Prove e Tipi: Un’introduzione all’isomorfismo di Curry-Howard

IndiceIntroduzione: logica e informatica

Il λ-calcolo e la programmazione funzionaleLa deduzione naturale e la corrispondenza prove-programmi

Potere espressivo: Sistema F e polimorfismo

Prove e Tipi:Un’introduzione all’isomorfismo di

Curry-Howard

Dipartimento di Matematica ed Informatica, Universita diCagliari

9 maggio 2012

Paolo Di [email protected]

Referenze

J.Y. Girard, Y. Lafont, P. Taylor : Proofs and Types.Cambridge University, 1989.

L. Tortora di Falco: Sulla struttura logica del calcolo.Rendiconti di Matematica e delle sue applicazioni (vol. 26,serie VII - pagg. 367-404), 2006.

Le slides sono disponibili sul sito del gruppo di ricerca TrustworthyComputational Societies, all’indirizzo http://tcs.unica.it

Indice

1 Introduzione: logica e informatica

2 Il λ-calcolo e la programmazione funzionale

3 La deduzione naturale e la corrispondenza prove-programmi

4 Potere espressivo: Sistema F e polimorfismo

Indice

Cosa c’entra la logica con l’informatica?

David Hilbert

La questione dei fondamenti

Teoria degli insiemi (Cantor): L’insieme R dei numeri reali non enumerabile i.e. non puo essere messo incorrispondenza biunivoca con l’insieme N dei numerinaturali: la sua cardinalita e strettamente superiore.

Geometrie non euclidee (Riemann): Scoperte nel tentativo difornire una dimostrazione per assurdo del V postulatodi Euclide (“Per un punto passa una e una sola rettaparallela ad una retta data), sono geometrie costruitenegando il V postulato.

Secondo problema di Hilbert:

E’ possibile dimostrare la consistenza della matematica?.

Entscheidungsproblem

Problema della decisione (Hilbert-Ackermann, 1928):

Dato un enunciato dell’ l’aritmetica, esiste una procedurameccanica effettiva capace di stabilire se l’enunciato in questionesia deducibile o meno dagli assiomi?

Es: “ogni numero pari maggiore di 2 puo essere scritto comesomma di due numeri primi” (congettura di Goldbach)

La procedura prende in input l’enunciato e restituisce inoutput una risposta, “Sı” o “No”, in un numero finito di passi.

Modello di calcolo:

Definizione matematica rigorosa della nozione intuitiva diprocedura meccanica di calcolo.

Modello di calcolo:

Definizione matematica rigorosa della nozione intuitiva diprocedura meccanica di calcolo.

Modelli di calcolo: le funzioni ricorsive

Kurt Godel

Modello assiomatico: la classe delle funzioni ricorsive e la piupiccola classe contenente :

alcune funzioni di base (funzioni zero, successore, proiezioni)chiusa rispetto a certe operazioni (composizione, ricorsione...)

Pro: Definizione matematicamente elegante.

Contro: manca una nozione esplicita di passo di calcolo

alcune funzioni di base (funzioni zero, successore, proiezioni)

chiusa rispetto a certe operazioni (composizione, ricorsione...)

Modelli di calcolo: le macchine di Turing

Alan Turing

Modello “concreto”: una macchina di Turing e costituita da :

un nastro infinito;

una testina in grado di leggere, scrivere e spostarsi sul nastro;un insieme di istruzioni, che descrive come la macchina passada un determinato stato ad un altro.

Pro: nozione precisa di passo di calcolo, evidentementemeccanizzabile.

Contro: Difficile dimostrare proprieta astratte in questomodello.

un nastro infinito;una testina in grado di leggere, scrivere e spostarsi sul nastro;

un insieme di istruzioni, che descrive come la macchina passada un determinato stato ad un altro.

un nastro infinito;una testina in grado di leggere, scrivere e spostarsi sul nastro;un insieme di istruzioni, che descrive come la macchina passada un determinato stato ad un altro.

Modelli di calcolo: il λ-calcolo

Alonzo Church

Prende il meglio dei due mondi:

Definizione matematicamente elegante: si basa unicamentesulla nozione di funzione e di applicazione di funzioni.

Possiede una nozione esplicita di “passo di calcolo” (perquanto non cosı elementare come quella della macchina diTuring)

E’ il nucleo di base di tutti i linguaggi di programmazionefunzionali (Lisp, ML, etc)

Equivalenza dei modelli di calcolo

Teorema

Data una qualsiasi funzione f da interi a interi, f eTuring-calcolabile se e solo se e ricorsiva se e solo se e λ-calcolabile.

Tesi di Church-Turing

Ogni funzione per cui esiste una procedura effettiva di calcolo eTuring-calcolabile.

La tesi non e dimostrabile (la nozione di procedura effettivanon e formale);

l’evidenza “empirica” conferma la tesi di Church-Turing.

Teorema

E l’Entscheidungsproblem ?

Teorema di Church

Non esiste una macchina di Turing che dato un enunciatodell’aritmetica sia capace di determinare se esso sia o menodimostrabile.

Problema della fermata (Turing)

Non esiste una macchina di Turing capace di decidere se, a partireda un input arbitrario, un programma termini.

Secondo teorema di incompletezza (Godel)

Non e possibile dimostrare la coerenza dell’aritmetica con metodifiniti.

Teorema di Church

Nascita dei moderni calcolatori

John Von Neumann

A volte i problemi sono piu interessanti delle soluzioni....

I know that in or about 1943 or ’44 von Neumann waswell aware of the fundamental importance of Turing’spaper of 1936 ... Von Neumann introduced me to thatpaper and at his urging I studied it with care. Manypeople have acclaimed von Neumann as the ”father ofthe computer” (in a modern sense of the term) but I amsure that he would never have made that mistake himself.He might well be called the midwife, perhaps, but hefirmly emphasized to me, and to others I am sure, thatthe fundamental conception is owing to Turing.

Stan Frankel, collega di Von Neumann a Los Alamos.

Indice

Cosa e una funzione? Il punto di vista estensionale

Una funzione e una “legge” che associa ad ogni elemento deldominio di f (l’insieme dei valori di input X ) un elemento delcodominio di f (l’insieme dei valori di output Y )

Piu formalmente, una funzione e un sottoinsieme del prodottocartesiano X × Y tale che per ogni x ∈ X esiste un unicoy ∈ Y tale che (x , y) ∈ f .

L’esistenza e l’unicita rendono possibile la notazione f (x) = y ;ogni elemento del dominio di f determina in modo univoco unelemento del codominio di f .

Una funzione dal punto di vista estensionale e completamentedefinita dal suo grafico : f = {(x , f (x)) : x ∈ X} ⊆ X × Y .

Dal punto di vista estensionale, non siamo interessati a saperein che modo la funzione calcola i suoi valori; ci interessa soloconoscere i valori in entrata, i valori in uscita e la relazione tradi essi (chi corrisponde a chi).

Es. Le funzioni Sum(x , y) = x + y e Mus(x , y) = y + x sonoestensionalmente equivalenti (anche se calcolano i loro valoriin maniera differente).

Cosa e una funzione? Il punto di vista intensionale

Una funzione f e una procedura effettiva che prende in inputun x ∈ X e produce un output y ∈ Y in un numero finito dipassi elementari.

Dal punto di vista intensionale, siamo interessati a capire inche modo la funzione f produce il suo risultato: non ci bastaconoscere il risultato.

Es. Le funzioni Sum(x , y) = x + y e Mus(x , y) = y + x sonointensionalmente differenti (anche se estensionalmente sicomportano allo stesso modo).

La λ-notazione

f (x) = t

La funzione f dove f (x) = t.

La λ-notazione

f (x) = t

La λ-notazione

f (x) = x ∗ x

La funzione f dove f (x) = x ∗ x.

f (3) = 3 ∗ 3 = 9

Calcolare = sostituire ( e rendere esplicito)

La λ-notazione

f (x) = x ∗ x

f (3) = 3 ∗ 3 = 9

La λ-notazione

f (x) = x ∗ x

f (3) = 3 ∗ 3 = 9

La λ-notazione

f (x) = x ∗ x

f (3) = 3 ∗ 3 = 9

La λ-notazione

f (x) = t

λx .t

passo di calcolo: (λx .t)(u)⇒ t[u/x ]

t[u/x ] e il termine ottenuto rimpiazzando in t ogni occorrenzalibera di x con u.

