FISICA I Dinámica Capítulo 3

FIS101M

Sección 03

http://www.fis.puc.cl/~jmejia/docencia/fis101m.html

FISICA I

José Mejía López

[email protected]

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

FACULTAD DE FISICA

JML fis101mJML fis101m--20102010

Dinámica

Capítulo 3

Momentum Lineal


Una segunda mirada a la segunda Ley de Newton

tmamF∆∆

==vr

rr ( )t

mF

∆∆

=⇒vr

rPuede haber cambio en m y en v

r

- Definimos una nueva cantidad física:

vrrmp ≡ Cantidad de movimiento o momentum lineal

Entonces, la 2º Ley de Newton se rescribe como

t

pF

∆∆

=r

r

Si 0=Fr

0=∆⇒ pr

constante=⇒ pr

si la fuerza externa neta sobre un objeto es cero, se conserva la cantidad de movimiento


EJEMPLO

Un jugador de fútbol patea un penal. El pié del jugador y la pelota permanecen en

contacto durante 5×10-3 s. Como resultado la pelota, de masa 0.8 kg, adquiere una

velocidad de 100 km/h. ¿Cual es la fuerza media que ejerce el pié del jugador sobre

la pelota?

Pelota inicialmente en reposo:

¡equivalente a sostener una masa de 444/9.8 ≈ 453.47 kg!

t

pF

∆∆

=

00 vmp = 0=

Momento final: vmp = )km/h100)(kg8.0(= )m/s78.27)(kg8.0(=

kgm/s22.220 =−=∆⇒ pppYa que:

s105 3×=∆t

s105

kgm/s22223−×

=.

F

kgm/s22.22=

La fuerza media será:N4444=


Física de Colisiones

Colisión entre partícula

alfa y núcleo de átomo

de Sodio

M ≈ 10-26 kg

L ≈ 10-10 m Colisión entre bolas

de billar

M ≈ 10-1 kg

L ≈ 10-1 mColisión entre galaxias

M ≈ 1040 kg

L ≈ 1040 m


colisiones:

m1 m2

i1vr

i2vr

Se conserva el momentum lineal

Se conserva la energía mecánica

Colisiones elásticas Colisiones inelásticas

Se conserva el momentum lineal

No Se conserva la energía mecánica


Conservación de momentum:

ffii mmmm 22112211 vvvv +=+

se invierten las velocidades

EJEMPLO

Dos bolas de billar de igual masa colisionan con velocidades de 2 m/s y 3 m/s. Calcular las velocidades finales.

m m

m/s2v1 = m/s3v2 =

ff mmmm 21 vv32 +=−⇒

Conservación de energía:

2

22212

11212

22212

1121 vvvv ffii mmmm +=+

1vv 21 −=+⇒ ff

2

2

2

1 vv94 ff mmmm +=+⇒

13vv 2

2

2

1 =+⇒ ff

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

ff 21 v1v −−= 13vvv21 2

2

2

22 =+++⇒ fff012v2v2 2

2

2 =−+⇒ ff

4

9642v2

+±−=⇒ f

4

102±−=

−=

m/s3

m/s2

−

=⇒m/s2

m/s3v1 f



EJEMPLO

Una pelota de masa m y con rapidez inicial de 3 m/s choca contra una esfera de masa 104m inicialmente en reposo. Calcular las velocidades finales.

m/s3v1 =m 104m 0v2 =

ff mmm 2

4

1 v10v3 +=


3v10v 2

4

1 =+⇒ ff

2

2

42

1 v10v9 ff mmm += 9v10v 2

2

42

1 =+⇒ ff


ff 2

4

1 v103v −= 9v10v10v1069 2

2

42

2

8

2

4 =++×−⇒ fff

0v106v10 2

42

2

8 =×−⇒ ff

m/s3v1 −=⇒ f

8

4

210

106v

×=⇒ f m/s106 4−×=

m/s0v2 ≈f



EJEMPLO

Una pelota de masa 104m y con rapidez inicial de 3 m/s choca contra una esfera de masa m inicialmente en reposo. Calcular las velocidades finales.

m/s3v1 =m104m 0v2 =

ff mmm 21

44 vv10103 +=×


4

21

4 103vv10 ×=+⇒ ff

2

2

2

1

44 vv10109 ff mmm +=× 42

2

2

1

4 109vv10 ×=+⇒ ff


ff 2

4

1 v103v −−= 9v10v10v1069 2

2

42

2

8

2

4 =++×−⇒ −−−fff

0v10v106 2

2

4

2

4 =+×−⇒ −−ff

4

1 1033v −×−=⇒ f

3v10v 2

4

1 =+⇒ −ff

9v10v 2

2

-42

1 =+⇒ ff

m/s6v2 ≈⇒ f

m/s3≈


EJEMPLO

Una bola de masa 2 kg baja por una rampa de 2.5 m de altura sin experimentar roce. En el extremo inferior de la rampa experimenta una colisión elástica con una caja de masa 5.0 kg, que se encuentra en reposo. a) ¿Cual será la velocidad de la caja inmediatamente después de la colisión? b) ¿Que ocurre con la bola después de la colisión?

a) conservación de la energía mecánica

49v =⇒ b

Durante la Colisión :

2.5 m

cfcbfbbb mmm vvv +=

ffii UKUK +=+

2

21 vbbb mghm = 2v5.05.24 b=⇒

m/s7=

2

212

212

21 vvv cfcbfbbb mmm +=

cfbf v5v214 +=⇒

22 v5v298 cfbf +=⇒

cfbf v5.27v −=⇒

22 v5)v25.6v3549(298 cfcfcf ++−=⇒ 0v70v5.17 2 =−⇒ cfcf

m/s4v =⇒ cf m/s3v −=bf


b) Luego de la colisión, la bola sube por la rampa, con velocidad inicial 3 m/s:

EJEMPLO

Dos masas, de 2 kg y 3 kg, están unidas por un resorte de constante elástica 120 N/m y descansan sobre una superficie sin roce. Inicialmente el sistema está en reposo y el resorte está comprimido una distancia de 5 cm. Si el sistema es liberado, ¿con qué velocidad se mueven las masas?

ffii UKUK +=+ 'v221 ghmm bbfb =⇒ 5.4'89 =⇒ h. m46.0'=⇒ h

fi pp =

Se conserva el momentum lineal:

21 v3v20 +=⇒21 v5.1v −=⇒

Se conserva la energía:

ffii UKUK +=+ 2

2212

1212

21 v3v2)05.0(120 +=⇒

2

2

2

1 v3v23.0 +=⇒ 3.0v5.7 2

2 =⇒ m/s2.0v2 =⇒

m/s3.0v1 −=


2

11212

2121 vv)( mmmK −+=∆

EJEMPLO

Una persona cuya masa es 65 kg y que se encuentra en reposo, es impactada

por otra de masa 80 kg, que se mueve a 0.6 m/s. Si luego de la colisión ambas

personas permanecen unidas (abrazadas), a) ¿Con qué velocidad se mueven

luego de la colisión? b) ¿Cuánta energía se gasta en el abrazo? c) ¿Cual es la

potencia disipada en la colisión, suponiendo que ésta ocurre en 0.3 s?

m1m2

v1

smsmmm

m331.06.0

8065

80vv 1

21

1 =+

=+

=

a) ( )vv 2111 mmm +=

b) El cambio de energía es ( )2

1

21

21 v2 mm

mmK

+−=∆

Por lo que la energía gastada es( )

JJK 4552.66.080652

8065 2 =+⋅

=∆

c) La potencia está dada por la energía cinética perdida por unidad de tiempo

Ws

J

t

KP 52.21

3.0

4552.6==

∆∆

=

( )21

11vvmm

m

+=


Péndulo Balístico

¿cómo medir la velocidad de un proyectil?

vb: velocidad de la bala de masa m

Bloque de masa M inicialmente en reposo

vc: velocidad del sistema bala-bloque

inmediatamente después de la colisión

Bloque y bala suben a la altura h

Conservación de momentum ( ) cvv Mmm b +=cvv

m

Mmb

+=⇒

Conservación de energía ( ) ( )ghMmMm +=+ 2

cv2

1ghc 2v =⇒

ghm

Mmb 2v

+=


Datos reales

m = 5 g

M = 2 kg

h = 3 cm

smmsmkg

kgb /5.307)03.0)(/8.9(2

005.0

005.2v 2 ==

Balance de energía

inicial

final

¿qué pasó con la conservación de energía?

La mayor parte de la energía mecánica se pierde en la perforación del bloque

Retroceso en un Fusil

momentumbbb mp v=

fff mp v=


Fusil y bala inicialmente en reposo 0=+= fb ppp

Conservación de momentum

b

f

bf

m

mvv −=⇒

Datos: mb = 5 g, mf = 3 kg, vb = 350 m/s smsmkg

kgf /58.0/350

0.3

005.0v −=−=

Fusil fuertemente apoyado sobre el hombro pM+→ ff mm

Con Mp = 75 kg smsmkg

kgfp /022.0/350

0.78

005.0vv −=−==

0vv =+ ffbb mm


La masas no son puntuales

¿dónde se aplican las fuerzas?

¿qué punto tiene momentum mv?

Punto representativo de la dinámica de un cuerpo Centro de Masa

centro de masa: punto que se mueve con una velocidad tal que una partícula

cuasi-puntual de masa M, igual a la masa total del cuerpo o sistema de partículas,

ubicada en ese punto tiene un momentum igual al momentum total del sistema

∑=

=+=++==N

i

iicm vm.....vmvm.....ppVMP1

221121

rrrrrrr

La posición del centro de masa es ∑∑

∑=

=

===N

iN

i

i

N

i

ii

iicm

m

rm

rmM

R1

1

11

r

rr


EJEMPLO

Encuentre la posición del centro de masa del sistema formado por dos

partículas de masas 5 g y 15 g, separadas 2 cm.

2

cm

5

g15

g

1.5 cm

c.m.

elegimos como sistema de referencia la posición de la partícula de masa 5 g

m1 = 5 g, r1 = 0

m2 = 15 g, r2 = 2 cm

gg

cmgcmgrcm

155

21505

+⋅+⋅

=

cmrcm 5.1=


Movimiento del Centro de Masa

La fuerza externa actúa

sobre el centro de masa

Centro de masa describe la

trayectoria de una masa

puntual

Bajo la acción de la fuerza de

gravedad la trayectoria del

centro de masa es parabólica

Durante el movimiento el objeto

gira en torno al centro de masa


Otro ejemplo


Más sobre Centro de Masa

¿cómo ubicar el centro de masa de un objeto?

Suspensión desde dos puntos arbitrarios

primer punto

dirección de plomada

segundo punto

Centro de Masa es la

intersección de ambas

líneas de plomada


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