KALKULUS 2

“Integral Tentu”

Disusun Oleh :

Nama: Kelas /

NPM :

1. Ahmad Febriandi 14-A2 /

14111100088

2. Yose Kurniawan 14-A2 / 14111100056

Jalan PGRI I Sonosewu nomor 117 Yogyakarta 55182

Telepon : (0274) 376808 fax : (0274) 376808

Website : http://www.upy.ac.id

A. Pengertian Integral Tentu

Untuk memahami tentang integral tentu, terlebih

dahulu mempelajari tentang luas bidang pada koordinat

Kartesius. Cara yang sederhana untuk menentukan luas

bidang yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x = x1 dan

x = x2 terlebih dahulu harus membagi bidang tersebut

menjadi beberapa bagian. Semakin banyak pembagian bidang

tersebut akan semakin akurat pula hasilnya.

Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang

dapat berupa Gambar 8.1(a) atau (b). Pada analisa berikut

bagilah bidang seperti Gambar 8.1(a). Misal terdapat

suatu bidang R yang terletak pada koordinat kartesius

yang dibatasi oleh garis x=a, garis x=b, sumbu x dan

grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang

tertutup [a,b].

Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan

luas A yang mendekati harga sebenarnya adalah dengan

jalan membagi bidang tersebut menjadi beberapa persegi

panjang yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar

8.1(a)).

Misal luas seluruh persegi panjang pada Gambar

8.1(a) adalah Ai. Jika lebar setiap persegi panjang

sangat kecil, maka luas Ai ≈ A. Jika selang tertutup

[a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan lebar ∆x maka

akan didapat ∆x = (b−a)n

Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang x0 ,

x1 , x2 , … xn dengan x0 = a dan xn = b, maka

Xk−Xk−1=(b−a)n

=∆x untuk k = 1, 2, 3, ..., n

(8.1)

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut :

Sehingga, x0 = a ; x1 = a + Dx ; x2 = a + 2Dx; x3 = a + 3Dx

; xk-1 = a + (k-1)Dx ;

xk = a + kDx ; xn = a + nDx

Luas persegi panjang adalah

Ai = f(u1) Dx + f(u2) Dx + … + f(uk) Dx + f(un) Dx

Jika menggunakan notasi penjumlahan “S”, maka

Ai=∑k=1

nf(Uk)∆x (8.2)

Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x0

= a dan

xn = b sama dengan luas persegi panjang Ai bila Dx sangat

kecil

(atau n sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis,

Ai=lim∆x→0

∑k=1

nf(Uk)∆x

Definisinya adalah misalnya terdapat suatu fungsi f

yang kontinu pada selang

tertutup [a,b]. Integral tentu fungsi f dari a ke b

didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau,

∫a

b

f (x )dx=lim∆x→0

∑k=1

nf(Uk)∆x

Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat :

∆x=(b−a)n

=Uk−ak

Uk=a+k∆x

∫a

b

f (x )dx=lim∆x→0

∑k=1

nf (Uk )∆x

B. Sifat-sifat Integral Tentu

Intergral tentu memiliki sifat utama dan juga memiliki

sifat-sifat lainnya. Sifat utama dari integral tentu

adalah sebagai berikut :

1. F(x) adalah anti turunan f(x)

Maksud dari F(x) adalah anti turunan f(x) adalah

sebagai berikut,

∫a

b

f (x )dx=F (x )¿ab=F (b)−F(a)

Contoh soal dan pengerjaannya:

1. ∫1

3

4dx=4 (3−1)=8

2. ∫0

2

2xdx=x2 ¿02=22−02=4

3. ∫1

3

4xdx=2x2 ¿13=2.32−2.12=16

2. Jika a > b, maka ∫a

b

f (x )dx=−∫b

a

f (x )dx

Contoh soal dan pengerjaannya :

1. ∫3

1

4dx=−(4 (1−3 ))=8

2. ∫2

0

2xdx=−∫0

2

2xdx=−(x¿¿2¿02)=−(22−02 )=−4¿

3. ∫3

1

4xdx=−∫1

3

2xdx=−(2x¿¿2¿13)=−(2.3¿¿2−2.12)=−16¿¿

3. Jika f(a) ada (sama) maka ∫a

a

f (x )dx=0

Contoh soal dan pengerjaannya :

1. ∫3

3

4dx=¿0¿

2. ∫2

2

2xdx=x2 ¿22=22−22=0

3. ∫1

1

4xdx=2x2 ¿11=2.12−2.12=0

4. Jika c adalah bilangan riil, maka ∫a

b

cdx=c(b−a)

Contoh soal dan pengerjaannya :

1. ∫1

3

4dx=¿4 (3−1)=8¿

2. ∫5

7 12dx=¿

12

(7−5)=1¿

3. ∫2

4

√2dx=¿√2 (4−2 )=2√2¿

5. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah

sembarang bilagan riil, maka cf terintegralkan pada

[a,b]

∫a

b

cf(x)dx=c∫a

b

f (x )dx

Contoh soal dan pengerjaannya :

1. ∫1

2 144dx=1

4∫1

2

4dx=144 (3−1 )=2

2. ∫5

7 12 2xdx=

12∫5

7

2xdx=¿12 (x2¿5

7)=12

(72−52 )=12¿

3. ∫2

4

√24xdx=√2∫2

4

4xdx=¿ √2 (2x2¿24)=√2 (2.42−2.22 )=24√2¿

6. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b], maka f+g dan

f-g juga terintegralkan pada [a,b]

∫a

b

[f (x )+g (x )]dx=∫a

b

f (x )dx+∫a

b

g (x)dx

∫a

b

[f (x )−g (x ) ]dx=∫a

b

f (x )dx−∫a

b

g (x)dx

Contoh soal dan pengerjaannya :

1. ∫1

2

[2+4 ]dx=∫1

2

2dx+∫1

2

4dx=2 (2−1 )+4 (2−1)=6

2.

∫1

2

[2x+4x]dx=∫1

2

2xdx+∫1

2

4xdx=(x¿¿2 ¿12)+(2x¿¿2¿1

2)=(22−12¿¿)+(2.22−2.12)=3+6=9¿¿¿¿

3.

∫1

2

[4x−2x ]dx=∫1

2

4xdx−∫1

2

2xdx=(2x¿¿2 ¿12)−(x2 ¿12)=(2.22−2.12 )−(22−12¿¿)=6−3=3¿¿¿

7. Jika a < c < b dan f(x) terintegralkan pada [a,c]

dan [c,b] maka f(x) terintegralkan pada [a,b]

∫a

b

f (x )dx=∫a

c

f (x )dx+∫c

b

f (x )dx

1.

∫1

3

2xdx=∫1

2

2xdx+∫2

3

2xdx=(x¿¿2 ¿12)+(x¿¿2 ¿2

3)=(22−12 )+(32−22 )=3+5=8¿¿

2. ∫a

b

f (x )dx=∫a

c

f (x )dx+∫c

b

f (x )dx

3. ∫a

b

f (x )dx=∫a

c

f (x )dx+∫c

b

f (x )dx

C. Luas Bidang

Secara umum bidang yang berada pada koordinat

Kartesius dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = g(x), x1 = a

dan x2 = b.

Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada

Gambar 8.3. luas daerahnya adalah

∫a

b

[f (x )dx−g (x ) ]dx

Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah

bidang seperti yang terlihat pada Gambar 8.4, yaitu

y

0 x1=aGambar 8.3

bidang yang dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = 0, x1 = a

dan x2 = b. Luas bidang adalah ∫a

b

f (x )dx

y

0 x1= aGambar 8.4

Contoh soal untuk menentukan luas bidang menggunakan

integral tentu adalah sebagai berikut :

1. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh

x2, 14x2,x=1danx=3

2. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh

x2+1,14x2+4,x=0danx=3

Penyelesaiannya :

1.

x2

¼ x2

y

x0 x = 3x = 1

∫a

b

[f (x )dx−g (x ) ]dx=∫1

3

(x¿¿2−14

¿x2)dx¿¿

¿∫1

3 34x2=

34∫1

3

x2dx

¿34 (13x3)¿13=1

4(27−1)=13

2

2.

x=2

x=30 x

y y= x

2 +1

y = ¼x

2 +4

D. Volume dan luas kulit benda putar

Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu

x, maka akan terbentuk suatu benda putar yang mempunyai

volume dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga

diputar mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5

diperlihatkan suatu fungsi f(x) yang diputar mengelilingi

sumbu x. Akibatnya akan terbentuk suatu benda putar

seperti Gambar 8.5 b.

Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara

menganalisa elemen tipis yang mempunyai ketebalan Dx.

f(x)

Luas kulit elemen (DA) = 2p [f(xi)] Dx , luas kulit

benda putar (a)

Jadi persamaan untuk menentukan luas kulit benda putarnya

adalah

A=∫a

b

2πf (x)dx

Volume elemen (DV) = p[f(x)]2 .Dx , dan volume benda putar

(V)

Jadi volume benda putar adalah V=∫a

b

¿¿

Dxxi

f(x)

y

x0

x1=a xn=b

(b)

Gambar 8.5

Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan

terbentuk bangun seperti Gambar 8.6 berikut.

Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas

kulit benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y

adalah A=∫a

b

2f(y)dy

Sedangkan volumenya adalah V=∫a

b

¿¿

Contoh soal dan pengerjaannya :

1. Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y

= ¼ x3

Diputar mengelilingi :

a. Sumbu x mulai dari x = 1 sampai x = 3

b. Sumbu y mulai dari y = 1 sampai y = 2

Penyelesaian :

Grafik y = ¼ x3

y2 =b

y

x0

f(y)y1=a

Gambar 8.6

a) Perputaran mengelilingi sumbu x dari x = 1 sampai

x = 3

y

0

Luas Kulit :

y

0x=1

Volume Benda Putar :

b) Perputaran mengelilingi sumbu y dari y = 1 sampai

y = 2

DAFTAR PUSTAKA

http://www.slideshare.net/lukvhi/integral-tentu-dan-penerapannya