-1-

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

1. BENTUK PANGKAT

1.1 PANGKAT BULAT POSITIF

Jika a R dan n A maka didefinisikan : sebanyak n faktor.

a disebut bilangan pokok (dasar) dan n disebut eksponen (pangkat)

Contoh 1 : Tentukan nilai dari 25 dan

13

4

Jawab : 25 = …………..

13

4 = ……………..

Contoh 2 : Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yangpaling sederhana dari :

a) c) 23 4 e) 2

34

b) 337

2 d) pq 5

Jawab : a) = ………….

b) 337

2 = ………….

c) 23 4 = ………….

d) pq 5 = …………..

e) 23

4

= ……………

Dari contoh 2 di atas dapat disimpulkan :Jika a b R, , m A dan n A maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb:

1. a am n. .... 4. ab ....

2. aa

m

n ... 5. ab

n

....

3. am n....

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-2-

Contoh 3 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakanbentuk berikut :

a) x x2 7. d) x y2 3

b) nn

7

2 e) 2 2 4pq

c) x2 5f) 2 3 4 2xy x y.

Jawab : a) x x2 7. = ...

b) nn

7

2 = ...

c) x2 5 = ....

d) x y2 3 = ...

e) 2 2 4pq

= ....

f) 2 3 4 2xy x y. = ...

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan

a) f) x x10 3: k) 3 3 3k

b) g) 8 25 2k k: l) 2 5 2 3p

c) h) 4 23 2 4d x d d: m) 3 2 3p q

d) 12

5

i) 12 2 310 2 3a a a: . n) 48

2 5 3

2 2p qrpq r

e) 23

4

j) 2 2 5p o) 28

2 3 3

5 4x yx y

2. Sederhanakan

a) aa

n1 b) 2 2 1p pn n c) 2 3x d) 522 1. x

1.2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, tentukan hubungannyadari :

a) 223

3 b) 335

5 c) 223

5 d) 332

6

Jawab : a) 223

3 = ……………..

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-3-

b) 335

5 = ………………

c) 223

5 = ………………..

d) 332

6 = ……………….

Dari contoh 1 di atas dapat disimpulkan bahwa :Untuk setiap a R a , 0 dan n R berlaku sifat-sifat :

1. a0 ... 2. a n ...

Contoh 2: Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari :

a) 5 3 b) 12 3 c)

2 2 2x y

Jawab : a) 5 3 = ...

b) 12 3 = ...

c) 2 2 2x y = ...

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari :

a) a 5 f) k) 5 2

3

2qh

b) 3 2k g) l)

c) 25

4k h) 82

6

4aa

m) 56

2 3

5 3

2p q rpq r

d) 43x i) 56

75

2tt

e) 4 2a j) 816

2 3

5

3x yx y

2. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :

a) a bc

2 2

b) 24

3 2bca

c)

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-4-

1.3 EKSPONEN RASIONAL (PECAHAN)

Seperti kita ketahui jika 2 83 maka 2 83Maka jika 22 ... maka 2 = ...

24 .... maka 2 = ... 34 .... maka 3 = ...

Misal a xm n / , jika kedua ruas dipangkatkan n, maka : a xn m n n

/

a xn ....

a ......Jadi :

xm n/ ....... sehingga

x n1/ .......

Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari : a) 21 2/ b) 63 5/ c) 2 3 2x /

Jawab : a) 21 2/ = .... b) 63 5/ = .... c) 2 3 2x / = ....

Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari :

a) 3 b) 123 x

Jawab : a) 3 = ...

b) 123 x= .....

Contoh 3: Tentukan nilai dari 163 4/

Jawab : 163 4/ = ....... /3 4 = ..... = .........

