METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK MENENTUKAN ...

METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK MENENTUKAN FUNGSI

KETAHANAN HIDUP

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Theresia Ardya Resti Pradwiningtyas

NIM: 163114006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

2020

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Life Table Method to Determine Survival Function

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Mathematics

Mathematics Study Program

Written by:

Theresia Ardya Resti Pradwiningtyas

Student ID: 163114006

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2020


vi

MOTTO

“Inilah Aku, Utuslah Aku!” (Yesaya 6:8)

“Janganlah katakan: Aku ini masih muda, tetapi kepada siapa pun engkau Kuutus,

haruslah engkau pergi, dan apa pun yang Kuperintahkan kepadamu, haruslah

kausampaikan. Janganlah takut kepada mereka, sebab Aku menyertai engkau,

demikianlah firman Tuhan.” (Yeremia 1:7-8)


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus, kedua orang tua dan keluargaku, almamaterku dan semua

orang yang menyayangi dan selalu mendoakanku.


ix

ABSTRAK

Analisis ketahanan hidup merupakan metode statistika yang mengamati

tentang kejadian dan waktu kejadian dari awal sampai berakhirnya suatu kejadian.

Data ketahanan hidup dapat meliputi waktu bertahan hidup, respon terhadap obat

yang diberikan dan karakteristik pasien terkait dengan respon, ketahanan hidup, dan

perkembangan suatu penyakit. Data ketahanan hidup biasanya tidak dapat diketahui

sepenuhnya, hal ini disebut dengan pengamatan tersensor. Metode tabel kehidupan

digunakan untuk menduga ketahanan hidup pasien. Dalam aplikasi metode tabel

kehidupan digunakan data pasien kanker payudara pada tahun 2014-2016 di Rumah

Sakit Panti Rapih Yogyakarta.

Pada tugas akhir ini, dibentuk tabel kehidupan pasien kanker payudara

yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi dengan interval

waktu tertentu. Tabel kehidupan memberikan penduga ketahanan hidup pasien

kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi.

Dari pembahasan, dapat disimpulkan bahwa probabilitas ketahanan pasien kanker

payudara pada tahun 2014-2016 di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang

mengikuti kemoterapi memiliki peluang bertahan hidup yang lebih tinggi daripada

pasien yang tidak mengikuti kemoterapi. Kemoterapi dapat meningkatkan waktu

ketahanan hidup atau dapat memperpanjang waktu hidup pasien kanker payudara.

Kata Kunci: tabel kehidupan, tersensor, kemoterapi


x

ABSTRACT

Survival Analysis is a statistical method that observes events and time of

events from the beginning to the end of the event. Survival data may include

survival time, responding to the medicine given, and patient response

characteristics, survival and disease progression. Survival data is generally not fully

known, this is called censored observation. The life table method is used to estimate

the survival of the patient. Data from breast cancer patients at (the) Panti Rapih

Hospital, Yogyakarta in 204-2016 were used for the application of the life table

method.

In this final project, a life table was established for a patient with breast

cancer who do not take chemotherapy and does not take chemotherapy at specific

time intervals. The life table provides a survival estimator from a patient with breast

cancer who take chemotherapy and do not take chemotherapy. From the discussion,

It can be concluded that the recovery probability of breast cancer patients at the

Panti Rapih Hospital, Yogyakarta in 2014-2016 who took chemotherapy has a

higher chance of survival than patients who did not take chemotherapy.

Chemotherapy may increase the survival time or extend the lifetime of patients with

breast cancer.

Keywords: life table, censored, chemotherapy


xi

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena berkat anugrah-Nya penulis

dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul “Metode Tabel Kehidupan untuk

Menentukan Fungsi Ketahanan Hidup” dengan baik dan tepat waktu. Tugas akhir

ini ditulis guna untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana

Matematika pada Program Studi Matemtika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Dalam penulisan tugas akhir ini, banyak pihak yang telah membantu selama

proses penulisan tugas akhir, baik dalam bentuk materi maupun nonmateri,

sehingga segala kesulitan dan tantangan dapat diselesaikan dengan baik. Maka dari

itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir

sekaligus Dosen Pembibing Akademik yang dengan penuh kesabaran telah

meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta memberikan masukan, arahan,

dan nasihat kepada penulis.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains

dan Teknologi.

3. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kepala Program Studi

Matematika.

4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil kepala program studi

Matematika.

5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si.,

M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc.,

Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., Ricky Aditya, M.Sc. dan Ibu

Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen program studi

Matematika yang telah senantiasa mendampingi dan memberikan ilmu selama

masa perkuliahan.

6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains

dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administrasi.

7. Kedua orang tuaku yang selalu memberikan Doa, semangat, arahan, dan

nasihat sampai tugas akhir ini selesai.


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ......................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. v

MOTTO .............................................................................................................. vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ................................................. viii

ABSTRAK ......................................................................................................... ix

ABSTRACT ........................................................................................................ x

KATA PENGANTAR ........................................................................................ xi

DAFTAR ISI .................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN....................................................................................1

A. Latar Belakang Masalah ................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah .......................................................................................... 2

C. Batasan Masalah ............................................................................................ 3

D. Tujuan Penulisan ........................................................................................... 3

E. Manfaat Penulisan ......................................................................................... 3

F. Metode Penelitian .......................................................................................... 3

G. Sistematika Penulisan .................................................................................... 3

BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS..............................................................6

A. Probabilitas .................................................................................................... 6

1. Probabilitas dari Suatu Kejadian ............................................................... 6

2. Probabilitas Bersyarat ............................................................................... 7

3. Variabel Acak ........................................................................................... 9

B. Distribusi Probabilitas ................................................................................. 10

1. Distribusi Probabilitas Diskrit................................................................. 10

2. Distribusi Probabilitas Kontinu .............................................................. 13

3. Nilai Harapan .......................................................................................... 15

4. Variansi ................................................................................................... 20

5. Fungsi Pembangkit Momen .................................................................... 23

6. Metode Fungsi Pembangkit Momen ....................................................... 26

C. Distribusi Probabilitas Multivariat .............................................................. 28


xiv

D. Teorema Limit Pusat.................................................................................... 34

E. Pendugaan Parameter................................................................................... 35

F. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood) ....................... 41

BAB III METODE TABEL KEHIDUPAN ...................................................... 43

A. Analisis Ketahanan Hidup ........................................................................... 43

B. Data Tersensor ............................................................................................. 44

1. Penyensoran Kanan ................................................................................. 44

2. Penyensoran Kiri ..................................................................................... 45

3. Penyensoran Interval ............................................................................... 46

C. Fungsi Ketahanan Hidup (Survival Function) ............................................. 46

D. Fungsi Densitas Ketahanan Hidup............................................................... 49

E. Fungsi Hazard (Hazard Function) ............................................................... 50

F. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Kontinu ................................... 55

G. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Diskrit ..................................... 57

H. Tabel Kehidupan .......................................................................................... 59

1. Tabel Kehidupan Populasi ...................................................................... 59

2. Tabel Kehidupan Klinis .......................................................................... 65

I. Fungsi Ketahanan Hidup berdasarkan Tabel Kehidupan .............................. 71

BAB IV APLIKASI METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK

MENENTUKAN FUNGSI KETAHANAN HIDUP .......................... 80

A. Kanker.......................................................................................................... 80

B. Sumber Data ................................................................................................ 82

C. Ketahanan Hidup Pasien Penderita Kanker Payudara ................................. 85

1. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016 ............... 86

2. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara 2014-2016 yang Tidak

Mengikuti Kemoterapi. ........................................................................... 87

3. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016 yang

Mengikuti Kemoterapi. ........................................................................... 89

4. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-

2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan Tidak Mengikuti Kemoterapi. ... 90

5. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 2 Tahun 2014-2016

.............................................................................................................91


.............................................................................................................92

7. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 Tahun 2014-2016.

.............................................................................................................92


xv

8. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak

Mngikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016................................................ 93

9. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mngikuti

Kemoterapi Tahun 2014-2016. ............................................................... 95

10. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang

Tidak Mngikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-

2016..........................................................................................................96



2016..........................................................................................................98



2016..........................................................................................................99

BAB V PENUTUP .......................................................................................... 102

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 104

LAMPIRAN .................................................................................................... 106


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Penyakit kanker merupakan salah satu penyakit yang angka kematiannya te-

rus meningkat di dunia. Kanker paru-paru, payudara, kolorektal, prostat, kulit dan

perut adalah jenis kanker yang paling umum terjadi. Kematian yang disebabkan

oleh kanker disebabkan oleh beberapa faktor risiko antara lain indeks massa tumbuh

yang tinggi, faktor genetik, faktor karsinogen diantaranya yaitu zat kimia, radiasi,

virus, hormon, dan iritasi kronis, serta faktor perilaku atau gaya hidup diantaranya

pola makan yang tidak sehat, konsumsi alkohol, dan kurang aktivitas fisik. Salah

satu metode utama yang digunakan untuk mengatasi kanker yaitu kemoterapi.

Analisis ketahanan hidup merupakan sebuah metode statistika yang

mempelajari kejadian dan waktu kejadian. Waktu ketahanan hidup didefinisikan

secara luas sebagai waktu terjadinya suatu kejadian. Dalam bidang kesehatan,

kejadian yang dimaksud seperti kambuhnya suatu penyakit, kesembuhan dari

penyakit yang diderita bahkan kematian seseorang. Fungsi ketahanan adalah

peluang seseorang dapat bertahan lebih dari waktu yang ditentukan.

Tabel Kehidupan merupakan tabel yang memberikan pengukuran untuk angka

kematian dan menggambarkan ketahanan hidup dalam suatu populasi. Terdapat dua

jenis tabel kehidupan, yang pertama tabel kehidupan populasi dan tabel kehidupan

klinis. Tabel kehidupan populasi digunakan untuk menggambarkan angka kematian

suatu populasi tertentu. Tabel kehidupan klinis merupakan tabel yang

dikonstruksikan untuk pasien.

Data yang diperoleh dapat berupa data tidak tersensor atau data tersensor. Data

tidak tersensor merupakan data yang dapat tercatat secara lengkap dan jelas yang

diperoleh dari setiap perkembangan individu dalam sampel dari awal penelitian

sampai individu yang mengalami kegagalan (meninggal dunia). Dalam

kenyataannya, pengamatan yang dilakukan dari setiap individu dalam sampel

membutuhkan waktu yang sangat lama, sehingga menjadi tidak efisien. Data seperti


2

ini disebut dengan data tersensor. Data tersensor merupakan data yang tidak dapat

tercatat secara lengkap dan jelas dari awal penelitian sampai penelitian berakhir.

Banyak faktor yang dapat menyebabkan data tidak dapat tercatat secara lengkap.

Faktor-faktor tersebut antara lain individu yang diamati tidak mengalami kejadian

sampai penelitian berakhir, misalkan individu telah dinyatakan sembuh sebelum

penelitian berakhir, selanjutnya individu menghilang selama masa penelitian

berlangsung, misalkan individu yang sedang diteliti pindah atau menolak untuk

diamati, dan individu terpaksa diberhentikan dari penelitian karena meninggal

sebelum penelitian berkahir.

Dalam tugas akhir ini, penulis menggunakan data hasil penelitian Girik

Allo, Caecilia B. (2017). Data yang digunakan merupakan data yang diperoleh dari

hasil data rekam medik rumah sakit yaitu pasien penderita kanker payudara pada

tahun 2014-2016 di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta. Data yang telah didapat

kemudian dikelompokkan antara penderita kanker payudara yang melakukan

kemoterapi dan yang tidak melakukan kemoterapi. Selanjutnya, dengan

menggunakan metode tabel kehidupan akan dicari peluang bertahan hidup

penderita kanker yang melakukan kemoterapi dan yang tidak melakukan

kemoterapi. Dari peluang yang dihasilkan, dapat dilihat apakah dengan melakukan

kemoterapi peluang bertahan hidup lebih besar daripada yang tidak melakukan

kemoterapi.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Apa itu metode tabel kehidupan?

2. Bagaimana menentukan fungsi-fungsi dasar untuk mengonstruksi metode tabel

kehidupan?

3. Bagaimana konstruksi metode tabel kehidupan dalam bidang kesehatan,

khususnya untuk menduga ketahanan hidup pasien?


3

C. Batasan Masalah

Batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Data yang digunakan merupakan data tersensor acak.

2. Teorema Ketunggalan Distribusi Probabilitas tidak dibuktikan.

3. Teori probabilitas yang dibahas hanya yang berkaitan dengan materi pokok.

4. Data yang digunakan dalam analisis bab IV menggunakan data hasil penelitian

dari Girik Allo, Caecilia B.(2017).

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan dalam tugas akhir ini adalah:

1. Mengetahui model yang digunakan dalam metode tabel kehidupan dalam

bidang kesehatan.

2. Dapat menentukan fungsi-fungsi dasar untuk mengkonstruksi metode tabel

kehidupan.

3. Mengetahui penerapan metode tabel kehidupan untuk menduga ketahanan

hidup pasien.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan tugas akhir ini adalah menambah

wawasan mengenai ilmu statistik dalam hal penerapan metode tabel kehidupan

kepada penulis khususnya dan kepada pembaca pada umumnya.

F. Metode Penelitian

Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah studi pustaka.

Studi pustaka dilakukan dengan cara mencari dan membaca buku-buku atau jurnal-

jurnal yang isinya berkaitan dengan analisis data ketahanan hidup dengan metode

tabel kehidupan.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:


4

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penelitian

G. Sistematika Penulisan

BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS

A. Probabilitas

B. Distribusi Probabilitas

C. Distribusi Probabilitas Multivariat

D. Teorema Limit Pusat

E. Pendugaan Parameter

F. Metode Kemungkinan Maksimum

BAB III METODE TABEL KEHIDUPAN

A. Analisis Ketahanan Hidup

B. Data Tersensor

C. Fungsi Ketahanan Hidup (Survival Function)

D. Fungsi Densitas Ketahanan Hidup

E. Fungsi Hazard (Hazard Function)

F. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Kontinu

G. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Diskrit

H. Tabel Kehidupan

I. Fungsi Ketahanan Hidup berdasarkan Tabel Kehidupan

BAB IV APLIKASI METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK

MENENTUKAN FUNGSI KETAHANAN HIDUP

A. Kanker

B. Sumber Data

C. Ketahanan Hidup Pasien Penderita Kanker Payudara

BAB V PENUTUP


5

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


6

BAB II

DISTRIBUSI PROBABILITAS

A. Probabilitas

1. Probabilitas dari Suatu Kejadian

Definisi 2.1

Misalkan 𝑆 adalah ruang sampel dari sebuah eksperimen. Untuk kejadian 𝐴 di

dalam 𝑆 (𝐴 adalah subset dari 𝑆), maka yang disebut 𝑃(𝐴) adalah peluang kejadian

𝐴, bila memenuhi aksioma berikut:

Aksioma 1: 𝑃(𝐴) ≥ 0.

Aksioma 2: 𝑃(𝑆) = 1.

Aksioma 3: Jika 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … adalah barisan kejadian yang saling asing (𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 =

∅, 𝑖 ≠ 𝑗), maka 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ 𝐴3 ∪ …) = ⋃ 𝑃(𝐴𝑖)∞𝑖=1 = ∑ 𝑃(𝐴𝑖)

∞𝑖=1 .

Contoh 2.1

Sebuah kendaraan sampai pada sautu perempatan dapat belok ke kanan, belok ke

kiri atau terus. Sebuah eksperimen mengobservasi pergerakan dari kendaraan

tersebut melalui perempatan.

a. Daftarkan anggota ruang sampel dari percobaan tersebut!

b. Jika titik-titik sampel berpeluang sama. Tentukan peluang masing-masing

kejadian!

Jawab:

a. Ruang sampel percobaan 𝑆 adalah {𝐸1, 𝐸2, 𝐸3}

Didefinisikan 𝐸1 adalah kejadian kendaraan belok kanan, 𝐸2 adalah kejadian

kendaraan belok kiri dan 𝐸3 adalah kejadian kendaraan terus.

b. 𝑃(𝑆) = {𝑃(𝐸1), 𝑃(𝐸2), 𝑃(𝐸3)}.

Diketahui bahwa 𝑃(𝐸1) = 𝑃(𝐸2) = 𝑃(𝐸3).

𝑃(𝑆) = 𝑃(𝐸1) + 𝑃(𝐸2) + 𝑃(𝐸3).

𝑃(𝑆) = 1.


7

𝑃(𝐸1) + 𝑃(𝐸2) + 𝑃(𝐸3) = 1.

𝑃(𝐸1) + 𝑃(𝐸1) + 𝑃(𝐸1) = 1.

3𝑃(𝐸1) = 1.

𝑃(𝐸1) =1

3.

Sehingga diperoleh:

𝑃(𝐸1) = 𝑃(𝐸2) = 𝑃(𝐸3) =1

3.

Jadi, masing-masing kegiatan memiliki peluang 1

3.

2. Probabilitas Bersyarat

Definisi 2.2

Peluang bersyarat adalah suatu kejadian 𝐴, bila diketahui kejadian 𝐵 terjadi, adalah

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵),

asalkan 𝑃(𝐵) > 0. Simbol 𝑃(𝐴|𝐵) dibaca “Probabilitas bersyarat 𝐴 jika diketahui

kejadian 𝐵 terjadi”.

Contoh 2.2

Kita melemparkan dua dadu seimbang, dan misalkan 𝐴 adalah kejadian jumlahan

angka yang muncul dari kedua dadu adalah 8, dan 𝐵 adalah kejadian angka pertama

yang muncul adalah 3. Hitunglah 𝑃(𝐴|𝐵).

Solusi

Elemen-elemen dari kejadian 𝐴 dan 𝐵 adalah

𝐴 = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)}.

dan

𝐵 = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}.

Diperoleh 𝐴 ∩ 𝐵 = {3,5)}

Sehingga

𝑃(𝐴) =5

36,


8

𝑃(𝐵) =6

36=

1

6, dan

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =1

36.

Maka dari itu,

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)=

136⁄

16⁄=

1

6.

Definisi 2.3

Dua kejadian 𝐴 dan 𝐵 dikatakan saling bebas jika salah satu dari syarat berikut

terpenuhi:

𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴),

𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵),

𝑃(𝐴⋂𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).

Jika tidak, 𝐴 dan 𝐵 saling bergantung.

Contoh 2.3

Dari Contoh 2.2 apakah kejadian 𝐴 dan 𝐵 saling bebas?

Solusi:

Dari Contoh 2.2 diperoleh

𝑃(𝐴) =5

36,

𝑃(𝐵) =6

36=

1

6, dan

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =1

36.

Sehingga,

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =1

36

≠ 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)

Jadi, kejadian 𝐴 dan 𝐵 tidak saling bebas.


9

3. Variabel Acak

Definisi 2.4

Variabel acak 𝑋 adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel 𝑆, yang

memetakan setiap elemen dalam 𝑆 ke bilangan real, 𝑋(𝜔) = 𝑥, dengan 𝜔 di dalam

𝑆.

Definisi 2.5

Variabel acak 𝑋 dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga

terbilang dari nilai-nilai yang berbeda. Jika tidak memenuhi kondisi tersebut, maka

variabel acak 𝑋 dikatakan kontinu.

Contoh 2.4

Sebuah dadu empat sisi memiliki nomor yang berbeda, 1, 2, 3, atau 4 terletak pada

setiap sisi. Pada setiap pelemparan yang diberikan, kejadian untuk masing-masing

keempat angka tersebut memiliki kemungkinan yang sama. Sebuah permainan

terdiri dari melempar dadu dua kali, dan skornya adalah maksimum dari kedua

angka yang terjadi.

Solusi:

Dari informasi tersebut dapat diketahui himpunan nilai yang mungkin terjadi dan

menentukan variabel acak. Jika 𝜔 = (𝑖, 𝑗), dimana 𝑖, 𝑗 ∈ {1, 2, 3, 4}, maka 𝑋(𝜔) =

𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑖, 𝑗). Ruang sampel, 𝑆, dan 𝑋 diilustrasikan pada Gambar 2.1.

Ruang sampel percobaan adalah 𝑆 =

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1),

(4,2), (4,3), (4,4)}. Setiap elemen dari 𝑆 dipetakan ke ℝ adalah variabel acak 𝑋

seperti berikut:


10

𝑆

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2)

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)

𝑋

1 2 3 4

𝑥

B. Distribusi Probabilitas

1. Distribusi Probabilitas Diskrit

Definisi 2.6

Distribusi probabilitas untuk variabel diskrit 𝑋 dapat direpresentasikan dengan

rumus, tabel, atau grafik yang memberikan 𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) untuk semua 𝑥.

Contoh 2.5

Terdapat tiga pria dan tiga wanita. Dipilih dua secara acak pekerjaan khusus di

sebuah perusahaan. 𝑋 adalah banyaknya wanita yang dipilih. Tentukan distribusi

probabilitas dari 𝑋.

Solusi:

𝑋: banyaknya wanita yang terpilih. Hanya akan dipilih dua secara acak, sehingga

kemungkinan nilai 𝑋 adalah 0 , 1, atau 2.

Distribusi probabilitas dari 𝑋 terdapat pada Tabel 2.1


11

𝑋 = 0 → 𝑃(0) =(30)(32)

(62)

=1

5

𝑋 = 1 → 𝑃(1) =(31)(31)

(62)

=3

5

𝑋 = 2 → 𝑃(2) =(32)

(62)=1

5

Tabel 2.1 Distribusi Probabilitas Contoh 2.5

𝑥 𝑝(𝑥)

0 1/5

1 3/5

2 1/5

Definisi 2.7

Untuk setiap distribusi probabilitas diskrit, memenuhi pernyataan berikut:

1. 0 ≤ 𝑝(𝑥) ≤ 1, untuk semua 𝑥.

2. ∑ 𝑝(𝑥) = 1𝑥 .

Definisi 2.8

Fungsi distribusi kumulatif variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai berikut

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)

= ∑ 𝑝(𝑥)𝑋≤𝑥 , untuk −∞ < 𝑥 < ∞

Contoh 2.6

Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak 𝑋 pada Contoh 2.5.

Solusi:

Dari Contoh 2.5 diperoleh 𝑃(0) =1

5, 𝑃(1) =

3

5, dan 𝑃(2) =

1

5. Selanjutnya akan

dicari 𝐹(0), 𝐹(1), dan 𝐹(2).


12

𝐹(0) =1

5, 𝐹(1) =

1

5+3

5=

4

5, 𝐹(2) =

1

5+3

5+1

5= 1, sehingga

𝐹(𝑥) =

{

0 , 𝑥 < 01

5 , 0 ≤ 𝑥 < 1

4

5 ,1 ≤ 𝑥 < 2

1 , 𝑥 ≥ 2

Definisi 2.9

Percobaan Binomial memiliki sifat-sifat berikut:

1. Percobaan terdiri atas 𝑛 ulangan yang identik.

2. Masing-masing ulangan menghasilkan salah satu dari dua kemungkinan hasil,

yaitu “sukses” atau “gagal”.

3. Peluang sukses dari setiap ulangan adalah 𝑝, peluang gagal adalah 𝑞 = 1 − 𝑝.

4. Antar ulangan saling bebas.

5. Variabel acak 𝑋 merupakan banyaknya sukses dari 𝑛 ulangan

Contoh 2.7

Sebuah mata uang seimbang dilemparkan sebanyak tiga kali. Untuk mendapatkan

tepat dua angka yaitu AAG, AGA dan GAA kita dapatkan peluangnya adalah 3

8.

Apakah hal tersebut merupakan percobaan Binomial?

Solusi:

Untuk mengetahui apakah hal tersebut merupakan percobaan Binomial, harus

ditentukan apakah lima persyaratan dari Definisi 2.9 terpenuhi atau tidak.

1. Terdapat 𝑛 = 3 kali percobaan.

2. Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu angka (A) atau

gambar (G).

3. Hasil dari masing-masing percobaan saling bebas (hasil dari suatu

pelemparan tidak mempengaruhi hasil pelemparan lainnya).

4. Peluang percobaan sukses (angka) adalah 1

2 di setiap percobaannya.

5. Variabel acak 𝑋 adalah banyaknya sukses dalam setiap percobaan.


13

Definisi 2.10

Variabel acak 𝑋 dikatakan memiliki distribusi probabilitas Binomial berdasarkan 𝑛

ulangan dengan probabilitas sukses 𝑝 jika dan hanya jika

𝑝(𝑥) = (𝑛𝑥)𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥, 𝑥 = 0, 1, 2, . . . , 𝑛 dan 0 ≤ 𝑝 ≤ 1.

Contoh 2.8

Diketahui bahwa sekrup yang diproduksi oleh mesin tertentu akan rusak dengan

probabilitas 0.01 secara independen satu sama lain. Jika kita memilih secara acak

10 sekrup yang diproduksi oleh mesin tersebut, berapa probabilitas setidaknya dua

sekrup akan rusak?

Solusi:

𝑋: banyaknya sekrup yang rusak dari 10 sekrup yang diambil secara acak.

Diketahui 𝑝 = 0.01

𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0.01 = 0.99

𝑃(𝑋 ≥ 2) =∑(10

𝑥) (0.01)𝑥(0.99)10−𝑥

10

𝑥=2

= 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] = 0.004.

2. Distribusi Probabilitas Kontinu

Definisi 2.11

Fungsi 𝑓(𝑥) dikatakan sebagai distribusi probabilitas variabel acak kontinu (Fungsi

Densitas) jika memenuhi:

1. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1∞

−∞,

2. 𝑓(𝑥) ≥ 0

Contoh 2.9

Misalkan 𝑋 merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas densitas

sebagai berikut


14

𝑓(𝑥) = {3𝑥2, 0 ≤ 𝑥 < 1 0 , selainnya

.

Buktikan bahwa𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas densitas.

Solusi:

Akan dibuktikan 𝑓(𝑥) memenuhi Definisi 2.11

1. 𝑓(𝑥) ≥ 0 jelas terlihat dari definisi 𝑓(𝑥).

2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2𝑑𝑥1

0

∞

−∞= 𝑥3|0

1 = 1 − 0 = 1.

Jadi, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) adalah fungsi probabilitas densitas.

Definisi 2.12

Fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥) dari variabel acak kontinu 𝑋 adalah

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

−∞

.

Akibat dari definisi 2.12

Jika kita memiliki fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑥), maka kita punya

𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) dan

𝑑𝐹(𝑥)

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥) jika turunannya ada.

Contoh 2.10

Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari Contoh 2.9 dan tentukan 𝑃(0 < 𝑋 < 1).

untuk 𝑥 < 0

𝐹(𝑥) = ∫0 𝑑𝑡 = 0

𝑥

−∞

.

untuk 0 ≤ 𝑥 < 1

𝐹(𝑥) = ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫0𝑑𝑡 + ∫3𝑡2𝑑𝑡

𝑥

0

= 0 + 𝑡3|0𝑥 = 𝑥3

0

−∞

𝑥

−∞

.

untuk 𝑥 ≥ 1


15

𝐹(𝑥) = ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫0𝑑𝑡 + ∫3𝑡2𝑑𝑡 + ∫0𝑑𝑡

𝑥

1

1

0

= 0 + 𝑡3 + 0|01 = 1

0

−∞

𝑥

−∞

.

Jadi,

𝐹(𝑥) = {0, 𝑥 < 0

𝑥3, 0 ≤ 𝑥 < 11, 𝑥 ≥ 1

Sekarang 𝑃(0 < 𝑋 < 1) = 𝐹(1) − 𝐹(0) = 1 − 0 = 1.

Definisi 2.13

Variabel acak 𝑋 dikatakan berdistribusi Normal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎 bila

fungsi probabilitas densitasnya adalah

𝑓(𝑥) =1

√2𝜋𝜎𝑒−

1

2(𝑥−𝜇

𝜎)2

, −∞ < 𝑥 < ∞, 𝜎 > 0.

3. Nilai Harapan

Definisi 2.14

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak diskret dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥). Nilai

harapan dari 𝑋 dinotasikan dengan 𝐸(𝑋), didefinisikan sebagai

𝜇 = 𝐸(𝑋) =∑𝑥𝑝(𝑥)

𝑥

Contoh 2.11

Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.5

Solusi:

𝐸(𝑋) = 01

5+ 1

3

5+ 2

1

5= 1.

Definisi 2.15

Nilai harapan dari variabel random kontinu 𝑋 adalah


16

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

asalkan integral ada.

Contoh 2.12

Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.9

Solusi:

𝐸(𝑋) = ∫𝑥3𝑥2𝑑𝑥

1

0

= ∫3𝑥3𝑑𝑥 =3

4.

1

0

Teorema 2.1

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥) dan

𝑔1(𝑋), 𝑔2(𝑋),… , 𝑔𝑘(𝑋) adalah 𝑘 fungsi dari 𝑋. Maka

𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)] = 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)].

Bukti:

𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)] =∑[𝑔1(𝑥) + 𝑔2(𝑥) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑥)]

𝑥

𝑓(𝑥)

=∑[𝑔1(𝑥)𝑓(𝑥) + 𝑔2(𝑥)𝑓(𝑥) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑥)𝑓(𝑥)]

𝑥

=∑𝑔1(𝑥)𝑓(𝑥)

𝑥

+∑𝑔2(𝑥)𝑓(𝑥)

𝑥

+⋯+∑𝑔𝑘(𝑥)𝑓(𝑥)

𝑥

= 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)]. ∎

Teorema 2.2

Misalkan 𝑋 adalah variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas 𝑓(𝑥) dan

𝑔1(𝑋), 𝑔2(𝑋),… , 𝑔𝑘(𝑋) adalah 𝑘 fungsi dari 𝑋. Maka

𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)] = 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)].

Bukti:


17

𝐸[𝑔1(𝑋) + 𝑔2(𝑋) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑋)] = ∫[𝑔1(𝑥) + 𝑔2(𝑥) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑥)]𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

= ∫[𝑔1(𝑥)𝑓(𝑥) + 𝑔2(𝑥)𝑓(𝑥) + ⋯+ 𝑔𝑘(𝑥)𝑓(𝑥)]𝑑𝑥

∞

−∞

= ∫ 𝑔1(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

+ ∫ 𝑔2(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

+⋯+ ∫ 𝑔𝑘(𝑥)𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

= 𝐸[𝑔1(𝑋)] + 𝐸[𝑔2(𝑋)] + ⋯+ 𝐸[𝑔𝑘(𝑋)]. ∎

Teorema 2.3

Misalkan 𝑋 merupakan variabel acak dan diberikan konstanta tak nol 𝑐, maka

𝐸(𝑐) = 𝑐.

Bukti:

Untuk variabel acak diskrit.

Berdasarkan Definisi 2.14

𝐸(𝑐) =∑𝑐𝑃(𝑥) = 𝑐∑𝑝(𝑥)

𝑥𝑥

Menurut Definisi 2.7 ∑ 𝑝(𝑥) = 1𝑥 sehingga,

𝐸(𝑐) = 𝑐(1) = 𝑐. ∎

Untuk variabel acak kontinu


𝐸(𝑐) = ∫ 𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∞

−∞

∞

−∞

Menurut Definisi 2.11 ∫ 𝑓(𝑥)∞

−∞= 1 sehingga,

𝐸(𝑐) = 𝑐(1) = 𝑐. ∎


18

Teorema 2.4

Misalkan 𝑋 merupakan variabel acak dan diberikan konstanta tak nol 𝑐, maka

𝐸(𝑐𝑋) = 𝑐𝐸(𝑋).

Bukti:

Untuk variabel acak diskrit


𝐸(𝑐𝑋) =∑𝑐𝑥𝑝(𝑥) =

𝑥

𝑐∑𝑥𝑝(𝑥)

𝑥

Menurut Definisi 2.14 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑝(𝑥)𝑥 sehingga,

𝐸(𝑐𝑋) = 𝑐𝐸(𝑋). ∎

Untuk variabel acak kontinu


𝐸(𝑐𝑋) = ∫ 𝑐𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)

∞

−∞

∞

−∞

𝑑𝑥

Menurut Definisi 2.15 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞ sehingga,

𝐸(𝑐𝑋) = 𝑐𝐸(𝑋). ∎

Teorema 2.5

Misalkan 𝑋 merupakan variabel acak dengan fungsi probabilitas 𝑓(𝑥) dan diberikan

konstanta tak nol 𝑐 dan 𝑑, maka 𝐸(𝑐𝑋 + 𝑑) = 𝑐𝐸(𝑋) + 𝑑.

Bukti:

Dengan menggunakan Teorema 2.3 dan Teorema 2.4 didapat

𝐸(𝑐𝑋 + 𝑑) = 𝐸(𝑐𝑋) + 𝐸(𝑑)

= 𝑐𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑑)

= 𝑐𝐸(𝑋) + 𝑑. ∎


19

Teorema 2.6

Jika 𝑋 merupakan variabel acak Binomial dengan 𝑛 percobaan dan probabilitas

suskes 𝑝, maka

𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑝.

Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.10 dan Definisi 2.14

𝐸(𝑋) =∑𝑥𝑝(𝑥) = ∑𝑥 (𝑛

𝑥) 𝑝𝑥

𝑛

𝑥=0𝑥

(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

karena jumlahan pertama yaitu ketika 𝑥 = 1 maka didapat,

𝐸(𝑋) =∑𝑥𝑛!

(𝑛 − 𝑥)! 𝑥!𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=1

=∑𝑥𝑛!

(𝑛 − 𝑥)! 𝑥(𝑥 − 1)!𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=1

=∑𝑛!

(𝑛 − 𝑥)! (𝑥 − 1)!𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=1

=∑𝑛(𝑛 − 1)!

(𝑛 − 𝑥)! (𝑥 − 1)!𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=1

misalkan 𝑧 = 𝑥 − 1,

𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝∑(𝑛 − 1)!

(𝑛 − 𝑥)! (𝑥 − 1)!𝑝𝑥−1(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=1

= 𝑛𝑝∑(𝑛 − 1)!

(𝑛 − 1 − 𝑧)! 𝑧!𝑝𝑧(1 − 𝑝)𝑛−1−𝑧

𝑛−1

𝑧=0

= 𝑛𝑝∑(𝑛 − 1

𝑧) 𝑝𝑧(1 − 𝑝)𝑛−1−𝑧

𝑛−1

𝑧=0

Perhatikan bahwa 𝑝(𝑧) = (𝑛−1𝑧)𝑝𝑧(1 − 𝑝)𝑛−1−𝑧 merupakan fungsi probabilitas

Binomial. Maka ∑ (𝑛−1𝑧)𝑝𝑧(1 − 𝑝)𝑛−1−𝑧𝑛−1

𝑧=0 = 1, dan menunjukkan bahwa

𝐸(𝑋) = 𝜇 = 𝑛𝑝. ∎


20

4. Variansi

Definisi 2.16

Misalkan 𝑋 merupakan variabel acak dengan rata-rata 𝐸(𝑋) = 𝜇, variansi dari

variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai nilai harapan dari (𝑋 − 𝜇)2 yaitu,

𝑉(𝑋) = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]

Standar deviasi dari 𝑋 adalah akar kuadrat positif dari 𝑉(𝑋).

Contoh 2.13

Distribusi probabilitas untuk variabel acak 𝑋 diperlihatkan dalam Tabel 2.2.

Tentukan rata-rata, variansi, dan standar deviasi dari 𝑋.

Tabel 2.2 Distribusi Probabilitas untuk 𝑋

𝑥 𝑝(𝑥)

0 1/8

1 1/4

2 3/8

3 1/4

Solusi:

Dengan menggunakan Definisi 2.14 dan Definisi 2.16

𝜇 = 𝐸(𝑋) =∑𝑥𝑝(𝑥) = (0)(1 8)⁄ + (1)(1 4)⁄ + (2)(3 8)⁄ + (3)(1 4) = 1.75⁄

3

𝑥=0

𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = ∑(𝑥 − 𝜇)2𝑝(𝑥)

3

𝑥=0

= (0 − 1.75)2(1 8)⁄ + (1 − 1.75)2(1 4)⁄ + (2 − 1.75)2(3 8)⁄ +

(3 − 1.75)2(1 8)⁄

= 0.9375

𝜎 = √𝜎2 = √0.9375 = 0.97.


21

Teorema 2.7

Jika 𝑋 merupakan variabel acak dengan fungsi probabilitas 𝑓(𝑥) dan rata-rata 𝜇 =

𝐸(𝑋), maka

𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2] = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2.

Bukti:

𝜎2 = 𝐸[(𝑋 − 𝜇)2]

= 𝐸(𝑋2 − 2𝜇𝑋 + 𝜇2)

= 𝐸(𝑋2) − 𝐸(2𝜇𝑋) + 𝐸(𝜇2)

= 𝐸(𝑋2) − 2𝜇𝐸(𝑋) + 𝐸(𝜇2)

= 𝐸(𝑋2) − 2𝜇2 + 𝜇2

= 𝐸(𝑋2) − 𝜇2 ∎

Contoh 2.14

Tentukan variansi dari variabel acak 𝑋 dari Contoh 2.13.

Solusi:

Telah ditemukan pada Contoh 2.13 bahwa rata-rata 𝜇 = 1.75. Karena

𝐸(𝑋2) =∑𝑥2𝑝(𝑥) =

𝑥

(02)(1 8)⁄ + (12)(1 4)⁄ + (22)(3 8)⁄ + (32)(1 4) = 4,⁄

Dengan menggunakan Teorema 2.7 didapat

𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2 = 4 − (1.75)2 = 0.9375.

Teorema 2.8

Jika 𝑋 merupakan variabel acak dan 𝑐 merupakan suatu konstanta maka

𝑉(𝑐𝑋) = 𝑐2𝑉(𝑋).

Bukti:

𝑉(𝑐𝑋) = 𝐸(𝑐𝑋 − 𝑐𝜇)2

= 𝐸[𝑐(𝑋 − 𝜇)]2

= 𝐸[𝑐2(𝑋 − 𝜇)2]

= 𝑐2𝐸(𝑋 − 𝜇)2


22

= 𝑐2𝑉(𝑋). ∎

Teorema 2.9

Misalkan 𝑋 merupakan variabel acak Binomial dengan 𝑛 percobaan dan

probabilitas sukses 𝑝, maka

𝜎2 = 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞.

Bukti:

Dari Teorema 2.7 kita tahu bahwa 𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2. Sehingga 𝜎2 dapat

dihitung jika kita menentukan 𝐸(𝑋2)

𝐸(𝑋2) = ∑𝑥2𝑝(𝑥)

𝑛

𝑥=0

=∑𝑥2 (𝑛

𝑥)𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 =∑𝑥2

𝑛!

𝑥! (𝑛 − 𝑥)!

𝑛

𝑥=0

𝑛

𝑥=0

𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

perhatikan bahwa

𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] = 𝐸(𝑋2 − 𝑋) = 𝐸(𝑋2) − 𝐸(𝑋)

sehingga

𝐸(𝑋2) = 𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] + 𝐸(𝑋) = 𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] + 𝜇.

Dalam kasus,

𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] = ∑𝑥(𝑥 − 1)𝑛!

𝑥! (𝑛 − 𝑥)!

𝑛

𝑥=0

𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥.

Ketika 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 1 jumlahannya akan sama dengan nol, maka

𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] = ∑𝑥(𝑥 − 1)𝑛!

𝑥! (𝑛 − 𝑥)!

𝑛

𝑥=2

𝑝𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥.

misalkan 𝑧 = 𝑥 − 2 untuk memperoleh

𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2∑(𝑛 − 2)!

(𝑥 − 2)! (𝑛 − 𝑥)!𝑝𝑥−2(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

𝑛

𝑥=2

= 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2∑(𝑛 − 2)!

𝑧! (𝑛 − 2 − 𝑧)!𝑝𝑧(1 − 𝑝)𝑛−2−𝑧

𝑛−2

𝑧=0

= 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2∑(𝑛 − 2

𝑧) 𝑝𝑧(1 − 𝑝)𝑛−2−𝑥

𝑛−2

𝑧=0

.


23

Perhatikan bahwa 𝑝(𝑧) = (𝑛−2𝑧)𝑝𝑧𝑞𝑛−2−𝑥 adalah fungsi probabilitas Binomial

dengan (𝑛 − 2) percobaan. Maka ∑ 𝑝(𝑧) = 1𝑛−2𝑧=0 dan

𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2.

Sehingga,

𝐸(𝑋2) = 𝐸[𝑋(𝑋 − 1)] + 𝜇 = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 + 𝑛𝑝

dan

𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2 = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 + 𝑛𝑝 − 𝑛2𝑝2

= 𝑛𝑝[(𝑛 − 1)𝑝 + 1 − 𝑛𝑝]

= 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

= 𝑛𝑝𝑞. ∎

5. Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 2.17

Fungsi pembangkit momen 𝑚(𝑡) untuk variabel acak 𝑋 didefinisikan sebagai

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋). Kita katakan bahwa fungsi pembangkit momen untuk 𝑋 ada jika

terdapat konstanta positif 𝑏 sedemikian sehingga 𝑚(𝑡) berhingga untuk |𝑡| ≤ 𝑏.

Teorema 2.10

Jika 𝑚(𝑡) ada, maka untuk setiap bilangan positif 𝑘,

𝑑𝑘𝑚(𝑡)

𝑑𝑡𝑘|𝑡=0

= 𝑚(𝑘)(0) = 𝜇′𝑘.

Bukti:

𝑑𝑘𝑚(𝑡)

𝑑𝑡𝑘 atau 𝑚(𝑘)(𝑡) adalah turunan ke-𝑘 dari 𝑚(𝑡) yang berhubungan dengan 𝑡.

Karena

𝑚(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) = 1 + 𝑡𝜇′1 +𝑡2

2!𝜇′2 +

𝑡3

3!𝜇′3 +⋯,

didapat

𝑚(1)(𝑡) = 𝜇′1 +2𝑡

2!𝜇′2 +

3𝑡

3!𝜇′3 +⋯,


24

𝑚(2)(𝑡) = 𝜇′2 +2𝑡

2!𝜇′3 +

3𝑡2

3!𝜇′4 +⋯,

secara umum,

𝑚(𝑘)(𝑡) = 𝜇′𝑘 +2𝑡

2!𝜇′𝑘+1 +

3𝑡2

3!𝜇′𝑘+2 +⋯,

Ketika 𝑡 = 0 pada masing-masing turunan, didapatkan

𝑚(1)(0) = 𝜇′1, 𝑚(2)(0) = 𝜇′2,

secara umum,

𝑚(𝑘)(0) = 𝜇′𝑘. ∎

Contoh 2.15

Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal.

Solusi:

𝑓(𝑥) =1

√2𝜋𝜎𝑒−12(𝑥−𝜇𝜎)2

𝑀𝑋(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡𝑥∞

−∞

1

√2𝜋𝜎𝑒−

12(𝑥−𝜇𝜎)2

𝑑𝑥

= ∫1

√2𝜋𝜎

∞

−∞

𝑒−12(𝑥2−2𝜇𝑥+𝜇2

𝜎2)𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥

= ∫1

√2𝜋𝜎

∞

−∞

𝑒(−𝑥2+2𝜇𝑥−𝜇2

2𝜎2)𝑒𝑡𝑥 𝑑𝑥

= ∫1

√2𝜋𝜎

∞

−∞

𝑒(−𝑥2+2𝜇𝑥−𝜇2+2𝜎2𝑡𝑥

2𝜎2) 𝑑𝑥

= ∫1

√2𝜋𝜎

∞

−∞

𝑒−12𝜎2

(𝑥2−2𝜇𝑥−2𝜎2𝑡𝑥+𝜇2) 𝑑𝑥

= ∫1

√2𝜋𝜎

∞

−∞

𝑒−12𝜎2

[𝑥2−2𝑥(𝜇+𝜎2𝑡)+𝜇2] 𝑑𝑥


25

= ∫1

√2𝜋𝜎

∞

−∞

𝑒−12𝜎2

[(𝑥−(𝜇+𝜎2𝑡))2−2𝜇𝜎2𝑡−𝜎4𝑡2]

𝑑𝑥

= ∫1

√2𝜋𝜎

∞

−∞

𝑒−12𝜎2

(𝑥−(𝜇+𝜎2𝑡))2(−2𝜇𝜎2𝑡−𝜎4𝑡2

2𝜎2) 𝑑𝑥

= 𝑒𝜇𝑡+𝜎2𝑡2

2 ∫ 𝑓(𝑥)

∞

−∞

𝑑𝑥

= 𝑒𝜇𝑡+𝜎2𝑡2

2

Teorema 2.11

Jika 𝑋 merupakan variabel acak berdistribusi Normal dengan parameter 𝜇 dan 𝜎,

maka

𝐸(𝑋) = 𝜇 dan 𝑉(𝑋) = 𝜎2.

Bukti:

Akan ditunjukkan dengan menggunakan metode fungsi pembangkit momen dari

Distribusi Normal.

𝐸(𝑋) =𝑑

𝑑𝑡𝑚𝑋(𝑡)|

𝑡=0

=𝑑

𝑑𝑡𝑒𝜇𝑡+

𝜎2𝑡2

2 |𝑡=0

= (𝜇 + 𝜎2𝑡) (𝑒𝜇𝑡+𝜎2𝑡2

2 )|𝑡=0

= (𝜇 + 0)(𝑒0)

= 𝜇

𝐸(𝑋2) =𝑑

𝑑2𝑡𝑚𝑋(𝑡)|

𝑡=0

= 𝜎2𝑒𝜇𝑡+𝜎2𝑡2

2 + (𝜇 + 𝜎2𝑡)(𝜇 + 𝜎2𝑡) (𝑒𝜇𝑡+𝜎2𝑡2

2 )|𝑡=0

= 𝜎2 + 𝜇2


26

𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋2) − [𝐸(𝑋)]2

= (𝜎2 + 𝜇2) − 𝜇2

= 𝜎2. ∎

6. Metode Fungsi Pembangkit Momen

Teorema 2.12 Teorema Ketunggalan

Misalkan 𝑚𝑋(𝑡) dan 𝑚𝑌(𝑡) merupakan fungsi pembangkit momen dari variabel

acak 𝑋 dan 𝑌. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan 𝑚𝑋(𝑡) = 𝑚𝑌(𝑡) untuk

semua nilai dari 𝑡, maka 𝑋 dan 𝑌 memiliki distribusi probabilitas yang sama.

Bukti:

Bukti dapat dilihat pada skripsi Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg

dan Terapannya. Skripsi.

𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥). (Skripsi halaman 54).

Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi

pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

Contoh 2.16

Andaikan 𝑋 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2, bila 𝑍 =�̅�−𝜇

𝜎 √𝑛⁄,

tunjukkan bahwa 𝑍 merupakan distribusi Normal standar dengan rata-rata 0 dan

variansi 1.

Solusi:

𝑚𝑍(𝑡) = 𝐸[𝑒𝑍𝑡]

= 𝐸 [𝑒(�̅�−𝜇

𝜎 √𝑛⁄)𝑡]


27

= 𝐸 [𝑒

�̅�𝑡

𝜎 √𝑛⁄(𝑒

−𝜇𝑡

𝜎 √𝑛⁄ )

]

= 𝑒𝜇𝑡

𝜎 √𝑛⁄ [𝐸 (𝑒�̅�𝑡

𝜎 √𝑛⁄ )]

misal 𝑡′ =𝑡

𝜎 √𝑛⁄

= 𝑒−𝜇𝑡′[𝐸(𝑒 �̅�𝑡)]

= 𝑒−𝜇𝑡′[𝐸 (𝑒

𝑋1𝑡′

𝑛 𝑒𝑋2𝑡

′

𝑛 …𝑒𝑋𝑛𝑡

′

𝑛 )]

= 𝑒−𝜇𝑡′𝑚�̅�(𝑡

′)

= 𝑒−𝜇𝑡′(𝑒𝜇𝑡

′+𝜎2𝑡′

2

2 )

= 𝑒−𝜇𝑡

𝜎 √𝑛⁄ 𝑒

(𝜇𝑡

𝜎 √𝑛⁄+(𝑡2

𝜎2 𝑛⁄)𝜎2

2)𝑛

= 𝑒−𝜇𝑡

𝜎 √𝑛⁄ (𝑒𝜇𝑡

𝜎 √𝑛⁄ )(𝑒𝑡2𝑛2𝑛 )

= 𝑒𝑡2

2

𝑚𝑍(𝑡) akan sama dengan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal apabila

𝜇 = 0 dan 𝜎2 = 1, sehingga menurut Teorema 2.12 𝑍 berdistribusi Normal standar

dengan 𝜇 = 0 dan 𝜎2 = 1.

Teorema 2.13

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi

pembangkit momen 𝑚𝑋1(𝑡),𝑚𝑋2

(𝑡), … ,𝑚𝑋𝑛(𝑡). Jika 𝑈 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛,

maka 𝑚𝑈(𝑡) = 𝑚𝑋1(𝑡) × 𝑚𝑋2

(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛(𝑡).


28

Bukti:

𝑚𝑈(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑢𝑡)

= 𝐸[𝑒(𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝑛)𝑡]

= 𝐸[(𝑒𝑋1𝑡) × (𝑒𝑋2𝑡) × …× (𝑒𝑋𝑛𝑡)]

= 𝐸(𝑒𝑋1𝑡) × 𝐸(𝑒𝑋2𝑡) × …× 𝐸(𝑒𝑋𝑛𝑡)

= 𝑚𝑋1(𝑡) × 𝑚𝑋2

(𝑡) × …×𝑚𝑋𝑛(𝑡). ∎

C. Distribusi Probabilitas Multivariat

Definisi 2.18

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 merupakan variabel acak diskrit, maka fungsi probabilitas

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦) disebut fungsi probabilitas bersama dari 𝑋 dan 𝑌, untuk

−∞ < 𝑥 < ∞, −∞ < 𝑦 < ∞.

Contoh 2.17

Dalam suatu kelas terdapat 2 siswa Amerika Afrika (berkulit hitam), 2 siswa

berkulit putih, dan 3 siswa Hispanic Amerika. Jika 2 siswa diambil secara acak dari

kelas tersebut, dan jika 𝑋 merupakan banyaknya siswa berkulit hitam, dan 𝑌

merupakan banyaknya siswa berkulit putih, tentukan fungsi probabilitas bersama

dari variabel acak 𝑋 dan 𝑌.

Solusi:

Terdapat 7 siswa di dalam kelas tersebut, sehingga ada (72) = 21 cara untuk

mengambil 2 siswa dari 7 siswa.

Banyaknya cara mengambil 0 siswa berkulit hitam, 0 siswa berkulit putih, dan 2

siswa Hispanic Amerika adalah (20)(20)(32) = 3 cara, sehingga (𝑋 = 0, 𝑌 = 0) =

𝑝(0,0) =(20)(

20)(

32)

(72)=

3

120 .

Cara yang sama dapat dilakukan dengan mencari semua kemungkinan nilai 𝑋 dan

𝑌. Tabel 2.3 memperlihatkan semua fungsi probabilitas bersama dari variabel acak

𝑋 dan 𝑌.


29

Definisi 2.19

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas

bersama 𝑝(𝑥, 𝑦), maka

1. 𝑝(𝑥, 𝑦) ≥ 0 untuk semua 𝑥 dan 𝑦.

2. ∑ 𝑝(𝑥, 𝑦) = 1𝑥,𝑦 .

Tabel 2.3

𝑌

𝑋

0 1 2

0 3

120

6

120

1

120

1 6

120

4

120

0

2 1

120

0 0

Definisi 2.20

Setiap variabel acak 𝑋 dan 𝑌 fungsi distribusi bersama 𝐹(𝑥, 𝑦) adalah

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦), −∞ < 𝑥 < ∞, −∞ < 𝑦 < ∞.

Contoh 2.18

Tentukan 𝐹(1,1) untuk Contoh 2.17

Solusi:

Untuk dua variabel diskrit 𝑋 dan 𝑌, 𝐹(𝑥, 𝑦) diberikan dengan

𝐹(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝑓(𝑡1, 𝑡2).

𝑡2≤𝑦𝑡1≤𝑥

Sehingga 𝐹(1,1) = 𝑝(0,0) + 𝑝(0,1) + 𝑝(1,0) + 𝑝(1,1) =19

120.


30

Definisi 2.21

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi

bersama 𝐹(𝑥, 𝑦). Jika terdapat fungsi nonnegatif 𝑓(𝑥, 𝑦) seperti

𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫𝑓(𝑡1, 𝑡2)𝑑𝑡2𝑑𝑡1

𝑦

−∞

𝑥

−∞

,

untuk semua −∞ < 𝑥 < ∞, −∞ < 𝑦 < ∞, maka 𝑋 dan 𝑌 disebut variabel acak

kontinu bersama. Fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) disebut fungsi densitas probabilitas bersama.

Definisi 2.22

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas

bersama 𝑓(𝑥, 𝑦), maka

1. 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 untuk semua 𝑥 dan 𝑦.

2. ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1∞

−∞

∞

−∞.

Contoh 2.19

Bensin harus disimpan dalam tangki curah pada awal minggu dan kemudian dijual

kepada pelanggan. Misalkan 𝑋 menunjukkan kapasitas tangki curah yang tersedia

setelah tangki diisi pada awal minggu dan 𝑌 menunjukkan kapasitas tangki curah

yang dijual selama satu minggu dengan fungsi densitas bersama sebagai berikut:

𝑓(𝑥, 𝑦) = {3𝑥2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 10, selainnya.

Tunjukkan bahwa fungsi densitas bersamanya memenuhi Definisi 2.22

Solusi:

1. Dapat dilihat jelas bahwa 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0 untuk semua 𝑥 dan 𝑦.

2. Akan ditunjukkan bahwa ∫ ∫ 3𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1.1

0

1

0

∫∫3𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦

1

0

1

0

= ∫(𝑥3|01)

1

0

𝑑𝑦

= ∫1

1

0

𝑑𝑦


31

= 𝑦|01 = 1.

Definisi 2.23

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 memiliki fungsi probabilitas bersama 𝑓(𝑥, 𝑦), maka 𝑋 dan 𝑌

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦)

untuk semua pasangan bilangan real 𝑥 dan 𝑦.

Contoh 2.20

Misalkan

𝑓(𝑥, 𝑦) = {3𝑥, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 1,0, selainnya.

a. Tentukan 𝑓𝑋(𝑥) dan 𝑓𝑌(𝑦).

b. Apakah 𝑋 dan 𝑌 saling bebas?

Solusi:

a. Kita perhatikan untuk setiap 𝑥, 𝑦 bervariasi dari 0 ke 𝑥 (0 < 𝑦 < 𝑥), maka dari

itu

𝑓𝑋(𝑥) = ∫3𝑥 𝑑𝑦 = 3𝑥(𝑦|0𝑥) = 3𝑥2, 0 < 𝑥 < 1.

𝑥

0

Demikian pula, untuk setiap 𝑦, 𝑥 bervariasi dari 𝑦 ke 1

𝑓𝑌(𝑦) = ∫3𝑥 𝑑𝑥 =3𝑥2

2|𝑦

1

=3

2

1

𝑦

−3𝑦2

2

=3

2(1 − 𝑦2), 0 < 𝑦 < 1.

b. Untuk memeriksa sifat saling bebas dari 𝑋 dan 𝑌

𝑓𝑋(1)𝑓𝑌 (1

2) = (3) (

9

8) =

27

8≠ 3 = 𝑓 (1,

1

2).

Jadi, 𝑋 dan 𝑌 tidak saling bebas.


32

Definisi 2.24

Misalkan 𝑔(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘) merupakan fungsi dari variabel acak diskrit,

𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 yang memiliki fungsi probabilitas 𝑝(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘). Maka nilai

harapan dari 𝑔(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘)

𝐸[𝑔(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘)] =∑…∑∑𝑔(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘)𝑝(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘).

𝑥1𝑥2𝑥𝑘

Jika 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘 merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama

𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘), maka

𝐸[𝑔(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘)]

= ∫ … ∫ ∫ 𝑔(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘)𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘)𝑑𝑥1𝑑𝑥2…𝑑𝑥𝑘

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

.

Contoh 2.21

Misalkan 𝑋1 dan 𝑋2 memiliki fungsi densitas bersama sebagai berikut

𝑓(𝑥1, 𝑥2) = {3𝑥1, 0 ≤ 𝑥1 ≤ 1,0 ≤ 𝑥2 ≤ 1

0, selainnya

Tentukan 𝐸(𝑋1, 𝑋2)

Solusi:

Dari Definisi 2.24 didapat

𝐸(𝑋1, 𝑋2) = ∫ ∫ 𝑥1𝑥2

∞

−∞

∞

−∞

𝑓(𝑥1, 𝑥2)𝑑𝑥1𝑑𝑥2

= ∫∫𝑥1𝑥2

1

0

1

0

(3𝑥1)𝑑𝑥1𝑑𝑥2 = ∫∫3𝑥12𝑥2

1

0

𝑑𝑥1𝑑𝑥2

1

0

= ∫𝑥2(𝑥13]01)

1

0

𝑑𝑥2 = ∫𝑥2𝑑𝑥2

1

0

=1

2𝑥22]0

1

=1

2.


33

Teorema 2.14

Jika 𝑋 dan 𝑌 merupakan variabel acak yang saling bebas dan 𝑔(𝑥) dan ℎ(𝑦)

merupakan fungsi dari 𝑋 dan 𝑌, maka

𝐸[𝑔(𝑋)ℎ(𝑌)] = 𝐸[𝑔(𝑋)]𝐸[ℎ(𝑌)].

Bukti:

Untuk variabel diskrit

𝐸[𝑔(𝑋)ℎ(𝑌)] =∑∑𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)𝑓(𝑥, 𝑦)

∀𝑦∀𝑥

=∑∑𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)

∀𝑦∀𝑥

𝑓1(𝑥)𝑓2(𝑦)

= [∑𝑔(𝑥)𝑓1(𝑥)

∀𝑥

] [∑ℎ(𝑦)𝑓2(𝑦)

∀𝑦

]

= 𝐸[𝑔(𝑋)]𝐸[ℎ(𝑌)] ∎

Untuk variabel kontinu

𝐸[𝑔(𝑋)ℎ(𝑌)] = ∫ ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

∞

−∞

= ∫ ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)𝑓1(𝑥)𝑓2(𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

∞

−∞

= [ ∫ 𝑔(𝑥)𝑓1(𝑥)

∞

−∞

𝑑𝑥] [ ∫ ℎ(𝑦)𝑓2(𝑦)

∞

−∞

𝑑𝑦]

= 𝐸[𝑔(𝑋)]𝐸[ℎ(𝑌)] ∎


34

D. Teorema Limit Pusat

Teorema 2.15

Misalkan 𝑋 dan 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, … adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit

momen 𝑚(𝑡) dan 𝑚1(𝑡),𝑚2(𝑡),𝑚3(𝑡), …

Jika

lim𝑛→∞

𝑚𝑛(𝑡) = 𝑚(𝑡), ∀𝑡 ∈ ℝ

maka fungsi distribusi dari 𝑋𝑛 akan konvergen ke fungsi distribusi dari 𝑋, 𝑛 → ∞.

Bukti:

Bukti terdapat pada buku Williams, David. 1991. Probability with Martingales.

New York: Cambridge University Press. (Halaman 185).

Teorema 2.16

Misalkan 𝑋1, 𝑋2, …𝑋𝑛 merupakan variabel acak berdistribusi indentik dan saling

bebas dengan 𝐸(𝑌𝑖) = 𝜇 dan 𝑉(𝑌𝑖) = 𝜎2 < ∞. Didefinisikan

𝑈𝑛 =∑ 𝑌𝑖 − 𝑛𝜇𝑛𝑖=1

𝜎√𝑛=�̅� − 𝜇

𝜎 𝑛⁄ dimana �̅� =

1

𝑛∑𝑌𝑖

𝑛

𝑖=1

.

Maka fungsi distribusi dari 𝑈𝑛 konvergen ke fungsi Disribusi Normal Standar saat

𝑛 → ∞ adalah

lim𝑛→∞

𝑃(𝑈𝑛 ≤ 𝑢) = ∫1

√2𝜋𝑒−𝑡

2 2⁄ 𝑑𝑡

𝑢

−∞

untuk semua 𝑢.

Bukti:

𝑈𝑛 = √𝑛(�̅� − 𝜇

𝜎)

=1

√𝑛(∑ 𝑌𝑖 − 𝑛𝜇𝑛𝑖=1

𝜎) =

1

√𝑛∑𝑍𝑖

𝑛

𝑖=1

, dimana 𝑍𝑖 =𝑌𝑖 − 𝜇

𝜎

Karena variabel acak 𝑌𝑖 saling bebas dan distribusi identik, 𝑍𝑖, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 saling

bebas dan berdistribusi identik dengan 𝐸(𝑍𝑖) = 0 dan 𝑉(𝑍𝑖) = 1.

Fungsi pembangkit momen dari jumlah variabel acak adalah hasil kali dari fungsi

pembangkit momen,


35

𝑚∑𝑍𝑖(𝑡) = 𝑚𝑍1

(𝑡) × 𝑚𝑍2(𝑡) × …𝑚𝑍𝑛

(𝑡) = [𝑚𝑍𝑖(𝑡)]

𝑛

dan

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = 𝑚∑𝑍𝑖

(𝑡

√𝑛) = [𝑚𝑍𝑖

(𝑡

√𝑛)]𝑛

.

Dengan Teorema Taylor didapat

𝑚𝑍1(𝑡) = 𝑚𝑍1

(0) + 𝑚′𝑍1(0)𝑡 + 𝑚′′𝑍1(𝜉)𝑡2

2, dimana 0 < 𝜉 < 𝑡,

dan karena 𝑚𝑍1(𝑡) = 𝐸(𝑒0𝑍1) = 𝐸(1) = 1, dan 𝑚′𝑍1(0) = 𝐸(𝑍1) = 0,

𝑚𝑍1(𝑡) = 1 +

𝑚′′𝑍1(𝜉)

2𝑡2, dimana 0 < 𝜉 < 𝑡.

Sehingga,

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = [1 +

𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛)

2(𝑡

√𝑛)2

]

𝑛

= [1 +𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛) 𝑡

2 2⁄

𝑛]

𝑛

, dimana 0 < 𝜉𝑛 <𝑡

√𝑛.

Perhatikan bahwa 𝑛 → ∞, 𝜉𝑛 → 0 dan 𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛) 𝑡

2 2⁄ → 𝑚′′𝑍1(0) 𝑡2 2⁄ =

𝐸(𝑍12) 𝑡2 2⁄ = 𝑡2 2⁄ karena 𝐸(𝑍1

2) = 𝑉(𝑍1) = 1. Ingat bahwa jika

lim𝑛→∞

𝑏𝑛 = 𝑏 maka lim𝑛→∞

(1 +𝑏𝑛

𝑛)𝑛

= 𝑒𝑏 .

Maka

lim𝑛→∞

𝑚𝑈𝑛(𝑡) = lim

𝑛→∞[1 +

𝑚′′𝑍1(𝜉𝑛) 𝑡2 2⁄

𝑛]

𝑛

= 𝑒𝑡2 2⁄ ,

fungsi pembangkit momen untuk variabel acak Normal standar. Dengan

menggunakan Teorema 2.15, kita dapatkan bahwa 𝑈𝑛 mempunyai fungsi distribusi

yang konvergen ke fungsi distribusi Normal standar.

E. Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter adalah bagian dari statistik inferensi yang merupakan

suatu cara untuk memprediksi karakteristik dari suatu populasi berdasarkan sampel

yang diambil. Informasi yang didapatkan dalam sampel dapat digunakan untuk

menghitung nilai penduga titik, penduga selang, atau keduanya.


36

Definisi 2.25

Penduga merupakan peraturan, yang sering dinyatakan sebagai rumus, yang

memberi tahu bagaimana cara menghitung nilai pendekatan berdasarkan

pengukuran yang didapat dalam sampel.

1. Pendugaan Titik

Penduga titik merupakan salah satu nilai tunggal yang dengan sebaik-

baiknya menduga nilai parameter yang tak diketahui.

Contoh 2.22

Untuk contoh, rata-rata sampel

�̅� =1

𝑛∑𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

adalah salah satu penduga titik dari rata-rata populasi 𝜇. �̅� merupakan aturan dan

rumus yang menjumlahkan sampel pengamatan dan membaginya dengan ukuran

sampel 𝑛.

Definisi 2.26

Misalkan 𝜃 merupakan penduga titik dari parameter 𝜃. Maka 𝜃 merupakan penduga

tak bias jika 𝐸(𝜃) = 𝜃. Jika 𝐸(𝜃) ≠ 𝜃, 𝜃 dikatakan bias.

Contoh 2.23

Misalkan 𝐸(𝜃1) = 𝐸(𝜃2) = 𝜃 dan andaikan penduga 𝜃3 = 𝑎𝜃1 + (1 − 𝑎) 𝜃2.

Tunjukkan bahwa 𝜃3 merupakan penduga tak bias dari 𝜃.

Solusi:

𝐸(𝜃3) = 𝐸[𝑎𝜃1 + (1 − 𝑎)𝜃2]

= 𝑎𝐸(𝜃1) + (1 − 𝑎) 𝐸(𝜃2)

= 𝑎𝜃 + (1 − 𝑎)𝜃

= 𝑎𝜃 + 𝜃 − 𝑎𝜃

= 𝜃


37

Menurut Definisi 2.26 karena 𝐸(𝜃3) = 𝜃 maka 𝜃3 merupakan penduga tak bias dari

𝜃.

Definisi 2.27

Bias dari penduga titik 𝜃 diberikan oleh 𝐵(𝜃) = 𝐸(𝜃) − 𝜃.

Definisi 2.28

Jumlah kuadrat galat dari penduga titik 𝜃 adalah 𝑀𝑆𝐸(𝜃) = 𝐸 [(𝜃 − 𝜃)2].

2. Penduga Selang

Penduga selang adalah rumus untuk menentukan batas-batas interval

berdasarkan pengukuran dari sampel. Penduga selang sering disebut juga

selang kepercayaan. Batas bawah dan batas atas dari selang kepercayaan

disebut batas kepercayaan atas dan batas kepercayaan bawah. Probabilitas

bahwa selang kepercayaan akan mendekati 𝜃 disebut koefisien kepercayaan.

Misalkan 𝜃𝐿 dan 𝜃𝑈 merupakan batas bawah dan batas atas selang

kepercayaan untuk sebuah parameter 𝜃. Maka

𝑃(𝜃𝐿 ≤ 𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼,

1 − 𝛼 adalah koefisien kepercayaan. Selang acak yang dihasilkan,

didefinisikan sebagai [𝜃𝐿 , 𝜃𝑈] disebut selang kepercayaan dua sisi.

Dapat dibentuk selang kepercayaan satu sisi sedemikian rupa

𝑃(𝜃𝐿 ≤ 𝜃) = 1 − 𝛼

dengan selang kepercayaan [𝜃𝐿 , ∞). Demikian pula kita juga dapat memiliki

selang kepercayaan satu sisi sedemikian rupa

𝑃(𝜃 ≤ 𝜃𝑈) = 1 − 𝛼

dengan selang kepercayaan (−∞, 𝜃𝑈].

3. Metode Pivot

Metode pivot merupakan salah satu metode yang digunakan untuk

menentukan selang kepercayaan. Metode ini bergantung pada kuantitas pivot

yang memiliki dua karakteristik, yaitu:


38

1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) dan merupakan

fungsi dari parameter 𝜃 yang tidak diketahui.

2. Memiliki fungsi probabilitas yang tidak bergantung pada parameter 𝜃.

Contoh 2.24

Tentukan selang kepercayaan 95% bagi 𝜇 bila diketahui kuantitas pivotnya adalah

𝑍 =�̅�−𝜇

𝜎 √𝑛⁄, dengan 𝑋 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 yang tidak diketahui

dan variansi 𝜎2 = 1.

Solusi:

Dari Contoh 2.16 telah diketahui bahwa fungsi pembangkit momen dari Z adalah

𝑚𝑍(𝑡) = 𝑒𝑡2

2 yang sama dengan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal

apabila 𝜇 = 0 dan 𝜎2 = 1.

Fungsi probabilitas dari 𝑍 adalah 𝑓𝑍(𝑍) =1

√2𝜋𝑒(−

1

2𝑍2)

Syarat kuantitas pivot dipenuhi, yaitu:

1. 𝑍 merupakan fungsi dari pengukuran (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) dan parameter 𝜇 yang tidak

diketahui.

2. Fungsi probabilitas yaitu 𝑓𝑍 tidak bergantung pada parameter 𝜇.

Selang kepercayaan 95% bagi 𝜇 adalah

𝑃(−𝑧𝛼 2⁄ < 𝑍 < 𝑧𝛼 2⁄ ) = 0.95

𝑃(−𝑧0.05 2⁄ < 𝑍 < 𝑧0.05 2⁄ ) = 0.95

Dari Tabel Distribusi Normal (Lampiran 1) diperoleh 𝑧0.05 2⁄ = 𝑧0.025 = 1.96.

𝑃(−1.96 < 𝑍 < 1.96) = 0.95

𝑃 (−1.96 <�̅� − 𝜇

𝜎 √𝑛⁄< 1.96) = 0.95


39

𝑃 (−1.96 (𝜎

√𝑛) < �̅� − 𝜇 < 1.96 (

𝜎

√𝑛)) = 0.95

𝑃 (−�̅� − 1.96 (𝜎

√𝑛) < −𝜇 < −�̅� + 1.96 (

𝜎

√𝑛)) = 0.95

Jadi, selang kepercayaan 95% bagi 𝜇 adalah

𝑃 (�̅� −1.96𝜎

√𝑛< 𝜇 < �̅� +

1.96𝜎

√𝑛) = 0.95

4. Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar

Jika sampel berukuran besar, maka dengan Teorema Limit Pusat,

disribusi sampel dapat diasumsikan mendekati Normal. Misalkan, jika 𝜃

merupakan parameter yang tidak diketahui (seperti 𝜇, 𝑝, (𝜇1 − 𝜇2), (𝑝1 −

𝑝2)), maka untuk sampel yang berukuran besar, dengan Teorema Limit Pusat

𝑍 =𝜃 − 𝜃

𝜎�̂�

mendekati Distribusi Normal Standar, dimana 𝜃 merupakan penduga

kemungkinan maksimum dari 𝜃 dan 𝜎�̂� merupakan standar deviasi. Metode

pivot dapat digunakan untuk menentukan selang kepercayaan untuk parameter

𝜃. Untuk 𝜃 = 𝜇, 𝑛 ≥ 30 dapat dikatakan besar; untuk parameter Binomial 𝑝, 𝑛

dikatakan besar jika 𝑛𝑝 dan 𝑛(1 − 𝑝) keduanya lebih besar dari 5.

Contoh 2.25

Misalkan 𝜃 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜃 dan standar deviasi 𝜎�̂� dimana

𝜎 diasumsikan diketahui. Tentukan selang kepercayaan untuk 𝜃 yang memiliki

koefi sien kepercayaan sama dengan 1 − 𝛼.

Solusi:

Kuantitas pivot dari 𝜃 adalah

𝑍 =𝜃 − 𝜃

𝜎�̂�


40

dan memiliki Distribusi Normal Standar. Pilih dua nilai ujung −𝑍𝛼 2⁄ dan

𝑍𝛼 2⁄ sehingga

𝑃(−𝑍𝛼 2⁄ ≤ 𝑍 ≤ 𝑍𝛼 2⁄ ) = 1 − 𝛼 (2.1)

𝑃 (−𝑍𝛼 2⁄ ≤𝜃 − 𝜃

𝜎�̂�≤ 𝑍𝛼 2⁄ ) = 1 − 𝛼

𝑃(−𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂� ≤ 𝜃 − 𝜃 ≤ 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂�) = 1 − 𝛼

𝑃(−𝜃−𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂� ≤ −𝜃 ≤ −𝜃 + 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂�) = 1 − 𝛼

𝑃(𝜃 − 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂� ≤ 𝜃 ≤ 𝜃 + 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂�) = 1 − 𝛼

Sehingga diperoleh,

𝜃𝐿 = 𝜃 − 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂� dan 𝜃𝑈 = 𝜃 + 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂�

Maka dari itu, selang kepercayaan (1 − 𝛼)100% untuk 𝜃 adalah 𝜃 ± 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂� .

Contoh 2.26

Enam puluh empat kendaraan diamati secara acak untuk kecepatannya (dalam mph)

di jalan raya yang batas kecepatannya adalah 70 mph. Diperoleh kecepatan rata-

ratanya adalah 73.3 mph. Kita asumsikan bahwa kecepatan kendaraan berdistribusi

Normal dengan 𝜎 = 3.2. Tentukan selang kepercayaan 90% untuk kecepatan rata-

rata sebenarnya 𝜇, dari kendaraan di jalan raya tersebut.

Solusi:

Diketahui 𝜃 = 𝜇, sedemikian sehingga 𝜃 = �̅� = 73.3, 𝜎 = 3.2 dan 𝛼 = 0.10 untuk

sampel 𝑛 = 64.

Selang kepercayaan

𝜃 ± 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂�

menjadi

�̅� ± 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂�

Dari Tabel Distribusi Normal (Lampiran 1) diperoleh 𝑍𝛼 2⁄ 𝜎�̂� = 𝑍0.05 = 1.645.

Diperoleh batas kepercayaan bawah dan batas kepercayaan atas

�̅� − 𝑍𝛼 2⁄ (𝜎

√𝑛) = 73.3 − 1.645 (

3.2

√64) = 72.642.


41

�̅� + 𝑍𝛼 2⁄ (𝜎

√𝑛) = 73.3 + 1.645 (

3.2

√64) = 73.958.

Jadi, selang kepercayaan 90% bagi 𝜇 adalah (72.642, 73.958 ).

F. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood)

Metode kemungkinan maksimum adalah teknik yang sangat luas dipakai dalam

pendugaan suatu parameter distribusi data (Dempster et al.). Metode ini merupakan

alternatif bagi metode kuadrat terkecil dengan memaksimumkan fungsi

kemungkinan.

Definisi 2.29

Misalkan 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 merupakan sampel pengamatan yang diambil secara acak

yang bersesuian dengan variabel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 yang distribusinya bergantung

pada parameter 𝜃. Jika 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 merupakan variabel acak diskrit, fungsi

likelihood dari sampel, 𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 |𝜃), didefinisikan sebagai probabilitas

bersama dari 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. . Jika 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 merupakan variabel acak kontinu,

fungsi likelihood dari sampel, 𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 |𝜃), didefinisikan sebagai

probabilitas bersama dari 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛.

Jika himpunan dari variabel acak 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 merupakan sampel acak dari

distribusi diskrit dengan fungsi probabilitas 𝑝(𝑥|𝜃), maka

𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 |𝜃) = 𝑝(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 |𝜃) = 𝑝(𝑥1|𝜃) × 𝑝(𝑥2|𝜃) × …× 𝑝(𝑥𝑛|𝜃),

Jika 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 merupakan distribusi kontinu dengan fungsi densitas 𝑓(𝑥|𝜃),

maka

𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 |𝜃) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 |𝜃) = 𝑓(𝑥1|𝜃) × 𝑓(𝑥2|𝜃) × …× 𝑓(𝑥𝑛|𝜃).

Biasanya notasi likelihood dengan 𝐿(𝜃) disederhanakan menjadi

𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 |𝜃).

Definisi 2.30 Metode Kemungkinan Maksimum

Misalkan fungsi kemungkinan bergantung pada 𝑘 parameter-parameter

𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘 . Penduga kemungkinan maksimum adalah nilai-nilai penduga


42

parameter-parameternya yang memaksimalkan fungsi kemungkinan

𝐿(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛|𝜃1, 𝜃2, … , 𝜃𝑘).

Contoh 2.27

Misalkan 𝑋1, … , 𝑋𝑛 merupakan sampel acak dari Distribusi Poisson dengan

parameter 𝜆. Tentukan penduga kemungkinan maksimum bagi 𝜆.

Solusi:

Kita memiliki fungsi probabilitas

𝑝(𝑥) =𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!, 𝑥 = 0,1,2,… , 𝜆 > 0.

Oleh karena itu, fungsi kemungkinannya adalah

𝐿(𝜆) =∏𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑥!

𝑛

𝑖=1

=𝜆∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1 𝑒−𝑛𝜆

∏ 𝑥𝑖!𝑛𝑖=1

,

Untuk mempermudah perhitungan akan digunakan transformasi logaritma, karena

fungsi logaritma adalah fungsi yang monoton naik, sehingga memaksimalkan

𝑙𝑛 𝐿(𝜆) berarti juga memaksimalkan 𝐿(𝜆).

ln 𝐿(𝜆) =∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑙𝑛 𝜆 − 𝑛𝜆 −∑ln(𝑥𝑖!)

𝑛

𝑖=1

dan menurunkan terhadap 𝜆, didapat

𝑑 ln 𝐿(𝜆)

𝑑𝜆=∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝜆− 𝑛

dan

𝑑 ln 𝐿(𝜆)

𝑑𝜆= 0,

maka

∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝜆− 𝑛 = 0 (2.2)

Pembuat nol untuk persamaan (2.2) adalah ∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝜆= 𝑛, sehingga diperoleh

𝜆 =∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛= �̅�.

Maka dari itu, penduga bagi 𝜆 adalah

�̂� = �̅�.


43

BAB III

METODE TABEL KEHIDUPAN

A. Analisis Ketahanan Hidup

Analisis ketahanan hidup adalah metode statistika untuk mempelajari suatu

kejadian dan waktu kejadian. Waktu dalam analisis ketahanan hidup dapat berupa

tahun, bulan, minggu atau hari dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu

kejadian. Dalam analisis ketahanan hidup variabel waktu direpresentasikan sebagai

waktu ketahanan hidup dimana variabel tersebut menunjukkan bahwa seseorang

dapat bertahan untuk beberapa jangka waktu. Kita bisa juga menyebut kejadian

tersebut sebagai suatu kegagalan, contohnya kematian individu.

Waktu ketahanan hidup didefinisikan secara luas sebagai waktu terjadinya

suatu kejadian. Pada bidang kesehatan, kejadian dalam analisis ketahanan hidup

yang dimaksud adalah kematian yang dapat disebabkan karena suatu penyakit,

kambuhnya suatu penyakit saat pengobatan berlangsung atau karena munculnya

suatu penyakit baru. Data ketahanan hidup dapat meliputi waktu bertahan hidup,

respon terhadap obat yang diberikan dan karakteristik pasien terkait dengan respon,

ketahanan hidup, dan perkembangan suatu penyakit. Ketahanan hidup difokuskan

pada prediksi atau peramalan probabilitas respon, kelangsungan hidup atau rata-

rata waktu hidup, membandingkan distribusi ketahanan hidup dari percobaan

hewan atau pasien dan mengidentifikasi risiko dan/atau faktor prognostik terkait

dengan respon, ketahanan hidup, dan perkembangan suatu penyakit. Waktu

ketahanan dalam analisis ketahanan hidup dikenal juga dengan waktu kegagalan

atau failure time.

Analisis ketahanan hidup sangat berguna untuk mempelajari berbagai macam

peristiwa, baik secara sosial dan ilmu pengetahuan alam, termasuk timbulnya suatu

penyakit, kegagalan peralatan, gempa bumi, kecelakaan mobil, pasar saham,

revolusi, pemutusan hubungan kerja, kelahiran, pernikahan, perceraian, promosi,

pensiun dan penangkapan. Penyesuaian suatu materi sesuai dengan kebutuhan


44

menyebabkan metode ini mengalami banyak perkembangan yang ditemukan oleh

para peneliti di bidang yang berbeda, sehingga terdapat beberapa istilah nama yang

berbeda, seperti Analisis Peristiwa Sejarah (Sosiologi), Analisis Reliabilitas

(Teknik), Kegagalan Analisis Waktu (Teknik), Analisis Durasi (Ekonomi) dan

Analisis Transisi (Ekonomi) (Allison, 1995).

B. Data Tersensor

Banyak peneliti menganggap analisis data ketahanan hidup hanya sebagai

aplikasi dari data metode statistika konvensional untuk jenis masalah khusus:

parametrik jika distribusi waktu ketahanan hidup diketahui berdistribusi Normal

dan non parametrik jika distribusi waktu ketahanan hidup tidak diketahui. Asumsi

ini benar jika waktu ketahanan hidup dari semua subjek diketahui. Pada umumnya,

waktu ketahanan hidup tidak demikian. Misalnya, terdapat pasien yang masih

bertahan atau sembuh selama pengamatan berlangsung, tetapi waktu ketahanan

hidup yang tepat dari pasien tidak diketahui. Hal ini disebut sebagai pengamatan

tersensor atau waktu tersensor. Penyensoran didefinisikan sebagai hilangnya

pengamatan pada variabel kehidupan dalam proses pengamatan (Xian Liu, 2012).

Secara umum, penyensoran dibagi menjadi beberapa tipe, yaitu penyensoran

kana, penyensoran kiri dan penyensoran interval.

1. Penyensoran Kanan

Penyensoran kanan dibagi menjadi tiga kategori yaitu penyensoran tipe I,

penyensoran tipe II dan penyensoran acak.

a. Penyensoran Tipe I

Penyensoran tipe I merupakan penyensoran dimana pengamatan akan

dilakukan selama waktu 𝑇 yang telah ditentukan dan akan berakhir setelah

mencapai waktu 𝑇, berakhirnya waktu 𝑇 menyatakan waktu tersensor.

Penyensoran tipe I merujuk pada fakta bahwa semua pengamatan memiliki

waktu yang sama. Bahkan pengamatan yang tidak disensor dikatakan untuk

memiliki waktu tersensor. Penyensoran tipe I biasanya berhubungan dengan

jangka pengamatan yang telah ditentukan sebelumnya. Secara matematis,


45

waktu ketahanan hidup dilambangkan dengan 𝑇 > 𝐶, dimana 𝑇 adalah

waktu pengamatan dan 𝐶 adalah waktu penyensoran yang telah ditetapkan.

b. Penyensoran Tipe II

Penyensoran tipe II terjadi ketika pengamatan dihentikan setelah individu

mengalami kegagalan sebanyak 𝑟 dari 𝑛 individu yang diamati. Misalkan

seorang peneliti melakukan percobaan dengan 100 tikus di laboratorium,

peneliti dapat memutuskan bahwa percobaan akan berhenti ketika 50 dari

tikus tersebut mati.

c. Penyensoran Acak

Pada sebagian besar studi klinis dan epidemiologis jangka waktu penelitian

adalah tetap dan pasien memasuki penelitian pada waktu yang berbeda

selama jangka waktu penelitian. Penyensoran acak terjadi ketika

pengamatan berhenti karena alasan yang berada di bawah kendali peneliti.

