BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang dan Perumusan Masalah

1. Latar belakang masalah

Pada zaman ·ini penguasaan suatu bangsa atas ilmu pengetahuan dan teknologi

menjadi salah satu syarat mutlak bagi eksistensi bangsa itu. Sachs (2000) membagi

masyarakat dunia atas tiga kelompok, yaitu kelompok technological innovators,

kelompok technological adaptor, dan kelompok technological excluded. Buchori

(2000) menyatakan bahwa Bangsa Indonesia secara keseluruhan belum dapat

dimasukkan ke dalam kelompok technological innovators, tetapi baru pada tingkat

technological adaptor. Beberapa kelompok masyarakat Indonesia seperti masyarakat

Badui di Banten Selatan, masyarakat Tengger di Jawa Timur, dan sebagian besar dari

masyarakat di Papua dapat digolongkan ke dalam kelompok technological excluded.

Agar bangsa Indonesia dapat digolongkan menjadi bangsa yang maju dan mampu

menjaga eksistensinya, maka salah satu hal yang harus dipenuhi adalah penguasaan

atas ilmu pengetahuan dan teknologi. Salah satu syarat agar suatu bangsa dapat

dimasukkan ke dalam kelompok technological innovators adalah melaksanakan

serangkaian kegiatan ilmiah.

Suriasumantri (1999) menyatakan bahwa untuk dapat melakukan kegiatan

ilmiah dengan baik maka diperlukan sarana yang berupa bahasa, logika, matematika,

dan statistika. Suriasumantri menjelaskan bahwa bahasa merupakan alat komunikasi,

logika merupakan pola berpikir, matematika berperan dalam pola pikir deduktif dan

statistika berperan pada pola pikir induktif. Logika merupakan pintu gerbang segala

ilmu (Poespoprodjo, 1991). Pendapat-pendapat itu memberi kesimpulan bahwa logika

menjadi salah satu pilar penting dalam rangka pengembangan ilmu pengetahuan dan

2

teknologi. Bagi para ilmuwan yang sangat mengedepankan berpikir rasional, logika

sangat berguna untuk mengetahui kesahihan penalarannya. John S. Mill menyatakan

bahwa banyak orang cerdas yang tidak mampu menganalisis jalan pikiran yang

kacau, karena kurang mendapat pendidikan dan latihan yang keras dan ketat dalam

logika (Poespoprodjo, 1991 ). Aristoteles dengan karyanya Organon menunjukkan

betapa pentingnya logika dalam filsafat.

Logika berkembang sejak zaman Yunani sampai sekarang dan muncul berbagai

jenis logika. Ada tiga macam l<'gika yaitu formal logic, metalogic, dan applied logic

(The New Encyclopedia Britanica, 1982). Applied-logic atau logika terapan

membahas seni penerapan dari penalaran yang benar (http://www.britanica.com/eb

/article-911 0689). Hasil-hasil teori pada logika murni dapat mengungkapkan makna

atau arti yang diturunkan dari berbagai sumber dalam filsafat dan yang lain. Salah

satu penerapan logika adalah pada penyusunan program komputer dan pembuatan

komputer. Metalogic (metalogika) mengkaji aturan-aturan logika dan basisnya

adalah bahasa formal, sistem formal dan interpretasinya (http:/166.218.69.111

search/cache? ei= UTF-8&p=metalogic&y=Search&fr=yp-t-5 01 &fp ip=ID&u=en.

wikipedia. org/wiki/Metalogic&w=metalogic&d= KaaFjvH Qdw J&icp=l&. inti =us)

Menurut Bagus (2002), logika formal merupakan ilmu yang mempelajari bentuk­

bentuk pemikiran (konsep, putusan, kesimpulan dan pembuktian). Logika formal,

logika matematika, dan logika simbolik adalah istilah-istilah yang menunjuk pada

logika yang sama (Lewis and Langford, 1959). Logika matematika dapat dipandang

sebagai logika formal. Logika matematika merupakan suatu bagian dari logika dan

matematika (http:! len. wikipedia.org/wiki/Formal logic) . Pengertian logika

matematika ini yang diteliti dalam disertasi ini. Russell (1956) menyatakan bahwa

logika merupakan masa muda dari matematika, dan matematika merupakan masa

3

dewasa dari logika. Berdasarkan pendapat Russell, logika tidak dapat dipisahkan dari

matematika. Logika matematika merupakan hasil penerapan metode-metode

matematika yang formal dalam bidang logika, penelitian logis terhadap penalaran dan

bukti matematis.

Banyak orang yang tidak mengenal matematika dan banyak orang yang salah

paham terhadap matematika, tetapi banyak juga orang yang kagum terhadap

matematika. Perasaan kagum dan rasa ingin tahu terhadap matematika memunculkan

pertanyaan-pertanyaa11. tentang hakikat matematika, ruang lingkup matematika, dan

kegunaan matematika. Hadi (1994) menyatakan bahwa munculnya pertanyaan tentang

hakikat diawali dari rasa kagum dan rasa ingin tahu. Menurut Kline dalam

Suriasumantri (1983), matematika adalah bahasa yang sangat simbolis. Matematika

menjembatani antara manusia dan alam, antara dunia batin dan dunia lahir.

Matematika adalah alat pikiran, bahasa ilmu, tata cara pengetahuan, dan

penyimpulan deduktif. Leonhardy (1962) menyatakan bahwa matematika di samping

merupakan alat juga berfungsi sebagai bahasa. Fitch menyatakan bahwa matematika

murni adalah suatu kumpulan teori-teori deduktif hipotetis (Eves & Newsom,1964).

Pada abad 20, studi mengenai sifat alami matematika menumbuhkan tiga aliran

landasan matetnatika yang dikenal dengan nama logisisme, formalisme, dan

intuitionisme (The Liang Gie, 1993). Menurut aliran logisisme, matematika dapat

direduksi menjadi logika (Russell, 1956). Intisari matematika adalah logika. Menurut

aliran formalisme, matematika adalah ilmu tentang sistem-sistem formal (Curry,

1958). Matematika adalah bagian eksak dari pemikiran manusia, matematika

berlandaskan pada basic intuition yang merupakan aktivitas berpikir yang tak

tergantung pada pengalaman, bersifat objektif dan bebas dari bahasa dan simbol

(Brouwer -dalam Benacerraf, 1964). Adanya berbagai aliran filsafat matematika

4

menunjukkan adanya berbagai pandangan yang berbeda terhadap matematika dan

berarti terdapat juga berbagai pandangan yang berbeda terhadap logika matematika.

Pentingnya logika dalam filsafat dan pengembangan ilmu pengetahuan dan

teknologi, banyaknya jenis logika, eratnya hubungan antara logika dan matematika,

dan beragamnya pandangan para filsufterhadap logika menjadikan logika matematika

sangat penting untuk ditelaah secara epistemologis. Masalah epistemologi logika

matematika bersangkutan dengan pertanyaan-pertanyaan tentang pengetahuan

logika matematika. Epistemologi logika matematika adalah suatu telaah secara

umum, menyeluruh, dan mendasar tentang logika matematika. Epistemologi logika

matematika membutuhkan pengetahuan tentang matematika yang mencakup

hakikat dan ruang lingkup serta hakikat logika. Epistemologi logika matematika

ditelaah untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan sekitar metode-metode yang

digunakan untuk memperoleh kesahihan logika matematika dalam penarikan

kesimpulan. Secara singkat dapat dikatakan bahwa epistemologi logika matematika

tidak dapat dipisahkan dengan hakikat matematika.

Ludwig Josef Wittgenstein adalah salah seorang tokoh filsafat yang tergolong

temama di bidang logika (Bagus, 2002). Menurut Mudhofir (2001) setelah mengikuti

kuliah-kuliah dari ahli matematika Gottlob Frege, Wittgenstein tertarik pada filsafat

matematika dan lugika. Ia memahami logika baru lebih baik dari orang lain manapun

pada waktu itu (http://protagoras.typepadcomlabout.html.). Sowa dalam artikel yang

berjudul Signs, Processes, and Language Games menyatakan " .. tiga logikawan yang

memahami batas-batas logika dalam kaitannya dengan perubahan dan

pengetahuannya yaitu: Charles S. Peirce, A. N Whitehead, and L. Wittgenstein"

(http://wwwececs. uc. edu/ -mazlock/c5716. (2006/semantic. web. ontology. papers/ Sow a.

2005.signs.Processes. pdf).

5

Karya tulis Wittgenstein antara lain Tractatus Logico-Philosophicus,

Philosophical Investigations, dan Rermarks on the Foundation of Philosophy of

- Mathematics. Tractatus Logico-Philosophicus memuat pembahasan tenta.J.g logika

simbolik, sifat dasar Logika dan matematika. Wittgenstein berpendapat bahwa

filsafat tidak lain hanya merupakan suatu metode, yaitu Critique of language (Bakker,

1984). Ini berarti bahwa bahasa memiliki kedudukan yang sangat penting dalam

filsafat. Leonhardy (1962) menyatakan bahwa matematika di samping merupakan

alat juga bahasa. Pendapat-per.dapat tersebut menunjukkan bahwa matematika,

logika, dan bahasa memiliki hubungan yang erat. Hubungan antara matematika,

logika, dan bahasa perlu dijelaskan dalam rangka pengembangan ilmu pengetahuan

dan teknologi. Karya-karya atau pemikiran Wittgenstein dapat memberi penjelasan

hubungan antara matematika, logika, dan bahasa. Pembahasan logika matematika

berdasarkan pemikiran Wittgenstein merupakan pembahasan yang strategis dalam

pengembangan ilmu pengetahuan dan filsafat, khususnya pengembangan matematika.

Wittgenstein pe:rnah mengikuti kursus untuk memperoleh ijasah guru dan

menjadi guru di berbagai sekolah dasar di Austria (Bertens, 1981 ). Burbu1es dan

Peters menulis artikel dengan judul "50 Pemikir Pendidikan dari Piaget sampai Masa

Sekarang" memuat pandangan Wittgenstein tentang pendidikan (Palmer, 2003).

Wittgenstein mengungkapkan bagaimana pengetahuan terbentuk dan bagaimana

proses belajar murid untuk memahami suatu konsep matematika. Wittgenstein (1953)

memulai penyajian dengan mengenalkan suatu contoh: "·-- kita ajak murid

melanjutkan suatu deret ( + 2) di atas 1000, dan mereka menulis 1000, 1004, 1008,

1 012" untuk menjelask:an aturan-ditaati (rule-following). Wittgenstein dalam wacana

itu menyajikan bagaimana seorang murid dalam proses untuk menyatakan suku-suku

deret aritmitika yang sudah diketahui suku pertamanya 1000 dan bedanya 2. Ia juga

6

membahas makna suatu aturan yang dalam hal ini aturan dalam deret aritmetika.

Tulisan itu menunjukkan bahwa Wittgenstein mempunyai perhatian dan pemikiran

terhadap pendidikan baik secara praktis maupun secara filosofis khususnya dalam

bidang pendidikan matematika. Pendidikan matematika di Indonesia untuk pra

perguruan tinggi mengalami perubahan paradigma yang ditandai dengan direvisinya

Kurikulum 1994. Kurikulum itu direvisi karena adanya banyak kritik yang

menyatakan bahwa materi pelajaran tidak relevan dan tidak bermakna

(http://kompas.com/kompas%2Dcetak/ berita%2Dterbaru/1634.htm0. Tujuan revisi

kurikulum adalah agar pembelajaran matematika lebih bermakna bagi siswa dan dapat

memberikan bekal kompetensi yang memadai untuk studi lanjut dan memasuki dunia

kerja (Hadi, 2003). Pendekatan pendidikan matematika yang sekarang banyak

dilaksanakan di berbagai negara maju seperti Belanda, Amerika Serikat, Spanyol, dan

sebagainya adalah pendekatan konstruktivis dan pemdekatan kontekstual. Pendidikan

matematika dengan pendekatan konstekstual dikenal dengan nama Pendidikan

Matematika Realistik (PMR). Sejumlah pakar pendidikan matematika di Indonesia

mengadopsi, mengembangkan, mengujicobakan PMR di Indonesia. Ada benang

merah antara pemikiran filsafat Wittgenstein dengan PMR diujicobakan di Indonesia.

Penelitian tentang relevansi pemikiran filsafat Wittgenstein terhadap PMR sangat

bermanfaat bagi pengembangan pendidikan matematika di Indonesia ..

2. Rumusan masalah

Penelitian ini dimaksudkan untuk mendeskripsikan dan mengungkap

epistemologi logika matematika menurut pemikiran filosofis Wittgenstein. Objek

material penelitian ini adalah logika matematika dan objek formalnya adalah

9

4. 50 Pemikir Pendidikan dari Piaget sampai Masa Sekarang oleh Burbules dan

Peters dalam bukunya Palmer (2003) memuat pandangan Wittgenstein

tentang pendidikan bukan tentang logika matematika.

5. Weismann 's Critique of Wittgenstein oleh Birch berisi pembahasan tentang

permainan bahasa matematika menurut Wittgenstein berdasarkan pendapat

Weissmann (http:/lwww.qis. net/ -tbirch/wittgweb. txt). Objek aterial

pembahasan ini bukan logika matematika.

Objek material penelitian disertasi yang berjudul Epistemologi I Logika

Matematika menurut Ludwig Wittgenstein adalah logika matematika Diserasi ini

juga membahas relevansi pemikiran filsafat Wittgenstein terhadap peJ didikan

matematika di Indonesia yang sekarang sedang diujicobakan di Indonesia muEai tahun

ajaran 2006. Berdasark&! judul-judul penelitian dan pembahasan sebat!aimana

dikemukakan di atas men·mjukkan bahwa objek material, objek formal danl metode

penelitiannya secara bersama-sama berheda dengan penelitian disertasi ini. Pepjelasan

ini memberi jaminan bahwa penelitian seperti ini bam pertama kali dilak~anakan,

sehingga disertasi ini tnemenuhi syarat keas1ian.

e Tujuab. dati Manfaat Penelitiab

1. Tujuan Pertelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengungkap dan mendeskripsikan pl mikiran

Wittgenstein tentang:

a. hakikat kebenaran logika dan matematika,

b. hubungan logika dan matematika,

c. hubungan matematika dan bahasa,

d. hubungan matematika dan realita,

10

e. posisinya dalam filsafat matematika,

f. relevansinya terhadap pendidikan matematika realistik yang diujicobakan

di Indonesia.

2. Manfaat

Hasil penelitian ini secara umum diharapkan bermanfaat bagi pengembangan

wacana pemikiran bam dalam kajian filsafat logika matematika dari segi filsafat

bahasa. Manfaat secara khusus adalah dalam penentuan objek, sumber, dan validitas

logika matematika. Dengan demikian basil penelitian ini juga bermanfaat bagi

kemajuan ilmu pengetahuan setelah terungkap hubungan logika, matematika, dan

bahasa. Pemahaman yang baik terhadap logika, matematika, dan bahasa bermanfaat

bagi suatu masyarakat atau suatu bangsa bagi penguasaannya atas ilmu pengetahuan

dan teknologi. Hasil penelitian ini diharapkan bermanfaat juga bagi pengembangan

matematika dan pendidikan matematika khususnya di Indonesia.

D. Tinjauan Pustaka dan Landasan Teori

1. Tinjauan pustaka

Suriasumantri (1999) menyatakan bahwa telaah filsafat dapat dikelompokkan

atas tiga landasan, yaitu ontologis, epistemologis, dan aksiologis. Selanjutnya

dikatakan bahwa kajian epistemologis adalah kajian untuk mengetahui bagaimana

cara pengetahuan itu diperoleh. Epistemologi adalah salah satu cabang filsafat yang

membahas tentang hakikat pengetahuan manusia (Kaelan, 2005). Epistemologi

meneliti tentang hakikat pengetahuan, sumber dan validasi; dan memperhatikan

hubungan dasar antara pengetahuan manusia, realitasnya, dan penalarannya (Kelley,

D, 1996). Epistemologi memuat lima kategori pembahasan, meliputi :

11

1. Dasar-dasar hubungan antara kesadaran (consciousnees) dan realitas, 2. Hakikat dan validitas sense-perception, 3. Hakikat pengertian dan hubungan antara objek abstrak dan kongkret, 4. Hakikat dan validitas aksioma, khususnya hukum identitas dan sebab-akibat, 5. Hakikat kebenaran dan kebenaran sebagai sifat pengetahuan tentang konsep.

Ini berarti telaah epistemologis tidak dapat dilepaskan dari telaah ontologis.

Landry (2001) menyatakan bahwa epistemologi mengkaji hakikat pengetahuan dan

proses mengetahui, menentukan hakikat dan batas-batas pengetahuan manusia, dan

merupakan cabang filsafat yang berkaitan dengan asal dan hakikat pengetahuan.

Epistemologi adalah studi tentang pengetahuan khususnya studi tentang hakikat,

ruanglingkup, dan batas-batas pengetahuan manusia. Penelitian aspek epistemologi

meliputi asal, struktur, metode, dan validitas pengetahuan (http://philosophy.

lander.edu/phil log.htm[). Epistemologi adalah pengkajian tentang asal, hakikat,

metode, dan batas-batas pengetahuan. Secara operasional epistemologi

adalah pengkajian tentang bagaimana kita mengetahui apa yang kita katakan tentang

apa yang kita ketahui. Pertanyaan utama epistemologi adalah tentang kebenaran

(Kattsoff, 1992). Berdasarkan titik tolak pendekatannya ada tiga macam

epistemologi, yaitu epistemologi metafisis, epistemologi skeptis, dan epistemologi

kritis (Sudarminta, 2002). Epistemologi metafisis, yaitu epistemologi mendekati

gejala pengetahuan dengan bertitik tolak dari pengandaian metafisika tertentu;

epistemologi metafisis berangkat dari satu paham tertentu tentang kenyataan.

Epistemologi skeptis, yaitu epistemologi di mana perlu dibuktikan dulu apa yang

dapat diketahui sebagai sungguh. nyata atau benar-benar tak dapat diragukan lagi

dengan menganggap sebagai tidak nyata atau keliru segala sesuatu yang kebenarannya

masih dapat diragukan. Epistemologi kritis, yaitu epistemologi yang berangkat dari

asumsi, prosedur, dan kesimpulan pemikiran akal sehat ataupun asumsi, prosedur, dan

kesimpulari pemikiran ilmiah sebagaimana kita temukan dalam kehidupan, lalu kita

12

coba tanggapi secara kritis. Selanjutnya Sudarminto membagi epistemologi

berdasarkan objek yang dikaji menjadi dua macam yaitu epistemologi individual dan

epistemologi sosial. Epistemologi individual, yaitu epistemologi yang mengkaji

tentang pengetahuan, baik tentang status kognitifnya maupun proses pemerolehannya,

dan menganggapnya sebagai dapat didasarkan atas kegiatan manusia individual

sebagai subjek penahu terlepas dari konteks sosialnya. Epistemologi sosial, yaitu

kajian filosofis terhadap pengetahuan sebagai data sosiologis. Dalam penelitian ini

epistemologi yang dipilih adalah epistemologi kritis dan epistemologi individual.

Secara klasik ada tiga teori kebenaran, yaitu teori kebenaran korespondensi,

teori kebenaran koherensi, dan teori kebenaran pragmatik (Sudarminto, 2002). Teori

korespondensi mengatakan bahwa kebenaran tercapai bergantung pada adanya relasi

antara suatu keyakinan atau bagian dari pengetahuan dengan suatu fakta dalam dunia

nyata, teori koherensi mengatakan bahwa kebenaran ditentukan oleh relasi di antara

penilaian-penilaian, dan teori kebenaran pragmatik mendefinisikan kebenaran sebagai

keyakinan-keyakinan yang "berdaya guna" (Ewing, 2003). Kebenaran teorema

matematika dan logika adalah kebenaran formal, oleh karena itu untuk melakukan

pertangguangjawaban rasional atas tuntutan kebenaran logika matematika menurut

pemikinin Wittgenstein akan dibahas dengan teori koherensi. Menurut Teori

Koherensi, suatu sistem jaringan kepercayaan dapat dipertanggungjawabkan secara

rasional kalau komponen kepercayaan yang membentuknya koheren atau konsisten

satu sama lain (Sudarminto, 2002).