La λ-notazione

f (x) = t

λx .t

La λ-notazione

f (x) = t

λx .t

La λ-notazione

f (x) = t

λx .t

La λ-notazione

f (x) = t

λx .t

La λ-notazione

f (x) = x ∗ x

λx .x ∗ x

passo di calcolo: (λx .x ∗ x)(3)⇒ x ∗ x [3/x ]

x ∗ x [3/x ] = 3 ∗ 3 = 9

La λ-notazione

f (x) = x ∗ x

λx .x ∗ x

x ∗ x [3/x ] = 3 ∗ 3 = 9

La λ-notazione

f (x) = x ∗ x

λx .x ∗ x

x ∗ x [3/x ] = 3 ∗ 3 = 9

La λ-notazione

f (x) = x ∗ x

λx .x ∗ x

x ∗ x [3/x ] = 3 ∗ 3 = 9

La λ-notazione

f (x) = x ∗ x

λx .x ∗ x

x ∗ x [3/x ] = 3 ∗ 3 = 9

La λ-notazione

f (y) = y + 1

La funzione f dove f (y) = y + 1.

λy .y + 1

passo di calcolo: (λy .y + 1)(3)⇒ y + 1[3/y ]

y + 1[3/y ] = 3 + 1 = 4

La λ-notazione

f (y) = y + 1

λy .y + 1

y + 1[3/y ] = 3 + 1 = 4

La λ-notazione

f (y) = y + 1

λy .y + 1

y + 1[3/y ] = 3 + 1 = 4

La λ-notazione

f (y) = y + 1

λy .y + 1

y + 1[3/y ] = 3 + 1 = 4

La λ-notazione

f (y) = y + 1

λy .y + 1

y + 1[3/y ] = 3 + 1 = 4

La λ-notazione

f (z) = z + 1

La funzione f dove f (z) = z + 1.

λz .z + 1

passo di calcolo: (λz .z + 1)(3)⇒ z + 1[3/z ]

z + 1[3/z ] = 3 + 1 = 4

λz .z + 1 ≡ λy .y + 1

La λ-notazione

f (z) = z + 1

λz .z + 1

z + 1[3/z ] = 3 + 1 = 4

λz .z + 1 ≡ λy .y + 1

La λ-notazione

f (z) = z + 1

λz .z + 1

z + 1[3/z ] = 3 + 1 = 4

λz .z + 1 ≡ λy .y + 1

La λ-notazione

f (z) = z + 1

λz .z + 1

z + 1[3/z ] = 3 + 1 = 4

λz .z + 1 ≡ λy .y + 1

La λ-notazione

f (z) = z + 1

λz .z + 1

z + 1[3/z ] = 3 + 1 = 4

λz .z + 1 ≡ λy .y + 1

La λ-notazione

f (z) = z + 1

λz .z + 1

z + 1[3/z ] = 3 + 1 = 4

λz .z + 1 ≡ λy .y + 1

E quando ci sono piu riduzioni?

(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))

↙ ↘(λx .x ∗ x)(2 + 1) ((λy .y + 1)(2))∗

((λy .y + 1)(2))↘ ↙

(2 + 1) ∗ (2 + 1)

(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))↙ ↘

(λx .x ∗ x)(2 + 1) ((λy .y + 1)(2))∗((λy .y + 1)(2))

↘ ↙(2 + 1) ∗ (2 + 1)

(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))↙ ↘

(λx .x ∗ x)(2 + 1) ((λy .y + 1)(2))∗((λy .y + 1)(2))

↘ ↙(2 + 1) ∗ (2 + 1)

(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))↙ ↘

(λx .x ∗ x)(2 + 1) ((λy .y + 1)(2))∗((λy .y + 1)(2))

↘ ↙

(2 + 1) ∗ (2 + 1)

(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))↙ ↘

(λx .x ∗ x)(2 + 1) ((λy .y + 1)(2))∗((λy .y + 1)(2))

↘ ↙(2 + 1) ∗ (2 + 1)

E quando ci sono piu argomenti?

g(x , y) = x ∗ x + y ∗ y

Currificazione: Una funzione a due argomenti puo essererappresentata da una funzione sul primo argomento che restituisce

una funzione sul secondo argomento

g(3, 4) = 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4 = 25

((λx .λy .x ∗ x + y ∗ y)(3))(4)⇒ (λy .3 ∗ 3 + y ∗ y)(4)⇒ 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4⇒ 25

g(x , y) = x ∗ x + y ∗ y

g(3, 4) = 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4 = 25

((λx .λy .x ∗ x + y ∗ y)(3))(4)⇒ (λy .3 ∗ 3 + y ∗ y)(4)⇒ 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4⇒ 25

g(x , y) = x ∗ x + y ∗ y

g(3, 4) = 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4 = 25

((λx .λy .x ∗ x + y ∗ y)(3))(4)⇒ (λy .3 ∗ 3 + y ∗ y)(4)⇒ 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4⇒ 25

g(x , y) = x ∗ x + y ∗ y

g(3, 4) = 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4 = 25

((λx .λy .x ∗ x + y ∗ y)(3))(4)

⇒ (λy .3 ∗ 3 + y ∗ y)(4)⇒ 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4⇒ 25

g(x , y) = x ∗ x + y ∗ y

g(3, 4) = 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4 = 25

((λx .λy .x ∗ x + y ∗ y)(3))(4)⇒ (λy .3 ∗ 3 + y ∗ y)(4)

⇒ 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4⇒ 25

g(x , y) = x ∗ x + y ∗ y

g(3, 4) = 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4 = 25

((λx .λy .x ∗ x + y ∗ y)(3))(4)⇒ (λy .3 ∗ 3 + y ∗ y)(4)⇒ 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4

⇒ 25

g(x , y) = x ∗ x + y ∗ y

g(3, 4) = 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4 = 25

((λx .λy .x ∗ x + y ∗ y)(3))(4)⇒ (λy .3 ∗ 3 + y ∗ y)(4)⇒ 3 ∗ 3 + 4 ∗ 4⇒ 25

Composizione di funzioni

g(f (z))

Composizione: Una funzione che prende due funzioni f e g comeargomenti e restituisce una funzione che prende un argomento z,

applica la prima funzione all’argomento, e applica la secondafunzione al risultato

λf .λg .λz .g(f (z))

g(f (z))

(λf .λg .λz .g(f (z)))(λy .y + 1)(λx .x ∗ x)(2)

⇒ (λg .λz .g((λy .y + 1)(z)))(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λz .(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(z)))(2)⇒ (λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))⇒ (2 + 1) ∗ (2 + 1)⇒ 9

Una funzione puo prendere in argomento funzioni e restituire comevalore una funzione

(λf .λg .λz .g(f (z)))(λy .y + 1)(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λg .λz .g((λy .y + 1)(z)))(λx .x ∗ x)(2)

⇒ (λz .(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(z)))(2)⇒ (λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))⇒ (2 + 1) ∗ (2 + 1)⇒ 9

(λf .λg .λz .g(f (z)))(λy .y + 1)(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λg .λz .g((λy .y + 1)(z)))(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λz .(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(z)))(2)

⇒ (λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))⇒ (2 + 1) ∗ (2 + 1)⇒ 9

(λf .λg .λz .g(f (z)))(λy .y + 1)(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λg .λz .g((λy .y + 1)(z)))(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λz .(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(z)))(2)⇒ (λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))

⇒ (2 + 1) ∗ (2 + 1)⇒ 9

(λf .λg .λz .g(f (z)))(λy .y + 1)(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λg .λz .g((λy .y + 1)(z)))(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λz .(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(z)))(2)⇒ (λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))⇒ (2 + 1) ∗ (2 + 1)

(λf .λg .λz .g(f (z)))(λy .y + 1)(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λg .λz .g((λy .y + 1)(z)))(λx .x ∗ x)(2)⇒ (λz .(λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(z)))(2)⇒ (λx .x ∗ x)((λy .y + 1)(2))⇒ (2 + 1) ∗ (2 + 1)⇒ 9

λ-calcolo, in due parole

λ-calcolo: linguaggio di programmazione funzionale;

termini del λ-calcolo: programmi;

regola di riduzione: passo di calcolo (esecuzione delprogramma)

Tutto e una funzione

Sintassi del λ-calcolo

M ::= x | λx .M | MM

Un λ-termine M e :

una variabile x presa da un insieme infinito numerabile V divariabili (denoteremo le variabili con x , y , z , . . .);

oppure una λ-astrazione λx .M;

oppure una applicazione MM di un λ-termine ad un altro.

L’applicazione associa a sinistra: M1M2M3 = ((M1M2)M3)

M ::= x | λx .M | MM

Un λ-termine M e :

M ::= x | λx .M | MM

Un λ-termine M e :

M ::= x | λx .M | MM

Un λ-termine M e :

M ::= x | λx .M | MM

Un λ-termine M e :

M ::= x | λx .M | MM

Un λ-termine M e :

α-equivalenza

M = (λx .yx)x

x e vincolata in M; x , y sono libere in M.

le variabili vincolate sono mute.

λx .M ≡α λy .(M[y/x ])

Es. λx .(xy) ≡α λz .(zy)

Due funzioni α-equivalenti rappresentano la stessa funzione.

α-equivalenza

M = (λx .yx)x

α-equivalenza

M = (λx .yx)x

α-equivalenza

M = (λx .yx)x

α-equivalenza

M = (λx .yx)x

α-equivalenza

M = (λx .yx)x

β-riduzione

(λx .M)N →β M[N/x ]

la sostituzione e definita modulo α-equivalenza;

(λx .M)N e chiamato redesso, M[N/x ] e chiamato ridotto.

Se M →β M ′ allora si dice che M β-riduce in un passo a M ′.

Es. (λx .xx)(λy .y)→β (λy .y)(λy .y)

Es. (λx .z)(λy .y)→β z

nello stesso termine possono comparire piu redessi. Es:(λx .z)((λy .y)(z)).

β-riduzione

La β-riduzione (denotata →∗β) e la chiusura riflessiva e transitivadella relazione →β.

M →∗β M ′ se e solo se se esiste una successioneM0,M1, . . . ,Mn−1,Mn tale che M = M0,M

′ = Mn, eMi →β Mi+1 per 1 ≤ i ≤ n − 1 (con n ≥ 0).

un λ-termine M e detto in forma normale se e solo se noncontiene redessi, i.e. non esiste nessun λ-termine M ′ tale cheM →∗β M ′.

β-riduzione

Il λ-calcolo come linguaggio di programmazione: unintuizione

(λx1 . . . λxn.M)N1 . . .Nn corrisponde ad un programma M cheattende n argomenti, applicato agli input N1, . . . ,Nn;

La β-riduzione corrisponde all’esecuzione di un programma: seM →∗β M ′ allora M ′ rappresenta uno stadio piu avanzatonell’esecuzione del programma M;

un λ-termine in forma normale corrisponde all’output delprogramma.

L’η-equivalenza

λx .(Mx) ≡η M, se x non occorre libera in M.

Due λ-termini M,M ′ sono η-equivalenti (o estensionalmenteequivalenti) se si comportano allo stesso modo, una voltaapplicati ad un argomento.

Per ogni N, (λx .(Mx))N →β (Mx)[N/x ] = MN

L’η-equivalenza

Normalizzazione debole e forte

un λ-termine e detto normalizzabile (o debolmentenormalizzabile) se esiste un λ-termine M ′ normale tale cheM →∗β M ′; si dice allora che M ′ e una forma normale di M.

un λ-termine e detto fortemente normalizzabile se non esistealcuna successione infinita Mi∈N tale che M = M0 eMi →β Mi+1 per ogni i ∈ N.

un λ-termine non normalizzabile corrisponde ad unprogramma che cicla all’infinito.

Normalizzazione debole e forte: esempi

(λx .xx)(λx .x) e fortemente normalizzabile: l’unica sequenzadi riduzioni possibile termina.

(λx .xx)(λx .x)→β x [λx .x/x ]x [λx .x/x ]→β (λx .x)(λx .x)→β x [λx .x/x ]= λx .x

(λx .xx)(λx .x)

→β x [λx .x/x ]x [λx .x/x ]→β (λx .x)(λx .x)→β x [λx .x/x ]= λx .x

(λx .xx)(λx .x)→β x [λx .x/x ]x [λx .x/x ]

→β (λx .x)(λx .x)→β x [λx .x/x ]= λx .x

(λx .xx)(λx .x)→β x [λx .x/x ]x [λx .x/x ]→β (λx .x)(λx .x)

→β x [λx .x/x ]= λx .x

(λx .xx)(λx .x)→β x [λx .x/x ]x [λx .x/x ]→β (λx .x)(λx .x)→β x [λx .x/x ]

= λx .x

(λx .xx)(λx .x)→β x [λx .x/x ]x [λx .x/x ]→β (λx .x)(λx .x)→β x [λx .x/x ]= λx .x

(λx .xx)(λx .xx) non e normalizzabile: l’unica sequenza diriduzioni possibile non termina.

(λx .xx)(λx .xx)→β x [λx .xx/x ]x [λx .xx/x ]→β (λx .xx)(λx .xx)

→β...

(λx .xx)(λx .xx)

→β x [λx .xx/x ]x [λx .xx/x ]→β (λx .xx)(λx .xx)

→β...

(λx .xx)(λx .xx)→β x [λx .xx/x ]x [λx .xx/x ]

→β (λx .xx)(λx .xx)

→β...

(λz .y)((λx .xx)λx .xx) e normalizzabile, ci sono sequenze diriduzioni che terminano e altre no.

(λz .y)((λx .xx)λx .xx)→β y [(λx .xx)λx .xx/z ]= y

(λz .y)((λx .xx)λx .xx)

→β y [(λx .xx)λx .xx/z ]= y

(λz .y)((λx .xx)λx .xx)→β y [(λx .xx)λx .xx/z ]

(λz .y)((λx .xx)λx .xx)→β y [(λx .xx)λx .xx/z ]= y

(λz .y)((λx .xx)λx .xx)

→β (λz .y)(x [λx .xx/x ]x [λx .xx/x ])→β (λz .y)((λx .xx)λx .xx)

→β...

(λz .y)((λx .xx)λx .xx)→β (λz .y)(x [λx .xx/x ]x [λx .xx/x ])

→β (λz .y)((λx .xx)λx .xx)

→β...

(λz .y)((λx .xx)λx .xx)→β (λz .y)(x [λx .xx/x ]x [λx .xx/x ])→β (λz .y)((λx .xx)λx .xx)

→β...

(λz .y)((λx .xx)λx .xx)→β (λz .y)(x [λx .xx/x ]x [λx .xx/x ])→β (λz .y)((λx .xx)λx .xx)

→β...

Teorema di Church-Rosser

Un λ-termine ha un unica forma normale?

Church-Rosser

Per ogni λ-termine M,M1,M2 tali che M →∗β M1 e M →∗β M2

esiste un λ-termine N tale che M1 →∗β N ed M2 →∗β N

Corollario

Per ogni λ-termine M, se M1,M2 sono due forme normali di Mallora M1 = M2.

Dim. M →∗β M1 e M →∗β M2 quindi per la confluenza esiste N taleche M1 →∗β N ed M2 →∗β N; ora poiche M1,M2 sono due formenormali, M1 = N = M2.

Church-Rosser

Corollario

Church-Rosser

Corollario

Church-Rosser

Corollario

Programmare con il λ-calcolo

Funzione identita: λx .x

(λx .x)M

→β x [M/x ]= M

(λx .x)M→β x [M/x ]

(λx .x)M→β x [M/x ]= M

Funzione costante: λx .N dove x non e libera in N.

(λx .N)M

→β N[M/x ]= N

(λx .N)M→β N[M/x ]

(λx .N)M→β N[M/x ]= N

Funzione proiezione i-esima: λx1 . . . λxn.xi (con 1 ≤ i ≤ n).

(λx1 . . . λxn.xi )M1 . . .Mn

→∗β (λxi+1 . . . λxn.Mi )Mi+1 . . .Mn

→∗β Mi

(λx1 . . . λxn.xi )M1 . . .Mn

→∗β (λxi+1 . . . λxn.Mi )Mi+1 . . .Mn

→∗β Mi

(λx1 . . . λxn.xi )M1 . . .Mn

→∗β (λxi+1 . . . λxn.Mi )Mi+1 . . .Mn

→∗β Mi

True: λxλy .x

(λxλy .x)MN

→β (λy .M)N→β M[N/y ]= M

True: λxλy .x

(λxλy .x)MN→β (λy .M)N

→β M[N/y ]= M

True: λxλy .x

(λxλy .x)MN→β (λy .M)N→β M[N/y ]

True: λxλy .x

(λxλy .x)MN→β (λy .M)N→β M[N/y ]= M

False: λxλy .y

(λxλy .y)MN

→β (λy .y)N→β y [N/y ]= N

False: λxλy .y

(λxλy .y)MN→β (λy .y)N

→β y [N/y ]= N

False: λxλy .y

(λxλy .y)MN→β (λy .y)N→β y [N/y ]

False: λxλy .y

(λxλy .y)MN→β (λy .y)N→β y [N/y ]= N

If Then Else: λpλxλy .p x y

(λpλxλy .p x y)True MN

→β (λxλy .True x y)MN→∗β True MN

→∗β M

(λpλxλy .p x y)True MN→β (λxλy .True x y)MN

→∗β True MN

→∗β M

(λpλxλy .p x y)True MN→β (λxλy .True x y)MN→∗β True MN

→∗β M

(λpλxλy .p x y)True MN→β (λxλy .True x y)MN→∗β True MN

→∗β M

(λpλxλy .p x y)False MN

→β (λxλy . False x y)MN→∗β False MN

→∗β N

(λpλxλy .p x y)False MN→β (λxλy . False x y)MN

→∗β False MN

→∗β N

(λpλxλy .p x y)False MN→β (λxλy . False x y)MN→∗β False MN

→∗β N

(λpλxλy .p x y)False MN→β (λxλy . False x y)MN→∗β False MN

→∗β N

Gli interi di Church:

n := λf λx .f nx = λf λx

n volte︷︸︸︷f (f · · · (f x) · · · )

0 := λf λx .x

1 := λf λx .f x

2 := λf λx .f (f x)

n volte︷︸︸︷f (f · · · (f x) · · · )

0 := λf λx .x

1 := λf λx .f x

2 := λf λx .f (f x)

n volte︷︸︸︷f (f · · · (f x) · · · )

0 := λf λx .x

1 := λf λx .f x

2 := λf λx .f (f x)

n volte︷︸︸︷f (f · · · (f x) · · · )

0 := λf λx .x

1 := λf λx .f x

2 := λf λx .f (f x)

In generale, un intero n e interpretato come una funzione cheitera n volte la funzione che gli viene applicata:

(λf λx .f nx)PQ→β (λx .Pnx)Q→β PnQ

n volte︷︸︸︷P(P · · · (P Q) · · · )

(λf λx .f nx)PQ

→β (λx .Pnx)Q→β PnQ

n volte︷︸︸︷P(P · · · (P Q) · · · )

(λf λx .f nx)PQ→β (λx .Pnx)Q

→β PnQ

n volte︷︸︸︷P(P · · · (P Q) · · · )

La funzione Succ: λnλf λx .f (n f x)

Succ n

= (λnλf λx .f (n f x))n→β λf λx .f (n f x)→β λf λx .f ( f n x)= λf λx .f n+1 x= n + 1

Succ n= (λnλf λx .f (n f x))n

→β λf λx .f (n f x)→β λf λx .f ( f n x)= λf λx .f n+1 x= n + 1

Succ n= (λnλf λx .f (n f x))n→β λf λx .f (n f x)

→β λf λx .f ( f n x)= λf λx .f n+1 x= n + 1

Succ n= (λnλf λx .f (n f x))n→β λf λx .f (n f x)→β λf λx .f ( f n x)

= λf λx .f n+1 x= n + 1

Succ n= (λnλf λx .f (n f x))n→β λf λx .f (n f x)→β λf λx .f ( f n x)= λf λx .f n+1 x

= n + 1

Succ n= (λnλf λx .f (n f x))n→β λf λx .f (n f x)→β λf λx .f ( f n x)= λf λx .f n+1 x= n + 1

La funzione Sum: λmλnλf λx .m f (n f x)

Sum m n

= (λmλnλf λx .m f (n f x))m n→β (λnλf λx .m f (n f x))n→β λf λx .m f (n f x)= λf λx .m f ( f n x)= λf λx .f m( f n x)= λf λx .f m+n x= m + n

Sum m n= (λmλnλf λx .m f (n f x))m n

→β (λnλf λx .m f (n f x))n→β λf λx .m f (n f x)= λf λx .m f ( f n x)= λf λx .f m( f n x)= λf λx .f m+n x= m + n

Sum m n= (λmλnλf λx .m f (n f x))m n→β (λnλf λx .m f (n f x))n

→β λf λx .m f (n f x)= λf λx .m f ( f n x)= λf λx .f m( f n x)= λf λx .f m+n x= m + n

Sum m n= (λmλnλf λx .m f (n f x))m n→β (λnλf λx .m f (n f x))n→β λf λx .m f (n f x)

