METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK MENENTUKAN FUNGSI
KETAHANAN HIDUP
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
Theresia Ardya Resti Pradwiningtyas
NIM: 163114006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Life Table Method to Determine Survival Function
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Mathematics
Mathematics Study Program
Written by:
Theresia Ardya Resti Pradwiningtyas
Student ID: 163114006
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
MOTTO
βInilah Aku, Utuslah Aku!β (Yesaya 6:8)
βJanganlah katakan: Aku ini masih muda, tetapi kepada siapa pun engkau Kuutus,
haruslah engkau pergi, dan apa pun yang Kuperintahkan kepadamu, haruslah
kausampaikan. Janganlah takut kepada mereka, sebab Aku menyertai engkau,
demikianlah firman Tuhan.β (Yeremia 1:7-8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus, kedua orang tua dan keluargaku, almamaterku dan semua
orang yang menyayangi dan selalu mendoakanku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRAK
Analisis ketahanan hidup merupakan metode statistika yang mengamati
tentang kejadian dan waktu kejadian dari awal sampai berakhirnya suatu kejadian.
Data ketahanan hidup dapat meliputi waktu bertahan hidup, respon terhadap obat
yang diberikan dan karakteristik pasien terkait dengan respon, ketahanan hidup, dan
perkembangan suatu penyakit. Data ketahanan hidup biasanya tidak dapat diketahui
sepenuhnya, hal ini disebut dengan pengamatan tersensor. Metode tabel kehidupan
digunakan untuk menduga ketahanan hidup pasien. Dalam aplikasi metode tabel
kehidupan digunakan data pasien kanker payudara pada tahun 2014-2016 di Rumah
Sakit Panti Rapih Yogyakarta.
Pada tugas akhir ini, dibentuk tabel kehidupan pasien kanker payudara
yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi dengan interval
waktu tertentu. Tabel kehidupan memberikan penduga ketahanan hidup pasien
kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi.
Dari pembahasan, dapat disimpulkan bahwa probabilitas ketahanan pasien kanker
payudara pada tahun 2014-2016 di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yang
mengikuti kemoterapi memiliki peluang bertahan hidup yang lebih tinggi daripada
pasien yang tidak mengikuti kemoterapi. Kemoterapi dapat meningkatkan waktu
ketahanan hidup atau dapat memperpanjang waktu hidup pasien kanker payudara.
Kata Kunci: tabel kehidupan, tersensor, kemoterapi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRACT
Survival Analysis is a statistical method that observes events and time of
events from the beginning to the end of the event. Survival data may include
survival time, responding to the medicine given, and patient response
characteristics, survival and disease progression. Survival data is generally not fully
known, this is called censored observation. The life table method is used to estimate
the survival of the patient. Data from breast cancer patients at (the) Panti Rapih
Hospital, Yogyakarta in 204-2016 were used for the application of the life table
method.
In this final project, a life table was established for a patient with breast
cancer who do not take chemotherapy and does not take chemotherapy at specific
time intervals. The life table provides a survival estimator from a patient with breast
cancer who take chemotherapy and do not take chemotherapy. From the discussion,
It can be concluded that the recovery probability of breast cancer patients at the
Panti Rapih Hospital, Yogyakarta in 2014-2016 who took chemotherapy has a
higher chance of survival than patients who did not take chemotherapy.
Chemotherapy may increase the survival time or extend the lifetime of patients with
breast cancer.
Keywords: life table, censored, chemotherapy
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena berkat anugrah-Nya penulis
dapat menyelesaikan tugas akhir yang berjudul βMetode Tabel Kehidupan untuk
Menentukan Fungsi Ketahanan Hidupβ dengan baik dan tepat waktu. Tugas akhir
ini ditulis guna untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana
Matematika pada Program Studi Matemtika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Dalam penulisan tugas akhir ini, banyak pihak yang telah membantu selama
proses penulisan tugas akhir, baik dalam bentuk materi maupun nonmateri,
sehingga segala kesulitan dan tantangan dapat diselesaikan dengan baik. Maka dari
itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir
sekaligus Dosen Pembibing Akademik yang dengan penuh kesabaran telah
meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta memberikan masukan, arahan,
dan nasihat kepada penulis.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains
dan Teknologi.
3. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kepala Program Studi
Matematika.
4. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil kepala program studi
Matematika.
5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si.,
M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc.,
Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., Ricky Aditya, M.Sc. dan Ibu
Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen program studi
Matematika yang telah senantiasa mendampingi dan memberikan ilmu selama
masa perkuliahan.
6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains
dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administrasi.
7. Kedua orang tuaku yang selalu memberikan Doa, semangat, arahan, dan
nasihat sampai tugas akhir ini selesai.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ......................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. v
MOTTO .............................................................................................................. vi
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ................................................. viii
ABSTRAK ......................................................................................................... ix
ABSTRACT ........................................................................................................ x
KATA PENGANTAR ........................................................................................ xi
DAFTAR ISI .................................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN....................................................................................1
A. Latar Belakang Masalah ................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah .......................................................................................... 2
C. Batasan Masalah ............................................................................................ 3
D. Tujuan Penulisan ........................................................................................... 3
E. Manfaat Penulisan ......................................................................................... 3
F. Metode Penelitian .......................................................................................... 3
G. Sistematika Penulisan .................................................................................... 3
BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS..............................................................6
A. Probabilitas .................................................................................................... 6
1. Probabilitas dari Suatu Kejadian ............................................................... 6
2. Probabilitas Bersyarat ............................................................................... 7
3. Variabel Acak ........................................................................................... 9
B. Distribusi Probabilitas ................................................................................. 10
1. Distribusi Probabilitas Diskrit................................................................. 10
2. Distribusi Probabilitas Kontinu .............................................................. 13
3. Nilai Harapan .......................................................................................... 15
4. Variansi ................................................................................................... 20
5. Fungsi Pembangkit Momen .................................................................... 23
6. Metode Fungsi Pembangkit Momen ....................................................... 26
C. Distribusi Probabilitas Multivariat .............................................................. 28
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
D. Teorema Limit Pusat.................................................................................... 34
E. Pendugaan Parameter................................................................................... 35
F. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood) ....................... 41
BAB III METODE TABEL KEHIDUPAN ...................................................... 43
A. Analisis Ketahanan Hidup ........................................................................... 43
B. Data Tersensor ............................................................................................. 44
1. Penyensoran Kanan ................................................................................. 44
2. Penyensoran Kiri ..................................................................................... 45
3. Penyensoran Interval ............................................................................... 46
C. Fungsi Ketahanan Hidup (Survival Function) ............................................. 46
D. Fungsi Densitas Ketahanan Hidup............................................................... 49
E. Fungsi Hazard (Hazard Function) ............................................................... 50
F. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Kontinu ................................... 55
G. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Diskrit ..................................... 57
H. Tabel Kehidupan .......................................................................................... 59
1. Tabel Kehidupan Populasi ...................................................................... 59
2. Tabel Kehidupan Klinis .......................................................................... 65
I. Fungsi Ketahanan Hidup berdasarkan Tabel Kehidupan .............................. 71
BAB IV APLIKASI METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK
MENENTUKAN FUNGSI KETAHANAN HIDUP .......................... 80
A. Kanker.......................................................................................................... 80
B. Sumber Data ................................................................................................ 82
C. Ketahanan Hidup Pasien Penderita Kanker Payudara ................................. 85
1. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016 ............... 86
2. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara 2014-2016 yang Tidak
Mengikuti Kemoterapi. ........................................................................... 87
3. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016 yang
Mengikuti Kemoterapi. ........................................................................... 89
4. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-
2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan Tidak Mengikuti Kemoterapi. ... 90
5. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 2 Tahun 2014-2016
.............................................................................................................91
6. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 3 Tahun 2014-2016
.............................................................................................................92
7. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 Tahun 2014-2016.
.............................................................................................................92
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
8. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak
Mngikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016................................................ 93
9. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mngikuti
Kemoterapi Tahun 2014-2016. ............................................................... 95
10. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Tidak Mngikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-
2016..........................................................................................................96
11. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Tidak Mngikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-
2016..........................................................................................................98
12. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Tidak Mngikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-
2016..........................................................................................................99
BAB V PENUTUP .......................................................................................... 102
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 104
LAMPIRAN .................................................................................................... 106
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Penyakit kanker merupakan salah satu penyakit yang angka kematiannya te-
rus meningkat di dunia. Kanker paru-paru, payudara, kolorektal, prostat, kulit dan
perut adalah jenis kanker yang paling umum terjadi. Kematian yang disebabkan
oleh kanker disebabkan oleh beberapa faktor risiko antara lain indeks massa tumbuh
yang tinggi, faktor genetik, faktor karsinogen diantaranya yaitu zat kimia, radiasi,
virus, hormon, dan iritasi kronis, serta faktor perilaku atau gaya hidup diantaranya
pola makan yang tidak sehat, konsumsi alkohol, dan kurang aktivitas fisik. Salah
satu metode utama yang digunakan untuk mengatasi kanker yaitu kemoterapi.
Analisis ketahanan hidup merupakan sebuah metode statistika yang
mempelajari kejadian dan waktu kejadian. Waktu ketahanan hidup didefinisikan
secara luas sebagai waktu terjadinya suatu kejadian. Dalam bidang kesehatan,
kejadian yang dimaksud seperti kambuhnya suatu penyakit, kesembuhan dari
penyakit yang diderita bahkan kematian seseorang. Fungsi ketahanan adalah
peluang seseorang dapat bertahan lebih dari waktu yang ditentukan.
Tabel Kehidupan merupakan tabel yang memberikan pengukuran untuk angka
kematian dan menggambarkan ketahanan hidup dalam suatu populasi. Terdapat dua
jenis tabel kehidupan, yang pertama tabel kehidupan populasi dan tabel kehidupan
klinis. Tabel kehidupan populasi digunakan untuk menggambarkan angka kematian
suatu populasi tertentu. Tabel kehidupan klinis merupakan tabel yang
dikonstruksikan untuk pasien.
Data yang diperoleh dapat berupa data tidak tersensor atau data tersensor. Data
tidak tersensor merupakan data yang dapat tercatat secara lengkap dan jelas yang
diperoleh dari setiap perkembangan individu dalam sampel dari awal penelitian
sampai individu yang mengalami kegagalan (meninggal dunia). Dalam
kenyataannya, pengamatan yang dilakukan dari setiap individu dalam sampel
membutuhkan waktu yang sangat lama, sehingga menjadi tidak efisien. Data seperti
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
ini disebut dengan data tersensor. Data tersensor merupakan data yang tidak dapat
tercatat secara lengkap dan jelas dari awal penelitian sampai penelitian berakhir.
Banyak faktor yang dapat menyebabkan data tidak dapat tercatat secara lengkap.
Faktor-faktor tersebut antara lain individu yang diamati tidak mengalami kejadian
sampai penelitian berakhir, misalkan individu telah dinyatakan sembuh sebelum
penelitian berakhir, selanjutnya individu menghilang selama masa penelitian
berlangsung, misalkan individu yang sedang diteliti pindah atau menolak untuk
diamati, dan individu terpaksa diberhentikan dari penelitian karena meninggal
sebelum penelitian berkahir.
Dalam tugas akhir ini, penulis menggunakan data hasil penelitian Girik
Allo, Caecilia B. (2017). Data yang digunakan merupakan data yang diperoleh dari
hasil data rekam medik rumah sakit yaitu pasien penderita kanker payudara pada
tahun 2014-2016 di Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta. Data yang telah didapat
kemudian dikelompokkan antara penderita kanker payudara yang melakukan
kemoterapi dan yang tidak melakukan kemoterapi. Selanjutnya, dengan
menggunakan metode tabel kehidupan akan dicari peluang bertahan hidup
penderita kanker yang melakukan kemoterapi dan yang tidak melakukan
kemoterapi. Dari peluang yang dihasilkan, dapat dilihat apakah dengan melakukan
kemoterapi peluang bertahan hidup lebih besar daripada yang tidak melakukan
kemoterapi.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
1. Apa itu metode tabel kehidupan?
2. Bagaimana menentukan fungsi-fungsi dasar untuk mengonstruksi metode tabel
kehidupan?
3. Bagaimana konstruksi metode tabel kehidupan dalam bidang kesehatan,
khususnya untuk menduga ketahanan hidup pasien?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
C. Batasan Masalah
Batasan masalah dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
1. Data yang digunakan merupakan data tersensor acak.
2. Teorema Ketunggalan Distribusi Probabilitas tidak dibuktikan.
3. Teori probabilitas yang dibahas hanya yang berkaitan dengan materi pokok.
4. Data yang digunakan dalam analisis bab IV menggunakan data hasil penelitian
dari Girik Allo, Caecilia B.(2017).
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan dalam tugas akhir ini adalah:
1. Mengetahui model yang digunakan dalam metode tabel kehidupan dalam
bidang kesehatan.
2. Dapat menentukan fungsi-fungsi dasar untuk mengkonstruksi metode tabel
kehidupan.
3. Mengetahui penerapan metode tabel kehidupan untuk menduga ketahanan
hidup pasien.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dari penulisan tugas akhir ini adalah menambah
wawasan mengenai ilmu statistik dalam hal penerapan metode tabel kehidupan
kepada penulis khususnya dan kepada pembaca pada umumnya.
F. Metode Penelitian
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah studi pustaka.
Studi pustaka dilakukan dengan cara mencari dan membaca buku-buku atau jurnal-
jurnal yang isinya berkaitan dengan analisis data ketahanan hidup dengan metode
tabel kehidupan.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penelitian
G. Sistematika Penulisan
BAB II DISTRIBUSI PROBABILITAS
A. Probabilitas
B. Distribusi Probabilitas
C. Distribusi Probabilitas Multivariat
D. Teorema Limit Pusat
E. Pendugaan Parameter
F. Metode Kemungkinan Maksimum
BAB III METODE TABEL KEHIDUPAN
A. Analisis Ketahanan Hidup
B. Data Tersensor
C. Fungsi Ketahanan Hidup (Survival Function)
D. Fungsi Densitas Ketahanan Hidup
E. Fungsi Hazard (Hazard Function)
F. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Kontinu
G. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Diskrit
H. Tabel Kehidupan
I. Fungsi Ketahanan Hidup berdasarkan Tabel Kehidupan
BAB IV APLIKASI METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK
MENENTUKAN FUNGSI KETAHANAN HIDUP
A. Kanker
B. Sumber Data
C. Ketahanan Hidup Pasien Penderita Kanker Payudara
BAB V PENUTUP
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
BAB II
DISTRIBUSI PROBABILITAS
A. Probabilitas
1. Probabilitas dari Suatu Kejadian
Definisi 2.1
Misalkan π adalah ruang sampel dari sebuah eksperimen. Untuk kejadian π΄ di
dalam π (π΄ adalah subset dari π), maka yang disebut π(π΄) adalah peluang kejadian
π΄, bila memenuhi aksioma berikut:
Aksioma 1: π(π΄) β₯ 0.
Aksioma 2: π(π) = 1.
Aksioma 3: Jika π΄1, π΄2, π΄3, β¦ adalah barisan kejadian yang saling asing (π΄π β© π΄π =
β , π β π), maka π(π΄1 βͺ π΄2 βͺ π΄3 βͺ β¦) = β π(π΄π)βπ=1 = β π(π΄π)
βπ=1 .
Contoh 2.1
Sebuah kendaraan sampai pada sautu perempatan dapat belok ke kanan, belok ke
kiri atau terus. Sebuah eksperimen mengobservasi pergerakan dari kendaraan
tersebut melalui perempatan.
a. Daftarkan anggota ruang sampel dari percobaan tersebut!
b. Jika titik-titik sampel berpeluang sama. Tentukan peluang masing-masing
kejadian!
Jawab:
a. Ruang sampel percobaan π adalah {πΈ1, πΈ2, πΈ3}
Didefinisikan πΈ1 adalah kejadian kendaraan belok kanan, πΈ2 adalah kejadian
kendaraan belok kiri dan πΈ3 adalah kejadian kendaraan terus.
b. π(π) = {π(πΈ1), π(πΈ2), π(πΈ3)}.
Diketahui bahwa π(πΈ1) = π(πΈ2) = π(πΈ3).
π(π) = π(πΈ1) + π(πΈ2) + π(πΈ3).
π(π) = 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
π(πΈ1) + π(πΈ2) + π(πΈ3) = 1.
π(πΈ1) + π(πΈ1) + π(πΈ1) = 1.
3π(πΈ1) = 1.
π(πΈ1) =1
3.
Sehingga diperoleh:
π(πΈ1) = π(πΈ2) = π(πΈ3) =1
3.
Jadi, masing-masing kegiatan memiliki peluang 1
3.
2. Probabilitas Bersyarat
Definisi 2.2
Peluang bersyarat adalah suatu kejadian π΄, bila diketahui kejadian π΅ terjadi, adalah
π(π΄|π΅) =π(π΄ β© π΅)
π(π΅),
asalkan π(π΅) > 0. Simbol π(π΄|π΅) dibaca βProbabilitas bersyarat π΄ jika diketahui
kejadian π΅ terjadiβ.
Contoh 2.2
Kita melemparkan dua dadu seimbang, dan misalkan π΄ adalah kejadian jumlahan
angka yang muncul dari kedua dadu adalah 8, dan π΅ adalah kejadian angka pertama
yang muncul adalah 3. Hitunglah π(π΄|π΅).
Solusi
Elemen-elemen dari kejadian π΄ dan π΅ adalah
π΄ = {(2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)}.
dan
π΅ = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}.
Diperoleh π΄ β© π΅ = {3,5)}
Sehingga
π(π΄) =5
36,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
π(π΅) =6
36=
1
6, dan
π(π΄ β© π΅) =1
36.
Maka dari itu,
π(π΄|π΅) =π(π΄β©π΅)
π(π΅)=
136β
16β=
1
6.
Definisi 2.3
Dua kejadian π΄ dan π΅ dikatakan saling bebas jika salah satu dari syarat berikut
terpenuhi:
π(π΄|π΅) = π(π΄),
π(π΅|π΄) = π(π΅),
π(π΄βπ΅) = π(π΄)π(π΅).
Jika tidak, π΄ dan π΅ saling bergantung.
Contoh 2.3
Dari Contoh 2.2 apakah kejadian π΄ dan π΅ saling bebas?
Solusi:
Dari Contoh 2.2 diperoleh
π(π΄) =5
36,
π(π΅) =6
36=
1
6, dan
π(π΄ β© π΅) =1
36.
Sehingga,
π(π΄ β© π΅) =1
36
β π(π΄)π(π΅)
Jadi, kejadian π΄ dan π΅ tidak saling bebas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
3. Variabel Acak
Definisi 2.4
Variabel acak π adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel π, yang
memetakan setiap elemen dalam π ke bilangan real, π(π) = π₯, dengan π di dalam
π.
Definisi 2.5
Variabel acak π dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga
terbilang dari nilai-nilai yang berbeda. Jika tidak memenuhi kondisi tersebut, maka
variabel acak π dikatakan kontinu.
Contoh 2.4
Sebuah dadu empat sisi memiliki nomor yang berbeda, 1, 2, 3, atau 4 terletak pada
setiap sisi. Pada setiap pelemparan yang diberikan, kejadian untuk masing-masing
keempat angka tersebut memiliki kemungkinan yang sama. Sebuah permainan
terdiri dari melempar dadu dua kali, dan skornya adalah maksimum dari kedua
angka yang terjadi.
Solusi:
Dari informasi tersebut dapat diketahui himpunan nilai yang mungkin terjadi dan
menentukan variabel acak. Jika π = (π, π), dimana π, π β {1, 2, 3, 4}, maka π(π) =
ππππ (π, π). Ruang sampel, π, dan π diilustrasikan pada Gambar 2.1.
Ruang sampel percobaan adalah π =
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1),
(4,2), (4,3), (4,4)}. Setiap elemen dari π dipetakan ke β adalah variabel acak π
seperti berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
π
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
π
1 2 3 4
π₯
B. Distribusi Probabilitas
1. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.6
Distribusi probabilitas untuk variabel diskrit π dapat direpresentasikan dengan
rumus, tabel, atau grafik yang memberikan π(π₯) = π(π = π₯) untuk semua π₯.
Contoh 2.5
Terdapat tiga pria dan tiga wanita. Dipilih dua secara acak pekerjaan khusus di
sebuah perusahaan. π adalah banyaknya wanita yang dipilih. Tentukan distribusi
probabilitas dari π.
Solusi:
π: banyaknya wanita yang terpilih. Hanya akan dipilih dua secara acak, sehingga
kemungkinan nilai π adalah 0 , 1, atau 2.
Distribusi probabilitas dari π terdapat pada Tabel 2.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
π = 0 β π(0) =(30)(32)
(62)
=1
5
π = 1 β π(1) =(31)(31)
(62)
=3
5
π = 2 β π(2) =(32)
(62)=1
5
Tabel 2.1 Distribusi Probabilitas Contoh 2.5
π₯ π(π₯)
0 1/5
1 3/5
2 1/5
Definisi 2.7
Untuk setiap distribusi probabilitas diskrit, memenuhi pernyataan berikut:
1. 0 β€ π(π₯) β€ 1, untuk semua π₯.
2. β π(π₯) = 1π₯ .
Definisi 2.8
Fungsi distribusi kumulatif variabel acak π didefinisikan sebagai berikut
πΉ(π₯) = π(π β€ π₯)
= β π(π₯)πβ€π₯ , untuk ββ < π₯ < β
Contoh 2.6
Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak π pada Contoh 2.5.
Solusi:
Dari Contoh 2.5 diperoleh π(0) =1
5, π(1) =
3
5, dan π(2) =
1
5. Selanjutnya akan
dicari πΉ(0), πΉ(1), dan πΉ(2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
πΉ(0) =1
5, πΉ(1) =
1
5+3
5=
4
5, πΉ(2) =
1
5+3
5+1
5= 1, sehingga
πΉ(π₯) =
{
0 , π₯ < 01
5 , 0 β€ π₯ < 1
4
5 ,1 β€ π₯ < 2
1 , π₯ β₯ 2
Definisi 2.9
Percobaan Binomial memiliki sifat-sifat berikut:
1. Percobaan terdiri atas π ulangan yang identik.
2. Masing-masing ulangan menghasilkan salah satu dari dua kemungkinan hasil,
yaitu βsuksesβ atau βgagalβ.
3. Peluang sukses dari setiap ulangan adalah π, peluang gagal adalah π = 1 β π.
4. Antar ulangan saling bebas.
5. Variabel acak π merupakan banyaknya sukses dari π ulangan
Contoh 2.7
Sebuah mata uang seimbang dilemparkan sebanyak tiga kali. Untuk mendapatkan
tepat dua angka yaitu AAG, AGA dan GAA kita dapatkan peluangnya adalah 3
8.
Apakah hal tersebut merupakan percobaan Binomial?
Solusi:
Untuk mengetahui apakah hal tersebut merupakan percobaan Binomial, harus
ditentukan apakah lima persyaratan dari Definisi 2.9 terpenuhi atau tidak.
1. Terdapat π = 3 kali percobaan.
2. Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu angka (A) atau
gambar (G).
3. Hasil dari masing-masing percobaan saling bebas (hasil dari suatu
pelemparan tidak mempengaruhi hasil pelemparan lainnya).
4. Peluang percobaan sukses (angka) adalah 1
2 di setiap percobaannya.
5. Variabel acak π adalah banyaknya sukses dalam setiap percobaan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Definisi 2.10
Variabel acak π dikatakan memiliki distribusi probabilitas Binomial berdasarkan π
ulangan dengan probabilitas sukses π jika dan hanya jika
π(π₯) = (ππ₯)ππ₯ππβπ₯, π₯ = 0, 1, 2, . . . , π dan 0 β€ π β€ 1.
Contoh 2.8
Diketahui bahwa sekrup yang diproduksi oleh mesin tertentu akan rusak dengan
probabilitas 0.01 secara independen satu sama lain. Jika kita memilih secara acak
10 sekrup yang diproduksi oleh mesin tersebut, berapa probabilitas setidaknya dua
sekrup akan rusak?
Solusi:
π: banyaknya sekrup yang rusak dari 10 sekrup yang diambil secara acak.
Diketahui π = 0.01
π = 1 β π = 1 β 0.01 = 0.99
π(π β₯ 2) =β(10
π₯) (0.01)π₯(0.99)10βπ₯
10
π₯=2
= 1 β [π(π = 0) + π(π = 1)] = 0.004.
2. Distribusi Probabilitas Kontinu
Definisi 2.11
Fungsi π(π₯) dikatakan sebagai distribusi probabilitas variabel acak kontinu (Fungsi
Densitas) jika memenuhi:
1. β« π(π₯)ππ₯ = 1β
ββ,
2. π(π₯) β₯ 0
Contoh 2.9
Misalkan π merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas densitas
sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
π(π₯) = {3π₯2, 0 β€ π₯ < 1 0 , selainnya
.
Buktikan bahwaπ(π₯) adalah fungsi probabilitas densitas.
Solusi:
Akan dibuktikan π(π₯) memenuhi Definisi 2.11
1. π(π₯) β₯ 0 jelas terlihat dari definisi π(π₯).
2. β« π(π₯)ππ₯ = β« 3π₯2ππ₯1
0
β
ββ= π₯3|0
1 = 1 β 0 = 1.
Jadi, terbukti bahwa π(π₯) adalah fungsi probabilitas densitas.
Definisi 2.12
Fungsi distribusi kumulatif πΉ(π₯) dari variabel acak kontinu π adalah
πΉ(π₯) = π(π β€ π₯) = β«π(π‘)ππ‘
π₯
ββ
.
Akibat dari definisi 2.12
Jika kita memiliki fungsi distribusi kumulatif πΉ(π₯), maka kita punya
π(π < π < π) = πΉ(π) β πΉ(π) dan
ππΉ(π₯)
ππ₯= π(π₯) jika turunannya ada.
Contoh 2.10
Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari Contoh 2.9 dan tentukan π(0 < π < 1).
untuk π₯ < 0
πΉ(π₯) = β«0 ππ‘ = 0
π₯
ββ
.
untuk 0 β€ π₯ < 1
πΉ(π₯) = β«π(π‘)ππ‘ = β«0ππ‘ + β«3π‘2ππ‘
π₯
0
= 0 + π‘3|0π₯ = π₯3
0
ββ
π₯
ββ
.
untuk π₯ β₯ 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
πΉ(π₯) = β«π(π‘)ππ‘ = β«0ππ‘ + β«3π‘2ππ‘ + β«0ππ‘
π₯
1
1
0
= 0 + π‘3 + 0|01 = 1
0
ββ
π₯
ββ
.
Jadi,
πΉ(π₯) = {0, π₯ < 0
π₯3, 0 β€ π₯ < 11, π₯ β₯ 1
Sekarang π(0 < π < 1) = πΉ(1) β πΉ(0) = 1 β 0 = 1.
Definisi 2.13
Variabel acak π dikatakan berdistribusi Normal dengan parameter π dan π bila
fungsi probabilitas densitasnya adalah
π(π₯) =1
β2πππβ
1
2(π₯βπ
π)2
, ββ < π₯ < β, π > 0.
3. Nilai Harapan
Definisi 2.14
Misalkan π adalah variabel acak diskret dengan fungsi probabilitas π(π₯). Nilai
harapan dari π dinotasikan dengan πΈ(π), didefinisikan sebagai
π = πΈ(π) =βπ₯π(π₯)
π₯
Contoh 2.11
Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.5
Solusi:
πΈ(π) = 01
5+ 1
3
5+ 2
1
5= 1.
Definisi 2.15
Nilai harapan dari variabel random kontinu π adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
πΈ(π) = β« π₯π(π₯)ππ₯
β
ββ
asalkan integral ada.
Contoh 2.12
Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.9
Solusi:
πΈ(π) = β«π₯3π₯2ππ₯
1
0
= β«3π₯3ππ₯ =3
4.
1
0
Teorema 2.1
Misalkan π adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas π(π₯) dan
π1(π), π2(π),β¦ , ππ(π) adalah π fungsi dari π. Maka
πΈ[π1(π) + π2(π) + β―+ ππ(π)] = πΈ[π1(π)] + πΈ[π2(π)] + β―+ πΈ[ππ(π)].
Bukti:
πΈ[π1(π) + π2(π) + β―+ ππ(π)] =β[π1(π₯) + π2(π₯) + β―+ ππ(π₯)]
π₯
π(π₯)
=β[π1(π₯)π(π₯) + π2(π₯)π(π₯) + β―+ ππ(π₯)π(π₯)]
π₯
=βπ1(π₯)π(π₯)
π₯
+βπ2(π₯)π(π₯)
π₯
+β―+βππ(π₯)π(π₯)
π₯
= πΈ[π1(π)] + πΈ[π2(π)] + β―+ πΈ[ππ(π)]. β
Teorema 2.2
Misalkan π adalah variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas π(π₯) dan
π1(π), π2(π),β¦ , ππ(π) adalah π fungsi dari π. Maka
πΈ[π1(π) + π2(π) + β―+ ππ(π)] = πΈ[π1(π)] + πΈ[π2(π)] + β―+ πΈ[ππ(π)].
Bukti:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
πΈ[π1(π) + π2(π) + β―+ ππ(π)] = β«[π1(π₯) + π2(π₯) + β―+ ππ(π₯)]π(π₯)ππ₯
β
ββ
= β«[π1(π₯)π(π₯) + π2(π₯)π(π₯) + β―+ ππ(π₯)π(π₯)]ππ₯
β
ββ
= β« π1(π₯)π(π₯)ππ₯
β
ββ
+ β« π2(π₯)π(π₯)ππ₯
β
ββ
+β―+ β« ππ(π₯)π(π₯)ππ₯
β
ββ
= πΈ[π1(π)] + πΈ[π2(π)] + β―+ πΈ[ππ(π)]. β
Teorema 2.3
Misalkan π merupakan variabel acak dan diberikan konstanta tak nol π, maka
πΈ(π) = π.
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit.
Berdasarkan Definisi 2.14
πΈ(π) =βππ(π₯) = πβπ(π₯)
π₯π₯
Menurut Definisi 2.7 β π(π₯) = 1π₯ sehingga,
πΈ(π) = π(1) = π. β
Untuk variabel acak kontinu
Berdasarkan Definisi 2.15
πΈ(π) = β« ππ(π₯)ππ₯ = π β« π(π₯)ππ₯
β
ββ
β
ββ
Menurut Definisi 2.11 β« π(π₯)β
ββ= 1 sehingga,
πΈ(π) = π(1) = π. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Teorema 2.4
Misalkan π merupakan variabel acak dan diberikan konstanta tak nol π, maka
πΈ(ππ) = ππΈ(π).
Bukti:
Untuk variabel acak diskrit
Berdasarkan Definisi 2.14
πΈ(ππ) =βππ₯π(π₯) =
π₯
πβπ₯π(π₯)
π₯
Menurut Definisi 2.14 πΈ(π) = β π₯π(π₯)π₯ sehingga,
πΈ(ππ) = ππΈ(π). β
Untuk variabel acak kontinu
Berdasarkan Definisi 2.15
πΈ(ππ) = β« ππ₯π(π₯)ππ₯ = π β« π₯π(π₯)
β
ββ
β
ββ
ππ₯
Menurut Definisi 2.15 πΈ(π) = β« π₯π(π₯)ππ₯β
ββ sehingga,
πΈ(ππ) = ππΈ(π). β
Teorema 2.5
Misalkan π merupakan variabel acak dengan fungsi probabilitas π(π₯) dan diberikan
konstanta tak nol π dan π, maka πΈ(ππ + π) = ππΈ(π) + π.
Bukti:
Dengan menggunakan Teorema 2.3 dan Teorema 2.4 didapat
πΈ(ππ + π) = πΈ(ππ) + πΈ(π)
= ππΈ(π) + πΈ(π)
= ππΈ(π) + π. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Teorema 2.6
Jika π merupakan variabel acak Binomial dengan π percobaan dan probabilitas
suskes π, maka
πΈ(π) = π = ππ.
Bukti:
Berdasarkan Definisi 2.10 dan Definisi 2.14
πΈ(π) =βπ₯π(π₯) = βπ₯ (π
π₯) ππ₯
π
π₯=0π₯
(1 β π)πβπ₯
karena jumlahan pertama yaitu ketika π₯ = 1 maka didapat,
πΈ(π) =βπ₯π!
(π β π₯)! π₯!ππ₯(1 β π)πβπ₯
π
π₯=1
=βπ₯π!
(π β π₯)! π₯(π₯ β 1)!ππ₯(1 β π)πβπ₯
π
π₯=1
=βπ!
(π β π₯)! (π₯ β 1)!ππ₯(1 β π)πβπ₯
π
π₯=1
=βπ(π β 1)!
(π β π₯)! (π₯ β 1)!ππ₯(1 β π)πβπ₯
π
π₯=1
misalkan π§ = π₯ β 1,
πΈ(π) = ππβ(π β 1)!
(π β π₯)! (π₯ β 1)!ππ₯β1(1 β π)πβπ₯
π
π₯=1
= ππβ(π β 1)!
(π β 1 β π§)! π§!ππ§(1 β π)πβ1βπ§
πβ1
π§=0
= ππβ(π β 1
π§) ππ§(1 β π)πβ1βπ§
πβ1
π§=0
Perhatikan bahwa π(π§) = (πβ1π§)ππ§(1 β π)πβ1βπ§ merupakan fungsi probabilitas
Binomial. Maka β (πβ1π§)ππ§(1 β π)πβ1βπ§πβ1
π§=0 = 1, dan menunjukkan bahwa
πΈ(π) = π = ππ. β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
4. Variansi
Definisi 2.16
Misalkan π merupakan variabel acak dengan rata-rata πΈ(π) = π, variansi dari
variabel acak π didefinisikan sebagai nilai harapan dari (π β π)2 yaitu,
π(π) = πΈ[(π β π)2]
Standar deviasi dari π adalah akar kuadrat positif dari π(π).
Contoh 2.13
Distribusi probabilitas untuk variabel acak π diperlihatkan dalam Tabel 2.2.
Tentukan rata-rata, variansi, dan standar deviasi dari π.
Tabel 2.2 Distribusi Probabilitas untuk π
π₯ π(π₯)
0 1/8
1 1/4
2 3/8
3 1/4
Solusi:
Dengan menggunakan Definisi 2.14 dan Definisi 2.16
π = πΈ(π) =βπ₯π(π₯) = (0)(1 8)β + (1)(1 4)β + (2)(3 8)β + (3)(1 4) = 1.75β
3
π₯=0
π2 = πΈ[(π β π)2] = β(π₯ β π)2π(π₯)
3
π₯=0
= (0 β 1.75)2(1 8)β + (1 β 1.75)2(1 4)β + (2 β 1.75)2(3 8)β +
(3 β 1.75)2(1 8)β
= 0.9375
π = βπ2 = β0.9375 = 0.97.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Teorema 2.7
Jika π merupakan variabel acak dengan fungsi probabilitas π(π₯) dan rata-rata π =
πΈ(π), maka
π(π) = π2 = πΈ[(π β π)2] = πΈ(π2) β π2.
Bukti:
π2 = πΈ[(π β π)2]
= πΈ(π2 β 2ππ + π2)
= πΈ(π2) β πΈ(2ππ) + πΈ(π2)
= πΈ(π2) β 2ππΈ(π) + πΈ(π2)
= πΈ(π2) β 2π2 + π2
= πΈ(π2) β π2 β
Contoh 2.14
Tentukan variansi dari variabel acak π dari Contoh 2.13.
Solusi:
Telah ditemukan pada Contoh 2.13 bahwa rata-rata π = 1.75. Karena
πΈ(π2) =βπ₯2π(π₯) =
π₯
(02)(1 8)β + (12)(1 4)β + (22)(3 8)β + (32)(1 4) = 4,β
Dengan menggunakan Teorema 2.7 didapat
π2 = πΈ(π2) β π2 = 4 β (1.75)2 = 0.9375.
Teorema 2.8
Jika π merupakan variabel acak dan π merupakan suatu konstanta maka
π(ππ) = π2π(π).
Bukti:
π(ππ) = πΈ(ππ β ππ)2
= πΈ[π(π β π)]2
= πΈ[π2(π β π)2]
= π2πΈ(π β π)2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
= π2π(π). β
Teorema 2.9
Misalkan π merupakan variabel acak Binomial dengan π percobaan dan
probabilitas sukses π, maka
π2 = π(π) = πππ.
Bukti:
Dari Teorema 2.7 kita tahu bahwa π(π) = π2 = πΈ(π2) β π2. Sehingga π2 dapat
dihitung jika kita menentukan πΈ(π2)
πΈ(π2) = βπ₯2π(π₯)
π
π₯=0
=βπ₯2 (π
π₯)ππ₯ππβπ₯ =βπ₯2
π!
π₯! (π β π₯)!
π
π₯=0
π
π₯=0
ππ₯ππβπ₯
perhatikan bahwa
πΈ[π(π β 1)] = πΈ(π2 β π) = πΈ(π2) β πΈ(π)
sehingga
πΈ(π2) = πΈ[π(π β 1)] + πΈ(π) = πΈ[π(π β 1)] + π.
Dalam kasus,
πΈ[π(π β 1)] = βπ₯(π₯ β 1)π!
π₯! (π β π₯)!
π
π₯=0
ππ₯(1 β π)πβπ₯.
Ketika π₯ = 0 dan π₯ = 1 jumlahannya akan sama dengan nol, maka
πΈ[π(π β 1)] = βπ₯(π₯ β 1)π!
π₯! (π β π₯)!
π
π₯=2
ππ₯(1 β π)πβπ₯.
misalkan π§ = π₯ β 2 untuk memperoleh
πΈ[π(π β 1)] = π(π β 1)π2β(π β 2)!
(π₯ β 2)! (π β π₯)!ππ₯β2(1 β π)πβπ₯
π
π₯=2
= π(π β 1)π2β(π β 2)!
π§! (π β 2 β π§)!ππ§(1 β π)πβ2βπ§
πβ2
π§=0
= π(π β 1)π2β(π β 2
π§) ππ§(1 β π)πβ2βπ₯
πβ2
π§=0
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Perhatikan bahwa π(π§) = (πβ2π§)ππ§ππβ2βπ₯ adalah fungsi probabilitas Binomial
dengan (π β 2) percobaan. Maka β π(π§) = 1πβ2π§=0 dan
πΈ[π(π β 1)] = π(π β 1)π2.
Sehingga,
πΈ(π2) = πΈ[π(π β 1)] + π = π(π β 1)π2 + ππ
dan
π2 = πΈ(π2) β π2 = π(π β 1)π2 + ππ β π2π2
= ππ[(π β 1)π + 1 β ππ]
= ππ(1 β π)
= πππ. β
5. Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 2.17
Fungsi pembangkit momen π(π‘) untuk variabel acak π didefinisikan sebagai
π(π‘) = πΈ(ππ‘π). Kita katakan bahwa fungsi pembangkit momen untuk π ada jika
terdapat konstanta positif π sedemikian sehingga π(π‘) berhingga untuk |π‘| β€ π.
Teorema 2.10
Jika π(π‘) ada, maka untuk setiap bilangan positif π,
πππ(π‘)
ππ‘π|π‘=0
= π(π)(0) = πβ²π.
Bukti:
πππ(π‘)
ππ‘π atau π(π)(π‘) adalah turunan ke-π dari π(π‘) yang berhubungan dengan π‘.
Karena
π(π‘) = πΈ(ππ‘π) = 1 + π‘πβ²1 +π‘2
2!πβ²2 +
π‘3
3!πβ²3 +β―,
didapat
π(1)(π‘) = πβ²1 +2π‘
2!πβ²2 +
3π‘
3!πβ²3 +β―,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
π(2)(π‘) = πβ²2 +2π‘
2!πβ²3 +
3π‘2
3!πβ²4 +β―,
secara umum,
π(π)(π‘) = πβ²π +2π‘
2!πβ²π+1 +
3π‘2
3!πβ²π+2 +β―,
Ketika π‘ = 0 pada masing-masing turunan, didapatkan
π(1)(0) = πβ²1, π(2)(0) = πβ²2,
secara umum,
π(π)(0) = πβ²π. β
Contoh 2.15
Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal.
Solusi:
π(π₯) =1
β2πππβ12(π₯βππ)2
ππ(π‘) = β« ππ‘π₯β
ββ
1
β2πππβ
12(π₯βππ)2
ππ₯
= β«1
β2ππ
β
ββ
πβ12(π₯2β2ππ₯+π2
π2)ππ‘π₯ ππ₯
= β«1
β2ππ
β
ββ
π(βπ₯2+2ππ₯βπ2
2π2)ππ‘π₯ ππ₯
= β«1
β2ππ
β
ββ
π(βπ₯2+2ππ₯βπ2+2π2π‘π₯
2π2) ππ₯
= β«1
β2ππ
β
ββ
πβ12π2
(π₯2β2ππ₯β2π2π‘π₯+π2) ππ₯
= β«1
β2ππ
β
ββ
πβ12π2
[π₯2β2π₯(π+π2π‘)+π2] ππ₯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
= β«1
β2ππ
β
ββ
πβ12π2
[(π₯β(π+π2π‘))2β2ππ2π‘βπ4π‘2]
ππ₯
= β«1
β2ππ
β
ββ
πβ12π2
(π₯β(π+π2π‘))2(β2ππ2π‘βπ4π‘2
2π2) ππ₯
= πππ‘+π2π‘2
2 β« π(π₯)
β
ββ
ππ₯
= πππ‘+π2π‘2
2
Teorema 2.11
Jika π merupakan variabel acak berdistribusi Normal dengan parameter π dan π,
maka
πΈ(π) = π dan π(π) = π2.
Bukti:
Akan ditunjukkan dengan menggunakan metode fungsi pembangkit momen dari
Distribusi Normal.
πΈ(π) =π
ππ‘ππ(π‘)|
π‘=0
=π
ππ‘πππ‘+
π2π‘2
2 |π‘=0
= (π + π2π‘) (πππ‘+π2π‘2
2 )|π‘=0
= (π + 0)(π0)
= π
πΈ(π2) =π
π2π‘ππ(π‘)|
π‘=0
= π2πππ‘+π2π‘2
2 + (π + π2π‘)(π + π2π‘) (πππ‘+π2π‘2
2 )|π‘=0
= π2 + π2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
π(π) = πΈ(π2) β [πΈ(π)]2
= (π2 + π2) β π2
= π2. β
6. Metode Fungsi Pembangkit Momen
Teorema 2.12 Teorema Ketunggalan
Misalkan ππ(π‘) dan ππ(π‘) merupakan fungsi pembangkit momen dari variabel
acak π dan π. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan ππ(π‘) = ππ(π‘) untuk
semua nilai dari π‘, maka π dan π memiliki distribusi probabilitas yang sama.
Bukti:
Bukti dapat dilihat pada skripsi Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg
dan Terapannya. Skripsi.
πΉ(π₯) = πΊ(π₯). (Skripsi halaman 54).
Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi
pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
Contoh 2.16
Andaikan π berdistribusi Normal dengan rata-rata π dan variansi π2, bila π =οΏ½Μ οΏ½βπ
π βπβ,
tunjukkan bahwa π merupakan distribusi Normal standar dengan rata-rata 0 dan
variansi 1.
Solusi:
ππ(π‘) = πΈ[πππ‘]
= πΈ [π(οΏ½Μ οΏ½βπ
π βπβ)π‘]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
= πΈ [π
οΏ½Μ οΏ½π‘
π βπβ(π
βππ‘
π βπβ )
]
= πππ‘
π βπβ [πΈ (ποΏ½Μ οΏ½π‘
π βπβ )]
misal π‘β² =π‘
π βπβ
= πβππ‘β²[πΈ(π οΏ½Μ οΏ½π‘)]
= πβππ‘β²[πΈ (π
π1π‘β²
π ππ2π‘
β²
π β¦ππππ‘
β²
π )]
= πβππ‘β²ποΏ½Μ οΏ½(π‘
β²)
= πβππ‘β²(πππ‘
β²+π2π‘β²
2
2 )
= πβππ‘
π βπβ π
(ππ‘
π βπβ+(π‘2
π2 πβ)π2
2)π
= πβππ‘
π βπβ (πππ‘
π βπβ )(ππ‘2π2π )
= ππ‘2
2
ππ(π‘) akan sama dengan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal apabila
π = 0 dan π2 = 1, sehingga menurut Teorema 2.12 π berdistribusi Normal standar
dengan π = 0 dan π2 = 1.
Teorema 2.13
Misalkan π1, π2, β¦ , ππ adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi
pembangkit momen ππ1(π‘),ππ2
(π‘), β¦ ,πππ(π‘). Jika π = π1 + π2 +β―+ ππ,
maka ππ(π‘) = ππ1(π‘) Γ ππ2
(π‘) Γ β¦Γπππ(π‘).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Bukti:
ππ(π‘) = πΈ(ππ’π‘)
= πΈ[π(π1+π2+β―+ππ)π‘]
= πΈ[(ππ1π‘) Γ (ππ2π‘) Γ β¦Γ (ππππ‘)]
= πΈ(ππ1π‘) Γ πΈ(ππ2π‘) Γ β¦Γ πΈ(ππππ‘)
= ππ1(π‘) Γ ππ2
(π‘) Γ β¦Γπππ(π‘). β
C. Distribusi Probabilitas Multivariat
Definisi 2.18
Misalkan π dan π merupakan variabel acak diskrit, maka fungsi probabilitas
π(π₯, π¦) = π(π = π₯, π = π¦) disebut fungsi probabilitas bersama dari π dan π, untuk
ββ < π₯ < β, ββ < π¦ < β.
Contoh 2.17
Dalam suatu kelas terdapat 2 siswa Amerika Afrika (berkulit hitam), 2 siswa
berkulit putih, dan 3 siswa Hispanic Amerika. Jika 2 siswa diambil secara acak dari
kelas tersebut, dan jika π merupakan banyaknya siswa berkulit hitam, dan π
merupakan banyaknya siswa berkulit putih, tentukan fungsi probabilitas bersama
dari variabel acak π dan π.
Solusi:
Terdapat 7 siswa di dalam kelas tersebut, sehingga ada (72) = 21 cara untuk
mengambil 2 siswa dari 7 siswa.
Banyaknya cara mengambil 0 siswa berkulit hitam, 0 siswa berkulit putih, dan 2
siswa Hispanic Amerika adalah (20)(20)(32) = 3 cara, sehingga (π = 0, π = 0) =
π(0,0) =(20)(
20)(
32)
(72)=
3
120 .
Cara yang sama dapat dilakukan dengan mencari semua kemungkinan nilai π dan
π. Tabel 2.3 memperlihatkan semua fungsi probabilitas bersama dari variabel acak
π dan π.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Definisi 2.19
Misalkan π dan π merupakan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas
bersama π(π₯, π¦), maka
1. π(π₯, π¦) β₯ 0 untuk semua π₯ dan π¦.
2. β π(π₯, π¦) = 1π₯,π¦ .
Tabel 2.3
π
π
0 1 2
0 3
120
6
120
1
120
1 6
120
4
120
0
2 1
120
0 0
Definisi 2.20
Setiap variabel acak π dan π fungsi distribusi bersama πΉ(π₯, π¦) adalah
πΉ(π₯, π¦) = π(π β€ π₯, π β€ π¦), ββ < π₯ < β, ββ < π¦ < β.
Contoh 2.18
Tentukan πΉ(1,1) untuk Contoh 2.17
Solusi:
Untuk dua variabel diskrit π dan π, πΉ(π₯, π¦) diberikan dengan
πΉ(π₯, π¦) = β β π(π‘1, π‘2).
π‘2β€π¦π‘1β€π₯
Sehingga πΉ(1,1) = π(0,0) + π(0,1) + π(1,0) + π(1,1) =19
120.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Definisi 2.21
Misalkan π dan π merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi distribusi
bersama πΉ(π₯, π¦). Jika terdapat fungsi nonnegatif π(π₯, π¦) seperti
πΉ(π₯, π¦) = β« β«π(π‘1, π‘2)ππ‘2ππ‘1
π¦
ββ
π₯
ββ
,
untuk semua ββ < π₯ < β, ββ < π¦ < β, maka π dan π disebut variabel acak
kontinu bersama. Fungsi π(π₯, π¦) disebut fungsi densitas probabilitas bersama.
Definisi 2.22
Misalkan π dan π merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas
bersama π(π₯, π¦), maka
1. π(π₯, π¦) β₯ 0 untuk semua π₯ dan π¦.
2. β« β« π(π₯, π¦) = 1β
ββ
β
ββ.
Contoh 2.19
Bensin harus disimpan dalam tangki curah pada awal minggu dan kemudian dijual
kepada pelanggan. Misalkan π menunjukkan kapasitas tangki curah yang tersedia
setelah tangki diisi pada awal minggu dan π menunjukkan kapasitas tangki curah
yang dijual selama satu minggu dengan fungsi densitas bersama sebagai berikut:
π(π₯, π¦) = {3π₯2, 0 β€ π₯ β€ 1, 0 β€ π¦ β€ 10, selainnya.
Tunjukkan bahwa fungsi densitas bersamanya memenuhi Definisi 2.22
Solusi:
1. Dapat dilihat jelas bahwa π(π₯, π¦) β₯ 0 untuk semua π₯ dan π¦.
2. Akan ditunjukkan bahwa β« β« 3π₯2ππ₯ππ¦ = 1.1
0
1
0
β«β«3π₯2ππ₯ππ¦
1
0
1
0
= β«(π₯3|01)
1
0
ππ¦
= β«1
1
0
ππ¦
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
= π¦|01 = 1.
Definisi 2.23
Misalkan π dan π memiliki fungsi probabilitas bersama π(π₯, π¦), maka π dan π
dikatakan saling bebas jika dan hanya jika
π(π₯, π¦) = ππ(π₯)ππ(π¦)
untuk semua pasangan bilangan real π₯ dan π¦.
Contoh 2.20
Misalkan
π(π₯, π¦) = {3π₯, 0 β€ π¦ β€ π₯ β€ 1,0, selainnya.
a. Tentukan ππ(π₯) dan ππ(π¦).
b. Apakah π dan π saling bebas?
Solusi:
a. Kita perhatikan untuk setiap π₯, π¦ bervariasi dari 0 ke π₯ (0 < π¦ < π₯), maka dari
itu
ππ(π₯) = β«3π₯ ππ¦ = 3π₯(π¦|0π₯) = 3π₯2, 0 < π₯ < 1.
π₯
0
Demikian pula, untuk setiap π¦, π₯ bervariasi dari π¦ ke 1
ππ(π¦) = β«3π₯ ππ₯ =3π₯2
2|π¦
1
=3
2
1
π¦
β3π¦2
2
=3
2(1 β π¦2), 0 < π¦ < 1.
b. Untuk memeriksa sifat saling bebas dari π dan π
ππ(1)ππ (1
2) = (3) (
9
8) =
27
8β 3 = π (1,
1
2).
Jadi, π dan π tidak saling bebas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Definisi 2.24
Misalkan π(π1, π2, β¦ , ππ) merupakan fungsi dari variabel acak diskrit,
π1, π2, β¦ , ππ yang memiliki fungsi probabilitas π(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π). Maka nilai
harapan dari π(π1, π2, β¦ , ππ)
πΈ[π(π1, π2, β¦ , ππ)] =ββ¦ββπ(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π)π(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π).
π₯1π₯2π₯π
Jika π1, π2, β¦ , ππ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama
π(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π), maka
πΈ[π(π1, π2, β¦ , ππ)]
= β« β¦ β« β« π(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π)π(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π)ππ₯1ππ₯2β¦ππ₯π
β
ββ
β
ββ
β
ββ
.
Contoh 2.21
Misalkan π1 dan π2 memiliki fungsi densitas bersama sebagai berikut
π(π₯1, π₯2) = {3π₯1, 0 β€ π₯1 β€ 1,0 β€ π₯2 β€ 1
0, selainnya
Tentukan πΈ(π1, π2)
Solusi:
Dari Definisi 2.24 didapat
πΈ(π1, π2) = β« β« π₯1π₯2
β
ββ
β
ββ
π(π₯1, π₯2)ππ₯1ππ₯2
= β«β«π₯1π₯2
1
0
1
0
(3π₯1)ππ₯1ππ₯2 = β«β«3π₯12π₯2
1
0
ππ₯1ππ₯2
1
0
= β«π₯2(π₯13]01)
1
0
ππ₯2 = β«π₯2ππ₯2
1
0
=1
2π₯22]0
1
=1
2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Teorema 2.14
Jika π dan π merupakan variabel acak yang saling bebas dan π(π₯) dan β(π¦)
merupakan fungsi dari π dan π, maka
πΈ[π(π)β(π)] = πΈ[π(π)]πΈ[β(π)].
Bukti:
Untuk variabel diskrit
πΈ[π(π)β(π)] =ββπ(π₯)β(π¦)π(π₯, π¦)
βπ¦βπ₯
=ββπ(π₯)β(π¦)
βπ¦βπ₯
π1(π₯)π2(π¦)
= [βπ(π₯)π1(π₯)
βπ₯
] [ββ(π¦)π2(π¦)
βπ¦
]
= πΈ[π(π)]πΈ[β(π)] β
Untuk variabel kontinu
πΈ[π(π)β(π)] = β« β« π(π₯)β(π¦)π(π₯, π¦)ππ₯ππ¦
β
ββ
β
ββ
= β« β« π(π₯)β(π¦)π1(π₯)π2(π¦)ππ₯ππ¦
β
ββ
β
ββ
= [ β« π(π₯)π1(π₯)
β
ββ
ππ₯] [ β« β(π¦)π2(π¦)
β
ββ
ππ¦]
= πΈ[π(π)]πΈ[β(π)] β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
D. Teorema Limit Pusat
Teorema 2.15
Misalkan π dan π1, π2, π3, β¦ adalah variabel acak dengan fungsi pembangkit
momen π(π‘) dan π1(π‘),π2(π‘),π3(π‘), β¦
Jika
limπββ
ππ(π‘) = π(π‘), βπ‘ β β
maka fungsi distribusi dari ππ akan konvergen ke fungsi distribusi dari π, π β β.
Bukti:
Bukti terdapat pada buku Williams, David. 1991. Probability with Martingales.
New York: Cambridge University Press. (Halaman 185).
Teorema 2.16
Misalkan π1, π2, β¦ππ merupakan variabel acak berdistribusi indentik dan saling
bebas dengan πΈ(ππ) = π dan π(ππ) = π2 < β. Didefinisikan
ππ =β ππ β ππππ=1
πβπ=οΏ½Μ οΏ½ β π
π πβ dimana οΏ½Μ οΏ½ =
1
πβππ
π
π=1
.
Maka fungsi distribusi dari ππ konvergen ke fungsi Disribusi Normal Standar saat
π β β adalah
limπββ
π(ππ β€ π’) = β«1
β2ππβπ‘
2 2β ππ‘
π’
ββ
untuk semua π’.
Bukti:
ππ = βπ(οΏ½Μ οΏ½ β π
π)
=1
βπ(β ππ β ππππ=1
π) =
1
βπβππ
π
π=1
, dimana ππ =ππ β π
π
Karena variabel acak ππ saling bebas dan distribusi identik, ππ, π = 1, 2, β¦ , π saling
bebas dan berdistribusi identik dengan πΈ(ππ) = 0 dan π(ππ) = 1.
Fungsi pembangkit momen dari jumlah variabel acak adalah hasil kali dari fungsi
pembangkit momen,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
πβππ(π‘) = ππ1
(π‘) Γ ππ2(π‘) Γ β¦πππ
(π‘) = [πππ(π‘)]
π
dan
πππ(π‘) = πβππ
(π‘
βπ) = [πππ
(π‘
βπ)]π
.
Dengan Teorema Taylor didapat
ππ1(π‘) = ππ1
(0) + πβ²π1(0)π‘ + πβ²β²π1(π)π‘2
2, dimana 0 < π < π‘,
dan karena ππ1(π‘) = πΈ(π0π1) = πΈ(1) = 1, dan πβ²π1(0) = πΈ(π1) = 0,
ππ1(π‘) = 1 +
πβ²β²π1(π)
2π‘2, dimana 0 < π < π‘.
Sehingga,
πππ(π‘) = [1 +
πβ²β²π1(ππ)
2(π‘
βπ)2
]
π
= [1 +πβ²β²π1(ππ) π‘
2 2β
π]
π
, dimana 0 < ππ <π‘
βπ.
Perhatikan bahwa π β β, ππ β 0 dan πβ²β²π1(ππ) π‘
2 2β β πβ²β²π1(0) π‘2 2β =
πΈ(π12) π‘2 2β = π‘2 2β karena πΈ(π1
2) = π(π1) = 1. Ingat bahwa jika
limπββ
ππ = π maka limπββ
(1 +ππ
π)π
= ππ .
Maka
limπββ
πππ(π‘) = lim
πββ[1 +
πβ²β²π1(ππ) π‘2 2β
π]
π
= ππ‘2 2β ,
fungsi pembangkit momen untuk variabel acak Normal standar. Dengan
menggunakan Teorema 2.15, kita dapatkan bahwa ππ mempunyai fungsi distribusi
yang konvergen ke fungsi distribusi Normal standar.
E. Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter adalah bagian dari statistik inferensi yang merupakan
suatu cara untuk memprediksi karakteristik dari suatu populasi berdasarkan sampel
yang diambil. Informasi yang didapatkan dalam sampel dapat digunakan untuk
menghitung nilai penduga titik, penduga selang, atau keduanya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Definisi 2.25
Penduga merupakan peraturan, yang sering dinyatakan sebagai rumus, yang
memberi tahu bagaimana cara menghitung nilai pendekatan berdasarkan
pengukuran yang didapat dalam sampel.
1. Pendugaan Titik
Penduga titik merupakan salah satu nilai tunggal yang dengan sebaik-
baiknya menduga nilai parameter yang tak diketahui.
Contoh 2.22
Untuk contoh, rata-rata sampel
οΏ½Μ οΏ½ =1
πβππ
π
π=1
adalah salah satu penduga titik dari rata-rata populasi π. οΏ½Μ οΏ½ merupakan aturan dan
rumus yang menjumlahkan sampel pengamatan dan membaginya dengan ukuran
sampel π.
Definisi 2.26
Misalkan π merupakan penduga titik dari parameter π. Maka π merupakan penduga
tak bias jika πΈ(π) = π. Jika πΈ(π) β π, π dikatakan bias.
Contoh 2.23
Misalkan πΈ(π1) = πΈ(π2) = π dan andaikan penduga π3 = ππ1 + (1 β π) π2.
Tunjukkan bahwa π3 merupakan penduga tak bias dari π.
Solusi:
πΈ(π3) = πΈ[ππ1 + (1 β π)π2]
= ππΈ(π1) + (1 β π) πΈ(π2)
= ππ + (1 β π)π
= ππ + π β ππ
= π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Menurut Definisi 2.26 karena πΈ(π3) = π maka π3 merupakan penduga tak bias dari
π.
Definisi 2.27
Bias dari penduga titik π diberikan oleh π΅(π) = πΈ(π) β π.
Definisi 2.28
Jumlah kuadrat galat dari penduga titik π adalah πππΈ(π) = πΈ [(π β π)2].
2. Penduga Selang
Penduga selang adalah rumus untuk menentukan batas-batas interval
berdasarkan pengukuran dari sampel. Penduga selang sering disebut juga
selang kepercayaan. Batas bawah dan batas atas dari selang kepercayaan
disebut batas kepercayaan atas dan batas kepercayaan bawah. Probabilitas
bahwa selang kepercayaan akan mendekati π disebut koefisien kepercayaan.
Misalkan ππΏ dan ππ merupakan batas bawah dan batas atas selang
kepercayaan untuk sebuah parameter π. Maka
π(ππΏ β€ π β€ ππ) = 1 β πΌ,
1 β πΌ adalah koefisien kepercayaan. Selang acak yang dihasilkan,
didefinisikan sebagai [ππΏ , ππ] disebut selang kepercayaan dua sisi.
Dapat dibentuk selang kepercayaan satu sisi sedemikian rupa
π(ππΏ β€ π) = 1 β πΌ
dengan selang kepercayaan [ππΏ , β). Demikian pula kita juga dapat memiliki
selang kepercayaan satu sisi sedemikian rupa
π(π β€ ππ) = 1 β πΌ
dengan selang kepercayaan (ββ, ππ].
3. Metode Pivot
Metode pivot merupakan salah satu metode yang digunakan untuk
menentukan selang kepercayaan. Metode ini bergantung pada kuantitas pivot
yang memiliki dua karakteristik, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel (π₯1, π₯2, β¦ , π₯π) dan merupakan
fungsi dari parameter π yang tidak diketahui.
2. Memiliki fungsi probabilitas yang tidak bergantung pada parameter π.
Contoh 2.24
Tentukan selang kepercayaan 95% bagi π bila diketahui kuantitas pivotnya adalah
π =οΏ½Μ οΏ½βπ
π βπβ, dengan π berdistribusi Normal dengan rata-rata π yang tidak diketahui
dan variansi π2 = 1.
Solusi:
Dari Contoh 2.16 telah diketahui bahwa fungsi pembangkit momen dari Z adalah
ππ(π‘) = ππ‘2
2 yang sama dengan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal
apabila π = 0 dan π2 = 1.
Fungsi probabilitas dari π adalah ππ(π) =1
β2ππ(β
1
2π2)
Syarat kuantitas pivot dipenuhi, yaitu:
1. π merupakan fungsi dari pengukuran (π₯1, π₯2, β¦ , π₯π) dan parameter π yang tidak
diketahui.
2. Fungsi probabilitas yaitu ππ tidak bergantung pada parameter π.
Selang kepercayaan 95% bagi π adalah
π(βπ§πΌ 2β < π < π§πΌ 2β ) = 0.95
π(βπ§0.05 2β < π < π§0.05 2β ) = 0.95
Dari Tabel Distribusi Normal (Lampiran 1) diperoleh π§0.05 2β = π§0.025 = 1.96.
π(β1.96 < π < 1.96) = 0.95
π (β1.96 <οΏ½Μ οΏ½ β π
π βπβ< 1.96) = 0.95
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
π (β1.96 (π
βπ) < οΏ½Μ οΏ½ β π < 1.96 (
π
βπ)) = 0.95
π (βοΏ½Μ οΏ½ β 1.96 (π
βπ) < βπ < βοΏ½Μ οΏ½ + 1.96 (
π
βπ)) = 0.95
Jadi, selang kepercayaan 95% bagi π adalah
π (οΏ½Μ οΏ½ β1.96π
βπ< π < οΏ½Μ οΏ½ +
1.96π
βπ) = 0.95
4. Selang Kepercayaan untuk Sampel Besar
Jika sampel berukuran besar, maka dengan Teorema Limit Pusat,
disribusi sampel dapat diasumsikan mendekati Normal. Misalkan, jika π
merupakan parameter yang tidak diketahui (seperti π, π, (π1 β π2), (π1 β
π2)), maka untuk sampel yang berukuran besar, dengan Teorema Limit Pusat
π =π β π
ποΏ½ΜοΏ½
mendekati Distribusi Normal Standar, dimana π merupakan penduga
kemungkinan maksimum dari π dan ποΏ½ΜοΏ½ merupakan standar deviasi. Metode
pivot dapat digunakan untuk menentukan selang kepercayaan untuk parameter
π. Untuk π = π, π β₯ 30 dapat dikatakan besar; untuk parameter Binomial π, π
dikatakan besar jika ππ dan π(1 β π) keduanya lebih besar dari 5.
Contoh 2.25
Misalkan π berdistribusi Normal dengan rata-rata π dan standar deviasi ποΏ½ΜοΏ½ dimana
π diasumsikan diketahui. Tentukan selang kepercayaan untuk π yang memiliki
koefi sien kepercayaan sama dengan 1 β πΌ.
Solusi:
Kuantitas pivot dari π adalah
π =π β π
ποΏ½ΜοΏ½
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
dan memiliki Distribusi Normal Standar. Pilih dua nilai ujung βππΌ 2β dan
ππΌ 2β sehingga
π(βππΌ 2β β€ π β€ ππΌ 2β ) = 1 β πΌ (2.1)
π (βππΌ 2β β€π β π
ποΏ½ΜοΏ½β€ ππΌ 2β ) = 1 β πΌ
π(βππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½ β€ π β π β€ ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½) = 1 β πΌ
π(βπβππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½ β€ βπ β€ βπ + ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½) = 1 β πΌ
π(π β ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½ β€ π β€ π + ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½) = 1 β πΌ
Sehingga diperoleh,
ππΏ = π β ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½ dan ππ = π + ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½
Maka dari itu, selang kepercayaan (1 β πΌ)100% untuk π adalah π Β± ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½ .
Contoh 2.26
Enam puluh empat kendaraan diamati secara acak untuk kecepatannya (dalam mph)
di jalan raya yang batas kecepatannya adalah 70 mph. Diperoleh kecepatan rata-
ratanya adalah 73.3 mph. Kita asumsikan bahwa kecepatan kendaraan berdistribusi
Normal dengan π = 3.2. Tentukan selang kepercayaan 90% untuk kecepatan rata-
rata sebenarnya π, dari kendaraan di jalan raya tersebut.
Solusi:
Diketahui π = π, sedemikian sehingga π = οΏ½Μ οΏ½ = 73.3, π = 3.2 dan πΌ = 0.10 untuk
sampel π = 64.
Selang kepercayaan
π Β± ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½
menjadi
οΏ½Μ οΏ½ Β± ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½
Dari Tabel Distribusi Normal (Lampiran 1) diperoleh ππΌ 2β ποΏ½ΜοΏ½ = π0.05 = 1.645.
Diperoleh batas kepercayaan bawah dan batas kepercayaan atas
οΏ½Μ οΏ½ β ππΌ 2β (π
βπ) = 73.3 β 1.645 (
3.2
β64) = 72.642.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
οΏ½Μ οΏ½ + ππΌ 2β (π
βπ) = 73.3 + 1.645 (
3.2
β64) = 73.958.
Jadi, selang kepercayaan 90% bagi π adalah (72.642, 73.958 ).
F. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood)
Metode kemungkinan maksimum adalah teknik yang sangat luas dipakai dalam
pendugaan suatu parameter distribusi data (Dempster et al.). Metode ini merupakan
alternatif bagi metode kuadrat terkecil dengan memaksimumkan fungsi
kemungkinan.
Definisi 2.29
Misalkan π₯1, π₯2, β¦ , π₯π merupakan sampel pengamatan yang diambil secara acak
yang bersesuian dengan variabel acak π1, π2, β¦ , ππ yang distribusinya bergantung
pada parameter π. Jika π1, π2, β¦ , ππ merupakan variabel acak diskrit, fungsi
likelihood dari sampel, πΏ(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π |π), didefinisikan sebagai probabilitas
bersama dari π₯1, π₯2, β¦ , π₯π. . Jika π1, π2, β¦ , ππ merupakan variabel acak kontinu,
fungsi likelihood dari sampel, πΏ(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π |π), didefinisikan sebagai
probabilitas bersama dari π₯1, π₯2, β¦ , π₯π.
Jika himpunan dari variabel acak π1, π2, β¦ , ππ merupakan sampel acak dari
distribusi diskrit dengan fungsi probabilitas π(π₯|π), maka
πΏ(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π |π) = π(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π |π) = π(π₯1|π) Γ π(π₯2|π) Γ β¦Γ π(π₯π|π),
Jika π1, π2, β¦ , ππ merupakan distribusi kontinu dengan fungsi densitas π(π₯|π),
maka
πΏ(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π |π) = π(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π |π) = π(π₯1|π) Γ π(π₯2|π) Γ β¦Γ π(π₯π|π).
Biasanya notasi likelihood dengan πΏ(π) disederhanakan menjadi
πΏ(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π |π).
Definisi 2.30 Metode Kemungkinan Maksimum
Misalkan fungsi kemungkinan bergantung pada π parameter-parameter
π1, π2, β¦ , ππ . Penduga kemungkinan maksimum adalah nilai-nilai penduga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
parameter-parameternya yang memaksimalkan fungsi kemungkinan
πΏ(π₯1, π₯2, β¦ , π₯π|π1, π2, β¦ , ππ).
Contoh 2.27
Misalkan π1, β¦ , ππ merupakan sampel acak dari Distribusi Poisson dengan
parameter π. Tentukan penduga kemungkinan maksimum bagi π.
Solusi:
Kita memiliki fungsi probabilitas
π(π₯) =ππ₯πβπ
π₯!, π₯ = 0,1,2,β¦ , π > 0.
Oleh karena itu, fungsi kemungkinannya adalah
πΏ(π) =βππ₯πβπ
π₯!
π
π=1
=πβ π₯π
ππ=1 πβππ
β π₯π!ππ=1
,
Untuk mempermudah perhitungan akan digunakan transformasi logaritma, karena
fungsi logaritma adalah fungsi yang monoton naik, sehingga memaksimalkan
ππ πΏ(π) berarti juga memaksimalkan πΏ(π).
ln πΏ(π) =βπ₯π
π
π=1
ππ π β ππ ββln(π₯π!)
π
π=1
dan menurunkan terhadap π, didapat
π ln πΏ(π)
ππ=β π₯πππ=1
πβ π
dan
π ln πΏ(π)
ππ= 0,
maka
β π₯πππ=1
πβ π = 0 (2.2)
Pembuat nol untuk persamaan (2.2) adalah β π₯πππ=1
π= π, sehingga diperoleh
π =β π₯πππ=1
π= οΏ½Μ οΏ½.
Maka dari itu, penduga bagi π adalah
οΏ½ΜοΏ½ = οΏ½Μ οΏ½.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
BAB III
METODE TABEL KEHIDUPAN
A. Analisis Ketahanan Hidup
Analisis ketahanan hidup adalah metode statistika untuk mempelajari suatu
kejadian dan waktu kejadian. Waktu dalam analisis ketahanan hidup dapat berupa
tahun, bulan, minggu atau hari dari awal pengamatan sampai terjadinya suatu
kejadian. Dalam analisis ketahanan hidup variabel waktu direpresentasikan sebagai
waktu ketahanan hidup dimana variabel tersebut menunjukkan bahwa seseorang
dapat bertahan untuk beberapa jangka waktu. Kita bisa juga menyebut kejadian
tersebut sebagai suatu kegagalan, contohnya kematian individu.
Waktu ketahanan hidup didefinisikan secara luas sebagai waktu terjadinya
suatu kejadian. Pada bidang kesehatan, kejadian dalam analisis ketahanan hidup
yang dimaksud adalah kematian yang dapat disebabkan karena suatu penyakit,
kambuhnya suatu penyakit saat pengobatan berlangsung atau karena munculnya
suatu penyakit baru. Data ketahanan hidup dapat meliputi waktu bertahan hidup,
respon terhadap obat yang diberikan dan karakteristik pasien terkait dengan respon,
ketahanan hidup, dan perkembangan suatu penyakit. Ketahanan hidup difokuskan
pada prediksi atau peramalan probabilitas respon, kelangsungan hidup atau rata-
rata waktu hidup, membandingkan distribusi ketahanan hidup dari percobaan
hewan atau pasien dan mengidentifikasi risiko dan/atau faktor prognostik terkait
dengan respon, ketahanan hidup, dan perkembangan suatu penyakit. Waktu
ketahanan dalam analisis ketahanan hidup dikenal juga dengan waktu kegagalan
atau failure time.
Analisis ketahanan hidup sangat berguna untuk mempelajari berbagai macam
peristiwa, baik secara sosial dan ilmu pengetahuan alam, termasuk timbulnya suatu
penyakit, kegagalan peralatan, gempa bumi, kecelakaan mobil, pasar saham,
revolusi, pemutusan hubungan kerja, kelahiran, pernikahan, perceraian, promosi,
pensiun dan penangkapan. Penyesuaian suatu materi sesuai dengan kebutuhan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
menyebabkan metode ini mengalami banyak perkembangan yang ditemukan oleh
para peneliti di bidang yang berbeda, sehingga terdapat beberapa istilah nama yang
berbeda, seperti Analisis Peristiwa Sejarah (Sosiologi), Analisis Reliabilitas
(Teknik), Kegagalan Analisis Waktu (Teknik), Analisis Durasi (Ekonomi) dan
Analisis Transisi (Ekonomi) (Allison, 1995).
B. Data Tersensor
Banyak peneliti menganggap analisis data ketahanan hidup hanya sebagai
aplikasi dari data metode statistika konvensional untuk jenis masalah khusus:
parametrik jika distribusi waktu ketahanan hidup diketahui berdistribusi Normal
dan non parametrik jika distribusi waktu ketahanan hidup tidak diketahui. Asumsi
ini benar jika waktu ketahanan hidup dari semua subjek diketahui. Pada umumnya,
waktu ketahanan hidup tidak demikian. Misalnya, terdapat pasien yang masih
bertahan atau sembuh selama pengamatan berlangsung, tetapi waktu ketahanan
hidup yang tepat dari pasien tidak diketahui. Hal ini disebut sebagai pengamatan
tersensor atau waktu tersensor. Penyensoran didefinisikan sebagai hilangnya
pengamatan pada variabel kehidupan dalam proses pengamatan (Xian Liu, 2012).
Secara umum, penyensoran dibagi menjadi beberapa tipe, yaitu penyensoran
kana, penyensoran kiri dan penyensoran interval.
1. Penyensoran Kanan
Penyensoran kanan dibagi menjadi tiga kategori yaitu penyensoran tipe I,
penyensoran tipe II dan penyensoran acak.
a. Penyensoran Tipe I
Penyensoran tipe I merupakan penyensoran dimana pengamatan akan
dilakukan selama waktu π yang telah ditentukan dan akan berakhir setelah
mencapai waktu π, berakhirnya waktu π menyatakan waktu tersensor.
Penyensoran tipe I merujuk pada fakta bahwa semua pengamatan memiliki
waktu yang sama. Bahkan pengamatan yang tidak disensor dikatakan untuk
memiliki waktu tersensor. Penyensoran tipe I biasanya berhubungan dengan
jangka pengamatan yang telah ditentukan sebelumnya. Secara matematis,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
waktu ketahanan hidup dilambangkan dengan π > πΆ, dimana π adalah
waktu pengamatan dan πΆ adalah waktu penyensoran yang telah ditetapkan.
b. Penyensoran Tipe II
Penyensoran tipe II terjadi ketika pengamatan dihentikan setelah individu
mengalami kegagalan sebanyak π dari π individu yang diamati. Misalkan
seorang peneliti melakukan percobaan dengan 100 tikus di laboratorium,
peneliti dapat memutuskan bahwa percobaan akan berhenti ketika 50 dari
tikus tersebut mati.
c. Penyensoran Acak
Pada sebagian besar studi klinis dan epidemiologis jangka waktu penelitian
adalah tetap dan pasien memasuki penelitian pada waktu yang berbeda
selama jangka waktu penelitian. Penyensoran acak terjadi ketika
pengamatan berhenti karena alasan yang berada di bawah kendali peneliti.
Berikut merupakan kejadian-kejadian yang menyebabkan terjadinya
penyensoran adalah:
1. Study ends-no event
Individu tidak mengalami pengamatan sampai penelitian berakhir (misal:
individu telah dinyatakan sembuh sebelum penelitian berakhir), sehingga
waktu ketahanan hidupnya dapat diketahui secara pasti, yaitu saat
individu memasuki pengamatan hingga pengamatan terakhir.
2. Lost to-follow up
Individu menghilang selama masa penelitian berlangsung (misal:
individu yang sedang diamati pindah atau menolak untuk dilakukan
pengamatan).
3. Withdraws from the study
Individu terpaksa diberhentikan dari penelitian karena meninggal
sebelum penelitian berakhir (misal: karena reaksi obat yang merugikan).
2. Penyensoran Kiri
Penyensoran kiri terjadi bila diketahui peristiwa yang diamati terjadi sebelum
waktu tertentu (π‘), tetapi waktu eksak dari kejadian tidak diketahui. Sebagai
contoh, misalkan seorang ahli epidemiologi ingin mengetahui usia pasien yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
telah didiagnosis penyakit gagal ginjal kronis. Pada saat penelitian, pasien
berusia 25 tahun diketahui telah mengalami gagal ginjal kronis, tetapi tidak ada
catatan pada usia berapa awal pasien terkena gagal ginjal kronis. Dengan
demikian usia saat pemeriksaan (yaitu 25 tahun) merupakan penyensoran kiri.
Usia diagnosis untuk pasien ini paling lama adalah 25 tahun.
3. Penyensoran Interval
Penyensoran interval terjadi bila peristiwa yang diamati diketahui telah terjadi
antara waktu π dan waktu π. Sebagai contohnya, kembali menggunakan contoh
penderita penderita gagal ginjal kronis. Jika catatan medis menunjukkan bahwa
pada usia 15 tahun penderita belum menderita gagal ginjal kronis, maka usia
penderita terdiagnosis gagal ginjal kronis adalah antara 15 dan 25 tahun.
Contoh 3.1
Beberapa pasien mungkin masih hidup atau sembuh dari penyakit pada akhir waktu
pengamatan. Waktu ketahanan hidup yang pasti dari subjek tidak diketahui. Hal ini
merupakan pengamatan tersensor atau waktu yang disensor dan bisa juga terjadi
ketika seseorang hilang dari pengamatan (lost to follow-up) setelah waktu
pengamatan. Ketika hal ini bukan merupakan pengamatan tersensor, kumpulan dari
waktu ketahanan hidup telah selesai.
C. Fungsi Ketahanan Hidup (Survival Function)
Fungsi ketahanan hidup adalah probabilitas seorang individu dapat bertahan
hidup lebih lama dari waktu yang telah ditentukan. Secara matematis, fungsi
ketahanan hidup dapat ditulis sebagai berikut
π(π‘) = π(π > π‘) (3.1)
dengan π adalah variabel acak waktu ketahanan hidup, π‘ adalah suatu waktu, dan
π adalah fungsi probabilitas. Dari Definisi 2.12, fungsi distribusi kumulatif πΉ(π‘)
dari π, π(π‘) dapat ditulis sebagai
π(π‘) = 1 β π(π β€ π‘)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
= 1 β πΉ(π‘). (3.2)
Fungsi π(π‘) bukan fungsi yang meningkat dari π‘ waktu dengan ciri
sebagai berikut
π(π‘) = {1, π‘ = 00, π‘ β β
Secara teoritis, ketika π‘ berkisar dari 0 hingga tak terbatas, fungsi ketahanan dapat
digambarkan sebagai kurva mulus seperti yang diilustrasikan oleh Gambar 3.1.
Fungsi ketahanan hidup π(π‘) memiliki karakteristik-karakteristik sebagai berikut:
β’ Merupakan fungsi yang monoton turun.
β’ Pada waktu π‘ = 0, π(π‘) = π(0) = 1, yaitu pada awal pengamatan karena
belum ada yang mengalami kejadian atau peristiwa, maka probabilitas
bertahan seorang individu pada waktu 0 adalah 1.
β’ Pada waktu π‘ β β, π(π‘) = limπ‘ββ
π(π‘) = 0. Secara teoritis, jika waktu
pengamatan meningkat tanpa batas, akhirnya tidak ada yang akan bertahan.
Jadi, kurva yang menunjukkan waktu bertahan hidup akhirnya menuju ke
nol.
Gambar 3.1 Grafik fungsi ketahanan hidup
Fungsi π(π‘) juga dikenal sebagai fungsi distribusi kumulatif. Berkson pada
tahun 1942 memberikan gambaran mengenai perjalanan hidup yang diberikan pada
grafik π(π‘) seperti pada Gambar 3.2. Grafik π(π‘) disebut sebagai kurva ketahanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
hidup. Gambar 3.2a mewakili tingkat ketahanan hidup yang rendah atau waktu
ketahanan hidup yang singkat. Kurva ketahanan hidup bertahap atau datar pada
Gambar 3.2b menunjukkan tingkat ketahanan hidup yang tinggi atau ketahanan
hidup yang panjang.
(a) (b)
Gambar 3.2 Dua contoh dari kurva ketahanan hidup.
Jika tidak ada pengamatan tersensor, fungsi ketahanan hidup ditafsirkan
sebagai proporsi dari pasien yang bertahan hidup melebihi waktu π‘:
οΏ½ΜοΏ½(π‘) =banyaknya pasien yang bertahan hidup lebih dari π‘
banyaknya pasien
(3.3)
Ketika terdapat pengamatan tersensor, pembilang dari (3.3) tidak selalu dapat
ditentukan.
Misalkan terdapat data ketahanan hidup 2, 4, 4+, 8+, 13, 18. Dari enam data
tersebut, pada penderita 3 dan 4, yaitu 4+ dan 8+ dimana tanda plus (+) merupakan
pengamatan tersensor. Menggunakan (3.3), kita dapat hitung οΏ½ΜοΏ½(3) = (5/6) =
0.833. Namun, kita tidak dapat mengitung οΏ½ΜοΏ½(9), karena jumlah yang pasti dari
pasien yang bertahan hidup lebih lama dari 9 tidak diketahui. Penderita ke-3 dan
ke-4 (4+ dan 8+) dapat bertahan hidup lebih lama atau kurang dari 9. Ketika
terdapat pengamatan tersensor, (3.3) tidak dapat digunakan untuk menduga π(π‘).
Diperlukan metode non paramterik untuk menduga π(π‘) dalam kasus data
tersensor.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
D. Fungsi Densitas Ketahanan Hidup
Waktu ketahanan hidup π memiliki fungsi probabilitas sebagai limit dari
probabilitas dimana seorang individu meninggal dalam interval waktu yang pendek
yaitu dari π‘ sampai π‘ + βπ‘ per unit interval βπ‘, atau secara sederhana adalah
probabilitas kegagalan dalam interval yang pendek per unit waktu. Pernyataan
tersebut dapat ditulis sebagai:
π(π‘) = limβπ‘ β0
π[individu yang meninggal dalam interval (t, t + βπ‘ )]
βπ‘ (3.4)
Grafik π(π‘) merupakan kurva fungsi probabilitas (densitas). Gambar 3.3
memberikan dua contoh dari kurva fungsi densitas. Fungsi densitas, sebagaimana
Definisi 2.12 memenuhi dua ciri sebagai berikut:
1. π(π‘) merupakan fungsi nonnegatif:
π(π‘) β₯ 0, untuk semua π‘ β₯ 0
π(π‘) = 0, untuk π‘ < 0
2. Luas daerah di antara kurva densitas dan sumbu π‘ adalah sama dengan 1.
Jika tidak terdapat pengamatan tersensor, fungsi densitas π(π‘) ditafsirkan
sebagai proporsi dari pasien yang meninggal dalam interval per unit interval βπ‘ :
π(π‘) =banyaknya pasien yang meninggal dalam interval mulai dari π‘
(banyaknya pasien) Γ (lebar interval) (3.5)
Sama seperti pendekatan dari π(π‘), ketika terdapat pengamatan tersensor (3.5) tidak
dapat diaplikasikan.
Proporsi individu yang gagal dalam sebarang interval waktu dan ujung
frekuensi tinggi dari kegagalan dapat ditemukan dalam fungsi densitas. Fungsi
densitas dalam Gambar 3.3a memberikan gambaran pola tingkat kegagalan yang
tinggi pada awal pengamatan dan tingkat kegagalan yang menurun seiring dengan
meningkatnya waktu. Dalam Gambar 3.3b, ujung dari frekuensi kegagalan yang
tinggi terjadi pada sekitar 2.9 unit dari waktu. Proporsi dari individu yang gagal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
antara 2 sampai 3 unit dari waktu sama dengan luas area yang diarsir. Fungsi
densitas juga disebut tingkat kegagalan tak bersyarat (unconditional failure rate).
(a) (b)
Gambar 3.3 Dua contoh dari kurva fungsi densitas.
E. Fungsi Hazard (Hazard Function)
Fungsi Hazard dinotasikan dengan β(π‘) yang merupakan limit βπ‘ mendekati
nol dari pernyataan probabilitas ketahanan hidup dibagi dengan βπ‘, dengan βπ‘
menunjukkan interval waktu yang kecil.
β(π‘) = limβπ‘ β0
π(π‘ β€ π < π‘ + βπ‘ |T β₯ t)
βπ‘ (3.6)
Fungsi Hazard β(π‘) memberikan potensial waktu per unit untuk suatu kejadian,
yang berarti bahwa individu dapat bertahan hidup sampai waktu ke π‘. Fungsi
Hazard berbeda dengan fungsi ketahanan hidup yang berfokus pada kesuksesan
suatu kejadian, sedangkan fungsi Hazard berfokus pada kegagalan suatu kejadian.
Dalam beberapa hal, fungsi Hazard memberikan informasi mengenai kejadian
negatif yang diperoleh dari fungsi ketahanan hidup. Kejadian negatif yang
dimaksud adalah kematian seorang individu atau mengenai penyakit tertentu.
Setiap nilai π‘ yang diketahui didapatkan nilai tertingginya adalah π(π‘) dan nilai
terendahnya adalah β(π‘), serta berlaku sebaliknya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Dalam istilah matematika, rumus matematika dari fungsi Hazard ditemukan
dalam pernyataan probabilitas bersyarat π(π΄|π΅), karena pembilang dalam rumus
fungsi Hazard merupakan bentuk dari βπ dari suatu kejadian π΄, bila diketahui
kejadian π΅", dengan π adalah notasi untuk probabilitas. Dalam rumus Hazard,
probabilitas π(π‘ β€ π < π‘ + βπ‘|π β₯ π‘) merupakan probabilitas bersyarat yang
menyatakan bahwa suatu kejadian akan berada dalam interval waktu antara π‘ dan
π‘ + βπ‘, mengingat bahwa waktu ketahanan hidup π lebih besar atau sama dengan
π‘. Penyebutnya adalah βπ‘ yang menunjukkan interval waktu yang kecil. Skala yang
diberikan dalam fungsi Hazard bukan 0 sampai 1 seperti fungsi probabilitas, tetapi
nilainya berkisar antara 0 dan tak terbatas, tergantung waktu diukur dalam hari,
minggu, bulan, tahun dan lain-lain. Maka dari itu, fungsi Hazard juga dapat disebut
sebagai conditional failure rate atau tingkat kegagalan bersyarat.
Sama seperti fungsi ketahanan hidup, fungsi Hazard β(π‘) dapat digambarkan
sebagai rentang π‘ pada berbagai nilai. Bedanya dengan fungsi ketahanan hidup,
grafik β(π‘) tidak harus dimulai dari 1 dan turun ke 0, melainkan dapat dimulai dari
mana saja dan dapat naik atau turun ke segala arah. Secara khusus untuk nilai π‘
yang ditentukan, fungsi Hazard β(π‘) memiliki karakteristik sebagai berikut:
β’ Fungsi tak negatif, artinya lebih besar atau sama dengan 0
β’ Fungsi tidak memiliki batas atas.
Fungsi Hazard dapat digunakan untuk:
1. Memberikan wawasan tentang tingkat kegagalan bersyarat.
2. Mengidentifikasi bentuk model tertentu.
3. Model matematika untuk analisis ketahanan hidup.
Fungsi Hazard juga dapat didefinisikan sebagai fungsi distribusi kumulatif
πΉ(π‘) dan fungsi densitas π(π‘) sebagaimana penjelasan berikut. Menggunakan
definisi peluang bersyarat
β(π‘) = limβπ‘β0
π(π‘ β€ π < π‘ + βπ‘|π β₯ π‘)
βπ‘
= limβπ‘β0
π[(π‘ β€ π < π‘ + βπ‘) β© (π β₯ π‘)]
βπ‘ π(π β₯ π‘)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
= limβπ‘β0
π(π‘ β€ π < π‘ + βπ‘) β© π(π β₯ π‘)
βπ‘ π(π β₯ π‘)
= limβπ‘β0
π(π β€ π‘ + βπ‘) β π(π < π‘)
βπ‘ π(π β₯ π‘)
Berdasarkan definisi π(π β€ π₯) = πΉ(π₯), diperoleh
β(π‘) = limβπ‘β0
π(π β€ π‘ + βπ‘) β π(π < π‘)
βπ‘ (1 β π(π < π‘))
= limβπ‘β0
πΉ(π‘ + βπ‘) β πΉ(π‘)
βπ‘ (1 β πΉ(π‘))
Berdasarkan definisi turunan limβπ‘β0
πΉ(π‘+βπ‘)βπΉ(π‘)
βπ‘ dapat ditulis menjadi πΉβ²(π₯) =
ππΉ(π₯)
ππ₯
β(π‘) = limβπ‘β0
πΉ(π‘ + βπ‘) β πΉ(π‘)
βπ‘
1
(1 β πΉ(π‘))
=πΉβ²(π₯)
1 β πΉ(π‘)
Menurut definisi ππΉ(π₯)
ππ₯= π(π₯), maka diperoleh:
β(π‘) =π(π‘)
1 β πΉ(π‘) (3.7)
Ketika tidak ada pengamatan tersensor, fungsi Hazard diperkirakan sebagai
perbandingan sebagai berikut:
βΜ(π‘) =
banyaknya pasien meninggal dalam interval waktu mulai pada waktu π‘
(banyaknya pasien yang bertahan sampai waktu π‘) Γ (lebar interval)
=banyaknya pasien meninggal per unit waktu dalam interval
banyaknya pasien yang bertahan sampai waktu π‘
(3.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Fungsi Hazard banyak diaplikasikan dalam bidang ilmu aktuaria. Aktuaria
merupakan kombinasi ilmu matematika, statistika, ekonomi keuangan, dan
manajemen risiko, sehingga ilmu aktuaria menjadi ilmu matematika yang
kompleks. Ilmu aktuaria berkaitan dengan asuransi seperti misalkan asuransi jiwa.
Dalam asuransi jiwa, yang dipertanggungkan adalah sesuatu yang disebabkan oleh
kematian. Kematian tersebut dapat mengakibatkan hilangnya pendapatan seseorang
atau keluarga tertentu. Pada asuransi jiwa, risiko yang mungkin timbul terletak pada
unsur waktu. Hal ini menyebabkan sulit untuk memprediksi k, apan seseorang akan
meninggal. Ilmu akturia pada umumnya menggunakan tingkat Hazard rata-rata dari
banyaknya pasien yang meninggal per unit waktu dalam interval dibagi rata-rata
banyaknya pasien yang hidup pada titik tengah interval:
βΜ(π‘) =
banyaknya pasien meninggal per unit waktu dalam interval
(banyaknya pasien yang bertahan sampai waktu π‘
) β (banyaknya individu
meninggal dalam interval) 2β
(3.9)
Fungsi Hazard dapat meningkat, menurun, konstan atau mengindikasikan
proses yang lebih rumit. Gambar 3.4 menunjukkan beberapa bentuk fungsi Hazard
(Elisa dan John, 2003). Grafik yang disediakan merupakan kasus khusus dari
beberapa kejadian tertentu seperti yang akan dijelaskan berikut ini. Contoh pada
Gambar 3.4a, pasien dengan penyakit leukemia yang tidak ingin melakukan
perawatan memiliki tingkat Hazard meningkat β1(π‘), pada Gambar 3.4b, β2(π‘)
merupakan fungsi Hazard menurun , misalnya seorang yang terluka karena
tembakan peluru yang menjalani operasi. Hal paling berbahaya adalah operasi itu
sendiri dan bahaya tersebut akan berkurang jika operasi berhasil. Gambar 3.4c
β3(π‘) adalah grafik yang menunjukkan fungsi Hazard konstan untuk pengamatan
individu yang sehat. Misalkan individu yang sehat antara umur 18 dan 40 tahun
meninggal karena kecelakaan, memiliki risiko kegagalan yang konstan. Kurva
β4(π‘) pada Gambar 3.4d merupakan kurva bathup (bak mandi) yang menjelaskan
tentang proses kehidupan manusia. Misalnya, jika individu dalam suatu populasi
diikuti langsung dari kelahiran sampai meninggal, fungsi Hazard berbentuk bathup
(bak mandi). Setelah periode awal dimana kematian terjadi, terutama karena cacat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
lahir atau penyakit bayi, angka kematian menurun atau relatif konstan sampai usia
30 atau lebih, setelah itu meningkat seiring bertambahnya usia. Fungsi Hazard
β5(π‘) Gambar 3.4e mendeskripsikan pasien TBC yang risikonya meningkat diawal
kemudian menurun setelah melakukan perawatan.
h(t)
t
h (t)1
0
h(t)
t
h (t)2
0
(a) (b)
0
h(t)
t
h (t)3
0
h(t)
t
h (t)4
(c) (d)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
0
h(t)
t
h (t)5
(e)
Gambar 3.4 Contoh dari Fungsi Hazard
F. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Kontinu
Dari (3.2) dan (3.7) diperoleh
β(π‘) =π(π‘)
1 β πΉ(π‘)=π(π‘)
π(π‘) (3.10)
karena fungsi densitas merupakan turunan dari fungsi distribusi kumulatif
π(π‘) =π
ππ‘[1 β π(π‘)] = βπβ²(π‘) (3.11)
substitusi (3.11) ke (3.10)
β(π‘) = βπβ²(π‘)
π(π‘)
= βπβ²(π‘)π ln π(π‘)
ππ(π‘)
= βπ π(π‘)
ππ‘ π ln π(π‘)
ππ(π‘)
= βπ
ππ‘ln π(π‘) (3.12)
mengintegralkan (3.12) dari 0 ke π‘ dan gunakan π(0) = 1, didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
β«β(π₯)
π‘
0
ππ₯ = ββ«π
ππ‘ln π(π‘)
π‘
0
ππ‘
ββ«β(π₯)
π‘
0
ππ₯ = β«π
ππ‘ln π(π‘)
π‘
0
ππ‘
ββ«β(π₯)
π‘
0
ππ₯ = ln π(π‘)|0π‘
ββ«β(π₯)
π‘
0
ππ₯ = ln π(π‘) β ln π(0)
ββ«β(π₯)
π‘
0
ππ₯ = ln π(π‘) β ln(1)
ββ«β(π₯)
π‘
0
ππ₯ = ln π(π‘) (3.13)
Dari (3.13 ) diperoleh
π(π‘) = πββ« β(x)π‘0 ππ₯ (3.14)
dari (3.11) dan (3.15) kita peroleh
π(π‘) = β(π‘)πββ« β(x)π‘0 ππ₯ (3.15)
Oleh karena itu, jika π(π‘) diketahui, fungsi ketahanan hidup bisa didapatkan dari
hubungan antara π(π‘), β(π‘) dan π(π‘). Fungsi Hazard dapat ditentukan dari (3.7).
Jika π(π‘) diketahui, π(π‘) dan β(π‘) dapat ditentukan dari (3.11) dan (3.12) masing-
masing atau β(π‘) dapat diturunkan terlebih dahulu dari (3.12) dan π(π‘) dari (3.11).
Jika β(π‘) diberikan, π(π‘) dan π(π‘) masing-masing bisa didapat dari (3.14) dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
(3.15). Dengan demikian, bila diberikan salah satu dari tiga fungsi ketahanan hidup,
maka dua fungsi lainnya dapat diturunkan.
G. Distribusi Waktu Ketahanan Hidup Waktu Diskrit
Misalkan π adalah variabel acak diskrit, dengan π mempunyai nilai π‘1, π‘2, β¦
dengan 0 β€ π‘1 < π‘2 < β―
Menurut Lawless (1982) fungsi peluangnya dapat ditulis sebagai berikut
π(π‘π) = π(π = π‘π), π = 1, 2, β¦
Maka fungsi ketahanan hidup didefinisikan sebagai
π(π‘) = π(π β₯ π‘) = β π(π‘π)
π:π‘πβ₯π‘
Fungsi Hazard diskret didefinisikan dengan β(π‘π) = π(π = π‘π|π > π‘π), sehingga
β(π‘π) = π(π = π‘π|π β₯ π‘π)
=π[(π = π‘π) β© (π β₯ π‘π)]
π(π β₯ π‘π)
=π(π = π‘π)
π(π β₯ π‘π)
=π(π‘π)
π(π‘π) , π = 1, 2, β¦ (3.16)
dari persamaan di atas diperoleh
π(π‘π) = β(π‘)π(π‘π)
Diketahui dari (3.1), π(π‘) = π(π > π‘), sehingga
π(π‘π) = π(π > π‘π)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
= π(π β₯ π‘π+1)
= π(π = π‘π) + π(π β₯ π‘π+1)
= π(π‘π) + π(π‘π+1)
Sehingga didapatkan
π(π‘π) = π(π‘π) β π(π‘π+1) (3.17)
maka
β(π‘π) =π(π‘π)
π(π‘π)
=π(π‘π) β π(π‘π+1)
π(π‘π)
= 1 βπ(π‘π+1)
π(π‘π) (3.18)
Fungsi ketahanan hidup dapat ditulis sebagai perkalian dari probabilitas bersyarat
ketahanan hidup, yaitu
π(π‘) =βπ(π‘π+1)
π(π‘π)π‘π<π‘
. (3.19)
Kemudian fungsi ketahanan hidup yang berhubungan dengan fungsi Hazard adalah
sebagai berikut
π(π‘) =β[1 β β(π‘π)]
π‘π<π‘
. (3.20)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
H. Tabel Kehidupan
Tabel Kehidupan merupakan tabel yang memberikan pengukuran untuk angka
kematian dan menggambarkan ketahanan hidup dalam suatu populasi. Tabel
kehidupan bermanfaat dalam bidang sains, misalnya insinyur menggunakan tabel
kehidupan untuk mempelajari keandalan sistem mekanik dan elektronik yang
kompleks. Ahli biostatistik menggunakan tabel kehidupan untuk membandingkan
efektivitas pengobatan alternatif suatu penyakit. Demografi menggunakan tabel
kehidupan sebagai alat dalam proyeksi populasi (Bowers, 1997). Tabel kehidupan
digunakan untuk menganalisa kemungkinan bertahan hidup suatu individu dalam
suatu populasi, menentukan umur yang paling rentan meninggal, dan menduga
pertumbuhan populasi.
Terdapat dua jenis tabel kehidupan, yaitu tabel kehidupan populasi dan tabel
kehidupan klinis. Tabel kehidupan populasi merupakan tabel kehidupan yang
merangkum pengalaman kematian populasi tertentu. Sebagai penelitian klinis dan
epidemiologi yang lebih umum, tabel kehidupan telah diterapkan pada pasien
dengan penyakit yang telah dialami selama jangka waktu tertentu. Tabel kehidupan
klinis adalah tabel kehidupan yang dikonstruksikan untuk pasien. Meskipun tabel
kehidupan populasi dan klinis serupa dalam perhitungan, sumber data yang
dibutuhkan berbeda.
1. Tabel Kehidupan Populasi
Tabel kehidupan populasi terdiri dua jenis, yaitu tabel kehidupan cohort dan
tabel kehidupan current. Tabel kehidupan cohort menggambarkan peristiwa
bertahan hidup atau kematian mulai dari lahir sampai meninggal dari kelompok
khusus yang lahir di waktu yang sama, misalnya semua orang yang lahir pada tahun
1950. Tabel kehidupan cohort dari contoh tersebut harus diikuti dari tahun 1950
sampai semua orang yang lahir pada tahun tersebut meninggal. Proporsi kematian
kemudian dibangun untuk membangun tabel kehidupan.
Tabel kehidupan current dibangun dengan menerapkan tingkat angka kematian
usia spesifik dari populasi dalam periode waktu tertentu untuk hipotetis sekelompok
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
individu yang hidup pada periode waktu tertentu adalah 100000 atau 1000000
orang. Titik awalnya adalah kelahiran pada tahun 0.
Tabel kehidupan populasi memerlukan dua sumber data untuk penyusunannya,
yaitu:
1. Data sensus tentang jumlah individu yang hidup pada setiap usia untuk tahun
tertentu pada pertengahan tahun.
2. Statistik jumlah kematian pada tahun tertentu untuk setiap kelompok usia.
Syarat tabel kehidupan populasi sering digunakan untuk mengacu pada tabel
kehidupan current. Tabel kehidupan current terdiri dari:
1. Usia (π₯).
2. Usia tertinggi yang terdapat dalam pengamatan (π€).
3. Banyaknya individu yang hidup pada awal interval usia (ππ₯).
Nilai awal ππ₯ merupakan ukuran populasi hipotetis, biasanya 100000 atau
1000000.
4. Banyaknya individu yang meninggal sebelum mencapai usia π₯ + 1 tahun (ππ₯).
ππ₯ = ππ₯ β ππ₯+1.
5. Peluang individu berusia π₯ akan meninggal sebelum usia π₯ + 1 (ππ₯)
ππ₯ =(ππ₯ β ππ₯+1)
ππ₯=ππ₯ππ₯
Hubungan ini menyatakan bahwa peluang individu yang berusia π₯ akan
meninggal sebelum usia π₯ + 1 tahun sama dengan banyaknya orang yang
meninggal antara usia π₯ dan π₯ + 1 dibagi dengan banyaknya individu yang
hidup pada awal interval usia.
6. Peluang individu berusia π₯ akan hidup (paling sedikit) π tahun.
ππ₯ =ππ₯+πππ₯
π .
Dengan kata lain, ππ₯π merupakan banyaknya individu ( dari sebanyak ππ₯ pada
usia π₯) yang mencapai usia π₯ + π , (ππ₯+π), dibagi banyaknya individu pada usia
π₯.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
7. Peluang individu berusia π₯ akan meninggal dalam π tahun, atau sebelum
mencapai usia π₯ + π ( ππ₯π ).
ππ₯π = 1 β ππ₯π
= 1 βππ₯+πππ₯
=(ππ₯ β ππ₯+π)
ππ₯.
8. Banyaknya individu yang meninggal antara usia π₯ dan π₯ + π ( ππ₯π ).
ππ₯π = ππ₯ β ππ₯+π
ππ₯π
ππ₯=ππ₯ β ππ₯+π
ππ₯
ππ₯π
ππ₯= ππ₯π
ππ₯π = ( ππ₯π )ππ₯.
9. Peluang individu yang berusia π₯ akan hidup π tahun, tetapi meninggal dalam
π tahun kemudian, yaitu meninggal antara usia π₯ + π dan π₯ + π + π tahun.
ππ₯ =ππ₯+π β ππ₯+π+π
ππ₯π/π
=ππ₯+ππ
ππ₯
Dari penulisan tersebut, indeks di sebelah kanan menyatakan usia individu
yang sedang diamati, sedangkan indeks di sebelah kiri menyatakan jangka
waktu kejadian (hidup atau meninggal) terjadi, π menyatakan lamanya
penundaan terjadinya kejadian. Sebagai contoh, misalkan π2010 5β menyatakan
peluang meninggal individu yang berusia 20 tahun akan meninggal dalam
jangka 5 tahun bila meninggalnya ditunda 10 tahun, jadi meninggal antara usia
30 dan 35 tahun. Jadi, individu yang berusia 20 tahun tersebut akan hidup
mencapai 30 tahun dan meninggal sebelum mencapai usia 35 tahun.
10. Harapan hidup ringkas (Curtate Expectation of Life) (ππ₯)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Menyatakan rata-rata jumlah tahun yang lengkap yang masih akan dialami
oleh individu yang berusia π₯ tahun. Tahun yang lengkap artinya bahwa dalam
perhitungan harapan hidup hanya diperhitungkan tahun yang dialami penuh.
Misalkan, seorang individu lahir pada tanggal 2 Juli 1951 dan meninggal pada
tanggal 18 September 1984, maka dalam perhitungan harapan hidup ringkas,
individu tersebut dianggap meninggal pada tanggal 2 Juli 1984, sehingga
individu tersebut meninggal pada saat usia 31 tahun dan bukan 31.2 tahun. Jadi,
bagian tahun yang tidak dialami penuh dibuang (dalam contoh 0.2).
ππ₯ =ππ₯+1 + ππ₯+2 +β―+ ππ€
ππ₯.
11. Penduga harapan hidup pada usia π₯ (οΏ½Μ οΏ½π₯).
οΏ½Μ οΏ½π₯ harapan hidup pada usia π₯ yang menyatakan rata-rata usia yang akan
didapatkan oleh individu-individu yang berusia π₯. Penduga harapan hidup pada
usia π₯ adalah
οΏ½Μ οΏ½π₯ = ππ₯ +1
2.
Tabel kehidupan populasi dapat dibangun untuk berbagai subkelompok.
Misalnya, ada tabel kehidupan yang dibangun berdasarkan jenis kelamin, ras,
penyebab kematian, juga sebagai orang-orang yang menghilangkan penyebab
kematian tertentu.
Data yang digunakan dalam Contoh 3.2 sampai dengan Contoh 3.5
menggunakan data Tabel Mortalitas Commissioners Standard Ordinary (CSO)
1914 yang berasal dari Amerika Serikat (Sembiring, 1986). Tabel Mortalitas CSO
1914 merupakan daftar tabel kehidupan current yang digunakan untuk mengetahui
besarnya kemungkinan timbulnya kerugian yang dikarenakan kematian, serta
meramalkan berapa lama batas waktu (umur) rata-rata seorang bisa hidup.
Contoh 3.2
Menggunakan Tabel CSO 1914 pada Lampiran 2, hitunglah banyaknya individu
yang meninggal pada saat π₯ = 0 (π0) bila diketahui 1000π0 = 22.58 dan π1 =
1000000 orang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Solusi:
π0 = π0 β π1 = π0π0
Sehingga diperoleh π0(0.02258) = π0 β 1000000
atau, π0(1 β 0.02258) = 1000000
Sehingga π0 =1000000
1β0.02258= 1023102 orang
Dapat diperoleh
π0 = π0 β π1 = 1023102 β 1000000 = 23102 orang
Jadi, banyaknya individu yang meninggal saat π₯ = 0 sebanyak 23102 orang.