LATIHAN SOAL

1. Ubah menjadi bentuk akara) 31 2/ b) 5 1 3 / c) 43 4/ d) x4 9/ e)13

2 3x /

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-5-

2. Ubah ke bentuk pangkat

a) 2 5 b) 125 c) 523 d)

3343 e) 2

725 x

3. Tentukan nilainyaa) 643 b) 82 3/ c) 323 5/ d) 813 8/

e) 2764

2 3

/

4.Sederhanakan dalam bentuk akar

a) 2 23 4 1 8/ /. b) 6 2c) 2 2 18. d)

22

e) 122 3.

5.Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari x b b aca

2 4

2

2. BENTUK AKAR

2.1 OPERASI BENTUK AKAR

Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan b0

Contoh bentuk akar : 2 3 5 2 4 73 3 5, , , , , dsb bukan bentuk akar : 4 9 8 163 4, , , dsb

Catatan : a adalah bilangan non negatif, jadi a 0

Operasi Pada Bentuk Akar

1. ax a a2. ab a b3. a c b c a b c

4. ab

ab

Contoh 1: Sederhanakan : a) 20 b) 75 c) x3 d) a83

Jawab : a) 20 = ... b) 75 = .... c) x3 = .... d) a83 = ....

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-6-

Contoh 2: Sederhanakan : a) 3 2 4 2 b) 4 3 7 3 5 3 c) 8 18

Jawab : a) 3 2 4 2 = ... b) 4 3 7 3 5 3 = ... c) 8 18 = ....

Contoh 3 : Sederhanakan : a) b) 5 3 5 3 c) 2 2 3 2

Jawab : a) = ....b) 5 3 5 3 = ....

c) 2 2 3 2 = ....

LATIHAN SOAL

1. Sederhanakana) 72 b) 160 c) 1200 d) 2 80 e) 8 2x

f) 3 12 5 3a b g) 22 h)

93 i) 8

9j) 2 4

3 2

4a bc

2. Sederhanakan

a) 12 50 48 d) 72 18045 18

b) 2 16 3 18 27 e) 2 842x xx

c) 3 20 4 452 5

3. Sederhanakana) c)

b) d) x x y2

2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR

Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar.

Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-7-

1. Pecahan Bentuk ab

Diselesaikan dengan mengalikan bb

Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :

a) 23 b)

23 3

Jawab : a) 23 =

23 x ... = .....

b) 23 3 =

23 3 x ... = .....

2. Pecahan Bentuk a

b c

Diselesaikan dengan mengalikan b cb c

Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan 8

3 5

Jawab : = x ... = ....

3. Pecahan Bentuk

Diselesaikan dengan mengalikan b cb c

Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan 12 36 2

Jawab : 12 36 2

= 12 36 2

x .... = ........

LATIHAN SOAL

1. Rasionalkan penyebutnya

a) 123 b)

105 c)

92 3 d) 7 3

7e) 4 3

5 22. Rasionalkan penyebutnya

a) 9

5 7b)

204 6

c) 5

11 6d) 2 5

7 13e) 4 6

8 2 33. Rasionalkan penyebutnya

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-8-

a) 14

10 13b)

10

2 7 c) 8 311 7

d) 6

10 2 3e)

3 23 5 4 2

3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA)

Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung variabel/peubah.

1. Jika a af x p( ) maka f(x) = p2. Jika a af x g c( ) ( ) maka f(x) = g(x)

dimana p suatu konstanta

Contoh 1: Tentukan HP dari :a) 4 82 3x b) 8 162 1 3 2x x

Jawab : a) 4 82 3x b) 8 162 1 3 2x x

2 22 3.... ....x .... = ....