= λf λx .m f ( f n x)= λf λx .f m( f n x)= λf λx .f m+n x= m + n

Sum m n= (λmλnλf λx .m f (n f x))m n→β (λnλf λx .m f (n f x))n→β λf λx .m f (n f x)= λf λx .m f ( f n x)

= λf λx .f m( f n x)= λf λx .f m+n x= m + n

Sum m n= (λmλnλf λx .m f (n f x))m n→β (λnλf λx .m f (n f x))n→β λf λx .m f (n f x)= λf λx .m f ( f n x)= λf λx .f m( f n x)

= λf λx .f m+n x= m + n

Sum m n= (λmλnλf λx .m f (n f x))m n→β (λnλf λx .m f (n f x))n→β λf λx .m f (n f x)= λf λx .m f ( f n x)= λf λx .f m( f n x)= λf λx .f m+n x

= m + n

Sum m n= (λmλnλf λx .m f (n f x))m n→β (λnλf λx .m f (n f x))n→β λf λx .m f (n f x)= λf λx .m f ( f n x)= λf λx .f m( f n x)= λf λx .f m+n x= m + n

Data una funzione f da X a X , un punto fisso di f e unx ∈ X tale che x = f (x).

Un λ-termine Y si dice combinatore di punto fisso se per ogniλ-termine F

Y (F )→∗β F (Y (F ))

Combinatore di punto fisso di Turing

Se A = λaλf .f (a a f ), allora Θ := A A e un combinatore di puntofisso.

Dim. Θ = (λaλf .f (a a f ))A→β λf .f (A A f ) = λf .f (Θ f ). Oraper ogni F , Θ F →β (λf .f (Θ f ))F →β F (Θ F ).

Y (F )→∗β F (Y (F ))

I combinatori di punto fisso nel λ-calcolo sono fondamentaliper rappresentare le funzioni definite per ricorsione, che a lorovolta permettono di definire in maniera funzionale i cicliwhile dei linguaggi di programmazione standard.

Es. il fattoriale n! e definito per ricorsione:

{1, se n = 0

n ∗ (n − 1)!, altrimenti

I combinatori di punto fisso nel λ-calcolo sono fondamentaliper rappresentare le funzioni definite per ricorsione, che a lorovolta permettono di definire in maniera funzionale i cicliwhile dei linguaggi di programmazione standard.

Es. il fattoriale n! e definito per ricorsione:

{1, se n = 0

n ∗ (n − 1)!, altrimenti

Indice

La logica e l’argomentazione

La logica (dal greco λoγoς, logos, ovvero ”parola”,”pensiero”, ”idea”, ”argomento”, ”ragione”, da cui poiλoγικη,) e lo studio del ragionamento edell’argomentazione e, in particolare, dei procedimentiinferenziali, rivolto a chiarire quali procedimenti dipensiero siano validi e quali non validi.

Wikipedia

Il Modus Ponens

Se piove, allora prendo l’ombrello.

Piove.

Prendo l’ombrello.

Il Modus Ponens

Piove.

Il Modus Ponens

Piove.

Il Modus Ponens

Se n e un numero intero maggiore di 1, allora n puo essereespresso in maniera univoca come prodotto di numeri primi.

6396 e un numero intero maggiore di 1.

6396 puo essere espresso in maniera univoca come prodotto dinumeri primi.

Il Modus Ponens

Se Roma e la capitale dell’Italia, allora Babbo Natale e verde.

Roma e la capitale dell’Italia.

Babbo Natale e verde.

Il Modus Ponens

Modus Ponens

A⇒ B AB

Se A allora B.

dunque B.

La Logica classica (Sistema di Hilbert)

Tutte e sole le proposizioni classicamente valide sono dimostrabiliusando :

i seguenti schemi d’assioma:

H1 A⇒ (B ⇒ A)H2 (A⇒ (B ⇒ C ))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C ))H3 (¬B ⇒ ¬A)⇒ (A⇒ B)

la seguente regola di inferenza :

A⇒ B AMP

H1 A⇒ (B ⇒ A)

H2 (A⇒ (B ⇒ C ))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C ))H3 (¬B ⇒ ¬A)⇒ (A⇒ B)

A⇒ B AMP

H1 A⇒ (B ⇒ A)H2 (A⇒ (B ⇒ C ))⇒ ((A⇒ B)⇒ (A⇒ C ))

H3 (¬B ⇒ ¬A)⇒ (A⇒ B)

A⇒ B AMP

A⇒ A