KALMAN FILTER2.9 Filter Digital

Filter digital adalah semua filter elektronik yang bekerja

dengan menerapkan operasi matematika digital atau algoritma

pada suatu pemrosesan sinyal. Salah satu batasan utama pada

filter digital adalah dalam hal keterbatasan kecepatan

pemrosesan/waktu komputasi yang sangat tergantung dengan

kemampuan mikrokontroler atau komputer yang digunakan.

2.10 State of the art Kalman Filter

Kalman filter banyak digunakan dalam berbagai aplikasi.

Fungsi dari kalman filter itu sendiri adalah sebagai estimator

yang handal dalam berbagai sistem yang digunakan. Modelnya

yang sederhana sehingga mudah diterapkan dalam berbagai

sistem. Dengan memperhitungkan noise yang diestimasi pada

seluruh cangkupan frekuensi, sehingga kalman filter langsung

dapat digunakan sebagai estimator tanpa perlu memperhitungkan

noise yang terjadi pada sistem secara detail terlebih dahulu.

Kalman filter dapat digunakan untuk mengestimasi sistem yang

linear. Dalam perkembangannya, untuk sistem yang lebih

kompleks dengan persamaan matematis yang linier, kalman

filterr dimodifikasi agar dapat mengestimasi sistem yang non

linier, modifikasi kalman filter ini ada yang dinamakan

extended kalman filter (EKF), franctional kalman filter (FKF),

dan juga uncented kalman filter (UCF).

Berbagai aplikasi kalman filter dapat diterapkan dalam

berbagai sistem. Ditahun 2003 John Valasek dan Wei Chan,

menggunakan observer kalman filter untuk mengidentifikasi

secara online sistem pesawat. Masalah sistem identifikasi

online muncul dari keakurasian, locally linier, serta model

dinamik pesawat dari nonlinier pesawat. Metode identifikasi

kalma ini cocok untuk mengidentifikasi secara online sistem

pesawat dari model pesawat locally linier dan secara umum

cukup intensif mengendalikan intensitas white noise sensor

Gaussian dan untuk menyalakan intensitas hembusan diskrit.

Di tahun yang sama, Zhuang Xu dan M.F.Rahman menggunakan

extended kalman filter(EKF) untuk mengestimasi kecepatan rotor

pada saat kecepatan yang sangat rendah. Untuk dapat

mengestimasi pada kecepatan yang sangat rendah diperlukan

sensitivitas yang tinggi dari estimator untuk model nonlinier,

gangguan dan model parameter detuning. Telah dilakukan riset

mengenai prinsip dari direct torque control (DTC)

diimplementasikan pada interior permanent magnet(IPM). Ditahun

sebelumnya telah dilakukan riset mengenai IPM namun belum

dapat mengestimasi kecepatan rotor pada saat kecepatan yang

sangat rendah.

Di tahun 2003 juga kalman filter dipakai oleh D.

Loebis,R. Sutton, J. Chudley, dan W. Naeem untuk melakukan

riset mengenai penerapan sistem navigasi cerdas, didasarkan

pada penggunaan yang terintegrasi dari global positioning

sistem(GPS) dan beberapa sistem navigasi inersia (inertia

system navigation/INS) sensor, untuk aplikasi kendaraan otonom

dibawah air(AUV). Dalam riset SKF dan EKF digunakan untuk

memadukan data dari sensor INS dan untuk mengintegrasikannya

dengan data GPS. Selain itu juga digunakan teknik logika fuzzy

untuk adaptasi dari asumsi statistic awal dari keduanya(SKF

dan EKF), disebabkan oleh kemungkinan perubahan karakteristik

noise sensor. Setelah itu dilakukan estimasi, perbaikan

estimasi dari SKF dan EKF dan meningkatkan akurasi keseluruhan

dari integrasi GPS.

Pada tahun 2004, Pratap R, melakukan penelitian mengenai

extended kalman filter yang digunakan untuk menyaring masuknya

noise ke dalam reactor biologis, penelitian dilakukan karena

mikroba yang ada dalam reactor biologis bisa terpengaruh oleh

noise apabila noise ini tidak difilter. Noise ini disebabkan

oleh dua sumber yang mempengaruhi kinerja yaitu noise

pengukuran dari sinyal sensor(pH, suhu, kecepatan agitasi,

laju aliran, dan lain-lainya) dan noise dari lingkungan.