Berikut merupakan kejadian-kejadian yang menyebabkan terjadinya

penyensoran adalah:

1. Study ends-no event

Individu tidak mengalami pengamatan sampai penelitian berakhir (misal:

individu telah dinyatakan sembuh sebelum penelitian berakhir), sehingga

waktu ketahanan hidupnya dapat diketahui secara pasti, yaitu saat

individu memasuki pengamatan hingga pengamatan terakhir.

2. Lost to-follow up

Individu menghilang selama masa penelitian berlangsung (misal:

individu yang sedang diamati pindah atau menolak untuk dilakukan

pengamatan).

3. Withdraws from the study

Individu terpaksa diberhentikan dari penelitian karena meninggal

sebelum penelitian berakhir (misal: karena reaksi obat yang merugikan).

2. Penyensoran Kiri

Penyensoran kiri terjadi bila diketahui peristiwa yang diamati terjadi sebelum

waktu tertentu (𝑡), tetapi waktu eksak dari kejadian tidak diketahui. Sebagai

contoh, misalkan seorang ahli epidemiologi ingin mengetahui usia pasien yang


46

telah didiagnosis penyakit gagal ginjal kronis. Pada saat penelitian, pasien

berusia 25 tahun diketahui telah mengalami gagal ginjal kronis, tetapi tidak ada

catatan pada usia berapa awal pasien terkena gagal ginjal kronis. Dengan

demikian usia saat pemeriksaan (yaitu 25 tahun) merupakan penyensoran kiri.

Usia diagnosis untuk pasien ini paling lama adalah 25 tahun.

3. Penyensoran Interval

Penyensoran interval terjadi bila peristiwa yang diamati diketahui telah terjadi

antara waktu 𝑎 dan waktu 𝑏. Sebagai contohnya, kembali menggunakan contoh

penderita penderita gagal ginjal kronis. Jika catatan medis menunjukkan bahwa

pada usia 15 tahun penderita belum menderita gagal ginjal kronis, maka usia

penderita terdiagnosis gagal ginjal kronis adalah antara 15 dan 25 tahun.

Contoh 3.1

Beberapa pasien mungkin masih hidup atau sembuh dari penyakit pada akhir waktu

pengamatan. Waktu ketahanan hidup yang pasti dari subjek tidak diketahui. Hal ini

merupakan pengamatan tersensor atau waktu yang disensor dan bisa juga terjadi

ketika seseorang hilang dari pengamatan (lost to follow-up) setelah waktu

pengamatan. Ketika hal ini bukan merupakan pengamatan tersensor, kumpulan dari

waktu ketahanan hidup telah selesai.

C. Fungsi Ketahanan Hidup (Survival Function)

Fungsi ketahanan hidup adalah probabilitas seorang individu dapat bertahan

hidup lebih lama dari waktu yang telah ditentukan. Secara matematis, fungsi

ketahanan hidup dapat ditulis sebagai berikut

𝑆(𝑡) = 𝑃(𝑇 > 𝑡) (3.1)

dengan 𝑇 adalah variabel acak waktu ketahanan hidup, 𝑡 adalah suatu waktu, dan

𝑃 adalah fungsi probabilitas. Dari Definisi 2.12, fungsi distribusi kumulatif 𝐹(𝑡)

dari 𝑇, 𝑆(𝑡) dapat ditulis sebagai

𝑆(𝑡) = 1 − 𝑃(𝑇 ≤ 𝑡)


47

= 1 − 𝐹(𝑡). (3.2)

Fungsi 𝑆(𝑡) bukan fungsi yang meningkat dari 𝑡 waktu dengan ciri

sebagai berikut

𝑆(𝑡) = {1, 𝑡 = 00, 𝑡 → ∞

Secara teoritis, ketika 𝑡 berkisar dari 0 hingga tak terbatas, fungsi ketahanan dapat

digambarkan sebagai kurva mulus seperti yang diilustrasikan oleh Gambar 3.1.

Fungsi ketahanan hidup 𝑆(𝑡) memiliki karakteristik-karakteristik sebagai berikut:

• Merupakan fungsi yang monoton turun.

• Pada waktu 𝑡 = 0, 𝑆(𝑡) = 𝑆(0) = 1, yaitu pada awal pengamatan karena

belum ada yang mengalami kejadian atau peristiwa, maka probabilitas

bertahan seorang individu pada waktu 0 adalah 1.

• Pada waktu 𝑡 → ∞, 𝑆(𝑡) = lim𝑡→∞

𝑆(𝑡) = 0. Secara teoritis, jika waktu

pengamatan meningkat tanpa batas, akhirnya tidak ada yang akan bertahan.

Jadi, kurva yang menunjukkan waktu bertahan hidup akhirnya menuju ke

nol.

Gambar 3.1 Grafik fungsi ketahanan hidup

Fungsi 𝑆(𝑡) juga dikenal sebagai fungsi distribusi kumulatif. Berkson pada

tahun 1942 memberikan gambaran mengenai perjalanan hidup yang diberikan pada

grafik 𝑆(𝑡) seperti pada Gambar 3.2. Grafik 𝑆(𝑡) disebut sebagai kurva ketahanan


48

hidup. Gambar 3.2a mewakili tingkat ketahanan hidup yang rendah atau waktu

ketahanan hidup yang singkat. Kurva ketahanan hidup bertahap atau datar pada

Gambar 3.2b menunjukkan tingkat ketahanan hidup yang tinggi atau ketahanan

hidup yang panjang.

(a) (b)

Gambar 3.2 Dua contoh dari kurva ketahanan hidup.

Jika tidak ada pengamatan tersensor, fungsi ketahanan hidup ditafsirkan

sebagai proporsi dari pasien yang bertahan hidup melebihi waktu 𝑡:

�̂�(𝑡) =banyaknya pasien yang bertahan hidup lebih dari 𝑡

banyaknya pasien

(3.3)

Ketika terdapat pengamatan tersensor, pembilang dari (3.3) tidak selalu dapat

ditentukan.

Misalkan terdapat data ketahanan hidup 2, 4, 4+, 8+, 13, 18. Dari enam data

tersebut, pada penderita 3 dan 4, yaitu 4+ dan 8+ dimana tanda plus (+) merupakan

pengamatan tersensor. Menggunakan (3.3), kita dapat hitung �̂�(3) = (5/6) =

0.833. Namun, kita tidak dapat mengitung �̂�(9), karena jumlah yang pasti dari

pasien yang bertahan hidup lebih lama dari 9 tidak diketahui. Penderita ke-3 dan

ke-4 (4+ dan 8+) dapat bertahan hidup lebih lama atau kurang dari 9. Ketika

terdapat pengamatan tersensor, (3.3) tidak dapat digunakan untuk menduga 𝑆(𝑡).

Diperlukan metode non paramterik untuk menduga 𝑆(𝑡) dalam kasus data

tersensor.


49

D. Fungsi Densitas Ketahanan Hidup

Waktu ketahanan hidup 𝑇 memiliki fungsi probabilitas sebagai limit dari

probabilitas dimana seorang individu meninggal dalam interval waktu yang pendek

yaitu dari 𝑡 sampai 𝑡 + ∆𝑡 per unit interval ∆𝑡, atau secara sederhana adalah

probabilitas kegagalan dalam interval yang pendek per unit waktu. Pernyataan

tersebut dapat ditulis sebagai:

𝑓(𝑡) = lim∆𝑡 →0

𝑃[individu yang meninggal dalam interval (t, t + ∆𝑡 )]

∆𝑡 (3.4)

Grafik 𝑓(𝑡) merupakan kurva fungsi probabilitas (densitas). Gambar 3.3

memberikan dua contoh dari kurva fungsi densitas. Fungsi densitas, sebagaimana

Definisi 2.12 memenuhi dua ciri sebagai berikut:

1. 𝑓(𝑡) merupakan fungsi nonnegatif:

𝑓(𝑡) ≥ 0, untuk semua 𝑡 ≥ 0

𝑓(𝑡) = 0, untuk 𝑡 < 0

2. Luas daerah di antara kurva densitas dan sumbu 𝑡 adalah sama dengan 1.

Jika tidak terdapat pengamatan tersensor, fungsi densitas 𝑓(𝑡) ditafsirkan

sebagai proporsi dari pasien yang meninggal dalam interval per unit interval ∆𝑡 :

𝑓(𝑡) =banyaknya pasien yang meninggal dalam interval mulai dari 𝑡

(banyaknya pasien) × (lebar interval) (3.5)

Sama seperti pendekatan dari 𝑆(𝑡), ketika terdapat pengamatan tersensor (3.5) tidak

dapat diaplikasikan.

Proporsi individu yang gagal dalam sebarang interval waktu dan ujung

frekuensi tinggi dari kegagalan dapat ditemukan dalam fungsi densitas. Fungsi

densitas dalam Gambar 3.3a memberikan gambaran pola tingkat kegagalan yang

tinggi pada awal pengamatan dan tingkat kegagalan yang menurun seiring dengan

meningkatnya waktu. Dalam Gambar 3.3b, ujung dari frekuensi kegagalan yang

tinggi terjadi pada sekitar 2.9 unit dari waktu. Proporsi dari individu yang gagal


50

antara 2 sampai 3 unit dari waktu sama dengan luas area yang diarsir. Fungsi

densitas juga disebut tingkat kegagalan tak bersyarat (unconditional failure rate).

(a) (b)

Gambar 3.3 Dua contoh dari kurva fungsi densitas.

E. Fungsi Hazard (Hazard Function)

Fungsi Hazard dinotasikan dengan ℎ(𝑡) yang merupakan limit ∆𝑡 mendekati

nol dari pernyataan probabilitas ketahanan hidup dibagi dengan ∆𝑡, dengan ∆𝑡

menunjukkan interval waktu yang kecil.

ℎ(𝑡) = lim∆𝑡 →0

𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡 |T ≥ t)

∆𝑡 (3.6)

Fungsi Hazard ℎ(𝑡) memberikan potensial waktu per unit untuk suatu kejadian,

yang berarti bahwa individu dapat bertahan hidup sampai waktu ke 𝑡. Fungsi

Hazard berbeda dengan fungsi ketahanan hidup yang berfokus pada kesuksesan

suatu kejadian, sedangkan fungsi Hazard berfokus pada kegagalan suatu kejadian.

Dalam beberapa hal, fungsi Hazard memberikan informasi mengenai kejadian

negatif yang diperoleh dari fungsi ketahanan hidup. Kejadian negatif yang

dimaksud adalah kematian seorang individu atau mengenai penyakit tertentu.

Setiap nilai 𝑡 yang diketahui didapatkan nilai tertingginya adalah 𝑆(𝑡) dan nilai

terendahnya adalah ℎ(𝑡), serta berlaku sebaliknya.


51

Dalam istilah matematika, rumus matematika dari fungsi Hazard ditemukan

dalam pernyataan probabilitas bersyarat 𝑃(𝐴|𝐵), karena pembilang dalam rumus

fungsi Hazard merupakan bentuk dari “𝑃 dari suatu kejadian 𝐴, bila diketahui

kejadian 𝐵", dengan 𝑃 adalah notasi untuk probabilitas. Dalam rumus Hazard,

probabilitas 𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡|𝑇 ≥ 𝑡) merupakan probabilitas bersyarat yang

menyatakan bahwa suatu kejadian akan berada dalam interval waktu antara 𝑡 dan

𝑡 + ∆𝑡, mengingat bahwa waktu ketahanan hidup 𝑇 lebih besar atau sama dengan

𝑡. Penyebutnya adalah ∆𝑡 yang menunjukkan interval waktu yang kecil. Skala yang

diberikan dalam fungsi Hazard bukan 0 sampai 1 seperti fungsi probabilitas, tetapi

nilainya berkisar antara 0 dan tak terbatas, tergantung waktu diukur dalam hari,

minggu, bulan, tahun dan lain-lain. Maka dari itu, fungsi Hazard juga dapat disebut

sebagai conditional failure rate atau tingkat kegagalan bersyarat.

Sama seperti fungsi ketahanan hidup, fungsi Hazard ℎ(𝑡) dapat digambarkan

sebagai rentang 𝑡 pada berbagai nilai. Bedanya dengan fungsi ketahanan hidup,

grafik ℎ(𝑡) tidak harus dimulai dari 1 dan turun ke 0, melainkan dapat dimulai dari

mana saja dan dapat naik atau turun ke segala arah. Secara khusus untuk nilai 𝑡

yang ditentukan, fungsi Hazard ℎ(𝑡) memiliki karakteristik sebagai berikut:

• Fungsi tak negatif, artinya lebih besar atau sama dengan 0

• Fungsi tidak memiliki batas atas.

Fungsi Hazard dapat digunakan untuk:

1. Memberikan wawasan tentang tingkat kegagalan bersyarat.

2. Mengidentifikasi bentuk model tertentu.

3. Model matematika untuk analisis ketahanan hidup.

Fungsi Hazard juga dapat didefinisikan sebagai fungsi distribusi kumulatif

𝐹(𝑡) dan fungsi densitas 𝑓(𝑡) sebagaimana penjelasan berikut. Menggunakan

definisi peluang bersyarat

ℎ(𝑡) = lim∆𝑡→0

𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡|𝑇 ≥ 𝑡)

∆𝑡

= lim∆𝑡→0

𝑃[(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡) ∩ (𝑇 ≥ 𝑡)]

∆𝑡 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡)


52

= lim∆𝑡→0

𝑃(𝑡 ≤ 𝑇 < 𝑡 + ∆𝑡) ∩ 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡)

∆𝑡 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡)

= lim∆𝑡→0

𝑃(𝑇 ≤ 𝑡 + ∆𝑡) − 𝑃(𝑇 < 𝑡)

∆𝑡 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡)

Berdasarkan definisi 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) = 𝐹(𝑥), diperoleh


𝑃(𝑇 ≤ 𝑡 + ∆𝑡) − 𝑃(𝑇 < 𝑡)

∆𝑡 (1 − 𝑃(𝑇 < 𝑡))

= lim∆𝑡→0

𝐹(𝑡 + ∆𝑡) − 𝐹(𝑡)

∆𝑡 (1 − 𝐹(𝑡))

Berdasarkan definisi turunan lim∆𝑡→0

𝐹(𝑡+∆𝑡)−𝐹(𝑡)

∆𝑡 dapat ditulis menjadi 𝐹′(𝑥) =

𝑑𝐹(𝑥)

𝑑𝑥


𝐹(𝑡 + ∆𝑡) − 𝐹(𝑡)

∆𝑡

1

(1 − 𝐹(𝑡))

=𝐹′(𝑥)

1 − 𝐹(𝑡)

Menurut definisi 𝑑𝐹(𝑥)

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥), maka diperoleh:

ℎ(𝑡) =𝑓(𝑡)

1 − 𝐹(𝑡) (3.7)

Ketika tidak ada pengamatan tersensor, fungsi Hazard diperkirakan sebagai

perbandingan sebagai berikut:

ℎ̂(𝑡) =

banyaknya pasien meninggal dalam interval waktu mulai pada waktu 𝑡

(banyaknya pasien yang bertahan sampai waktu 𝑡) × (lebar interval)

=banyaknya pasien meninggal per unit waktu dalam interval

banyaknya pasien yang bertahan sampai waktu 𝑡

(3.8)


53

Fungsi Hazard banyak diaplikasikan dalam bidang ilmu aktuaria. Aktuaria

merupakan kombinasi ilmu matematika, statistika, ekonomi keuangan, dan

manajemen risiko, sehingga ilmu aktuaria menjadi ilmu matematika yang

kompleks. Ilmu aktuaria berkaitan dengan asuransi seperti misalkan asuransi jiwa.

Dalam asuransi jiwa, yang dipertanggungkan adalah sesuatu yang disebabkan oleh

kematian. Kematian tersebut dapat mengakibatkan hilangnya pendapatan seseorang

atau keluarga tertentu. Pada asuransi jiwa, risiko yang mungkin timbul terletak pada

unsur waktu. Hal ini menyebabkan sulit untuk memprediksi k, apan seseorang akan

meninggal. Ilmu akturia pada umumnya menggunakan tingkat Hazard rata-rata dari

banyaknya pasien yang meninggal per unit waktu dalam interval dibagi rata-rata

banyaknya pasien yang hidup pada titik tengah interval:

ℎ̂(𝑡) =

banyaknya pasien meninggal per unit waktu dalam interval

(banyaknya pasien yang bertahan sampai waktu 𝑡

) − (banyaknya individu

meninggal dalam interval) 2⁄

(3.9)

Fungsi Hazard dapat meningkat, menurun, konstan atau mengindikasikan

proses yang lebih rumit. Gambar 3.4 menunjukkan beberapa bentuk fungsi Hazard

(Elisa dan John, 2003). Grafik yang disediakan merupakan kasus khusus dari

beberapa kejadian tertentu seperti yang akan dijelaskan berikut ini. Contoh pada

Gambar 3.4a, pasien dengan penyakit leukemia yang tidak ingin melakukan

perawatan memiliki tingkat Hazard meningkat ℎ1(𝑡), pada Gambar 3.4b, ℎ2(𝑡)

merupakan fungsi Hazard menurun , misalnya seorang yang terluka karena

tembakan peluru yang menjalani operasi. Hal paling berbahaya adalah operasi itu

sendiri dan bahaya tersebut akan berkurang jika operasi berhasil. Gambar 3.4c

ℎ3(𝑡) adalah grafik yang menunjukkan fungsi Hazard konstan untuk pengamatan

individu yang sehat. Misalkan individu yang sehat antara umur 18 dan 40 tahun

meninggal karena kecelakaan, memiliki risiko kegagalan yang konstan. Kurva

ℎ4(𝑡) pada Gambar 3.4d merupakan kurva bathup (bak mandi) yang menjelaskan

tentang proses kehidupan manusia. Misalnya, jika individu dalam suatu populasi

diikuti langsung dari kelahiran sampai meninggal, fungsi Hazard berbentuk bathup

(bak mandi). Setelah periode awal dimana kematian terjadi, terutama karena cacat


54

lahir atau penyakit bayi, angka kematian menurun atau relatif konstan sampai usia

30 atau lebih, setelah itu meningkat seiring bertambahnya usia. Fungsi Hazard

ℎ5(𝑡) Gambar 3.4e mendeskripsikan pasien TBC yang risikonya meningkat diawal

kemudian menurun setelah melakukan perawatan.

h(t)

t

h (t)1

0

h(t)

t

h (t)2

0

(a) (b)

0

h(t)

t

h (t)3

0

h(t)

t

h (t)4

(c) (d)


55

0

h(t)

t

h (t)5

(e)

Gambar 3.4 Contoh dari Fungsi Hazard

F. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Kontinu

Dari (3.2) dan (3.7) diperoleh

ℎ(𝑡) =𝑓(𝑡)

1 − 𝐹(𝑡)=𝑓(𝑡)

𝑆(𝑡) (3.10)

karena fungsi densitas merupakan turunan dari fungsi distribusi kumulatif

𝑓(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡[1 − 𝑆(𝑡)] = −𝑆′(𝑡) (3.11)

substitusi (3.11) ke (3.10)

ℎ(𝑡) = −𝑆′(𝑡)

𝑆(𝑡)

= −𝑆′(𝑡)𝑑 ln 𝑆(𝑡)

𝑑𝑆(𝑡)

= −𝑑 𝑆(𝑡)

𝑑𝑡 𝑑 ln 𝑆(𝑡)

𝑑𝑆(𝑡)

= −𝑑

𝑑𝑡ln 𝑆(𝑡) (3.12)

mengintegralkan (3.12) dari 0 ke 𝑡 dan gunakan 𝑆(0) = 1, didapat


56

∫ℎ(𝑥)

𝑡

0

𝑑𝑥 = −∫𝑑

𝑑𝑡ln 𝑆(𝑡)

𝑡

0

𝑑𝑡

−∫ℎ(𝑥)

𝑡

0

𝑑𝑥 = ∫𝑑

𝑑𝑡ln 𝑆(𝑡)

𝑡

0

𝑑𝑡

−∫ℎ(𝑥)

𝑡

0

𝑑𝑥 = ln 𝑆(𝑡)|0𝑡

−∫ℎ(𝑥)

𝑡

0

𝑑𝑥 = ln 𝑆(𝑡) − ln 𝑆(0)

−∫ℎ(𝑥)

𝑡

0

𝑑𝑥 = ln 𝑆(𝑡) − ln(1)

−∫ℎ(𝑥)

𝑡

0

𝑑𝑥 = ln 𝑆(𝑡) (3.13)

Dari (3.13 ) diperoleh

𝑆(𝑡) = 𝑒−∫ ℎ(x)𝑡0 𝑑𝑥 (3.14)

dari (3.11) dan (3.15) kita peroleh

𝑓(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑒−∫ ℎ(x)𝑡0 𝑑𝑥 (3.15)

Oleh karena itu, jika 𝑓(𝑡) diketahui, fungsi ketahanan hidup bisa didapatkan dari

hubungan antara 𝑓(𝑡), ℎ(𝑡) dan 𝑆(𝑡). Fungsi Hazard dapat ditentukan dari (3.7).

Jika 𝑆(𝑡) diketahui, 𝑓(𝑡) dan ℎ(𝑡) dapat ditentukan dari (3.11) dan (3.12) masing-

masing atau ℎ(𝑡) dapat diturunkan terlebih dahulu dari (3.12) dan 𝑓(𝑡) dari (3.11).

Jika ℎ(𝑡) diberikan, 𝑆(𝑡) dan 𝑓(𝑡) masing-masing bisa didapat dari (3.14) dan


57

(3.15). Dengan demikian, bila diberikan salah satu dari tiga fungsi ketahanan hidup,

maka dua fungsi lainnya dapat diturunkan.

G. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Diskrit

Misalkan 𝑇 adalah variabel acak diskrit, dengan 𝑇 mempunyai nilai 𝑡1, 𝑡2, …

dengan 0 ≤ 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯

Menurut Lawless (1982) fungsi peluangnya dapat ditulis sebagai berikut

𝑓(𝑡𝑗) = 𝑃(𝑇 = 𝑡𝑗), 𝑗 = 1, 2, …

Maka fungsi ketahanan hidup didefinisikan sebagai

𝑆(𝑡) = 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡) = ∑ 𝑓(𝑡𝑗)

𝑗:𝑡𝑗≥𝑡

Fungsi Hazard diskret didefinisikan dengan ℎ(𝑡𝑗) = 𝑃(𝑇 = 𝑡𝑗|𝑇 > 𝑡𝑗), sehingga

ℎ(𝑡𝑗) = 𝑃(𝑇 = 𝑡𝑗|𝑇 ≥ 𝑡𝑗)

=𝑃[(𝑇 = 𝑡𝑗) ∩ (𝑇 ≥ 𝑡𝑗)]

𝑃(𝑇 ≥ 𝑡𝑗)

=𝑃(𝑇 = 𝑡𝑗)

𝑃(𝑇 ≥ 𝑡𝑗)

=𝑓(𝑡𝑗)

𝑆(𝑡𝑗) , 𝑗 = 1, 2, … (3.16)

dari persamaan di atas diperoleh

𝑓(𝑡𝑗) = ℎ(𝑡)𝑆(𝑡𝑗)

Diketahui dari (3.1), 𝑆(𝑡) = 𝑃(𝑇 > 𝑡), sehingga

𝑆(𝑡𝑗) = 𝑃(𝑇 > 𝑡𝑗)


58

= 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡𝑗+1)

= 𝑃(𝑇 = 𝑡𝑗) + 𝑃(𝑇 ≥ 𝑡𝑗+1)

= 𝑓(𝑡𝑗) + 𝑆(𝑡𝑗+1)

Sehingga didapatkan

𝑓(𝑡𝑗) = 𝑆(𝑡𝑗) − 𝑆(𝑡𝑗+1) (3.17)

maka

ℎ(𝑡𝑗) =𝑓(𝑡𝑗)

𝑆(𝑡𝑗)

=𝑆(𝑡𝑗) − 𝑆(𝑡𝑗+1)

𝑆(𝑡𝑗)

= 1 −𝑆(𝑡𝑗+1)

𝑆(𝑡𝑗) (3.18)

Fungsi ketahanan hidup dapat ditulis sebagai perkalian dari probabilitas bersyarat

ketahanan hidup, yaitu

𝑆(𝑡) =∏𝑆(𝑡𝑗+1)

𝑆(𝑡𝑗)𝑡𝑗<𝑡

. (3.19)

Kemudian fungsi ketahanan hidup yang berhubungan dengan fungsi Hazard adalah

sebagai berikut

𝑆(𝑡) =∏[1 − ℎ(𝑡𝑗)]

𝑡𝑗<𝑡

. (3.20)


59

H. Tabel Kehidupan

Tabel Kehidupan merupakan tabel yang memberikan pengukuran untuk angka

kematian dan menggambarkan ketahanan hidup dalam suatu populasi. Tabel

kehidupan bermanfaat dalam bidang sains, misalnya insinyur menggunakan tabel

kehidupan untuk mempelajari keandalan sistem mekanik dan elektronik yang

kompleks. Ahli biostatistik menggunakan tabel kehidupan untuk membandingkan

efektivitas pengobatan alternatif suatu penyakit. Demografi menggunakan tabel

kehidupan sebagai alat dalam proyeksi populasi (Bowers, 1997). Tabel kehidupan

digunakan untuk menganalisa kemungkinan bertahan hidup suatu individu dalam

suatu populasi, menentukan umur yang paling rentan meninggal, dan menduga

pertumbuhan populasi.

Terdapat dua jenis tabel kehidupan, yaitu tabel kehidupan populasi dan tabel

kehidupan klinis. Tabel kehidupan populasi merupakan tabel kehidupan yang

merangkum pengalaman kematian populasi tertentu. Sebagai penelitian klinis dan

epidemiologi yang lebih umum, tabel kehidupan telah diterapkan pada pasien

dengan penyakit yang telah dialami selama jangka waktu tertentu. Tabel kehidupan

klinis adalah tabel kehidupan yang dikonstruksikan untuk pasien. Meskipun tabel

kehidupan populasi dan klinis serupa dalam perhitungan, sumber data yang

dibutuhkan berbeda.

1. Tabel Kehidupan Populasi

Tabel kehidupan populasi terdiri dua jenis, yaitu tabel kehidupan cohort dan

tabel kehidupan current. Tabel kehidupan cohort menggambarkan peristiwa

bertahan hidup atau kematian mulai dari lahir sampai meninggal dari kelompok

khusus yang lahir di waktu yang sama, misalnya semua orang yang lahir pada tahun

1950. Tabel kehidupan cohort dari contoh tersebut harus diikuti dari tahun 1950

sampai semua orang yang lahir pada tahun tersebut meninggal. Proporsi kematian

kemudian dibangun untuk membangun tabel kehidupan.

Tabel kehidupan current dibangun dengan menerapkan tingkat angka kematian

usia spesifik dari populasi dalam periode waktu tertentu untuk hipotetis sekelompok


60

individu yang hidup pada periode waktu tertentu adalah 100000 atau 1000000

orang. Titik awalnya adalah kelahiran pada tahun 0.

Tabel kehidupan populasi memerlukan dua sumber data untuk penyusunannya,

yaitu:

1. Data sensus tentang jumlah individu yang hidup pada setiap usia untuk tahun

tertentu pada pertengahan tahun.

2. Statistik jumlah kematian pada tahun tertentu untuk setiap kelompok usia.

Syarat tabel kehidupan populasi sering digunakan untuk mengacu pada tabel

kehidupan current. Tabel kehidupan current terdiri dari:

1. Usia (𝑥).

2. Usia tertinggi yang terdapat dalam pengamatan (𝑤).

3. Banyaknya individu yang hidup pada awal interval usia (𝑙𝑥).

Nilai awal 𝑙𝑥 merupakan ukuran populasi hipotetis, biasanya 100000 atau

1000000.

4. Banyaknya individu yang meninggal sebelum mencapai usia 𝑥 + 1 tahun (𝑑𝑥).

𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1.

5. Peluang individu berusia 𝑥 akan meninggal sebelum usia 𝑥 + 1 (𝑞𝑥)

𝑞𝑥 =(𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1)

𝑙𝑥=𝑑𝑥𝑙𝑥

Hubungan ini menyatakan bahwa peluang individu yang berusia 𝑥 akan

meninggal sebelum usia 𝑥 + 1 tahun sama dengan banyaknya orang yang

meninggal antara usia 𝑥 dan 𝑥 + 1 dibagi dengan banyaknya individu yang

hidup pada awal interval usia.

6. Peluang individu berusia 𝑥 akan hidup (paling sedikit) 𝑛 tahun.

𝑝𝑥 =𝑙𝑥+𝑛𝑙𝑥

𝑛 .

Dengan kata lain, 𝑝𝑥𝑛 merupakan banyaknya individu ( dari sebanyak 𝑙𝑥 pada

usia 𝑥) yang mencapai usia 𝑥 + 𝑛 , (𝑙𝑥+𝑛), dibagi banyaknya individu pada usia

𝑥.


61

7. Peluang individu berusia 𝑥 akan meninggal dalam 𝑛 tahun, atau sebelum

mencapai usia 𝑥 + 𝑛 ( 𝑞𝑥𝑛 ).

𝑞𝑥𝑛 = 1 − 𝑝𝑥𝑛

= 1 −𝑙𝑥+𝑛𝑙𝑥

=(𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛)

𝑙𝑥.

8. Banyaknya individu yang meninggal antara usia 𝑥 dan 𝑥 + 𝑛 ( 𝑑𝑥𝑛 ).

𝑑𝑥𝑛 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛

𝑑𝑥𝑛

𝑙𝑥=𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛

𝑙𝑥

𝑑𝑥𝑛

𝑙𝑥= 𝑞𝑥𝑛

𝑑𝑥𝑛 = ( 𝑞𝑥𝑛 )𝑙𝑥.

9. Peluang individu yang berusia 𝑥 akan hidup 𝑚 tahun, tetapi meninggal dalam

𝑛 tahun kemudian, yaitu meninggal antara usia 𝑥 + 𝑚 dan 𝑥 + 𝑚 + 𝑛 tahun.

𝑞𝑥 =𝑙𝑥+𝑚 − 𝑙𝑥+𝑚+𝑛

𝑙𝑥𝑚/𝑛

=𝑑𝑥+𝑚𝑛

𝑙𝑥

Dari penulisan tersebut, indeks di sebelah kanan menyatakan usia individu

yang sedang diamati, sedangkan indeks di sebelah kiri menyatakan jangka

waktu kejadian (hidup atau meninggal) terjadi, 𝑚 menyatakan lamanya

penundaan terjadinya kejadian. Sebagai contoh, misalkan 𝑞2010 5⁄ menyatakan

peluang meninggal individu yang berusia 20 tahun akan meninggal dalam

jangka 5 tahun bila meninggalnya ditunda 10 tahun, jadi meninggal antara usia

30 dan 35 tahun. Jadi, individu yang berusia 20 tahun tersebut akan hidup

mencapai 30 tahun dan meninggal sebelum mencapai usia 35 tahun.

10. Harapan hidup ringkas (Curtate Expectation of Life) (𝑒𝑥)


62

Menyatakan rata-rata jumlah tahun yang lengkap yang masih akan dialami

oleh individu yang berusia 𝑥 tahun. Tahun yang lengkap artinya bahwa dalam

perhitungan harapan hidup hanya diperhitungkan tahun yang dialami penuh.

Misalkan, seorang individu lahir pada tanggal 2 Juli 1951 dan meninggal pada

tanggal 18 September 1984, maka dalam perhitungan harapan hidup ringkas,

individu tersebut dianggap meninggal pada tanggal 2 Juli 1984, sehingga

individu tersebut meninggal pada saat usia 31 tahun dan bukan 31.2 tahun. Jadi,

bagian tahun yang tidak dialami penuh dibuang (dalam contoh 0.2).

𝑒𝑥 =𝑙𝑥+1 + 𝑙𝑥+2 +⋯+ 𝑙𝑤

𝑙𝑥.

11. Penduga harapan hidup pada usia 𝑥 (�̅�𝑥).

�̅�𝑥 harapan hidup pada usia 𝑥 yang menyatakan rata-rata usia yang akan

didapatkan oleh individu-individu yang berusia 𝑥. Penduga harapan hidup pada

usia 𝑥 adalah

�̅�𝑥 = 𝑒𝑥 +1

2.

Tabel kehidupan populasi dapat dibangun untuk berbagai subkelompok.

Misalnya, ada tabel kehidupan yang dibangun berdasarkan jenis kelamin, ras,

penyebab kematian, juga sebagai orang-orang yang menghilangkan penyebab

kematian tertentu.

Data yang digunakan dalam Contoh 3.2 sampai dengan Contoh 3.5

menggunakan data Tabel Mortalitas Commissioners Standard Ordinary (CSO)

1914 yang berasal dari Amerika Serikat (Sembiring, 1986). Tabel Mortalitas CSO

1914 merupakan daftar tabel kehidupan current yang digunakan untuk mengetahui

besarnya kemungkinan timbulnya kerugian yang dikarenakan kematian, serta

meramalkan berapa lama batas waktu (umur) rata-rata seorang bisa hidup.

Contoh 3.2

Menggunakan Tabel CSO 1914 pada Lampiran 2, hitunglah banyaknya individu

yang meninggal pada saat 𝑥 = 0 (𝑙0) bila diketahui 1000𝑞0 = 22.58 dan 𝑙1 =

1000000 orang.


63

Solusi:

𝑑0 = 𝑙0 − 𝑙1 = 𝑙0𝑞0

Sehingga diperoleh 𝑙0(0.02258) = 𝑙0 − 1000000

atau, 𝑙0(1 − 0.02258) = 1000000

Sehingga 𝑙0 =1000000

1−0.02258= 1023102 orang

Dapat diperoleh

𝑑0 = 𝑙0 − 𝑙1 = 1023102 − 1000000 = 23102 orang

Jadi, banyaknya individu yang meninggal saat 𝑥 = 0 sebanyak 23102 orang.

Contoh 3.3

Dengan menggunakan Tabel CSO 1941, berapakah peluang seseorang berusia 40

tahun akan meninggal antara usia 55 dan 60 tahun?

Solusi:

Diketahui 𝑚 = 15, 𝑛 = 5 dan 𝑥 = 40.

Sehingga dapat diperoleh

𝑞𝑥 =𝑙𝑥+𝑚 − 𝑙𝑥+𝑚+𝑛

𝑙𝑥𝑚/𝑛

𝑞40 =𝑙40+15 − 𝑙40+15+5

𝑙40155

𝑞40 =𝑙55 − 𝑙60𝑙40

155

𝑞40 =754191 − 677771

883342= 0.0865115

5

Jadi, peluang sesorang berusia 40 tahun akan meninggal antara usia 55 dan 60 tahun

sebesar 0.08651.


64

Contoh 3.4

Hitunglah 𝑒95 untuk tabel CSO 1941!

Solusi:

Dari Tabel CSO 1941 diketahui bahwa 𝑙95 = 3011, 𝑙96 = 1818, 𝑙97 = 1005, 𝑙98 =

454 dan 𝑙99 = 125.

Sehingga, diperoleh

𝑒95 =𝑙96 + 𝑙97 + 𝑙98 + 𝑙99

𝑙95

𝑒95 =1818 + 1005 + 454 + 125

3001

𝑒95 =3402

3001

𝑒95 = 1.13 tahun

Jadi, harapan hidup ringkas dari individu yang berusia 95 tahun adalah 1.13

tahun.

Contoh 3.5

Hitunglah �̅�95 untuk tabel CSO 140!

Solusi:

Dari Contoh 3.4 telah diperoleh 𝑒95 = 1.13 tahun

Sehingga diperoleh

�̅�95 = 1.13 +1

2= 1.63 tahun.

Jadi, penduga harapan hidup dari individu yang berusia 95 tahun adalah 1.63 tahun.


65

2. Tabel Kehidupan Klinis

Tabel kehidupan klinis merupakan teknik dasar analisis ketahanan hidup yang

berhubungan dengan “waktu terjadinya peristiwa”. Contoh yang mendasar adalah

waktu kematian. Hal ini dapat digunakan untuk menentukan kemungkinan waktu

bertahan hidup setelah didiagnosis menderita sakit atau setelah memulai perawatan.

Peristiwa yang terjadi bisa merupakan kejadian kesehatan yang lain, tidak hanya

tentang kematian. Kejadian-kejadian lainnya bisa merupakan kambuhnya suatu

penyakit, penerimaan transplantasi organ, kehamilan (dalam studi infertilisasi),

kegagalan dalam pengobatan, pemulihan. Kejadian-kejadian tersebut meliputi

variabel waktu masuk dan (variabel waktu keluar/mati) penarikan individu dari

populasi dan dapat digunakan untuk menghitung probabilitas kumulatif kejadian

individu sembuh dari suatu penyakit, serta menghasilkan kurva ketahanan hidup.

Tabel kehidupan klinis terdiri dari:

1. Banyaknya individu yang hidup dan beresiko pada awal waktu 𝑡 (𝑛𝑡).

2. Banyaknya individu meninggal selama interval waktu 𝑡 (𝑑𝑡).

3. Probabilitas kematian selama interval waktu 𝑡 (𝑞𝑡 =𝑑𝑡

𝑛𝑡).

4. Probabilitas bertahan selama interval waktu 𝑡 (𝑝𝑡 = 1 − 𝑞𝑡).

5. Probabilitas kumulatif untuk ketahanan hidup pada awal interval waktu atau

pada akhir sebelum interval waktu 𝑡 (𝑆𝑡).

Pada awal penelitian (pada waktu 0), 𝑃(0) = 1.0, sehingga

𝑆𝑡+1 = 𝑝𝑡+1𝑆𝑡

Sebagai contoh:

Diketahui 𝑆1 = 1.0

Maka dapat dihitung

𝑆2 = 𝑝2𝑆1

𝑆3 = 𝑝3𝑆2

𝑆4 = 𝑝4𝑆3

6. Banyaknya individu yang tersensor dalam interval waktu 𝑡 (𝑐𝑡).

7. Banyaknya individu yang berisiko dalam interval waktu 𝑡 (𝑛𝑗′ = 𝑛𝑡 −

𝑐𝑡

2).

Untuk kasus ini, maka didapat


66

𝑞𝑡 =𝑑𝑡𝑛𝑗′ .

Pengamatan yang dilakukan dalam analisis ketahanan hidup memenuhi

percobaan Binomial dalam Definisi 2.9, yaitu:

1. Terdapat 𝑛 kali pengamatan.

2. Masing-masing pengamatan hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu “1”

untuk meninggal atau “0” untuk “hidup”.

3. Hasil dari masing-masing pengamatan saling bebas (hasil dari satu pengamatan

tidak memengaruhi hasil pengamatan lainnya).

4. Peluang ketahanan hidup dari seorang individu adalah 𝑆(𝑡) = 1 −

𝑃(individu meninggal saat waktu 𝑡).

5. Variabel acak 𝑋 merupakan banyaknya individu yang bertahan dalam setiap

pengamatan.

Data yang digunakan pada Contoh 3.6 sampai dengan Contoh 3.9 menggunakan

data pada Johns Hopkins Bloomberg School of Public Health.

Contoh 3.6

Suatu kelompok yang terdiri dari 200 pasien penyakit kanker diamati selama tiga

tahun. Peristiwa kematian terjadi sepanjang tiga tahun. Data terdapat pada Tabel

3.1 Tentukan probabilitas kumulatif bertahan hidup pada setiap tahun.

Tabel 3.1 Data Pasien Kanker

Waktu (tahun) Banyaknya individu

yang hidup

Banyaknya individu

yang meninggal

1 200 20

2 180 30

3 150 40


67

Solusi:

Dari data pada Tabel 3.1 dapat dihitung probabilitas bertahan hidup dan kematian

pasien selama tiga tahun yang ditunjukkan pada Tabel 3.2. Dari Tabel 3.2, dapat

diketahui probabilitas kumulatif untuk bertahan hidup di awal tahun, yaitu 1.0,

probabilitas kumulatif untuk bertahan hidup hingga awal tahun kedua atau akhir

tahun pertama , yaitu 0.9, probabilitas kumulatif untuk bertahan hidup pada awal

tahun ketiga, yaitu 0.75, dan probabilitas kumulatif untuk bertahan hidup pada awal

tahun keempat atau akhir tahun ketiga, yaitu 0.55.

Tabel 3.2 Tabel Probabilitas Pasien Kanker

Waktu

(tahun)

𝑑𝑡

1 200 20 0.10 0.90 0.90

2 180 30 0.17 0.83 0.75

3 150 40 0.27 0.73 0.55

Contoh 3.37

Dalam sebuah penelitian, terdapat 200 pasien kanker yang diamati selama tiga

tahun, bila terdapat pengamatan tersensor dalam penelitian tersebut, tentukan

probabilitas kumulatif ketahanan hidup pasien pada akhir tahun ketiga dari data

yang diberikan pada Tabel 3.3.

Tabel 3.3 Pasien Penyakit Kanker

Waktu (tahun)

Banyaknya individu

yang hidup

Banyaknya

individu yang

meninggal

Banyaknya

pengamatan

tersensor

1 200 20 50

2 130 30 40

𝑛𝑡 𝑞𝑡 𝑝

𝑡 𝑆𝑡


68

3 60 40 20

Solusi:

Probabilitas kumulatif bertahan hidup pada akhir tahun ketiga adalah 0.13.

Perhitungan data pada Tabel 3.3 ditunjukkan pada Tabel 3.4.

Tabel 3.4 Tabel Probabilitas Pasien Kanker dengan Pengamatan Tersensor

Waktu

(tahun)

𝑐𝑡 𝑛𝑡

′

1 200 20 50 175 0.11 0.89 0.89

2 130 30 40 110 0.27 0.73 0.64

3 60 40 20 50 0.80 0.20 0.13

Contoh 3.8

Terdapat 21 pasien penyakit Leukemia yang diikuti setelah perawatan dari waktu

ke waktu. Waktu dari pengobatan untuk kambuhnya suatu penyakit diamati untuk

semua pasien. Waktu remisi adalah 6, 6, 6, 6, 7, 8, 10, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20,

22, 23, 25, 32, 32, 34, 35. Data pasien penyakit Leukemia ditunjukkan pada Tabel

3.5.

Tabel 3.5 Data Pasien Leukemia

Waktu Banyaknya individu yang

hidup

Banyaknya individu yang

meninggal

0 – <6 21 0

6 – <12 21 9

12 – <18 12 3

18 – <24 9 4

24 – <30 5 1

𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑞𝑡 𝑝

𝑡 𝑆𝑡


69

30 – <36 4 4

Solusi:

Probabilitas kumulatif yang tetap berada pada remisi 24 bulan adalah 0.24 atau

24%. Perhitungan data pada Tabel 3.5 ditunjukkan pada Tabel 3.6.

Tabel 3.6 Tabel Probabilitas Pasien Leukemia

Waktu

0 – <6 21 0 0.00 1.00 1.00

6 – <12 21 9 0.43 0.57 0.57

12 – <18 12 3 0.25 0.75 0.43

18 – <24 9 4 0.44 0.56 0.24

24 – <30 5 1 0.20 0.80 0.19

30 – <36 4 4 1.00 0.00 0.00

Gambar 3.5 Grafik 𝑆𝑡

Pada Tabel 3.6 dapat dilihat bahwa pada interval waktu 18−< 24 memiliki

probabilitas kumulatif bertahan hidup 0.24. Kurva bertahan hidup pasien leukemia

dapat dilihat pada Gambar 3.5. Dari Gambar 3.5 dapat terlihat bahwa kurva turun

secara cepat sampai interval waktu 6−< 12. Saat interval waktu 12−< 18 sampai

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 6 12 18 24 30

Pro

bab

ilita

s K

etah

anan

Hid

up

Waktu (bulan)


𝑡 𝑆𝑡


70

interval waktu 30−< 36 kurva cenderung turun secara lambat. Hal ini terjadi

karena banyaknya individu yang meninggal pada interval waktu 12−< 18 sampai

interval waktu 30−< 36 tidak berbeda jauh.

Contoh 3.9

Terdapat 50 pasien dengan kulit melanoma diamati pada bulan Oktober, 1952 –

Juni, 1967. Penelitian dihentikan untuk pasien yang masuk pada 31, Desember

1969. Terdapat 20 kematian dan 30 pengamatan tersensor karena terdapat

withdraws atau lost-to follow up. Tentukan tingkat ketahanan hidup dua tahun dan

lima tahun. Data pasien kulit melanoma diberikan pada Tabel 3.7.

Tabel 3.7 Data Pasien Kulit Melanoma

Interval

waktu

Banyaknya individu

yang hidup

Banyaknya individu

yang meninggal

Banyaknya

pengamatan yang

tersensor

0 – <1 50 9 0

1 – <2 41 6 1

2 – <3 34 2 4

3 – <4 28 1 5

4 – <5 22 2 3

5 – <6 17 0 17

Solusi:

Ketahanan hidup pada tingkat tahun kedua adalah 0.70 atau 70% dan ketahanan

hidup pada tingkat tahun kelima adalah 0.57 atau 57%. Perhitungan data pada Tabel

3.7 ditunjukkan pada Tabel 3.8 dan grafik probabilitas diberikan pada Gambar 3.6


71

Tabel 3.8 Tabel Probabilitas Pasien Kulit Melanoma

Interval

Waktu

0 – <1 50 9 0 50.0 0.18 0.82 0.82

1 – <2 41 6 1 40.5 0.15 0.85 0.70

2 – <3 34 2 4 32.0 0.06 0.94 0.66

3 – <4 28 1 5 25.5 0.04 0.96 0.63

4 – <5 22 2 3 20.5 0.10 0.90 0.57

5 – <6 17 0 17 8.5 0.00 1.00 0.57

Gambar 3.6 Grafik 𝑆𝑡

Pada Tabel 3.7 dapat dilihat bahwa pada interval waktu 4−< 5 memiliki

probabilitas kumulatif bertahan hidup 0.57. Kurva peluang bertahan hidup pasien

kulit melanoma dapat dilihat pada Gambar 3.6. Dari Gambar 3.6 dapat terlihat

bahwa kurva turun secara lambat.

I. Fungsi Ketahanan Hidup berdasarkan Tabel Kehidupan

Langkah awal dalam analisis data ketahanan hidup adalah menyajikan

ringkasan numerik atau grafik dari waktu ketahanan bagi individu dalam kelompok

tertentu. Ringkasan tersebut sebagai awal analisis data ketahanan hidup yang lebih

rinci. Data ketahanan hidup dirangkum melalui pendekatan fungsi ketahanan hidup

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

0 1 2 3 4 5Pro

bab

ilita

s ke

tah

anan

hid

up

Waktu (tahun)


𝑡 𝑆𝑡 𝑐𝑡 𝑛𝑡

′


72

dan fungsi Hazard. Metode yang digunakan untuk memperkirakan fungsi ketahanan

hidup dan fungsi Hazard dari sampel tunggal data ketahanan hidup adalah metode

nonparametrik, didasarkan pada waktu ketahanan hidup yang dikelompokkan ke

dalam interval.

Misalkan 𝑗 adalah interval ke-𝑗 dari 𝑚 buah interval, 𝑗 = 1, 2, … ,𝑚, dan

misalkan 𝑑𝑗 menunjukkan banyaknya individu yang meninggal dalam interval dan

𝑐𝑗 menujukkan banyaknya individu yang tersensor. Misalkan pula 𝑛𝑗 merupakan

banyaknya individu yang hidup dan berisiko meninggal pada interval ke-𝑗. Rata-

rata banyaknya individu yang berisiko pada interval 𝑗 adalah

𝑛𝑗′ = 𝑛𝑗 −

𝑐𝑗

2. (3.21)

Dalam interval ke-𝑗, probabilitas kematian dapat diduga dengan

𝑑𝑗 𝑛𝑗′⁄ , sehingga probabilitas ketahanan hidup yang sesuai adalah (𝑛𝑗

′ − 𝑑𝑗) 𝑛𝑗′⁄ .

Penduga tabel kehidupan dari fungsi ketahanan hidup diberikan sebagai berikut

�̂�(𝑡) =∏(𝑛𝑗′ − 𝑑𝑗

𝑛𝑗′ )

𝑡𝑗<𝑡

(3.22)

Penduga tabel kehidupan dapat diturunkan menggunakan metode kemungkinan

maksimum (Definisi 2.29 dan Definisi 2.30) dari fungsi Hazard. Fungsi likelihood

untuk ℎ(𝑡1), ℎ(𝑡2), … , ℎ(𝑡𝑘) dengan ℎ(𝑡𝑘) merupakan fungsi Hazard pada waktu

ke-𝑘 adalah

𝐿[(ℎ(𝑡1), ℎ(𝑡2),… , ℎ(𝑡𝑘))] =∏ℎ(𝑡𝑗)𝑑𝑗[1 − ℎ(𝑡𝑗)]

𝑛𝑗′−𝑑𝑗

𝑘

𝑗=1

(3.23)

dengan 𝑑𝑗 adalah banyaknya individu yang meninggal dalam interval ke-𝑡𝑗 dan 𝑛𝑗′

adalah rata-rata jumlah individu yang berisiko pada interval ke-𝑡𝑗.

Selanjutnya akan dicari penduga untuk fungsi Hazard dengan mencari turunan

pertama dari 𝐿[(ℎ(𝑡1), ℎ(𝑡2),… , ℎ(𝑡𝑘))] terhadap ℎ(𝑡𝑗) dan menyelesaikan

persamaan tersebut untuk ℎ(𝑡𝑗) dengan terlebih dahulu mengubah persamaan

(3.23) dengan menggunakan transformasi logaritma.


73

𝑙𝑛𝐿[(ℎ(𝑡1), ℎ(𝑡2),… , ℎ(𝑡𝑘))] = 𝑙𝑛∏ℎ(𝑡𝑗)𝑑𝑗[1 − ℎ(𝑡𝑗)]


𝑘

𝑗=1

= ∑𝑑𝑗 ln ℎ (𝑡𝑗)

𝑘

𝑗=1

+ (𝑛𝑗′ − 𝑑𝑗) ln[1 − ℎ(𝑡𝑗)]

Selanjutnya, mengambil turunan pertama dari 𝐿[(ℎ(𝑡1), ℎ(𝑡2),… , ℎ(𝑡𝑘))] terhadap

ℎ(𝑡𝑗), yaitu

𝑑(𝑙𝑛𝐿[(ℎ(𝑡1), ℎ(𝑡2),… , ℎ(𝑡𝑘))])

𝑑 (ℎ(𝑡𝑗))=

𝑑𝑗

ℎ(𝑡𝑗)−(𝑛𝑗

′ − 𝑑𝑗)

1 − ℎ(𝑡𝑗)

Penyelesaian untuk ℎ(𝑡𝑗), yaitu

𝑑𝑗

ℎ(𝑡𝑗)−(𝑛𝑗

′ − 𝑑𝑗)

1 − ℎ(𝑡𝑗)= 0

𝑑𝑗 − 𝑛𝑗′ℎ(𝑡𝑗)

ℎ(𝑡𝑗) (1 − ℎ(𝑡𝑗))= 0 (3.24)

Pembuat nol dari persamaan (3.24) adalah 𝑑𝑗 − 𝑛𝑗′ℎ(𝑡𝑗) = 0, sehingga

𝑑𝑗 = 𝑛𝑗′ℎ(𝑡𝑗)

ℎ(𝑡𝑗) =𝑑𝑗

𝑛𝑗′

Sehingga diperoleh

ℎ̂(𝑡𝑗) =𝑑𝑗

𝑛𝑗′ (3.25)

Persamaan (3.20) menyatakan bahwa 𝑆(𝑡) = ∏ [1 − ℎ(𝑡𝑗)]𝑡𝑗<𝑡, sehingga �̂�(𝑡) =

∏ [1 − ℎ̂(𝑡𝑗)]𝑡𝑗<𝑡.

Kemudian substitusi persamaan (3.25) ke �̂�(𝑡) = ∏ [1 − ℎ̂(𝑡𝑗)]𝑡𝑗<𝑡, sehingga

diperoleh

�̂�(𝑡) =∏(1 −𝑑𝑗

𝑛𝑗′)

𝑡𝑗<𝑡

atau dapat ditulis


74

�̂�(𝑡) =∏(𝑛𝑗′ − 𝑑𝑗

𝑛𝑗′ )

𝑡𝑗<𝑡

.

Teorema 3.1

Penduga variansi untuk penduga tabel kehidupan adalah

�̂�[�̂�(𝑡)] ≈ [�̂�(𝑡)]2∑

𝑑𝑗

𝑛𝑗′(𝑛𝑗

′ − 𝑑𝑗)𝑡𝑗<𝑡

(3.26)

Standar eror dari penduga Tabel Kehidupan adalah akar kuadrat dari penduga

variansi untuk penduga Tabel Kehidupan.

Bukti:

Persamaan (3.22) menyatakan bahwa �̂�(𝑡) = ∏ (1 −𝑑𝑗

𝑛𝑗′)𝑡𝑗<𝑡

, dengan

menambahkan fungsi ln pada kedua ruas, diperoleh:

𝑙𝑛[�̂�(𝑡)] = ∑ 𝑙𝑛(1 − �̂�𝑗)

𝑡𝑗<𝑡

(3.27)

dimana �̂�𝑗 =𝑑𝑗

𝑛𝑗′.

Banyaknya individu yang bertahan hidup melalui interval yang dimulai pada 𝑡𝑗

dapat diasumsikan memiliki Distribusi Binomial dengan parameter 𝑛𝑗′ dan 𝑝𝑗,

dimana 𝑝𝑗 merupakan probabilitas bertahan hidup dalam interval. Banyaknya yang

bertahan dalam pengamatan adalah 𝑛𝑗′ − 𝑑𝑗 , dan menggunakan variansi dari

variabel acak binomial dengan parameter 𝑛, 𝑝 adalah 𝑛𝑝(1 − 𝑝), variansi 𝑛𝑗′ − 𝑑𝑗

diberikan oleh

𝑉(𝑛𝑗′ − 𝑑𝑗) = 𝑛𝑗

′𝑝𝑗(1 − 𝑝𝑗).

Karena �̂�𝑗 =𝑑𝑗

𝑛𝑗′, penduga variansi dari �̂�𝑗 adalah �̂� (


𝑛′𝑗2 ), yaitu,

𝑝𝑗(1−𝑝𝑗)

𝑛𝑗′ . Variansi

dari �̂�𝑗 bisa diduga dengan


75

�̂�(�̂�𝑗) =�̂�𝑗(1 − �̂�𝑗)

𝑛𝑗′ .

Karena �̂�(𝑡) merupakan fungsi dari �̂�𝑗, bisa dilakukan penduga dengan

menggunakan Metode Delta.

Metode Delta

Jika 𝑋𝑛 berdistribusi Normal dengan rata-rata 𝜇 dan variansi 𝜎2, 𝑔 dapat dibedakan

dan 𝑔′(𝜇) ≠ 0, maka 𝑔(𝑋𝑛) merupakan pendekatan distribusi Normal dengan rata-

rata 𝑔(𝜇) dan variansi [𝑔′(𝜇)]2𝜎2.

Contoh 3.6 Dua contoh spesifik dari Metode Delta

1. 𝑍 = 𝑙𝑛(𝑋)

Maka 𝑍~𝑁 [𝑙𝑛(𝜇) , (1

𝜇)2

𝜎2]

2. 𝑍 = 𝑒(𝑋)

Maka 𝑍~𝑁[𝑒𝜇 , (𝑒𝜇)2𝜎2]

Contoh 3.6 menggunakan hasil kalkulus berikut:

𝑑

𝑑𝑥𝑙𝑛 𝑢 =

1

𝑢(𝑑𝑢

𝑑𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑒𝑢 = 𝑒𝑢 (

𝑑𝑢

𝑑𝑥)

Dari persamaan (3.27) dapat dilakukan pendekatan dari �̂�𝑗, sehingga

�̂�[𝑙𝑛 �̂�(𝑡)] = ∑ �̂�[𝑙𝑛(1 − �̂�𝑗)]

𝑡𝑗<𝑡

= ∑ (1

1 − �̂�𝑗)

2

�̂�(�̂�𝑗)

𝑡𝑗<𝑡

= ∑ (1

1 − �̂�𝑗)

2

𝑡𝑗<𝑡

�̂�𝑗(1 − �̂�𝑗)

𝑛𝑗′


76

= ∑�̂�𝑗

(1 − �̂�𝑗)𝑛𝑗′

𝑡𝑗<𝑡

= ∑𝑑𝑗



.

Dengan menggunakan Metode Delta dengan 𝑔(𝑋) = 𝑒(�̂�(𝑡))

. Sehingga diperoleh

penduga variansi Tabel Kehidupan sebagai berikut

�̂�[�̂�(𝑡)] ≈ [�̂�(𝑡)]2�̂�[ln �̂�(𝑡)].

Penduga variansi untuk penduga Tabel Kehidupan disebut dengan Formula

Greenwood, yaitu

�̂�[�̂�(𝑡)] = [�̂�(𝑡)]2∑

𝑑𝑗



. ∎

Selang kepercayaan bagi �̂�(𝑡) diperoleh dengan mengasumsikan bahwa nilai

penduga dari fungsi ketahanan hidup pada 𝑡 berdistribusi Normal dengan rata-rata

�̂�(𝑡) dan standar eror √�̂�[�̂�(𝑡)]. Dengan demikian diperoleh kuantitas pivot 𝑍 =

�̂�(𝑡)−𝑆(𝑡)

√𝑉[�̂�(𝑡)] berdistribusi Normal standar, sehingga menurut persamaan (2.1) selang

kepercayaan untuk 𝑆(𝑡) yang memiliki koefesien kepercayaan sama dengan (1 −

𝛼) adalah

𝑃 (−𝑍𝛼2≤ 𝑍 ≤ 𝑍𝛼

2) = 1 − 𝛼

𝑃

(

−𝑍𝛼2≤�̂�(𝑡) − 𝑆(𝑡)

√�̂�[�̂�(𝑡)]

≤ 𝑍𝛼2

)

= 1 − 𝛼

𝑃 (−𝑍𝛼2√�̂�[�̂�(𝑡)] ≤ �̂�(𝑡) − 𝑆(𝑡) ≤ 𝑍𝛼

2√�̂�[�̂�(𝑡)]) = 1 − 𝛼


77

𝑃 (�̂�(𝑡) − 𝑍𝛼2√�̂�[�̂�(𝑡)] ≤ 𝑆(𝑡) ≤ �̂�(𝑡) + 𝑍𝛼

2√�̂�[�̂�(𝑡)]) = 1 − 𝛼

Jadi, selang kepercayaan 100(1 − 𝛼)% untuk 𝑆(𝑡) adalah

[�̂�(𝑡) − 𝑍𝛼 2⁄ √�̂�[�̂�(𝑡)], �̂�(𝑡) + 𝑍𝛼 2⁄ √�̂�[�̂�(𝑡)]] (3.28)

0

Gambar 3.7 Batas atas dan bawah titik 𝛼 2⁄ dari distribusi Normal standar

Interval dari 𝑆(𝑡) dapat ditunjukkan dalam suatu grafik dari penduga fungsi

ketahanan hidup seperti yang ditunjukkan pada Contoh 3.. Pada Tabel 3.9 dapat

dilihat bahwa �̂�(48) = 0.2124 dengan menggunakan persamaan (3.22). Dapat

juga dihitung interval kepercayaan 95% untuk peluang bertahan hidup pasien

penyakit myeloma dengan menggunakan persamaan (3.28), sehingga diperoleh

peluang bertahan hidup pasien myeloma terletak pada interval [0.0701, 0.3548 ].

Contoh 3.10 Ketahanan Hidup Pasien Myeloma

Dalam perhitungan pendugaan tabel kehidupan, hal yang perlu dipertimbangkan

adalah data waktu ketahanan hidup dari 48 pasien myeloma yang diberikan pada

Lampiran 3. Dalam gambaran ini, informasi yang dikumpulkan pada variabel

penjelas untuk setiap individu akan diabaikan.

Data pada Lampiran 3 (David, 2003) terdiri dari 48 pasien yang umurnya

berkisar antara 50 dan 80 tahun. Beberapa dari pasien tersebut bertahan sampai

pengamatan berakhir dan waktu ketahanan pasien tersebut termasuk dalam

penyensoran kanan. Status ketahanan hidup individu pada Tabel 3.1 ditunjukkan

𝛼

2

𝛼

2

𝑍𝛼2⁄

−𝑍𝛼2⁄


78

dengan 0 yang merupakan pengataman tersensor dan 1 merupakan kematian karena

penyakit myeloma. Pada saat diagnosis, nilai-nilai variabel penjelas untuk setiap

pasien telah dicatat. Variabel-variabel tersebut antara lain umur pasien (dalam

tahun), jenis kelamin (1 = laki-laki, 2 = perempuan), tingkat nitrogen urea dalam

darah (Bun), kalsium (Ca), hemoglobin (Hb), persentase sel plasma pada sumsum

tulang (Pcells), dan variabel indikator (Protein = Pro) yang menunjukkan apakah

protein Bence-Jones lebih baik atau tidak dalam urin (0 = tidak, 1 = baik).

Tujuan utama dari analisis data tersebut adalah untuk menyelidiki faktor resiko

Bun, Ca, Hb, Pcells, dan Pro dalam waktu ketahanan hidup pasien multiple

myeloma. Efek dari faktor-faktor risiko tersebut dapat dimodifikasi dengan umur

atau jenis kelamin pasien, dan sejauh mana hubungan antara ketahanan hidup dan

faktor-faktor penting yang berisiko untuk setiap jenis kelamin dan untuk setiap

kelompok umur yang dibutuhkan untuk pengamatan.

Waktu ketahanan hidup pertama kali dikelompokkan untuk mengetahui

banyaknya pasien yang meninggal, 𝑑𝑗 dan banyaknya yang disensor, 𝑐𝑗. Banyaknya

yang berisiko pada kematian disetiap interval 𝑛𝑗 dihitung bersama dengan angka

yang disesuaikan dengan banyaknya yang mengalami risiko, 𝑛𝑗′. Probabilitas

ketahanan hidup melalui interval yang telah diperkirakan dari fungsi ketahanan

hidup dapat diperoleh dengan menggunakan (3.22). Perhitungan ditunjukkan pada

Tabel 3.9, dimana jangka waktu diberikan dalam bulan.

Tabel 3.9 Pendekatan tabel kehidupan dari fungsi ketahanan untuk Contoh 3.1

Interval 𝑡 𝑑𝑗 𝑐𝑗 𝑛𝑗 𝑛𝑗′ �̂�(𝑡)

Batas

bawah

Batas

atas

1 0 16 4 48 46 0.6522 0.5265 0.7778

2 12 10 4 28 26 0.4013 0.2768 0.5258

3 24 1 0 14 14 0.3727 0.2429 0.5024

4 36 3 1 13 12.5 0.2832 0.1538 0.4127

5 48 2 2 9 8 0.2124 0.0701 0.3548


79

6 60 4 1 5 4.5 0.0236 -0.0023 0.0495

Grafik pendekatan tabel kehidupan dari fungsi ketahanan hidup ditunjukkan pada

Gambar 3.9

------ : batas atas

dan batas bawah

pada selang

kepercayaan bagi

𝑆(𝑡)

____ : �̂�(𝑡)

Gambar 3.8 Pendekatan Tabel Kehidupan dari Fungsi Ketahanan Hidup

Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada Tabel 3.9.

Pada Tabel 4.2 dapat dilihat bahwa �̂�(48 ) = 0.2124 dengan selang

kepercayaan 95% dengan batas bawah dan batas atas adalah [0.0701, 0.3548].

Pada Gambar 3.8 dapat dilihat bahwa peluang bertahan hidup pasien penyakit

myeloma turun melambat.


80

80

BAB IV

APLIKASI METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK MENENTUKAN

FUNGSI KETAHANAN HIDUP

A. Kanker

Menurut World Health Organization (who.int), kanker merupakan penyebab

utama kematian kedua di dunia dan saat ini diperkirakan terdapat 9.6 juta kematian

pada tahun 2018. Secara global, terdapat 1 dari 6 kematian yang disebabkan oleh

kanker. Sekitar 70% kematian yang disebabkan oleh kanker terjadi di negara yang

memiliki penghasilan rendah dan menengah. Sekitar sepertiga kematian yang

diakibatkan oleh kanker disebabkan oleh risiko pelaku, antara lain indeks massa

tubuh yang tinggi, asupan buah dan sayuran yang rendah, kurangnya aktivitas fisik,

penggunaan tembakau, dan penggunaan alkohol. Penggunaan tembakau

menyumbang 22% kematian yang diakibatkan oleh kanker.

Kanker adalah istilah umum untuk sekelompok besar penyakit yang dapat

memengaruhi setiap bagian tubuh. Istilah lain yang biasa digunakan adalah tumor

ganas dan neoplasma. Salah satu ciri khas kanker adalah pembentukan sel-sel

abnormal yang cepat di luar batas biasanya dan kemudian dapat menyerang bagian

tubuh lainnya dan menyebar ke organ lain, proses yang terakhir disebut sebagai

bermetastasis. Metastasis adalah penyebab utama kematian akibat kanker.

Kanker-kanker yang paling umum terjadi adalah:

1. Kanker paru-paru (2.09 juta kasus)

2. Kanker payudara (2.09 juta kasus)

3. Kanker kolorektal (1.80 juta kasus)

4. Kanker prostat (1.28 juta kasus)

5. Kanker kulit (non-melanoma) (1.04 juta kasus)

6. Kanker perut (1.03 juta kasus)

Penyebab paling umum kematian akibat kanker adalah:

1. Kanker paru-paru (1.76 juta kematian)

2. Kanker kolorektal (862000 kematian)

3. Kanker perut (783000 kematian)


81

81

4. Kanker hati (782000 kematian)

5. Kanker payudara (627000 kematian)

Kanker adalah sekelompok penyakit yang menyebabkan sel-sel dalam tubuh

berubah dan berkembang biak di luar kendali. Sebagian besar jenis sel kanker

akhirnya membentuk benjolan atau massa yang disebut tumor, d an dinamai setelah

bagian tubuh tempat tumor berasal.

Kanker payudara merupakan jenis kanker yang dimulai di jaringan payudara,

yang berisi kelenjar untuk memroduksi susu, yang disebut lobulus, saluran yang

menguhubungkan lobulus ke puting. Kanker dimulai ketika sel-sel mulai tumbuh

diluar kendali. Kanker payudara dapat menyebar ketika sel-sel kanker masuk ke

dalam darah atau sistem getah bening dan dibawa ke bagian lain dari tubuh. Sel-sel

kanker payudara biasanya membentuk tumor yang dapat terlihat saat dirontgen atau

dapat dirasakan dengan adanya benjolan. Kanker payudara terjadi hampir

seluruhnya pada wanita, tetapi pria juga bisa terkena kanker payudara.

Gejala-gejala yang muncul sebagai tanda seseorang mengalami kanker

payudara antara lain adanya benjolan kecil di dalam payudara, tidak terasa sakit dan

bila diraba benjolan tersebut terasa keras. Pada momen tertentu, keluar cairan dari

puting susu atau puting susu tiba-tiba tertarik ke dalam. Kulit di daerah puting

berubah menjadi lebih kasar seperti kulit jeruk. Seiring berjalannya waktu, kelenjar

disela ketiak membesar dan seluruh payudara mengeras, sakit dan menjadi merah.

Bila belum juga mendapatkan pengobatan akan menjadi koreng yang mengeluarkan

darah dan nanah. Pada saat gejala ini sudah menyerang, benih kanker mungkin

sudah berada di tulang, paru-paru, hati, dan otak.

Faktor-faktor peningkatan risiko kanker payudara antara lain jenis kelamin,

usia, riwayat keluarga, menopause lanjut, obesitas, pascamenopause, penggunaan

estrogen kombinasi dan hormon menopause progestin, merokok, dan konsumsi

alkohol yang dimodifikasi. Hormon reproduksi dianggap memengaruhi risiko

kanker payudara dengan meningkatkan proliferasi sel, sehingga meningkatkan

kemungkinan kerusakan DNA, serta mendorong pertumbuhan kanker.

Hal yang dapat dilakukan untuk mengurangi risiko kanker payudara adalah

dengan melakukan aktivitas fisik secara teratur dan meminimalkan asupan alkohol.


82

Wanita yang memilih menyusui untuk jangka waktu yang lama juga dapat

mengurangi risiko kanker payudara.

Kanker payudara dapat diobati dengan beberapa tindakan, antara lain operasi,

terapi radiasi, terapi sistemik, kemoterapi, terapi hormonal, atau terapi target.

Operasi kanker payudara memiliki tujuan utama yaitu untuk menghilangkan kanker

dari payudara dan untuk menentukan stadium penyakit. Terapi radiasi adalah

penggunaan sinar atau partikel berenergi tinggi untuk membunuh sel kanker.

Radiasi dapat digunakan setelah operasi penyembuhan yang berpotensi untuk

menghancurkan sel-sel kanker yang tersisa di payudara, dinding dada, atau daerah

ketiak. Terapi sistemik adalah obat rawat jalan yang dilakukan melalui aliran darah,

berpotensi memengaruhi semua bagian tubuh, dan bekerja menggunakan

mekanisme yang berbeda. Manfaat kemoterapi tergantung pada banyak faktor,

termasuk ukuran kanker, jumlah kelenjar getah bening yang terlibat, adanya

reseptor estrogen atau progesteron, dan jumlah protein HER2 yang dibuat oleh sel

kanker. Tergantung pada kombinasi obat yang digunakan, kemoterapi biasanya

diberikan selama tiga hingga enam bulan. Kemoterapi paling efektif ketika dosis

penuh dan siklus obat selesai tepat waktu. Terapi hormon digunakan untuk

menurunkan kadar estrogen atau untuk memblokir efek estrogen (hormon yang

diproduksi oleh indung telur, mendorong pertumbuhan banyak kanker payudara)

pada pertumbuhan sel kanker payudara. Terapi target adalah pengobatan kanker

yang secara khusus menggunakan obat atau zat lainnya yang digunakan untuk

menghalangi sinyal kimia di tingkat sel dimana pertumbuhan dan pembelahan sel

kanker terjadi.

B. Sumber Data

Penelitian ini menggunakan data hasil penelitian Girik Allo, Caecilia B. (2017).

Data diperoleh dari hasil rekam medik Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yaitu

berjumlah 483 pasien penyakit kanker payudara pada tahun 2014-2016. Data terdiri

dari 168 pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan 315 pasien kanker

payudara yang tidak mengikuti kemoterapi. Data yang diperoleh akan digunakan


83

penulis untuk mengkonstruksi tabel kehidupan dan menentukan fungsi ketahanan

hidup pasien yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi.

Selain itu penulis juga akan membagi pasien kanker payudara ke dalam

masing-masing tingkat stadium. Pada hasil penelitian Girik Allo, Caecilia B.

(2017), digunakan metode SRS (Simple Random Sample), yaitu dengan undian

untuk mengambil sampel mengenai stadium pasien. Dari metode tersebut diperoleh

118 sampel pasien kanker payudara, tetapi hanya 70 sampel pasien yang diketahui

stadiumnya, diantaranya 40 pasien yang mengikuti kemoterapi dan 30 pasien yang

tidak mengikuti kemoterapi.

Penulis juga akan membagi banyaknya penderita kanker payudara ke dalam

lima kelompok umur yang akan diperlihatkan dalam Tabel 4.1.

Tabel 4.1 Pengelompokkan Pasien Kanker Payudara ke dalam Lima

Kelompok Umur.

Umur Kemo Non Kemo Total

23-35 14 20 34

36-45 39 63 102

46-55 58 110 168

56-65 43 84 127

66-89 14 38 52

Total 168 315 483

Tabel 4.1 memperlihatkan bahwa pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti

Rapih tahun 2014-2016 paling banyak dialami pada rentan umur 46-55 dan 56-65

karena dengan selisih 10 tahun total pasien kanker payudara mencapai 168 pasien

dan 127 pasien. Pada tabel selanjutnya, akan diperlihatkan banyaknya pasien yang

dikelompokkan berdasarkan tingkat stadium. Pasien terdiri dari 70 sampel pasien

kanker payudara dari 118 pasien yang diketahui stadiumnya. Tabel 4.2 akan

memperlihatkan banyaknya pasien kanker payudara yang dikelompokkan ke dalam

lima kelompok umur dan 4 tingkat stadium.


84

Tabel 4.2 Pengelompokkan Pasien Kanker Payudara ke dalam Lima

Kelompok Umur dan Tingkat Stadium.

Stadium Umur Kemo Non Kemo Total

Stadium 1

23-35 0 0 0

36-45 0 0 0

46-55 0 0 0

56-65 0 0 0

66-89 0 0 0

Stadium 2

23-35 0 0 0

36-45 0 2 2

46-55 2 1 3

56-65 1 2 3

66-89 0 0 0

Stadium 3

23-35 0 1 1

36-45 4 1 5

46-55 3 2 5

56-65 3 5 8

66-89 1 1 2

Stadium 4

23-35 4 1 5

36-45 7 5 12

46-55 10 4 14

56-65 4 5 9

66-89 1 0 1

Total 40 30 70

Tabel 4.2 memperlihatkan bahwa tidak ada sampel pasien kanker payudara pada

stadium 1. Hal ini menandakan bahwa pasien kanker payudara pada stadium 1

masih sangat jarang melakukan pemeriksaan ke rumah sakit. Pasien mulai

melakukan pemeriksaan ke rumah sakit pada tingkat stadium 2. Selanjutnya

diperoleh pasien kanker payudara stadium 2 sebanyak 8 pasien, stadium 3 sebanyak

21 pasien dan stadium 4 sebanyak 41 pasien. Hal ini, berarti pasien kanker paling


85

banyak terjadi saat mencapai stadium 4. Pada rentang umur 23-35 terdapat total

pasien kanker payudara yang masuk ke dalam sampel sebanyak 6 pasien, rentang

umur 36-45 terdapat total pasien kanker payudara yang masuk ke dalam sampel

sebanyak 19 pasien, rentang umur 46-55 terdapat total pasien kanker payudara yang

masuk ke dalam sampel sebanyak 22 pasien, rentang umur 56-65 terdapat total

pasien kanker payudara yang masuk ke dalam sampel sebanyak 20 pasien dan

rentang umur 66-89 terdapat total pasien kanker payudara yang masuk ke dalam

sampel sebanyak 3 pasien. Hal ini menunjukkan bahwa pasien kanker payudara

yang masuk ke dalam sampel paling banyak terjadi pada rentang umur 46-55.

C. Ketahanan Hidup Pasien Penderita Kanker Payudara

Dalam perhitungan ketahanan hidup pasien kanker payudara, digunakan

Metode Tabel Kehidupan m enggunakan persamaan (3.21), yaitu

�̂�(𝑡) =∏(𝑛𝑗′ − 𝑑𝑗

𝑛𝑗′ )

𝑡𝑗<𝑡

dengan

�̂�(𝑡): peluang bertahan hidup pasien kanker payudara lebih dari selang ke-𝑗.

𝑑𝑗: banyaknya pasien kanker payudara yang meninggal pada selang ke-𝑗.

𝑛𝑗: banyaknya pasien kanker payudara yang hidup dan berisiko meninggal pada

interval ke- 𝑗.

𝑛𝑗′: rata-rata banyaknya individu yang berisiko pada selang ke-𝑗.

Selanjutnya akan dihitung peluang bertahan hidup pasien kanker payudara hingga

selang kepercayaan 95% bagi 𝑆(𝑡) pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti

Rapih Yogyakarta dengan menggunakan persamaan (3.28), yaitu

[�̂�(𝑡) − 𝑍𝛼 2⁄ √�̂�[�̂�(𝑡)], �̂�(𝑡) + 𝑍𝛼 2⁄ √�̂�[�̂�(𝑡)]]


86

dengan �̂�[�̂�(𝑡)] ditunjukkan pada Teorema 3.1, yaitu

�̂�[�̂�(𝑡)] ≈ [�̂�(𝑡)]2∑

𝑑𝑗


′ − 𝑑𝑗)

𝑘

𝑗=1

dengan 𝛼 = 0.05 dan 𝑧𝛼 2⁄ = 1.96.

Pada pembahasan ini digunakan tabel kehidupan klinis dan akan ditinjau:

1. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016

Pada bagian ini, penulis akan menyusun tabel kehidupan pasien kanker payudara

pada tahun 2014-2016 tanpa pengelompokkan pasien yang mengikuti

kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi. Penyusunan tabel kehidupan

digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22), diperoleh hasil

perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara pada tahun 2014-2016

yang dapat dilihat pada tabel Lampiran 5.

Dari tabel Lampiran 5 dapat digambarkan kurva ketahanan hidup pasien kanker

payudara pada tahun 2014-2016 pada Gambar 4.1.

------ : batas atas

dan batas bawah

pada selang

kepercayaan bagi

𝑆(𝑡)

____ : �̂�(𝑡)

Gambar 4.1 Kurva Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016.


87

Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada tabel

Lampiran 5. Pada tabel Lampiran 5 dapat dilihat bahwa �̂�(96) = 0.3023483

dengan selang kepercayaan 95% yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal

ini berarti pasien kanker payudara dengan semua perlakuan (tidak kemoterapi

dan kemoterapi) memiliki peluang bertahan hidup yang terletak pada selang

[0.1027, 0.5020]. Pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa peluang bertahan hidup

pasien penyakit kanker payudara dengan semua perlakuan turun melambat.

Dalam kurun waktu 964 hari, probabilitas ketahanan hidup pasien kanker

payudara dengan semua perilaku (tidak kemoterapi dan kemoterapi) berkurang

menjadi ±1

3 probabilitas pada selang pertama.

2. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara 2014-2016 yang Tidak Mengikuti

Kemoterapi.


pada tahun 2014-2016 yang tidak mengikuti kemoterapi. Penyusunan tabel

kehidupan digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22),

diperoleh hasil perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara yang tidak

mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016 yang dapat dilihat pada tabel

Lampiran 6.


88


payudara pada tahun 2014-2016 pada Gambar 4.2

------ : batas atas

dan batas bawah

pada selang

kepercayaan

bagi 𝑆(𝑡)

____ : �̂�(𝑡)

Gambar 4.2 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016

yang Tidak Mengikuti Kemoterapi.

Perhitungan yang terdapat pada tabel Lampiran 6 dilakukan hanya sampai selang

ke-89, hal ini terjadi karena setelah selang ke-89 perhitungan menunjukkan hasil

0 untuk semua kolom, sehingga persamaan (3.22) tidak terdefinisi. Pada kasus

ini, selang kepercayaan untuk selang ke-89 tidak dapat dicari karena adanya

pembagian dengan 0 pada persamaan (3.26). Dapat dilihat bahwa �̂�(89) = 0,

hal ini berarti peluang hidup pasien kanker payudara melebihi selang ke-89 atau

memasuki waktu 881 hari adalah 0. Apabila dilihat dari kurva pada Gambar 4.2,

terlihat bahwa kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara yang tidak

mengikuti kemoterapi turun secara cepat sampai selang ke-31 atau memasuki

waktu 301 hari. Saat selang ke-31 sampai selang ke-89 probabilitas ketahanan

hidup konstan yaitu 0.36664 yang terletak pada selang kepercayaan

[0.1985, 0.5348] , kemudian menurun secara tajam menuju ke-0. Hal ini

disebabkan karena pada saat memasuki 𝑡 = 881 banyaknya individu yang


89

meninggal dan rata-rata banyaknya individu yang bertahan sama, yaitu 𝑑𝑗 =

𝑛𝑗′ = 1.

3. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016 yang Mengikuti

Kemoterapi.


pada tahun 2014-2016 yang mengikuti kemoterapi. Penyusunan tabel kehidupan


perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi

pada tahun 2014-2016 yang dapat dilihat pada tabel Lampiran 7.


payudara pada pada Gambar 4.3.

------ : batas atas

dan batas bawah

pada selang

kepercayaan

bagi 𝑆(𝑡)

____ : �̂�(𝑡)

Gambar 4.3 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016

yang Mengikuti Kemoterapi.

Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada table lampiran

7. Pada table lampiran 7 dapat dilihat bahwa �̂�(96) = 0.26197 dengan selang

kepercayaan 95% yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal ini berarti

pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi memiliki peluang bertahan

hidup yang terletak pada selang [−0.0492, 0.5732], dengan mengambil nilai

positif peluang, selangnya menjadi [0, 0.5732]. Pada Gambar 4.3 dapat dilihat


90

bahwa peluang bertahan hidup pasien penyakit kanker payudara yang mengikuti

kemoterapi turun melambat.

4. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016

yang Mengikuti Kemoterapi dan Tidak Mengikuti Kemoterapi.

Pada bagian ini, penulis membandingkan peluang bertahan hidup pasien kanker

payudara yang mengikuti kemoterapi dan tidak mengikuti kemoterapi.

Perbandingan peluang bertahan hidup pasien kanker yang tidak mengikuti

kemoterapi dan yang mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada tabel lampiran 6

dan tabel lampiran 7. Kurva perbandingan pasien kanker yang mengikuti

kemoterapi dan tidak mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada Gambar 4.4.

Gambar 4.4 Kurva Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara

Tahun 2014-2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan Tidak Mengikuti

Kemoterapi.