2 2............ ... ..... = .... ..........= .... ...... = ..... x = ... x = .... HP:{............} HP:{ ....... }

LATIHAN SOAL

Tentukan HP dari :

1. 27 812 2 5x x 6. 5 259 3x x

2. 8 12 1x 7. 12 82

x

x

3. 9 127

4 5x 8. 125 1253 2

xx

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-9-

4. 5 55

2x 9. 16 82

2 11

xx

5. 3 15x 10. 8

4132 8

2 3x

3. LOGARITMA

3.1PENGERTIAN LOGARITMA

Seperti telah kita ketahui bahwa :Jika 2552 maka 5 = …Jika ....23 maka ....2Jika ....25 maka 2 = …Pada 823 , bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8?Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkatdengan bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).Jadi jika 823 maka 8log3 2 dibaca “2 log 8”Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan.Secara umum dapat dinyatakan :

Jika yax maka x = …. syarat : 01,0 ydanaa

a : basis logaritmay : numerusx : hasil logaritmaKhusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak.Jadi jika log 5 maksudnya 5log10 .

Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan :a. 8134 b. 1282 n c. cab

Jawab : a. 8134 4 = ….b. 1282 n n = ….c. cab b = ….

Contoh 2 : Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma :a. 81log4 3 b. log 100 = 2 c. rqp log

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-10-

Jawab : a. 81log4 3 ….b. log 100 = 2 ….c. rqp log ….

Contoh 3: Hitunglah :

a. 64log2 b. 81log2 c. log 1000 d.

27log3

e. 1log5 f. 4log21

g. 811log3

1

Jawab : a. 64log2 = x … = 64 x = ….

b. 81log2 = x … = … x = ….

c. log 1000 = x … = … x = ….d. 27log3 = x … = … x = ….e. 1log5 = x … = … x = ….f. 4log2

1 = x … = … x = ….

g. 811log3

1

= x … = … x = ….

LATIHAN SOAL

1. Nyatakan dalam bentuk logaritma dari :

a. 2552 b. 913 2 c. 150 d. 39 2/1 e.

161

21 4

2. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan dari :

a. log 10.000 = 4 b. 4161log2 c. 01log7 d. 2

13log9

e. 2161log4

1

3. Tentukan nilainya dari :

a. 625log5 b. 4log4 c. 1log7 d. log 0,1 e. 41log2

f. 16log2 g. 271log3 h. 1log2

1i. 8log2

1j. 8

1log21

k. 8log2 l. 811log3 m. 9log33

3.2 SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Jika 10,0,0 adancba , maka :1. cbbc aaa logloglog 5. ba ba

log

2. cbcb aaa logloglog 6. b

mnb anam loglog

3. bcb aca loglog 7. ccb aba loglog.log

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-11-

4. ab b

a

log1log 8. a

bb c

ca

logloglog

Bukti :

Sifat 1: Misal ....log bmba

....log cnca Maka bc = …. = …. .....log bca = …+ …

Sifat 6: Misal namnamna bmnxbnxbbxb mm loglog...........log ..............log na bm

Sifat 8: Misal ............logloglog.......log mamabbmb cmcca

......log ba

Contoh 1: Sederhanakan : a. 5log33 b. 3log525c. 2log6log3log 222 d. 5log.8log.3log 352 e. 102 2log f.

16log3log4log 3

2

2

g. 256log8

Jawab : a. 5log33 = ….b. 3log525 = …..c. 2log6log3log 222 = ….d. 5log.8log.3log 352 = …..e. 102 2log = …..

f. 16log3log4log 3

2

2 = ….

g. 256log8 = ….

Contoh 2: Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka tentukan log 24

Jawab : log 24 = ….

Contoh 3: Jika bdana 5log4log 43 , maka tentukan 9log5

Jawab : 9log5 = .....3log25

LATIHAN SOAL

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

-12-

1. Sederhanakana. 9log2log8log 666 f. 9log.16log.15log 1532

b. 10log4log50log 222 g. 8log.3log.4log 423

c. 18log2log3log2 h. 16log8

d. 6log23log3log2log

i. 625log16

e. 15log2log6log5log

9

333 j. 10log

5log25log2log3

333

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 5 = 0,6990, maka tentukan :a. log 20 b. log 500 c. log 40 d. 5log2 e. 8log5

3. Jika ndanm 5log3log 32 , maka tentukan :a. 5log2 b. 75log2 c. 500log2 d. 25log8 e. 4log125

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma