Mecánica de Fluidos FICT01651

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Ing. Stephenson Xavier Molina Arce, MSc.

3.2 Derivada material, local y convectiva. Aceleración del fluido

Sea 𝜏 una propiedad intensiva del fluido, ya sea vectorial (velocidad) o

escalar (presión, temperatura, densidad).

Siguiendo el enfoque de lagrangiano, para una partícula concreta de

fluido A, la propiedad de la partícula ( 𝜏𝐴) solo depende del tiempo

𝜏𝐴 = 𝜏𝐴(𝑡)

La Derivada Material de 𝜏 será la derivada de la propiedad 𝜏𝐴

respecto del tiempo

𝐷 𝜏(𝑡)

𝐷𝑡𝐴

= 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝜏

Derivada material (o total)

Para una propiedad 𝜏 definida en un campo vectorial o escalar,

siguiendo el enfoque euleriano estamos haciendo referencia a la

propiedad de la partícula de fluido que en el instante 𝑡 ocupa la

posición del espacio definido por el vector posición 𝑟

𝜏 = 𝜏( 𝑟, 𝑡)

En este caso, la propiedad 𝜏 depende tanto del tiempo, como de la

posición del espacio considerada.

La derivada con respecto del tiempo de la propiedad 𝜏 = 𝜏( 𝑟, 𝑡) se

conoce como Derivada Local

𝜕 𝜏( 𝜏, 𝑡)

𝜕𝑡

Derivada Local


La Derivada Local no coincide con la Derivada Material de la

partícula.

𝜕 𝜏( 𝜏, 𝑡)

𝜕𝑡≠

𝐷 𝜏(𝑡)

𝐷𝑡𝐴

La Derivada Total para una propiedad definida en un marco de

referencia euleriano, al depender de las coordenadas y el tiempo es:

𝐷 𝜏

𝐷𝑡=

𝜕 𝜏(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑡+

𝜕 𝜏(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑥

𝐷𝑥

𝐷𝑡+

𝜕 𝜏(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑦

𝐷𝑦

𝐷𝑡+

𝜕 𝜏(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

𝜕𝑧

𝐷𝑧

𝐷𝑡

Derivada material (total), local y convectiva


Si tenemos en cuenta la definición de los componentes del vector

velocidad: 𝐷𝑥 𝐷𝑡 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝐷𝑦 𝐷𝑡 = 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝐷𝑧 𝐷𝑡 = 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡

Expresión simplificada para la derivada material (o total) de la

propiedad 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝐷 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝐷𝑡=

𝜕 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝜕𝑡+

𝜕 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝜕𝑥𝑢 +

𝜕 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝜕𝑦𝑣 +

𝜕 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝜕𝑧𝑤



Derivada material o total de la propiedad 𝜏 para la partícula de fluido

que ocupa la posición 𝑟 en el instante 𝑡𝐷 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝐷𝑡

Derivada local de la propiedad 𝜏: expresa cómo varía la propiedad con

respecto al tiempo para una posición del espacio determinada 𝑟𝜕 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝜕𝑡

Derivada convectiva de la propiedad 𝜏: expresa cómo varía la propiedad

con respecto de la posición espacial 𝑟 para un instante determinado 𝑡𝜕 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝜕𝑥𝑢 +

𝜕 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝜕𝑦𝑣 +

𝜕 𝜏( 𝑟, 𝑡)

𝜕𝑧𝑤



Utilizando como simplificación 𝑉 en lugar de 𝑉( 𝑟, 𝑡), el campo de

aceleración puede ser expresado:

𝑎 =𝐷𝑉

𝐷𝑡=

𝜕𝑉

𝜕𝑡+

𝜕𝑉

𝜕𝑥𝑢 +

𝜕𝑉

𝜕𝑦𝑣 +

𝜕𝑉

𝜕𝑧𝑤

La expresión anterior puede ser simplificado utilizando el operador

gradiente 𝛻

𝛻 =𝜕

𝜕𝑥,𝜕

𝜕𝑦,𝜕

𝜕𝑧=

𝜕

𝜕𝑥𝐢 +

𝜕

𝜕𝑦𝐣 +

𝜕

𝜕𝑧𝐤

𝑎 =𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝜕𝑉

𝜕𝑡+ (𝑉 ∙ 𝛻)𝑉

Concepto de aceleración material, local y convectiva


El primer término 𝜕𝑉 𝜕𝑡 se llama aceleración local (o temporal).

El término 𝑉 ∙ 𝛻 𝑉 se llama aceleración convectiva (o inercial) explica

el efecto de la partícula que se desplaza hacia una nueva ubicación

en el flujo, en donde el campo de velocidad es diferente.

La aceleración material (o total) existe siempre que la partícula se

acelera, lo que puede ser provocado por dos causas fundamentales:

La velocidad en un punto del espacio cambia con el tiempo (flujo

transitorio); implica que existe aceleración local.

La partícula se acelera al cambiar de posición en el espacio, aún

tratándose de un flujo permanente; implica que existe aceleración

convectiva.





En coordenadas cartesianas, las tres componentes del vector

aceleración material o total 𝑎( 𝑟, 𝑡) serán:

𝑎𝑥 𝑟, 𝑡 =𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑢 +

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝑣 +

𝜕𝑢

𝜕𝑧𝑤

𝑎𝑦 𝑟, 𝑡 =𝜕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑣

𝜕𝑥𝑢 +

𝜕𝑣

𝜕𝑦𝑣 +

𝜕𝑣

𝜕𝑧𝑤

𝑎𝑧 𝑟, 𝑡 =𝜕𝑤

𝜕𝑡+

𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑢 +

𝜕𝑤

𝜕𝑦𝑣 +

𝜕𝑤

𝜕𝑧𝑤

Aceleración local

(tiempo/Lagrange)

Aceleraciones convectivas

(Espacio/Euler)

Problema propuesto 1.

Dado un campo euleriano de velocidades encontrar la aceleración de

una partícula que lo atraviesa: 𝐕 = 3𝑡𝐢 + 𝑥𝑧𝐣 + 𝑡𝑦2𝐤




Para un vector posición dado, encontrar los vectores de velocidad y

aceleración 𝐑 = 5𝑥𝑦𝑡2 + 𝑧𝑡 𝐢 + −2.5𝑦2𝑡2 + 𝑧𝑡 + 3𝑦𝑡 𝐣 + −3𝑧𝑡 +𝑥

2𝑡2 𝐤



Cuatro tipos fundamentales de

movimientos (pueden ocurrir de

manera simultánea):

a) Traslación

b) Rotación

c) Deformación lineal

d) Deformación por esfuerzo cortante

La descripción del movimiento y la

deformación de los elementos de

fluidos se realiza en términos de

razones.

3.3 Tipos de movimiento de los elementos de fluidos, vorticidad & rotacionalidad

Tipos de movimientos de los elementos de fluidos

Las razones se deben expresar

en términos de la velocidad y de

derivadas de la velocidad.

a) Velocidad (razón de traslación)

b) Velocidad angular (razón de

rotación)

c) Razón de deformación lineal

d) Razón de deformación por

esfuerzo cortante



El vector razón de traslación se describe en forma matemática como

el vector de velocidad. Expresado en coordenadas cartesianas:

𝑉 = 𝑢𝐢 + 𝑣𝐣 + 𝑤𝐤

La razón de rotación (velocidad angular) en un punto se define como la

razón promedio de rotación de dos rectas inicialmente perpendiculares

que se intersectan en ese punto. Expresado en coordenadas

cartesianas:

𝜔 =1

2

𝜕𝑤

𝜕𝑦−

𝜕𝑣

𝜕𝑧𝐢 +

1

2

𝜕𝑢

𝜕𝑧−

𝜕𝑤

𝜕𝑥𝐣 +

1

2

𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝐤



El vector de vorticidad se define

matemáticamente como el

rotacional del vector de velocidad

Ω = ∇ × 𝑉 = rot(𝑉)

La vorticidad es igual al doble de

la velocidad angular de una

partícula de fluido. Por lo tanto, la

vorticidad es una medida de la

rotación de una partícula de

fluido.

𝜔 =1

2∇ × 𝑉 =

1

2rot 𝑉 =

Ω

2


Vorticidad y rotacionalidad

En coordenadas cartesianas el vector vorticidad se puede expresarcomo:

Ω =𝜕𝑤

𝜕𝑦−

𝜕𝑣

𝜕𝑧𝐢 +

𝜕𝑢

𝜕𝑧−

𝜕𝑤

𝜕𝑥𝐣 +

𝜕𝑣

𝜕𝑥−

𝜕𝑢

𝜕𝑦𝐤

Si el flujo es bidimensional en el plano𝑥𝑦, la componente 𝑧 de lavelocidad es cero, y ni 𝑢 ni 𝑣 varían con 𝑧.

Una forma más concisa de expresar el vector vorticidad es medianteel determinante del producto vectorial entre el operador nabla y lavelocidad:

Ω = 𝛻 × 𝑉 =

𝑖 𝑗 𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑢 𝑣 𝑤



La presencia de vorticidad en una región del flujo siempre implica la

rotación de las partículas fluidas.

Si la vorticidad en un campo de flujo es diferente de cero, la partícula

de fluido que llegue a ocupar ese punto en el espacio está girando, y

se dice que el flujo en esa región es rotacional.

Si la vorticidad en una región del flujo es cero (o despreciablemente

pequeña) las partículas de fluido allí no están girando; se dice que el

flujo en esa región es irrotacional.

Se produce como consecuencia de la acción combinada de los

esfuerzos cortantes que se producen entre distintas capas de fluido,

provocando que la partícula de fluido rote sobre uno o varios de sus

ejes.



La rotación de los elementos de fluido se asocia con estelas, capas

límites, el flujo a través de turbomaquinaria (turbinas, ventiladores…)

Cambia por la acción de la viscosidad, gradientes de temperatura, u

otro fenómeno no uniforme.




Considere el siguiente campo estacionario, incompresible y

bidimensional de velocidad:

¿Es rotacional o irrotacional este flujo?



2( , ) ( 2 1)V u v x i xy j

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