Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Aljabar Elementer © 2014

Swaditya Rizki, M.Sc.

Persamaan dan Pertidaksamaan

Logaritma

Logaritma adalah invers dari eksponen.

Bentuk )(log xfy a disebut fungsi logaritma dengan a bilangan pokok (a > 0

dan 𝑎 ≠ 1) serta f(x) disebut numerus dengan f(x) > 0

Sifat-sifat Logaritma

1. ca abcb log

2. ccb aba loglog.log

3.

a

kka

b

a

bb

b

k

ka

log

1

1,0;log

log

log

loglog

4. cbcb aaa loglog.log

5. cbc

b aaa logloglog

6. bnb ana log.log

7. bn

mb aman

log.log

8. ba ba

log)(

Sifat-sifat persamaan Logaritma

1. 0)(;)()(log xfaxfpxf pa

2. 0),(;)(log)(log pxfpxfpxf aa

3. 0)(),();()()(log)(log xgxfxgxfxgxf aa

4. 1)()(log)(log xfxfxf ba



---

3 0

+++ +++

Contoh 1:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma

)3log()42log( 22 xx

Penyelesaian:

32

03042

xx

xxsyarat 2 xsyaratnya

1

342

)()(

x

xx

xgxf

-1}={=HP x|x

Contoh 2:

Jika 5log).53log( 2 axa, maka nilai x = …

Penyelesaian:

9|HP

9

273

253

2log.5)53log(

5)53log(.log

5

22

2

xx

x

x

x

x

xa a

Contoh 3:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma 2)3log( 22 xx

Penyelesaian:

30

0)3(

0)3(: 2

xx

xx

xxsyarat



---

2 0

+++ +++

30: xxsyaratnyajadi

41

0)4)(1(

043

2)3(

2)3log(

2

22

22

xx

xx

xx

xx

xx

4. Pertidaksamaan Logaritma

Sifat-sifat Pertidaksamaan Logaritma

Untuk 𝑎 > 1


2. pa axfpxf )()(log



Untuk 0 < 𝑎 < 1

1. pa axfpxf )()(log




Contoh 4:

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma 3)2log( 22 xx

Penyelesaian:

20

0)2(

0)2(: 2

xx

xx

xxsyarat

20: xxsyaratnyajadi

4-1| HP

4 x -1 x yaitumemenuhi yang nilai maka

syaratnyakarena

xxx

x

xx ,30:



---

4 0

+++ +++

42

0)4)(2(

082

2)2(

3)2log(

2

32

22

xx

xx

xx

xx

xx

4-2| HP

4 x -2yaitu x memenuhi yang nilai maka,20:syaratnyakarena

xxx

xxx

Contoh 5:

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan logaritma 1)4log( 251

xx

Penyelesaian:

40

0)4(

0)4(: 2

xx

xx

xxsyarat

40: xxsyaratnyajadi

51

0)5)(1(

054

51)4(

1)4log(

2

12

251

xx

xx

xx

xx

xx

54 0-1| HP

54 01-yaitu atas dimaan pertidaksauntuk memenuhi yang nilai maka

51- memenuhi yang hasildaerah dan 40:syaratnyakarena

xxx

xxx

xxx

Latihan:

Tentukan himpunan penyelesaian x yang memenuhi persamaan dan

pertidaksamaan logaritma berikut:

1. xx 2)4.4log(4

4

---

-2

+++ +++

5

---

-1

+++ +++



2. 06)2(54 loglog 22

xx

3. 100logloglog10log5 22 xx

4. 1)20log( 2 xx



5. 216log 22 x , maka ...2log x

6. 1)2log( x

7. )12log()2log( xx



8. 3)2log( 22 xx

9. 1)4log( 251

xx

10. 4log)32log()3log(2 222 xx



5. Fungsi Eksponen, Logaritma dan Grafiknya

(1) Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen adalah suatu fungsi yang memetakan bilangan real x

menjadi bilangan berpangkat. Bentuk umum fungsi eksponen dengan

bilangan pokok a adalah :

f : x ---> ax dimana a 0 dan a 1

Contoh 1: Jika f(x) ----> 4-x

, maka f(a/2) = …..

Penyelesaian: f(a/2) = 4-a/2

= 2-a

= (1/2a)

(2) Grafik Fungsi Eksponen

Untuk memudahkan menggambar grafik fungsi eksponen, maka fungsi

eksponen tersebut dibagi menjadi dua yaitu :

1. f : x ---> a 1

2. f : x ---> 0 a 1

1. Untuk f : x ---> ax dengan a 1

Secara perkiraan umum bentuk grafik f(x) = ax dengan a 1 adalah sebagai

berikut :



y

0 x

Contoh 2: Gambarlah grafik f(x) = 2x

Penyelesaian:

x … -2 -1 0 1 2 …

f(x) … 1/4 1/2 1 2 4 …

y

5

4

3

2

1

-2 -1 0 1 2 3 4 x

2. Untuk f : x ax dengan 0 < a < 1

Secara perkiraan umum bentuk grafik f(x) = ax untuk 0 < a < 1 didapat

sabagai berikut :

(0,1)



y

(0,1)

0 x

Contoh 3: gambarlah grafik f(x) = (1/2) x

Penyelesaian:

x … -2 0 1 2 4 …

f(x) … 4 1 1/2 1/4 1/16 …

y

6

5

4

3

2

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

(3) Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma adalah fungsi invers dari fungsi eksponen, jika y = ax

Dengan a 0 dan a 1 maka fungsi inversnya ditulis sebagai berikut :

y = alog x

Sebelum diinverskan (x dan y saling dipertukarkan) berarti,



x = alog y, dengan demikian :

y = ax ====> x =

alog y

Misalkan :

a) 8 = 23 3 =

2log 8

b) 9 = 32 2 =

3log 9

c) b = ac c =

alog b

(4) Grafik Fungsi Logaritma

Untuk memudahkan gambar grafik fungsi logaritma maka fungsi

logaritma tersebut dibagi dua yaitu :

1. y = alog x untuk a > 1

2. y = alog x untuk 0 < a < 1

Untuk lebih jelasnya akan kita bahas satu persatu .

1. Untuk y = alog x dengan syarat a > 1

Secara umum grafik y = alog x, untuk a > 1

Secara umum grafik y = alog x, untuk a > 1 adalah sebagai berikut:

y

(1,0) x

Contoh 3: Gambarlah grafik y = 2log x

Penyelesaian:

x … 1/4 1/2 1 2 4 …

f(x) … -2 -1 0 1 2 …

y

3



2

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

-1

-2

2. Untuk y = alog x dengan 0 < a < 1

Secara umum grafik y = alog x untuk 0 < a < 1 adalah sebagai berikut:

0 (1,0) x

Contoh 4: gambarlah grafik dari y = 1/2

log x

Penyelesaian:

x … ¼ ½ 1 2 4 …

f(x) … 2 1 0 -1 -2 …

y

3

2

y



1

0 1 2 3 4 5 x

-1

-2

Latihan:

1. Buatlah grafik fungsi eksponen f(x) = 2x+1

2. Buatlah grafik fungsi logaritma y = 2log(2x)



Catatan:

Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Documents

Transcript of Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma