Sobre la existencia del equilibrio en una economía competitiva. (Presentación)

Sobre la existencia del equilibrio en una economıacompetitiva: Analisis de la Teorıa del Valor de Gerard

Debreu

Alejandro Barrientos Suarez

UASLP

7 de Febrero de 2014

Alejandro Barrientos Suarez (UASLP) Sobre la existencia del equilibrio en una economıa competitiva: Analisis de la Teorıa del Valor de Gerard Debreu7 de Febrero de 2014 1 / 39

Introduccion.

Objetivos de la Investigacion.

• El primer objetivo, consiste en generar una version detallada yampliada de los conceptos teoricos de Equilibrio General presentadospor Gerard Debreu en Teorıa del Valor[1959]. Este objetivo se realiza,conservando la estructura original de la obra de Debreu; sin embargo,se complementa con la adicion de ejemplos, proposiciones y teoremas,de autores como Andreu Mas-Colell [1989, 1995], W. Hildendrand yA.P. Kirman [1982], Juan Horvath [1969], Hal R. Varian [1992, 2010],K.C. Border [2013] y notas del curso de Equilibrio General.

• El segundo objetivo, es presentar una demostracion de la existenciadel equilibrio en una economıa competitiva, tomando como base loselementos presentados en el objetivo anterior.


Introduccion.

Motivacion de la presentacion.

El objetivo de la exposicion, consiste en presentar una demostracion de laexistencia del equilibrio en una economıa competitiva; previamente seenuncian y se exhiben las propiedades necesarias sobre los precios, lasmercancıas, ası como los conjuntos de consumo y produccion.


Mercancıas y precios.

Precios y mercancıas.

Mercancıas I.

Siguiendo a Debreu[1959:37] una mercancıa se caracteriza por trespropiedades: descripcion fısica, disponibilidad temporal y espacial. Bajo losargumentos de estas propiedades, se dice que a pesar de que dosmercancıas sean fısicamente homogeneas, si existen en momentostemporales distintos, entonces se dice que no son iguales.

Mercancıas II

La cantidad de una mercancıa, es expresada por un numero real. Sesupone que el numero de mercancıas distintas disponibles es finito e iguala ` (indexado por L = 1, ..., `). De este modo, el espacio de mercancıas esel espacio euclıdeo R`.


Mercancıas y precios.

Precios I.

A cada una de estas mercancıas, tomando como ejemplo la h − esima, sele asocia un numero real, su precio, denotado por ph. Formalmente estosprecios son representados por el vector precios,

p = (p1, ..., ph, ..., p`) ∈ R`

El hecho de que una mercancıa tenga un precio positivo, negativo o nulo,no es bajo ninguna circunstancia una propiedad intrınseca de lasmercancıas; sino que dependen directamente de la tecnologıa de las firmas,de los gustos de los agentes, de los recursos existentes en la economıa, etc.

Precios II.

El precio ph de una mercancıa puede ser positivo,i.e. ph > 0, si es que lamercancıa es escasa; puede tener un valor de ph = 0 si es una mercancıapublica o libre; o negativo, i.e. ph < 0 si es una mercancıa nociva.


Conjuntos de consumo.

Definicion 1.1.

El conjunto de consumo es un sub-conjunto del espacio de mercancıas R`denotado por Xi , i.e. Xi ⊂ R`, cuyos elementos son denominados planes deconsumo. Formalmente se definira como

Xi = R`+ = x ∈ R` | xi ≥ 0 para i = 1, ...,m

Definicion 1.2.

Un plan de consumo para el consumidor i , que sera denotado por (xi ) esun vector m dimensional del espacio de mercancıas, i.e. R`, dondex = (xi ) = (x1, ..., xm) ∈

(R`)m

.


Conjuntos de consumo.

Definicion 1.3.

Dado un consumo xi , para cada consumidor,

x =m∑i=1

xi

se denomina el consumo total o demanda total.

Definicion 1.4.

El conjunto

X =m∑i=1

Xi

se llama el conjunto de consumo total.


Conjuntos de consumo. Hipotesis sobre los conjuntos de consumo.

Hipotesis sobre los conjuntos de consumo.

En general, se supondra que el conjunto de consumo Xi = R`+ ⊂ R`,satisface las siguientes propiedades.

a) Xi es cerrado.

Hipotesis de continuidad.Es decir, sea xqi una sucesion infinita de consumos, si todos loselementos xqi son factibles para el i − esimo consumidor, y si xqi → x0

i ,entonces x0

i es factible.

a′) X es cerrado.

La hipotesis de continuidad es similar para el conjunto de consumo total.



b)Hipotesis de cota inferior (5).

Si x′i ∈ R` tal que x

′i 5 xi para todo xi en Xi , o analogamente tal que

Xi ⊂ x′i + Ω. La justificacion de la teorıa economica para esta hipotesis

es la siguiente:Si la mercancıa h − esima es un input, xih tiene una cota inferior en cero.Si la h − esima mercancıa es un output, existe una cota superior (en valorabsoluto) para la produccion.



b′) X tiene una cota inferior para 5.

La hipotesis de (b′) es similar para el conjunto de consumo total.

Si (b) cumple para cada Xi , entonces x′

=∑m

i=1 x′i es una cota inferior de

X para 5. Recıprocamente se dice que si X esta acotado inferiormentepara 5, se puede observar que para todo Xi existe una cota inferior para 5.

Sin embargo, si cada Xi es cerrado, X no es necesariamente cerrado y serecurre a la siguiente proposicion.

Proposicion 1.2.

Si cada Xi es cerrado y ademas tiene una cota inferior 5, entonces X escerrado.



Demostracion Proposicion 1.2.1

De acuerdo con el Teorema 1.16., basta con demostrar que los conosasintoticos AXi son positivos semi-independientes (Definicion 1.39).

Observese que si Xi ⊂ x′+ Ω implica que AXi ⊂ A

(x ′+ Ω

), y que

por el Lema 1.6.c, el ultimo conjunto es igual a AΩ y por lo tanto a Ω. Detal forma que AXi ⊂ Ω. Por lo tanto es suficiente con demostrar quexi ∈ Ω para todo i , y ademas de que

∑mi=1 xi = 0 para todo i . .

1En este punto para ser mas explicito, se puede observar a detalle la demostraciondentro del documento de tesis.



c) Hipotesis de conectividad del consumo.

Xi es conexoSignifica que Xi esta hecho en un solo conjunto de consumo.Sea X un espacio topologico. Una separacion de X es un par U,V deabiertos disjuntos de X cuya union es X . El espacio X se dice que esconexo si no existe una separacion de X . i.e., U,V ⊂ X ,U ∩ V = ∅, U ∪ V = X .

d) Hipotesis de convexidad de Xi

Sean x1, x2 ∈ R`+, entonces el plan de consumo x3 = αx1 + (1− α)x2 estambien un elementos de R`+ para cada α ∈ [0, 1].


Conjuntos de consumo. Hipotesis sobre las preferencias.

Hipotesis sobre las preferencias.

a)Cada i es no saciable.

No saciabilidadPara todo xi ∈ Xi existe un x

′i ∈ Xi tal que x

′i i xi .

Recoge la idea de que un consumidor, dado un plan, siempre puedeencontrar algun otro mejor.

a′) No saciabilidad local.

Sea Nα(xi ) un entorno de centro xi y radio α. Para todo xi ∈ Xi y paratodo escalar α > 0 existe algun x

′i ∈ Nα(xi ) ∩ Xi tal que x

′i i xi .

Matiza la afirmacion de a); ya que para planes de consumo arbitrariamentecerca, existe otro plan de consumo arbitrariamente cerca que es mejor.


Conjuntos de consumo. Hipotesis sobre las preferencias.

b) Cada i es continua.

La relacion de preferencia i es continua, si para alguna sucesion de paresde canastas (xn, yn)∞n=1 con xn yn para todo n y x = limn→∞xn,y = limn→∞yn, tenemos que xn yn.La continuidad asegura que las preferencias de los consumidores noexhiban saltos.

c) Las preferencias son convexas.

Esto es, si x i y , entonces para cada λ ∈ (0, 1) tenemos queλx + (1− λ)y i y , donde se sabe que (λx + (1− λ)y ∈ Xi .)


Condiciones sobre las dotaciones iniciales.

Dotaciones iniciales.

Se sabe que la dotacion inicial privada para cada mercancıa, se denota por

ω =m∑i=1

ωi

la dotacion agregada ω es un elemento en R`; sin embargo, se asumira queω = 0.

a) Condicion sobre las preferencias.

Para cada i , existe un x i ∈ Xi tal que ωi >> x i


Conjuntos de Produccion.

Conjuntos de produccion.

Se supone que hay n firmas en la economıa, las cuales son representadaspor el subindice j(1, ..., n)

Definicion 1.5. Plan de produccion.

