MECÁNICA

CINEMÁTICA DINÁMICA

GEOMETRÍA DEL

MOVIMIENTO

ESTÁTICA

CAUSAS DEL

MOVIMIENTO EQUILIBRIO

ESPACIO

EUCLÍDEO

(es válido el

teorema de

Pitágoras)

+

TIEMPO

NEWTONIANO =

MECÁNICA

CLÁSICA

ELEMENTOS

SISTEMA DE

REFERENCIA

+

PUNTO MATERIAL

estudia el movimiento desde el punto de vista de la

CONCEPTOS Y DEFINICIONES

POSICIÓN

k z(t) j y(t) i x(t) (t)r

[r] = [L] (dimensiones)

(x(t); y(t); z(t) son funciones escalares . Las unidades S.I. son (m).

TRAYECTORIA

Línea que describe el extremo del vector de posición en el tiempo. Queda descrita por una curva s(t)

DESPLAZAMIENTO

(t)r - t) (t r (t)r

ó diferencia entre el vector de posición en dos instantes de tiempo ( en t y en t + t).

t es el intervalo de tiempo transcurrido entre los dos valores de la POSICIÓN.

VELOCIDAD

Al cociente entre el DESPLAZAMIENTO y t se le llama VELOCIDAD. Dependiendo del tamaño de t,

tendremos: t

(t)r (t)mv

(velocidad media).

Si t 0, entonces se obtiene la velocidad instantánea: (t)r dt

(t)rd

t

(t)r

0tlim (t)v

Δ

Δ

Su módulo se llama CELERIDAD O RAPIDEZ.

Sus dimensiones son [v] = [L]·[T] –1

Sus unidades S.I. son m/s.

ACELERACIÓN

Es la magnitud que se define como el cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

Al pasar de una velocidad v a otra v + v en t, tendremos: t

(t) (t)ma

v

(aceleración media).

De nuevo, si t0, obtenemos la aceleración instantánea: (t) r t² d

(t)r d² (t)v

dt

(t)vd

t

(t)v

0tlim (t)a

Δ

Δ

Sus dimensiones son: [a] = L·T –2

Sus unidades S.I. son m·s –2 .

ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LOS ELEMENTOS DE CINEMÁTICA

EL SISTEMA DE REFERENCIA ES IMPRESCINDIBLE PARA DEFINIR LA POSICIÓN DE

UN OBJETO. NO OBSTANTE, SU ELECCIÓN ES ARBITRARIA.

(Dependiendo del sistema de referencia elegido, el movimiento tendrá una “forma” u otra).

NO EXISTE NINGÚN SISTEMA DE REFERENCIA “EN REPOSO”.

EL REPOSO ABSOLUTO NO EXISTE.

TODOS LOS MOVIMIENTOS SON RELATIVOS (RELATIVOS AL S. DE REF. ELEGIDO)

normalmente se utilizan coordenadas cartesianas,

PERO HAY MÁS (COORDENADAS ESFÉRICAS, CILÍNDRICAS, ETC.).

la ecuación de la trayectoria como una función f(x, y, z) se obtiene eliminando el parámetro tiempo t

de las ecuaciones x(t); y(t); z(t) del vector de posición (t) r

(recordar como se eliminaba el parámetro de la ecuación de una recta).

NO SE DEBE CONFUNDIR ARCO DE CURVA ( s) ENTRE DOS PUNTOS P Y Q CON EL

VECTOR DESPLAZAMIENTO ( r) ENTRE P Y Q.

s es una longitud (“trozo” de arco entre P y Q)

r es el vector desplazamiento (que une P con Q).

Si P y Q son dos puntos infinitamente próximos ( t0)entonces

r tiene la dirección del vector tangente a la trayectoria.

EN CONSECUENCIA

LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA ES TANGENTE A LA TRAYECTORIA

y así se puede escribir:

tu|·v| (t)v

donde ut es un vector unitario tangente a la trayectoria.

¿CÓMO SE OBTIENE ut?

¡fácil !

|v|

vu

t

(recordar cómo se obtenía la velocidad; derivando)

sin embargo...

LA ACELERACIÓN NO VA DIRIGIDA, EN GENERAL, SEGÚN LA DIRECCIÓN TANGENTE

pero siempre puede expresarse como suma de dos vectores

uno, según la dirección de la tangente a la trayectoria (at; aceleración tangencial).

y otro, según la dirección perpendicular a la trayectoria (aN; aceleración normal).

