnya e dxxP )( = e = e

Selesaian umumnya


ye = dx

= 1.e dx

= e e dx

y e = (1/2 e + c)

Persamaan differensial linear x dxdy (2-3x ) y = x mempunyai

selesaian

y e = (1/2 e + c)

2. Cara LAGRANGE

Menyelesaikan persamaan differensial linear dxdy + P(x) y = Q(x)

dapat juga dilakukan dengan Cara Lagrange. Cara ini dilakukan dengan

mengubah persamaan linear sehingga ruas kanan sama dengan 0 dan

mengubah konstanta C menjadi fungsi dari x atau C(x).

Perhatikan kembali persamaan

dxdy + P(x) y = Q(x)

y’ + P(x)y = Q(x)

Ambil y’ + P(x)y = 0, maka

= -P(x)y

= -P(x) dx


= -P(x) dx

ln y = -P(x) dx

y = e

y = e

y = e .e

y = c(x) e

Selanjutnya akan dicari fungsi c(x) dari persamaan y

= c(x) e , maka

Ln y = ln (c(x) e )

ln y = ln c(x) + Ln e

ln y = ln c(x) -

Jika persamaan di atas didefferensialkan terhadap x, diperoleh:

=

y ( )

=

Dari persamaan y = c(x) e diperoleh:

P(x) y =

Q(x) = e


= Q(x) e

c(x) = Q(x) e dx

Dengan mensubtitusikannya ke dalam y = c(x) e maka

diperoleh selesaian umum persamaan dengan metode Lagrange

y = e ( Q(x) e dx )

Contoh soal

Tentukan selesaian umum persamaan

1. + y Cotgn x = 5e

Jawab

P(x) = cotgn x dan Q(x) = 5ecos x

Sehingga faktor integralnya e = eln sin x = sin x.

Selesaian umum persamaan yang dicari adalah:

ye = dx

y sin x = sin x dx

y sin x = d(-cos x)

y sin x = 5(-e ) + C

2. (x-2) = y + 2(x-2)

Jawab

Persamaan dibagi dengan (x-2) diperoleh:


- = 2(x-2)

P(x) = dan Q(x) = 2(x-2)

Faktor integral e = e = e =

Selesaian umum persamaan diperoleh + y Cotgn x = 5e

ye = dx

= dx

= 2 dx

3. Cara Mengubah menjadi Persamaan Differensial Eksak.

Karena dxdy + P(x) y = Q(x) atau (P(x)y – Q(x)) dx + dy = 0 belum

merupakan persamaan differensial eksak untuk P(x) 0, maka perlu

mencari faktor integralnya.

Misal u(x) faktor integral, maka

u(x)[ (P(x)y – Q(x)) dx + dy = 0 ]

[u(x)P(x)y – u(x)Q(x)] dx + u(x) dy = 0 merupakan persamaan

differensial eksak.

Berdasarkan syarat persamaan differensial eksak diperoleh


= u(x)P(x) dan =

sehingga = u(x)P(x)

)(xudu = P(x) dx

)(xudu = P(x) dx

ln u(x) = P(x) dx

u(x) = e

Selanjutnya jika nilai u(x) dikalikan dengan dxdy + P(x) y = Q(x), diperoleh

u(x) dxdy + u(x) P(x) y = u(x) Q(x)

Karena = u(x) P(x), maka

u(x) dxdy + = u(x) Q(x)

(u(x)y) = u(x)Q(x)

Dengan mengintegralkan persamaan terakhir terhadap x diperoleh

(u(x)y) = u(x)Q(x) dx

u(x) y =

y = u(x)

y = e dxxQxu )()( adalah selesaian umumnya.

Karena u(x) = e maka diperoleh


y = e e dx

Contoh


1. - = x cos x

Jawab

Kalikan persamaan dengan x, sehingga didapat

- = x cos x

P(x) = dan Q(x) = x cos x

u(x) = e

= e

=

Jika persamaan - = x cos x dikalikan dengan u(x) =

diperoleh

x - 2yx = cos x

= cos x

x y = x dx

y = x sin x + cx


2. y dx + (3xy-1) dy = 0

Jawab

y dx + (3xy-1) dy = 0

+ =

P(y) = Q(y) =

u(x) = e = y

Selesaian umum persamaan di atas

xe = dy

xy = y dy

xy = ½ y + c

4. Persamaan BERNOULLI

Persamaan differensial linear disebut persamaan Bernoulli jika bentuk

umumnya

dxdy + P(x) y = y Q(x),

ydxdy + P(x) y = Q(x)

Untuk menentukan selesaian umumnya misalkan y = v.