Pada Gambar 4.4 dapat terlihat bahwa kurva peluang ketahanan hidup pasien

kanker yang tidak mengikuti kemoterapi selalu berada di bawah kurva pasien

kanker yang mengikuti kemoterapi. Terlihat pula pada saat selang ke-89 kurva

peluang bertahan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti

kemoterapi turun tajam. Selain itu pada Gambar 4.4 dapat terlihat pula bahwa


91

kurva yang dibentuk dari pasien kanker payudara yang tidak mengikuti

kemoterapi dan yang mengikuti kemoterapi semakin lama semakin

menunjukkan jarak yang cukup jauh. Pada saat selang ke-31 pada pasien kanker

payudara yang tidak mengikuti kemoterapi menunjukkan peluang ketahanan

hidup sebesar �̂�(31) = 0.36664, sedangkan pada pasien yang mengikuti

kemoterapi �̂�(31) = 0.85719. Hal ini menunjukkan bahwa peluang bertahan

hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi lebih besar

dibandingkan dengan pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi,

atau dengan kata lain kemoterapi dapat meningkatkan ketahanan hidup pasien

kanker payudara. Pada Metode Kaplan-Meier yang terdapat pada Skripsi Girik

Allo, Caecilia B.(2017), didapatkan kurva ketahanan hidup pasien kanker

payudara yang tidak mengikuti kemoterapi turun tajam menuju 0 pada saat 𝑡 =

883, sedangkan pada metode tabel kehidupan didapatkan bahwa kurva

ketahanan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi turun

tajam menuju 0 pada saat selang ke-89, yaitu pada saat 𝑡 = 881. Meskipun

demikian, hasil yang didapat menunjukkan hal yang sama bahwa pasien kanker

payudara yang mengikuti kemoterapi memiliki peluang ketahanan hidup yang

lebih tinggi daripada pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi.



stadium 2 pada tahun 2014-2016. Penyusunan tabel kehidupan digunakan

dengan selang 10 hari. Sampel yang diperoleh dalam penelitian Girik Allo,

Caecilia B. (2017) menunjukkan bahwa tidak ada pasien kanker payudara yang

meninggal pada tingkat stadium 2. Hal ini mengakibatkan nilai �̂�(𝑡) untuk semua

𝑡 yang diperoleh sama dengan saat 𝑡 = 0, yaitu �̂�(0) = 1. Hal ini tidak memiliki

arti, karena 𝑡 = 0 merupakan kondisi awal penelitian. Kondisi �̂�(0) = 1 berlaku

juga untuk pasien kanker payudara stadium 2 yang mengikuti kemoterapi dan

yang tidak mengikuti kemoterapi.


92



stadium 3 pada tahun 2014-2016. Penyusunan tabel kehidupan digunakan

dengan selang 10 hari. Sampel yang diperoleh dalam penelitian Girik Allo,

Caecilia B. (2017) juga menunjukkan bahwa tidak ada pasien kanker payudara

yang meninggal pada tingkat stadium 3. Hal ini mengakibatkan hal yang sama

pada tingkat stadium 2, yaitu nilai �̂�(𝑡) untuk semua 𝑡 yang diperoleh sama

dengan saat 𝑡 = 0, yaitu �̂�(0) = 1. Hal ini tidak memiliki arti, karena 𝑡 = 0

merupakan kondisi awal penelitian. Kondisi �̂�(0) = 1 berlaku juga untuk pasien

kanker payudara stadium 3 yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti

kemoterapi.

7. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 Tahun 2014-2016.


stadium 4 pada tahun 2014-2016 tanpa pengelompokkan pasien yang mengikuti

kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi. Penyusunan tabel kehidupan


perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara stadium 4 pada tahun 2014-

2016 yang dapat dilihat pada tabel Lampiran 12.




93

------ : batas

atas

dan batas

bawah

pada selang

kepercayaan

bagi 𝑆(𝑡)

____ : �̂�(𝑡)

Gambar 4.5 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 Tahun

2014-2016.

Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada tabel

Lampiran 5. Pada tabel Lampiran 5 dapat dilihat bahwa �̂�(89) = 0.082 dengan

selang kepercayaan 95% yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal ini

berarti pasien kanker payudara dengan semua perlakuan (tidak kemoterapi dan

kemoterapi) memiliki peluang bertahan hidup yang terletak pada selang

[−0.0575, 0.2215], dengan mengambil nilai positif peluang, selangnya menjadi

[0, 0.2215], Pada Gambar 4.5 dapat dilihat bahwa peluang bertahan hidup

pasien penyakit kanker payudara dengan semua perlakuan turun melambat.

8. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak Mngikuti

Kemoterapi Tahun 2014-2016.


stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016. Penyusunan

tabel kehidupan digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22),

diperoleh hasil perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara stadium 4

yang tidak mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016 yang dapat dilihat pada

tabel Lampiran 13.


94


payudara pada pada Gambar 4.6

------ : batas

atas

dan batas

bawah

pada selang

kepercayaan

bagi 𝑆(𝑡)

____ : �̂�(𝑡)

Gambar 4.6 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak

Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016.

Perhitungan yang terdapat pada tabel Lampiran 13 dilakukan hanya sampai

selang ke-89, hal ini terjadi karena setelah selang ke-89 perhitungan

menunjukkan hasil 0 untuk semua kolom, sehingga persamaan (3.22) tidak

terdefinisi. Pada kasus ini, selang kepercayaan untuk selang ke-89 tidak dapat

dicari karena adanya pembagian dengan 0 pada persamaan (3.26). Dapat dilihat

bahwa �̂�(89) = 0, hal ini berarti peluang hidup pasien kanker payudara melebihi

selang ke-89 atau memasuki waktu 881 hari adalah 0. Apabila dilihat dari kurva

pada Gambar 4.6, terlihat bahwa kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara

stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi turun secara cepat sampai selang ke-

3 atau memasuki 𝑡 = 31. Saat selang ke-3 sampai selang ke-22 atau memasuki

𝑡 = 211 probabilitas ketahanan hidup konstan yaitu 0.589 yang terletak pada

kemudian menurun secara tajam menuju selang ke-25 atau memasuki 𝑡 = 241.

Saat selang ke-25 sampai selang ke-88 atau memasuki 𝑡 = 871 probabilitas

ketahanan hidup konstan yaitu 0.295. Kurva stabil dalam waktu yang cukup

lama disebabkan karena tidak ada individu yang meninggal dalam rentang waktu

tersebut. Saat selang ke-89 atau memasuki 𝑡 = 881 kurva turun tajam menuju


95

ke-0. Hal ini disebabkan karena pada saat memasuki 𝑡 = 881 banyaknya

individu yang meninggal dan rata-rata banyaknya individu yang bertahan sama,

yaitu 𝑑𝑗 = 𝑛𝑗′ = 1.

9. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mngikuti



stadium 4 yang mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016. Penyusunan tabel

kehidupan digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22),

diperoleh hasil perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara stadium 4

yang mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016 yang dapat dilihat pada tabel

Lampiran 14.



------ : batas

atas

dan batas

bawah

pada selang

kepercayaan

bagi 𝑆(𝑡)

____ : �̂�(𝑡)

Gambar 4.7 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang



96

Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada tabel lampiran

14. Pada tabel lampiran 14 dapat dilihat bahwa �̂�(89) = 0.083 dengan selang

kepercayaan 95% yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal ini berarti

pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi memiliki peluang bertahan

hidup yang terletak pada selang [−0.07, 0.2365], dengan mengambil nilai

positif peluang, selangnya menjadi [0, 0.2365]. Pada Gambar 4.7 dapat dilihat

bahwa peluang bertahan hidup pasien penyakit kanker payudara stadium 4 yang

mengikuti kemoterapi turun melambat.


Tidak Mngikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016.

Pada bagian ini, penulis membandingkan peluang bertahan hidup pasien

kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi dan mengikuti

kemoterapi. Perbandingan peluang bertahan hidup pasien kanker yang tidak

mengikuti kemoterapi dan yang mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada tabel

lampiran 13 dan dan tabel lampiran 14. Kurva perbandingan pasien kanker

payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi dan tidak mengikuti

kemoterapi dapat dilihat pada Gambar 4.8.


97

Gambar 4.8 Kurva Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara

Stadium 4 yang Tidak Mengikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi

Tahun 2014-2016.

Pada Gambar 4.8 dapat terlihat bahwa kurva peluang ketahanan hidup pasien

kanker yang tidak mengikuti kemoterapi cenderung di bawah kurva pasien

kanker yang mengikuti kemoterapi. Terlihat pula pada saat selang ke-89 kurva

peluang bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti

kemoterapi turun tajam. Pada saat selang ke-31 pada pasien kanker payudara

yang tidak mengikuti kemoterapi menunjukkan peluang ketahanan hidup sebesar

�̂�(31) = 0.295, sedangkan pada pasien yang mengikuti kemoterapi �̂�(31) =

0.555. Pada saat selang ke-59 atau saat 𝑡 = 581, selang ke-67 atau saat 𝑡 = 661

dan selang ke-78 atau saat 𝑡 = 771 probabilitas ketahanan pasien kanker

payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi lebih rendah daripada pasien

kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi. Namun, pada saat

selang ke-89, probabilitas ketahanan pasien kanker payudara stadium 4 yang

tidak mengikuti kemoterapi turun tajam menuju ke-0. Bila dibandingkan dengan

kurva ketahanan pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi,

kurva yang dihasilkan turun secara melambat. Hal ini menunjukkan bahwa


98

probabilitas ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti

kemoterapi lebih tinggi dibandingkan dengan pasien kanker payudara yang tidak

mengikuti kemoterapi.



Pada bagian ini, penulis membandingkan persentase bertahan hidup pasien

kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi dan mengikuti kemoterapi.

Kurva perbandingan pasien kanker payudara stadium yang mengikuti

kemoterapi dan tidak mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada Gambar 4.8.

Gambar 4.9 Kurva Perbandingan Persentase Ketahanan Hidup Pasien

Kanker Payudara yang Tidak Mengikuti Kemoterapi dan Mengikuti


Pada Gambar 4.9 dapat terlihat bahwa kurva persentase ketahanan hidup pasien

kanker yang tidak mengikuti kemoterapi selalu berada di bawah kurva pasien

kanker yang mengikuti kemoterapi. Hal ini menunjukkan bahwa persentase

bertahan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi lebih besar

dibandingkan dengan pasien kanker payudara yang tidak mengikuti

kemoterapi.


99



Pada bagian ini, penulis membandingkan persentase bertahan hidup pasien

kanker payudara stadium 4 tidak mengikuti kemoterapi dan mengikuti

kemoterapi. Kurva perbandingan pasien kanker payudara stadium yang

mengikuti kemoterapi dan tidak mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada

Gambar 4.10.

Gambar 4.10 Kurva Perbandingan Persentase Ketahanan Hidup Pasien

Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak Mengikuti Kemoterapi dan


Pada Gambar 4.10 dapat terlihat bahwa kurva persentase ketahanan hidup

pasien kanker stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi selalu berada di

bawah kurva pasien kanker yang mengikuti kemoterapi. Hal ini menunjukkan

bahwa persentase bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang

mengikuti kemoterapi lebih besar dibandingkan dengan pasien kanker

payudara yang tidak mengikuti kemoterapi.


100

Pembahasan selanjutnya, akan memperlihatkan persentase kematian pasien kanker

payudara yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi yang

diperlihatkan pada Tabel 4.3, begitu juga pasien kanker payudara stadium 4 yang

tersedia pada Tabel 4.4.

Tabel 4.3 Persentase Kematian Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti

Kemoterapi Dan yang Tidak Mengikuti Kemoterapi.

Umur

Kemo Non Kemo

Jumlah

Pasien % Meninggal

Jumlah

Pasien % Meninggal

23-35 14 21.4 20 15

36-45 39 10.3 63 17.5

46-55 58 17.2 110 17.3

56-65 43 7 84 15.5

66-89 14 7.1 38 21.1

Total 168 315

Tabel 4.4 Persentase Kematian Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang

Mengikuti Kemoterapi Dan yang Tidak Mengikuti Kemoterapi.

Umur

Kemo Non Kemo

Jumlah

Pasien % Meninggal

Jumlah

Pasien % Meninggal

23-35 4 75 1 100

36-45 7 42.9 5 60

46-55 10 70 4 75

56-65 4 50 5 20

66-89 1 0 0 -

Total 168

315

Pada Tabel 4.3 dapat diduga bahwa tidak ada pengaruh umur terhadap persentase

pasien kanker payudara yang meninggal untuk pasien yang mengikuti kemoterapi

dan yang tidak mengikuti kemoterapi. Hal tersebut dapat dilihat bahwa tidak ada

pola yang menunjukkan semakin umur pasien semakin tinggi, maka persentase


101

pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti

kemoterapi untuk pasien yang meninggal akan semakin tinggi. Hal ini ternyata juga

berlaku untuk pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi dan

yang tidak mengikuti kemoterapi yang tersedia pada Tabel. 4.4.


102

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Kanker merupakan salah satu penyakit yang menyebabkan kematian terbesar

dan terus meningkat di dunia. Kanker-kanker yang umum terjadi adalah kanker

paru-paru, kanker payudara, kanker kolorektal, kanker prostat, kanker kulit dan

kanker perut. Salah satu alternatif pengobatan yang digunakan untuk mengatasi

kanker adalah dengan melakukan kemoterapi.

Analisis ketahanan hidup merupakan metode statistika yang digunakan untuk

mempelajari kejadian dan waktu kejadian. Pada bidang kesehatan, kejadian dalam

analisis ketahanan hidup yang dimakasud adalah kematian karna suatu penyakit,

kambuhnya suatu penyakit, atau karena munculnya suatu penyakit yang baru.

Waktu ketahanan dalam analisis ketahanan hidup dikenal juga dengan waktu

kegagalan atau failure time.

Tabel kehidupan merupakan tabel yang memberikan pengukuran untuk angka

kematian dan menggambarkan ketahanan hidup dalam suatu populasi. Tabel

kehidupan terdiri atas tabel kehidupan populasi dan tabel kehidupan klinis.

Data yang digunakan dalam tugas akhir ini merupakan data yang diperoleh dari

rekam medik rumah sakit yaitu pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih

Yogyakarta pada tahun 2014-2016. Pasien kanker payudara sebanyak 483 pasien

yang diantaranya sebanyak 168 melakukan kemoterapi dan sebanyak 315 tidak

melakukan kemoterapi.

Dari hasil olah data, dapat disimpulkan bahwa pasien kanker payudara yang

mengikuti kemoterapi memiliki peluang bertahan hidup yang lebih tinggi daripada

pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi. Saat diambil sampel

pasien kanker payudara diperoleh 70 sampel pasien kanker payudara yang diketahui

stadiumnya dari 118 pasien yang terpilih, terdiri dari 40 pasien kanker payudara

yang mengikuti kemoterapi dan 30 pasien kanker payudara yang tidak mengikuti

kemoterapi. Kesimpulan yang sama dihasilkan pula untuk pasien kanker payudara

stadium 4, yaitu pasien kanker payudara staidum 4 yang mengikuti kemoterapi

memiliki peluang bertahan hidup yang lebih tinggi daripada pasien kanker payudara


103

stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi. Hal ini menunjukkan bahwa

kemoterapi dapat meningkatkan waktu ketahanan penderita kanker payudara atau

dapat memperpanjang waktu hidup penderita kanker payudara.

B. Saran

Saran untuk peneliti selanjutnya adalah bisa digunakan metode tabel kehidupan

dalam bidang ekonomi atau bisa juga digunakan untuk aplikasi pada sensus

penduduk.


104

DAFTAR PUSTAKA

Allison, Paul D. (1995). Survival Analysis Using SAS. North Carolina: SAS

Institute, Inc.

Bain, L.J. & Max Engelhardt. (1992). Introduction to Probability and Mathematical

Statistics. Duxbury: Thomson Learning.

Collect, David. (2003). Modelling Survival Data in Medical Research. 2nd Edition.

London: Chapman & Hall/CRC.

Elandts-Johnson,R.C. dan L.J.,Norman. (1979). Survival Models and Data

Analysis. New York: John Wiley and Sons INC.

Girik Allo, Caecilia B. (2017). Aplikasi Metode Kaplan Meier untuk Menduga

Selang Waktu Ketahanan Hidup (Studi Kasus: Pasien Kanker Payudara di

Rumah Sakit Panti Rapih). Skripsi. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi.

Kleinbaum, David G. & Mitchel Klein. (2005). Survival Analysis: A Self Learning

Text (Second Edition). New York: Springer.

Lee, Elista T. & John Wenyu Wang. (2003). Statistical Methods For Survival

Data Analysis (Third Edition). Chichester: John Wiley & Sons INC.

Lawless, Jerald F. (2003). Statistical Models adn Methods For Lifetime Data. 2nd

Edition. Chichester: John Wiley & Sons.

Liu, Xian. (2012). Survival Analysis Models and Applications. Chichester: John

Wiley & Sons.

Oswari, E. (2003). Penyakit dan Penanggulangannya. Jakarta: Balai Penerbit

FKUI, Jakarta.

Ramachandran, K.M. & Chris P. Tsokos. (2009). Mathematical Statistics with

Applications. Burlington: Elsevier Academic Press.

Sembiring, R.K. (1986). Buku Materi Pokok Asuransi I. Jakarta: Penerbit Karunika

Jakarta.

Wakerly, Denis D, et al. (2008). Mathematical Statistics With Applications. 7nd

Edition. Duxubury: Thompson Brooks.

Williams, David. (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge

University Press.


105

Wu, Jianrong. (2018). Statistical Methods for Survival Trial Design With

Applications to Cancer Clinical Trials Using R. New York: Taylor and Francis

Group.

World Health Organization. (who.int). Diakses pada tanggal 19 Februari 2020.

American Cancer Soeciety (Breast and Figures 2019-2020). (cancer.org). Diakses

pada tanggal 19 Februari 2020.

Bumrungrad International Hospital.

(bumrungrad.com/id/treatments/targeted.theraphy). Diakses pada tanggal 19

Februari 2020.


106

106

LAMPIRAN

Lampiran 1: Tabel Distribusi Normal

Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0 0.5 0.496 0.492 0.488 0.484 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641

0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247

0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.409 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859

0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.352 0.3483

0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.33 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121

0.5 0.3085 0.305 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.281 0.2776

0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451

0.7 0.242 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148

0.8 0.2119 0.209 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867

0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.166 0.1635 0.1611

1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379

1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.123 0.121 0.119 0.117

1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.102 0.1003 0.0985

1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823

1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0722 0.0708 0.0694 0.0681

1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.063 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559

1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455

1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367

1.8 0.0359 0.0352 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294

1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.025 0.0244 0.0239 0.0233

2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183

2.1 0.0179 0.0174 0.017 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.015 0.0146 0.0143


107

2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.011

2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084

2.4 0.0082 0.008 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064

2.5 0.0062 0.006 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048

2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.004 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036

2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.003 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026

2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.002 0.0019

2.9 0.0019 0.0018 0.0017 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014

3 0.00135

3.5 0.000233

4 0.0000317

4.5 0.0000034

5 0.000000287


108

Lampiran 2: Tabel CSO 1914

𝑥 𝑙𝑥 𝑑𝑥 𝑞𝑥 1000𝑞𝑥

0 1023102 23102 0.02258 22.58035

1 1000000 5770 0.00577 5.77

2 994230 4116 0.00414 4.139887

3 990114 3347 0.00338 3.380419

4 986767 2950 0.00299 2.989561

5 983817 2715 0.00276 2.75966

6 981102 2561 0.00261 2.61033

7 978541 2417 0.00247 2.470004

8 976124 2255 0.00231 2.310157

9 973869 2065 0.00212 2.120408

10 971804 1914 0.00197 1.969533

11 969890 1852 0.001909 1.909495

12 968038 1859 0.00192 1.920379

13 966179 1913 0.00198 1.979964

14 964266 1996 0.00207 2.069968

15 962270 2069 0.00215 2.150124

16 960201 2103 0.00219 2.190166

17 958098 2156 0.00225 2.250292

18 955942 2199 0.0023 2.300349

19 953743 2260 0.00237 2.369611

20 951483 2312 0.00243 2.429891

21 949171 2382 0.00251 2.509558

22 946789 2452 0.00259 2.589806

23 944337 2531 0.00268 2.680187

24 941806 2609 0.00277 2.77021

25 939197 2705 0.00288 2.88012

26 936492 2800 0.00299 2.989881

27 933692 2904 0.00311 3.110233


109

28 930788 3025 0.00325 3.249934

29 927763 3154 0.0034 3.399575

30 924609 3292 0.00356 3.560424

31 921317 3437 0.003731 3.730529

32 917880 3598 0.00392 3.919902

33 914282 3767 0.00412 4.120173

34 910515 3961 0.00435 4.350285

35 906554 4161 0.00459 4.589909

36 902393 4386 0.00486 4.86041

37 898007 4625 0.00515 5.150294

38 893382 4878 0.00546 5.46015

39 888504 5162 0.00581 5.809766

40 883342 5459 0.00618 6.179939

41 877883 5785 0.00659 6.589716

42 872098 6131 0.00703 7.030173

43 865967 6503 0.00751 7.509524

44 859464 6910 0.00804 8.039895

45 852554 7340 0.008609 8.609425

46 845214 7801 0.00923 9.229615

47 837413 8299 0.00991 9.910283

48 829114 8822 0.01064 10.64027

49 820292 9392 0.01145 11.44958

50 810900 9990 0.01232 12.31964

51 800910 10628 0.01327 13.26991

52 790282 11301 0.0143 14.29996

53 778981 12020 0.01543 15.43041

54 766961 12770 0.01665 16.65013

55 754191 13560 0.01798 17.97953

56 740631 14390 0.019429 19.42938

57 726241 15251 0.021 20.99992

58 710990 16147 0.022711 22.71059


110

59 694843 17072 0.02457 24.56958

60 677771 18022 0.02659 26.5901

61 659749 18988 0.028781 28.78064

62 640761 19979 0.03118 31.18011

63 620782 20958 0.033761 33.76064

64 599824 21942 0.036581 36.58073

65 577882 22907 0.03964 39.63958

66 554975 23842 0.04296 42.96049

67 531133 24730 0.046561 46.56084

68 506403 25553 0.05046 50.45981

69 480850 26302 0.054699 54.69897

70 454548 26955 0.059301 59.30067

71 427593 27481 0.064269 64.26906

72 400112 27872 0.06966 69.6605

73 372240 28104 0.0755 75.49968

74 344136 28154 0.081811 81.81068

75 315982 28009 0.088641 88.64113

76 287973 27651 0.096019 96.01942

77 260322 27071 0.10399 103.9904

78 233251 26262 0.112591 112.5912

79 206989 25224 0.121862 121.8615

80 181765 23966 0.131852 131.8516

81 157799 22502 0.142599 142.5991

82 135297 20857 0.154157 154.1572

83 114440 19062 0.166568 166.5676

84 95378 17157 0.179884 179.8843

85 78221 15185 0.194129 194.1295

86 63036 13198 0.209372 209.3724

87 49838 11245 0.225631 225.631

88 38593 9378 0.242997 242.9974

89 29215 7638 0.261441 261.441


111

90 21577 6063 0.280994 280.9937

91 15514 4681 0.301727 301.7275

92 10833 3506 0.323641 323.6407

93 7327 2540 0.346663 346.663

94 4787 1776 0.371005 371.0048

95 3011 1193 0.396214 396.2139

96 1818 813 0.447195 447.1947

97 1005 551 0.548259 548.2587

98 454 329 0.72467 724.6696

99 125 125 1 1000


Lampiran 3: Waktu ketahanan pada pengamatan pasien myeloma

Pasien Waktu

ketahanan Status Umur

Jenis

kelamin Bun Ca Hb Pcells Pro

1 13 1 66 1 25 10 14.6 18 1

2 52 0 66 1 13 11 12 100 0

3 6 1 53 2 15 13 11.4 33 1

4 40 1 69 1 10 10 10.2 30 1

5 10 1 65 1 20 10 13.2 66 0

6 7 0 57 2 12 8 9.9 45 0

7 66 1 52 1 21 10 12.8 11 1

8 10 0 60 1 41 9 14 70 1

9 10 1 70 1 37 12 7.5 47 0

10 14 1 70 1 40 11 10.6 27 0

11 16 1 68 1 39 10 11.2 41 0

12 4 1 50 2 172 9 10.1 46 1

13 65 1 59 1 28 9 6.6 66 0

14 5 1 60 1 13 10 9.7 25 0

15 11 0 66 2 25 9 8.8 23 0

16 10 1 51 2 12 9 9.6 80 0

17 15 0 55 1 14 9 13 8 0

18 5 1 67 2 26 8 10.4 49 0

19 76 0 60 1 12 12 14 9 0

20 56 0 66 1 18 11 12.4 90 0

21 88 1 63 1 21 9 14 42 1

22 24 1 67 1 10 10 12.4 44 0

23 51 1 60 2 10 10 10.1 45 1

24 4 1 74 1 48 9 6.5 54 0

25 40 0 72 1 57 9 12.8 28 1

26 8 1 55 1 53 12 8.2 55 0

27 18 1 51 1 12 15 14.4 100 0


113

28 5 1 70 2 130 8 10.2 23 0

29 16 1 53 1 17 9 10 28 0

30 50 1 74 1 37 13 7.7 11 1

31 40 1 70 2 14 9 5 22 0

32 1 1 67 1 165 10 9.4 90 0

33 36 1 63 1 40 9 11 16 1

34 5 1 77 1 23 8 9 29 0

35 10 1 61 1 13 10 14 19 0

36 91 1 58 2 27 11 11 26 1

37 18 0 69 2 21 10 10.8 33 0

38 1 1 57 1 20 9 5.1 100 1

39 18 0 59 2 21 10 13 100 0

40 6 1 61 2 11 10 5.1 100 0

41 1 1 75 1 56 12 11.3 18 0

42 23 1 56 2 20 9 14.6 3 0

43 15 1 62 2 21 10 8.8 5 0

44 18 1 60 2 18 9 7.5 85 1

45 12 0 71 2 46 9 4.9 62 0

46 12 1 60 2 6 10 5.5 25 0

47 17 1 65 2 28 8 7.5 8 0

48 3 0 59 1 90 10 10.2 6 1


114

Lampiran 4: List Program Tabel Kehidupan dari Pasien Myeloma

> myeloma<-read.csv(file.choose()header=Tsep=";")

> myeloma

Selang Jangka.waktu St Batas.bawah Batas.atas

1 0 0.652174 0.526527724 0.7778201

2 -12 0.401338 0.276846428 0.52582916

3 -24 0.372671 0.242949297 0.50239232

4 -36 0.28323 0.15375571 0.41270392

5 -48 0.212422 0.070072131 0.35477259

6 -60 0.023602 -0.002337778 0.04954275

> attach(myeloma)

> plot.ts(Stxlab="Selang ke-" ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")

> lines(Batas.bawah pch=22 lty=2)

> lines(Batas.atas pch=22 lty=2)


115

Lampiran 5: Tabel kehidupan pasien kanker payudara pada tahun 2014-2016

Tabel yang tersedia merupakan tabel kehidupan dengan selang waktu 10 hari.