Nt a a a

A las componentes de cada uno de estos vectores se les llama

COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN.

al vector at se le llama ACELERACIÓN TANGENCIAL y está dirigido según ut.

su descripción es:

ttu ·

t d

|v| d a

donde |v| es el módulo de la velocidad, y ut es el vector unitario tangente.

al vector aN se le denomina ACELERACIÓN NORMAL y tiene la dirección del vector uN.

uN es perpendicular al vector tangente, y se llama VECTOR UNITARIO NORMAL.

uN va dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria

(el caso más sencillo lo tendremos cuando la trayectoria sea circular; el centro de

curvatura será el centro de la circunferencia)

en todo caso, la descripción de aN es:

NNu ·

R

v² a

o también:

tNa - a a

donde v es el módulo de la velocidad y R es el radio de curvatura.

las componentes intrínsecas de la velocidad sirven para clasificar los tipos de movimiento:

así:

sí N

a

= 0 el movimiento es rectilíneo y:

constante. es no a si acelerado

cte. es a si acelerado nteuniformeme

0 a además si uniforme

t

t

t

sí t

a

= 0 la velocidad es constante y el movimiento es

constante. es no a si curvilíneo

cte. a si uniforme circular

N

N

¿Qué condiciones se necesitan para que se dé un M.C.U.A.?

OBTENCIÓN DE LA POSICIÓN CONOCIENDO LA ACELERACIÓN.

si conocemos la aceleración (SEA O NO CONSTANTE), podemos obtener, INTEGRANDO

respecto al tiempo una vez, la velocidad

AD)LA VELOCID DE (ECUACIÓN·t a v (t) v

:obtenemos constante, es a si y,integrando

dt; a vd

dt; a vd dt

vd a

o

t

v

v0

0

(*)

v0 es la velocidad inicial, a es la aceleración y t es el tiempo.

y si conocemos la velocidad, y volvemos a integrar, podemos obtener la posición

POSICIÓN)LA DE (ECUACIÓN ·t²a ·t vr (t) r

:obtenemos constante, es a si ymiembros, dos los en integrando

dt. ·t)a v( ·dt v rd

dt; v rd dt

rd v

o 0

r

r

t

0

t

0

0

2

1

0(*)

r0 es la posición inicial, y el resto de parámetros tienen el significado antes indicado.

*(LAS DOS ECUACIONES ANTERIORES CORRESPONDEN A UN M.R.U.A.)

¡ CUIDADO! si la aceleración no es un vector constante, habría que hacer las integrales

correspondientes.

un tipo especial de movimiento: EL MOVIMIENTO CIRCULAR

características generales

el radio de curvatura R es constante (e igual al radio de la circunferencia descrita).

se desarrolla en un plano (generalmente, el plano XY)

la descripción del movimiento se hará en función de magnitudes angulares. Así:

la posición queda determinada por medio del ángulo girado.(sin dimensiones, sus USI: rad)

y el desplazamiento angular , se relaciona con el arco girado s y con el radio R:

s = R· (arco =ángulo (en radianes)· radio)

se define así mismo una velocidad angular :

dt

d DIMENSIONES [ ] = [T –1]; UNIDADES: rad/s.

y una aceleración angular :

dt

d DIMENSIONES [ ] = [T –2]; UNIDADES: rad/s².

de nuevo, conociendo la expresión de la aceleración angular puede obtenerse la velocidad

angular, mediante una integral:

ANGULAR)ADLA VELOCID DE (ECUACIÓN·t (t)

:obtenemos constante, es si y,integrando

dt; d

dt; d dt

d

o

t

00

(*)

0 es la velocidad angular cuando t =0, es la aceleración angular y t es el tiempo.

y si conocemos la velocidad, y volvemos a integrar, podemos obtener la posición

ANGULAR)POSICIÓNLA DE (ECUACIÓN ·t²·t (t)

:obtenemos constante, es si ymiembros, dos los en integrando

dt. ·t) ( ·dt d

dt; d dt

d

o 0

t

0

t

0

0

2

1

0(*)

0 es la posición angular inicial, y el resto de parámetros tienen el significado antes indicado.

(*) (LAS ECUACIONES ANTERIORES CORRESPONDEN A UN M.C.U.A.)