Dengan menurunkan terhadap variabel x, diperoleh

(1-n) =


ydxdy =

Substitusikan y = v dan ydxdy = ke

persamaan

ydxdy + P(x) y = Q(x) diperoleh

+ P(x)v = Q(x)

+ (1-n)P(x) v = (1-n)Q(x)

Bentuk terakhir adalah persamaan differensial linear yang

selesaian umum dapat dicari dengan metode faktor integral atau

metode Lagrange atau metode Pengubahan persamaan differensial

eksak.

Misal (1-n)P(x) = p(x) dan (1-n)Q(x) = q(x)

Maka selesaian umumnya adalah v = e ( q(x) e dx )

Contoh soal


1. - y = xy

Jawab

- y = xy

- y = x


Misal y = v maka -2y =

= -

Substitusikan ke persamaan semula, didapat:

- - v = x

+ 2v = -2x

dimana p(x) = 2 , q(x) = -2x dan faktor integral (I) = e = e

selesaian umumnya

ve = q(x)e dx

ve = dx

= -xe + ½ e + c

2. + y = y (Cos x - Sin x)

Jawab

+ y = (cos x - sin x)

+ y = (cos x - sin x)

Misal y = v maka -y =

= -

Substitusikan ke persamaan semula, didapat:


- + v = (cos x - sin x)

- v = -(cos x - sin x)

dimana p(x) = -1 , q(x) = (sin x - cos x) dan factor integral e =

e

selesaian umumnya

ve = q(x)e dx

ve = dx

= -e sin x + C adalah selesaian umumnya.

3.3 Soal-soal

A. Selidiki apakah persamaan differensial tingkat satu derajat satu

dibawah ini termasuk persamaan differensial linear.

1. - 2y = 3 – 3x

2. x dy – 2y dx = (1+x)e dx

3. y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,

, P(y) = 1, Q(y) = 3 - ,

y dx + (xy + x – 3y) dy = 0,


4. x dy – y dx = x dy

5. (1+sin y) dx = [2y cos y – x(sec y + tgn y)] dy

6. (2xy y) dx + 2x dy = 0

7. + 2xy = 5x y

8. (x +1) + xy = x

9. - y = y x

10. xy’ = 2y + x e

B. Tentukan selesaian umum persamaan linear berikut dengan

menggunakan cara yang sesuai.

1. + 3xy = 2

2. = + 2x + 1

Jawab

= + 2x + 1

Didapat P(x) = , Q(x) = (2x+1)

Faktor integral (I) = e

= e

= e


=

Primitif dari = + 2x + 1 adalah

Iy =

y = x

y = x

y = x(2x +ln

y’ = 4x + (ln +1) +C

3. + 2xy = 5y

4. + 3y = 3x 2 e

5. Cos dr + ( r sin - cos ) d = 0

6. y dx + (3xy-1) dy = 0

7. r dt – 2t dr = (r-2)e dr

8. - 6y = 10 sin 2x

P(x) = -6, Q(x) = 10 sin 2x

I = e

Primitifnya

Iy = dx


y = e

= 10 e

e = -5 cos 2x – 15 sin 2x – 15e

25 = -5 cos 2x – 15 sin 2x

= (-5 cos 2x – 15 sin 2x+C)

Didapatkan primitif

Y = (-5 cos 2x – 15 sin 2x+C)

9. dy + (2y cos x + sin 2x) dx = 0

10. (1+y ) dx = ( arc tan y – x) dy

C. Tentukan selesaian masalah nilai awal

1. - = xe dengan y(1) =

2. 4y - e = 0 dengan y(0) =

3. xy = sin 2t dengan x(0) = 0

4. + y tan x = cos x dengan y( ) 1

5. sin x + y cos x = x sin x dengan y( ) = 2


BAB III · Web viewCara tersebut adalah: 1) faktor integral, 2) metode Lagrange, 3) mengubah...

Documents

Transcript of BAB III · Web viewCara tersebut adalah: 1) faktor integral, 2) metode Lagrange, 3) mengubah...