06a Persamaan Euler dan Bernoulli · PDF file1 PERSAMAAN BERNOULLI Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng...

1

PERSAMAAN BERNOULLI

Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng

Pendahuluan

Pada zat cair diam, gaya hidrostatis mudah dihitung karena hanya bekerja gaya tekanan.Pada zat cair mengalir, diperhitungkan kecepatan, arah partikel, kekentalan yang menyebabkan gesekan antar partikel maupun dinding batas. Persamaan energi gerak partikel diturunkan dari

Chapter 6: Persamaan Bernoulli

persamaan gerak.Persamaan energi → persamaan Euler untuk 3-D, persamaan Bernoulli untuk 1-D.

2

Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli adalahhubungan pendekatan antara tekanan, kecepatan , pdan elevasi dan berlaku dalam aliran mantap, tak termampatkan dimana gaya geseran netto diabaikan.Persamaan berguna dalam daerah aliran di luar lapis batas (boundary layers)


batas (boundary layers), dimana gerak fluida ditentukan efek gabungan gaya tekanan dan gaya berat.

Persamaan Bernoulli

Anggapan:Zat cair ideal, tidak mempunyai kekentalanZat cair ideal, tidak mempunyai kekentalanZat cair homogen, tidak termampatkanAliran kontinu dan sepanjang garis arus(irrotational flow)Kecepatan merata


pGaya yang bekerja hanya gaya berat dantekanan.

3

Garis aliran


Gaya-gaya yang Bekerja

Ditinjau elemen zat cair pada garis arus,


4

Penurunan Persamaan Bernoulli

Go to Hydrodynamic Analysis


Gaya-gaya yang Bekerja

p ⎞⎛ ∂

Gaya tekan dari up stream: p.dAd i d t dAds

spp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+dari down stream:Berat zat cair: W = ρ.g.dA.dsKomponen berat arah s : ρ.g.dA.ds.cosθ

:ρ.g.dAds.∂z/∂sResultan gaya:


szdsdAgdsdA

spF

∂∂

−∂∂

−= .... ρ

5

Keseimbangan Gaya

Menurut hukum Newton II:F = M.a

zp ∂∂

Bila v = f(s,t) →

adsdAszdsdAgdsdA

sp ...... ρρ =

∂∂

−∂∂

−

( ) azps

ργ =+∂∂

−

svv

tv

ts

sv

tv

dtdva

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

==


Sehingga pers menjadi:→ pers. Euler ( ) 0. =+

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂ zp

ssvv

tv γρ

Persamaan BernoulliDari pers. Euler

Untuk aliran tetap 1-D, dv/dt =0 maka

( ) 0. =+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂ zp

ssvv

tv γρ

atau → pers. Bernoulli

( ) 0. =++ zpdvdv γρ

Czpv =++ γρ 2

21

constHvpz ==++2

2


dimana : H = total head (tinggi tekan total)z = potential head (tinggi tempat)p = pressure head (tinggi tekan)

v2/2g = velocity head (tinggi kecepatan)

g2γ

6

Garis Energi Zat Cair Ideal


Persamaan energi:g

vpzH2

2

++=γ

Persamaan Bernoulli

Tanpa memperhitungkan kehilangan energi, dua titikpada garis arus yang sama memenuhi

2 2P V P V

dimana P/ρ : energi aliran, V2/2 : energi kinetis, dan gz :energi potensial, semua per unit mass.Persamaan Bernoulli dapat dilihat sebagai pernyataankeseimbangan energi mekanis (mechanical energy

2 21 1 2 2

1 21 22 2P V P Vz zg g g gρ ρ+ + = + +


keseimbangan energi mekanis (mechanical energybalance)Dinyatakan dalam kata-kata oleh ahli matematik SwissDaniel Bernoulli (1700–1782) dalam teks ditulis padatahun 1738.

7

Persamaan Bernoulli

Keseimbangan gaya tegak lurus garis arus

Keseimbangan gaya dalam arah-n tegak lurus garis arusuntuk aliran mantap, tak termampatkan:

untuk aliran sepanjang garis lurus, R → ∞, maka persamaan menjadi:


menjadi:

adalah pernyataan untuk variasi tekanan hidrostatissebagaimana sama dengan dalam fluida diam

Persamaan Bernoulli

Persamaan Bernoulli untuk aliran tidak mantap, termampatkan adalah:


8

Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi

Persamaan Bernoulli

P adalah tekanan statis; ini merepresentasi tekanan termodinamika aktual dari fluida.ρV2/2 adalah tekanan dinamis; ini merepresentasikenaikan tekanan bila fluida dalam gerak.


kenaikan tekanan bila fluida dalam gerak.ρgz adalah tekanan hidrostatis, tergantung pada bidang referensi yang ditetapkan.

Tekanan Statis, Dinamis, dan Stagnasi

Jumlah tekanan statis, dinamis, dan hidrostatisdisebut tekanan total(konstan sepanjang garis(konstan sepanjang garis arus).Jumlah tekanan statis dan dinamis disebut tekanan stagnasi,


Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari :

9

Aplikasi Persamaan Energi

Titik 2 : titik stagnasi


Dari pers energi didapat: p2 = p1 + ½ ρv12

Tekanan dinamis = ½ ρv12

Tekanan stagnasi = p2

Tabung Stagnasi

gVzp

gVzp

22

22

22

21

11 ++=++

γγ

ppV

pg

Vp

2

)(22

122

1

22

11

−=

=+

ρ

γγ


glV

ddl

2

))((2

1 =

−+= γγρ

10

Tabung Stagnasi dalam Pipa

gV2

2

VpH2

γp

Flow

Pipe

gzpH

2++=

γ

2


z

0=z

1

Pipa Pitot-statis

Kecepatan fluida pada titik itu dapat dihitung dari:

Piezometer mengukur tekanan statis.


11

Alat Pengukur Kecepatan (Pitot)

D i i ½ 2


Dari pers energi : p2 = p1 + ½ ρv12

ρgh2 = ρgh1 + ½ ρv12

( )121 2 hhgv −=

Venturi meter

Total energi titik 1 = total energi titik 2


Total energi titik 1 = total energi titik 2Dari persamaan tsb dapat dihitung debit aliran

22

21

21

12

AA

ghAACQ

man

dact −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=ρ

ρ

12

Garis Energi dan Garis Tekanan

Sering lebih enak untuk menggambar energi mekanis nenggunakan tinggi.

P/ρg adalah tinggi tekanan; ini merepresentasikan tinggi kolomfluida yang menghasilkan tekanan statis P.V2/2g adalah tinggi kecepatan; ini merepresentasikan elevasi yangdiperlukan untuk fluida mencapai kecepatan V selama jatuh bebas


p p p jtanpa gesekan.z adalah tinggi elevasi; ini merepresentasikan energi potensial darifluida.H adalah tinggi total.

Garis Energi dan Garis Tekanan

Garis Tekanan (HGL)

PHGL +

Garis Energy (EGL) (atau tinggi total)

HGL zgρ

= +

2P V


2P VEGL zg gρ

= + +

13

Garis Energi Aliran Zat Cair Riil


HGL dan EGL

Untuk benda diam seperti wadukatau danau, EGL dan HGL berimpitdengan permukaan bebas zat cair,sepanjang kecepatannya nol danp j g p ytekana statis (gage) = nol.EGL selalu berjarak V2/2g di atasHGL.Dalam idealized Bernoulli-type flow, EGL horisontal dan tingginya tetap konstan. Ini juga untuk HGL bila kecepatan aliran konstan.Untuk aliran saluran terbuka (open-channel flow) HGL berimpit dengan


channel flow), HGL berimpit denganpermukaan bebas zat cair, dan EGLberjarak V2/2g di atas permukaanbebas.

14

HGL dan EGL

Tekanan fluida (gage) adalah nol pada titikdimana HGL memotong fluida.Tekanan dalambagian aliran yang terletak di atas HGL negatifbagian aliran yang terletak di atas HGL negatif,dan tekanan bagian yang terletak di bawah HGLpositif.


