Bab 1Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

October 15, 2022

Peta Konsep

October 15, 2022

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

membahasmeliputi

Pangkat Negatif

Pangkat Nol

Pangkat Bulat

Rasionalisasi Penyebut

Operasi Bentuk Akar

Bentuk Pangkat Bentuk Akar Logaritma

mempelajari

Prasyarat1. Bilangan berapakah yang notasi bakunya 2,15

x 103?

2. Berapakah nilai dari

3. Berapakah nilai x yang mengakibatkan persamaan 2x = 64 bernlai benar?

October 15, 2022

A. Bentuk Pangkat Bulat1. Pangkat Bulat Positif

Definisi:

October 15, 2022

Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, a pangkat n (ditulis an) didefinisikan sebagai perkalian berulang bilangan a sebanyak n faktor.Dalam notasi matematika, ditulis:

dengan a bilangan pokok (basis), a ≠ 0, dan n adalah pangkat (eksponen), a ≠ 0.

October 15, 2022

2. Sifat-Sifat Pangkat BulatSifat-sifat umum:

0auntuk=aa nm nm+a

=aa

n

mnma

=b)(a m mm ba

=)ba( m

m

m

ba

=)(a nm nma

1)

2)

3)

Jika a dan b bilangan real tidak nol, serta m dan n bilangan bulat, berlaku sifat-sifat berikut.

October 15, 2022

Jawab:

Tentukan nilai dari bentuk perpangkatan berikut.Contoh:

4

32

2

23

158

524

zyx:

zyx

32

4

2

23

85z3

538

yxzyx

yzx=233

yxz=

29

=zyyx4

32

2

23

158x:5z

24

October 15, 2022

3. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif Ketentuan umum:

Berbeda dengan an, bilangan pangkat negatif a-n tidak dapat didefinisikan sebagai perkalian berulang dari bilangan yang dipangkatkan. Oleh karena itu, pangkat ini seringkali dinamakan pangkat tak sebenarnya.

a. Jika a sembarang bilangan real bukan nol maka

a0 = 1. b. Untuk a ≠ 0 dan n bilangan bulat

positif maka atau .

October 15, 2022

Contoh : Sederhanakan bentuk-bentuk pangkat .

(-1)3-

)2(2)2(32

)(2

3bccb=

3

4622)(bccb= 3

333

4622

cbcb=

9346221

c)bcb(=

94364b1

++ c= 594b

1c

=

Jawab:

October 15, 2022

4. Persamaan Pangkat Sederhana

Secara umum, persamaan pangkat dapat diselesaikan sebagai berikut.

Bagaimana jika bilangan pokok di kedua ruas tidak sama? Jika demikian maka nilai yang memenuhi adalah kedua ruas harus sama dengan satu. Untuk itu, pangkat kedua ruas harus sama dengan nol.

Jika af(x) = ag(x) maka f(x) = g(x).

Jika af(x) = bg(x) maka f(x) = 0 dan g(x) = 0.

October 15, 2022

Contoh 1 : Tentukan penyelesaian dari 273x = 318.

183x3 33 =)(189x 33 =

189x=2=x

183273x=

Jawab :

October 15, 2022

Tentukan nilai m dan n yang memenuhi

322

1322327

83

=m

nm

m

nm

)()(= 23

1332

323

m

nm

= 6

392

323

3962 23 nmm= 394 23 nm=32 23 =

21 =m24 =m

339 =n 69 =n 32=n

Jawab : Cara 1:

m

nm

2

132

2783

diperoleh 394 23 nm

sehingga:

Contoh 2:

October 15, 2022

Cara 2:Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi bentuk berikut.

322

1322327

83

=m

nm39

3

26

2

22

333

nm

m

=

)m+(m 2623 )n(= 3932

243 m n= 962

Berdasarkan sifat persamaan pangkat maka–4m – 2 = 0 dan 6 – 9n = 0.Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan di atas, diperoleh m = dan n = .3

2

October 15, 2022

5. Notasi Baku

Bentuk baku bilangan besar adalah

1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli.Bilangan besar diartikan sebagai bilangan yang lebih dari 10.

Bentuk baku bilangan kecil adalah

Bilangan kecil diartikan sebagai bilangan antara 0 dan 1.

1 ≤ a < 10 dan n bilangan asli.

a x 10n

a x 10–n

October 15, 2022

Contoh:

October 15, 2022

6. Akar Pangkat Bilangan

Misalnya,

Operasi untuk menentukan bilangan pokok yang dipangkatkan jika diketahui perpangkatannya disebut dengan akar pangkat, ditulis dengan notasi2 4

3 27

3 64

= 3, dibaca akar pangkat tiga dari dua puluh tujuh adalah 3;= 4, dibaca akar pangkat tiga dari enam puluh empat adalah 4.

= 2, dibaca akar pangkat dua dari empat adalah 2;

October 15, 2022

B. Bentuk Akar1. Bilangan Rasional dan Bilangan IrasionalBilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a dan b bilangan bulat dan b =$ 0.