Un plan de produccion (yj) es un vector `− dimensional , de la formasiguiente (yj) = (y1, ..., yn) ∈

(R`)n

Definicion 1.6. Conjunto de produccion del j − esimo agente.

El conjunto de posibilidades de produccion de la firma j es denotado porYj , el cual es el conjunto de planes de produccion tecnicamente viablespara esta empresa. Yj ⊂ R`.


Conjuntos de Produccion.

Definicion 1.7

Dado un plan de produccion yj para cada productor j = 1, ..., n,

y =n∑

j−1

yj

se denomina produccion total u oferta total.

Definicion 1.8.

El conjunto

Y =n∑

j−1

Yj

se denomina el conjunto de produccion total.


Conjuntos de Produccion. Hipotesis sobre los conjuntos de produccion.

Hipotesis sobre los conjuntos de produccion.

a) Yj es cerrado.

Es decir, sea yqj una sucesion de producciones; si todas las y jq son

posibles para el j − esimo productor, y si yqj → yoj , entonces y0j es posible

para el j − esimo productor.

a′) Y es cerrado.

Estrechamente ligada esta la hipotesis (a) para el conjunto Y .



b) 0 ∈ Yj . Posibilidad de inaccion.

Es decir, el j − esimo productor tiene la posibilidad de no hacer nada. Lahipotesis es similar para el conjunto de produccion total.

b′) 0 ∈ Y

Una economıa en la que no puede darse ninguna actividad productiva secaracteriza por Y = 0, es decir el conjunto de produccion consiste en ununico punto 0.



c) Imposibilidad de produccion libre. Y ∩ Ω ⊂ 0.Es decir, si los inputs son nulos, los outputs son nulos tambien.

d). Irreversibilidad de la produccion. Y ∩ (−Y ) ⊂ 0Si la produccion total y cuyos input y output no son todos nulos, entoncesla produccion total −y no es posible. El proceso productivo no esreversible puesto que, en particular, la produccion toma un tiempo y lasmercancıas estan fechadas.



Para preparar el estudio de las siguientes tres hipotesis, se introducen lassiguientes definiciones.

a) Prevalecen rendimientos crecientes a escala si para todo yj se puedeaumentar arbitrariamente la escala de operaciones; b) rendimientosdecrecientes si se puede disminuir arbitrariamente; y c) rendimientosconstantes si para todo yj se pueden cambiar arbitrariamente la escala deoperaciones.



e) Aditividad. (Yj + Yj) ⊂ Yj

Es decir, si y1j e y2

j son planes posibles, tambien lo es y1j + y2

j . Losconjuntos (a) y (b) del grafico anterior, tienen esta propiedad.

Aplicando (e), si yj es posible tambien los es kyj , donde k es cualquierentero positivo. Por consiguiente (e) implica un cierto tipo derendimientos crecientes a escala.



f ) Convexidad. Yj es convexo.

Si y1j e y2

j son producciones posibles para el j − esimo productor, tambien

lo es su promedio ponderado ty1j + (1− t)y2

j con ponderaciones positivasarbitrarias. Las hipotesis (f ) y (b) conjuntamente implican que, si yj esposible tambien lo es tyj para cualquier t ∈ [0, 1]; i.e. prevalecenrendimientos decrecientes a escala.

Representa una limitacion, ya que se excluyen los rendimientos crecientes aescala, pero aun conserva una gran generalidad, puesto que, en particulares mas debil que la hipotesis de cono convexo que se discute en (g).

Observacion 1.

Aun si todos los Yj son cerrados, Y no es necesariamente cerrado.



Para poder brindar una respuesta a la observacion 1, se procede a plantearla siguiente teorema.

Teorema 1.

Si todos los Yj son cerrados y convexos y si Y ∩ (−Y ) = 0, entonces Yes cerrado.

Para observar la demostracion de este teorema, se recurre al documento.



f′) Y es convexo.

Esta hipotesis es mas debil que todos los Yj son convexos. Las hipotesis(f

′) y (b

′), implica que prevalecen rendimientos decrecientes a escala para

Y .

g) Yj es un cono de vertice 0. Rendimientos constantes a escala.

Si yj es una produccion posible, tambien los es t(yj), donde t > 0. Estahipotesis corresponde a la idea intuitiva de un proceso de produccionelemental para el que las proporciones de inputs y outputs estan fijas entresı, pero la escala de operaciones puede variar arbitrariamente.



