Integral definida1 2015-02 UDP integral definida - area

Universidad Diego Portales

Facultad de Ingeniería

Instituto de Ciencias Básicas

2° Semestre 2015

Material Docente

Prof.: H. Carreño G.

La Integral Definida – Calculo de Áreas

1.0. Partición de un Intervalo.

Sí en el intervalo cerrado ba , , consideramos )1( n puntos 121 ,,, nxxx , tales que

bxxxxxa nn 1210 , hemos definido una Partición del intervalo ba , . El

conjunto de todas las particiones P del intervalo ba , lo denotaremos por baP , y los puntos

ordenados de menor a mayor, comenzando en a y terminando en b, determina n sub-intervalos cerrados

1, xa , 21 , xx bxn ,,, 1 , de modo que iini xxU ,11 ba , . El intervalo ii xx ,1

representa el i-ésimo intervalo de la partición. La longitud de intervalo ii xx ,1 se representa por

1 iii xxx . En toda partición de un intervalo la suma de todas las longitudes de las sub-secciones

verifica que:

)( ixn

1=i

)( 01 xx )( 12 xx )( 1ii xx abxx nn )( 1

Denominaremos Norma de la Partición de un intervalo a la longitud de la mayor sección de la partición.

Se denota por |||| , es decir )( xmax = |||| i .

Definición: Sea f una función definida y acotada en el intervalo cerrado ba , , Sea P una Partición de ba , ,

es decir nnii xxxxxxxP ,,,,,,,, 11210 , donde 0xa y nxb . Para cada

ni ,,1 se definen los siguientes números reales llamados ínfimo y supremo respectivamente,

dados por:

iii xxxxfm ,:)(inf 1

iii xxxxfM ,:)(sup 1

Es decir im es el mínimo valor de f sobre el intervalo ii xx ,1 y iM es el máximo valor de

f sobre el intervalo ii xx ,1 , por tanto ii Mxfm )( , para toda ii xxx ,1 , ni ,,1 .

Definición 1. Se llama suma inferior de Riemann de f asociada a la partición P del intervalo cerrado ba , , que

se denota por ),( PfL , al número real definido por ),( PfL

n

iii xm

1

)(

n

iiii xxm

11))(( .

2. Se llama suma superior de Riemann de f asociada a la partición P del intervalo cerrado ba , , que

se denota por ),( PfU , al número real definido por ),( PfU

n

iii xM

1

)(

n

iiii xxM

11))(( .

Observación: Como la función f es acotada en ba , entonces es acotada en cada ii xx ,1 y tiene ínfimo y

supremo en dicho intervalo. Si además f es continua podemos asegurar que la función f alcanza su

valor mínimo y máximo en cada intervalo ii xx ,1 . En particular si f es continua y creciente en

dicho intervalo se verifica que )( 1 ii xfm y )( ii xfM . Además para cualquier baPP ,

tenemos que ),( PfL ),( PfU , ya que ii Mm para cada ni ,,1 . Así mismo, poniendo

baxxfm ,:)(inf y baxxfM ,:)(sup se deduce que para cualquiera que sea

la partición P se cumple ),()( PfLabm )(),( abMPfU , y por consiguiente, tanto el

conjunto de las sumas inferiores como las sumas superiores están acotados inferiormente por )( abm

y superiormente )( abM

Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería

Profesor: H. Carreño G. Asignatura: Calculo II - 2º semestre 2015 – Pág.: 2

1.1. Definición de Integral Definida.

Consideremos la función f definida en el intervalo cerrado ba , , cuya longitud es abx . Sea

P una Partición de ba , , es decir nnii xxxxxxxP ,,,,,,,, 11210 , donde 0xa

y nxb . Si la suma dada por

n

iii xaf

1

)( , donde: iii xx 1 , y 1 iii xxx , tiende a

algún número real, cuando la norma de la partición |||| , tiende a cero, es decir, cuando n crece sin

límite, o sea n , dicho límite recibe el nombre de Integral Definida de la función f sobre el

intervalo ba , , y se simboliza por: b

adxxf )(

n

i

iin

xaf

1

)(lim

Definición Sea )(xfy una función definida en el intervalo cerrado ba , y sea i un punto del subintervalo

ii xx ,1 de longitud 1 iii xxx . Entonces sí

n

iii

nxaf

1

)(lim existe, denotaremos este

límite por b

a

dxxf )( , y se llamara la Integral Definida de la función f entre ax y bx .

Nota 1:

Si existe

n

i

iin

xaf

1

)(lim , diremos que f es Integrable en ba , , y pondremos:

b

a

dxxf )(

n

iii

nxaf

1

)(lim

Nos referiremos al punto a como límite inferior, y al punto b como límite superior de la integral definida.

La notación acostumbrada para la integral de f de a a b, obtenida por el matemático G. W. Leibniz es:

b

a

dxxfA )(

n

iii

nxaf

1

)(lim

Si se considera A como el área debajo de )(xfy de a a b. Leibniz primero pensó en una franja

angosta de altura )(xf y ancho “infinitesimalmente pequeño” dx , de manera que el área sería el

producto dxxf )( . El consideraba la integral como la suma de las áreas de esas franjas y denoto esa

suma con la letra S (de suma) mayúscula alargada que aparece como el signo de integral en la ecuación.