Peneliti sebelumnya dilakukan oleh M. L. Shuler dan G. Liden

menunjukan bahwa kompleksitas dan efek Ph berpotensi berbahaya

pada perilaku mikroba, karena efek ekonomis, kinetic, maupun

benefit. Dari hasil riset EKF telah terbukti dapat

menyelamatkan osilasi periodic yang stabil yang telah

terdistorsi oleh noise, serta EKF telah terbukti efektif dalam

menyaring noise dari aliran tersebut bahwa sekitar osilasi

beban noise dapat dipulihkan.

Di tahun 2005, Kalman filter digunakan untuk mengestimasi

suhu internal, dengan menggunakan kalman filter, diterapkan

pada sistm hibrida linier oleh L. Boillereaux, H. Fibrianto,

dan J. M. Flaus. Metode ini diterapkan karena keterbatasan

penggunaan sensor invasive, sehingga untuk memperkirakan suhu

internal dari makanan dapat diperoleh dengan pengukuran di

permukaan.

Setahun kemudian, Jose dan Wan Yu membandingkan algoritma

pembelajaran normal dengan kalman filter untuk

mengidentifikasi sistem non linier dimana modifikasi dead-zone

robust diterapkan pada kalman filter. Kalman filter diterapkan

untuk melatih state spae jaringan saraf tiruan berulang untuk

identifikasi sistem nonlinier. Diman riset serupa telah

dilakukan pada tahun-tahun sebelumnya yaitu mengenai analisa

konvergensi neural network, beberapa teknik modifikasi robust

pada algoritma least square, analisa kestabilan dan lain-

lainya. Dari hasil penelitian algoritma kalman filter memiliki

beberapa sifat lebih baik, seperti konvergensi yang lebih

cepat, meskipun algoritma ini lebih kompleks dan sensitive

terhadap sifat noise. Serta metode Lyapunov yang digunakan

untuk membuktikan bahwa pelatihan kalman filter stabil.

Tahun 2007 Mickael Hilairet, Francois Auger, dan Eric

Berthelot memodifikasi kalman filter, yang digunakan untuk

mengestimasi fluks rotor dan kecepatan pada motor induksi.

Estimasi ini diperlukan untuk menentukan kecepatan dan posisi

rotor dari tegangan dan arus stator apabila tanpa menggunakan

sensor kecepatan dan sensor posisi. Estimator kalman filter

modifikasi ini dapat mengurangi jmlah aritmatika sampai 25%

daripada menggunakan kalman filter biasa. Serta estimator ini

memperbolehkan sampling rate yang lebih tinggi menggunakan

sebuah mikrokontroler yang lebih murah.

Tahun 2008 X. Luoa , I, M, Moroz, memodifikasi skema

ensemble kalman filter(EnKF) menggunakan konsep uncented

transform yang merupakan sebuah konsep metode baru untuk

transformasi nonlinier dari mean dank ovarian dalam filter dan

estimator. Hal ini disebabkan oleh adanya eror distribusi

analisa simetri( tidak membutuhkan Gaussian) apabila

menggunakan EnKF biasa menghasilkan estimasi yang kurang

akurat. Metode EnKF ini terbukti dapat memberikan estimasi

yang akurat.

Murat Barut pada tahun 2009 juga menerapkan extended

kalman filter pada penelitiannya. Tujuan penelitiannya yaitu

mengestimasi secara online masalah yang berkaitan dengan

ketidakpastian dalam stator rotor dan resistensi melekat

dengan control sensorless dengan efisiensi motor induksi(IM)

yang tinggi dalam rentang kecepatan yang luas serta memperluas

jumlah state yang terbatas dan estimasi parameter menggunakan

algoritma extended kalman filter tunggal dengan eksekusi

berturut-turut dari dua input yang beasal dari dua model IM

berdasarkan resistansi stator dan estimator resistanso rotor.

Penelitian dilakukan karena adanya ketidakpastian estimasi

state parameter elektrik dan mekanik dari motor induksi serta

suhu dan frekuensi bergantung pada variansi resistansi rotor

dan stator yang terdapat diseluruh bagian penting dari

ketidakpastian elektrik dalam sebuah motor induksi selama

torsi beban dan friksi menentukan mekanik utamanya.

Pada tahun 2011 dilakukan uji keakurasian tracking dan

teknik estimasi untuk besaran, frekuensi dan fasa tegangan

kedipan(flicker) menggunakan kalman filter, dilakukan oleh H.

