KALKULUS 2
“Integral Tentu”
Disusun Oleh :
Nama: Kelas /
NPM :
1. Ahmad Febriandi 14-A2 /
14111100088
2. Yose Kurniawan 14-A2 / 14111100056
Jalan PGRI I Sonosewu nomor 117 Yogyakarta 55182
Telepon : (0274) 376808 fax : (0274) 376808
Website : http://www.upy.ac.id
A. Pengertian Integral Tentu
Untuk memahami tentang integral tentu, terlebih
dahulu mempelajari tentang luas bidang pada koordinat
Kartesius. Cara yang sederhana untuk menentukan luas
bidang yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, x = x1 dan
x = x2 terlebih dahulu harus membagi bidang tersebut
menjadi beberapa bagian. Semakin banyak pembagian bidang
tersebut akan semakin akurat pula hasilnya.
Pembagian bidang menjadi sejumlah n persegi panjang
dapat berupa Gambar 8.1(a) atau (b). Pada analisa berikut
bagilah bidang seperti Gambar 8.1(a). Misal terdapat
suatu bidang R yang terletak pada koordinat kartesius
yang dibatasi oleh garis x=a, garis x=b, sumbu x dan
grafik f yang kontinu dan tak negatif pada selang
tertutup [a,b].
Jika luas bidang R adalah A, maka untuk menentukan
luas A yang mendekati harga sebenarnya adalah dengan
jalan membagi bidang tersebut menjadi beberapa persegi
panjang yang mempunyai lebar yang sama (lihat Gambar
8.1(a)).
Misal luas seluruh persegi panjang pada Gambar
8.1(a) adalah Ai. Jika lebar setiap persegi panjang
sangat kecil, maka luas Ai ≈ A. Jika selang tertutup
[a,b] dibagi menjadi n sub-selang dengan lebar ∆x maka
akan didapat ∆x = (b−a)n
Selanjutnya dengan memilih batasan sub-selang x0 ,
x1 , x2 , … xn dengan x0 = a dan xn = b, maka
Xk−Xk−1=(b−a)n
=∆x untuk k = 1, 2, 3, ..., n
(8.1)
Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.2 berikut :
Sehingga, x0 = a ; x1 = a + Dx ; x2 = a + 2Dx; x3 = a + 3Dx
; xk-1 = a + (k-1)Dx ;
xk = a + kDx ; xn = a + nDx
Luas persegi panjang adalah
Ai = f(u1) Dx + f(u2) Dx + … + f(uk) Dx + f(un) Dx
Jika menggunakan notasi penjumlahan “S”, maka
Ai=∑k=1
nf(Uk)∆x (8.2)
Luas bidang (A) yang dibatasi oleh f(x), sumbu x, x0
= a dan
xn = b sama dengan luas persegi panjang Ai bila Dx sangat
kecil
(atau n sangat besar). Dalam bentuk rumus dapat ditulis,
Ai=lim∆x→0
∑k=1
nf(Uk)∆x
Definisinya adalah misalnya terdapat suatu fungsi f
yang kontinu pada selang
tertutup [a,b]. Integral tentu fungsi f dari a ke b
didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann atau,
∫a
b
f (x )dx=lim∆x→0
∑k=1
nf(Uk)∆x
Dari Gambar 8.2 dan persamaan 8.1 didapat :
∆x=(b−a)n
=Uk−ak
Uk=a+k∆x
∫a
b
f (x )dx=lim∆x→0
∑k=1
nf (Uk )∆x
B. Sifat-sifat Integral Tentu
Intergral tentu memiliki sifat utama dan juga memiliki
sifat-sifat lainnya. Sifat utama dari integral tentu
adalah sebagai berikut :
1. F(x) adalah anti turunan f(x)
Maksud dari F(x) adalah anti turunan f(x) adalah
sebagai berikut,
∫a
b
f (x )dx=F (x )¿ab=F (b)−F(a)
Contoh soal dan pengerjaannya:
1. ∫1
3
4dx=4 (3−1)=8
2. ∫0
2
2xdx=x2 ¿02=22−02=4
3. ∫1
3
4xdx=2x2 ¿13=2.32−2.12=16
2. Jika a > b, maka ∫a
b
f (x )dx=−∫b
a
f (x )dx
Contoh soal dan pengerjaannya :
1. ∫3
1
4dx=−(4 (1−3 ))=8
2. ∫2
0
2xdx=−∫0
2
2xdx=−(x¿¿2¿02)=−(22−02 )=−4¿
3. ∫3
1
4xdx=−∫1
3
2xdx=−(2x¿¿2¿13)=−(2.3¿¿2−2.12)=−16¿¿
3. Jika f(a) ada (sama) maka ∫a
a
f (x )dx=0
Contoh soal dan pengerjaannya :
1. ∫3
3
4dx=¿0¿
2. ∫2
2
2xdx=x2 ¿22=22−22=0
3. ∫1
1
4xdx=2x2 ¿11=2.12−2.12=0
4. Jika c adalah bilangan riil, maka ∫a
b
cdx=c(b−a)
Contoh soal dan pengerjaannya :
1. ∫1
3
4dx=¿4 (3−1)=8¿
2. ∫5
7 12dx=¿
12
(7−5)=1¿
3. ∫2
4
√2dx=¿√2 (4−2 )=2√2¿
5. Jika f terintegralkan pada [a,b] dan c adalah
sembarang bilagan riil, maka cf terintegralkan pada
[a,b]
∫a
b
cf(x)dx=c∫a
b
f (x )dx
Contoh soal dan pengerjaannya :
1. ∫1
2 144dx=1
4∫1
2
4dx=144 (3−1 )=2
2. ∫5
7 12 2xdx=
12∫5
7
2xdx=¿12 (x2¿5
7)=12
(72−52 )=12¿
3. ∫2
4
√24xdx=√2∫2
4
4xdx=¿ √2 (2x2¿24)=√2 (2.42−2.22 )=24√2¿
6. Jika f dan g terintegralkan pada [a,b], maka f+g dan
f-g juga terintegralkan pada [a,b]
∫a
b
[f (x )+g (x )]dx=∫a
b
f (x )dx+∫a
b
g (x)dx
∫a
b
[f (x )−g (x ) ]dx=∫a
b
f (x )dx−∫a
b
g (x)dx
Contoh soal dan pengerjaannya :
1. ∫1
2
[2+4 ]dx=∫1
2
2dx+∫1
2
4dx=2 (2−1 )+4 (2−1)=6
2.
∫1
2
[2x+4x]dx=∫1
2
2xdx+∫1
2
4xdx=(x¿¿2 ¿12)+(2x¿¿2¿1
2)=(22−12¿¿)+(2.22−2.12)=3+6=9¿¿¿¿
3.
∫1
2
[4x−2x ]dx=∫1
2
4xdx−∫1
2
2xdx=(2x¿¿2 ¿12)−(x2 ¿12)=(2.22−2.12 )−(22−12¿¿)=6−3=3¿¿¿
7. Jika a < c < b dan f(x) terintegralkan pada [a,c]
dan [c,b] maka f(x) terintegralkan pada [a,b]
∫a
b
f (x )dx=∫a
c
f (x )dx+∫c
b
f (x )dx
1.
∫1
3
2xdx=∫1
2
2xdx+∫2
3
2xdx=(x¿¿2 ¿12)+(x¿¿2 ¿2
3)=(22−12 )+(32−22 )=3+5=8¿¿
2. ∫a
b
f (x )dx=∫a
c
f (x )dx+∫c
b
f (x )dx
3. ∫a
b
f (x )dx=∫a
c
f (x )dx+∫c
b
f (x )dx
C. Luas Bidang
Secara umum bidang yang berada pada koordinat
Kartesius dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = g(x), x1 = a
dan x2 = b.
Bidang tersebut ditunjukkan oleh bidang yang diarsir pada
Gambar 8.3. luas daerahnya adalah
∫a
b
[f (x )dx−g (x ) ]dx
Bentuk khusus dari bidang pada Gambar 8.3 adalah
bidang seperti yang terlihat pada Gambar 8.4, yaitu
y
0 x1=aGambar 8.3
bidang yang dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = 0, x1 = a
dan x2 = b. Luas bidang adalah ∫a
b
f (x )dx
y
0 x1= aGambar 8.4
Contoh soal untuk menentukan luas bidang menggunakan
integral tentu adalah sebagai berikut :
1. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh
x2, 14x2,x=1danx=3
2. Tentukan luas bidang yang dibatasi oleh
x2+1,14x2+4,x=0danx=3
Penyelesaiannya :
1.
∫a
b
[f (x )dx−g (x ) ]dx=∫1
3
(x¿¿2−14
¿x2)dx¿¿
¿∫1
3 34x2=
34∫1
3
x2dx
¿34 (13x3)¿13=1
4(27−1)=13
2
2.
D. Volume dan luas kulit benda putar
Jika suatu grafik fungsi diputar mengelilingi sumbu
x, maka akan terbentuk suatu benda putar yang mempunyai
volume dan luas kulit tertentu. Grafik fungsi dapat juga
diputar mengelilingi sumbu y. Pada Gambar 8.5
diperlihatkan suatu fungsi f(x) yang diputar mengelilingi
sumbu x. Akibatnya akan terbentuk suatu benda putar
seperti Gambar 8.5 b.
Volume benda putar dapat ditentukan dengan cara
menganalisa elemen tipis yang mempunyai ketebalan Dx.
f(x)
Luas kulit elemen (DA) = 2p [f(xi)] Dx , luas kulit
benda putar (a)
Jadi persamaan untuk menentukan luas kulit benda putarnya
adalah
A=∫a
b
2πf (x)dx
Volume elemen (DV) = p[f(x)]2 .Dx , dan volume benda putar
(V)
Jadi volume benda putar adalah V=∫a
b
¿¿
Dxxi
f(x)
y
x0
x1=a xn=b
(b)
Gambar 8.5
Jika f(x) diputar mengelilingi sumbu y, maka akan
terbentuk bangun seperti Gambar 8.6 berikut.
Dengan cara yang sama seperti sebelumnya, maka luas
kulit benda putar yang diputar mengelilingi sumbu y
adalah A=∫a
b
2f(y)dy
Sedangkan volumenya adalah V=∫a
b
¿¿
Contoh soal dan pengerjaannya :
1. Tentukan luas kulit dan volume benda putar jika y
= ¼ x3
Diputar mengelilingi :
a. Sumbu x mulai dari x = 1 sampai x = 3
b. Sumbu y mulai dari y = 1 sampai y = 2
Penyelesaian :
Grafik y = ¼ x3
y2 =b
y
x0
f(y)y1=a
Gambar 8.6
Top Related