Aplicación de la integral definida, punto medio de una función y longitud de arco

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES

PARA HALLAR LA LONGITUD DE

ARCO, TENSIÓN MÁXIMA, EL

ÁREA BAJO LA CURVA Y EL

VALOR MEDIO DEL GASTO ANUAL

EN LAS TORRES ELÉCTRICAS DE

ALTA TENSIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA

Departamento de ciencias

CALCULO II

Autores:

Bobadilla Atao, Leo Eduardo1.

Docente:

Alegre Huertas, Jesús

INGENIERÍA AMBIENTAL | Universidad Privada del Norte

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES PARA HALLAR LALONGITUD DE ARCO, TENSIÓN MÁXIMA, EL ÁREABAJO LA CURVA Y EL VALOR MEDIO DEL GASTOANUAL EN LAS TORRES ELÉCTRICAS DE ALTA

TENSIÓN

pág. 2

Lima -

DEDICATORIA:

En primer lugar, a nuestros padrespor habernos brindado su apoyo entodo momento; por los valores quenos han enseñado que nos hanpermitido ser personas de bien,


Índice

Capítulo I: Introducción.......................................51. Realidad problemática.....................................5

2. Formulación del problema..................................53. Justificación.............................................5

4. Objetivos.................................................64.1. Objetivo general:......................................6

4.2. Objetivo específico:...................................6Capítulo II: Marco teórico.....................................6

5. Antecedentes..............................................66. Bases teóricas............................................7

6.1. Torre eléctrica:.......................................76.2. Calculo Integral:......................................7

6.3. Distrito de Oyón:......................................77. Marco conceptual..........................................8

7.1. Catenaria:.............................................87.2. Longitud de arco:......................................8

7.3. Tensión máxima:........................................97.4. Área bajo la curva:....................................9

7.5. Valor promedio de una función:........................107.6. Torre eléctrica de alta tensión:......................10

Capítulo III: Métodos y desarrollo del modelo.................118. Tipo de investigación....................................11

pág. 3

DEDICATORIA:

En primer lugar, a nuestros padrespor habernos brindado su apoyo entodo momento; por los valores quenos han enseñado que nos hanpermitido ser personas de bien,


9. Actividades en la investigación..........................1110. Gráfico de problema:...................................11

10.1. 1° Caso:............................................1110.2. 2° caso:............................................12

10.3. 3° Caso:............................................1210.4. 4° Caso:............................................13

11. Procesamiento de datos.................................131) Caso 1: Torre de alta tensión, segunda categoría.......13

2) Caso 2: Torre de alta tensión, primera categoría.......143) Caso 3: Área de demanda de energía anual...............16

4) Caso 4: Consumo promedio de electricidad...............16Capítulo IV: Discusión de resultados..........................17

Capítulo V: Conclusiones......................................17Bibliografía..................................................18

Web grafía....................................................18ANEXO.........................................................19

Distancia entre las torres y humanos u objetos...........19 Nivel de contaminación de las torres.....................20

Grado de tensión eléctrica...............................20

pág. 4


Capítulo I: Introducción

1.Realidad problemática

Hoy en día, el Perú está sufriendo un gran cambio, económicoy social, en toda su extensión. Las pequeñas y grandesempresas están surgiendo cada vez más en todas zonas,trayendo consigo desarrollo y bienestar en la población; asítambién, la sobrepoblación que hay en Lima, por la inminentemigración de pobladores de la sierra y selva, han provocadouna saturación del lugar, causando que muchas familiasinvadan diversas zonas, como: cerros, pampas, lomas, entreotros lugares, fundando así nuevas ampliaciones yasentamientos humanos en todos los distritos.

Todo esto contribuye a generar un caos en la organización dela ciudad, pero más que ello, trae a su vez la necesariaacción de las autoridades que deben crear planes dedesarrollo en sus respectivos distritos para poderbrindarles los servicios básicos a estos ciudadanos para quepuedan tener una buena calidad de vida y puedan crecer juntocon la ciudad. Es por este motivo, que las autoridadescorrespondientes tienden a dar en concesión los proyectos dedistribución de redes de agua potable y alcantarillado,además, de carreteras y electricidad.

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En este caso, estudiaremos uno de los proyectos ganados porla empresa Abengoa Perú SAC en la provincia de Oyón. Estaempresa se dedica a la práctica totalidad de los servicios deadministración, operación y transporte de energía eléctrica,que brinda servicios de transmisión de energía eléctrica enalta y muy alta tensión desde los centros de generación hastalos centros de distribución.

2.Formulación del problema

Las compañías concesionarias deben seguir ciertas normas paraproyectar y elaborar sus obras, para esto se rigen denormativas o estándares nacionales e internacionales.

Las distancias mínimas que deben guardarse entre líneaseléctricas y elementos físicos existentes a lo largo de sutrazado (carreteras, edificios, árboles, etc.), con objeto deevitar contactos accidentales, se contemplan en el ReglamentoElectrotécnico para Baja Tensión (Decreto del Ministerio deenergía y minas 2413/1973, BOE 9.10.73) y en el "ReglamentoTécnico de Líneas Eléctricas Aéreas de Alta Tensión" (Decretodel Ministerio de energía y minas 3151/1968, BOE 27.12.68).

Durante el trabajo de gabinete, previa a la ejecución de laobra, salieron a relucir ciertos problemas e interrogantes,como: ¿Cuál era el costo total del cableado eléctrico?,¿Cuánta es la tensión que soportará el cable? y ¿Cuánto es elgato promedio de Kv de la población a la que se ledistribuirá la electricidad?; es en esta parte en dondeentraremos a trabajar, buscaremos dar solución a estasincógnitas para que el proyecto pueda seguir y darse enejecución para así beneficiar a todas las familias de laprovincia.

3.Justificación

Hay casos en donde se deben realizar una serie de calculos físicosy matemáticos para obtener el valor de ciertas variables para laejecución de una obra. El presente trabajo tiene la finalidad dedarle solución a los problemas que se puedan dar durante laplaneación, así como en la ejecución, de diferentes obras deconstrucción; para ello, utilizaremos los conocimientos adquiridosa lo largo de todo este ciclo en el curso de Calculo II, en dondeaplicaremos el método de las integrales para hallar la longitud dearco, la tensión máxima que el cable soportara, el área bajo lacurva y el punto medio del gato anual de las torres eléctricas dealta tensión. Con la finalidad de despejar las dudas sobre el costoque tendrá la empresa por la compra de cable eléctrico, si se sabe

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que cada m cuesta s/.16.00 soles y cuánta corriente eléctricadeberán suministrar para cubrir con la demanda de la población.

4.Objetivos

4.1.Objetivo general:

Aplicar las integrales para hallar la longitud dearco, tensión máxima, el área bajo la curva y el valormedio del gasto anual en las torres eléctricas de altatensión

4.2.Objetivo específico:

Hallar la función que describa el gasto mensual en Kv

de la población de Oyón.

Modelar una gráfica que muestre el gasto anual del

pueblo.

Encontrar el gasto mensual promedio de poblado de

Oyón.

Calcular el costo por la cantidad de cable eléctrico

que se usara en la torres.

Conocer los flujos eléctricos de las torres de alta

tensión.

Verificar si las torres de alta tensión generan un

impacto negativo.

Diseñar un modelo propicio para la construcción de las

torres.

Capítulo II: Marco teórico

5.Antecedentes

Reglamento sobre condiciones eléctricas técnicas y garantías de seguridad enlíneas eléctricas de alta tensión. Joan Clos Matheu. Ministerio de trabajo y asuntossociales & Ministerio de Industria, turismo y comercio, España, 2000. Elpresente documento nos expresa las reglas que tienen por

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objetivo establecer las condiciones técnicas y garantías deseguridad a la que han de someterse las líneas eléctricas dealta tensión. Para esto, ambos ministerio desarrollaron unestudio completo sobre la normativa nacional e internacionalsobre la disposición de estas en diferentes locaciones adiversas condiciones, con la finalidad de establecer una guíaque sirva de referencia para la proyección de las torres entoda la ciudad y país. Usaron diversas metodologíasmatemáticas y físicas, para desarrollar los cálculoscorrespondientes y así poder establecer los estándares.

Proyecto tipo de líneas de alta tensión en aéreas de 36Kv. E-on Distribución S.L.,noviembre del 2013. Edición 1. Este documento tubo la finalidad dedescribir, establecer y justificar todos los datosconstructivos que llevarán a la ejecución de cualquier obraque corresponda o esté relacionada al tema de la instalaciónde torres de alta y baja tensión. Se llevó a cabo el estudiode las situaciones, así como las identificaciones, cálculos,configuración metodológica, para cada tipo de torreseléctricas, las cuales comprenden las de primera, segunda ytercera categoría respectivamente. Además, dicho documentonos establece unos parámetros que se deben seguir para queestas torres de alta y baja tensión no afecten a lospobladores, como también ha edificaciones, y puedendesarrollar su trabajo sin complicaciones técnicas yoperativas.

6.Bases teóricas

6.1.Torre eléctrica:

Una torre eléctrica o apoyo eléctrico (a vecesdenominada torreta) es una estructura de gran altura,normalmente construida en celosía de acero, cuya funciónprincipal es servir de soporte de los conductoreseléctricos aéreos de las líneas de transmisión deenergía eléctrica. Se utilizan tanto en la distribucióneléctrica de alta y baja tensión como en sistemas decorriente continua tales como la tracción ferroviaria.

Pueden tener gran variedad de formas y tamaños enfunción del uso y del voltaje de la energíatransportada. Los rangos normales de altura oscilan

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desde los 15 m hasta los 55 m, aunque a veces se puedenllegar a sobrepasar los 300 m.1 Además del acero puedenusarse otros materiales como son el hormigón y lamadera.

6.2.Calculo Integral:

La integración es un concepto fundamental del cálculo ydel análisis matemático. Básicamente, una integral esuna generalización de la suma de infinitos sumandos,infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculoinfinitesimal, es una rama de las matemáticas en elproceso de integración o antiderivación, es muy común enla ingeniería y en la ciencia también; se utilizaprincipalmente para el cálculo de áreas y volúmenes deregiones y sólidos de revolución.

6.2.1. Teoría del cálculo integral:

Dada una función de una variable real yun intervalo de la recta real, la integral esigual al área de la región del plano limitadaentre la gráfica de , el eje , y las líneasverticales y , donde son negativas lasáreas por debajo del eje .

6.3.Distrito de Oyón:

El Distrito de Oyón es uno de los seis distritos de laProvincia de Oyón, ubicada en el Departamento de Lima,bajo la administración del Gobierno Regional de Lima-Provincias, Perú. Capital de la Provincia del mismonombre. Tiene una superficie de 887,61 km² y estáubicado sobre los 2 400 msnm. Su capital es la localidadde Oyón.

La provincia de Oyón se encuentra al Nor-Este deldepartamento de Lima, ocupando las partes altas de lacuenca del río Huaura, en la parte de la vertiente de laCordillera Occidental de los Andes Peruanos. Por el Este

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con la Provincia de Daniel Alcides Carrión, Región Pascoy la Provincia de Lauricocha, Región Huánuco. Corriendoa lo largo de la Divisoria Continental representada poruna cordillera angosta y abrupta que alcanza a unaaltitud de 5000 y 5300 m.s.n.m.

7.Marco conceptual

7.1.Catenaria:

Es la curva que describe una cadena suspendida por susextremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme. Porextensión, en matemáticas se denomina catenaria a lacurva que adopta una cadena, cuerda o cable idealperfectamente flexible, con masa distribuidauniformemente por unidad de longitud, suspendida por susextremos y sometida a la acción de un campo gravitatoriouniforme.

La condición de equilibrio de un cable sometido a supropio peso vertical lleva a un problema de equilibrioen el plano (la catenaria es siempre una curva plana sise puede despreciar la rigidez flexional del cable). Dela condición de equilibrio local de cada punto sedesprende la siguiente ecuación diferencial para lapendiente de la catenaria, que relaciona las tensionesen los extremos de un tramo y el peso del mismo.

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7.2.Longitud de arco:

En matemática, la longitud de arco, también llamadarectificación de una curva, es la medida de la distanciao camino recorrido a lo largo de una curva o dimensiónlineal. Históricamente, ha sido difícil determinar estalongitud en segmentos irregulares; aunque fueron usadosvarios métodos para curvas específicas, la llegada delcálculo trajo consigo la fórmula general para obtenersoluciones cerradas para algunos casos.

Al considerar una curva definida por una función ysu respectiva derivada que son continúas en unintervalo [a, b], la longitud s del arco delimitadopor a y b es dada por la ecuación:

7.3.Tensión máxima:

Se denomina tensión de rotura, a la máxima tensión queun material puede soportar al ser fraccionado antes deque se produzca necking, que es cuando la seccióntransversal del espécimen se comienza a contraer demanera significativa.

La tensión de rotura se obtiene por lo generalrealizando un ensayo de tracción y registrando latensión en función de la deformación (o alargamiento);el punto más elevado de la curva tensión-deformación esla tensión de rotura. Es una propiedad intensiva; por lotanto su valor no depende del tamaño del espécimen deensayo. Sin embargo, depende de otros factores, talescomo la preparación del espécimen, la presencia o no dedefectos superficiales, y la temperatura delmedioambiente y del material.

7.3.1. Tensión mecánica:

pág. 11


Es la fuerza interna aplicada, que actúa porunidad de superficie o área sobre la que seaplica. También se llama tensión, al efecto deaplicar una fuerza sobre una forma alargadaaumentando su elongación.

7.3.2. Tensión eléctrica:

Tensión eléctrica o voltaje, en electricidad, esel salto de potencial eléctrico o la diferencia depotencial eléctrico entre dos puntos de uncircuito.

7.4.Área bajo la curva:

El área bajo la curva formada por el trazo de la funciónf(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente,dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igualal valor de la función en el centro del intervalo.

Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo,entonces el número N es más grande y mejor laaproximación al valor del área.

7.5. Valor promedio de una función:

En esencia el teorema dice que dada cualquier función fcontinua en el intervalo [a, b] y diferenciable en elintervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algúnpunto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la

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curva en c es paralela a la recta secante que une lospuntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló Lagrange.

7.6. Torre eléctrica de alta tensión:

Se considera instalación de alta tensión eléctricaaquella que genere, transporte, transforme, distribuya outilice energía eléctrica con tensiones superiores a lossiguientes límites:

Corriente alterna: Superior a 1000 voltios. Corriente continua: Superior a 1500 voltios.

Las líneas de alta tensión son las de mayor tensión enun sistema eléctrico, las de mayor longitud y las quemanipulan los mayores bloques de potencia. Enlazan entresí las diferentes regiones del país. Su función esintercambiar energía entre las regiones que unen, por loque la transferencia de potencia puede ser en ambossentidos.

Capítulo III: Métodos y desarrollo del modelo

8.Tipo de investigación

Investigación explorativa

9.Actividades en la investigación

1)En primer lugar, se procedió a recolectar toda lainformación posible sobre el tema que desarrollaremos. Paraesto, las distancias y medidas de las posiciones de lastorres de alta tensión las tomamos como referencia de NTO73: Distancias a líneas de BT y AT (Centro de investigacióny asistencia técnica, Ministerio de trabajo y asuntos

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sociales, Barcelona, España) y la mejor localización de lasmismas se obtuvo del Reglamento de Líneas Aéreas Eléctricasde Alta Tensión (CEI).

2)Seguidamente se procedió a realizar las gráficas de cadapunto que se trabajará, en donde se colocaran todos loselementos implicados en el caso.

3)Se procederá a hallar las interrogantes por medio de lasintegrales y otros conocimientos matemáticos.

4)Finalmente se interpretaran los resultados que se obtendrány se dará respuesta a las preguntas hechas.

10.Gráfico de problema:

10.1. 1° Caso:

10.2. 2° caso:

pág. 14

75 m

30 m

7 m

150 m


10.3. 3° Caso:

Tabla de demanda mensual (Kv):

MES Kv1 352 403 394 425 436 447 488 459 4510 4311 4612 51

Gráfico por Excel:pág. 15

X

60 m

Y

150 m

300 m

µ = 13 Kg/m


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

f(x) = − 0.00155444 x⁶ + 0.0742325 x⁵ − 1.39146 x⁴ + 12.9801 x³ − 62.9794 x² + 150.671 x − 99.1329R² = 0.994138018055333

DEMANDA MENSUAL

MES

Kv

10.4. 4° Caso:

Gráfico en Excel:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

3540 39

42 43 4448

45 45 4346

51

DEMANDA MENSUAL

Kv

11.Procesamiento de datos

1)Caso 1: Torre de alta tensión, segunda categoría.pág. 16


Z=a2

(℮xa+℮

xa )

Dónde: Z = Ordenada

a = Parámetro

x = Abscisa

Ecuación de la catenaria:

Coshx=℮x+℮−x

2

Con los datos obtenidos, obtenemos la siguiente función:

y=30cosh x30

Reemplazando obtenemos:

y=30(℮x30+℮

−x30

2 )y=15(℮

x30+℮

−x30 )

Hallaremos la longitud del Cable:

S=∫a

b

√1+[F (x )´]2dxRemplazando los datos:

S=∫−75

75 √1+⌈15(℮x30+℮

−x30)´⌉

2

dx

S=∫−75

75 √1+⌈15(℮ x30. 1

30 +℮−x30.−

130 )⌉

2

dx

S=2∫0

75 √1+⌈ 18

(℮x30−℮

−x30 )⌉

2

dx

S=176,61mpág. 17


2)Caso 2: Torre de alta tensión, primera categoría.

d2ydx2

=μTo. dsdx

d2ydx2

=μTo.√1+(dsdx )

2

ds=dy

d2ydx2

=μTo.√1+(dydx )

2

q=dydx

dq√1+q2

= μTodx

∫ dq√1+q2

=∫ μTo

dx

ln (q+√1+q2)= μTo

x+C

dydx

=℮μxTo−℮

−μxTo

SenhμxTo

=℮μxTo −℮

−μxTo

∫ dydx

=∫Senh μxTo

K=−μxTo

⇒K=−1 y=Toμx

.(coshμxTo+K)

pág. 18


y=Toμx

.(coshμxTo−1)

Con los datos obtenidos, obtenemos la siguiente función:

60=To

13 (cosh13 (150)To

−1)Resolviendo:

780To

=cosh 1950To

−1

780To

−1=℮1950To +℮

−1950To

2

2(780To−1)=℮

1950To +℮

−1950To

To=2550Kp

Hallamos la tensión máxima:

Tm=TO+μ.x

Remplazando los datos:

Tm=2550+13(60)

Tm=3330Kp

3) Caso 3: Área de demanda de energía anual.

A=∫a

b

F (x )dx

Remplazando los datos:pág. 19


A=∫0

12

(−0,0016x6+0,0742x5−1,3915x4+12,98x3−62,979x2+150,67x−75,133)dx

A=445,656Kv

4)Caso 4: Consumo promedio de electricidad.

F (c )= 1b−a .∫a

b

F (x)dx

Remplazando lo datos:

F (c )= 112−1

.∫1

12

(−0,0016x6+0,0742x5−1,3915x4+12,98x3−62,979x2+150,67x−75,133)dx

F (c )=42,12Kv

Capítulo IV: Discusión de resultados

pág. 20


a) La longitud del arco del cableado de las torres de altatensión es de 176,61 m; sabiendo que cada metro de estecable cuesta s/. 16.00 soles, a la empresa le estaríacostando s/. 2825.76 soles el colocar este cable entre lastorres.

b) Realizado los calculos físicos y matemáticos, nos arrojóque el cable que está suspendido entre las torres soportanuna tensión máxima de 3330 Kp.

c) Con la ayuda de Excel se logró modelar una función quedescriba el comportamiento de la demanda de electricidaden la zona de Oyón. Con esta función, y viendo que sucoeficiente de correlación sea confiable, procedimos acalculos el área bajo la curva, que resultó ser 445.656Kv.

d) Para terminar, con la misma función se procedió a hallarel consumo medio de los pobladores, el cual es 42,14 Kv.

Capítulo V: Conclusiones

En conclusión, luego de haber realizado los calculoscorrespondientes para cada caso que se ha presentado, podemosresponder las interrogantes que nos hicimos en un principio,

La empresa Abengoa Perú SAC gastará un aproximado de s/. 2825.76soles en el cableado de las torres de alta tensión. Este mismo,luego de ser colocado respectivamente, tendrá que soportar unatensión máxima de 3330 Kp. La población de Oyón tiene un gastototal de 445,656 Kv anualmente, por lo que la empresa sabiendoesto, tendrá que tomar las medidas correspondientes paraabastecer la demanda de electricidad el lugar. A su vez, estaprovincia tiene un gasto promedio de 42,14 Kv mensuales.

Este trabajo pudo demostrar lo importante que son losconocimientos de cálculo II, así como de otras materias, y nosdio un claro ejemplo de cómo esta reaccionada a la realidad y adiversas situaciones que se pueden dar en el campo laboral.

pág. 21


Bibliografía

Anonimo. Centro de investigación y formación en educación matemática . Costa Rica: CIFEMAT, 2007.

Anónimo. Tensión de cuerca y cables. Buenos Aires: FísicaLab, 2010.

Bastero, Jesús. Investigación matemática. Revista Matemática Iberoamericana , 1999.

BOE. Reglamento obre condiciones técnicas y garantias de seguridad en lineas eléctricas de alta tensión. Ministerio de trabajo y asuntos sociales, 2008.

Ivorra, Carlos. «La catenaria.» Chile, 2008.

Reglamento de lineas aéreas eléctricas de alta tensión. España: CEI, 2011.

Rodriguez, Rony Robles. Estática en cables de tensión eléctrica. Lima: Universidad Nacional de Trujillo , 2007.

Rovira, Josep Mestre. Distancia a lineas eléctricas BT y AT. Barcelona: CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y ASISTENCIA TÉCNICA, 1983.

Salinas Torres, M, y R Rubio Moreno. «IMPACTO AMBIENTAL DE LAS TORRES DE ALTA TENSIÓN.» Santiago, 2008.

Web grafía

http://es.slideshare.net/robles666/estatica-en-cables-de-

alta-tension

pág. 22

http://es.slideshare.net/robles666/estatica-en-cables-de-alta-tension

http://es.slideshare.net/robles666/estatica-en-cables-de-alta-tension


https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?

qid=20091115151709AAe62Pq

http://es.scribd.com/doc/73519204/CALCULO-DE-

CATENARIA#scribd

http://html.rincondelvago.com/reglamento-de-lineas-aereas-

electricas-de-alta-tension.html

http://tutorial.sibuc.uc.cl/citar/apae/n_apae_citas.html

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/publicaciones/

geologia/v13_n26/pdf2/a03v13n26.pdf

ANEXO

Distancia entre las torres y humanos u objetos

pág. 23

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/publicaciones/geologia/v13_n26/pdf2/a03v13n26.pdf

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/publicaciones/geologia/v13_n26/pdf2/a03v13n26.pdf

http://tutorial.sibuc.uc.cl/citar/apae/n_apae_citas.html

http://html.rincondelvago.com/reglamento-de-lineas-aereas-electricas-de-alta-tension.html

http://html.rincondelvago.com/reglamento-de-lineas-aereas-electricas-de-alta-tension.html

http://es.scribd.com/doc/73519204/CALCULO-DE-CATENARIA#scribd

http://es.scribd.com/doc/73519204/CALCULO-DE-CATENARIA#scribd

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091115151709AAe62Pq

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091115151709AAe62Pq


Nivel de contaminación de las torres.

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Grado de tensión eléctrica

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Aplicación de la integral definida, punto medio de una función y longitud de arco

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