No es coincidencia que la notación para las integrales definidas sea similar a la que se utilizó para las

integrales indefinidas. Se verá la razón más adelante cuando se introduzca el teorema fundamental del

cálculo. Por ahora es importante observar que las integrales definidas y las integrales indefinidas son

elementos diferentes. Una integral definida es un número real, en tanto una integral indefinida es una

familia de funciones (primitivas).

Así como no todas las funciones son derivables, no todas las funciones son integrables, pero a pesar que

las sumas de Riemann estaban definidas por funciones con muy pocas restricciones, una condición

suficiente para que la función f sea integrable en ba , es que sea continua en ba , . Una

demostración de este teorema está más allá del objetivo de estos apuntes.

Teorema 1: Si f es una función continua en el intervalo ba , , o bien si f tiene a loa sumo un número

finito de discontinuidades de salto allí, entonces f es integrable sobre ba , es decir,

b

a

dxxf )( existe.



Ejemplo 1: Evalúe la siguiente integral usando la definición

2

0

2 )43( dxxx

Solución:

Sea P una partición del intervalo 2,0 en n subintervalos de igual longitud se verifica que ixx , para

cada ni ,,1 , luego la longitud de cada intervalo está dada por nnn

abx 202 . Además 00 x ,

nx 21 ,

nx 4

2 , n

x 63 , pues en general xixxi ·0 y, para este caso vemos que

ni

ix ·2 . En

cada subintervalo ii xx ,1 se escoge una i que sea el extremo superior derecho de cada

subintervalo, así tendremos que ni

ii x ·2 , y usando la formula de la integral definida tendremos que:

Figura 1: Función xxxf 43)( 2

2

0

2 )43( dxxx

n

i

iin

xaf

1

)(lim

n

i

nni

nf

1

2·2 ·lim

n

i

ni

nf

n1

·2 ··2

lim

n

i

ni

ni

n n1

·22·2 ·4·3·2

lim

n

in

in

inn

1

2

2·

8·

12·

2lim

n

i

n

in

in

in

12

1

2

3)(·

16)(·

24lim

2

)1(·

16

6

)12)(1(·

24lim

23

nn

n

nnn

nn

22

)1(8)12)(1(4lim

n

nn

n

nn

n

2

)1(8)12)(1(4lim

n

nnnn

n

2

22 884128lim

n

nnnn

n

2

44lim

n

n

n0

Figura 2: Partición del intervalo 2,0

El resultado es

2

0

2 )43( dxxx 0 , ello es posible pues podemos interpretar las “áreas” de los

rectángulos que se obtienen cuando la función esta bajo el eje horizontal son “negativas”, y ellas se anulan

con las “áreas positivas” de los rectángulos que se obtienen cuando la función es positiva en el resto del

intervalo de integración.

Ejercicio 1: Evalúe la siguiente integral usando la definición

3

1

2 )526( dxxx



Ejemplo 2: Evalúe la siguiente integral usando la definición 2

0

)( dxe x

Solución:

Sea P una partición del intervalo 2,0 en n subintervalos de igual longitud tal que ixx , para cada

ni ,,1 , luego nnn

abx 202 . como 00 x , entonces xixixxi ··0 ni·2 , por tanto:

2

0

)( dxe x

n

i

in

xxf

1

)(lim

n

i

nni

nf

1

2·2 ·lim

n

i

ni

nf

n1

·2 ··2

lim

n

in

ni

en

1

·2

·2

lim

nn

nnn eeeenn

2642

·2

lim

n

n

nnn

eeen

e

n

)1(2422

1·2

lim , haciendo ner2

121·2

lim n

nrrr

n

r , usando suma geométrica será:

1

1·

2lim

r

r

n

rn

n

1

1·

2lim

2

22

n

n

e

e

n

e

n

nn

n

e

e

ne

e

n22

2

1

1·

2lim

2

ne

e

nn2

1

1·

2lim

2

nen

e

n 2

1

)1(2lim

2

nen

e

n

2

1lim

)1(2 2

El límite del denominador es de la forma 0 , cuando n , y aplicando la regla de L’Hopital será:

22limlim1

lim1lim2

2

2

2

22

1

2

1

n

nn

n eee

enn

n

n

nn

nn

Por tanto 2

0

)( dxe x

nen

e

n

2

1lim

)1(2 2

12

)1(2 22

ee



2.0. Propiedades Fundamentales de la Integral Definida

Con base en la definición de la integral definida este tipo de integrales tiene las siguientes propiedades:

Propiedad 1: Si f es integrable en ba , y si k es un número real arbitrario constante, entonces )( fk es

integrable en ba , , y se verifica que:

dx f(x) k = dx f(x) k

b

a

b

a

Es decir, todo factor constante se puede sacar fuera del signo de la integral definida.