EL MOVIMIENTO CIRCULAR SE PUEDE EXPRESAR EN COORDENADAS CARTESIANAS

la posición puede expresarse en función del ángulo con el eje OX :

j· sen i cos (t)r

·

la velocidad instantánea v también queda definida en función de :

R·dt

dR·

dt

·R)d(

dt

dr v

( es un vector axial, definido por el sentido de giro y la regla de Maxwell)

aN

at

de un modo similar, existe una relación entre la componente tangencial de la aceleración y

la aceleración angular:

)centrípeta ac. la es R

v² yangular naceleració la es ( u

R

v² u · a

:decir es

uR

²|v| u

dt

|v|d operando yproducto un derivando

dt

u|·vd(|

dt

vd a

Nt

Nt

t)

R·

CUADRO RESUMEN

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

aceleración

aN = 0; at =0 aN = 0; at =cte. (a = at) aN = 0; at cte.

M.R.U. M.R.U.A.

M.R.A.

velocidad

v(t) = cte. v(t) = v0 + a·t

t

adtvtv

0

0)(

posición

r(t) = r0 + v·t r(t) = r0 + v0·t + ½ a·t²

tt

dtadttvrtr

00

00)(·)(

MOVIMIENTO CIRCULAR

aceleración

aN = v²/R; at =0 aN = v²/R; at =cte. (at = ·R)

( = cte.)

aN = v²/R; at cte.

( cte.)

M.C.U. M.C.U.A.

M.C.A.

velocidad

angular

(t) = cte. (t) = 0 + ·t

t

dtt

0

0)(

posición

angular

(t) = 0 + ·t (t) = 0 + 0·t + ½ ·t²

tt

dtdttt

00

00)(·)(

correspondencias entre movimiento rectilíneo y circular

MAGNITUD LINEAL RELACIÓN MAGNITUD ANGULAR

r: posición (m)

a través de R

: posición (rad)

r. desplazamiento (m)

r = · R

: desplazamiento (rad)

v: velocidad (m/s)

v = · R

: velocidad angular (rad/s)

a: aceleración (m/s²)

a = · R

: aceleración angular (rad/s²)

ELEMENTOS DE DINÁMICA (I)

dinámica; análisis/estudio de las causas del movimiento

GLOSARIO:

los elementos básicos son los vectores que se han definido en la parte de cinemática:

sistema de referencia (imprescindible)

r: posición (m); r: desplazamiento (m); v: velocidad (m/s), a: aceleración (m/s²).

añadimos el concepto de partícula material -punto definido por el valor de su masa m (kg)-.

pero hay más. Entre los elementos nuevos, definimos los siguientes:

MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE

MOVIMIENTO:

vector: vm· p

dimensiones: [p] = [M·L·T –1]

unidades SI: kg·m/s.

- vector paralelo al vector velocidad.

- es el vector de la energía cinética de un cuerpo.

- en coordenadas cartesianas se expresa como:

velocidad. vector del

scartesiana scomponente las son v ,v ,v

)kv jv im·(v p

zyx

zyx

FUERZA

vector: am· F

dimensiones: [F] = [M·L·T –2]

unidades SI: kg·m/s² ó NEWTON (N)

(1 N = 1 kg· 1m/s²)

- vector paralelo a la aceleración.

- es la magnitud básica para entender y estudiar la dinámica.

- su efecto dinámico más general es el de variar

(acelerar) el estado de movimiento de uno o

varios cuerpos.

- en ocasiones se presenta con nombres

específicos (tensiones, peso, etc.).

- su expresión en coordenadas cartesianas es:

zzyyxx

zyx

zyxzyx

m·a F ,m·a F ,a m· F n.aceleració vector del

scartesiana scomponente las son a ,a ,a

)F ,F ,(F F ó )ka ja im·(a F

- y en términos de las componentes intrínsecas:

NtF F F

donde Ft es la fuerza PARALELA A LA DIRECCIÓN

DEL MOVIMIENTO y FN es la fuerza

PERPENDICULAR a la dirección anterior.

IMPULSO MECÁNICO

vector: tF· I

dimensiones: [I] = [M·L·T –1]

unidades: kg·m/s ó N·s.

- dimensionalmente es IDÉNTICO al momento lineal.

- cobra sentido mientras haya una fuerza F

actuando sobre un objeto material DURANTE

un intervalo de tiempo t.

- la relación I <--> p es, para un punto material o

para un sistema con masa constante:

(0))v - (t)vm·( p vm· t ·F I

MOMENTO* ANGULAR O CINÉTICO

vector: p r vm· r L0

dimensiones: [L] = [M·L²·T –2]

unidades SI: kg·m²/s² ó N·m

- es un vector -axial, regla de Maxwell- asociado a giros.

- suele definirse como “el momento del momento lineal”.

- hay que definir el punto O respecto del cual se

calcula (normalmente, el origen del s. de ref.)

*en general, el MOMENTO DE UN VECTOR PQ RESPECTO DE UN PUNTO O de un sistema de referencia {O,X,Y,Z} M0, es el vector

que se define por medio del producto vectorial:

PQ OP M0

y su cálculo en coordenadas cartesianas se realiza mediante un determinante, como tal producto vectorial de dos vectores que es.

PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL (LEYES DE NEWTON)

PRINCIPIOS ALGUNOS COMENTARIOS

PRIMERA LEY ( ó DE INERCIA)

“Todo cuerpo sobre el que no actúe una fuerza neta

permanece en reposo o en movimiento rectilíneo y

uniforme, según fuera su estado inicial”.

· Ley descubierta por Galileo(1564-1642) y

reformulada por Newton (1642-1727).

· El “reposo” como un caso más de M.R.U., y no el

único estado natural de los cuerpos, si un cuerpo

frena, es porque sobre él actúa una fuerza de

rozamiento, no por ser el reposo un estado

“natural”, contradiciendo la teoría Aristotélica

hasta entonces vigente.

SEGUNDA LEY (PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA

DINÁMICA)

“La aceleración que adquiere un punto material es

proporcional a la resultante de las fuerzas que

actúan sobre el punto;

am· F FI

”.

donde m es una constante llamada masa del punto material, y F

es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el

punto material (principio de superposición)

· La cualidad masa expresada en la 2ª ley es la llamada masa

inercial: La inercia como la oposición que presentan los

cuerpos a variar su estado de movimiento.

· La masa se obtiene como cociente entre la fuerza neta

aplicada sobre un cuerpo y la aceleración producida.

· Es una magnitud aditiva y que mide la cantidad de materia.

· Dentro del ámbito clásico, la masa es constante. No lo será

(teoría de la Relatividad) a velocidades próximas a c.

· El principio de equivalencia afirma que no existe

diferencia entre la masa inercial y la masa gravitatoria*.

TERCERA LEY (PRINCIPIO DE ACCIÓN Y

REACCIÓN)

“Cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro,

éste actúa sobre el primero ejerciendo una fuerza

igual, pero de sentido contrario”.

· En la interacción entre dos cuerpos, las fuerzas se

presentan siempre por pares.

· Las fuerzas de acción y reacción actúan siempre sobre

cuerpos distintos: son iguales en módulo, pero recuerda que

en la definición de fuerza hay dos términos, la masa y la

aceleración.

masa gravitatoria como masa que interviene en la interacción gravitatoria o agente responsable de que dos cuerpos materiales tiendan a atraerse

mutuamente.

Comentario [LB1]:

EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DA PARA MUCHO, ENTRE OTRAS COSAS...

· Un enunciado equivalente del 2º principio lleva a relacionar los conceptos de fuerza y de momento lineal:

dt

pd F

ya que dt

pd )vm·

dt

d

dt

vdm· am· F

(

la consecuencia más evidente de este enunciado es que si cte. vm· p 0 F FI

(conservación de p).

y no sólo eso, sino que también relaciona los conceptos de impulso mecánico y momento lineal ya comentados.

En la expresión anterior, separando variables:

pd ·dt F

e integrando:

p t ·F

· Como ya se indicó, también es posible describir la fuerza neta en términos de las componentes intrínsecas

de la aceleración: la componente tangencial Ft tiene la dirección del movimiento, y la componente normal FN

va dirigida hacia el centro de curvatura. Por eso nos referimos a ella como FUERZA CENTRÍPETA.

)Nt

uu

R

v²

dt

|v|d m·( F F F

Nt

· A la hora de aplicar la 2ª ley de Newton, conviene estudiar por separado las fuerzas resultantes según las

direcciones tangencial y normal:

en la dirección del movimiento: ttam· F

; y en la dirección perpendicular al movimiento: NNam· F

ALGUNOS EJEMPLOS DE FUERZAS

FUERZA PESO O FUERZA GRAVITATORIA

es la que se ejerce sobre un cuerpo de masa m debido a la acción del

CAMPO GRAVITATORIO.

(las características de la fuerza de la gravedad se estudiarán en el tema I).

En los problemas de dinámica usuales, y de forma genérica, el peso se expresa como:

gm· P

donde g es la aceleración de la gravedad. En la superficie de la Tierra g = 9,8 m/s².

La fuerza peso tendrá, salvo necesidad de precisión mayor, la dirección vertical (hacia el

centro de la Tierra)

Si el cuerpo no está situado sobre una superficie horizontal, entonces el peso se

descompone en dos COMPONENTES ORTOGONALES, Ft y FN ó (Px y Py).

Ft = F · sen = mg· sen

FN = F· cos =mg·cos g

TENSIONES

Son fuerzas que transmiten movimientos entre partes de un sistema.

En el caso de cables ideales –considerados sin masa e indeformables y de longitud

constante- la fuerza ejercida en uno de sus extremos se transmite íntegramente al otro.

Mientras un cable no sufra otro tipo de aceleración más que el debido a un sistema de dos

masas unidos a sus extremos, la tensión tiene el mismo valor en ambos extremos (fig: 1:1).

T1 T1 T2 T2´

a T1 a´ T2´

T1 T2

fig: 1:1 fig: 1:2

Pero si se introduce una aceleración “extra” como puede ser la debida al giro de una polea,

los valores de la tensión de cada una de las ramas del cable ideal son diferentes (fig:1:2).

En todo caso, a la hora de describir la 2ª ley de Newton hay que incluirlas como fuerzas que son, descomponerlas

en componentes perpendiculares, etc. y operar con ellas como se haría con cualquier otra fuerza.

FUERZAS DE ROZAMIENTO

Una definición que puede servirnos es la siguiente:

Son aquellas fuerzas de contacto que se oponen al movimiento relativo entre un cuerpo y

el medio que lo rodea (rozamiento viscoso) o entre dos cuerpos en contacto por medio de

una superficie áspera (no lisa o rugosa).

En todo caso, sirve admitir que el rozamiento entre superficies tiene su origen en fuerzas

de cohesión interfacial debidas a las irregularidades más o menos grandes que todos los

sólidos presentan a escala microscópica.

Se distingue entre rozamiento estático y rozamiento dinámico. El esquema sería:

aplicamos F paralela a la superficie de contacto el cuerpo no se mueve si el valor de F no

supera un cierto valor crítico FRS ó fuerza de rozamiento estáticosuperado este valor, el

cuerpo comienza a deslizar con una aceleración menor que la correspondiente a F, y si ésta

cesa, el cuerpo acaba frenándose por la acción de una fuerza FRC ó rozamiento dinámico.

estos resultados experimentales cabe resumirlos como sigue: las fuerzas de rozamiento...

son paralelas a las superficies en contacto y proporcionales a la

reacción normal N que actúa sobre el cuerpo.

FRS s·N, donde s es el coeficiente de rozamiento estático. En la

situación de movimiento inminente, se alcanza el valor máximo para el

rozamiento estático, que corresponde al valor (FRS )máx= s·N.

La fuerza de rozamiento dinámico se opone al movimiento. Su valor es

FRC = C·N ( c es el coeficiente de rozamiento cinético) y FRC < FRS máx

Tanto s como C no dependen del área de contacto, pero si de

la naturaleza de las superficies en contacto.

Ambos coeficientes son adimensionales (y menores que 1).

En superficies lubricadas, los coeficientes de rozamiento

disminuyen en uno o dos órdenes de magnitud.

En el rozamiento por rodadura se define un coeficiente de

rozamiento por rodadura (que tiene dimensiones de longitud).

FUERZAS DE INERCIA O FICTICIAS

En la física clásica existe un principio de invarianza básico, el principio de relatividad de

Galileo.

“Las leyes físicas son idénticas en todos los sistemas de referencia que se mueven con

movimiento uniforme unos respecto de otros”.

Esto lleva a clasificar los sistemas de referencia en

INERCIALES ó NO INERCIALES

Genéricamente, son aquellos en los que

son válidas las leyes de Newton.

No están acelerados respecto al

resto del universo.

Serían inerciales, en la práctica:

*aquellos sistemas que permanecieran

fijos o con movimiento uniforme

respecto a la Tierra.

