1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang pesat. Bukan hanya

sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-angka real,

kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga terjadi

didasarkan pada penalaran – penalaran yang logis atas sistem matematis.

Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas realita

kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi

dan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan.

Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika.

Dari latar belakang masalah di atas maka penulis akan menyusun salah

satu pembahasan matematika yaitu tentang logaritma beserta contoh – contoh soal

dan jawaban.

B. Rumusan Masalah

1. Pengertian dan seputaran

logaritma logaritma

2. Mencari nilai logaritma

3. Rumus logaritma

4. Kegunaan logaritma

5. Kalkulus

6. Penghitungan nilai logaritma

C. Tujuan

Untuk memenuhi tugas yang diberikan oleh guru serta untuk menambah

pengetahuan dalam memahami logaritma

2

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Dan Seputaran Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari

eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

bc= a ditulis sebagai

blog a = c (b disebut basis)

Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.

Basis

Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈

2.71828... dan 2.

Notasi

Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan

notasi blog a daripada logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris

menggunakan notasi logba

Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti

10log

a dan ld a sebagai ganti 2log a.

Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10

dan LN menunjuk kepada logaritma berbasis e.

Pada beberapa bahasa pemrograman komputer seperti C,C++,Java dan

BASIC, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis e.

3

Terkadang Log x (huruf besar L) menunjuk kepada 10

log x dan log x

(huruf kecil L) menunjuk kepada elog x.

B. Mencari Nilai Logaritma

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

Tabel

Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

C. Rumus Logaritma

Logaritma

ac = b → ª log b = c

a = basis

b = bilangan yang dilogaritma

c = hasil logaritma

Sifat-sifat Logaritma

ª log a = 1

ª log 1 = 0

ª log aⁿ = n

ª log bⁿ = n • ª log b

ª log b • c = ª log b + ª log c

ª log b/c = ª log b – ª log c

ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b

ª log b = 1 ÷ b log a

ª log b • b log c • c log d = ª log d

ª log b = c log b ÷

c log a

4

Berikut ini adalah contoh-contoh soal logaritma dalam pelajaran

Matematika SMA dan jawabannya/ penyelesaiannya/ penjelasannya.

Yang perlu diperhatikan adalah bagaimana kita mengerjakan soal-soal

logaritma dengan teliti step by step. Gambar di atas adalah sifat-sifat dasar

logaritma. Semoga bisa memberi sedikit pencerahan untuk semua yang ingin

belajar materi logaritma ini.

1. Jika log 2 = a maka log 5 adalah …

jawab :

log 5 = log (10/2) = log 10 – log 2 = 1 – a (karena log 2 = a)

2. √15 + √60 - √27 = ...

Jawab :

√15 + √60 - √27

= √15 + √(4x15) - √(9x3)

= √15 + 2√15 - 3√3

= 3√15 - 3√3

= 3(√15 - √3)

3. log 9 per log 27 =...

Jawab :

log 9 / log 27

= log 3² / log 3³

= (2. log 3) / (3 . log 3) <-- ingat sifat log a^n = n. log a

= 2/3

5

4. √5 -3 per √5 +3 = ...

Jawab :

(√5 - 3)/(√5 + 3)

= (√5 - 3)/(√5 + 3) x (√5 - 3)/(√5 - 3) <-- kali akar sekawan

= (√5 - 3)²/(5 - 9)

= -1/4 (5 - 6√5 + 9)

= -1/4 (14 - 6√5)

= -7/2 + 3/2√5

= (3√5 - 7)/2

5. Jika a log 3 = -0,3 tunjukkan bahwa a = 1/81 3√9

Jawab :

ª log 3 = -0,3

log 3/log a = -0.3

log a = -(10/3)log 3

log a = log [3^(-10/3)]

a = 3^(-10/3) = 3^(-4) (3²)^(⅓ )

a= 1/81 3√9

6. log (3a - √2) dengan basis 1/2. Tentukan nilai a!

Jawab :

[log (3a - √2)]/log(0.5) = -0.5

log (3a - √2) = -0.5 log 0.5 = log (1/√½)

3a - √2 = 1/√½

a = (2/3) √2

6

D. Kegunaan Logaritma

Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang

pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma

sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat

dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

1. Sains dan teknik

Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan

dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat

di skala logaritmik.

Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk

mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi

ion hidronium pada air adalah 10−7

pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan

(rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan

digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah

satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia

mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel

dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang

penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan

0.1 bel, lebih sering digunakan.

Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan

skala logaritma berbasis 10.

Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang

menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan

terang secara logaritmik.

7

2. Penghitungan yang lebih mudah

Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke

pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis

penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::

Penghitungan dengan

angka

Penghitungan dengan

eksponen Identitas Logaritma

Sifat-sifat di atas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih

mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya

kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma

masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah

tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan,

logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau

membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

E. Kalkulus

Turunan fungsi logaritma adalah

8

dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e,

maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi

Integral fungsi logaritma adalah

Integral logaritma berbasis e adalah

Sebagai contoh carilah turunan

F. Penghitungan Nilai Logaritma

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-

prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan,

pengkalian, dan pembagian

9

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari

eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

bc= a ditulis sebagai

blog a = c (b disebut basis)

Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:

7. Tabel

8. Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

Turunan fungsi logaritma adalah

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.

B. Saran

Penulis harap kepada siswa – siswi untuk tidak lagi menanggap bahwa

pelajaran matemetika adalah pelajaran yang sangat sulit untuk dipelajari.

10

DAFTAR PUSTAKA

http://id.wikipedia.org/wiki/Logaritma