Los rendimientos constantes a escala (g) junto a la aditividad (e) implicanque Yj es un cono convexo con vertice en cero.Recıprocamente, la convexidad (f ), la aditividad (e) y la posibilidad deinaccion (b), implican rendimientos a escala (g).Todas la hipotesis sobre Yj ((a), (b), (e), (f ), (g)), cuando se hacenconjuntamente, son equivalente a decir que: Yj , es un cono cerrado,convexo, de vertice cero.



h)Free disposal.Y ⊃ Ω

Esta propiedad establece, que la firma puede eliminar sin costos lasmercancıas (outputs e inputs) que tienen en exceso. Formalmente, siy1j ∈ Yj y y2

j es tal que y2jk 5 y1

jk , k = 1, ..., `, entonces y2j ∈ Yj . Es decir,

el plan de produccion y2j permite obtener como maximo el mismo nivel de

output que el plan de produccion y1j .



Graficamente la figura anterior representa esta situacion; en la parteizquierda de la figura dado cualquier yj ∈ Yj , todos los conjuntos pordebajo y a la izquierda de yj tambien forman parte del conjunto deposibilidades de produccion. La parte derecha, ilustra la violacion de estapropiedad.


Modelo

Modelo.

Una economıa de propiedad privada, sobre la que se desarrollara lademostracion de la existencia del equilibrio, se secribe de la siguientemanera,

E =(

(Xi ,i , ωi )mi=1 , (Yj)

nj=1 ,

(θij)i=1,...,m

j=1,...,n

)Aqui, ωi es una lista de dotaciones iniciales privadas de cada mercancıapara el i − esimo consumidor, de tal forma que

ω =m∑i=1

ωi

y θij es la participacion en la j − esima firma y donde el i − esimoconsumidor es propietario. Estas participaciones son no negativas y susuma es la unidad.

θij = 0, para todo i , j y∑n

j=1 θij = 1 para todo j .


Modelo Equilibrio walrasiano.

Equilibrio Walrasiano I.

El producto de mercados competitivos en una economıa de propiedadprivada es modelado como un equilibrio walrasiano, el cual es unaasignacion de mercado junto con un sistema de precios que escaracterizado por tres propiedades.

1) Cada firma maximiza sus beneficios, tomando los precios como dados.

2) Cada consumidor maximiza sus preferencias sujeto a su restriccionpresupuestaria.

3) Todos los mercados se vacıan.


Modelo Equilibrio walrasiano.

Conservando la convencion de signos, sobre los inputs y outputs, elbeneficio generado por el plan y en el vector de precios p, es p · y . Ası,formalmente un equilibrio walrasiano es una lista

(x∗1 , ..., x∗m, y

∗1 , ..., y

∗n , p∗)

1) (Maximizacion del beneficio). Para cada firma j ,

y∗j ∈ Yj y p∗ · y∗j ≥ p∗ · yj para todo yj ∈ Yj

2) (Maximizacion de las preferencias)

x∗i ∈ Bi = xi ∈ Xi | p∗ ·xi ≤ p∗ ·ωi +n∑

j=1

θijp∗y∗j , x∗i i xi ∀xi ∈ Bi

3) (Mercados se vacıan.)(x∗1 , ..., x∗m, y

∗1 , ..., y

∗n )

m∑i=1

x∗i =m∑j=1

ωi +n∑

j=1

y∗j


Modelo Una prueba sobre la existencia del equilibrio walrasiano.

Para poder realizar la prueba de la existencia del equilibrio, previamente serecurrira a enunciar el siguiente Teorema, la demostracion puede serconsultada en el documento.

Teorema del Maximo de Berge.

Sea P,X espacios metricos y sea ϕ : P → X una correspondencia convalores compactos, y ademas distintos del vacıo. Sea f : X × P → Rcontinua. Se define la correspondencia del argumento maximo argmaxµ : P → X por,

µ(p) = x ∈ ϕ(p) | x maximiza f (·, p) sobre ϕ(p)

y la funcion valor V : P → R se define por

V (p) = f (x , p) para cada x ∈ µ(p).

Si ϕ es continua en p, entonces µ es cerrada y semi-continuasuperiormente en p y V es continua en p. Ademas, µ es evaluada encompactos.



Se procede a normalizar los precios a traves del simplex, de tal forma que∑`k=1 = 1, Esto se puede hacer, siempre y cuando consideremos los precios

no negativos, lo cual lo podemos hacer por el supuesto del free disposal.

4 = p ∈ R` | p ≥ 0,∑k=1

pk = 1.

Usando el Teorema de Berge como fue redactado, se necesitan conjuntoscompactos, ası se asume que Xi y Yj son compactos. (Mas adelante severa como abandonar esta hipotesis, la cual es incompatible con el freedisposal.)



Demostracion de la existencia del equilibrio.

Paso 1. Para cada productor j , sea

ηj(p) = y ∈ Yj | p · y ≥ p · y ′ ∀y ′ ∈ Yj

denotada como la correspondencia de oferta para el productor j , y sea

πj(p) = maxp · y | y ∈ Yj

denotada como la funcion de beneficios.El Teorema del Maximo de Berge implica que ηj es una correspondenciasemi-continua superior y πj es una funccion continua. Tambien ya que0 ∈ Yj , se tiene que πj(p) ≥ 0 para todo p. La convexidad de Y implicaque

∑nj=1 ηj es convexa.



Paso 2. Para cada consumidor i , se define

mi (p) = p · ωi +n∑

j=1

θijπj(p)

como el ingreso del consumidor j en el vector de precios p. Por lo tanto, seasume que ωi >> xi , teniendo que pxi < mi (p) para p ∈ 4. Por lo tantola correspondencia presupuestal

βi (p) = x ∈ Xi | p · x ≤ mi (p)

es una correspondencia continua (se debe de probar), asi por el Teoremadel Maximo de Berge, la correspondencia de demanda es

ξi (p) = x ∈ Bi (p) | x i x′

x′ ∈ Bi (p)

es una correspondencia semi-continua superior, con conjuntos compactos.Por la convexidad de las preferencias, ξi (p) tambien es convexa.



Paso 3. La correspondencia exceso de demanda sera

ζ(p) =m∑i=1

ξi (p)−n∑

j=1

ηj(p)

es semi-continua superior, ası como convexa y de conjuntos compactos (senecesita probar).Por la hipotesis de no saciabilidad local (a

′), la forma de la la Ley de

Walras2 es,

p · z = 0 para todo z ∈ ζ(p).

2La ley de Walras es, en la teorıa del equilibrio general, un principio que estableceque la suma de la demanda (o demanda agregada (D) debe igualar a, tomando enconsideracion los precios (p), la suma de la oferta (S)



Lema de Nikaido-Debreu

Sea ζ : 4→ R` es una correspondencia semi-continua superior conconjuntos compactos no vacios que satisfacen la Ley de Walras, i.e. paratodo p ∈ 4, p · z ≤ 0 para cada z ∈ ζ(p). Entonces exite un p ∈ 4 yz ∈ ζ(p) que satisfacen z 5 0.



Paso 4. De acuerdo con el supuesto de compacidad. Sea Kn una sucesioncreciente de conjuntos compactos y convexos, cada uno conteniendo a ωi

y xi , cuya union es R`. Sea X in = Xi ∩ Kn y Y j

n = Yj ∩ Kn, y sea ζn lacorrespondencia exceso de demanda para esta economıa. Por el Lemaanterior, se puede obtener una sucesion pn, zn con zn 5 0 y zn ∈ ζn(pn).De esta forma si 4 es compacto, entonces existe una sub-sucesionconvergente, que se denota como pn → p ∈ 4. (Ver Teorema 1.19 deldocumento.)



Por la semi-continuidad superior, se puede mostrar que ademas existe unasub-sucesion con zn → z ≤ 0 y z ∈ ζ(p). Esto es, existe(x1, ...xm, y1, ..., yn) con cada xi ∈ ζi (p) y cada yj ∈ ηj(p) y

m∑i=1

xi +m∑i=1

ωi −n∑

j=1

yj = z ≤ 0

Paso 5. Por la Ley de Walras p · z = 0 y por el free disposal z ∈ Y . Por ladefinicion de ηj , cada yj maximiza p sobre Yj , asi y =

∑nj=1 yj maximiza p

sobre Y . Pero p · y = p · (y + z), asi y + z maximiza p sobre Y , lo cualsignifica que puede ser escrito como y + z =

∑nj=1 y

∗j , donde cada y∗j

maximiza el beneficio p · y∗j sobre Yj . Por lo tanto (x1, ..., xm, y∗1 , ..., y

∗n , p∗)

es un equilibrio walrasiano.


Sobre la existencia del equilibrio en una economía competitiva. (Presentación)

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