Bilangan rasional dapat dibedakan menjadi dua macama. bilangan bulat, seperti –3, –1, 0, 6;b. bilangan pecahan, seperti , , .Ciri-ciri bilangan rasional: a. Bilangan desimalnya terputus/terbatas, misalnya = 0,25 dan = 1,5.b. Bilangan desimalnya tidak terputus/terbatas, tetapi berulang, misalnya = 0,16666 ... dan = 0,1111....

ba

23

411 2

12

41

23

61

91

October 15, 2022

Bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0, disebut bilangan irasional.

ba

Tunjukkan bahwa 0,44444….. dapat diubah ke bentuk pecahan biasa.

Contoh :

..0,44444...=x

.4,4444.... 10 =x (kedua ruas dikalikan dengan 10)

Dengan mengurangkan 10x dengan x, diperoleh

.4,4444.... 10 =x..0,44444...=x

49x=

94=x Jadi, 0,4444... sama dengan

. 94

Jawab:

October 15, 2022

2. Pengertian Bentuk Akar

October 15, 2022

3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Buktikan!!

a. Penjumlahan dan PenguranganBentuk akar pada bilangan yang dioperasikan harus sama.Jika a, c R dan b ≥ 0, berlaku

b c) - (a bc bab c) (a bc ba

b. Perkalian dan PembagianPerhatikan kembali pengertian akar pangkat dua sebuah bilangan, yaitu

Berdasarkan definisi di atas, berlaku sifat-sifat berikut.

. 0 , untuk 2 ba a, b b a

ba

ba

ba b a a a

)3

2) )1 2

October 15, 2022

Berdasarkan sifat-sifat di atas, dapat diturunkan sifat-sifat berikut:

Secara lebih luas, sifat-sifat bentuk akar dapat ditampilkan sebagai berikut. 01 a, a a. n n

02 , a, b b a ab. nnn

mnm n a a. 3

04 , b b

a ba.

n

nn

nnn bc) (a b c b. a 5

bd ac d c b a nnn .6

nn

n

db

ca

dcba 7.

October 15, 2022

)+)(( 522253 522222553253 +=

1022253103 +=

10 11 +=

)+)(( 522253

Contoh : Sederhanakan bentuk akar .Jawab :

October 15, 2022

c. Mengubah Bentuk Akar ke Bentuk Penjumlahan Akar

Rumus:

October 15, 2022

Contoh : Tentukan bentuk penjumlahan dari bentuk akar .

Jawab :

1227+ 43243 +)+(=

43+=

23+=

1227+

Penyebut-penyebut pecahan dapat dirasionalkan dengan pedoman berikut.

a. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

b. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

c. Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

Pecahan berpenyebut dikalikan dengan

bbb

baba

ba

ba baba

baba

ba

ba baba

October 15, 2022

4. Merasionalkan Penyebut

October 15, 2022

223+=

89223

+=

223223

2231

++=

2231

=

223223223

))(+(=

223223

223223

+=

223223

+

223223

+

Sederhanakan pecahan dengan merasionalkan penyebutnya.

Contoh :

Jawab :

October 15, 2022

C. Pangkat PecahanSecara umum, pangkat pecahan dapat didefinisikan sebagai berikut.Untuk a ≥ 0 dan m, n bilangan bulat bukan nol, berlaku

=an m nm

a

Operasi-operasi yang berlaku pada pangkat bulat juga berlaku pada pangkat pecahan.

Contoh 1: Sederhanakan bentuk pangkat pecahan

32

6

664

yx

Jawab :

32

6664 yx=

32

6662 yx=

3263

263262

yx=4442 yx=

4416 yx=

32

6

664

yx

October 15, 2022

722

x

2248 xx4262

xx

42

32 2)2(

x

x

42

62 22

x

x

4 23 24 xx

Contoh 2: Tunjukkan nilai x yang memenuhi persamaan

4 23 24 xx

October 15, 2022

Jawab:

D. Logaritma1. Pengertian Logaritma

Untuk a > 0, b > 0, dan a ≠ 1, logaritma b dengan basis a, ditulis alog b adalah

alog b = c sama artinya dengan ac = b

Operasi logaritma merupakan kebalikan (invers) dari perpangkatan dan didefinisikan sebagai berikut.

Bilangan a disebut bilangan pokok (basis). Bilangan b disebut bilangan yang dicari logaritmanya (numerus). Bilangan c disebut bilangan hasil logaritma.

October 15, 2022

Perhatikan !!!5log 5 = 15log 25 = 5log 52 = 25log 125 = 5log 53 = 3

Diagram Cartesiusx y

525125

123

(5, 1)

(25, 2)

(125, 3)

X

Y

Diagram Cartesius xlog5

Buktikan!!!

b=ba

=n=a

a

a

na

log01 log

log

xlog5

October 15, 2022

October 15, 2022

2. Sifat-Sifat Logaritmaa. Sifat 1:

Bukti :Misalx = alog b b = ax

y = alog c c = ay

...................................... (terbukti)

alog (b x c) = alog b + alog c

alog (b x c) =alog (ax x ay)= alog (ax + y)= x + y

= alog b + alog c

October 15, 2022

b. Sifat 2:

cb)=cb( aaa logloglog ..