Pengetahuan ilmiah dihasilkan oleh proses berpikir dengan cara atau pola

tertentu, dan cara tertentu itu disebut logika (Suriasumantri, 1999). Menurut

Sahakian (1965), logika adalah pengkajian untuk berpikir secara sahih. Logika adalah

ilmu pengetahuan dan kecakapan untuk berpikir ilmiah (Lanur, 1983). Logika adalah

13

ilmu pengetahuan tentang karya-karya akal budi (ratio) untuk membimbing menuju

yang benar (Sommers, 1992). Logika adalah pengkajian tentang metode-metode dan

prinsip-prinsip yang digunakan untuk membedakan penalaran yang baik (correct)

dari penalaran yang buruk (Copi, 1986). Dalam filsafat, logika adalah satu-satunya

alat untuk memperoleh kesimpulan dari sekumpulan bahan tertentu (Katssoff, 1992).

Logika adalah sain untuk menilai argumen, sedangkan tujuan logika untuk

mengembangkan sistem dari metode dan prinsip yang dapat digunakan sebagai

kriteria untuk menilai suatu argumen orang lain dan sebagai petunjuk untuk

mengkonstruksi argumen bagi diri sendiri (Hurley, 1996). Pertanyaan utama dalam

logika ialah tentang hukum-hukum penyimpulan yang lurus (Kattsoff, 1992). Tujuan

logika juga untuk mengembangkan metode dan teknik yang dapat dipakai untuk

membedakan argumen baik atau argumen jelek. Menurut Rapar (1996), objek

material logika adalah manusia itu sendiri dan objek formalnya ialah kegiatan akal

budi untuk melakukan penalaran yang lurus, tepat, dan teratur yang terlihat melalui

ungkapan pikiran yang diwujudkan dalam bahasa. Pendapat Rapar ini menegaskan

adanya hubungan yang sangat erat antara logika dan bahasa. Pendapat Hurley dan

Kattsof menunjukkan bahwa logika terkait erat dengan argumen, sedangkan argumen

terdiri dari sekumpulan pemyataan yang disajikan dengan bahasa tertentu. Telaah

tentang logika tidak dapat dipisahkan dengan telaah tentang bahasa.

Formal logic (logika formal) berusaha untuk mengungkap hakikat kebenaran

logis dari suatu penarikan kesimpulan dalam sistem formal yang memuat bahasa

formal, aturan-aturan penarikan kesimpulan dan kadang-kadang suatu kumpulan

aksioma (Wikipedia, http :lien. wikipedia. org/WJKID. Bahasa formal terdiri dari

sekumpulan simbol-simbol, sintaks, dan semantik, serta ungkapan dalam bahasa

formal yang disebut ''formula". Aturan penarikan kesimpulan dan aksioma-aksioma

14

yang ditetapkan, kemudian dioperasikan dengan bahasa untuk menghasilkan

kumpulan teorema. Teorema adalah formula apa yang dapat diturunkan dengan

menggunakan aturan-aturan penarikan kesimpulan. Dalam logika formal teorema

diartikan sebagai ungkapan kebenaran logis (tautology) dan dengan cara ini sistem-

sistem mengungkap sekurang-kurangnya sebagian dari tautologi dan penarikan

kesimpulan. Logika matematika merujuk pada dua wilayah riset yang berbeda, yaitu

penggunaan logika formal untuk mengkaji penalaran matematika dan penerapan

matematika untuk mengkaji logika formal. Bagus (2002) menyatakan bahwa logika

formal merupakan ilmu yang mempelajari bentuk-bentuk pemikiran (konsep, putusan,

kesimpulan dan pembuktian). Selanjutnya dijelaskan bahwa logika matematika

merupakan hasil penerapan metode-metode matematika yang formal dalam bidang

logika, penelitian logis terhadap penalaran, dan bukti matematis. Ciri khas logika

matematika adalah struktur aksiomatikanya yang keabsahannya formal semata-mata,

dalam arti kesahihannya tidak tergantung pada isi. Berdasarkan uraian di depan,

logika matematika adalah logika formal.

Russell dalam Hadiwidjojo (1986) menyatakan bahwa matematika ialah sain

yang menarik kesimpulan-kesimpulan yang diperlukan, dan berhubungan dengan

deduksi secara logis akibat-akibat dari pangkal pendapat umum dari semua penalaran.

Fitch dalam Eves & Newsom (1964) menyatakan bahwa

Matematika murni adalah suatu kumpulan teori-teori deduktif hipotetis, masing­masing terdiri dari sebuah sistem tertentu dari pengertian-pengertian primitif, tak diterangkan, atau simbol-simbol dan patokan pikit-patokan pikir, tak dibuktikan, tetapi ajeg (umumnya disebut aksioma-aksioma) bersama-sama dengan akibat-akibat mereka yang dapat diturunkan secara logis mengikuti proses-proses deduktif yang tegar tanpa bantuan ilham.

Russell dan Frege berusaha membuktikan bahwa matematika dapat direduksi menjadi

logika, namun demikian belum seluruh matematika berhasil direduksi menjadi logika,

namun dalam proses terlihat bahwa logika mengambil banyak notasi dan

15

metodologi matematika Kurt Godel meneliti logika dan bukti sebagai objek kajian

matematika Godel dapat menunjukkan bahwa logika dan matematika adalah dua hal

yang tidak dapat dipisahkan. Berdasarkan pendapat Russell dan Godel, telaah tentang

epistemologi logika matematika tidak dapat dipisahkan dengan hakikat matematika.

Dalam penelitian ini epistemologi logika matematika dijelaskan melalui epistemologi

matematika.

Menurut Kline dalam Suriasumantri (1983), matematika adalah bahasa yang

sangat simbolis; matematika menjembatani antara manusia dan alam, antara dunia

batin dan dunia lahir; matematika adalah alat pikiran, bahasa ilmu, tata cara

pengetahuan, dan penyimpulan deduktif. Berdasarkan pendapat Kline ini matematika

dapat juga dikatakan sebagai suatu kegiatan man usia, alat pemecahan masalah, alat

berkomunikasi, dan alat penalaran. Menurut Schaaf (1966) matematika memiliki 3

ciri istimewa yaitu absrtak, bersifat umum dan sangat memperhatikan pola dan. Sifat

alami matematika adalah abstrak (niskala), secara singkat dapat dikatakan bahwa

semua objek matematika adalah hasil proses abstraksi. Dalam rangka pertukaran

gagasan para matematikawan diperlukan lambang. Lambang memiliki kecermata.ll,

singkat, efisien, dan mudah. Ciri lain yang juga dimiliki oleh matematika adalah sifat

konsisten, logis, dan otonom. Perkembangan matematika dapat terjadi tanpa

dukungan atau campur tangan ilmu yang lain sehingga sering dikatakan Mathematics

is a queen of scienses. Karena semua ilmu membutuhkan matematika maka dikatakan

Mathematics is a servant of sciences.

Banyak definisi matematika yang dirumuskan oleh para ahli. Walaupun definisi­

definisi tersebut memiliki banyak kesamaan, namun ada juga perbedaannya. Salah

satu perbedaan yang ada adalah mengenai sifat alami matematika. The Liang Gie

(1981) me:riyatakan bahwa studi mengenai sifat alami dari matematika menumbuhkan

16

3 madzab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme, formalisme,

dan intuitionisme. Menurut aliran logisisme, sifat alami matematika terdiri atas

deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika. Aliran formalisme berpendapat bahwa

sifat alami matematika ialah sebagai sistem lambang yang formal atau ilmu tentang

sistem-sistem formal. Aliran intuitionisme berpendapat bahwa ketepatan dalil-dalil

matematika terletak dalam akal manusia dan tidak pada simbol-sirnbol di atas kertas.

Hakikat matematika oleh Hudoyo (1980) dinyatakan sbb:

Matematika sering kali dilukiskan sebagai suatu struktur yang terdiri dari suatu kumpulan sistem yang setiap dari sistem-sistem itu mempunyai struktur tersendiri yang sifatnya bersistem deduktif. Suatu sistem- deduktif dimulai dengan memilih beberapa unsur "undefmed" (tidak didefmisikan) yang disebut unsur-unsur prirnitif. Unsur-unsur tersebut diperlukan sebagai dasar komunikasi. Adapun aksioma merupakan asumsi dasar tertentu. Aksioma-aksioma tersebut merupakan pemyataan hubungan dasar di antara unsur-unsur pokok di dalam sistem tersebut. Akhimya, teorema-teorema tertentu dinyatakan dan dibuktikan dengan serentetan pemyataan. Setiap pemyataan itu bisa berupa definisi, aksioma, atau teorema yang telah dibuktikan.

Berdasarkan pendapat Hudoyo, sistem matematika mengandung dua komponen

pokok yaitu kelompok pengertian (unsur primitif, definisi) dan kelompok pemyataan

(aksioma, teorema). Teorema diturunkan secara deduktif dari komponen yang lain.

Komponen-komponen dalam matematika itu tersusun secara terpadu dan tersusun

dalam suatu sistem yang disebut sistem deduktif-aksiomatik. Sistem deduktif-

aksiomatik konsisten dengan dirinya dan bebas dari kontradiksi terhadap dirinya.

Penarikan kesimpulan berdasarkan penalaran deduktif didasarkan atas sejumlah

ketentuan atau aturan yang kemudian dengan menggunakan pola tertentu ditarik

kesimpulan. Ini sesuai dengan pengertian matematika sebagaimana dikemukakan

oleh Betrand Russells. Sistem deduktif- aksiomatik matematika dapat digambarkan

secara sangat sederhana seperti pada Gambar 1.1.

Galileo (1564 - 1652)) menyatakan bahwa filsafat dapat diibaratkan seperti

buku yang ditulis dalam bahasa matematika (May, 1962). Pendapat Galileo

17

menyiratkan pentingnya bahasa dan matematika dalam filsafat. Oleh karena itu kajian

filsafat matematika dari segi filsafat bahasa sangat penting dilakukan dalam rangka

mengungkap hubungan matematika dan bahasa, logika dan bahasa, logika dan

matematika.

I unsur primitif I • , ................................................ /

.. .. ~·------·--------,

I kesepakatan ! kesepakatan j ~------·----._j ~--··· · · ···,····· · ··· · ···· · ··········' •• ....

definisi

,...... aksioma ]

L..d~-d~ktlf i ~ : / ................. ............ .! =~, .. L .............. , t 1 deduktif j

................................... .J

I teorema -· -- J

Gambar 1.1 Skema sistem deduktif-aksioitlatik

Menurut The Liang Gie (1993), filsafat matematika pada dasamya adalah

pemikiran reflektif terhadap matematika. Fireman (1954) mengutip pendapat John

Dewey mengatakan bahwa pemikiran reflektif merupakan pemikiran yang

mempertimbangkan secara cermat suatu masalah dan memperhatikan dengan

sungguh-sungguh dan terus menerus. Jadi, filsafat matematika merupakan pemikiran

yang mempertimbangkan secara cermat suatu masalah dan memperhatikan dengan

sungguh-sungguh dan terns menerus dengan sasaran matematika. The Liang Gie

(1993) memerinci filsafat matematika menjadi 7 bagian, yaitu epistemologi

matematika, ontologi matematika, metodologi matematika, struktur logis matematika,

implikasi etis dari matematika, aspek estetis matematika, dan peranan matematika

dalam sejarah peradaban bangsa. Epistemologi matematik adalah teori pengetahuan

18

yang sasaran kajianny:a ialah matematika. Kajiannya meliputi asal mula, sifat alami,

batas-batas, asumsi dan landasan, serta validitas dan kebenaran. Struktur logika

matematika mengkaji dengan sasaran struktur matematika yang dipandang logis.

Menurut Hudoyo (1980), matematika adalah suatu struktur yang terdiri dari suatu

kumpulan sistem yang setiap dari sistem-sistem itu mempunyai struktur tersendiri

yang sifatnya bersistem deduktif. Jadi sifat alami matematika adalah logis dan

sistemnya sering dikatakan bersifat deduktif-aksiomatik. Priest (1973) menyatakan

bahwa semua masalah yang berkaitan dengan filsafat matematika tercermin dengan

pertanyaan-pertanyaan tentang matematika murni, kebenaran matematika, cara

mengetahui kebenaran matematika, alasan kebenaran matematika dapat diterapkan

di berbagai bidang, halikat objek matematika, letak objek matematika, dan eksistensi

objek matematika. Kc·rner (1960) menyatakan bahwa peranan filsafat matematika

antara lain untuk me~akukan refleksi dan mempertanggungjawabkan matematika.

Filsafat matematika mencakup tema-tema antara lain tentang sumber materi

matematika, objek natematika, ciri-ciri proposisi matematika, hubungan antara

logika dan matematih, jenis-jenis inquiry yang berperan dalam matematika, dan

peran manusia dalam pengembangan matematika (http://www.answers.com/topic/

philosophy-ofmathematics

Kebenaran dalam matematika berdasarkan teori kebenaran koherensi. Menurut

Kaelan (2002), justifikasi kebenaran menurut teori koherensi ditentukan oleh

pernyataan yang terdalmlu yang dianggap benar. Karena pernyataan-pernyataan yang

benar diungkapkan rn.elalui bahasa, maka penggunaan bahasa sangat menentukan

dalam sistem kebenaran koherensi. Jadi bahasa juga sangat penting dalam usaha

menentukan sumber den kebenaran atau kesahihan suatu ilmu pengetahuan. Dengan

demikian bahasa juga sangat berperan dalam telaah epistemologi. Oleh karena itu

19

dalam penelitian ini kajian tentang hubungan antara matematika dan bahasa harus

dilakukan.

Soekadidjo (1994) menyatakan bahwa untuk memahami logika orang harus

memahami penalaran. Selanjutnya dijelaskan bahwa penalaran adalah suatu bentuk

pemikiran yang berupa pengertian atau konsep, proposisi atau pernyataan, dan

penalaran. Proposisi adalah rangkaian pengertian dan penalaran adalah proses

penarikan kesimpulan berdasarkan proposisi-proposisi. Menurut Kaelan (2002),

pengertian adalah sesuatu yang abstrak dan diwujudkan dalam bentuk simbol bahasa.

Karena pengertian diwujudkan dalam bentuk bahasa, maka bahasa memiliki peran

yang sangat penting pada pengertian, proposisi, dan penalaran. Karena proposisi

merupakan unsur yang penting dalam logika dan dalam suatu proposisi memuat·term-

term, maka bahasa memegang peran penting dalam logika dan telaah filsafati tentang

logika memerlukan proses analisis bahasa. Hubungan antara logika dan bahasa

menjadi sesuatu yang sangat penting untuk diteliti dalam rangka pengembangan ilmu

pengetahuan.

Menurut Chauchard dalam Mustansyir (1995), aktivitas bahasa merUpakan ciri

khas manusia dan melalui bahasa manusia dapat melaksanakan refleksi dan

kebebasan. Keunikan manusia terletak pada kemampuannya berbahasa. Bahasa

adalah laboratorium para filsuf (Alston, 1964). Pikiran dan bahasa merupakan tempat

te:rjadinya realitas; berpikir berarti membiarkan realitas sebagai peristiwa bahasa

Poespoprodjo (1991). Salah satu pengertian bahasa menurut Bagus (2002) ialah:

"Bahasa adalah suatu sistem simbol-simbol yang dapat digunakan untuk menyatakan atau menerangkan hal-hal seperti: (1) objek material eksternal; (2) hal mental internal; (3) kualitas (4) relasi (5) tanda logika matematika (6) fungsi; (7) keadaan; (8) proses; (9) kejadian".

George Edward Moore (1873-1958) menyatakan bahwa kelemahan utama

corak pemikiran filsafat di lnggris terletak pada pernyataan mereka yang tidak

20

memiliki dasar logika sehingga tidak terpahami oleh akal sehat (Charlesworth, 1959).

Pemikiran Moore dikenal dengan nama Logical Analysis (Analisa Bahasa). Analisa

Bahasa adalah suatu pandangan yang berupaya menjelaskan (melalui analisis)

penggunaan bahasa dalam filsafat (Mustansyir, 2001). Pemikiran Moore

dikembangkan oleh para tokoh analitika bahasa, antara lain Russel. Russell (1951)

menyatakan bahwa dari ide-ide dan aksioma-aksioma tertentu dari logika formal dan

dengan pertolongan logika hubungan, semua matematika mumi dapat disimpulkan

atau dideduksikan tanpa ada lagi propo~isi-proposisi yang tak terbuktikan. Pandangan

Russel ini digunakan dalam penelitian pemikiran Wittgenstein terhadap matematika.

Pemikiran Wittgenstein tentang matematika pada awalnya dipengaruhi oleh

aliran logisisme. Logisisme berpendapat bahwa matematika dapat dikembangkan

kepada logika sehingga merupakan bagian dari logika (Camap dalam Benacerraf &

Putnam, 1964). Camap menyatakan bahwa konsep matematika dapat diturunkan

dari konsep logis (aksioma) melalui definisi yang eksplisit dan istilah-istilah

matematika dapat diturunkan dari aksionia-aksiorha semata-mata melalui deduksi

logis. Wittgenstein, dalam Tractatus Logico-Philosophicuss, antara lain membahas

logika simbolik, terutama mengenai metode tabel kebenaran bagi logika pemyataan

dan sifat dasar matematika dan logika. Wittgenstein mengalami perubahan pandangan

tentang hakikat matematika; semula berpendapat bahwa proposisi matematika tida.lc

lah menunjuk pada entitas abstrak maupun entitas real, melainkan hanya bersifat

normatif saja. Wittgenstein mengakui bahwa matematika dapat didekati dengan

"bahasa" dengan menyelaraskannya dengan kehidupan sehari-hari. Wittgenstein

(1978) menyatakan bahwa logika sebagai fondasi matematika tidak dapat bekeija.

Ernest (1991) mengajukan suatu tesis bahwa "dasar pengetahuan matematika adalah

pengetahuan bahasa, kesepakatan dan aturan, dan bahasa adalah suatu konstruksi

21

sosial". Tesis itu berdasarkan pada pendapat Wittgenstein yang mengatakan bahwa

matematika adalah suatu campuran, suatu koleksi dari tata permainan bahasa , dan

gagasan kebenara_n, kesalahan, dan bukti tergantung kepada penerimaan atas

kesepakatan aturan bahasa. Menurut Ernest, "aturan dan kesepakatan logika

menunjuk hubungan logis, mencakup implikasi dan kontradiksi; dasar secara

keseluruhan argurnen yang rasional terletak pada aturan-aturan bahasa". Ernest,

berdasarkan pada pe::1dapat Wittgenstein, mengemukakan suatu konsepsi bahwa

"makna (ide, pikiran: datang atau ada sesudah bahasa". Pandangan ini ditolak oleh

beberapa matematikawan yang justru berpendapat bahwa "bahwa bahasa datang

sesudah pikiran" (Sreha¥..so, 2001). Perbedaan pandangan ini perlu dikaji dalam

rangka pemahaman den pengembangan matematika beserta aplikasinya.

Pandangan yang berbeda dengan pemahaman Wittgenstein terhadap matematika

dikemukakan oleh Birch (http://www.qis.net/ -tbirch/wittgweb.txt). Birch dalam

artikelnya yang be(udul "Weismann 's Critique of Wittgenstein " yang

pembahasannya berdasarkan karya Frederich Weismann yang berjudul "Lectures on

the Philosophy of lvfa!heflWtics" menulis bahwa "Wittgenstein tidak memahami tata

permainan bahasa maternatika". Perbedaan konsepsi atau perbedaan pemahaman

terhadap hakikat mate-matika dan logika akan berpengaruh terhadap pengembangan

filsafat matematika d2n juga pendidikan matematika. Dalam rangka pengembangan

matematika, pandangan Wittgenstein tentang tata permainan bahasa matematika yang

ditentang oleh b6 e.rapa ahli · sangat penting untuk dikaji dan diteliti untuk

memperoleh pemahaman l:aru tentang logika matematika dan matematika.

Pemahaman barr. ten!l:ang logika matematika akan dapat dicapai apabila terlebih

dahulu dilakukan penelitian terhadap pemikiran filosofis Wittgenstein tentang

. ."

epistemologi logika matematika. Selanjutnya melakukan komparasi antara pandangan

22

Wittgenstein dengan pandangan yang berbeda. Jadi objek material penelitian ini

adalah logika matematika dan objek formalnya adalah epistemologi. Karena pokok

pemikiran filsafat Wittgenstein adalah filsafat analitis, maka objek material penelitian

ini terkait erat dengan filsafat analitis.

2. Landasan teori

Objek material penelitian ini adalah logika matemati..~a. Menurut Russell

(1956), matematika dan logika adalah satu. Berdasarkan pendapat Russeell tersebut,

epistemologi logika matematika dapat dijelaskan melalui epistemologi matematika

yang sasaran kajiannya ialah matematika. Epistemologi matematika adalah tecri

pengetahuan yang kajiannya meliputi asal mula, sifat alami, batas-batas, asumsi dan

landasan, validitas dan kebenaran. Dalam epistemologi, pengetahuan tidak ditentukan

kebenarannya karena hubungannya dengan realitas di luarnya, tetapi ditentukan

oleh koherensinya dengan sekumpulan pengetahuan yang lain (Resherer, N., 1973;

Thagard, P., 1989). Koherensi dapat dipahami melalui beberapa istilah yang terkait di

dalarnnya, yaitu:

1. Elemen-elemen dalam jaringan kepercayaan atau himpunan kepercayaan dapat berupa konsep, proposisi, tujuan kegiatan, bagian dari suatu imajinasi, dsb.

2. Elemen-elemen dapat koheren atau tidak kol!e!'en.

3. Jika dua elemen koheren, maka ada batas positif (positive constraint) an tara keduanya. Batas positif berarti dapat dijelaskan, hasil kesimpulan deduktif, terasosiasi, dsb.

4. Jika dua elemen tidak koheren, maka ada batas negatif (negative constraint) antara keduanya. Batas negatif bermakna tidak konsisten, tidak ada hubungan, tidak kompatibel, dsb.

5. Jika dua elemen koheren maka keduanya diterima atau ditolak dalam satu jaringan kepercayaan.

6. Jika dua elemen tidak koheren maka satu diterima dan yang lain ditolak dalam satu jaringan kepercayaan

23

7. Masalah koherensi mengandumg makna pembagian atas himpunan elemen menjadi dua kelompok elemen yaitu kelompok diterima dan kelompok ditolak (http:/kogsci. uwaterloo, cal Artides/Pages/cohere. constrain. htmD.

Sistem matematika atau jaringan kepercayaan matematika memuat elemen-elemen

berupa aksioma, teorema, dan aturan-aturan atau konsep yang berwujud defmisi.

Ak:sioma dan teorema adalah proposisi, sehingga dapat dikatakan bahwa elemen-

elemenjaringan kepercayaan dalam matematika adalah konsep dan proposisi.

Menurut koherentisme, suatu sistem jaringan kepercayaan dapat dibenarkan atau

dipertanggungjawabkan secara rasional kalau komponen kepercayaan yang

membentuknya koheren atau konsisten satu sama lain (Sudarminta, 2002). Suatu

kebenaran proposi~-i ditentukan atas kesesuaiannya dalam suatu sistem yang koheren

(Lloyd, http:// eaS}"Web. easvne( co. uk/ursa/philos/ aert04. htmD. Suatu proposisi

dikatakan koheren dengan suatu himpunan proposisi tertentu jika dan hanya jika

proposisi itu ditrerima atau sesuai dengan anggota-anggota himpunan (http://

Plato.stan{ord.edwentries/truth.coherence!). Himpunan proposisi tertentu adalah

himpunan proposisi yang terdiri atas proposisi-proposisi yang diterima kebenarannya.

Matematika dapat dilukiskan sebagai suatu struktur yang terdiri dari suatu

kumpulan sistem :rang setiap dari sistem-sistem itu mempunyai struktur tersendiri

yang sifatnya bersistem deduktif. Aksioma adalah suatu asumsi dasar yang

merupakan salah satu unsur dalam suatu sistem deduktif-aksiomatik yar.g

kebenarannya diterima bukan karena dianggap benar secara apriori tetapi karena ia

diperlukan untuk membangun dan mensistimatisir teorema-teorema. Karena

matematika merupakan kumpulan sistem yang unsur-unsurnya adalah objek-objek

abstrak (pengertian pangkal, definisi, aksioma, dan teorema), maka

pertanggungjawaban rasional terhadap logika matematika menurut pemikiran

Wittgenstein dapat dikaji berdasarkan teori pembenaran (theories of justification)

yang disebut koherentisme atau teori kebenaran koherensi. Pemilihan teori ini sesuai

24

dengan pendapat Lloyd (http://easyweb.easvnetco.uklursa/philoslaert04.htm[) yang

menyatakafi bahwa teori kebenaran koherensi cocok diterapkan pada matematika dan

dengan teori koherensi maka realitas matematika dapat diberi makna pada realitas

matematika manapun tanpa memandang aliran filsafat matematika. Pendapat Lloyd

didukung oleh Irvine (1994) dan Kitcher (1983) yang menyatakan bahwa justifikasi

aksioma matematika sesuai dengan materi koherensi. Thagard dan V erbeurgt

menyatakan bahwa prinsip-prinsip penalaran dalam logika adalah mempertahankan

tidak berdasarkan pada validitas apriori tetapi pada koherensinya dengan kesimpulan

( http://cogsci. uwaterloo. cal Artides!P ages/cohere. constrain. htm[). Goodman ( 1965)

dan Thagard (1988) menyatakan bahwa proses justifikasi logis adalah penyusunan

penyesuaian bersama an tara aturan dan akibat yang diterima sehingga yang · satu

dengan yang lain ada kecocokan atau kesesuaian. Jadi justifikasi logis dalam

matematika adalah sebagaimana masalah koherensi di mana elemen-elemennya

adalah aturan atau konsep (definisi) dan akibat-akibatnya (teorema). Apabila terjadi

kesesuaian antara definisi, aksioma, dan teorema maka sistem dikatakan konsisten,

jika tidak dikatakan tidak konsisten. Suatu sistem matematika yang konsisten setiap

proposisi koheren dengan proposisi yang lain, sehingga dalam suatu sistem

matematika tidak akan terjadi dua proposisi yang saling kontradiksi. Suatu pemyataan

yang tidak koheren dalam suatu sistem akan ditolak atau dinyatakan salah.

Teori pembenaran koherentisme yang digunakan dalam penelitian adalah teori

koherentisme garis lunak sebagaimana dianut BonJour. Teori koherentisme garis

lunak berpandangan bahwa suatu jaringan kepercayaan disebut koheren apabila

komponen- komponen kepercayaan yang membentuk sistem jaringan kepercayaan

konsisten satu sama lain, namun tidak harus sampai secara logis sating

mengimplikasikan (Sudarminta, 2002). Teori ini dipilih karena antara dua sistem

25

deduktif aksiomatik dalam matematika tidak selalu dapat saling mengimplikasikan.

Sebagai contoh, dalam geometri terdapat berbagai jenis geometri yang antara lain

adalah geometri parabolik, geometri eliptik, dan geometri hiperbolik. Masing­

masing sistem geometri tersebut menggunakan kumpulan aksioma yang berbeda

namun demikian setiap sistem merupakan suatu sistem yang konsisten.