*todo sistema de referencia que se

mueva con velocidad uniforme respecto

de otro sistema de referencia inercial.

las leyes de Newton verifican el

principio de relatividad, ya que

involucran a aceleraciones y estas son

idénticas en sistemas dotados de

movimiento relativo uniforme.

se desprecian los efectos que

puedan producir los giros debidos a las

órbitas, de la Tierra en torno al Sol, de

éste respecto al centro de la galaxia,

etc.

Caracterizados como aquellos en los

que no son válidas las leyes de

Newton tal cual se han enunciado.

están acelerados respecto al resto

del universo.

Son no inerciales los sistemas que:

*presentan aceleración respecto de

un sistema de referencia inercial.

*están dotados de rotación respecto

de un sistema de referencia inercial.

En un sistema S (INERCIAL), a una

partícula de masa m se le aplica una

fuerza F real, cumpliendo la 2ª ley de

Newton

F = m· as

m · as = F

¡ no coinciden!

pero hay una relación entre

las aceleraciones as, a0 y a

a =as -a0

con lo cual

o la 2ª ley de Newton no

vale en S´

o el observador desde S´

admite que existe una

fuerza “ficticia” F0 = - m·a0

para poder ponerse de

acuerdo con lo que se

percibe en S.

ahora los dos observadores

están de acuerdo

(pero para esto ha habido que

introducir la fuerza “ficticia”)

En un sistema S´ (NO INERCIAL) dotado de

aceleración a0 respecto de S, la misma

partícula anterior se verá sometida a una

aceleración a. La fuerza F se escribe ahora

como

F= m· a

si admite la segunda hipótesis,

podrá aplicar la 2ª ley de Newton,

pero introduciendo la fuerza ficticia

F0 = - m·a0

m· as = F + F0

Fr

F

FUERZAS DE DEFORMACIÓN ELÁSTICA

Se dan en resortes, dentro de unos límites (deformación elástica o intervalo de fuerzas

que producen deformaciones no permanentes)

Son fuerzas del tipo Fr = - k·x (LEY DE HOOKE)

(La fuerza recuperadora Fr es proporcional al alargamiento producido en un resorte)

La constante de proporcionalidad K se llama constante elástica del resorte

K tiene dimensiones: [K] = [M·T-2]

sus USI: N/m.

x es el alargamiento (elongación o contracción) producido.

Al fijar por uno de sus extremos un muelle o resorte de longitud L y aplicar por el otro

extremo una fuerza F, éste ejerce una reacción igual y contraria a la fuerza aplicada

(3ª ley de Newton)

dicha fuerza es ejercida por el resorte y se debe a las reordenaciones moleculares que

ocurren dentro del material.

La fuerza recuperadora Fr tenderá a devolver al muelle a su estado inicial si cesa F.

Justo cuando el muelle recupera su longitud natural, Fr =0, pero en ese momento mantiene

una cierta velocidad

por lo cual

el resorte seguirá contrayéndose

pero al hacerlo

aparece de nuevo la fuerza recuperadora

que frenará al resorte primero

y luego volverá a llevarlo a su longitud natural ...

Este proceso

- perduraría en el tiempo indefinidamente si no existiesen fuerzas de rozamiento

y entonces el movimiento sería un M.A.S.

la frecuencia de la oscilación así producida se llama FRECUENCIA PROPIA O NATURAL.

- se irá amortiguando si existen rozamientos que vayan frenando al resorte en su

movimiento, y si esto ocurre, el movimiento se llama AMORTIGUADO.

Existe una posibilidad más:

la fuerza externa es variable en el tiempo, y tiene una frecuencia propia

en este caso, la fuerza OBLIGA al resorte a estirarse y contraerse a un determinado

ritmo, es decir, con un movimiento periódico pero

con la frecuencia propia de la fuerza externa.

la amplitud de la oscilación dependerá de la relación entre las frecuencias de la fuerza

externa y de la frecuencia propia del resorte.

(algo parecido a lo que ocurre en un columpio cuando alguien nos impulsa desde fuera).

NOTA: Como se verá más adelante, resorte es todo sistema físico que ofrece una fuerza recuperadora de tipo elástico.

x = 0

sdrd

ELEMENTOS DE DINÁMICA (II) TRABAJO Y ENERGÍA, POTENCIA.

TRABAJO DESARROLLADO POR UNA

FUERZA F

Al aplicar una fuerza F sobre un punto

material, éste experimentará un

desplazamiento rd

.

Se define el trabajo elemental dW de la

fuerza F al producto escalar:

ds · F·cos r·dF dW

donde es el ángulo entre rd yF

y ds es el

módulo del desplazamiento infinitesimal.

dW es máximo si rd yF

son paralelos ( = 0º)

y nulo si rd F

( = 90º)

El trabajo total entre dos puntos 1 y 2 de

una trayectoria finita se obtiene integrando:

·dsF·cos r·dF W

2

1

2

11,2

(esta integral se llama circulación del vector F entre

los puntos 1 y 2)

De la definición de velocidad

·dtv rd vdt

rd

y así:

1

O·

2

DIMENSIONES: [w] = [M·L²·T-2]

UNIDADES SI: Julio (J); (J ó N·m)

otras unidades: CGS: ergio (erg)

sistema técnico: Kilográmetro (Kp·m)

práctico: kilovatio-hora:

kW·h (1kW·h = 3,6 · 106 J)

CASO PARTICULAR:

Si F es constante, W es el producto

escalar de fuerza y desplazamiento.

2

1

t

t

2

1zyx

2

11,2

·dtv·F dz) F dy F ·dx(F r·dF W

POTENCIA

Se define como el cociente entre las

magnitudes trabajo y tiempo.

DIMENSIONES:

[P] = [M·L²·T-3]

UNIDADES SI: Vatio (W)

otras unidades prácticas:

caballo de vapor (CV) 1CV = 735.5 W.

si el trabajo es constante a lo largo del

tiempo, se define una POTENCIA MEDIA

<P> = Pm = t

W

Y, si el trabajo no es constante, entonces

se define la potencia instantánea P:

v·F dt

r·dF

dt

dW P

En las máquinas, se mide su rendimiento

1 P

P

nominal

útil;

ENERGÍA CINÉTICA. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS.

A partir de la definición de trabajo, y de la 2ª ley de Newton:

v·F v·am· F am·

de donde

m·v²2

1d

2

v·vm·d v·dvm·dt v

dt

vdm· r·dam· r·dF dW ··

El término ½ m·v² se llama ENERGÍA CINÉTICA DE LA PARTÍCULA (Ec), y tiene las

mismas unidades que el trabajo. De hecho, uno de los teoremas más útiles empleados es:

dW = dEc ó, en forma de incremento: W1,2 = Ec(2) – Ec(1)

expresión que constituye el TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS

r

F

OPERADORES HABITUALES (del año que viene en adelante) EN FÍSICA.

OPERADOR “NABLA” ( )

es un vector “simbólico” que sólo cobra sentido al ser

aplicado sobre una función (escalar o vectorial).

En coordenadas cartesianas es:

kz

jy

ix

) ( ) ( ) (

(donde x

) ( significa “derivada de la función ( )

respecto de x, etc.)

OPERADOR LAPLACIANA

se define en coordenadas cartesianas, y en términos

del operador como

²

²

²

²

²

²²

zyx

) ( ) ( ) (

(en ocasiones se le denomina “la divergencia del gradiente”)

LA LAPLACIANA de una función escalar f(x, y, z, t)

es una magnitud escalar:

²

²

²

²

²

²²

zyxf

f f f

LA LAPLACIANA de un vector t) z, y,(x,V es otro

VECTOR:

kz

Vj

y

Vi

x

VV

zyX

²

²

²

²

²

²²

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR

M( x, y, z, t) = 0

es un VECTOR que se define como el resultado de

aplicar el operador sobre la función escalar M:

kz

Mj

y

Mi

x

MM

M grad

DIVERGENCIA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

k· V j· V i· V t) z, y,(x,Vzyx

es un ESCALAR que se obtiene al hacer el

PRODUCTO ESCALAR de y t) z, y,(x,V

z

V

y

V

x

Vzyx

V· V div

ROTACIONAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

k· V j· V i· V t) z, y,(x,Vzyx

es un VECTOR que se obtiene mediante el

PRODUCTO VECTORIAL de y t) z, y,(x,V

zyxVVV

zyx

kji

V

rot V

FLUJO DE UN VECTOR A TRAVÉS DE UNA

SUPERFICIE

en física, a las superficies elementales se les asocia

un vector dS.(perpendicular a la superficie elemental

considerada) y la superficie total es erficie

Sdsup

Se define el FLUJO de un vector E a través de

una superficie S como el producto escalar de E y S.