Garis Energi Aliran Pipa-Waduk


Kecepatan aliran dalam pipa = 0

15



Aliran zat cair ideal



Aliran zat cair riil

16

Contoh Diketahui: kecepaian dalam outlet pipa dari reservoir adalah 6 m/s dan h = 15 m.Hitung : Tekanan di A.Penyelesaian : persamaan Bernoulli titik 1

Vhp

gVp

gh

gVzp

gVzp

AA

AA

AA

A

)1815(9810)(

20

200

22

2

2

221

11

−=−=

++=++

++=++

γ

γγ

γγ

Titik A


kPapg

hp

A

A

2.129

)81.9

5(98 0)2

(

=

γ

Contoh Diketahui: D=30 in, d=1 in, h=4 ftHitung: VA

Penyelesaian: persamaan Bernoulli

Point 1

ghV

gV

gh

gVzp

gVzp

A

AA

A

2

200

200

222

221

11

=

++=++

++=++

γγ

γγPoint A


sftghVA

/162

=

=

17

Contoh – Tabung VenturiDiketahui: air 20oC, V1=2 m/s, p1=50 kPa, D=6 cm, d=3 cmHitung : p2 dan p3

Penyelesaian : persamaan kontinuitas. D Dd

Persamaan Bernoulli

2

12

112

2211

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

=

dDV

AAVV

AVAV

1

2

3

VVpp

gVzp

gVzp

)(2

22

22

2112

22

22

21

11

−+=

++=++

ργγ Sama halnya untuk 2 3, atau 1 3

kPap 150=

Nozzle: kecepatan meningkat, tekanan turun

Diffuser: kecepatanturun, tekanan meningkat


( )

( )

kPap

Pa

VdDp

120

2]3/61[2

1000000,150

]/1[2

2

24

21

41

=

−+=

−+=ρ

Penurunan tekanan terjadi, selama dianggap tidak ada kehilangan karena gesekan

kPap 1503 =

( ) ]/1[)(24

212 Dd

ppV−

−=

ρTahu penurunan tekanan 1 2 dan d/D, dapat dihitung kecepatan dan debit

Analisis Energi Aliran Mantap

Jika tidak ada kehilangan energi mekanis dan tidak adaperalatan kerja mekanis, maka persamaan Bernoulli menjadi:

2 21 1 2 2P V P Vz z+ + + +

Faktor koreksi energi kinetis, αMenggunakan kecepatan aliran rata-rata dalam persamaandapat menyebabkan kesalahan dalam perhitungan energikinetis; oleh karenanya, α, faktor koreksi energi kinetis,digunakan untuk mengkoreksi kesalahan dengan menggantit i ki ti V2/2 d l i d

1 1 2 21 2

1 22 2z z

g g g gρ ρ+ + = + +


term energi kinetis V2/2 dalam persamaan energi denganαVavg

2 /2.

α = 2.0 untuk aliran laminer dalam pipa, dan antara 1.04 dan 1.11 untuk aliran turbulen dalam pipe bulat.

18

Faktor Koreksi Energi Kinetik

Kecepatan rata-rata pada penampang v, energi kinetikv2/2g


gKenyataan kecepatan tidak merata, sehingga energikinetik rata-rata α.v2/2gDimana α = koefisien Coriolis

= koreksi energi kinetik

Analisis Energi Aliran Mantap

α sering diabaikan, sepanjang mendekati 1 untuk aliran turbulen danuntuk aliran turbulen dan kontribusi energi kinetis kecil.persamaan energi untuk aliran mantap, tak termampatkan, menjadi


19

Harga Faktor Koreksi α

Harga faktor koreksi ∫=A

dAvAv

33

1α

Harga α tegantung distribusi kecepatanAliran dalam pipa : laminer α = 2

turbulen α = 1,01 – 1,15

A


Setelah dikoreksi persamaan energi menjadi :

gvpz

gvpz

22

22

22

2

21

11

1 αγ

αγ

++=++


06a Persamaan Euler dan Bernoulli · PDF file1 PERSAMAAN BERNOULLI Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng...

Documents

Transcript of 06a Persamaan Euler dan Bernoulli · PDF file1 PERSAMAAN BERNOULLI Ir. Suroso Dipl.HE, M.Eng...