M. AL-Hamadi, dimana menggunakan extended state space untuk

mengestimasi parameter. Dengan menggunakan algoritma kalman

filter, konvergensi dari estimasi parameter yang didapat,

nilai parameter estimasinya sangat dekat dengan nilai aslinya.

Secara umum, kalman filter banyak digunakan sebagai

estimator dalam berbagai permasalahan, karena kalman filter

sendiri memiliki keunggulan yaitu kemampuannya mengestimasi

state pada waktu lampau, sekarang, maupun diwaktu mendatang,

bahkan ketika karakteristik spesifik dari model yang akan

diestimasi tidak diketahui.

2.10.1 Algoritma Kalman Filter

Kalman filter merupakan sebuah filter yang efisien dan

mengestimasi state pada linear dynamic system dari rentetan

pengukuran noise. Disebut recursive sebab untuk menghitung state

estimasi saat ini,hanya membutuhkan sata state estimasi satu

waktu sebelumnya dan data pengukuran saat ini. Teknik filter

ini dinamakan berdasarkan penemunya, Rudolf E. Kalman. Kalman

filter sangat berguna terutama dalam navigasi dan lingkungan

dengan Gaussian noise. Pada teori terkendali, kalman filter

merupakan sebuah algoritma atau kumpulan persamaan matematika

yang menghasilkan sebuah perhitungan yang efisien untuk

mengestimasi state dari proses, dengan tujuan meminalkan noise

atau variansi terhadap referensi lain. Filter ini sangat bagus

dalam beberapa aspek: mendukung estimasi state sebelumnya,saat

ini dan berikutnya. Bahkan hal ini tetap dapat dilakukan

meskipun model sistem yang sebenarnya tidak diketahu. Kalman

filter disebut juga sebuah estimator stokastik yang optimal.

Kalman Filter (KF) adalah suatu metode estimasi variabel

keadaan dari sistem dinamik stokastik linear diskrit yang

meminimumkan kovariansi error estimasi. Metode KF pertama kali

diperkenalkan oleh Rudolph E. Kalman pada tahun 1960 lewat

papernya yang terkenal tentang suatu penyelesaian rekursif

pada masalah filtering data diskrit yang linear (Welch &

Bishop, 2006). KF merupakan suatu pendekatan teknis untuk

menaksir fungsi parameter dalam peramalan deret berkala (time

series). Keunggulan metode KF adalah kemampuannya dalam

mengestimasi suatu keadaan berdasarkan data yang minim. Data

minim yang dimaksud adalah data pengukuran (alat ukur) karena

KF merupakan suatu metode yang menggabungkan model dan

pengukuran. Data pengukuran terbaru menjadi bagian penting

dari algoritma KF karena data mutakhir akan berguna untuk

mengoreksi hasil prediksi, sehingga hasil estimasinya selalu

mendekati kondisi yang sebenarnya (Masduqi, 2008).

Bentuk umum dinamika stokastik linier diskrit adalah:

Xk+1 = AkXk + Bk Uk + Wk (2.1)

Dengan pengukuran Zk ∈ ƦP yang memenuhi

Zk = HkXk + Vk (2.2)

X0 N (X0 , Px0); Wk N(0, Qk); Vk N (0,Rk)

(2.3 )

Dengan :

X0 = inisial dari sistem,

Xk+1 = variable keadaan pada waktu k+1 dan berdimensi,

Xk = variable keadaan pada waktu k yang nilai estimasi

awalnya X0 dan kovariansi awal Px0, Xk ∈Rn

Uk = vector masukan deteministik,pada waktu k,Uk ∈Rn

Wk = noise pada sistem dengan mean Wk = 0 dengan

kovariansi Qk,

Zk = variabel pengukuran Zk ∈Rp

Vk = noise pada pengukuran dengan mean Vk = 0 dengan

kovariansi Rk

Ak,Bk,Hk = matriks-matriks dengan nilai elemen-elemennya adalah koefisien

variabel masing-masing.

Variabel Wk N(0, Qk) dan Vk N (0,Rk) ini diasumsikan

white (berdistribusi normal dengan mean 0), tidak berkorelasi

satu sama lain maupun dengan nilai estimasi awal X0 Proses

estimasi KF dilakukan dengan dua tahapan, yaitu dengan cara

memprediksi variabel keadaan berdasarkan sistem dinamik yang

disebut tahap prediksi (time update) dan selanjutnya tahap

koreksi (measurement update) terhadap data-data pengukuran untuk

memperbaiki hasil estimasi.Tahap prediksi dipengaruhi oleh

dinamika sistem dengan memprediksi variabel keadaan dengan

menggunakan persamaan estimasi variabel keadaan dan tingkat

akurasinya dihitung menggunakan persamaan kovariansi error.

Pada tahap koreksi hasil estimasi variabel keadaan yang

diperoleh pada tahap prediksi dikoreksi menggunakan model

pengukuran. Salah satu bagian dari tahap ini yaitu menentukan

matriks Kalman Gain yang digunakan untuk meminimumkan

kovariansi error. Tahap prediksi dan koreksi dilakukan secara

rekursif dengan cara meminimumkan kovariansi error estimasi (Xk

– Xk),Xk

Pada sistem navigasi,kalman filter yang digunakan adalah

kalman filter diskrit. Kalman filter yang mengestimasi proses

dengan menggunakan bentuk pengendali feedback : filter

mengestimasi state proses pada beberapa waktu dan kemudian

mendapatkan umpan balik(feedback) dalam benk

pengukuran(noise). Oleh karena itu, persamaan kalman filter

dibagi menjadi dua kelompok yaitu persamaan time update dan

persamaan measurement update. Time update dapat disebut juga

sebagai proses predict,yaitu menggunakan estimasi state dari

satu waktu sebelumnya untuk mendapatkan sebuah estimasi state

pada saat ini. Sedangkan measurement update disebut juga

sebagai proses correct, yaitu informasi pengukuran pada saat

ini digunakan untuk memperbaiki prediksi, dengan harapan akan

didapatkan state estimasi yang lebih akurat. Sehingga dalam

aplikasinya, algoritma kalman filter akan menggunakan proses

berulang dari predict dan correct. Seperti yang dilihat pada

gambar 2.8 dibawah ini

Gambar 2.8 Perputaran Algoritma Kalman Filter

Berikut ini adalah persamaan predict dan correct dalam kalman

filter:

Tabel 2.1 Algoritma Kalman Filter

Model Sistem dan Model Pengukuran

Xk+1 = AkXk + Bk Uk + Wk

Zk = HkXk + Vk

X0 N (X0 , Px0); Wk N(0, Qk); Vk N (0,Rk)

Time Update(Predic

t)

Measurement Update

(Correct)

Inisialisasi

X0 = X0, P0 =Pxo

Tahap Prediksi

Estimasi: Xk+1 = Ak X + Bk Uk

Kovariansi error : Pk+1 = Ak Pk ATk + Qk

Tahap Koreksi

Kalman Gain : Kk+1 = Pk+1 HTk +1(Hk+1 Pk+1 HT

k +1 + Rk+1)-1

Estimasi : Xk+1 = Xk+1 + Kk+1(Zk+1-Hk+1 Xk+1)

Kovariansi error : Pk+1 = [ I - Kk+1Hk+1] Pk+1

Pada table 2.1 menunjukkan algoritma KF yang terdiri dari

empat bagian, diantaranya bagian pertama mendefinisikan model

sistem dan model pengukuran, bagian kedua merupakan nilai awal

(inisialisasi), selanjutnya ketiga dan keempat masing-masing

tahap prediksi dan koreksi (Purnomo, 2008).

Kalman filter banyak digunakan dalam berbagai aplikasi.

Fungsi dari kalman filter itu sendiri adalah sebagai estimator

yang handal dalam berbagai sistem yang digunakan.Modelnya yang

sederhana sehingga mudah diterapkan dalam berbagai sistem.

Dengan memperhitungkan white noise yang merupakan noise yang

diestimasi pada seluruh cangkupan frekuensi,sehingga klman

filter langsung dapat digunakan sebagai estimator tanpa perlu

menghitung noise yang terjadi pada sistem secara detail

terlebih dahulu. Kalman filter dapat digunakan untuk

mengestimasi sistem yang linier. Dalam perkembangannya untuk

sistem yang lebih kompleks dengan persamaan matematis yang

linier,kalman filter dimodifikasi agar dapat mengestimasi

sistem yang non linier,modifikasi kalman filter ini ada yang

dinamakan extended kalman filter(EKF),fractional kalman filter(FKF)dan uncented

kalman filter (UKF).

2.10.1.1 Extended Kalman Filter(EKF)

Extended Kalman Filter dapat digunakan untuk sistem yang tak

linier dan juga kontinu. Dalam Extended Kalman Filter sistem semacam

ini perlu dilinierisasi (apabila sistem tidak linier),

pendiskritan sistem (apabila sistem kontinu), dan beberapa

tahapan lain. Algoritma Kalman Filter dikembangkan untuk nilai

estimasi dalam bentuk rekursif dari model linear. Namun

demikian, dalam kenyataannya banyak model yang berbentuk

nonlinear. Metode Extended Kalman Filter (EKF) adalah salah satu

metode estimasi yang dikembangkan untuk menyelesaikan model

nonlinear.

xk = ƒ(xk-1,uk-1,wk-1) (2.4)

dengan persamaan measurement yang dipelihatkan

zk = h (xk,vk) (2.5)

dimana ƒ(.) adalah persamaan nonlinier yang menghubungkan

state waktu sebelumnya,process noise dan input dengan state

waktu sekarang. Pada persaan measurement, h(.) adalah

persamaan nonlinier yang menghubungkan state sekarang dan mea

surement noise dengan hasil pengukuran. Estimasi untuk

mendapatkan state xk, dilakukan dengan menggunakan (2.6) dan

(2.7)

xk = ƒ (xk-1,uk-1,wk-1) (2.6)

zk = h (xk,vk) (2.7)

Untuk persamaan eksplisit estimasi state pada(2.4), pertama

persamaan (2.6) dan (2.7) harus dilinierisasi. Linierisasi ini

dilakukan menggunakan deret Taylor disekitar titik kerja yaitu

Wk = 0 dan Vk = 0. Asumsi ini digunakan karena nilai noise yang

terjadi pada proses dan pada pengukuran tidak dapat dihitung.

Estimasi dilakukan dengan menganggap noise-noise tersebut

bernilai nol. Dengan demikian, persamaan sistem berubah

menjadi (2.8) dan (2.9)

xk ≈ ƒ (xk-1,uk-1,0) + F (xk-1,uk-1,0) + Wwk (2.8)

zk ≈ h (xk,0) + H (xk,0) +Vvk (2.9)

dimana

F[ i,j ] = ∂ƒ [i]∂x [j]

(xk-1,uk-1,0)

W[ i,j ] = ∂ƒ [i ]∂x [j ]

(xk-1,uk-1,0)

H[ i,j ] = ∂H[i]∂w [j ]

(xk,0)

V[ i,j ] = ∂H[i ]∂v[j ]

(xk,0)

Berikutnya dengan mendefinisikan measurement residual sebagai

(2.10) dan memperhatikan persamaan a-priori state error,

didapat persamaan error proses seperti pada (2.11) dan (2.12)

ezk = zk – zk (2.10)

exk ≈ A (xk-1 – xk-1) + εk (2.11)

ezk ≈Hexk + ɳk (2.12)

Pada (2.11) dan (2.12), terdapat du variable yaitu εk dan ɳk.

Variabel-variabel ini adalah variable acak baru yang memiliki

mean nol dan matriks kovarians masing-masing WQWT dan VRVT.

Variabel-variabel acak pada (2.10) sampai (2.12) memiliki

karakteristik :

p( exk ) N¿exk exkT])

p(εk ) N¿ WQkWT])

p(ɳk) N¿ VRkVT])

Selanjutnya, akan dicari estimasi dari exk dengan menggunakan

kalman filter hipotesis. Hasil estimasi ini dinamakan ek dan

akan digunakan untuk mendapatkan a-posteriori state estimate

berdasarkan (2.13)

xk = xk + ek (2.13)

Dengan memperhatikan karakteristik exk , ek, dan ɳk, men-set nilai

prediksi ek menjadi nol, dan mempertimbangkan data ezk

didapatlah persamaan kalman filter hipotesis untuk memperoleh

nilai ek pada (2.14)

ek = Kk ezk (2.14)

Mensubsitusikan (2.13) dan (2.14) dan mempertimbangkan

persamaan measurement residual, didapat (2.15)

xk = xk + Kk ( zk – zk) (2.15)

Pada (2.15) adalah persamaan state estimate update untuk

sistem nonlinier. Persamaan-persamaan yang digunakan dalam

algoritma Extended Kalman Filter kemudian adalah sesuai yang

tertera pada table 2.1. Persamaan- persamaan ini diperoleh

dari persamaan Kalman Filter dengan beberapa penyesuaian.

Tabel 2.2 Persamaan – Persamaan Extended Kalman Filter

Time Update (“ Prediction”) Equations

xk = ƒ (xk-1,uk-1,wk-1)

Pk = FPkFT + WQWT

Measurement Update(“Correction”) Equations

Kk = PkHT [HPkHT + VRVT] -1

xk = xk + Kk ( zk – h (xk,0))

Pk = ( I – Kk H) Pk

2.10.1.2 Ensemble Kalman Filter

Metode Ensemble Kalman Filter (EnkF) adalah metode estimasi

modifikasi dari algoritma kalman filter yang dapat digunakan

untuk mengestimasi model sistem linier maupun nonlinier.

Metode EnKF pertama kali dikembangkan oleh G. Evensen (1992-

1993) pada saat mencoba mengimplementasikan metode EKF untuk

asimilasi data pada suatu model. Linieritas dalam metode EKF

ternyata menyebabkan kovariansi errornya membesar menuju tak

terhingga. Selanjutnya G. Evensen (1994) telah memperkenalkan

ide penggunaan sejumlah ensemble untuk mengestmasi kovariansi

error pada tahap forcasting pada masalah yang sama ( Evensen

1994, dalam purnomo 2008).

Proses estimasi pada EnKF diawali dengan membangkitkan sejmlah

Nε ensemble dengan mean 0 dan kovariansi konstan. Ensemble

yang dibangkitkan dilakukan secara random dan berdistribusi

normal. Berdasarkan eksperimen, pada umumnya jumlah anggota

ensemble yang mencangkup adalah 100-500 (Evensen 2003, dalam

purnomo 2008).

Secara umum algoritma EnKF juga terdiri dari dua tahap yaitu

tahap prediksi (time update) dan tahap koreksi (measurement

update). Pada metode EnKF terlebih dahulu dihitung mean

ensemble-nya sebelum masuk ke tahap prediksi yaitu :

Xk = 1Nε∑i=1

NXk,i (2.16)

Dimana Nε adalah banyaknya ensemble yang dibangkitkan dan Xk,i

merupakan nilai ensemble yang dibangkitkan.Bentuk umum sistem

dinamik nonlinier pada EnKF adalah :

Xk+1 = ƒ(k,xk) + Wk (2.17)

dengan persamaan pengukuran linear zk ϵRP yaitu:

Zk = Hk Xk+Vk (2.18)

x0 N(X0, Px0) ; wk N¿k); vk N¿k)

Dengan Xk+1 merupakan variabel keadaan pada waktu k+1 , ƒ(k,xk)

merupakan fungsi tak linear dari XX dan input WK,VK merupakan

data pengukuran, merupakan matriks, yang merupakan

representasi hubungan antara data pengukuran dan variabel

keadaan,

x0 N(X0, Px0) ; wk N¿k); vk N¿k) masing-masing merupakan derau

pada sistem yang berdistribusi Normal Gauss (sistem Gaussian white

noise) dan derau pada pengukuran yang berdistribusi Normal

Gauss (measurement Gaussian white noise). Algoritma dari Ensemble

Kalman filter untuk mengestimasi variable keadaan XK adalah

(Evensen, 2003).

Misalkan akan dibangkitkan sejumlah Nε ensemble untuk memperoleh nilai rata-rata mean :

X0 = [X0,1 X0,2 … X0,N-1 X0,N] dengan X0,i N (x0,P0)

Selanjutnya diperoleh mean ensemble pada persamaan (2.16).

Xk = 1Nε∑i=1

NXk,i

Mean ensemble ini digunakan untuk menghitung estimasi xk pada

tahap prediksi (time update) dan xk pada tahap koreksi

(meansurement update). Sedangkan untuk menghitung kovariansi

error Pk pada tahap prediksi menggunakan

Pk = 1

Nε−1 ∑i=1

Nε¿¿ xk,j – xk)(xk,j – xk)T

(2.19)

Pada tahap EnKF, noise sistem wk pada tahap prediksi dan noise

pengukuran vk pada tahap koreksi dibangkitkan dalam bentuk

ensemble. Perlu diperhatikan bahwa algoritma EnKF tidak

membutuhkan nilai awal kovariansi error. Sedangkan nilai awal

x0 dihitung dari rata-rata ensemble x0,i yang dibangkitkan pada

tahap inisialisasi. Demikian juga, noise sistem wk,j pada tahap

prediksi dan noise pengukuran vk,j pada tahap koreksi

dibangkitkan dalam bentuk ensemble (Purnomo 2008). Algoritma

EnKF selengkapnya untuk mengestimasi penyelesaian model (2.17)

dan (2.18) dapat diihat pada tabel 2.3

Tabel 2.3 Algoritma Ensembel Kalman Filter (EnKF)

Model Sistem dan Model Pengukuran

Xk+1 = ƒ(Xk,Uk) + Wk , Wk N(0,Qk)

Zk = HXk+Vk , Vk N(0,Rk)

Inisialisasi

Bangkitkan Nε ensemble sesuai estimasi awal x0

x0,I = [x0,1 x0,2 x0,3 … x0,Nε]

Tentukan nilai awal :

Xk = 1Nε∑i=1

NXk,i

Tahap Prediksi

xk,I = ƒ( xk-1,uk-1) + Wk dengan Wk,i N(0,Qk)

Estimasi :

Xk = 1Nε∑i=1

Nεxk,i

Kovariansi error :

Pk = 1

Nε−1 ∑i=1

Nε¿¿ xk,j – xk)(xk,j – xk)T

Tahap Koreksi

zk,i = zk + vk,i dengan vk,i N¿k)

Kalman Gain :

Kk = PkHT(HPkHT +Rk)-1

Estimasi :

Estimasi Tahap Koreksi Adalah:

Xk,i = Xk,i + Kk(Zk,i – HXk,i)

Rata-Rata Estimasi Tahap Koreksi Adalah:

Xk = 1Nε∑i=1

NεXk,i

Kovariansi Error

Pk = [ I – KkH]Pk

2.10.1.3 Uncented Kalman Filter (UKF)

Uncented Kalman Filter (UKF) merupakan pengembangan baru di

lapangan. Idenya adalah untuk menghasilkan beberapa titik

sampling (poin Sigma) sekitar perkiraan kondisi saat

berdasarkan kovarians nya. Kemudian, menyebarkan titik-titik

ini melalui peta nonlinier untuk mendapatkan estimasi yang

lebih akurat dari mean dan kovariansi dari hasil pemetaan.

Uncented Kalman Filter (UKF) diusulkan oleh Julier dan

Uhlman.  UKF, yang merupakan alternatif turunan-bebas untuk

EKF. UKF terdiri dari dua langkah yang sama dengan: perkiraan

Model dan Data asimilasi. UKF digunakan untuk mempermudah

dalam pendektan distribusi probabilitas untuk mendekati fungsi

nonlinier . UKF adalah metode untuk menghitung statistik dari

variabel acak yang mengalami transformasi nonlinear.

Unscented Kalman Filter adalah pengembangan dari Filter Kalman untuk

sistem yang nonlinear dengan menggunakan teknik Transformasi

Unscented. Misalkan diberikan suatu fungsi kepadatan peluang

diskrit yk=f(xk,k) mempunyai variabel random x dari sebuah model

tak linear dengan dimensi L mempunyai mean dan kovarian . Fungsi

yk=f(xk,k) didekati dengan transformasi unscented. Mean dan kovarian

tersebut digunakan untuk menentukan penyebaran 2L+1 titik-titik

sigma disekitar x. Titik-titik sigma dalam bentuk vektor sigma Xz

diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:

X0= X (2.20)

Xi = X + ( √L+λPx) I , i = 1,…..,L (2.21)

Xi = X + ( √L+λPx) I-L , i = L + 1,……..,2L (2.22)

Dengan λ = α2( n + k) – L adalah parameter penskalaan, α adalah

sebuah konstanta yang digunakan untuk menentukan sebaran dari

titik sigma disekeliling X , Dimana α selalu bernilai positif

kecil dan k adalah skala penskalaan tambahan, dimana nilai k≥0.

Nilai yang paling sering digunakan yaitu k = 0.

Misalkan diberikan variable keadaan :

x=[x1 x2 … xL]T(2.23)

Jika dinyatakan dalam bentuk matriks sigma points bisa

dituliskan menjadi :

Xi = [X0 X1 … XL XL+1 XL+2 … X2L]T(2.24)

Karena yk = ƒ(xk), maka penyebaran vector sigma yk adalah :

yi = ƒ (Xi) i = 0,….,2L (2.25)

Pembobotan mean dank ovarian dihitung berdasarkan persamaan :

W0(m) =

λL+λ (2.26)

W0(c) =

λL+λ + 1 – α2 +β (2.27)

Wi = Wi(c) =

12(L+λ)

i =1,….,2L (2.28)

Dengan menggunakan titik-titik sigma persamaan (2.22) dan

persamaan pembobotan mean-kovarians pada persamaan (2.28),

maka diperoleh mean :

y = ∑0

2L¿¿Wi

(c) (ƒ (Xi) - y )(ƒ(Xi)-y)T] (2.29)

Secara ringkas algoritma Unscented Kalman Filter dapat

dituliskan pada tabel 2.4 sebagai berikut:

Tabel 2.4 Algoritma Uncented Kalman Filter (UKF)

Inisialisasi

Pada saat k = 0

X0 = E[X0]

Px0 = E[(x0 – x0)( x0 – x0)T]

xα0 = E[xα] = E [x0

T 0 0]T

Pα0 = E[(x

α0 – x0) (x

α0 – x0)T] =

Px 0 00 Pw 00 0 Pv

Untuk k=1,2,3,…,N

Hitung titik sigma

Xαk-1 = [ Xα

k-1 Xαk-1 + γ√Pk-1 Xα

k-1 - γ√Pk-1 ]

Dengan γ = √L+λ dan λ = α2( L+ k) – L

Tahap Prediksi (time update)

XKX

| K-1 = ƒ( XK−1X ,XK−1

w )

xk = ∑i=0

2L¿¿ Wi (m)Xi,k∨k−1

X ]

Pxk = ∑i=0

2L¿¿ Wi

(c) (Xi,k∨k−1X −xk ¿(Xi,k∨k−1

X −xk)T + Qk]

Zk∨k−1❑ = H ( XK−1

X ,XK−1v )

Zk = ∑i=0

2L¿¿ Wi

(m)Zi,k∨k−1❑ ¿

Tahap Koreksi (Measurement update)

Pzk,zk = ∑i=0

2L¿¿ Wi

(c) (Zi,k∨k−1❑ −zk¿(Zi,k∨k−1

❑ −zk )T + Rk]

Pxk,zk = ∑i=0

2L¿¿ Wi

(c) (Xi,k∨k−1❑ −xk ¿(Zi,k∨k−1

❑ −zk)T ]

Kk = Pxk,zkPzk,zk−1

xk = xk + Kk(zk-zk)

Pxk = Pxk−¿¿ - Kk PzkKk

T

Dengan Qk adalah kov.error proses dan Rk adalah kov.error

pengukuran

2.10.1.4 Fractional Kalman Filter (FKF)

Kalman Filter merupakan vektor state estimator optimal

menggunakan sistem model , input dan sinyal output ( Kalman

1960) . Hasil estimasi yang diperoleh dengan meminimalkan

langkah dalam panggilan Fungsi sekarang ( Schutter et al.,

1999 ).

xk = arg min [ (xk – x)pk−1(xk-x)T + (yk –Cx) Rk−1(yk –Cx)T] (2.30)

dimana:xk = E [ xk|zk-1 ] (2.31)

adalah prediksi state vektor pada waktu sekarang k , xk

didefinisikan sebagai variabel acak dan dikondisikan pada

pengukuran aliran zk−1 (Brown & Hwang 1997).

xk = E [ xk|zk ] (2.32)

adalah prediksi state vektor pada waktu sekarang k , xk

didefinisikan sebagai variabel acak dan dikondisikan pada

pengukuran aliran zk.

Pengukuran zk. mengandung nilai nilai pengukuran keluaran y0,y1,…,yk dan sinyal input u0,u1,…,uk.

Pk= E [(xk – xk) (xk – xk)T] (2.33)

adalah prediksi estimasi error matriks kovarians

Rk = E [vkvkT] (2.34)

adalah matriks kovarians dari noise output di vk

Qk=E[wk wkT] (2.35)

adalah matriks kovarians dari sistem noise di wk

Pk = E [(xk –xk) (xk –xk)T] (2.36)

adalah estimasi kesalahan matriks kovariansi

*Semua dari matriks-matriks diasumsikan simetris