E,S = E· S

en general, habrá que acudir a una integral

superficie

Sd ·E

SE , , y si la superficie es cerrada,

entonces se representa por

superficie

SdESE

·,

CIRCULACIÓN DE UN VECTOR A LO LARGO DE UN

CAMINO O CURVA

Si disponemos de una curva C y la recorremos en un

sentido determinado, en todo momento estaremos

siguiendo al vector ld

, tangente a la curva en cada

punto.

Se define la circulación de un vector E a lo largo del

camino C como el valor de la integral

C curv a

l·dE

CE ,

y de nuevo, si la curva C es cerrada, se suele usar

esta otra notación:

curvaC

CEldE

·,

ESTOS OPERADORES, ESTAS OPERACIONES, SIRVEN PARA DEFINIR ALGUNOS

CONCEPTOS IMPORTANTES Y PARA OBTENER ALGUNOS RESULTADOS MUY

IMPORTANTES

ENTRE OTROS, LOS SIGUIENTES

DEFINICIÓN CONSECUENCIA FUERZAS CONSERVATIVAS

F ES UN VECTOR

F ES CONSERVATIVA SI SE CUMPLE ALGUNA DE

ESTAS PREMISAS:

- EXISTE UNA FUNCIÓN ESCALAR Ep TAL QUE

F

E grad

p

(a Ep se le llama función ENERGÍA POTENCIAL)

- 0·,

curvaC

CFldF

(sea cual sea el camino cerrado tomado)

(En la práctica, si F es una fuerza conservativa, el trabajo

realizado en un ciclo completo es cero)

-

B. final A yinicial puntos los de depende sólo

elegido, camino del nteindependie es

B

A

ldF

·

(En la práctica, si F es una fuerza conservativa, el trabajo,

dado por la integral anterior, entre dos puntos A y B se

puede expresar como una diferencia entre los valores de

ENERGÍA POTENCIAL en los puntos A y B)

- una fuerza es conservativa si SE PUEDE DEFINIR

UNA ENERGÍA POTENCIAL ASOCIADA

ejemplos:

fuerza gravitatoria )²

´·(

r

mmGF

fuerzas elásticas que cumplan la ley de Hooke ( F = - k·x)

fuerzas electrostáticas )²

´·(

r

qqkF

en estas circunstancias es posible definir,

respectivamente:

una energía potencial gravitatoria )´·

(r

mmG *; (mgh)*

una energía potencial elástica acumulada por un resorte

(½ k·x²)*

una energía potencial electrostática )´·

(r

qqk *

- si F es conservativa, entonces

0 Frot F - si F es conservativa, entonces

F

E grad

p o también:

r·dF dEp

en consecuencia: si F es conservativa, existe una función llamada energía potencial Ep tal que:

r·dF dEp

y por tanto existe una relación entre el trabajo total entre 1 y 2 debido a F y la energía potencial Ep en esos puntos:

2

1

· rdFdEp

2

1

p

:integrando r·dF dE

1,2pp

W E E

:Barrow de regla la aplicando y

)2()1(

es decir, existe una relación genérica entre el trabajo y la energía cinética

(teorema de las fuerzas vivas)

W1,2 = Ec(2) – Ec(1)

y, SÓLO en el caso EN QUE F SEA CONSERVATIVA*, una relación entre trabajo y energía

potencial:

W1,2 = Ep(1) – Ep(2)

conjugando ambas expresiones, SÓLO CUANDO ES POSIBLE, OBTENEMOS el

teorema de la conservación de la energía mecánica en efecto, si igualamos las dos últimas expresiones y separamos :

Ec(2) – Ec(1) = Ep(1) – Ep(2) Ec(1) + Ep(1) = Ec(2) + Ep(2)

E mecánica (1) = E mecánica (2)

*si ADEMÁS de fuerzas de fuerzas conservativas existieran fuerzas no conservativas, el trabajo

W*r debido a estas fuerzas (de rozamiento, disipativas...) se TRANSFORMA EN CALOR (energía no

aprovechable mecánicamente). NO HAY CONSERVACIÓN PERO SÍ EXISTE BALANCE ENERGÉTICO:

E mecánica final = E mecánica inicial – W*r