Propiedad 2: Si las funciones f y g son integrables en ba , , entonces la suma y la resta son integrable en ba ,

y se verifica que:

dx g(x) + dx f(x) = dx] g(x) + f(x) [

b

a

b

a

b

a

Es decir la integral definida de una suma algebraica de varias funciones es igual a la suma algebraica de

las integrales de los sumandos.

dx g(x) dx f(x) = dx] g(x) f(x) [

b

a

b

a

b

a

Nota 2: Las propiedades 1 y 2 dadas para el caso en que ba , son válidas también para el caso ba . La

propiedad siguiente es válida sólo cuando ba .

Propiedad 3: Sí f y g son integrables en el intervalo ba , , donde ba , y las funciones f y g satisfacen la

condición )()( xgxf , para toda x en ba , , entonces:

dx g(x) b

a

dx f(x) b

a

Propiedad 4: Sea )(xfy integrable en el intervalo ba , , y sí 0)( xf para toda x en ba , entonces:

0 dx f(x) b

a

Propiedad 5: Para cualquier constante k se verifica que:

b

aabkdxk )·(

Propiedad 6: Si bca y si f es integrable en ca , y en bc , , entonces f es integrable en ba , y se

cumple:

dx f(x) + dx f(x) = dx f(x)

b

c

c

a

b

a



Ejemplo 3: Calcular dx | 2x - x | 2

5

0

Aplicando definición de valor absoluto se tiene que dxxx + dxxx = dx | 2x - x | 5

2

2

0

25

0

)2()2( 22 ,

enseguida se calculan las integrales del lado derecho en forma separada y se obtiene el valor pedido.

Ejercicio 2: Calcular las siguientes integrales definidas:

a)

3

3

dxxx

b)

2

1

2dxxx

Corolario: Dados tres números arbitrarios a, b, c se verifica la siguiente igualdad:

dx f(x) + dx f(x) = dx f(x)

b

c

c

a

b

a

Supuesto que estas tres integrales existan.

Ejemplo 4: De la propiedad 7 se tiene que dx x + dx x = dxx 22

1

21

0

2

0

2 , que la mayoría de la gente cree de

inmediato. Pero también es verdad que dx x + dx x = dx x 2

2

3

2

3

0

2

2

0

, lo que puede parecer

sorprendente. Si desconfía del Corolario, puede evaluar cada una de las integrales anteriores para

verificar que se cumple la igualdad.

Propiedad 7: Si la función f es continua en el intervalo ba , , entonces existe en este intervalo un punto 0x tal que

se verifica la siguiente igualdad:

b

aabxfxf ))·(()( 0

Nota 3: La propiedad 7 se denomina Teorema del Valor Medio para la Integral Definida. Sí despejamos )( 0xf

en la conclusión de la propiedad 6, obtenemos ab

dxxfxf

b

a

)(

)( 0 .

A este número real se le llama Valor Medio o Valor Promedio de la función f en el intervalo ba , .

Definición: Supóngase que la función f es integrable en el intervalo ba , . Entonces, el valor promedio y de la

función )(xfy en el intervalo ba , , está dado por el número real

b

aab

dxxfy )(·1

Ejemplo 5: El Valor Promedio de 2)( xxf sobre el intervalo 2,0 es

3

4

32

1

02

12

0

2

0

32

xdxxy



3.0. El Teorema Fundamental del Cálculo Integral:

El cálculo de las integrales definidas se facilita por el siguiente teorema:

Teorema: Si una función )(xfy es continua sobre un intervalo y )(xF es cualquier antiderivada de )(xf ,

es decir )()(' xfxF , entonces para cualquier punto ax y bx sobre el intervalo ba , :

b

a

dxxf )( )()()( aFbFxFba

Ejemplo 6: Calcular 5)2()3()2( 223

22

3

2

xdxx

Nota 4: De acuerdo con el Teorema Fundamental del cálculo integral, la integral definida puede obtenerse:

1º. Determinando la primitiva CxF )( .

2º. Calculando )()( aFbF .

Nota 5: En la evaluación de la integral definida b

adxxf )( , la constante C de integración desaparece o sea:

F(a) - F(b)C - F(a) - C + F(b) = CxF= dx f(x) bx

ax

b

a

)(

Ejemplo 7: a. Calcular 94)()(3

0 3 3 = x4 - x = dx8x - x3 23232

3

0

b. Calcular 1601624

0

2

3

= = x = dx x 3

4

0

.

c. Calcular

4

02 9x

dxxu

u

du 2

119169

4

0

2 x

Nota 6: Al introducir el concepto de la integral definida b

adxxf )( , hemos supuesto que ba .

Si ab , por definición tenemos a

b

b

adxxfdxxf )()( .

Ejemplo Ilustrativo:

1

5

32 )43( dxxx

5

1

32 )43( dxxx

Si ba , por definición, para toda función f a

adxxf 0)( .

Ejemplo Ilustrativo: 04)53(

2

2

dxxx



Ejemplo 8: Calcular

1

0

32 )4·()31( dxxxx

Solución:

1

0

32

1

0

32 )4)·(961()4·()31( dxxxxxdxxxx

1

0

5432 )362456( dxxxxxx

10

65

5244

453

262

2

xxxxx 65

5244

453

2

)1()1(6)1()1()1(2

2

62524

45

21

20141

Ejemplo 9: Si 583)( 2 xxxf , 86)( xxg , entonces

2),(

2),()(

xxg

xxfxF Calcule dxxF

4

0

)( .

Desarrollo:

dxxF4

0

)( dxxF2

0

)( dxxF4

2

)( dxxx

2

0

2 )583( dxx

4

2

)86(

2

023 54 xxx 4

22 83 xx

0)2·(5)4·(4)8( )2·(8)4·(3)4·(8)16·(3 22

3.1. La Integral Definida de Funciones Simétricas:

Cuando f es continúa en el intervalo aa , , entonces:

1. Sí f es una función par, tal que )()( xfxf , entonces a

adxxf )(

a

dxxf0

)(2 .

2. Sí f es una función impar, tal que )()( xfxf , entonces 0)( a

adxxf .

Ejercicio 3: Calcule las siguientes integrales:

a. Si 24 95)( xxxf , función par, calcular

2

2)( dxxf

b. Si 21

2)(

x

xxf

, función impar, calcular 2

2)( dxxf

Ejercicio 4: a. Sí f es una función continua en todo IR, demuestre que: b

adxxf )(

a

bdxxf )(

b. Sí f es una función tal que IRaf ,0: integrable, demuestre que:

1. a

dxxf0

)( a

dxxaf0

)(

2. a

adxxf

2

)( 2

0)(

a

dxxaf



4.0. La Integral Definida y el Calculo de Áreas

Si construimos la gráfica del integrando )(xfy

entonces, en el caso de que

baxxf ,,0)( , la integral b

adxxf )( ,

será numéricamente igual al área A del llamado

trapecio curvilíneo formado por la curva )(xfy ,

el eje OX, y las rectas verticales de ecuaciones

ax y bx . Por consiguiente, el área A se

calcula mediante la integral b

aR dxxfA )(

Definición Si )(xfy es una función integrable y sí baxxf ,,0)( , entonces el área A de la región bajo

la gráfica de la función f entre las rectas de ecuaciones verticales ax y bx es:

b

aR dxxfA )(

Ejemplo 1: Calcule el área bajo la curva xy 3 , sobre el eje OX, y entre las rectas de ecuaciones 1x y 4x :

1421624

1

1

2

3

=x = dx x 3

4

2u de área.

Ejemplo 2: Calcular el área cerrada por la curva 13 xy , en el

intervalo 3,1 .

14132

3

2

93

2

3

3

13

3

1

3

1

2

3

1

3

1

3

1

xx

dxdxx

dxxA

Al calcular el área A, aplicando Geometría Euclidiana

resulta:

Área de trapecio = 14410·2

2·

2ba

h

Ejercicio 1: Encuentre el área de la región bajo la gráfica de la curva 6 54 3235 xxy , sobre el eje OX y entre las

rectas verticales de ecuaciones 0x y 2x .

Ejercicio 2: Halle el área de la región limitada por x

xxf

2

1

6)(

3

, el eje OX, y las rectas 1x y 3x .

Ejercicio 3: Calcule el área determinada por la curva xxy ln3 2 , el eje OX, y las rectas 1x y 4x



4.1. Calculo de Áreas “Negativas”

Hasta el momento se ha considerado el área de una región

R, para la cual los valores de función en el intervalo ba ,

son no negativos. Supongamos ahora que 0)( xf

para cada bax , . Entonces )( if es un numero

negativo para cada iii xx ,1 ; por lo que se define

el número de unidades cuadradas del área de la región R

limitada por la gráfica de )(xfy , el eje OX, y las rectas

verticales de ecuaciones ax y bx , por el siguiente

limite si este existe:

n

i

iin

xaf

1

)(lim

Lo que es igual a

b

a

dxxf )(

Definición Si baxxf ,,0)( , entonces el área de la región R limitada por la gráfica de )(xfy , el eje

OX, y las rectas verticales de ecuaciones ax y bx , está dado por:

b

aR dxxfA )(

b

adxxf )(

Ejemplo 1: Calcular el área cerrada por la curva 3xy , en el

intervalo 2,1 .

25,44

174

4

1

44

1

04

16

4

10

2

04

40

14

4

2

0

30

1

3

0

1

2

0

33

2

1

3

xx

dxxdxx

dxxdxx

dxxA



4.2. Área entre dos curvas

Definición Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo ba , , tales que )()( xgxf para toda x en

ba , . Sea R la región entre la curva )(xfy y la curva )(xgy para toda x en ba , , entonces el

área A de la R viene dada entonces por:

dx xgxf = A

b

a

R )()(

Ejemplo 1: Sean las funciones 752)( 2 xxxf y 53)( xxg . Determine el área encerrada entre ambas

curvas.

Desarrollo:

Determinemos para que valores de la variable x se verifica que )()( xgxf , resolviendo la ecuación

53752 2 xxx , o bien 062 xx , cuyas soluciones son 2x y 3x , vemos que

7)0( f )0(5 g , luego el área se determina por:

dx xfxg = AR )()(

3

2

dx xxx = )752()53( 2

3

2

dx xx = )2212( 2

3

2

3

2

3

322 ·12

xxx

20273

16 333,51

3

125 2u de area.

Ejemplo 2: Dado el gráfico de las funciones xxxf 3)( 2 y

xxxxg 52)( 23 . Determine:

1. En que puntos se interceptan ambas funciones.

Desarrollo:

Igualando ambas funciones )()( xgxf , se

obtiene la ecuación 082 3 xx que es

equivalente a 0)4·( 2 xx , cuyas soluciones

son 21 x , 02 x y 23 x .

Si 21 x , entonces 101 y , o sea )10,2( .

Si 02 x , entonces 02 y , o sea )0,0( .

Si 23 x , entonces 23 y , o sea )2,2(

2. El área de la región encerrada por la gráfica de ambas funciones.

Desarrollo:

Si 0,2x , entonces )()( xfxg , luego dxxfxgA

0

2

1 )()( .

Si 2,0 x , entonces )()( xgxf , luego dxxgxfA

2

0

2 )()( .

Por tanto dxxfxgA

0

2

1 )()( dxxx

0

2

3 )82(

0

2

24

42

x

x8

dxxgxfA

2

0

2 )()( dxxx

2

0

3 )28(

2

0

42

24

xx 8

Entonces 1621 AAAt 2u de área.



4.3. Calculo de Áreas en términos de la variable dependiente

Algunas regiones se manejan mejor considerando a x como la variable dependiente y a y como la

variable independiente, es decir a x como función de y . Si la región R está limitada por las curvas de

ecuaciones )(yfx , por la derecha y )(ygx , por la izquierda, y por las rectas horizontales de

ecuaciones cy y dy ; donde f y g son funciones continuas en el intervalo dc , y además

)()( ygyf , para dyc , (ver figura 1), entonces su área está dada por:

dy ygyf = A

d

c

R )()(

Si )(yfxR denota la frontera derecha y )(ygxL la frontera izquierda, entonces, como se ilustra

en la figura 2, entonces el área de la región R se calcula por la integral:

dy xx = A LR

d

c

R )(

En este caso un rectángulo típico de aproximación tiene dimensiones )( LR xx y y .

Figura 1 Figura 2

Ejemplo 1. Calcule el área de la región limitada por las gráficas de

012 yx e 05 yx , en términos de la variable y .

Solución:

Se deben de obtener los puntos de intersección entre

ambas curvas, para ello se resuelve el sistema de

ecuaciones asociado:

012 yx

05 yx

Cuyas soluciones son los puntos de coordenadas )3,8(A y )2,3( B . Por tanto debemos de

calcular el área pedida en términos de la variable y , en el intervalo 3,2 , mediante la siguiente

integral:

3

2

dyrectaparabola

3

2

2 )5()1( dyyy

3

2

2 )6( dyyy

3

232

32

6

yyy

3

22

2

27

6

125 83,20 2u de área.



4.4. Problemas Propuestos

Ejercicio 1: Dada la gráfica de la región limitada por la

parábola cuya ecuación es 0222 xy , y por

la recta de ecuación 05 yx .

a. En que puntos se interceptan ambas

curvas.

b. Calcule el área de la región determinada

por ambas curvas en términos de la

variable y.

Ejercicio 2: Sea 2

ln

4)(

2xx

xf definida en el intervalo 3,1 .

a. Verifique que 3,1,0)( xxf

b. Calcule el área bajo la curva en dicho intervalo.

Ejercicio 3: Determine el área entre las funciones

xxxxf 86)( 23 y xxxg 4)( 2 .

Determine:

a. En qué puntos se interceptan ambas funciones.

b. El área de la región determinada entre ambas

funciones.

c. El valor de

4

0

)( dxxf

Ejercicio 4: Sea la región R, limitada por la función cuadrática

xxxf 153)( 2 , y la función lineal

213)( xxg .

Determine:

a. El área de la región R limitada por la recta

y la parábola.

b. El valor El valor de

4

1 )(

)(dx

xf

xg

c. Sea 0)( xf si 21, xxx , calcule el

valor de 2

1

)(

x

x

dxxf

Ejercicio 5: Calcule el área de la región triangular limitada por las rectas 0378:1

yxL ,

043:2

yxL y 0165:3

yxL

Ejercicio 6: Dada las funciones 422435)( xxxxf y 56253)( xxxxg .

a. Determine en que puntos se interceptan ambas funciones.

b. Calcule el área total de la región limitada por ambas curvas.



4.5. Problemas Resueltos

Ejemplo 1: Determine el área entre las funciones 1285)( 23 xxxxf ,

216)( 23 xxxg .

Solución:

Determinemos inicialmente para que valores de la variable x se

verifica que )()( xgxf , resolviendo la ecuación

1285 23 xxx 216 23 xx , se tiene 0982 xx ,

cuyas soluciones son 1x y 9x , además vemos que

12)0( f )0(21 g , por tanto el área se determina a partir

de la siguiente integral:

dx xfxg = AR )()(

9

1

dx xx = 982

9

1

9

1

23

31 94·

xxx

3

14162

3

500 2u de area.

Ejemplo 2: Dada la función 2)( xxf , y la ecuación de la lineal recta

063 yx . Determine:

a. Una integral o suma de integrales, para calcular el área

de la región limitada por las curvas respecto de la variable

x .

b. Una integral o suma de integrales, para calcular el área

de la región limitada por las curvas dadas respecto de la

variable y.

Solución parte a:

Si 2)( xxf , entonces por definición de valor absoluto tendremos lo siguiente:

2)( xxf

2)2(

22

xsix

xsix

Además la ecuación particular de la recta será 231 xy . La variable de integración para el cálculo del

área varia entre 0x y 6x . Considerando el cambio de la función f para 2x , por lo tanto el área

se obtiene calculando la siguiente suma de integrales en los intervalos 2,0 y 6,2 :

6

2

31

2

0

31 )2()2()2()2( dxxxdxxxA

Solución parte b:

Coma la función 2)( xxf , la hemos considerado como xy 2 si 2x , y como 2 xy si

2x , entonces despejando la variable x de cada una de estas igualdades y de la ecuación de la línea

recta, se tiene que yx 2 , yx 2 , 63 yx . Estas tres ecuaciones limitan la región de

integración con respecto a la variable y en el intervalo 4,0 , para los subintervalos 2,0 y 4,2 , y el

área se obtiene calculando la siguiente suma de integrales:

4

2

2

0

)63()2()2()2( dyyydyyyA



Ejemplo 3: Dada la región R del plano XY encerrada por la función cuadrática 7522)( xxxf , y la

función lineal 53)( xxg .

a) Determine los límites de integración 1x y 2x para el cálculo del área de la región R como

una integral con respecto a la variable x . No calcule dicha integral.

Solución:

Igualando ambas funciones y resolviendo la ecuación asociada se tiene:

53 x 7522 xx

012222 xx

062 xx

0)3)·(2( xx

303

202

xx

xx

b) Calcule el área de la región R limitada por la recta y la parábola respecto a la variable x .

Solución:

2

3

)()( dxxgxfA

2

3

2 )53()752( dxxxx

2

3

2 1222 dxxx

2

3

23

32 12

xxx 667,41

3

125)27(

3

44 2u de área

Ejemplo 4: Dada las funciones 752)( 2 xxxf , 53)( xxg . Determine el área encerrada entre

ambas curvas.

Solución:

Calculemos inicialmente para qué valores de la variable x se verifica que )()( xgxf , resolviendo la

ecuación 53752 2 xxx , o bien 062 xx , cuyas soluciones son 2x y 3x , vemos

que 7)0( f )0(5 g , por tanto el área se determina a partir de la siguiente integral:

dx xfxg = AR )()(

3

2

dx xxx = )752()53( 2

3

2

dx xx = )2212( 2

3

2

3

2

3

322 ·12

xxx

20273

16

3

125 2u de área.



5.0. Aplicaciones de cálculo de Áreas y Áreas entre curvas:

1. Calcule el área de la región limitada por las curvas 121 xy , 3

11

3

2·2 xy e 1723 xy .

2. Calcule el área de la región contenida en el primer cuadrante, y limitada por las curvas 8221 xxy ,

422 xy . (Resp.: Área total es

3125

2u de área).

3. Determine el área de la región limitada por las siguientes curvas 41634)( xxxxf y

48264)( xxxxg . (Resp.: Área total es 8 2u de área).

4. Calcule el área de la región situada en el segundo cuadrante y limitada por los ejes y las curvas de

ecuaciones 4

1

xy e 4 xy . (Resp.: Área total es 2ln2

21

2u de área).

5. Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función 2/2)( xexxf , el eje OX y la

recta vertical 4x . (Resp.: Área total es 2248 e 2u de área).

6. Calcule el área de la región acotada por el eje horizontal, la gráfica de la curva 21

249·8

xxy y la

recta vertical 2x . (Resp.: Área total es 4 2u de área).

7. Sea 415)( 54 xxxf . Encuentre el área de la región bajo la gráfica de f, sobre el eje OX y entre

0x y 2x . (Resp.: Área total es 416 2u de área).

8. Determine el valor de la constante m de tal forma que la región sobre la recta de ecuación mxy , y

bajo la parábola de ecuación 22 xxy , tenga un área de 36 unidades cuadradas. (Resp.: 6m )

9. Hallar el área limitada por la curva 222 xxy , su tangente en el punto )5,3( y por el eje oy .

10. Determine el área bajo la curva 242 xxy , el eje ox y entre las dos ordenadas mínimas.

11. Dada la función Cuadrática 26)( xxxf , y la función lineal 72)( xxg . Determine el área de la

región determinada por la recta y la parábola. (Resp.: 36 2u de área)

12. Dada las siguientes funciones reales 572)( 2 xxxf , 113)( xxg . Determine: El área de la

región limitada por la recta y la parábola. (Resp.: Área total es 364

2u de área.)

13. Dada las siguientes funciones 1)(3 xxf , xxg 1)( . Determine: El área de la región limitada por

ambas funciones.

14. Calcule el área de la región encerrada por las curvas: 21 1 xy e 3

2 xxy . (Resp.: 2

34 uAR )

15. Calcule el área limitada por las curvas 3 yx y 32 yx . (Resp.: Área total es 61

2u de área.)

16. El área limitada por la curva 2xy , y la recta 4y , está dividida en dos porciones iguales por la

recta Cy con C constante. Determine el valor de C .



6.0. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Se inicia el estudio de este teorema considerando integrales definidas que tienen una variable como límite

superior de integración, el cual permitirá establecer una conexión entre el cálculo diferencia y el cálculo

integral.

Sea f una función continua en un intervalo cerrado ba , . Entonces el valor de la integral definida

b

adxxf )( depende sólo de la función f y de los números a y b, y no del símbolo x, utilizado aquí

como la variable independiente. Se pudo haber empleado cualquier otro símbolo en lugar de x.

Ahora considera que el símbolo x representa un número del intervalo cerrado ba , . Entonces, como f es

continua en ba , , entonces f es continua en xa , . En consecuencia, por el teorema 1, la integral

x

adttf )( existe. Además, esta integral definida es un número único cuyo valor depende de x. Por

tanto, x

adttf )( define a una función F que tiene como dominio al intervalo ba , y cuyo valor de

función en cualquier número x de ba , esta dado por:

x

adttfxF )()( (1)

Si en (1), 0)( tf para todos los valores de

bat , , entonces el valor de la función

)(xF puede interpretarse geométricamente

como la medida del área de la región R limitada

por la gráfica de la función )(tfy , el eje

horizontal Ot y las rectas verticales de

ecuaciones at y bt . Se observa que

0)()( a

adttfaF , como se definió

anteriormente.

Teorema: Sea f una función continua en un intervalo ba , , si la función F está definida por

x

adttfxF )()( , para toda x en ba , , entonces F es una antiderivada de f en ba , .

Ahora se establecerá y demostrara el segundo teorema fundamental del cálculo, que proporciona la

derivada de una función considerada como una integral definida que tiene límite superior variable.

Teorema: Sea f una función continua en el intervalo ba , . Sí a x b, entonces para toda x en ba , :

)()( xfdttfDx

ax

A veces se interpreta este teorema fundamental en el sentido de que la diferenciación y la integración son

procesos inversos. Lo anterior se escribe en la forma )()( xfdttfdx

d x

a

, es decir, si integramos

primero la función f (con límite superior de integración variable) y se deriva con respecto a x, el

resultado es otra vez la función f . Por la tanto, la diferenciación “cancela” el efecto de la integración.



Nota: Esto debe aprenderse con palabras: La derivada de una integral definida con respecto a su límite

superior es él integrando en el límite superior.

Demostración: Considere dos números x y hx en ba , , ver gráfica adjunta, entonces por (1)

x

adttfxF )()(

y

hx

adttfhxF )()(

De modo que )()( xFhxF x

a

hx

adttfdttf )()(

hx

x

a

x

hx

adttfdttfdttf )()()( ,

por tanto

)()( xFhxF

hx

xdttf )( (2)

Por teorema del valor medio para integrales, existe algún número c en el intervalo hxx , tal que:

hcfxhxcfdttfhx

x

)()))((()(

Por tanto hcfxFhxF )()()( , de donde )()()(

cfh

xFhxF

, al tomar el límite

cuando h tiende a 0, a ambos lados de esta última igualdad, tendremos:

)(lim)()(

lim00

cfh

xFhxF

hh

(3)

El límite del lado izquierdo de (3) es )(' xF . Para determinar el límite del lado derecho )(lim0

cfh

, se

debe de considerar que hxxc , y además que xxh

)(lim0

y xhxh

)(lim0

, se deduce

que xch

)(lim0

. Así, se tiene que )(lim)(lim0

cfcfxch

, y debido a que f es continua en x , se

tiene que )()(lim xfcfxc

, por tanto )()(lim0

xfcfh

, y de la ec. (3) se obtiene que )()(' xfxF .

Una consecuencia teórica de este teorema es que toda función continua f tiene una antiderivada F

dada por x

adttfxF )()( . Sin embargo, este hecho no es útil para obtener una formula regular para

alguna antiderivada particular.

Observación: Este teorema permite escribir nuestro primer teorema fundamental de la forma:

x

a

dxxf )( )()()(' aFxFdxxFx

a

Si suponemos que )(' xF es continua.



Ejemplo: Encuentre

x

x dttD1

2 de dos maneras:

Solución:

Primero, hagámoslo de la manera difícil (es decir, calculando la integral y derivando después)

3

1

33

3

11

32

xtdtt

xx

Por lo tanto:

23

1

2

3

1

3x

x

dx

ddtt

dx

dx

Hagámoslo ahora de la manera fácil. Por el teorema fundamental:

2

1

2 xdttdx

dx

Ejemplo: Encuentre

xx

dttdx

d2

3cos

Solución: Como xxu 2, y considerando la regla de la se obtiene:

xx

dttdx

d2

3cos

dx

dudtt

du

d u

3 cos

De donde udttdu

duf

u

coscos)(3

y 12 x

dx

du, por tanto, lo pedido será:

xx

dttdx

d2

3cos )12(cos xt )cos()12( 2 xxx

Ejemplo: Encuentre

5

2

2 2x

x dttD

Solución: Primero, intercambiamos los límites y después consideramos xu 2 , aplicando regla de la

cadena y el teorema:

x

xdtt

dx

ddtt

dx

d 2

5

25

2

2 22

dx

dudtt

du

d u

5

2 2

)2(2)( 2 u

)2(2)2( 2 x

242 2 x



7.0. Calcule las siguientes integrales definidas:

1. 4)dx-(2x

1

0

2. 2)dx+x( 2

2

0

3. 1)dx+1)(x-(2x

2

1

4. 2)dx+1)(3x-(x

2

1

5.

2

21dxx

3

2

5)1( 6. dx )3-(x4

3

2

7.

6

17 1)dx-x+x( 2

2

1

8. 4)dx+3x-x(2 2

2

1

9.

12

5-1)dx-x+x( 23

1

0

10. = dx 1 + x x

3 = x

0 = x

11.

6

123dx

x

3 - 2x

22

1

12. dx x

)1-(2x

22

1

13.

3

14dx)1+(x

1/23

0

14. dx e x 2x

2

o

15.

5

33dx)1 - (3x

2/33

0

6.

2

1

3

21 dx

x

17. 4

dx

2

x-1

/2-12

0

18. dx 1+x

x1

0

19. 3 -

1+2x

dx 2x

1

0

ln1 20. dx 1)-(xx

2-x

2

23

2

21. 31 dx -x x 2

2

1

22. 9+x

dx x

2

4

0

23.

2

1-dx x )1-x( 23/1-3

1

0

24. x)+(1

dx x

2/3

7

o

25.

16

2

2

x

dxx

3

o

26. dx x-x+x 5/6-2/3-1/2

64

1

27. dx 2+x3+x4+x5 234

1

o

28. = dx x x

e = x

1 = x

ln

29. )1( e-

2

1 = dx e x 1-1-x

1

0

2

30. e 3

dx 2

3-2x

2

1

31.

4

27 dx x - x 1/3-1/3

8

1

32. dx x

x

2

e

1

ln

33. a

4

47 = )dxx+ax3+a( 4323

2a

a

34. dx x-a 2

a

o

35. dx x-x 2

4

1

36. dx 1+x

x32

0

37.

x+1

dx x

2

1

o

38. x x

dx

e

e

2

ln



8.0. Aplicaciones:

1. Sí

21,52

1,3

10,2

)(

2

xsix

xsi

xsixx

xf Calcule: 2

0

dxxf

2. Sí

4

2

7)(34

1

4)( dxxfydxxf , calcular

1

2

)( dxxf . (Resp.: -5)

3. Dada la integral definida 3

0

2 )523( dxxx encuentre números que satisfagan la conclusión del

teorema del valor medio para integrales.

4. Suponga que C(x) cientos de dólares es el costo total de la producción de 10x unidades de cierta

mercancía, y C (x) = x2. Encuentre el costo total promedio cuando el número de unidades producidas

toma valores de 0 a 20.

5. Un comerciante posee una cuenta corriente, donde la cantidad depositada x días después de la apertura

de la cuenta esta dada por 4562

4

1

xxxD . Determine:

a) El ciclo de la cuenta corriente, o sea valores de x, D(x) = 0.

b) Cuál es el saldo promedio de la cuenta corriente en los últimos 15 días de su ciclo.

6. La cantidad de objetos en inventario x días después de terminado el stock, esta dado por:

7

27

xxxI

Determine: a) El ciclo del inventario, o sea valores de x para 0)( xI .

b) El inventario promedio los últimos 10 días del ciclo

10.1. Aplicaciones a la Estadística:

1. Un centro de computación está en servicio 12 horas al día, y las reparaciones, excepto los casos de

urgencia, se programan para las siguientes 12 horas. La función densidad de probabilidad para el número de

horas en que el centro opera realmente, esta dada por:

1201152

2

24

1 xsi

xxf

a) Determine la probabilidad de que la instalación opere entre 10 y 12 horas al día.

b) Calcule la probabilidad de que el centro opere menos de 6 horas al día

NOTA Se dice que f es función densidad de probabilidad cuando tiene las siguientes propiedades:

1. 0)( xf .

2. 1)( dxxf

b

a

Si ba la integral dxxf

)( es la probabilidad de que el valor de x esté en el intervalo

cerrado ,



I. Bibliografía básica de referencia.

[ 1 ] Cálculo de una variable: Conceptos y contextos. Cuarta Edición. James Stewart.

Cengage Learning, Mexico, 2010.

[ 2 ] Cálculo de una variable, trascendentes tempranas, Dennis G. Zill, Warren S. Wright.

Ed Mc-Graw Hill, 4ta.

Ed., 2011.

[ 3 ] Cálculo con Geometría Analítica. Edwards & Penney. Ed. Prentice Hall, 4ª Ed., 1997.

[ 4 ] Precálculo. Stewart J./Redlin L./Watson S. Editorial Thomson, 3ª Ed., 2001.

[ 5 ] Calculo, Octava edición. Edwin J. Purcell – D Varberg – S. E. Rigdon. Pearson

Educación. Mexico, 2001.

[ 6 ] Calculo una variable. Decimosegunda edición. George B. Thomas, Jr. Pearson

Educación, México, 2008.

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