Selang Jangka

waktu 𝑑𝑗 𝑐𝑗 𝑛𝑗 𝑛𝑗

′ �̂�(𝑡) Batas

bawah

Batas

atas

1 0 26 198 483 384 0.9322917 0.9072 0.9574

2 11 10 13 259 252.5 0.8953692 0.8624 0.9283

3 21 1 19 236 226.5 0.8914162 0.8577 0.9251

4 31 4 2 216 215 0.8748317 0.8380 0.9116

5 41 0 13 210 203.5 0.8748317 0.8380 0.9116

6 51 3 1 197 196.5 0.8614755 0.8223 0.9007

7 61 1 8 193 189 0.8569174 0.8169 0.8969

8 71 1 5 184 181.5 0.8521961 0.8114 0.8930

9 81 1 11 178 172.5 0.8472558 0.8055 0.8890

10 91 3 4 166 164 0.8317572 0.7873 0.8763

11 101 0 8 159 155 0.8317572 0.7873 0.8763

12 111 0 5 151 148.5 0.8317572 0.7873 0.8763

13 121 0 7 146 142.5 0.8317572 0.7873 0.8763

14 131 2 7 139 135.5 0.8194804 0.7725 0.8665

15 141 0 9 130 125.5 0.8194804 0.7725 0.8665

16 151 1 12 121 115 0.8123545 0.7637 0.8610

17 161 2 4 108 106 0.797027 0.7449 0.8492

18 171 2 5 102 99.5 0.7810064 0.7254 0.8366

19 181 0 2 95 94 0.7810064 0.7254 0.8366

20 191 1 3 93 91.5 0.7724708 0.7150 0.8299

21 201 0 2 89 88 0.7724708 0.7150 0.8299


116

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

22 211 0 6 87 84 0.7724708 0.7150 0.8299

23 221 2 2 81 80 0.753159 0.6912 0.8151

24 231 2 3 77 75.5 0.7332078 0.6670 0.7994

25 241 1 3 72 70.5 0.7228077 0.6545 0.7911

26 251 1 1 68 67.5 0.7120994 0.6416 0.7826

27 261 0 0 66 66 0.7120994 0.6416 0.7826

28 271 0 1 66 65.5 0.7120994 0.6416 0.7826

29 281 1 4 65 63 0.7007962 0.6281 0.7735

30 291 1 3 60 58.5 0.6888168 0.6136 0.7640

31 301 1 1 56 55.5 0.6764057 0.5987 0.7541

32 311 0 3 54 52.5 0.6764057 0.5987 0.7541

33 321 0 0 51 51 0.6764057 0.5987 0.7541

34 331 0 3 51 49.5 0.6764057 0.5987 0.7541

35 341 0 0 48 48 0.6764057 0.5987 0.7541

36 351 0 1 48 47.5 0.6764057 0.5987 0.7541

37 361 0 2 47 46 0.6764057 0.5987 0.7541

38 371 0 4 45 43 0.6764057 0.5987 0.7541

39 381 0 2 41 40 0.6764057 0.5987 0.7541

40 391 0 5 39 36.5 0.6764057 0.5987 0.7541

41 401 0 1 34 33.5 0.6764057 0.5987 0.7541

42 411 0 0 33 33 0.6764057 0.5987 0.7541

43 421 0 0 33 33 0.6764057 0.5987 0.7541

44 431 0 2 33 32 0.6764057 0.5987 0.7541


117

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

45 441 0 1 31 30.5 0.6764057 0.5987 0.7541

46 451 0 0 30 30 0.6764057 0.5987 0.7541

47 461 1 2 30 29 0.6530814 0.5657 0.7405

48 471 0 4 27 25 0.6530814 0.5657 0.7405

49 481 0 0 23 23 0.6530814 0.5657 0.7405

50 491 1 0 23 23 0.6246865 0.5249 0.7245

51 501 0 0 22 22 0.6246865 0.5249 0.7245

52 511 0 1 22 21.5 0.6246865 0.5249 0.7245

53 521 0 2 21 20 0.6246865 0.5249 0.7245

54 531 0 1 19 18.5 0.6246865 0.5249 0.7245

55 541 0 0 18 18 0.6246865 0.5249 0.7245

56 551 0 1 18 17.5 0.6246865 0.5249 0.7245

57 561 0 2 17 16 0.6246865 0.5249 0.7245

58 571 1 0 15 15 0.5830408 0.4610 0.7051

59 581 1 0 14 14 0.541395 0.4035 0.6793

60 591 0 1 13 12.5 0.541395 0.4035 0.6793

61 601 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793

62 611 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793

63 621 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793

64 631 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793

65 641 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793

66 651 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793

67 661 1 0 12 12 0.4962787 0.3441 0.6484


118

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

68 671 0 0 11 11 0.4962787 0.3441 0.6484

69 681 0 0 11 11 0.4962787 0.3441 0.6484

70 691 0 0 11 11 0.4962787 0.3441 0.6484

71 701 0 1 11 10.5 0.4962787 0.3441 0.6484

72 711 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484

73 721 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484

74 731 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484

75 741 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484

76 751 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484

77 761 1 0 10 10 0.4466509 0.2815 0.6118

78 771 0 0 9 9 0.4466509 0.2815 0.6118

79 781 0 0 9 9 0.4466509 0.2815 0.6118

80 791 0 0 9 9 0.4466509 0.2815 0.6118

81 801 0 0 9 9 0.4466509 0.2815 0.6118

82 811 0 2 9 8 0.4466509 0.2815 0.6118

83 821 0 0 7 7 0.4466509 0.2815 0.6118

84 831 0 0 7 7 0.4466509 0.2815 0.6118

85 841 1 1 7 6.5 0.3779354 0.1912 0.5647

86 851 0 0 5 5 0.3779354 0.1912 0.5647

87 861 0 0 5 5 0.3779354 0.1912 0.5647

88 871 0 0 5 5 0.3779354 0.1912 0.5647

89 881 1 0 5 5 0.3023483 0.1027 0.5020

90 891 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020


119

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

91 901 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020

92 911 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020

93 921 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020

94 931 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020

95 941 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020

96 951 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020

97 961 0 1 4 3.5 0.3023483 0.1027 0.5020


120


yang tidak mengikuti kemoterapi


Interval Jangka



bawah

Batas

atas

1 0 26 188 315 221 0.8823529 0.8399 0.9248

2 11 10 11 101 95.5 0.78996 0.7238 0.8562

3 21 1 9 80 75.5 0.7794969 0.7111 0.8479

4 31 3 2 70 69 0.7456057 0.6702 0.8210

5 41 0 5 65 62.5 0.7456057 0.6702 0.8210

6 51 2 1 60 59.5 0.7205434 0.6400 0.8010

7 61 0 2 57 56 0.7205434 0.6400 0.8010

8 71 0 2 55 54 0.7205434 0.6400 0.8010

9 81 0 5 53 50.5 0.7205434 0.6400 0.8010

10 91 1 4 48 46 0.7048794 0.6205 0.7893

11 101 0 4 43 41 0.7048794 0.6205 0.7893

12 111 0 2 39 38 0.7048794 0.6205 0.7893

13 121 0 3 37 35.5 0.7048794 0.6205 0.7893

14 131 1 3 34 32.5 0.6831908 0.5913 0.7751

15 141 0 0 30 30 0.6831908 0.5913 0.7751

16 151 0 4 30 28 0.6831908 0.5913 0.7751

17 161 1 0 26 26 0.6569142 0.5551 0.7587

18 171 1 1 25 24.5 0.6301014 0.5197 0.7405

19 181 0 1 23 22.5 0.6301014 0.5197 0.7405

20 191 0 1 22 21.5 0.6301014 0.5197 0.7405

21 201 0 1 21 20.5 0.6301014 0.5197 0.7405

22 211 0 1 20 19.5 0.6301014 0.5197 0.7405

23 221 2 0 19 19 0.5637749 0.4322 0.6953

24 231 1 0 17 17 0.5306117 0.3917 0.6696

25 241 1 1 16 15.5 0.4963787 0.3511 0.6417


121

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

26 251 1 0 14 14 0.4609231 0.3103 0.6115

27 261 0 0 13 13 0.4609231 0.3103 0.6115

28 271 0 1 13 12.5 0.4609231 0.3103 0.6115

29 281 1 2 12 11 0.419021 0.2613 0.5768

30 291 0 1 9 8.5 0.419021 0.2613 0.5768

31 301 1 0 8 8 0.3666433 0.1985 0.5348

32 311 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348

33 321 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348

34 331 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348

35 341 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348

36 351 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348

37 361 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348

38 371 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348

39 381 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348

40 391 0 1 7 6.5 0.3666433 0.1985 0.5348

41 401 0 0 6 6 0.3666433 0.1985 0.5348

42 411 0 0 6 6 0.3666433 0.1985 0.5348

43 421 0 2 6 5 0.3666433 0.1985 0.5348

44 431 0 0 4 4 0.3666433 0.1985 0.5348

45 441 0 1 4 3.5 0.3666433 0.1985 0.5348

46 451 0 0 3 3 0.3666433 0.1985 0.5348

47 461 0 0 3 3 0.3666433 0.1985 0.5348

48 471 0 1 3 2.5 0.3666433 0.1985 0.5348

49 481 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

50 491 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

51 501 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

52 511 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

53 521 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

54 531 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348


122

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

55 541 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

56 551 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

57 561 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

58 571 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

59 581 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

60 591 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

61 601 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

62 611 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

63 621 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

64 631 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

65 641 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

66 651 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

67 661 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

68 671 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

69 681 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

70 691 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

71 701 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

72 711 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

73 721 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

74 731 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

75 741 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

76 751 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

77 761 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

78 771 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

79 781 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

80 791 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

81 801 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348

82 811 0 1 2 1.5 0.3666433 0.1985 0.5348

83 821 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348


123

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

84 831 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348

85 841 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348

86 851 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348

87 861 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348

88 871 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348

89 881 1 0 1 1 0 NaN NaN


124


yang mengikuti kemoterapi


Interval Jangka



bawah

Batas

atas

1 0 0 10 168 163 1 1.0000 1.0000

2 11 0 2 158 157 1 1.0000 1.0000

3 21 0 10 156 151 1 1.0000 1.0000

4 31 1 0 146 146 0.99315 0.9798 1.0065

5 41 0 8 145 141 0.99315 0.9798 1.0065

6 51 1 0 137 137 0.9859 0.9665 1.0053

7 61 1 6 136 133 0.97849 0.9544 1.0026

8 71 1 3 129 127.5 0.97081 0.9426 0.9990

9 81 1 6 125 122 0.96286 0.9309 0.9949

10 91 2 0 118 118 0.94654 0.9079 0.9852

11 101 0 4 116 114 0.94654 0.9079 0.9852

12 111 0 3 112 110.5 0.94654 0.9079 0.9852

13 121 0 4 109 107 0.94654 0.9079 0.9852

14 131 1 4 105 103 0.93735 0.8951 0.9796

15 141 0 9 100 95.5 0.93735 0.8951 0.9796

16 151 1 8 91 87 0.92657 0.8798 0.9733

17 161 1 4 82 80 0.91499 0.8636 0.9664

18 171 1 4 77 75 0.90279 0.8468 0.9588

19 181 0 1 72 71.5 0.90279 0.8468 0.9588

20 191 1 2 71 70 0.88989 0.8293 0.9505


125

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

21 201 0 1 68 67.5 0.88989 0.8293 0.9505

22 211 0 5 67 64.5 0.88989 0.8293 0.9505

23 221 0 2 62 61 0.88989 0.8293 0.9505

24 231 1 3 60 58.5 0.87468 0.8082 0.9412

25 241 0 2 56 55 0.87468 0.8082 0.9412

26 251 0 1 54 53.5 0.87468 0.8082 0.9412

27 261 0 0 53 53 0.87468 0.8082 0.9412

28 271 0 0 53 53 0.87468 0.8082 0.9412

29 281 0 2 53 52 0.87468 0.8082 0.9412

30 291 1 2 51 50 0.85719 0.7837 0.9307

31 301 0 1 48 47.5 0.85719 0.7837 0.9307

32 311 0 3 47 45.5 0.85719 0.7837 0.9307

33 321 0 0 44 44 0.85719 0.7837 0.9307

34 331 0 3 44 42.5 0.85719 0.7837 0.9307

35 341 0 0 41 41 0.85719 0.7837 0.9307

36 351 0 1 41 40.5 0.85719 0.7837 0.9307

37 361 0 2 40 39 0.85719 0.7837 0.9307

38 371 0 4 38 36 0.85719 0.7837 0.9307

39 381 0 2 34 33 0.85719 0.7837 0.9307

40 391 0 4 32 30 0.85719 0.7837 0.9307

41 401 0 1 28 27.5 0.85719 0.7837 0.9307

42 411 0 0 27 27 0.85719 0.7837 0.9307

43 421 0 0 27 27 0.85719 0.7837 0.9307


126

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

44 431 0 2 27 26 0.85719 0.7837 0.9307

45 441 0 0 25 25 0.85719 0.7837 0.9307

46 451 0 0 25 25 0.85719 0.7837 0.9307

47 461 1 2 25 24 0.82147 0.7232 0.9197

48 471 0 3 22 20.5 0.82147 0.7232 0.9197

49 481 0 0 19 19 0.82147 0.7232 0.9197

50 491 1 0 19 19 0.77824 0.6539 0.9026

51 501 0 0 18 18 0.77824 0.6539 0.9026

52 511 0 1 18 17.5 0.77824 0.6539 0.9026

53 521 0 2 17 16 0.77824 0.6539 0.9026

54 531 0 1 15 14.5 0.77824 0.6539 0.9026

55 541 0 0 14 14 0.77824 0.6539 0.9026

56 551 0 1 14 13.5 0.77824 0.6539 0.9026

57 561 0 2 13 12 0.77824 0.6539 0.9026

58 571 1 0 11 11 0.70749 0.5335 0.8815

59 581 1 0 10 10 0.63674 0.4322 0.8412

60 591 0 1 9 8.5 0.63674 0.4322 0.8412

61 601 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412

62 611 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412

63 621 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412

64 631 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412

65 641 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412

66 651 0 1 8 7.5 0.63674 0.4322 0.8412


127

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

67 661 1 0 7 7 0.54578 0.3050 0.7865

68 671 0 0 6 6 0.54578 0.3050 0.7865

69 681 0 0 6 6 0.54578 0.3050 0.7865

70 691 0 0 6 6 0.54578 0.3050 0.7865

71 701 0 1 6 5.5 0.54578 0.3050 0.7865

72 711 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865

73 721 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865

74 731 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865

75 741 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865

76 751 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865

77 761 1 0 5 5 0.43662 0.1651 0.7081

78 771 0 0 4 4 0.43662 0.1651 0.7081

79 781 0 0 4 4 0.43662 0.1651 0.7081

80 791 0 0 4 4 0.43662 0.1651 0.7081

81 801 0 0 4 4 0.43662 0.1651 0.7081

82 811 0 1 4 3.5 0.43662 0.1651 0.7081

83 821 0 0 3 3 0.43662 0.1651 0.7081

84 831 0 0 3 3 0.43662 0.1651 0.7081

85 841 1 1 3 2.5 0.26197 -0.0492 0.5732

86 851 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

87 861 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

88 871 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

89 881 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732


128

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

90 891 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

91 901 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

92 911 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

93 921 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

94 931 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

95 941 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

96 951 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732

97 961 0 1 1 0.5 0.26197 -0.0492 0.5732


129

Lampiran 8: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara pada

tahun 2014-2016

> kanker<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")

> attach(kanker)

> plot.ts(St,xlab="Selang ke-" ,ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")

> lines(Batas.bawah, xlab="Selang ke-" ,ylab="SurvivalProbability",pch=22,lty=2

)

> lines(Batas.atas, xlab="Selang ke-", ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2 )


130

Lampiran 9: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara yang

tidak mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016

> data2<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")

> attach(data2)

> plot.ts(Nonkemo,xlab="Selang ke-",ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")

> lines(Batas.atas,xlab="Selang ke-",ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2 )

> lines(Batas.bawah,xlab="Selang ke-",ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2


131

Lampiran 10: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara yang

mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016

> data<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")

> attach(data)

> plot.ts(Kemo,xlab="Selang ke-" ,ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")

> lines(Batas.atas, xlab="Selang ke-" ,ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2 )

> lines(Batas.bawah, xlab="Selang ke-",ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2

)


132

Lampiran 11: List Program Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker

Payudara Tahun 2014-2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan Tidak

Mengikuti Kemoterapi

> data2<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")

> attach(data2)


> attach(data)

> plot1<-plot.ts(Kemo,xlab="Selang ke-" ,ylab="Probabilitas Ketahanan

Hidup",col="red")

> lines(Nonkemo,xlab="Selang ke-",ylab="Survival Probability",col="blue" )

> legend("topright",c("Kemo","Tidak Kemo"),col=c("red","blue"),lty=1:1)


133

Lampiran 12: Tabel Kehidupan Pasien Kanker Payudara Stadium 4 tahun

2014-2016


Selang Jangka



bawah

Batas

atas

1 0 1 5 41 38.5 0.974 0.9238 1.0243

2 11 3 1 35 34.5 0.889 0.7869 0.9918

3 21 0 1 31 30.5 0.889 0.7869 0.9918

4 31 2 0 30 30 0.830 0.7058 0.9543

5 41 0 1 28 27.5 0.830 0.7058 0.9543

6 51 0 0 27 27 0.830 0.7058 0.9543

7 61 0 0 27 27 0.830 0.7058 0.9543

8 71 1 0 27 27 0.799 0.6658 0.9328

9 81 1 1 26 25.5 0.768 0.6263 0.9096

10 91 1 0 24 24 0.736 0.5869 0.8850

11 101 0 1 23 22.5 0.736 0.5869 0.8850

12 111 0 1 22 21.5 0.736 0.5869 0.8850

13 121 0 0 21 21 0.736 0.5869 0.8850

14 131 0 1 21 20.5 0.736 0.5869 0.8850

15 141 0 0 20 20 0.736 0.5869 0.8850

16 151 1 0 20 20 0.699 0.5411 0.8572

17 161 1 0 19 19 0.662 0.4970 0.8277

18 171 1 0 18 18 0.626 0.4544 0.7968

19 181 0 0 17 17 0.626 0.4544 0.7968

20 191 1 0 17 17 0.589 0.4131 0.7644

21 201 0 0 16 16 0.589 0.4131 0.7644

22 211 0 0 16 16 0.589 0.4131 0.7644

23 221 1 0 16 16 0.552 0.3731 0.7308

24 231 1 0 15 15 0.515 0.3343 0.6961

25 241 1 0 14 14 0.478 0.2966 0.6602


134

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

26 251 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602

27 261 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602

28 271 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602

29 281 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602

30 291 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602

31 301 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602

32 311 0 1 13 12.5 0.478 0.2966 0.6602

33 321 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602

34 331 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602

35 341 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602

36 351 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602

37 361 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602

38 371 0 1 12 11.5 0.478 0.2966 0.6602

39 381 0 1 11 10.5 0.478 0.2966 0.6602

40 391 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602

41 401 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602

42 411 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602

43 421 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602

44 431 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602

45 441 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602

46 451 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602

47 461 1 0 10 10 0.431 0.2443 0.6168

48 471 0 0 9 9 0.431 0.2443 0.6168

49 481 0 0 9 9 0.431 0.2443 0.6168

50 491 1 0 9 9 0.383 0.1950 0.5704

51 501 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704

52 511 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704

53 521 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704

54 531 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704


135

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

55 541 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704

56 551 0 1 8 7.5 0.383 0.1950 0.5704

57 561 0 0 7 7 0.383 0.1950 0.5704

58 571 1 0 7 7 0.328 0.1390 0.5170

59 581 1 0 6 6 0.273 0.0880 0.4587

60 591 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587

61 601 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587

62 611 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587

63 621 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587

64 631 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587

65 641 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587

66 651 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587

67 661 1 0 5 5 0.219 0.0421 0.3953

68 671 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953

69 681 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953

70 691 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953

71 701 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953

72 711 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953

73 721 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953

74 731 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953

75 741 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953

76 751 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953

77 761 1 0 4 4 0.164 0.0023 0.3257

78 771 0 0 3 3 0.164 0.0023 0.3257

79 781 0 0 3 3 0.164 0.0023 0.3257

80 791 0 0 3 3 0.164 0.0023 0.3257

81 801 0 0 3 3 0.164 0.0023 0.3257

82 811 0 1 3 2.5 0.164 0.0023 0.3257

83 821 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257


136

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

84 831 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257

85 841 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257

86 851 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257

87 861 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257

88 871 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257

89 881 1 0 2 2 0.082 -0.0575 0.2215

90 891 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215

91 901 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215

92 911 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215

93 921 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215

94 931 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215

95 941 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215

96 951 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215

97 961 0 1 1 0.5 0.082 -0.0575 0.2215


137

Lampiran 13: Tabel Kehidupan Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang

Tidak Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016


Selang Jangka



bawah

Batas

atas

1 0 1 3 15 13.5 0.926 0.7862 1.0656

2 11 3 0 11 11 0.673 0.4094 0.9374

3 21 0 0 8 8 0.673 0.4094 0.9374

4 31 1 0 8 8 0.589 0.3114 0.8671

5 41 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671

6 51 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671

7 61 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671

8 71 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671

9 81 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671

10 91 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671

11 101 0 1 7 6.5 0.589 0.3114 0.8671

12 111 0 1 6 5.5 0.589 0.3114 0.8671

13 121 0 0 5 5 0.589 0.3114 0.8671

14 131 0 1 5 4.5 0.589 0.3114 0.8671

15 141 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671

16 151 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671

17 161 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671

18 171 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671

19 181 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671

20 191 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671

21 201 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671

22 211 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671

23 221 1 0 4 4 0.442 0.1164 0.7674

24 231 0 0 3 3 0.442 0.1164 0.7674

25 241 1 0 3 3 0.295 -0.0258 0.6150


138

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

26 251 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

27 261 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

28 271 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

29 281 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

30 291 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

31 301 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

32 311 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

33 321 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

34 331 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

35 341 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

36 351 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

37 361 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

38 371 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

39 381 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

40 391 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

41 401 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

42 411 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

43 421 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

44 431 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

45 441 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

46 451 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

47 461 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

48 471 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

49 481 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

50 491 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

51 501 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

52 511 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

53 521 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

54 531 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150


139

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

55 541 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

56 551 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

57 561 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

58 571 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

59 581 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

60 591 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

61 601 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

62 611 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

63 621 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

64 631 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

65 641 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

66 651 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

67 661 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

68 671 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

69 681 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

70 691 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

71 701 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

72 711 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

73 721 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

74 731 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

75 741 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

76 751 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

77 761 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

78 771 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

79 781 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

80 791 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

81 801 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150

82 811 0 1 2 1.5 0.295 -0.0258 0.6150

83 821 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150


140

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

84 831 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150

85 841 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150

86 851 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150

87 861 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150

88 871 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150

89 881 1 0 1 1 0.000 NaN NaN

90 891 0 0 0 0 NaN NaN NaN

91 901 0 0 0 0 NaN NaN NaN

92 911 0 0 0 0 NaN NaN NaN

93 921 0 0 0 0 NaN NaN NaN

94 931 0 0 0 0 NaN NaN NaN

95 941 0 0 0 0 NaN NaN NaN

96 951 0 0 0 0 NaN NaN NaN

97 961 0 0 0 0 NaN NaN NaN


141

Lampiran 14: Tabel Kehidupan Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang

Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016


Selang Jangka



bawah

Batas

atas

1 0 0 2 26 25 1.000 1.0000 1.0000

2 11 0 1 24 23.5 1.000 1.0000 1.0000

3 21 0 1 23 22.5 1.000 1.0000 1.0000

4 31 1 0 22 22 0.955 0.8675 1.0416

5 41 0 1 21 20.5 0.955 0.8675

6 51 0 0 20 20 0.955 0.8675 1.0416

7 61 0 0 20 20 0.955 0.8675 1.0416

8 71 1 0 20 20 0.907 0.7837 1.0299

9 81 1 1 19 18.5 0.858 0.7085 1.0071

10 91 1 0 17 17 0.807 0.6372 0.9775

11 101 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775

12 111 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775

13 121 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775

14 131 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775

15 141 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775

16 151 1 0 16 16 0.757 0.5708 0.9429

17 161 1 0 15 15 0.706 0.5082 0.9046

18 171 1 0 14 14 0.656 0.4487 0.8632

19 181 0 0 13 13 0.656 0.4487 0.8632

20 191 1 0 13 13 0.606 0.3919 0.8191

21 201 0 0 12 12 0.606 0.3919 0.8191

22 211 0 0 12 12 0.606 0.3919 0.8191

23 221 0 0 12 12 0.606 0.3919 0.8191

24 231 1 0 12 12 0.555 0.3375 0.7725

25 241 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725


142

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

26 251 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725

27 261 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725

28 271 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725

29 281 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725

30 291 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725

31 301 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725

32 311 0 1 11 10.5 0.555 0.3375 0.7725

33 321 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725

34 331 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725

35 341 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725

36 351 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725

37 361 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725

38 371 0 1 10 9.5 0.555 0.3375 0.7725

39 381 0 1 9 8.5 0.555 0.3375 0.7725

40 391 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725

41 401 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725

42 411 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725

43 421 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725

44 431 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725

45 441 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725

46 451 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725

47 461 1 0 8 8 0.486 0.2568 0.7146

48 471 0 0 7 7 0.486 0.2568 0.7146

49 481 0 0 7 7 0.486 0.2568 0.7146

50 491 1 0 7 7 0.416 0.1832 0.6494

51 501 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494

52 511 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494

53 521 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494

54 531 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494


143

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

55 541 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494

56 551 0 1 6 5.5 0.416 0.1832 0.6494

57 561 0 0 5 5 0.416 0.1832 0.6494

58 571 1 0 5 5 0.333 0.0962 0.5699

59 581 1 0 4 4 0.250 0.0228 0.4768

60 591 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768

61 601 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768

62 611 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768

63 621 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768

64 631 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768

65 641 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768

66 651 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768

67 661 1 0 3 3 0.167 -0.0351 0.3681

68 671 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681

69 681 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681

70 691 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681

71 701 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681

72 711 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681

73 721 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681

74 731 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681

75 741 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681

76 751 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681

77 761 1 0 2 2 0.083 -0.0700 0.2365

78 771 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

79 781 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

80 791 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

81 801 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

82 811 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365


144

Selang Jangka



bawah

Batas

atas

83 821 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

84 831 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

85 841 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

86 851 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

87 861 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

88 871 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

89 881 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

90 891 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

91 901 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

92 911 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

93 921 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

94 931 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

95 941 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

96 951 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365

97 961 0 1 1 0.5 0.083 -0.0700 0.2365


145

Lampiran 15: List Program Tabel Kehidupan Pasien Kanker Stadium 4

Tahun 2014-2016

> stadium<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")

> attach(stadium)

> plot.ts(stat4,xlab="Selang ke-", ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")


> lines(Batas.bawah, xlab="Selang ke-", ylab="Survival

Probability",pch=22,lty=2 )


146

Lampiran 16: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara

stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi tahun 2014-2016

> stadiumnonkemo<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")

> attach(stadiumnonkemo)

> plot.ts(nonkemo,xlab="Selang ke-", ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")





147

Lampiran 17: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara

stadium 4 yang mengikuti kemoterapi tahun 2014-2016

> stadiumkemo<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")

> attach(stadiumkemo)

> plot.ts(kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")





148

Lampiran 18: List Program Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker

Payudara Stadium 4 Tahun 2014-2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan

Tidak Mengikuti Kemoterapi

> stadiumkemo<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")

> attach(stadiumkemo)

> stadiumnonkemo<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")

> attach(stadiumnonkemo)

> plot1<-plot.ts(kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Probabilitas Ketahanan

Hidup",col="red")

> lines(nonkemo, xlab="Selang ke-", ylab="Survival Probability",col="blue" )

> legend("topright",c("Stadium 4 Kemo","Stadium 4 Tidak

Kemo"),col=c("red","blue"),lty=1:1)


149

Lampiran 19: List Program Perbandingan Persentase Ketahanan Hidup

Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan

Tidak Mengikuti Kemoterapi


> attach(data)

> plot1<-plot.ts(Kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Persentase Ketahanan

Hidup",col="red")

> lines(Non.kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Persentase Ketahanan

Hidup",col="blue")

> legend("topright",c("Kemo","Tidak Kemo"),col=c("red","blue"),lty=1:1)


150

Lampiran 20: List Program Perbandingan Persentase Ketahanan Hidup

Pasien Kanker Payudara Stadium 4 Tahun 2014-2016 yang Mengikuti

Kemoterapi dan Tidak Mengikuti Kemoterapi


> attach(data)

> plot1<-plot.ts(Kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Persentase Ketahanan

Hidup",col="red")

> lines(Non.Kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Persentase Ketahanan

Hidup",col="blue")

> legend("topright",c("Stadium 4 Kemo","Stadium 4 Tidak

Kemo"),col=c("red","blue"),lty=1:1)


METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK MENENTUKAN ...

Documents

Transcript of METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK MENENTUKAN ...