Syarat untuk dapat memahami logika adalah memahami penalaran dan

penalaran adalah suatu bentuk pemikiran yang memuat pengertian atau konsep,

proposisi atau pemyataan, dan penalaran (Soekadidjo, 1994). Proposisi adalah

rangkaian pengertian dan penalaran adalah proses penarikan kesimpulan berdas~rkan

proposisi-proposisi. Pengertian adalah sesuatu yang abstrak dan diwujudkan dalam

bentuk simbol bahasa (Kaelan, 2002). Bahasa adalah satu sarana untuk

mengungkapkan kebenaran yang sudah maupun yang belum dipastikan (Sudarminto,

2002). Kesimpulan yang dapat ditarik dari pendapat-pendapat di atas adalah bahasa

memiliki peran yang sangat penting baik pada pengertian, proposisi, maupun

penalaran untuk menemukan kebenaran. :Sahasa sangat memegang peran penting

dalam logika. Bahasa sebagai sarana untuk mengungkapkan suatu kebenaran atau

menyatakan suatu realitas dapat diurai menjadi proposisi-proposisi atomik atau

proposisi-proposisi elementer. Metode analisa bahasa diperlukan untuk rnengurai

bahasa menjadi proposisi-proposisi elementer. Akibat logis dari kesimpulan ini

adalah bahwa telaah filsafati tentang logika memerlukan proses analisis bahasa.

Analisis terhadap konsep yang bersifat terminologis menggunakan metode analitika

bahasa dengan konsep atomis logis.

26

E. Cara penelitian

1. Bahan Penelitian

Berdasarkan klasifikasi penelitian filsafat menurut Bakk:er & Zubair (1990), dan

Kaelan (2005) penelitian ini termasuk Model Penelitian Historis mengenai pemikiran

Wittgenstein. Tipe penelitian ini adalah penelitian kepustakaan yang bersifat kualitatif

dan deskriptif terhadap pemikiran Wittgenstein. Oleh karena itu bahan penelitian ini

adalah tulisan-tulisan yang berhubungan dengan pemikiran Wittgenstein tentang

logika matematika. Sumber primer penelitian ini berupa karya Wittgenstein yaitu

Tractatus Logico-Philosophicus, Philosophical Investigations, dan Rermarks on

Philosophy of Mathematics. Sumber sekunder meliputi tulisan-tulisan tentang

Wittgenstein atau pemikirannya, seperti Ludwig Wittgenstein, The Cambridge

Companion to Wittgenstein, Filsafat Analitis Menurut Ludwig Wittgenstein:

Relevansinya bagi Pengembangan Filsafat Bahasa", "Batas-batas Bahasa dalam

Filsafat Wittgenstein", dsb. Di samping sumber primer dan sumber sekunder juga

sumber pendukung, yaitu tulisan-tulisan tentang logika, matematika, bahasa dan

epistemologi.

2. Tahap-tahap Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan melalui tiga tahap yaitu persiapan, pengumpulan

data, dan analisis data.

a. Tahap Persiapan

Tahap Persiapan adalah tahap penentuan sumber data dan kualifikasi sumber data.

Kualifikasi sumber data berdasarkan objek formal dan objek material penelitian.

Sumber data berupa buku, majalah, hasil download dari internet yang diperoleh

melalui perpustakaan, internet, toko buku, dsb.

27

b. Tahap Pengumpulan Data.

Tahap ini merupakan proses inventarisasi data yang diperoleh dari sumber­

sumber data yang telah ditentukan pada saat persiapan. Proses pengumpulan data

dilakukan dengan mencatat data secara paraphrase, quotasi, dan sinoptik. Pencatatan

secara paraphrase adalah pencatatan yang diawali dengan pemahaman atas inti sari

data dan disajikan dengan rumusan kata-kata yang disusun oleh peneliti. Pencatatan

secara quotasi adalah pencatatan yang mengambil secara persis dari sumber data.

Pencatatan secara sinoptik adalah pencatatan yang dilakukan dengan membuat

ikhtisar. Pengolahan data melalui tahap reduksi data, klasifikasi data, dan display

data. Tahap reduksi data adalah tahap mengambil intisari dan makna data-data yang

diungkapkan secara panjang lebar dalam sumber data. Data-data yang diperoleh

disimpan dalam bentuk file-file yang diklasifikasikan berdasarkan objek formal dan

objek material penelitian. Selanjutnya data-data diorganisir sesuai dengan peta

penelitian.

c. Tahap Analisis Data

Analisis data dilakukan dengan metode deskripsi dengan unsur-unsur historis,

interpretasi dan hermeneutika, analitika bahasa, komparasi, sintesis, dan heuristika.

(1) Metode historis, untuk mengungkap pemikiran Wittgenstein berkaitan

dengan konsep-konsep filosofisnya, paham-paham yang mempengaruhi,

dan kemungkinan pengaruhnya terhadap paham filsafat yang lain.

Analisis historis juga dilakukan untuk mendeskripsikan riwayat hidup

Wittgenstein serta pola pemikirannya termasuk lingkungan sosial dan

budaya yang mempengaruhi perkembangan pemikiran filsafatnya.

28

(2) Metode interpretasi untuk mengungkap makna dan nilai atau pemikiran

filosofis Wittgenstein sehingga dapat dipahami. Proses interpretasi

meliputi kegiatan meneijemahkan dan menerangkan.

(3) Metode analitika bahasa untuk lebih menjela:;kan ungkapan-ungkapan

verbal sehingga dapat ditangkap maknanya dengan melakukan analisis

terhadap konsep pemikiran yang bersifat terminologis, misalnya makna­

proposisi, language game, inferensi, derivasi.

( 4) Metode hermeneutika untuk menangkap malam esensial pernikiran

Wittgenstein termasuk ciri-ciri objektif maupun subjektif sesuai dengan

konteks saat ini. Pemyataan Wittgenstein seperti we make mathematics

harus diungkap maknanya secara mendalmn melalui pemaknaan s~ara

semantik, pemaknaan yang lebih daJmn I.agi dan selanjutnya mengungkap

hakikat matematika.

( 5) Metode komparasi, untuk membandingkan pemikiran Wittgenstein dengan

pemikiran yang mempengaruhi, dipengaruhi, yang berbeda pendapat, dan

pemikiran yang lain. Metode ini diperlukan untuk meletakkan pernikiran

Wittgenstein dalam filsafat matematika dan menentukan relevansinya

dengan Pendidikan Matematika Realistik.

( 6) Metode induktif, untuk mendapatkar.. pengetahuan yang lebih lengkap yaitu

suatu kesimpulan yang berbentuk konstruksj teoritis dari pemikiran

Wittgenstein setelah . dapat mengungkapkan perkembangan pernikiran

Wittgenstein.

(7) Metode heuristika, untuk menemukan arti baru, jalan baru, pemahaman

baru, kritik terhadap pemikiran Wittgenstein, dan relevansinya dengan

-Pendidikan Matematika Realistik.