Buktikan !!!

Buktikan!!!!

c. Sifat 3:

.. bn=b ana log log

October 15, 2022

d. Sifat 4:

e. Sifat 5:

ab=b c

ca

logloglog .. , c > 0, c

=$1

c=cb aba log log log ..

f. Sifat 6:

a=b b

a

log1log

g. Sifat 7:

bmn=b anma loglog ..

October 15, 2022

Contoh : Jika diketahui log 2 = a, log 3 = b, dan log 5 = c, tentukan

150log2 21

2log150 =

)(= 235log21 22

)++(= log2log3log521 2222

1log2log3

log2log522

1 ++=

12c

21 +

ab+

a=

2a2c+b+a=

150log2

Jawab :

October 15, 2022

3. Menentukan Nilai Logaritma dengan Alat Bantua. Dengan Tabel

Tabel LogaritmaN 0 1 2 .....

.9

1.0 0.0000

0.0043

0.0086

.... 0.0374

1.1 0.4140

0.0453

0.0492

.... 0.0756

.... .... .... .... .... ....

2.4 0.3802

0.3820

0.3838

.... 0.3962

.... .... .... .... .... ....

9.9 0.9956

0.9961

0.9965

.... 0.9996

Pada tabel ini, bilangan pokok (basis) yang digunakan adalah 10.

Misalkan kalian ingin menentukan nilai log 2,49.Dapat ditentukan bahwa log 2,49 = 0.3962

October 15, 2022

Untuk menentukan nilai x yang memenuhi persamaan log x = b jika b diketahui, gunakan tabel antilogaritma b, ditulis antilog b.

Langkah-langkah menentukan antilogaritma suatu

bilangan:a. Ubahlah bilangan b (nilai logaritma) sehingga dapat ditentu- kan bagian bulat (karakteristik) dan bagian desimal (mantis).b. Pada kolom paling kiri, carilah dua angka desimal pertama.c. Pada baris angka tersebut, carilah bilangan yang berada tepat di bawah kolom angka desimal ke-3.

d. Tentukan letak koma desimal dengan aturan sebagai berikut.1) Jika bagian bulat n = 0, letak koma

desimal di belakang angka pertama desimal.

2) Jika bagian bulat n > 0, letak koma desimal bergeser n angka ke kanan dari bentuk baku (ilmiah).

3) Jika bagian bulat n < 0, letak koma desimal bergeser n angka ke kiri dari bentuk baku (ilmiah).

October 15, 2022

October 15, 2022

Perhatikan tabel antilogaritma berikut:

X 0 1 2 3 ......

.... .... .... .... .... ....

.74 550 551 552 553 ....

.75 562 564 565 566 ....

.... .... .... .... .... ....

Karena bagian bulat 0 maka antilog 0,743 = 5,53.

Bilangan 0,743 memiliki bagian bulat 0 dan bagian desimal 743.Cari angka”.74” di kolom pertama (paling kiri). Kemudian, cari bilangan yang berada di bawah angka 3 pada baris tersebut maka akan kalian peroleh bilangan 553.

log x = 0,743

x = 5,53

October 15, 2022

b. Dengan Kalkulator• Menentukan nilai logaritma dengan

menggunakan kalkulator hasilnya agak lebih baik dibandingkan dengan menggunakan tabel.

• Pada kalkulator, bilangan pokok yang digunakan adalah 10 dan e. Bilangan e memiliki nilai 2,7182818....

• Bentuk logaritma dengan bilangan pokok e, yaitu e log x, ditulis ln x. Perhatikan dengan saksama petunjuk cara menentukan nilai logaritma ataupun menentukan bilangan yang dicari nilai logaritmanya.

October 15, 2022

4. Memecahkan Masalah-Masalah LogaritmaContoh:Pertambahan penduduk di suatu wilayah dirumuskan dengan Pt = P0 (1 + r)t untuk Pt = jumlah penduduk pada tahun ke-t, r = persentase pertumbuhan penduduk, dan P0= jumlah penduduk semula. Jika pada tahun 2007 wilayah itu mempunyai penduduk 10.000 jiwa dan pertumbuhan penduduknya 2% per tahun, tentukan jumlah penduduk wilayah itu pada tahun 2011.Jawab: Diketahui P0 = 10.000 = 104 jiwa

Dengan demikian, diperoleh

r = 2 % = 0,02t = 4 tahun

Pt = P0 (1 + r) t P4 = 104 (1 +

0,02) 4 P4 = 104

(1,02)4

Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh

P4 dapat ditentukan dengan menggunakan antilog 4,0344 = 10.824,3.Oleh karena itu, jumlah penduduk di wilayah itu pada tahun 2011 adalah 10.824 jiwa.

log P4 = log (104 (1,02) 4)

= log 104 + log (1,02)4

= 4 + 4 log 1,02= 4 + 4(0,0086)= 4,0344

October 15, 2022