Contoh 3.3
Dengan menggunakan Tabel CSO 1941, berapakah peluang seseorang berusia 40
tahun akan meninggal antara usia 55 dan 60 tahun?
Solusi:
Diketahui π = 15, π = 5 dan π₯ = 40.
Sehingga dapat diperoleh
ππ₯ =ππ₯+π β ππ₯+π+π
ππ₯π/π
π40 =π40+15 β π40+15+5
π40155
π40 =π55 β π60π40
155
π40 =754191 β 677771
883342= 0.0865115
5
Jadi, peluang sesorang berusia 40 tahun akan meninggal antara usia 55 dan 60 tahun
sebesar 0.08651.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Contoh 3.4
Hitunglah π95 untuk tabel CSO 1941!
Solusi:
Dari Tabel CSO 1941 diketahui bahwa π95 = 3011, π96 = 1818, π97 = 1005, π98 =
454 dan π99 = 125.
Sehingga, diperoleh
π95 =π96 + π97 + π98 + π99
π95
π95 =1818 + 1005 + 454 + 125
3001
π95 =3402
3001
π95 = 1.13 tahun
Jadi, harapan hidup ringkas dari individu yang berusia 95 tahun adalah 1.13
tahun.
Contoh 3.5
Hitunglah οΏ½Μ οΏ½95 untuk tabel CSO 140!
Solusi:
Dari Contoh 3.4 telah diperoleh π95 = 1.13 tahun
Sehingga diperoleh
οΏ½Μ οΏ½95 = 1.13 +1
2= 1.63 tahun.
Jadi, penduga harapan hidup dari individu yang berusia 95 tahun adalah 1.63 tahun.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
2. Tabel Kehidupan Klinis
Tabel kehidupan klinis merupakan teknik dasar analisis ketahanan hidup yang
berhubungan dengan βwaktu terjadinya peristiwaβ. Contoh yang mendasar adalah
waktu kematian. Hal ini dapat digunakan untuk menentukan kemungkinan waktu
bertahan hidup setelah didiagnosis menderita sakit atau setelah memulai perawatan.
Peristiwa yang terjadi bisa merupakan kejadian kesehatan yang lain, tidak hanya
tentang kematian. Kejadian-kejadian lainnya bisa merupakan kambuhnya suatu
penyakit, penerimaan transplantasi organ, kehamilan (dalam studi infertilisasi),
kegagalan dalam pengobatan, pemulihan. Kejadian-kejadian tersebut meliputi
variabel waktu masuk dan (variabel waktu keluar/mati) penarikan individu dari
populasi dan dapat digunakan untuk menghitung probabilitas kumulatif kejadian
individu sembuh dari suatu penyakit, serta menghasilkan kurva ketahanan hidup.
Tabel kehidupan klinis terdiri dari:
1. Banyaknya individu yang hidup dan beresiko pada awal waktu π‘ (ππ‘).
2. Banyaknya individu meninggal selama interval waktu π‘ (ππ‘).
3. Probabilitas kematian selama interval waktu π‘ (ππ‘ =ππ‘
ππ‘).
4. Probabilitas bertahan selama interval waktu π‘ (ππ‘ = 1 β ππ‘).
5. Probabilitas kumulatif untuk ketahanan hidup pada awal interval waktu atau
pada akhir sebelum interval waktu π‘ (ππ‘).
Pada awal penelitian (pada waktu 0), π(0) = 1.0, sehingga
ππ‘+1 = ππ‘+1ππ‘
Sebagai contoh:
Diketahui π1 = 1.0
Maka dapat dihitung
π2 = π2π1
π3 = π3π2
π4 = π4π3
6. Banyaknya individu yang tersensor dalam interval waktu π‘ (ππ‘).
7. Banyaknya individu yang berisiko dalam interval waktu π‘ (ππβ² = ππ‘ β
ππ‘
2).
Untuk kasus ini, maka didapat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
ππ‘ =ππ‘ππβ² .
Pengamatan yang dilakukan dalam analisis ketahanan hidup memenuhi
percobaan Binomial dalam Definisi 2.9, yaitu:
1. Terdapat π kali pengamatan.
2. Masing-masing pengamatan hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu β1β
untuk meninggal atau β0β untuk βhidupβ.
3. Hasil dari masing-masing pengamatan saling bebas (hasil dari satu pengamatan
tidak memengaruhi hasil pengamatan lainnya).
4. Peluang ketahanan hidup dari seorang individu adalah π(π‘) = 1 β
π(individu meninggal saat waktu π‘).
5. Variabel acak π merupakan banyaknya individu yang bertahan dalam setiap
pengamatan.
Data yang digunakan pada Contoh 3.6 sampai dengan Contoh 3.9 menggunakan
data pada Johns Hopkins Bloomberg School of Public Health.
Contoh 3.6
Suatu kelompok yang terdiri dari 200 pasien penyakit kanker diamati selama tiga
tahun. Peristiwa kematian terjadi sepanjang tiga tahun. Data terdapat pada Tabel
3.1 Tentukan probabilitas kumulatif bertahan hidup pada setiap tahun.
Tabel 3.1 Data Pasien Kanker
Waktu (tahun) Banyaknya individu
yang hidup
Banyaknya individu
yang meninggal
1 200 20
2 180 30
3 150 40
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Solusi:
Dari data pada Tabel 3.1 dapat dihitung probabilitas bertahan hidup dan kematian
pasien selama tiga tahun yang ditunjukkan pada Tabel 3.2. Dari Tabel 3.2, dapat
diketahui probabilitas kumulatif untuk bertahan hidup di awal tahun, yaitu 1.0,
probabilitas kumulatif untuk bertahan hidup hingga awal tahun kedua atau akhir
tahun pertama , yaitu 0.9, probabilitas kumulatif untuk bertahan hidup pada awal
tahun ketiga, yaitu 0.75, dan probabilitas kumulatif untuk bertahan hidup pada awal
tahun keempat atau akhir tahun ketiga, yaitu 0.55.
Tabel 3.2 Tabel Probabilitas Pasien Kanker
Waktu
(tahun)
ππ‘
1 200 20 0.10 0.90 0.90
2 180 30 0.17 0.83 0.75
3 150 40 0.27 0.73 0.55
Contoh 3.37
Dalam sebuah penelitian, terdapat 200 pasien kanker yang diamati selama tiga
tahun, bila terdapat pengamatan tersensor dalam penelitian tersebut, tentukan
probabilitas kumulatif ketahanan hidup pasien pada akhir tahun ketiga dari data
yang diberikan pada Tabel 3.3.
Tabel 3.3 Pasien Penyakit Kanker
Waktu (tahun)
Banyaknya individu
yang hidup
Banyaknya
individu yang
meninggal
Banyaknya
pengamatan
tersensor
1 200 20 50
2 130 30 40
ππ‘ ππ‘ π
π‘ ππ‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
3 60 40 20
Solusi:
Probabilitas kumulatif bertahan hidup pada akhir tahun ketiga adalah 0.13.
Perhitungan data pada Tabel 3.3 ditunjukkan pada Tabel 3.4.
Tabel 3.4 Tabel Probabilitas Pasien Kanker dengan Pengamatan Tersensor
Waktu
(tahun)
ππ‘ ππ‘
β²
1 200 20 50 175 0.11 0.89 0.89
2 130 30 40 110 0.27 0.73 0.64
3 60 40 20 50 0.80 0.20 0.13
Contoh 3.8
Terdapat 21 pasien penyakit Leukemia yang diikuti setelah perawatan dari waktu
ke waktu. Waktu dari pengobatan untuk kambuhnya suatu penyakit diamati untuk
semua pasien. Waktu remisi adalah 6, 6, 6, 6, 7, 8, 10, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20,
22, 23, 25, 32, 32, 34, 35. Data pasien penyakit Leukemia ditunjukkan pada Tabel
3.5.
Tabel 3.5 Data Pasien Leukemia
Waktu Banyaknya individu yang
hidup
Banyaknya individu yang
meninggal
0 β <6 21 0
6 β <12 21 9
12 β <18 12 3
18 β <24 9 4
24 β <30 5 1
ππ‘ ππ‘ ππ‘ π
π‘ ππ‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
30 β <36 4 4
Solusi:
Probabilitas kumulatif yang tetap berada pada remisi 24 bulan adalah 0.24 atau
24%. Perhitungan data pada Tabel 3.5 ditunjukkan pada Tabel 3.6.
Tabel 3.6 Tabel Probabilitas Pasien Leukemia
Waktu
0 β <6 21 0 0.00 1.00 1.00
6 β <12 21 9 0.43 0.57 0.57
12 β <18 12 3 0.25 0.75 0.43
18 β <24 9 4 0.44 0.56 0.24
24 β <30 5 1 0.20 0.80 0.19
30 β <36 4 4 1.00 0.00 0.00
Gambar 3.5 Grafik ππ‘
Pada Tabel 3.6 dapat dilihat bahwa pada interval waktu 18β< 24 memiliki
probabilitas kumulatif bertahan hidup 0.24. Kurva bertahan hidup pasien leukemia
dapat dilihat pada Gambar 3.5. Dari Gambar 3.5 dapat terlihat bahwa kurva turun
secara cepat sampai interval waktu 6β< 12. Saat interval waktu 12β< 18 sampai
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 6 12 18 24 30
Pro
bab
ilita
s K
etah
anan
Hid
up
Waktu (bulan)
ππ‘ ππ‘ ππ‘ π
π‘ ππ‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
interval waktu 30β< 36 kurva cenderung turun secara lambat. Hal ini terjadi
karena banyaknya individu yang meninggal pada interval waktu 12β< 18 sampai
interval waktu 30β< 36 tidak berbeda jauh.
Contoh 3.9
Terdapat 50 pasien dengan kulit melanoma diamati pada bulan Oktober, 1952 β
Juni, 1967. Penelitian dihentikan untuk pasien yang masuk pada 31, Desember
1969. Terdapat 20 kematian dan 30 pengamatan tersensor karena terdapat
withdraws atau lost-to follow up. Tentukan tingkat ketahanan hidup dua tahun dan
lima tahun. Data pasien kulit melanoma diberikan pada Tabel 3.7.
Tabel 3.7 Data Pasien Kulit Melanoma
Interval
waktu
Banyaknya individu
yang hidup
Banyaknya individu
yang meninggal
Banyaknya
pengamatan yang
tersensor
0 β <1 50 9 0
1 β <2 41 6 1
2 β <3 34 2 4
3 β <4 28 1 5
4 β <5 22 2 3
5 β <6 17 0 17
Solusi:
Ketahanan hidup pada tingkat tahun kedua adalah 0.70 atau 70% dan ketahanan
hidup pada tingkat tahun kelima adalah 0.57 atau 57%. Perhitungan data pada Tabel
3.7 ditunjukkan pada Tabel 3.8 dan grafik probabilitas diberikan pada Gambar 3.6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Tabel 3.8 Tabel Probabilitas Pasien Kulit Melanoma
Interval
Waktu
0 β <1 50 9 0 50.0 0.18 0.82 0.82
1 β <2 41 6 1 40.5 0.15 0.85 0.70
2 β <3 34 2 4 32.0 0.06 0.94 0.66
3 β <4 28 1 5 25.5 0.04 0.96 0.63
4 β <5 22 2 3 20.5 0.10 0.90 0.57
5 β <6 17 0 17 8.5 0.00 1.00 0.57
Gambar 3.6 Grafik ππ‘
Pada Tabel 3.7 dapat dilihat bahwa pada interval waktu 4β< 5 memiliki
probabilitas kumulatif bertahan hidup 0.57. Kurva peluang bertahan hidup pasien
kulit melanoma dapat dilihat pada Gambar 3.6. Dari Gambar 3.6 dapat terlihat
bahwa kurva turun secara lambat.
I. Fungsi Ketahanan Hidup berdasarkan Tabel Kehidupan
Langkah awal dalam analisis data ketahanan hidup adalah menyajikan
ringkasan numerik atau grafik dari waktu ketahanan bagi individu dalam kelompok
tertentu. Ringkasan tersebut sebagai awal analisis data ketahanan hidup yang lebih
rinci. Data ketahanan hidup dirangkum melalui pendekatan fungsi ketahanan hidup
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
0 1 2 3 4 5Pro
bab
ilita
s ke
tah
anan
hid
up
Waktu (tahun)
ππ‘ ππ‘ ππ‘ π
π‘ ππ‘ ππ‘ ππ‘
β²
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
dan fungsi Hazard. Metode yang digunakan untuk memperkirakan fungsi ketahanan
hidup dan fungsi Hazard dari sampel tunggal data ketahanan hidup adalah metode
nonparametrik, didasarkan pada waktu ketahanan hidup yang dikelompokkan ke
dalam interval.
Misalkan π adalah interval ke-π dari π buah interval, π = 1, 2, β¦ ,π, dan
misalkan ππ menunjukkan banyaknya individu yang meninggal dalam interval dan
ππ menujukkan banyaknya individu yang tersensor. Misalkan pula ππ merupakan
banyaknya individu yang hidup dan berisiko meninggal pada interval ke-π. Rata-
rata banyaknya individu yang berisiko pada interval π adalah
ππβ² = ππ β
ππ
2. (3.21)
Dalam interval ke-π, probabilitas kematian dapat diduga dengan
ππ ππβ²β , sehingga probabilitas ketahanan hidup yang sesuai adalah (ππ
β² β ππ) ππβ²β .
Penduga tabel kehidupan dari fungsi ketahanan hidup diberikan sebagai berikut
οΏ½ΜοΏ½(π‘) =β(ππβ² β ππ
ππβ² )
π‘π<π‘
(3.22)
Penduga tabel kehidupan dapat diturunkan menggunakan metode kemungkinan
maksimum (Definisi 2.29 dan Definisi 2.30) dari fungsi Hazard. Fungsi likelihood
untuk β(π‘1), β(π‘2), β¦ , β(π‘π) dengan β(π‘π) merupakan fungsi Hazard pada waktu
ke-π adalah
πΏ[(β(π‘1), β(π‘2),β¦ , β(π‘π))] =ββ(π‘π)ππ[1 β β(π‘π)]
ππβ²βππ
π
π=1
(3.23)
dengan ππ adalah banyaknya individu yang meninggal dalam interval ke-π‘π dan ππβ²
adalah rata-rata jumlah individu yang berisiko pada interval ke-π‘π.
Selanjutnya akan dicari penduga untuk fungsi Hazard dengan mencari turunan
pertama dari πΏ[(β(π‘1), β(π‘2),β¦ , β(π‘π))] terhadap β(π‘π) dan menyelesaikan
persamaan tersebut untuk β(π‘π) dengan terlebih dahulu mengubah persamaan
(3.23) dengan menggunakan transformasi logaritma.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
πππΏ[(β(π‘1), β(π‘2),β¦ , β(π‘π))] = ππββ(π‘π)ππ[1 β β(π‘π)]
ππβ²βππ
π
π=1
= βππ ln β (π‘π)
π
π=1
+ (ππβ² β ππ) ln[1 β β(π‘π)]
Selanjutnya, mengambil turunan pertama dari πΏ[(β(π‘1), β(π‘2),β¦ , β(π‘π))] terhadap
β(π‘π), yaitu
π(πππΏ[(β(π‘1), β(π‘2),β¦ , β(π‘π))])
π (β(π‘π))=
ππ
β(π‘π)β(ππ
β² β ππ)
1 β β(π‘π)
Penyelesaian untuk β(π‘π), yaitu
ππ
β(π‘π)β(ππ
β² β ππ)
1 β β(π‘π)= 0
ππ β ππβ²β(π‘π)
β(π‘π) (1 β β(π‘π))= 0 (3.24)
Pembuat nol dari persamaan (3.24) adalah ππ β ππβ²β(π‘π) = 0, sehingga
ππ = ππβ²β(π‘π)
β(π‘π) =ππ
ππβ²
Sehingga diperoleh
βΜ(π‘π) =ππ
ππβ² (3.25)
Persamaan (3.20) menyatakan bahwa π(π‘) = β [1 β β(π‘π)]π‘π<π‘, sehingga οΏ½ΜοΏ½(π‘) =
β [1 β βΜ(π‘π)]π‘π<π‘.
Kemudian substitusi persamaan (3.25) ke οΏ½ΜοΏ½(π‘) = β [1 β βΜ(π‘π)]π‘π<π‘, sehingga
diperoleh
οΏ½ΜοΏ½(π‘) =β(1 βππ
ππβ²)
π‘π<π‘
atau dapat ditulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
οΏ½ΜοΏ½(π‘) =β(ππβ² β ππ
ππβ² )
π‘π<π‘
.
Teorema 3.1
Penduga variansi untuk penduga tabel kehidupan adalah
οΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)] β [οΏ½ΜοΏ½(π‘)]2β
ππ
ππβ²(ππ
β² β ππ)π‘π<π‘
(3.26)
Standar eror dari penduga Tabel Kehidupan adalah akar kuadrat dari penduga
variansi untuk penduga Tabel Kehidupan.
Bukti:
Persamaan (3.22) menyatakan bahwa οΏ½ΜοΏ½(π‘) = β (1 βππ
ππβ²)π‘π<π‘
, dengan
menambahkan fungsi ln pada kedua ruas, diperoleh:
ππ[οΏ½ΜοΏ½(π‘)] = β ππ(1 β οΏ½ΜοΏ½π)
π‘π<π‘
(3.27)
dimana οΏ½ΜοΏ½π =ππ
ππβ².
Banyaknya individu yang bertahan hidup melalui interval yang dimulai pada π‘π
dapat diasumsikan memiliki Distribusi Binomial dengan parameter ππβ² dan ππ,
dimana ππ merupakan probabilitas bertahan hidup dalam interval. Banyaknya yang
bertahan dalam pengamatan adalah ππβ² β ππ , dan menggunakan variansi dari
variabel acak binomial dengan parameter π, π adalah ππ(1 β π), variansi ππβ² β ππ
diberikan oleh
π(ππβ² β ππ) = ππ
β²ππ(1 β ππ).
Karena οΏ½ΜοΏ½π =ππ
ππβ², penduga variansi dari οΏ½ΜοΏ½π adalah οΏ½ΜοΏ½ (
ππβ²βππ
πβ²π2 ), yaitu,
ππ(1βππ)
ππβ² . Variansi
dari οΏ½ΜοΏ½π bisa diduga dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
οΏ½ΜοΏ½(οΏ½ΜοΏ½π) =οΏ½ΜοΏ½π(1 β οΏ½ΜοΏ½π)
ππβ² .
Karena οΏ½ΜοΏ½(π‘) merupakan fungsi dari οΏ½ΜοΏ½π, bisa dilakukan penduga dengan
menggunakan Metode Delta.
Metode Delta
Jika ππ berdistribusi Normal dengan rata-rata π dan variansi π2, π dapat dibedakan
dan πβ²(π) β 0, maka π(ππ) merupakan pendekatan distribusi Normal dengan rata-
rata π(π) dan variansi [πβ²(π)]2π2.
Contoh 3.6 Dua contoh spesifik dari Metode Delta
1. π = ππ(π)
Maka π~π [ππ(π) , (1
π)2
π2]
2. π = π(π)
Maka π~π[ππ , (ππ)2π2]
Contoh 3.6 menggunakan hasil kalkulus berikut:
π
ππ₯ππ π’ =
1
π’(ππ’
ππ₯)
π
ππ₯ππ’ = ππ’ (
ππ’
ππ₯)
Dari persamaan (3.27) dapat dilakukan pendekatan dari οΏ½ΜοΏ½π, sehingga
οΏ½ΜοΏ½[ππ οΏ½ΜοΏ½(π‘)] = β οΏ½ΜοΏ½[ππ(1 β οΏ½ΜοΏ½π)]
π‘π<π‘
= β (1
1 β οΏ½ΜοΏ½π)
2
οΏ½ΜοΏ½(οΏ½ΜοΏ½π)
π‘π<π‘
= β (1
1 β οΏ½ΜοΏ½π)
2
π‘π<π‘
οΏ½ΜοΏ½π(1 β οΏ½ΜοΏ½π)
ππβ²
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
= βοΏ½ΜοΏ½π
(1 β οΏ½ΜοΏ½π)ππβ²
π‘π<π‘
= βππ
ππβ²(ππ
β² β ππ)π‘π<π‘
.
Dengan menggunakan Metode Delta dengan π(π) = π(οΏ½ΜοΏ½(π‘))
. Sehingga diperoleh
penduga variansi Tabel Kehidupan sebagai berikut
οΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)] β [οΏ½ΜοΏ½(π‘)]2οΏ½ΜοΏ½[ln οΏ½ΜοΏ½(π‘)].
Penduga variansi untuk penduga Tabel Kehidupan disebut dengan Formula
Greenwood, yaitu
οΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)] = [οΏ½ΜοΏ½(π‘)]2β
ππ
ππβ²(ππ
β² β ππ)π‘π<π‘
. β
Selang kepercayaan bagi οΏ½ΜοΏ½(π‘) diperoleh dengan mengasumsikan bahwa nilai
penduga dari fungsi ketahanan hidup pada π‘ berdistribusi Normal dengan rata-rata
οΏ½ΜοΏ½(π‘) dan standar eror βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)]. Dengan demikian diperoleh kuantitas pivot π =
οΏ½ΜοΏ½(π‘)βπ(π‘)
βπ[οΏ½ΜοΏ½(π‘)] berdistribusi Normal standar, sehingga menurut persamaan (2.1) selang
kepercayaan untuk π(π‘) yang memiliki koefesien kepercayaan sama dengan (1 β
πΌ) adalah
π (βππΌ2β€ π β€ ππΌ
2) = 1 β πΌ
π
(
βππΌ2β€οΏ½ΜοΏ½(π‘) β π(π‘)
βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)]
β€ ππΌ2
)
= 1 β πΌ
π (βππΌ2βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)] β€ οΏ½ΜοΏ½(π‘) β π(π‘) β€ ππΌ
2βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)]) = 1 β πΌ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
π (οΏ½ΜοΏ½(π‘) β ππΌ2βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)] β€ π(π‘) β€ οΏ½ΜοΏ½(π‘) + ππΌ
2βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)]) = 1 β πΌ
Jadi, selang kepercayaan 100(1 β πΌ)% untuk π(π‘) adalah
[οΏ½ΜοΏ½(π‘) β ππΌ 2β βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)], οΏ½ΜοΏ½(π‘) + ππΌ 2β βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)]] (3.28)
0
Gambar 3.7 Batas atas dan bawah titik πΌ 2β dari distribusi Normal standar
Interval dari π(π‘) dapat ditunjukkan dalam suatu grafik dari penduga fungsi
ketahanan hidup seperti yang ditunjukkan pada Contoh 3.. Pada Tabel 3.9 dapat
dilihat bahwa οΏ½ΜοΏ½(48) = 0.2124 dengan menggunakan persamaan (3.22). Dapat
juga dihitung interval kepercayaan 95% untuk peluang bertahan hidup pasien
penyakit myeloma dengan menggunakan persamaan (3.28), sehingga diperoleh
peluang bertahan hidup pasien myeloma terletak pada interval [0.0701, 0.3548 ].
Contoh 3.10 Ketahanan Hidup Pasien Myeloma
Dalam perhitungan pendugaan tabel kehidupan, hal yang perlu dipertimbangkan
adalah data waktu ketahanan hidup dari 48 pasien myeloma yang diberikan pada
Lampiran 3. Dalam gambaran ini, informasi yang dikumpulkan pada variabel
penjelas untuk setiap individu akan diabaikan.
Data pada Lampiran 3 (David, 2003) terdiri dari 48 pasien yang umurnya
berkisar antara 50 dan 80 tahun. Beberapa dari pasien tersebut bertahan sampai
pengamatan berakhir dan waktu ketahanan pasien tersebut termasuk dalam
penyensoran kanan. Status ketahanan hidup individu pada Tabel 3.1 ditunjukkan
πΌ
2
πΌ
2
ππΌ2β
βππΌ2β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
dengan 0 yang merupakan pengataman tersensor dan 1 merupakan kematian karena
penyakit myeloma. Pada saat diagnosis, nilai-nilai variabel penjelas untuk setiap
pasien telah dicatat. Variabel-variabel tersebut antara lain umur pasien (dalam
tahun), jenis kelamin (1 = laki-laki, 2 = perempuan), tingkat nitrogen urea dalam
darah (Bun), kalsium (Ca), hemoglobin (Hb), persentase sel plasma pada sumsum
tulang (Pcells), dan variabel indikator (Protein = Pro) yang menunjukkan apakah
protein Bence-Jones lebih baik atau tidak dalam urin (0 = tidak, 1 = baik).
Tujuan utama dari analisis data tersebut adalah untuk menyelidiki faktor resiko
Bun, Ca, Hb, Pcells, dan Pro dalam waktu ketahanan hidup pasien multiple
myeloma. Efek dari faktor-faktor risiko tersebut dapat dimodifikasi dengan umur
atau jenis kelamin pasien, dan sejauh mana hubungan antara ketahanan hidup dan
faktor-faktor penting yang berisiko untuk setiap jenis kelamin dan untuk setiap
kelompok umur yang dibutuhkan untuk pengamatan.
Waktu ketahanan hidup pertama kali dikelompokkan untuk mengetahui
banyaknya pasien yang meninggal, ππ dan banyaknya yang disensor, ππ. Banyaknya
yang berisiko pada kematian disetiap interval ππ dihitung bersama dengan angka
yang disesuaikan dengan banyaknya yang mengalami risiko, ππβ². Probabilitas
ketahanan hidup melalui interval yang telah diperkirakan dari fungsi ketahanan
hidup dapat diperoleh dengan menggunakan (3.22). Perhitungan ditunjukkan pada
Tabel 3.9, dimana jangka waktu diberikan dalam bulan.
Tabel 3.9 Pendekatan tabel kehidupan dari fungsi ketahanan untuk Contoh 3.1
Interval π‘ ππ ππ ππ ππβ² οΏ½ΜοΏ½(π‘)
Batas
bawah
Batas
atas
1 0 16 4 48 46 0.6522 0.5265 0.7778
2 12 10 4 28 26 0.4013 0.2768 0.5258
3 24 1 0 14 14 0.3727 0.2429 0.5024
4 36 3 1 13 12.5 0.2832 0.1538 0.4127
5 48 2 2 9 8 0.2124 0.0701 0.3548
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
6 60 4 1 5 4.5 0.0236 -0.0023 0.0495
Grafik pendekatan tabel kehidupan dari fungsi ketahanan hidup ditunjukkan pada
Gambar 3.9
------ : batas atas
dan batas bawah
pada selang
kepercayaan bagi
π(π‘)
____ : οΏ½ΜοΏ½(π‘)
Gambar 3.8 Pendekatan Tabel Kehidupan dari Fungsi Ketahanan Hidup
Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada Tabel 3.9.
Pada Tabel 4.2 dapat dilihat bahwa οΏ½ΜοΏ½(48 ) = 0.2124 dengan selang
kepercayaan 95% dengan batas bawah dan batas atas adalah [0.0701, 0.3548].
Pada Gambar 3.8 dapat dilihat bahwa peluang bertahan hidup pasien penyakit
myeloma turun melambat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
80
BAB IV
APLIKASI METODE TABEL KEHIDUPAN UNTUK MENENTUKAN
FUNGSI KETAHANAN HIDUP
A. Kanker
Menurut World Health Organization (who.int), kanker merupakan penyebab
utama kematian kedua di dunia dan saat ini diperkirakan terdapat 9.6 juta kematian
pada tahun 2018. Secara global, terdapat 1 dari 6 kematian yang disebabkan oleh
kanker. Sekitar 70% kematian yang disebabkan oleh kanker terjadi di negara yang
memiliki penghasilan rendah dan menengah. Sekitar sepertiga kematian yang
diakibatkan oleh kanker disebabkan oleh risiko pelaku, antara lain indeks massa
tubuh yang tinggi, asupan buah dan sayuran yang rendah, kurangnya aktivitas fisik,
penggunaan tembakau, dan penggunaan alkohol. Penggunaan tembakau
menyumbang 22% kematian yang diakibatkan oleh kanker.
Kanker adalah istilah umum untuk sekelompok besar penyakit yang dapat
memengaruhi setiap bagian tubuh. Istilah lain yang biasa digunakan adalah tumor
ganas dan neoplasma. Salah satu ciri khas kanker adalah pembentukan sel-sel
abnormal yang cepat di luar batas biasanya dan kemudian dapat menyerang bagian
tubuh lainnya dan menyebar ke organ lain, proses yang terakhir disebut sebagai
bermetastasis. Metastasis adalah penyebab utama kematian akibat kanker.
Kanker-kanker yang paling umum terjadi adalah:
1. Kanker paru-paru (2.09 juta kasus)
2. Kanker payudara (2.09 juta kasus)
3. Kanker kolorektal (1.80 juta kasus)
4. Kanker prostat (1.28 juta kasus)
5. Kanker kulit (non-melanoma) (1.04 juta kasus)
6. Kanker perut (1.03 juta kasus)
Penyebab paling umum kematian akibat kanker adalah:
1. Kanker paru-paru (1.76 juta kematian)
2. Kanker kolorektal (862000 kematian)
3. Kanker perut (783000 kematian)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
81
4. Kanker hati (782000 kematian)
5. Kanker payudara (627000 kematian)
Kanker adalah sekelompok penyakit yang menyebabkan sel-sel dalam tubuh
berubah dan berkembang biak di luar kendali. Sebagian besar jenis sel kanker
akhirnya membentuk benjolan atau massa yang disebut tumor, d an dinamai setelah
bagian tubuh tempat tumor berasal.
Kanker payudara merupakan jenis kanker yang dimulai di jaringan payudara,
yang berisi kelenjar untuk memroduksi susu, yang disebut lobulus, saluran yang
menguhubungkan lobulus ke puting. Kanker dimulai ketika sel-sel mulai tumbuh
diluar kendali. Kanker payudara dapat menyebar ketika sel-sel kanker masuk ke
dalam darah atau sistem getah bening dan dibawa ke bagian lain dari tubuh. Sel-sel
kanker payudara biasanya membentuk tumor yang dapat terlihat saat dirontgen atau
dapat dirasakan dengan adanya benjolan. Kanker payudara terjadi hampir
seluruhnya pada wanita, tetapi pria juga bisa terkena kanker payudara.
Gejala-gejala yang muncul sebagai tanda seseorang mengalami kanker
payudara antara lain adanya benjolan kecil di dalam payudara, tidak terasa sakit dan
bila diraba benjolan tersebut terasa keras. Pada momen tertentu, keluar cairan dari
puting susu atau puting susu tiba-tiba tertarik ke dalam. Kulit di daerah puting
berubah menjadi lebih kasar seperti kulit jeruk. Seiring berjalannya waktu, kelenjar
disela ketiak membesar dan seluruh payudara mengeras, sakit dan menjadi merah.
Bila belum juga mendapatkan pengobatan akan menjadi koreng yang mengeluarkan
darah dan nanah. Pada saat gejala ini sudah menyerang, benih kanker mungkin
sudah berada di tulang, paru-paru, hati, dan otak.
Faktor-faktor peningkatan risiko kanker payudara antara lain jenis kelamin,
usia, riwayat keluarga, menopause lanjut, obesitas, pascamenopause, penggunaan
estrogen kombinasi dan hormon menopause progestin, merokok, dan konsumsi
alkohol yang dimodifikasi. Hormon reproduksi dianggap memengaruhi risiko
kanker payudara dengan meningkatkan proliferasi sel, sehingga meningkatkan
kemungkinan kerusakan DNA, serta mendorong pertumbuhan kanker.
Hal yang dapat dilakukan untuk mengurangi risiko kanker payudara adalah
dengan melakukan aktivitas fisik secara teratur dan meminimalkan asupan alkohol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Wanita yang memilih menyusui untuk jangka waktu yang lama juga dapat
mengurangi risiko kanker payudara.
Kanker payudara dapat diobati dengan beberapa tindakan, antara lain operasi,
terapi radiasi, terapi sistemik, kemoterapi, terapi hormonal, atau terapi target.
Operasi kanker payudara memiliki tujuan utama yaitu untuk menghilangkan kanker
dari payudara dan untuk menentukan stadium penyakit. Terapi radiasi adalah
penggunaan sinar atau partikel berenergi tinggi untuk membunuh sel kanker.
Radiasi dapat digunakan setelah operasi penyembuhan yang berpotensi untuk
menghancurkan sel-sel kanker yang tersisa di payudara, dinding dada, atau daerah
ketiak. Terapi sistemik adalah obat rawat jalan yang dilakukan melalui aliran darah,
berpotensi memengaruhi semua bagian tubuh, dan bekerja menggunakan
mekanisme yang berbeda. Manfaat kemoterapi tergantung pada banyak faktor,
termasuk ukuran kanker, jumlah kelenjar getah bening yang terlibat, adanya
reseptor estrogen atau progesteron, dan jumlah protein HER2 yang dibuat oleh sel
kanker. Tergantung pada kombinasi obat yang digunakan, kemoterapi biasanya
diberikan selama tiga hingga enam bulan. Kemoterapi paling efektif ketika dosis
penuh dan siklus obat selesai tepat waktu. Terapi hormon digunakan untuk
menurunkan kadar estrogen atau untuk memblokir efek estrogen (hormon yang
diproduksi oleh indung telur, mendorong pertumbuhan banyak kanker payudara)
pada pertumbuhan sel kanker payudara. Terapi target adalah pengobatan kanker
yang secara khusus menggunakan obat atau zat lainnya yang digunakan untuk
menghalangi sinyal kimia di tingkat sel dimana pertumbuhan dan pembelahan sel
kanker terjadi.
B. Sumber Data
Penelitian ini menggunakan data hasil penelitian Girik Allo, Caecilia B. (2017).
Data diperoleh dari hasil rekam medik Rumah Sakit Panti Rapih Yogyakarta yaitu
berjumlah 483 pasien penyakit kanker payudara pada tahun 2014-2016. Data terdiri
dari 168 pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan 315 pasien kanker
payudara yang tidak mengikuti kemoterapi. Data yang diperoleh akan digunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
penulis untuk mengkonstruksi tabel kehidupan dan menentukan fungsi ketahanan
hidup pasien yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi.
Selain itu penulis juga akan membagi pasien kanker payudara ke dalam
masing-masing tingkat stadium. Pada hasil penelitian Girik Allo, Caecilia B.
(2017), digunakan metode SRS (Simple Random Sample), yaitu dengan undian
untuk mengambil sampel mengenai stadium pasien. Dari metode tersebut diperoleh
118 sampel pasien kanker payudara, tetapi hanya 70 sampel pasien yang diketahui
stadiumnya, diantaranya 40 pasien yang mengikuti kemoterapi dan 30 pasien yang
tidak mengikuti kemoterapi.
Penulis juga akan membagi banyaknya penderita kanker payudara ke dalam
lima kelompok umur yang akan diperlihatkan dalam Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Pengelompokkan Pasien Kanker Payudara ke dalam Lima
Kelompok Umur.
Umur Kemo Non Kemo Total
23-35 14 20 34
36-45 39 63 102
46-55 58 110 168
56-65 43 84 127
66-89 14 38 52
Total 168 315 483
Tabel 4.1 memperlihatkan bahwa pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti
Rapih tahun 2014-2016 paling banyak dialami pada rentan umur 46-55 dan 56-65
karena dengan selisih 10 tahun total pasien kanker payudara mencapai 168 pasien
dan 127 pasien. Pada tabel selanjutnya, akan diperlihatkan banyaknya pasien yang
dikelompokkan berdasarkan tingkat stadium. Pasien terdiri dari 70 sampel pasien
kanker payudara dari 118 pasien yang diketahui stadiumnya. Tabel 4.2 akan
memperlihatkan banyaknya pasien kanker payudara yang dikelompokkan ke dalam
lima kelompok umur dan 4 tingkat stadium.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Tabel 4.2 Pengelompokkan Pasien Kanker Payudara ke dalam Lima
Kelompok Umur dan Tingkat Stadium.
Stadium Umur Kemo Non Kemo Total
Stadium 1
23-35 0 0 0
36-45 0 0 0
46-55 0 0 0
56-65 0 0 0
66-89 0 0 0
Stadium 2
23-35 0 0 0
36-45 0 2 2
46-55 2 1 3
56-65 1 2 3
66-89 0 0 0
Stadium 3
23-35 0 1 1
36-45 4 1 5
46-55 3 2 5
56-65 3 5 8
66-89 1 1 2
Stadium 4
23-35 4 1 5
36-45 7 5 12
46-55 10 4 14
56-65 4 5 9
66-89 1 0 1
Total 40 30 70
Tabel 4.2 memperlihatkan bahwa tidak ada sampel pasien kanker payudara pada
stadium 1. Hal ini menandakan bahwa pasien kanker payudara pada stadium 1
masih sangat jarang melakukan pemeriksaan ke rumah sakit. Pasien mulai
melakukan pemeriksaan ke rumah sakit pada tingkat stadium 2. Selanjutnya
diperoleh pasien kanker payudara stadium 2 sebanyak 8 pasien, stadium 3 sebanyak
21 pasien dan stadium 4 sebanyak 41 pasien. Hal ini, berarti pasien kanker paling
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
banyak terjadi saat mencapai stadium 4. Pada rentang umur 23-35 terdapat total
pasien kanker payudara yang masuk ke dalam sampel sebanyak 6 pasien, rentang
umur 36-45 terdapat total pasien kanker payudara yang masuk ke dalam sampel
sebanyak 19 pasien, rentang umur 46-55 terdapat total pasien kanker payudara yang
masuk ke dalam sampel sebanyak 22 pasien, rentang umur 56-65 terdapat total
pasien kanker payudara yang masuk ke dalam sampel sebanyak 20 pasien dan
rentang umur 66-89 terdapat total pasien kanker payudara yang masuk ke dalam
sampel sebanyak 3 pasien. Hal ini menunjukkan bahwa pasien kanker payudara
yang masuk ke dalam sampel paling banyak terjadi pada rentang umur 46-55.
C. Ketahanan Hidup Pasien Penderita Kanker Payudara
Dalam perhitungan ketahanan hidup pasien kanker payudara, digunakan
Metode Tabel Kehidupan m enggunakan persamaan (3.21), yaitu
οΏ½ΜοΏ½(π‘) =β(ππβ² β ππ
ππβ² )
π‘π<π‘
dengan
οΏ½ΜοΏ½(π‘): peluang bertahan hidup pasien kanker payudara lebih dari selang ke-π.
ππ: banyaknya pasien kanker payudara yang meninggal pada selang ke-π.
ππ: banyaknya pasien kanker payudara yang hidup dan berisiko meninggal pada
interval ke- π.
ππβ²: rata-rata banyaknya individu yang berisiko pada selang ke-π.
Selanjutnya akan dihitung peluang bertahan hidup pasien kanker payudara hingga
selang kepercayaan 95% bagi π(π‘) pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti
Rapih Yogyakarta dengan menggunakan persamaan (3.28), yaitu
[οΏ½ΜοΏ½(π‘) β ππΌ 2β βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)], οΏ½ΜοΏ½(π‘) + ππΌ 2β βοΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)]]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
dengan οΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)] ditunjukkan pada Teorema 3.1, yaitu
οΏ½ΜοΏ½[οΏ½ΜοΏ½(π‘)] β [οΏ½ΜοΏ½(π‘)]2β
ππ
ππβ²(ππ
β² β ππ)
π
π=1
dengan πΌ = 0.05 dan π§πΌ 2β = 1.96.
Pada pembahasan ini digunakan tabel kehidupan klinis dan akan ditinjau:
1. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016
Pada bagian ini, penulis akan menyusun tabel kehidupan pasien kanker payudara
pada tahun 2014-2016 tanpa pengelompokkan pasien yang mengikuti
kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi. Penyusunan tabel kehidupan
digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22), diperoleh hasil
perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara pada tahun 2014-2016
yang dapat dilihat pada tabel Lampiran 5.
Dari tabel Lampiran 5 dapat digambarkan kurva ketahanan hidup pasien kanker
payudara pada tahun 2014-2016 pada Gambar 4.1.
------ : batas atas
dan batas bawah
pada selang
kepercayaan bagi
π(π‘)
____ : οΏ½ΜοΏ½(π‘)
Gambar 4.1 Kurva Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada tabel
Lampiran 5. Pada tabel Lampiran 5 dapat dilihat bahwa οΏ½ΜοΏ½(96) = 0.3023483
dengan selang kepercayaan 95% yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal
ini berarti pasien kanker payudara dengan semua perlakuan (tidak kemoterapi
dan kemoterapi) memiliki peluang bertahan hidup yang terletak pada selang
[0.1027, 0.5020]. Pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa peluang bertahan hidup
pasien penyakit kanker payudara dengan semua perlakuan turun melambat.
Dalam kurun waktu 964 hari, probabilitas ketahanan hidup pasien kanker
payudara dengan semua perilaku (tidak kemoterapi dan kemoterapi) berkurang
menjadi Β±1
3 probabilitas pada selang pertama.
2. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara 2014-2016 yang Tidak Mengikuti
Kemoterapi.
Pada bagian ini, penulis akan menyusun tabel kehidupan pasien kanker payudara
pada tahun 2014-2016 yang tidak mengikuti kemoterapi. Penyusunan tabel
kehidupan digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22),
diperoleh hasil perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara yang tidak
mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016 yang dapat dilihat pada tabel
Lampiran 6.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Dari tabel Lampiran 6 dapat digambarkan kurva ketahanan hidup pasien kanker
payudara pada tahun 2014-2016 pada Gambar 4.2
------ : batas atas
dan batas bawah
pada selang
kepercayaan
bagi π(π‘)
____ : οΏ½ΜοΏ½(π‘)
Gambar 4.2 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016
yang Tidak Mengikuti Kemoterapi.
Perhitungan yang terdapat pada tabel Lampiran 6 dilakukan hanya sampai selang
ke-89, hal ini terjadi karena setelah selang ke-89 perhitungan menunjukkan hasil
0 untuk semua kolom, sehingga persamaan (3.22) tidak terdefinisi. Pada kasus
ini, selang kepercayaan untuk selang ke-89 tidak dapat dicari karena adanya
pembagian dengan 0 pada persamaan (3.26). Dapat dilihat bahwa οΏ½ΜοΏ½(89) = 0,
hal ini berarti peluang hidup pasien kanker payudara melebihi selang ke-89 atau
memasuki waktu 881 hari adalah 0. Apabila dilihat dari kurva pada Gambar 4.2,
terlihat bahwa kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara yang tidak
mengikuti kemoterapi turun secara cepat sampai selang ke-31 atau memasuki
waktu 301 hari. Saat selang ke-31 sampai selang ke-89 probabilitas ketahanan
hidup konstan yaitu 0.36664 yang terletak pada selang kepercayaan
[0.1985, 0.5348] , kemudian menurun secara tajam menuju ke-0. Hal ini
disebabkan karena pada saat memasuki π‘ = 881 banyaknya individu yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
meninggal dan rata-rata banyaknya individu yang bertahan sama, yaitu ππ =
ππβ² = 1.
3. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016 yang Mengikuti
Kemoterapi.
Pada bagian ini, penulis akan menyusun tabel kehidupan pasien kanker payudara
pada tahun 2014-2016 yang mengikuti kemoterapi. Penyusunan tabel kehidupan
digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22), diperoleh hasil
perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi
pada tahun 2014-2016 yang dapat dilihat pada tabel Lampiran 7.
Dari tabel Lampiran 7 dapat digambarkan kurva ketahanan hidup pasien kanker
payudara pada pada Gambar 4.3.
------ : batas atas
dan batas bawah
pada selang
kepercayaan
bagi π(π‘)
____ : οΏ½ΜοΏ½(π‘)
Gambar 4.3 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016
yang Mengikuti Kemoterapi.
Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada table lampiran
7. Pada table lampiran 7 dapat dilihat bahwa οΏ½ΜοΏ½(96) = 0.26197 dengan selang
kepercayaan 95% yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal ini berarti
pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi memiliki peluang bertahan
hidup yang terletak pada selang [β0.0492, 0.5732], dengan mengambil nilai
positif peluang, selangnya menjadi [0, 0.5732]. Pada Gambar 4.3 dapat dilihat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
bahwa peluang bertahan hidup pasien penyakit kanker payudara yang mengikuti
kemoterapi turun melambat.
4. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016
yang Mengikuti Kemoterapi dan Tidak Mengikuti Kemoterapi.
Pada bagian ini, penulis membandingkan peluang bertahan hidup pasien kanker
payudara yang mengikuti kemoterapi dan tidak mengikuti kemoterapi.
Perbandingan peluang bertahan hidup pasien kanker yang tidak mengikuti
kemoterapi dan yang mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada tabel lampiran 6
dan tabel lampiran 7. Kurva perbandingan pasien kanker yang mengikuti
kemoterapi dan tidak mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada Gambar 4.4.
Gambar 4.4 Kurva Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara
Tahun 2014-2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan Tidak Mengikuti
Kemoterapi.
Pada Gambar 4.4 dapat terlihat bahwa kurva peluang ketahanan hidup pasien
kanker yang tidak mengikuti kemoterapi selalu berada di bawah kurva pasien
kanker yang mengikuti kemoterapi. Terlihat pula pada saat selang ke-89 kurva
peluang bertahan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti
kemoterapi turun tajam. Selain itu pada Gambar 4.4 dapat terlihat pula bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
kurva yang dibentuk dari pasien kanker payudara yang tidak mengikuti
kemoterapi dan yang mengikuti kemoterapi semakin lama semakin
menunjukkan jarak yang cukup jauh. Pada saat selang ke-31 pada pasien kanker
payudara yang tidak mengikuti kemoterapi menunjukkan peluang ketahanan
hidup sebesar οΏ½ΜοΏ½(31) = 0.36664, sedangkan pada pasien yang mengikuti
kemoterapi οΏ½ΜοΏ½(31) = 0.85719. Hal ini menunjukkan bahwa peluang bertahan
hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi lebih besar
dibandingkan dengan pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi,
atau dengan kata lain kemoterapi dapat meningkatkan ketahanan hidup pasien
kanker payudara. Pada Metode Kaplan-Meier yang terdapat pada Skripsi Girik
Allo, Caecilia B.(2017), didapatkan kurva ketahanan hidup pasien kanker
payudara yang tidak mengikuti kemoterapi turun tajam menuju 0 pada saat π‘ =
883, sedangkan pada metode tabel kehidupan didapatkan bahwa kurva
ketahanan hidup pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi turun
tajam menuju 0 pada saat selang ke-89, yaitu pada saat π‘ = 881. Meskipun
demikian, hasil yang didapat menunjukkan hal yang sama bahwa pasien kanker
payudara yang mengikuti kemoterapi memiliki peluang ketahanan hidup yang
lebih tinggi daripada pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi.
5. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 2 Tahun 2014-2016
Pada bagian ini, penulis akan menyusun tabel kehidupan pasien kanker payudara
stadium 2 pada tahun 2014-2016. Penyusunan tabel kehidupan digunakan
dengan selang 10 hari. Sampel yang diperoleh dalam penelitian Girik Allo,
Caecilia B. (2017) menunjukkan bahwa tidak ada pasien kanker payudara yang
meninggal pada tingkat stadium 2. Hal ini mengakibatkan nilai οΏ½ΜοΏ½(π‘) untuk semua
π‘ yang diperoleh sama dengan saat π‘ = 0, yaitu οΏ½ΜοΏ½(0) = 1. Hal ini tidak memiliki
arti, karena π‘ = 0 merupakan kondisi awal penelitian. Kondisi οΏ½ΜοΏ½(0) = 1 berlaku
juga untuk pasien kanker payudara stadium 2 yang mengikuti kemoterapi dan
yang tidak mengikuti kemoterapi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
6. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 3 Tahun 2014-2016
Pada bagian ini, penulis akan menyusun tabel kehidupan pasien kanker payudara
stadium 3 pada tahun 2014-2016. Penyusunan tabel kehidupan digunakan
dengan selang 10 hari. Sampel yang diperoleh dalam penelitian Girik Allo,
Caecilia B. (2017) juga menunjukkan bahwa tidak ada pasien kanker payudara
yang meninggal pada tingkat stadium 3. Hal ini mengakibatkan hal yang sama
pada tingkat stadium 2, yaitu nilai οΏ½ΜοΏ½(π‘) untuk semua π‘ yang diperoleh sama
dengan saat π‘ = 0, yaitu οΏ½ΜοΏ½(0) = 1. Hal ini tidak memiliki arti, karena π‘ = 0
merupakan kondisi awal penelitian. Kondisi οΏ½ΜοΏ½(0) = 1 berlaku juga untuk pasien
kanker payudara stadium 3 yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti
kemoterapi.
7. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 Tahun 2014-2016.
Pada bagian ini, penulis akan menyusun tabel kehidupan pasien kanker payudara
stadium 4 pada tahun 2014-2016 tanpa pengelompokkan pasien yang mengikuti
kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi. Penyusunan tabel kehidupan
digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22), diperoleh hasil
perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara stadium 4 pada tahun 2014-
2016 yang dapat dilihat pada tabel Lampiran 12.
Dari tabel Lampiran 12 dapat digambarkan kurva ketahanan hidup pasien kanker
payudara pada pada Gambar 4.5.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
------ : batas
atas
dan batas
bawah
pada selang
kepercayaan
bagi π(π‘)
____ : οΏ½ΜοΏ½(π‘)
Gambar 4.5 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 Tahun
2014-2016.
Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada tabel
Lampiran 5. Pada tabel Lampiran 5 dapat dilihat bahwa οΏ½ΜοΏ½(89) = 0.082 dengan
selang kepercayaan 95% yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal ini
berarti pasien kanker payudara dengan semua perlakuan (tidak kemoterapi dan
kemoterapi) memiliki peluang bertahan hidup yang terletak pada selang
[β0.0575, 0.2215], dengan mengambil nilai positif peluang, selangnya menjadi
[0, 0.2215], Pada Gambar 4.5 dapat dilihat bahwa peluang bertahan hidup
pasien penyakit kanker payudara dengan semua perlakuan turun melambat.
8. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak Mngikuti
Kemoterapi Tahun 2014-2016.
Pada bagian ini, penulis akan menyusun tabel kehidupan pasien kanker payudara
stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016. Penyusunan
tabel kehidupan digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22),
diperoleh hasil perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara stadium 4
yang tidak mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016 yang dapat dilihat pada
tabel Lampiran 13.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Dari tabel Lampiran 13 dapat digambarkan kurva ketahanan hidup pasien kanker
payudara pada pada Gambar 4.6
------ : batas
atas
dan batas
bawah
pada selang
kepercayaan
bagi π(π‘)
____ : οΏ½ΜοΏ½(π‘)
Gambar 4.6 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak
Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016.
Perhitungan yang terdapat pada tabel Lampiran 13 dilakukan hanya sampai
selang ke-89, hal ini terjadi karena setelah selang ke-89 perhitungan
menunjukkan hasil 0 untuk semua kolom, sehingga persamaan (3.22) tidak
terdefinisi. Pada kasus ini, selang kepercayaan untuk selang ke-89 tidak dapat
dicari karena adanya pembagian dengan 0 pada persamaan (3.26). Dapat dilihat
bahwa οΏ½ΜοΏ½(89) = 0, hal ini berarti peluang hidup pasien kanker payudara melebihi
selang ke-89 atau memasuki waktu 881 hari adalah 0. Apabila dilihat dari kurva
pada Gambar 4.6, terlihat bahwa kurva ketahanan hidup pasien kanker payudara
stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi turun secara cepat sampai selang ke-
3 atau memasuki π‘ = 31. Saat selang ke-3 sampai selang ke-22 atau memasuki
π‘ = 211 probabilitas ketahanan hidup konstan yaitu 0.589 yang terletak pada
kemudian menurun secara tajam menuju selang ke-25 atau memasuki π‘ = 241.
Saat selang ke-25 sampai selang ke-88 atau memasuki π‘ = 871 probabilitas
ketahanan hidup konstan yaitu 0.295. Kurva stabil dalam waktu yang cukup
lama disebabkan karena tidak ada individu yang meninggal dalam rentang waktu
tersebut. Saat selang ke-89 atau memasuki π‘ = 881 kurva turun tajam menuju
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
ke-0. Hal ini disebabkan karena pada saat memasuki π‘ = 881 banyaknya
individu yang meninggal dan rata-rata banyaknya individu yang bertahan sama,
yaitu ππ = ππβ² = 1.
9. Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang Mngikuti
Kemoterapi Tahun 2014-2016.
Pada bagian ini, penulis akan menyusun tabel kehidupan pasien kanker payudara
stadium 4 yang mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016. Penyusunan tabel
kehidupan digunakan dengan selang 10 hari. Menurut persamaan (3.22),
diperoleh hasil perhitungan tabel kehidupan pasien kanker payudara stadium 4
yang mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016 yang dapat dilihat pada tabel
Lampiran 14.
Dari tabel Lampiran 14 dapat digambarkan kurva ketahanan hidup pasien kanker
payudara pada pada Gambar 4.7.
------ : batas
atas
dan batas
bawah
pada selang
kepercayaan
bagi π(π‘)
____ : οΏ½ΜοΏ½(π‘)
Gambar 4.7 Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
Menurut persamaan (3.22) diperoleh hasil yang dapat dilihat pada tabel lampiran
14. Pada tabel lampiran 14 dapat dilihat bahwa οΏ½ΜοΏ½(89) = 0.083 dengan selang
kepercayaan 95% yang memiliki batas bawah dan batas atas. Hal ini berarti
pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi memiliki peluang bertahan
hidup yang terletak pada selang [β0.07, 0.2365], dengan mengambil nilai
positif peluang, selangnya menjadi [0, 0.2365]. Pada Gambar 4.7 dapat dilihat
bahwa peluang bertahan hidup pasien penyakit kanker payudara stadium 4 yang
mengikuti kemoterapi turun melambat.
10. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Tidak Mngikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016.
Pada bagian ini, penulis membandingkan peluang bertahan hidup pasien
kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi dan mengikuti
kemoterapi. Perbandingan peluang bertahan hidup pasien kanker yang tidak
mengikuti kemoterapi dan yang mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada tabel
lampiran 13 dan dan tabel lampiran 14. Kurva perbandingan pasien kanker
payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi dan tidak mengikuti
kemoterapi dapat dilihat pada Gambar 4.8.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
Gambar 4.8 Kurva Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara
Stadium 4 yang Tidak Mengikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi
Tahun 2014-2016.
Pada Gambar 4.8 dapat terlihat bahwa kurva peluang ketahanan hidup pasien
kanker yang tidak mengikuti kemoterapi cenderung di bawah kurva pasien
kanker yang mengikuti kemoterapi. Terlihat pula pada saat selang ke-89 kurva
peluang bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti
kemoterapi turun tajam. Pada saat selang ke-31 pada pasien kanker payudara
yang tidak mengikuti kemoterapi menunjukkan peluang ketahanan hidup sebesar
οΏ½ΜοΏ½(31) = 0.295, sedangkan pada pasien yang mengikuti kemoterapi οΏ½ΜοΏ½(31) =
0.555. Pada saat selang ke-59 atau saat π‘ = 581, selang ke-67 atau saat π‘ = 661
dan selang ke-78 atau saat π‘ = 771 probabilitas ketahanan pasien kanker
payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi lebih rendah daripada pasien
kanker payudara stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi. Namun, pada saat
selang ke-89, probabilitas ketahanan pasien kanker payudara stadium 4 yang
tidak mengikuti kemoterapi turun tajam menuju ke-0. Bila dibandingkan dengan
kurva ketahanan pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi,
kurva yang dihasilkan turun secara melambat. Hal ini menunjukkan bahwa
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
probabilitas ketahanan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti
kemoterapi lebih tinggi dibandingkan dengan pasien kanker payudara yang tidak
mengikuti kemoterapi.
11. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Tidak Mngikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016.
Pada bagian ini, penulis membandingkan persentase bertahan hidup pasien
kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi dan mengikuti kemoterapi.
Kurva perbandingan pasien kanker payudara stadium yang mengikuti
kemoterapi dan tidak mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada Gambar 4.8.
Gambar 4.9 Kurva Perbandingan Persentase Ketahanan Hidup Pasien
Kanker Payudara yang Tidak Mengikuti Kemoterapi dan Mengikuti
Kemoterapi Tahun 2014-2016.
Pada Gambar 4.9 dapat terlihat bahwa kurva persentase ketahanan hidup pasien
kanker yang tidak mengikuti kemoterapi selalu berada di bawah kurva pasien
kanker yang mengikuti kemoterapi. Hal ini menunjukkan bahwa persentase
bertahan hidup pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi lebih besar
dibandingkan dengan pasien kanker payudara yang tidak mengikuti
kemoterapi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
12. Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Tidak Mngikuti Kemoterapi dan Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016.
Pada bagian ini, penulis membandingkan persentase bertahan hidup pasien
kanker payudara stadium 4 tidak mengikuti kemoterapi dan mengikuti
kemoterapi. Kurva perbandingan pasien kanker payudara stadium yang
mengikuti kemoterapi dan tidak mengikuti kemoterapi dapat dilihat pada
Gambar 4.10.
Gambar 4.10 Kurva Perbandingan Persentase Ketahanan Hidup Pasien
Kanker Payudara Stadium 4 yang Tidak Mengikuti Kemoterapi dan
Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016.
Pada Gambar 4.10 dapat terlihat bahwa kurva persentase ketahanan hidup
pasien kanker stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi selalu berada di
bawah kurva pasien kanker yang mengikuti kemoterapi. Hal ini menunjukkan
bahwa persentase bertahan hidup pasien kanker payudara stadium 4 yang
mengikuti kemoterapi lebih besar dibandingkan dengan pasien kanker
payudara yang tidak mengikuti kemoterapi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Pembahasan selanjutnya, akan memperlihatkan persentase kematian pasien kanker
payudara yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti kemoterapi yang
diperlihatkan pada Tabel 4.3, begitu juga pasien kanker payudara stadium 4 yang
tersedia pada Tabel 4.4.
Tabel 4.3 Persentase Kematian Pasien Kanker Payudara yang Mengikuti
Kemoterapi Dan yang Tidak Mengikuti Kemoterapi.
Umur
Kemo Non Kemo
Jumlah
Pasien % Meninggal
Jumlah
Pasien % Meninggal
23-35 14 21.4 20 15
36-45 39 10.3 63 17.5
46-55 58 17.2 110 17.3
56-65 43 7 84 15.5
66-89 14 7.1 38 21.1
Total 168 315
Tabel 4.4 Persentase Kematian Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Mengikuti Kemoterapi Dan yang Tidak Mengikuti Kemoterapi.
Umur
Kemo Non Kemo
Jumlah
Pasien % Meninggal
Jumlah
Pasien % Meninggal
23-35 4 75 1 100
36-45 7 42.9 5 60
46-55 10 70 4 75
56-65 4 50 5 20
66-89 1 0 0 -
Total 168
315
Pada Tabel 4.3 dapat diduga bahwa tidak ada pengaruh umur terhadap persentase
pasien kanker payudara yang meninggal untuk pasien yang mengikuti kemoterapi
dan yang tidak mengikuti kemoterapi. Hal tersebut dapat dilihat bahwa tidak ada
pola yang menunjukkan semakin umur pasien semakin tinggi, maka persentase
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
pasien kanker payudara yang mengikuti kemoterapi dan yang tidak mengikuti
kemoterapi untuk pasien yang meninggal akan semakin tinggi. Hal ini ternyata juga
berlaku untuk pasien kanker payudara stadium 4 yang mengikuti kemoterapi dan
yang tidak mengikuti kemoterapi yang tersedia pada Tabel. 4.4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Kanker merupakan salah satu penyakit yang menyebabkan kematian terbesar
dan terus meningkat di dunia. Kanker-kanker yang umum terjadi adalah kanker
paru-paru, kanker payudara, kanker kolorektal, kanker prostat, kanker kulit dan
kanker perut. Salah satu alternatif pengobatan yang digunakan untuk mengatasi
kanker adalah dengan melakukan kemoterapi.
Analisis ketahanan hidup merupakan metode statistika yang digunakan untuk
mempelajari kejadian dan waktu kejadian. Pada bidang kesehatan, kejadian dalam
analisis ketahanan hidup yang dimakasud adalah kematian karna suatu penyakit,
kambuhnya suatu penyakit, atau karena munculnya suatu penyakit yang baru.
Waktu ketahanan dalam analisis ketahanan hidup dikenal juga dengan waktu
kegagalan atau failure time.
Tabel kehidupan merupakan tabel yang memberikan pengukuran untuk angka
kematian dan menggambarkan ketahanan hidup dalam suatu populasi. Tabel
kehidupan terdiri atas tabel kehidupan populasi dan tabel kehidupan klinis.
Data yang digunakan dalam tugas akhir ini merupakan data yang diperoleh dari
rekam medik rumah sakit yaitu pasien kanker payudara di Rumah Sakit Panti Rapih
Yogyakarta pada tahun 2014-2016. Pasien kanker payudara sebanyak 483 pasien
yang diantaranya sebanyak 168 melakukan kemoterapi dan sebanyak 315 tidak
melakukan kemoterapi.
Dari hasil olah data, dapat disimpulkan bahwa pasien kanker payudara yang
mengikuti kemoterapi memiliki peluang bertahan hidup yang lebih tinggi daripada
pasien kanker payudara yang tidak mengikuti kemoterapi. Saat diambil sampel
pasien kanker payudara diperoleh 70 sampel pasien kanker payudara yang diketahui
stadiumnya dari 118 pasien yang terpilih, terdiri dari 40 pasien kanker payudara
yang mengikuti kemoterapi dan 30 pasien kanker payudara yang tidak mengikuti
kemoterapi. Kesimpulan yang sama dihasilkan pula untuk pasien kanker payudara
stadium 4, yaitu pasien kanker payudara staidum 4 yang mengikuti kemoterapi
memiliki peluang bertahan hidup yang lebih tinggi daripada pasien kanker payudara
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi. Hal ini menunjukkan bahwa
kemoterapi dapat meningkatkan waktu ketahanan penderita kanker payudara atau
dapat memperpanjang waktu hidup penderita kanker payudara.
B. Saran
Saran untuk peneliti selanjutnya adalah bisa digunakan metode tabel kehidupan
dalam bidang ekonomi atau bisa juga digunakan untuk aplikasi pada sensus
penduduk.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
DAFTAR PUSTAKA
Allison, Paul D. (1995). Survival Analysis Using SAS. North Carolina: SAS
Institute, Inc.
Bain, L.J. & Max Engelhardt. (1992). Introduction to Probability and Mathematical
Statistics. Duxbury: Thomson Learning.
Collect, David. (2003). Modelling Survival Data in Medical Research. 2nd Edition.
London: Chapman & Hall/CRC.
Elandts-Johnson,R.C. dan L.J.,Norman. (1979). Survival Models and Data
Analysis. New York: John Wiley and Sons INC.
Girik Allo, Caecilia B. (2017). Aplikasi Metode Kaplan Meier untuk Menduga
Selang Waktu Ketahanan Hidup (Studi Kasus: Pasien Kanker Payudara di
Rumah Sakit Panti Rapih). Skripsi. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi.
Kleinbaum, David G. & Mitchel Klein. (2005). Survival Analysis: A Self Learning
Text (Second Edition). New York: Springer.
Lee, Elista T. & John Wenyu Wang. (2003). Statistical Methods For Survival
Data Analysis (Third Edition). Chichester: John Wiley & Sons INC.
Lawless, Jerald F. (2003). Statistical Models adn Methods For Lifetime Data. 2nd
Edition. Chichester: John Wiley & Sons.
Liu, Xian. (2012). Survival Analysis Models and Applications. Chichester: John
Wiley & Sons.
Oswari, E. (2003). Penyakit dan Penanggulangannya. Jakarta: Balai Penerbit
FKUI, Jakarta.
Ramachandran, K.M. & Chris P. Tsokos. (2009). Mathematical Statistics with
Applications. Burlington: Elsevier Academic Press.
Sembiring, R.K. (1986). Buku Materi Pokok Asuransi I. Jakarta: Penerbit Karunika
Jakarta.
Wakerly, Denis D, et al. (2008). Mathematical Statistics With Applications. 7nd
Edition. Duxubury: Thompson Brooks.
Williams, David. (1991). Probability with Martingales. New York: Cambridge
University Press.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
105
Wu, Jianrong. (2018). Statistical Methods for Survival Trial Design With
Applications to Cancer Clinical Trials Using R. New York: Taylor and Francis
Group.
World Health Organization. (who.int). Diakses pada tanggal 19 Februari 2020.
American Cancer Soeciety (Breast and Figures 2019-2020). (cancer.org). Diakses
pada tanggal 19 Februari 2020.
Bumrungrad International Hospital.
(bumrungrad.com/id/treatments/targeted.theraphy). Diakses pada tanggal 19
Februari 2020.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
106
106
LAMPIRAN
Lampiran 1: Tabel Distribusi Normal
Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0.5 0.496 0.492 0.488 0.484 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641
0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247
0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.409 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859
0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.352 0.3483
0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.33 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121
0.5 0.3085 0.305 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.281 0.2776
0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451
0.7 0.242 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148
0.8 0.2119 0.209 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867
0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.166 0.1635 0.1611
1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379
1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.123 0.121 0.119 0.117
1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.102 0.1003 0.0985
1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0722 0.0708 0.0694 0.0681
1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.063 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559
1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455
1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367
1.8 0.0359 0.0352 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294
1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.025 0.0244 0.0239 0.0233
2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183
2.1 0.0179 0.0174 0.017 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.015 0.0146 0.0143
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
107
2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.011
2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084
2.4 0.0082 0.008 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064
2.5 0.0062 0.006 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048
2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.004 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036
2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.003 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026
2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.002 0.0019
2.9 0.0019 0.0018 0.0017 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014
3 0.00135
3.5 0.000233
4 0.0000317
4.5 0.0000034
5 0.000000287
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
108
Lampiran 2: Tabel CSO 1914
π₯ ππ₯ ππ₯ ππ₯ 1000ππ₯
0 1023102 23102 0.02258 22.58035
1 1000000 5770 0.00577 5.77
2 994230 4116 0.00414 4.139887
3 990114 3347 0.00338 3.380419
4 986767 2950 0.00299 2.989561
5 983817 2715 0.00276 2.75966
6 981102 2561 0.00261 2.61033
7 978541 2417 0.00247 2.470004
8 976124 2255 0.00231 2.310157
9 973869 2065 0.00212 2.120408
10 971804 1914 0.00197 1.969533
11 969890 1852 0.001909 1.909495
12 968038 1859 0.00192 1.920379
13 966179 1913 0.00198 1.979964
14 964266 1996 0.00207 2.069968
15 962270 2069 0.00215 2.150124
16 960201 2103 0.00219 2.190166
17 958098 2156 0.00225 2.250292
18 955942 2199 0.0023 2.300349
19 953743 2260 0.00237 2.369611
20 951483 2312 0.00243 2.429891
21 949171 2382 0.00251 2.509558
22 946789 2452 0.00259 2.589806
23 944337 2531 0.00268 2.680187
24 941806 2609 0.00277 2.77021
25 939197 2705 0.00288 2.88012
26 936492 2800 0.00299 2.989881
27 933692 2904 0.00311 3.110233
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
109
28 930788 3025 0.00325 3.249934
29 927763 3154 0.0034 3.399575
30 924609 3292 0.00356 3.560424
31 921317 3437 0.003731 3.730529
32 917880 3598 0.00392 3.919902
33 914282 3767 0.00412 4.120173
34 910515 3961 0.00435 4.350285
35 906554 4161 0.00459 4.589909
36 902393 4386 0.00486 4.86041
37 898007 4625 0.00515 5.150294
38 893382 4878 0.00546 5.46015
39 888504 5162 0.00581 5.809766
40 883342 5459 0.00618 6.179939
41 877883 5785 0.00659 6.589716
42 872098 6131 0.00703 7.030173
43 865967 6503 0.00751 7.509524
44 859464 6910 0.00804 8.039895
45 852554 7340 0.008609 8.609425
46 845214 7801 0.00923 9.229615
47 837413 8299 0.00991 9.910283
48 829114 8822 0.01064 10.64027
49 820292 9392 0.01145 11.44958
50 810900 9990 0.01232 12.31964
51 800910 10628 0.01327 13.26991
52 790282 11301 0.0143 14.29996
53 778981 12020 0.01543 15.43041
54 766961 12770 0.01665 16.65013
55 754191 13560 0.01798 17.97953
56 740631 14390 0.019429 19.42938
57 726241 15251 0.021 20.99992
58 710990 16147 0.022711 22.71059
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
110
59 694843 17072 0.02457 24.56958
60 677771 18022 0.02659 26.5901
61 659749 18988 0.028781 28.78064
62 640761 19979 0.03118 31.18011
63 620782 20958 0.033761 33.76064
64 599824 21942 0.036581 36.58073
65 577882 22907 0.03964 39.63958
66 554975 23842 0.04296 42.96049
67 531133 24730 0.046561 46.56084
68 506403 25553 0.05046 50.45981
69 480850 26302 0.054699 54.69897
70 454548 26955 0.059301 59.30067
71 427593 27481 0.064269 64.26906
72 400112 27872 0.06966 69.6605
73 372240 28104 0.0755 75.49968
74 344136 28154 0.081811 81.81068
75 315982 28009 0.088641 88.64113
76 287973 27651 0.096019 96.01942
77 260322 27071 0.10399 103.9904
78 233251 26262 0.112591 112.5912
79 206989 25224 0.121862 121.8615
80 181765 23966 0.131852 131.8516
81 157799 22502 0.142599 142.5991
82 135297 20857 0.154157 154.1572
83 114440 19062 0.166568 166.5676
84 95378 17157 0.179884 179.8843
85 78221 15185 0.194129 194.1295
86 63036 13198 0.209372 209.3724
87 49838 11245 0.225631 225.631
88 38593 9378 0.242997 242.9974
89 29215 7638 0.261441 261.441
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
111
90 21577 6063 0.280994 280.9937
91 15514 4681 0.301727 301.7275
92 10833 3506 0.323641 323.6407
93 7327 2540 0.346663 346.663
94 4787 1776 0.371005 371.0048
95 3011 1193 0.396214 396.2139
96 1818 813 0.447195 447.1947
97 1005 551 0.548259 548.2587
98 454 329 0.72467 724.6696
99 125 125 1 1000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lampiran 3: Waktu ketahanan pada pengamatan pasien myeloma
Pasien Waktu
ketahanan Status Umur
Jenis
kelamin Bun Ca Hb Pcells Pro
1 13 1 66 1 25 10 14.6 18 1
2 52 0 66 1 13 11 12 100 0
3 6 1 53 2 15 13 11.4 33 1
4 40 1 69 1 10 10 10.2 30 1
5 10 1 65 1 20 10 13.2 66 0
6 7 0 57 2 12 8 9.9 45 0
7 66 1 52 1 21 10 12.8 11 1
8 10 0 60 1 41 9 14 70 1
9 10 1 70 1 37 12 7.5 47 0
10 14 1 70 1 40 11 10.6 27 0
11 16 1 68 1 39 10 11.2 41 0
12 4 1 50 2 172 9 10.1 46 1
13 65 1 59 1 28 9 6.6 66 0
14 5 1 60 1 13 10 9.7 25 0
15 11 0 66 2 25 9 8.8 23 0
16 10 1 51 2 12 9 9.6 80 0
17 15 0 55 1 14 9 13 8 0
18 5 1 67 2 26 8 10.4 49 0
19 76 0 60 1 12 12 14 9 0
20 56 0 66 1 18 11 12.4 90 0
21 88 1 63 1 21 9 14 42 1
22 24 1 67 1 10 10 12.4 44 0
23 51 1 60 2 10 10 10.1 45 1
24 4 1 74 1 48 9 6.5 54 0
25 40 0 72 1 57 9 12.8 28 1
26 8 1 55 1 53 12 8.2 55 0
27 18 1 51 1 12 15 14.4 100 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
113
28 5 1 70 2 130 8 10.2 23 0
29 16 1 53 1 17 9 10 28 0
30 50 1 74 1 37 13 7.7 11 1
31 40 1 70 2 14 9 5 22 0
32 1 1 67 1 165 10 9.4 90 0
33 36 1 63 1 40 9 11 16 1
34 5 1 77 1 23 8 9 29 0
35 10 1 61 1 13 10 14 19 0
36 91 1 58 2 27 11 11 26 1
37 18 0 69 2 21 10 10.8 33 0
38 1 1 57 1 20 9 5.1 100 1
39 18 0 59 2 21 10 13 100 0
40 6 1 61 2 11 10 5.1 100 0
41 1 1 75 1 56 12 11.3 18 0
42 23 1 56 2 20 9 14.6 3 0
43 15 1 62 2 21 10 8.8 5 0
44 18 1 60 2 18 9 7.5 85 1
45 12 0 71 2 46 9 4.9 62 0
46 12 1 60 2 6 10 5.5 25 0
47 17 1 65 2 28 8 7.5 8 0
48 3 0 59 1 90 10 10.2 6 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
114
Lampiran 4: List Program Tabel Kehidupan dari Pasien Myeloma
> myeloma<-read.csv(file.choose()header=Tsep=";")
> myeloma
Selang Jangka.waktu St Batas.bawah Batas.atas
1 0 0.652174 0.526527724 0.7778201
2 -12 0.401338 0.276846428 0.52582916
3 -24 0.372671 0.242949297 0.50239232
4 -36 0.28323 0.15375571 0.41270392
5 -48 0.212422 0.070072131 0.35477259
6 -60 0.023602 -0.002337778 0.04954275
> attach(myeloma)
> plot.ts(Stxlab="Selang ke-" ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")
> lines(Batas.bawah pch=22 lty=2)
> lines(Batas.atas pch=22 lty=2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
115
Lampiran 5: Tabel kehidupan pasien kanker payudara pada tahun 2014-2016
Tabel yang tersedia merupakan tabel kehidupan dengan selang waktu 10 hari.
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
1 0 26 198 483 384 0.9322917 0.9072 0.9574
2 11 10 13 259 252.5 0.8953692 0.8624 0.9283
3 21 1 19 236 226.5 0.8914162 0.8577 0.9251
4 31 4 2 216 215 0.8748317 0.8380 0.9116
5 41 0 13 210 203.5 0.8748317 0.8380 0.9116
6 51 3 1 197 196.5 0.8614755 0.8223 0.9007
7 61 1 8 193 189 0.8569174 0.8169 0.8969
8 71 1 5 184 181.5 0.8521961 0.8114 0.8930
9 81 1 11 178 172.5 0.8472558 0.8055 0.8890
10 91 3 4 166 164 0.8317572 0.7873 0.8763
11 101 0 8 159 155 0.8317572 0.7873 0.8763
12 111 0 5 151 148.5 0.8317572 0.7873 0.8763
13 121 0 7 146 142.5 0.8317572 0.7873 0.8763
14 131 2 7 139 135.5 0.8194804 0.7725 0.8665
15 141 0 9 130 125.5 0.8194804 0.7725 0.8665
16 151 1 12 121 115 0.8123545 0.7637 0.8610
17 161 2 4 108 106 0.797027 0.7449 0.8492
18 171 2 5 102 99.5 0.7810064 0.7254 0.8366
19 181 0 2 95 94 0.7810064 0.7254 0.8366
20 191 1 3 93 91.5 0.7724708 0.7150 0.8299
21 201 0 2 89 88 0.7724708 0.7150 0.8299
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
116
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
22 211 0 6 87 84 0.7724708 0.7150 0.8299
23 221 2 2 81 80 0.753159 0.6912 0.8151
24 231 2 3 77 75.5 0.7332078 0.6670 0.7994
25 241 1 3 72 70.5 0.7228077 0.6545 0.7911
26 251 1 1 68 67.5 0.7120994 0.6416 0.7826
27 261 0 0 66 66 0.7120994 0.6416 0.7826
28 271 0 1 66 65.5 0.7120994 0.6416 0.7826
29 281 1 4 65 63 0.7007962 0.6281 0.7735
30 291 1 3 60 58.5 0.6888168 0.6136 0.7640
31 301 1 1 56 55.5 0.6764057 0.5987 0.7541
32 311 0 3 54 52.5 0.6764057 0.5987 0.7541
33 321 0 0 51 51 0.6764057 0.5987 0.7541
34 331 0 3 51 49.5 0.6764057 0.5987 0.7541
35 341 0 0 48 48 0.6764057 0.5987 0.7541
36 351 0 1 48 47.5 0.6764057 0.5987 0.7541
37 361 0 2 47 46 0.6764057 0.5987 0.7541
38 371 0 4 45 43 0.6764057 0.5987 0.7541
39 381 0 2 41 40 0.6764057 0.5987 0.7541
40 391 0 5 39 36.5 0.6764057 0.5987 0.7541
41 401 0 1 34 33.5 0.6764057 0.5987 0.7541
42 411 0 0 33 33 0.6764057 0.5987 0.7541
43 421 0 0 33 33 0.6764057 0.5987 0.7541
44 431 0 2 33 32 0.6764057 0.5987 0.7541
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
117
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
45 441 0 1 31 30.5 0.6764057 0.5987 0.7541
46 451 0 0 30 30 0.6764057 0.5987 0.7541
47 461 1 2 30 29 0.6530814 0.5657 0.7405
48 471 0 4 27 25 0.6530814 0.5657 0.7405
49 481 0 0 23 23 0.6530814 0.5657 0.7405
50 491 1 0 23 23 0.6246865 0.5249 0.7245
51 501 0 0 22 22 0.6246865 0.5249 0.7245
52 511 0 1 22 21.5 0.6246865 0.5249 0.7245
53 521 0 2 21 20 0.6246865 0.5249 0.7245
54 531 0 1 19 18.5 0.6246865 0.5249 0.7245
55 541 0 0 18 18 0.6246865 0.5249 0.7245
56 551 0 1 18 17.5 0.6246865 0.5249 0.7245
57 561 0 2 17 16 0.6246865 0.5249 0.7245
58 571 1 0 15 15 0.5830408 0.4610 0.7051
59 581 1 0 14 14 0.541395 0.4035 0.6793
60 591 0 1 13 12.5 0.541395 0.4035 0.6793
61 601 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793
62 611 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793
63 621 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793
64 631 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793
65 641 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793
66 651 0 0 12 12 0.541395 0.4035 0.6793
67 661 1 0 12 12 0.4962787 0.3441 0.6484
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
118
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
68 671 0 0 11 11 0.4962787 0.3441 0.6484
69 681 0 0 11 11 0.4962787 0.3441 0.6484
70 691 0 0 11 11 0.4962787 0.3441 0.6484
71 701 0 1 11 10.5 0.4962787 0.3441 0.6484
72 711 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484
73 721 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484
74 731 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484
75 741 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484
76 751 0 0 10 10 0.4962787 0.3441 0.6484
77 761 1 0 10 10 0.4466509 0.2815 0.6118
78 771 0 0 9 9 0.4466509 0.2815 0.6118
79 781 0 0 9 9 0.4466509 0.2815 0.6118
80 791 0 0 9 9 0.4466509 0.2815 0.6118
81 801 0 0 9 9 0.4466509 0.2815 0.6118
82 811 0 2 9 8 0.4466509 0.2815 0.6118
83 821 0 0 7 7 0.4466509 0.2815 0.6118
84 831 0 0 7 7 0.4466509 0.2815 0.6118
85 841 1 1 7 6.5 0.3779354 0.1912 0.5647
86 851 0 0 5 5 0.3779354 0.1912 0.5647
87 861 0 0 5 5 0.3779354 0.1912 0.5647
88 871 0 0 5 5 0.3779354 0.1912 0.5647
89 881 1 0 5 5 0.3023483 0.1027 0.5020
90 891 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
119
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
91 901 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020
92 911 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020
93 921 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020
94 931 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020
95 941 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020
96 951 0 0 4 4 0.3023483 0.1027 0.5020
97 961 0 1 4 3.5 0.3023483 0.1027 0.5020
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
120
Lampiran 6: Tabel kehidupan pasien kanker payudara pada tahun 2014-2016
yang tidak mengikuti kemoterapi
Tabel yang tersedia merupakan tabel kehidupan dengan selang waktu 10 hari.
Interval Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
1 0 26 188 315 221 0.8823529 0.8399 0.9248
2 11 10 11 101 95.5 0.78996 0.7238 0.8562
3 21 1 9 80 75.5 0.7794969 0.7111 0.8479
4 31 3 2 70 69 0.7456057 0.6702 0.8210
5 41 0 5 65 62.5 0.7456057 0.6702 0.8210
6 51 2 1 60 59.5 0.7205434 0.6400 0.8010
7 61 0 2 57 56 0.7205434 0.6400 0.8010
8 71 0 2 55 54 0.7205434 0.6400 0.8010
9 81 0 5 53 50.5 0.7205434 0.6400 0.8010
10 91 1 4 48 46 0.7048794 0.6205 0.7893
11 101 0 4 43 41 0.7048794 0.6205 0.7893
12 111 0 2 39 38 0.7048794 0.6205 0.7893
13 121 0 3 37 35.5 0.7048794 0.6205 0.7893
14 131 1 3 34 32.5 0.6831908 0.5913 0.7751
15 141 0 0 30 30 0.6831908 0.5913 0.7751
16 151 0 4 30 28 0.6831908 0.5913 0.7751
17 161 1 0 26 26 0.6569142 0.5551 0.7587
18 171 1 1 25 24.5 0.6301014 0.5197 0.7405
19 181 0 1 23 22.5 0.6301014 0.5197 0.7405
20 191 0 1 22 21.5 0.6301014 0.5197 0.7405
21 201 0 1 21 20.5 0.6301014 0.5197 0.7405
22 211 0 1 20 19.5 0.6301014 0.5197 0.7405
23 221 2 0 19 19 0.5637749 0.4322 0.6953
24 231 1 0 17 17 0.5306117 0.3917 0.6696
25 241 1 1 16 15.5 0.4963787 0.3511 0.6417
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
121
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
26 251 1 0 14 14 0.4609231 0.3103 0.6115
27 261 0 0 13 13 0.4609231 0.3103 0.6115
28 271 0 1 13 12.5 0.4609231 0.3103 0.6115
29 281 1 2 12 11 0.419021 0.2613 0.5768
30 291 0 1 9 8.5 0.419021 0.2613 0.5768
31 301 1 0 8 8 0.3666433 0.1985 0.5348
32 311 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348
33 321 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348
34 331 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348
35 341 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348
36 351 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348
37 361 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348
38 371 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348
39 381 0 0 7 7 0.3666433 0.1985 0.5348
40 391 0 1 7 6.5 0.3666433 0.1985 0.5348
41 401 0 0 6 6 0.3666433 0.1985 0.5348
42 411 0 0 6 6 0.3666433 0.1985 0.5348
43 421 0 2 6 5 0.3666433 0.1985 0.5348
44 431 0 0 4 4 0.3666433 0.1985 0.5348
45 441 0 1 4 3.5 0.3666433 0.1985 0.5348
46 451 0 0 3 3 0.3666433 0.1985 0.5348
47 461 0 0 3 3 0.3666433 0.1985 0.5348
48 471 0 1 3 2.5 0.3666433 0.1985 0.5348
49 481 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
50 491 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
51 501 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
52 511 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
53 521 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
54 531 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
122
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
55 541 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
56 551 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
57 561 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
58 571 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
59 581 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
60 591 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
61 601 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
62 611 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
63 621 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
64 631 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
65 641 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
66 651 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
67 661 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
68 671 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
69 681 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
70 691 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
71 701 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
72 711 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
73 721 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
74 731 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
75 741 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
76 751 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
77 761 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
78 771 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
79 781 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
80 791 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
81 801 0 0 2 2 0.3666433 0.1985 0.5348
82 811 0 1 2 1.5 0.3666433 0.1985 0.5348
83 821 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
123
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
84 831 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348
85 841 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348
86 851 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348
87 861 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348
88 871 0 0 1 1 0.3666433 0.1985 0.5348
89 881 1 0 1 1 0 NaN NaN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
124
Lampiran 7: Tabel kehidupan pasien kanker payudara pada tahun 2014-2016
yang mengikuti kemoterapi
Tabel yang tersedia merupakan tabel kehidupan dengan selang waktu 10 hari.
Interval Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
1 0 0 10 168 163 1 1.0000 1.0000
2 11 0 2 158 157 1 1.0000 1.0000
3 21 0 10 156 151 1 1.0000 1.0000
4 31 1 0 146 146 0.99315 0.9798 1.0065
5 41 0 8 145 141 0.99315 0.9798 1.0065
6 51 1 0 137 137 0.9859 0.9665 1.0053
7 61 1 6 136 133 0.97849 0.9544 1.0026
8 71 1 3 129 127.5 0.97081 0.9426 0.9990
9 81 1 6 125 122 0.96286 0.9309 0.9949
10 91 2 0 118 118 0.94654 0.9079 0.9852
11 101 0 4 116 114 0.94654 0.9079 0.9852
12 111 0 3 112 110.5 0.94654 0.9079 0.9852
13 121 0 4 109 107 0.94654 0.9079 0.9852
14 131 1 4 105 103 0.93735 0.8951 0.9796
15 141 0 9 100 95.5 0.93735 0.8951 0.9796
16 151 1 8 91 87 0.92657 0.8798 0.9733
17 161 1 4 82 80 0.91499 0.8636 0.9664
18 171 1 4 77 75 0.90279 0.8468 0.9588
19 181 0 1 72 71.5 0.90279 0.8468 0.9588
20 191 1 2 71 70 0.88989 0.8293 0.9505
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
125
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
21 201 0 1 68 67.5 0.88989 0.8293 0.9505
22 211 0 5 67 64.5 0.88989 0.8293 0.9505
23 221 0 2 62 61 0.88989 0.8293 0.9505
24 231 1 3 60 58.5 0.87468 0.8082 0.9412
25 241 0 2 56 55 0.87468 0.8082 0.9412
26 251 0 1 54 53.5 0.87468 0.8082 0.9412
27 261 0 0 53 53 0.87468 0.8082 0.9412
28 271 0 0 53 53 0.87468 0.8082 0.9412
29 281 0 2 53 52 0.87468 0.8082 0.9412
30 291 1 2 51 50 0.85719 0.7837 0.9307
31 301 0 1 48 47.5 0.85719 0.7837 0.9307
32 311 0 3 47 45.5 0.85719 0.7837 0.9307
33 321 0 0 44 44 0.85719 0.7837 0.9307
34 331 0 3 44 42.5 0.85719 0.7837 0.9307
35 341 0 0 41 41 0.85719 0.7837 0.9307
36 351 0 1 41 40.5 0.85719 0.7837 0.9307
37 361 0 2 40 39 0.85719 0.7837 0.9307
38 371 0 4 38 36 0.85719 0.7837 0.9307
39 381 0 2 34 33 0.85719 0.7837 0.9307
40 391 0 4 32 30 0.85719 0.7837 0.9307
41 401 0 1 28 27.5 0.85719 0.7837 0.9307
42 411 0 0 27 27 0.85719 0.7837 0.9307
43 421 0 0 27 27 0.85719 0.7837 0.9307
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
126
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
44 431 0 2 27 26 0.85719 0.7837 0.9307
45 441 0 0 25 25 0.85719 0.7837 0.9307
46 451 0 0 25 25 0.85719 0.7837 0.9307
47 461 1 2 25 24 0.82147 0.7232 0.9197
48 471 0 3 22 20.5 0.82147 0.7232 0.9197
49 481 0 0 19 19 0.82147 0.7232 0.9197
50 491 1 0 19 19 0.77824 0.6539 0.9026
51 501 0 0 18 18 0.77824 0.6539 0.9026
52 511 0 1 18 17.5 0.77824 0.6539 0.9026
53 521 0 2 17 16 0.77824 0.6539 0.9026
54 531 0 1 15 14.5 0.77824 0.6539 0.9026
55 541 0 0 14 14 0.77824 0.6539 0.9026
56 551 0 1 14 13.5 0.77824 0.6539 0.9026
57 561 0 2 13 12 0.77824 0.6539 0.9026
58 571 1 0 11 11 0.70749 0.5335 0.8815
59 581 1 0 10 10 0.63674 0.4322 0.8412
60 591 0 1 9 8.5 0.63674 0.4322 0.8412
61 601 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412
62 611 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412
63 621 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412
64 631 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412
65 641 0 0 8 8 0.63674 0.4322 0.8412
66 651 0 1 8 7.5 0.63674 0.4322 0.8412
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
127
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
67 661 1 0 7 7 0.54578 0.3050 0.7865
68 671 0 0 6 6 0.54578 0.3050 0.7865
69 681 0 0 6 6 0.54578 0.3050 0.7865
70 691 0 0 6 6 0.54578 0.3050 0.7865
71 701 0 1 6 5.5 0.54578 0.3050 0.7865
72 711 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865
73 721 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865
74 731 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865
75 741 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865
76 751 0 0 5 5 0.54578 0.3050 0.7865
77 761 1 0 5 5 0.43662 0.1651 0.7081
78 771 0 0 4 4 0.43662 0.1651 0.7081
79 781 0 0 4 4 0.43662 0.1651 0.7081
80 791 0 0 4 4 0.43662 0.1651 0.7081
81 801 0 0 4 4 0.43662 0.1651 0.7081
82 811 0 1 4 3.5 0.43662 0.1651 0.7081
83 821 0 0 3 3 0.43662 0.1651 0.7081
84 831 0 0 3 3 0.43662 0.1651 0.7081
85 841 1 1 3 2.5 0.26197 -0.0492 0.5732
86 851 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
87 861 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
88 871 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
89 881 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
128
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
90 891 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
91 901 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
92 911 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
93 921 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
94 931 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
95 941 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
96 951 0 0 1 1 0.26197 -0.0492 0.5732
97 961 0 1 1 0.5 0.26197 -0.0492 0.5732
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
129
Lampiran 8: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara pada
tahun 2014-2016
> kanker<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(kanker)
> plot.ts(St,xlab="Selang ke-" ,ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")
> lines(Batas.bawah, xlab="Selang ke-" ,ylab="SurvivalProbability",pch=22,lty=2
)
> lines(Batas.atas, xlab="Selang ke-", ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2 )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
130
Lampiran 9: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara yang
tidak mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016
> data2<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(data2)
> plot.ts(Nonkemo,xlab="Selang ke-",ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")
> lines(Batas.atas,xlab="Selang ke-",ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2 )
> lines(Batas.bawah,xlab="Selang ke-",ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
131
Lampiran 10: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara yang
mengikuti kemoterapi pada tahun 2014-2016
> data<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(data)
> plot.ts(Kemo,xlab="Selang ke-" ,ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")
> lines(Batas.atas, xlab="Selang ke-" ,ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2 )
> lines(Batas.bawah, xlab="Selang ke-",ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
132
Lampiran 11: List Program Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker
Payudara Tahun 2014-2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan Tidak
Mengikuti Kemoterapi
> data2<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(data2)
> data<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(data)
> plot1<-plot.ts(Kemo,xlab="Selang ke-" ,ylab="Probabilitas Ketahanan
Hidup",col="red")
> lines(Nonkemo,xlab="Selang ke-",ylab="Survival Probability",col="blue" )
> legend("topright",c("Kemo","Tidak Kemo"),col=c("red","blue"),lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
133
Lampiran 12: Tabel Kehidupan Pasien Kanker Payudara Stadium 4 tahun
2014-2016
Tabel yang tersedia merupakan tabel kehidupan dengan selang waktu 10 hari.
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
1 0 1 5 41 38.5 0.974 0.9238 1.0243
2 11 3 1 35 34.5 0.889 0.7869 0.9918
3 21 0 1 31 30.5 0.889 0.7869 0.9918
4 31 2 0 30 30 0.830 0.7058 0.9543
5 41 0 1 28 27.5 0.830 0.7058 0.9543
6 51 0 0 27 27 0.830 0.7058 0.9543
7 61 0 0 27 27 0.830 0.7058 0.9543
8 71 1 0 27 27 0.799 0.6658 0.9328
9 81 1 1 26 25.5 0.768 0.6263 0.9096
10 91 1 0 24 24 0.736 0.5869 0.8850
11 101 0 1 23 22.5 0.736 0.5869 0.8850
12 111 0 1 22 21.5 0.736 0.5869 0.8850
13 121 0 0 21 21 0.736 0.5869 0.8850
14 131 0 1 21 20.5 0.736 0.5869 0.8850
15 141 0 0 20 20 0.736 0.5869 0.8850
16 151 1 0 20 20 0.699 0.5411 0.8572
17 161 1 0 19 19 0.662 0.4970 0.8277
18 171 1 0 18 18 0.626 0.4544 0.7968
19 181 0 0 17 17 0.626 0.4544 0.7968
20 191 1 0 17 17 0.589 0.4131 0.7644
21 201 0 0 16 16 0.589 0.4131 0.7644
22 211 0 0 16 16 0.589 0.4131 0.7644
23 221 1 0 16 16 0.552 0.3731 0.7308
24 231 1 0 15 15 0.515 0.3343 0.6961
25 241 1 0 14 14 0.478 0.2966 0.6602
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
134
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
26 251 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602
27 261 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602
28 271 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602
29 281 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602
30 291 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602
31 301 0 0 13 13 0.478 0.2966 0.6602
32 311 0 1 13 12.5 0.478 0.2966 0.6602
33 321 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602
34 331 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602
35 341 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602
36 351 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602
37 361 0 0 12 12 0.478 0.2966 0.6602
38 371 0 1 12 11.5 0.478 0.2966 0.6602
39 381 0 1 11 10.5 0.478 0.2966 0.6602
40 391 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602
41 401 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602
42 411 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602
43 421 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602
44 431 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602
45 441 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602
46 451 0 0 10 10 0.478 0.2966 0.6602
47 461 1 0 10 10 0.431 0.2443 0.6168
48 471 0 0 9 9 0.431 0.2443 0.6168
49 481 0 0 9 9 0.431 0.2443 0.6168
50 491 1 0 9 9 0.383 0.1950 0.5704
51 501 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704
52 511 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704
53 521 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704
54 531 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
135
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
55 541 0 0 8 8 0.383 0.1950 0.5704
56 551 0 1 8 7.5 0.383 0.1950 0.5704
57 561 0 0 7 7 0.383 0.1950 0.5704
58 571 1 0 7 7 0.328 0.1390 0.5170
59 581 1 0 6 6 0.273 0.0880 0.4587
60 591 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587
61 601 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587
62 611 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587
63 621 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587
64 631 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587
65 641 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587
66 651 0 0 5 5 0.273 0.0880 0.4587
67 661 1 0 5 5 0.219 0.0421 0.3953
68 671 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953
69 681 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953
70 691 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953
71 701 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953
72 711 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953
73 721 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953
74 731 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953
75 741 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953
76 751 0 0 4 4 0.219 0.0421 0.3953
77 761 1 0 4 4 0.164 0.0023 0.3257
78 771 0 0 3 3 0.164 0.0023 0.3257
79 781 0 0 3 3 0.164 0.0023 0.3257
80 791 0 0 3 3 0.164 0.0023 0.3257
81 801 0 0 3 3 0.164 0.0023 0.3257
82 811 0 1 3 2.5 0.164 0.0023 0.3257
83 821 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
136
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
84 831 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257
85 841 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257
86 851 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257
87 861 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257
88 871 0 0 2 2 0.164 0.0023 0.3257
89 881 1 0 2 2 0.082 -0.0575 0.2215
90 891 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215
91 901 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215
92 911 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215
93 921 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215
94 931 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215
95 941 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215
96 951 0 0 1 1 0.082 -0.0575 0.2215
97 961 0 1 1 0.5 0.082 -0.0575 0.2215
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
137
Lampiran 13: Tabel Kehidupan Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Tidak Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016
Tabel yang tersedia merupakan tabel kehidupan dengan selang waktu 10 hari.
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
1 0 1 3 15 13.5 0.926 0.7862 1.0656
2 11 3 0 11 11 0.673 0.4094 0.9374
3 21 0 0 8 8 0.673 0.4094 0.9374
4 31 1 0 8 8 0.589 0.3114 0.8671
5 41 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671
6 51 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671
7 61 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671
8 71 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671
9 81 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671
10 91 0 0 7 7 0.589 0.3114 0.8671
11 101 0 1 7 6.5 0.589 0.3114 0.8671
12 111 0 1 6 5.5 0.589 0.3114 0.8671
13 121 0 0 5 5 0.589 0.3114 0.8671
14 131 0 1 5 4.5 0.589 0.3114 0.8671
15 141 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671
16 151 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671
17 161 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671
18 171 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671
19 181 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671
20 191 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671
21 201 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671
22 211 0 0 4 4 0.589 0.3114 0.8671
23 221 1 0 4 4 0.442 0.1164 0.7674
24 231 0 0 3 3 0.442 0.1164 0.7674
25 241 1 0 3 3 0.295 -0.0258 0.6150
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
138
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
26 251 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
27 261 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
28 271 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
29 281 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
30 291 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
31 301 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
32 311 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
33 321 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
34 331 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
35 341 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
36 351 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
37 361 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
38 371 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
39 381 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
40 391 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
41 401 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
42 411 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
43 421 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
44 431 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
45 441 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
46 451 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
47 461 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
48 471 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
49 481 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
50 491 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
51 501 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
52 511 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
53 521 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
54 531 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
139
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
55 541 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
56 551 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
57 561 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
58 571 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
59 581 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
60 591 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
61 601 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
62 611 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
63 621 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
64 631 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
65 641 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
66 651 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
67 661 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
68 671 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
69 681 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
70 691 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
71 701 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
72 711 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
73 721 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
74 731 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
75 741 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
76 751 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
77 761 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
78 771 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
79 781 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
80 791 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
81 801 0 0 2 2 0.295 -0.0258 0.6150
82 811 0 1 2 1.5 0.295 -0.0258 0.6150
83 821 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
140
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
84 831 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150
85 841 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150
86 851 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150
87 861 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150
88 871 0 0 1 1 0.295 -0.0258 0.6150
89 881 1 0 1 1 0.000 NaN NaN
90 891 0 0 0 0 NaN NaN NaN
91 901 0 0 0 0 NaN NaN NaN
92 911 0 0 0 0 NaN NaN NaN
93 921 0 0 0 0 NaN NaN NaN
94 931 0 0 0 0 NaN NaN NaN
95 941 0 0 0 0 NaN NaN NaN
96 951 0 0 0 0 NaN NaN NaN
97 961 0 0 0 0 NaN NaN NaN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
141
Lampiran 14: Tabel Kehidupan Pasien Kanker Payudara Stadium 4 yang
Mengikuti Kemoterapi Tahun 2014-2016
Tabel yang tersedia merupakan tabel kehidupan dengan selang waktu 10 hari.
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
1 0 0 2 26 25 1.000 1.0000 1.0000
2 11 0 1 24 23.5 1.000 1.0000 1.0000
3 21 0 1 23 22.5 1.000 1.0000 1.0000
4 31 1 0 22 22 0.955 0.8675 1.0416
5 41 0 1 21 20.5 0.955 0.8675
6 51 0 0 20 20 0.955 0.8675 1.0416
7 61 0 0 20 20 0.955 0.8675 1.0416
8 71 1 0 20 20 0.907 0.7837 1.0299
9 81 1 1 19 18.5 0.858 0.7085 1.0071
10 91 1 0 17 17 0.807 0.6372 0.9775
11 101 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775
12 111 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775
13 121 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775
14 131 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775
15 141 0 0 16 16 0.807 0.6372 0.9775
16 151 1 0 16 16 0.757 0.5708 0.9429
17 161 1 0 15 15 0.706 0.5082 0.9046
18 171 1 0 14 14 0.656 0.4487 0.8632
19 181 0 0 13 13 0.656 0.4487 0.8632
20 191 1 0 13 13 0.606 0.3919 0.8191
21 201 0 0 12 12 0.606 0.3919 0.8191
22 211 0 0 12 12 0.606 0.3919 0.8191
23 221 0 0 12 12 0.606 0.3919 0.8191
24 231 1 0 12 12 0.555 0.3375 0.7725
25 241 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
142
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
26 251 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725
27 261 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725
28 271 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725
29 281 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725
30 291 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725
31 301 0 0 11 11 0.555 0.3375 0.7725
32 311 0 1 11 10.5 0.555 0.3375 0.7725
33 321 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725
34 331 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725
35 341 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725
36 351 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725
37 361 0 0 10 10 0.555 0.3375 0.7725
38 371 0 1 10 9.5 0.555 0.3375 0.7725
39 381 0 1 9 8.5 0.555 0.3375 0.7725
40 391 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725
41 401 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725
42 411 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725
43 421 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725
44 431 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725
45 441 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725
46 451 0 0 8 8 0.555 0.3375 0.7725
47 461 1 0 8 8 0.486 0.2568 0.7146
48 471 0 0 7 7 0.486 0.2568 0.7146
49 481 0 0 7 7 0.486 0.2568 0.7146
50 491 1 0 7 7 0.416 0.1832 0.6494
51 501 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494
52 511 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494
53 521 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494
54 531 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
143
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
55 541 0 0 6 6 0.416 0.1832 0.6494
56 551 0 1 6 5.5 0.416 0.1832 0.6494
57 561 0 0 5 5 0.416 0.1832 0.6494
58 571 1 0 5 5 0.333 0.0962 0.5699
59 581 1 0 4 4 0.250 0.0228 0.4768
60 591 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768
61 601 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768
62 611 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768
63 621 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768
64 631 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768
65 641 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768
66 651 0 0 3 3 0.250 0.0228 0.4768
67 661 1 0 3 3 0.167 -0.0351 0.3681
68 671 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681
69 681 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681
70 691 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681
71 701 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681
72 711 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681
73 721 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681
74 731 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681
75 741 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681
76 751 0 0 2 2 0.167 -0.0351 0.3681
77 761 1 0 2 2 0.083 -0.0700 0.2365
78 771 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
79 781 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
80 791 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
81 801 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
82 811 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
144
Selang Jangka
waktu ππ ππ ππ ππ
β² οΏ½ΜοΏ½(π‘) Batas
bawah
Batas
atas
83 821 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
84 831 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
85 841 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
86 851 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
87 861 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
88 871 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
89 881 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
90 891 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
91 901 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
92 911 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
93 921 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
94 931 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
95 941 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
96 951 0 0 1 1 0.083 -0.0700 0.2365
97 961 0 1 1 0.5 0.083 -0.0700 0.2365
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
145
Lampiran 15: List Program Tabel Kehidupan Pasien Kanker Stadium 4
Tahun 2014-2016
> stadium<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(stadium)
> plot.ts(stat4,xlab="Selang ke-", ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")
> lines(Batas.atas, xlab="Selang ke-", ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2 )
> lines(Batas.bawah, xlab="Selang ke-", ylab="Survival
Probability",pch=22,lty=2 )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
146
Lampiran 16: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara
stadium 4 yang tidak mengikuti kemoterapi tahun 2014-2016
> stadiumnonkemo<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(stadiumnonkemo)
> plot.ts(nonkemo,xlab="Selang ke-", ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")
> lines(Batas.atas, xlab="Selang ke-", ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2 )
> lines(Batas.bawah, xlab="Selang ke-", ylab="Survival
Probability",pch=22,lty=2 )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
147
Lampiran 17: List Program Tabel kehidupan pasien kanker payudara
stadium 4 yang mengikuti kemoterapi tahun 2014-2016
> stadiumkemo<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(stadiumkemo)
> plot.ts(kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Probabilitas Ketahanan Hidup")
> lines(Batas.bawah, xlab="Selang ke-", ylab="Survival
Probability",pch=22,lty=2 )
> lines(Batas.atas, xlab="Selang ke-", ylab="Survival Probability",pch=22,lty=2 )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
148
Lampiran 18: List Program Perbandingan Ketahanan Hidup Pasien Kanker
Payudara Stadium 4 Tahun 2014-2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan
Tidak Mengikuti Kemoterapi
> stadiumkemo<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(stadiumkemo)
> stadiumnonkemo<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(stadiumnonkemo)
> plot1<-plot.ts(kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Probabilitas Ketahanan
Hidup",col="red")
> lines(nonkemo, xlab="Selang ke-", ylab="Survival Probability",col="blue" )
> legend("topright",c("Stadium 4 Kemo","Stadium 4 Tidak
Kemo"),col=c("red","blue"),lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
149
Lampiran 19: List Program Perbandingan Persentase Ketahanan Hidup
Pasien Kanker Payudara Tahun 2014-2016 yang Mengikuti Kemoterapi dan
Tidak Mengikuti Kemoterapi
> data<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(data)
> plot1<-plot.ts(Kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Persentase Ketahanan
Hidup",col="red")
> lines(Non.kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Persentase Ketahanan
Hidup",col="blue")
> legend("topright",c("Kemo","Tidak Kemo"),col=c("red","blue"),lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
150
Lampiran 20: List Program Perbandingan Persentase Ketahanan Hidup
Pasien Kanker Payudara Stadium 4 Tahun 2014-2016 yang Mengikuti
Kemoterapi dan Tidak Mengikuti Kemoterapi
> data<-read.csv(file.choose(),header=T,sep=";")
> attach(data)
> plot1<-plot.ts(Kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Persentase Ketahanan
Hidup",col="red")
> lines(Non.Kemo,xlab="Selang ke-", ylab="Persentase Ketahanan
Hidup",col="blue")
> legend("topright",c("Stadium 4 Kemo","Stadium 4 Tidak
Kemo"),col=c("red","blue"),lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Top Related