Mecánica de Sólidos

Mecánica de Sólidos Mg. Ingº Carlos Esparza Díaz

733

6.06) Teoremas de Mohr. Método del Área del Diagrama de Momentos 6.06.1) Introducción. Definiciones Los Teoremas de Mohr originan el método para calcular deflexiones conocido como Método del Área del Diagrama de Momentos. Directamente, los Teoremas de Morh no calculan flechas ni pendientes de la curva elástica, sino calculan ciertas deflexiones auxiliares (desviaciones). Definición) Desviación vertical, medida en un punto de la curva elástica, respecto a la recta tangente trazada por otro punto, es el segmento comprendido entre dicha recta tangente y la posición deflectada del otro punto. Generalmente .δδ BAAB Definición) Desviación angular de la pendiente en un punto A, con respecto a otro punto B, es el ángulo orientado comprendido entre las rectas tangentes a la curva elástica, trazadas por los puntos de interés. Convenio de Signos (i) Desviaciones tangenciales (ii) Desviaciones angulares

Eje neutro inicial

ABδ

Tangente por A

Elástica

B A

Tangente por B

BAδ

ABΦ AΦ

BΦ

Tangente final Tangente

inicial

B A

BAδ B

A BAδ

BA

BAδ

Negativa: El punto B se sitúa bajo la recta tangente de referencia.

Positiva: El punto B se sitúa sobre la recta tangente de referencia.

Final Inicial

BAΦA B

ABΦ Inicial

Final

B

A

Positiva: La recta tangente en el punto de referencia situado a la derecha (B) se obtiene girando en sentido antihorario a la recta tangente trazada por el punto situado a la izquierda (A).

Negativa: Similar al caso anterior, con la diferencia que la recta tangente inicial gira en sentido horario hasta convertirse en la recta tangente final.


734

6.06.2) Teoremas de Mohr Primer Teorema de Área de Momentos “El cambio total de pendiente, desviación angular o ángulo entre las rectas tangentes a la curva elástica trazadas en dos de sus puntos, es numéricamente igual al Área A, limitada por el Diagrama de Momentos Flectores Reducidos comprendido entre tales puntos”. Para deformaciones infinitesimales, con aproximación suficiente:

ZEIM

dxΦd

, de donde dxEIM

ΦdB

A

B

A

Φ

Φ

x

x Z . Efectuando las integraciones, obtenemos:

dxEIM

ΦdxEIM

ΦΦB

A

B

A

x

x ZAB

x

x ZAB (1).

La integral de la igualdad (1) es numéricamente igual al área A limitada por el diagrama de momentos flectores reducidos, en el tramo de interés. Diagrama de momentos flectores reducidos

A ABΦ . Nota: Observar que el Primer Teorema de Mohr no calcula directamente los ángulos de giro o las pendientes de la curva elástica. Segundo Teorema “La desviación vertical (o tangencial) de un punto de la curva elástica, con respecto a otro punto, es igual al Momento Estático del Área A limitada por el Diagrama de Momentos Flectores Reducidos en el intervalo de interés, respecto de la vertical que pase por el punto donde se requiere la desviación vertical”.

Final Inicial

ABΦ B

A

dxds M M

Φd

Φd

B A xA

xB

A

x

BAδ

xB xA B A

BAδ

x Φd x

Φd


735

A partir de amosminerdet,EIM

dxΦd

Z

dxEIM

ΦdZ

. El segmento de longitud BAδ se

calcula como una integral

)ABL(

BA Φdxδ , es decir L Z

BA dxEIM

xδ (2).

La integral de la igualdad (2) calcula la desviación vertical del punto B respecto a la recta tangente trazada por el punto A. Dicha integral es numéricamente igual al Momento Estático del Área A limitada por el Diagrama de Momentos Flectores Reducidos, en el tramo de interés, con respecto a la vertical que pasa por el punto B (del cual se mide su desviación vertical). Diagrama de Momentos Flectores Reducidos Nota) Los Teoremas de Mohr son útiles para evaluar deflexiones verticales y rotacionales en elementos sometidos a flexión. Sin embargo, su aplicación sólo es inmediata en los casos donde sea posible definir una recta “tangente conocida” a la curva elástica. Observar que en estos casos, la recta tangente inicial (trazada por el punto A) tiene pendiente conocida (horizontal). EJEMPLOS 1) En la viga representada, calcular (a) La

diferencia de pendiente entre los puntos A y B; (b) La deflexión del punto A respecto a la recta tangente trazada por el punto B. Considerar E=2,100 T/cm2; IZ=8,000 cm4 en toda la viga.

Determinamos el diagrama de momentos flectores reducidos.

x x

dxxA

xB

Eje del Momento Estático

M/EIZ

x

BA

BAΦ

BΦ

B A

En este caso particular: BBA ΦΦ

BAδB

A

En este caso particular: BAB δu

3 m 0.9 m 1.5 m

4.5 TonBA

2.1 m

ABδ

BAΦ

4.5 Ton B A

B A

A

8.1/EIZ

2.7/EIZ

6.48/EIZ


736

a) Usando el Primer Teorema de Mohr, tenemos

BAΦ A

ZZ EI48.6

EI7.2

1.221

. Reemplazando valores de la rigidez flexional EIZ,

obtenemos Rad00574.0ΦBA . b) Usando el Segundo Teorema de Mohr (el eje para el momento estático es una recta vertical que pasa por el punto A), tenemos

1.232

EI7.248.6

21

21.2

EI7.2

1.2δZZ

AB

. Reemplazando los valores de EIZ,

obtenemos cm68.0δAB , positiva de acuerdo al convenio. 2) Calcular, por el método del área del

diagrama de momentos, la máxima flecha y la rotación del apoyo A generados en la viga representada. Considerar constante la rigidez flexional EIZ.

Determinamos el diagrama de momentos flectores reducidos. Además, la recta tangente trazada por el punto C es horizontal (tangente conocida). Para estos casos ACA ΦΦ y también ACMAXC δuu (por ser horizontal la recta tangente trazada por el punto C).

Por el primer Teorema de Mohr: CAΦ A, luego CAΦZ

3

Z

2

EI24Lw

EI8wL

2L

32

Por el segundo Teorema de Mohr, sabemos que la desviación vertical: ACδ es igual al momento estático del área A limitada por el diagrama de momentos flectores reducidos con respecto a la recta vertical que pasa por el punto A. Por tanto:

MAXZ

4

Z

2

CA uEI384Lw5

16L5

EI8wL

2L

32

δ .

3) Para la viga que se representa, graficar los

diagramas de fuerza cortante y momento flector. Considerar EIZ constante.

Problema hiperestático. Sea RB la reacción hiperestática. Las ecuaciones del equilibrio estático son: i) RA+RB=wL; ii) MA+RBL=0.5 wL2. La ecuación de compatibilidad es 0δBA (*)

A

L A B

w

L/2

wL2/EIZ

A B

w

AΦ

CAΦ

uC

A B C

A C 5L/16

CG

A

L A B

w


737

Para desarrollar la condición de compatibilidad (*) es conveniente emplear el principio de superposición. Usando el segundo Teorema de Mohr, tenemos:

.EI3LM

EI24wL

3L2

EIM

L21

2L

EI8wL

L32

δ Z

2A

Z

4

Z

A

Z

2

BA

Reemplazando en la ecuación (*)

.8

wLM0M

8wL 2

AA

2

Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio, tenemos

.8wL3

Ry8wL5

R BA Conociendo las fuerzas de reacción, pueden ser trazados

los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. 4) Usando los Teoremas de Mohr, calcular la

pendiente de la elástica en los puntos A y D. Encontrar la flecha en el punto D. Considerar constante la rigidez flexional EIZ.

Determinamos el valor CAδ usando el segundo Teorema de Morh.

ZZZ

CA EI160

32

2EI20

221

34

2EI20

421

δ

. Para deformaciones infinitesimales,

con aproximación suficiente tenemos ,θ6δ ACA luego .EI

67.26θ

ZA

-MA/EIZ

wL2/8EIZ

RA

MA

A B

w

RB

B

BAδ

Tangente conocida (horizontal)

A

+ =MA

RA RB

w

R’A R’B

w MA

R’’A R’’B

5L/8

Momento flector Fuerza cortante

-5wL/8

3wL/8 9wL2/128

-wL2/8

1 m 2 m 3 m

D A B C

15 Ton


738

5) En la viga representada, determinar la

pendiente y el giro en el punto C. Consi-derar E=2 x 108 Klb/pulg2; I=5 x 10-4 m4 en toda la viga. AC = 4 m; CB = 6 m.

Determinamos el diagrama de momentos flectores reducidos. En la curva elástica elegimos la pendiente del punto A como pendiente de referencia. Por el segundo Teorema de Mohr, tenemos

.EI400,6

4EI240

621

634

EI240

421

δZZZ

AB

Para deformaciones infinitesimales:

Z

BAA EI

64010δ

θ

C B A

3 m

DAΦ

DAδ

CAδ

Dθ

uD uD Aθ

15/EIZ 20/EIZ

1 m 2 m 3 m

D A B C

15 Ton

Deformaciones infinitesimales:

6δ

θ CAA

Por el primer Teorema de Mohr:

ZZ

DA EI5.22

EI15

321

Φ

.

Relaciones geométricas:

DAADDADA ΦθθΦθθ

Luego ZZZ

D EI17.4

EI5.22

EI67.26

θ

Flecha en el punto D

DAADADAD δθ3uθ3δu Reemplazando valores, tenemos

.EI

51.57u

331

EI15

321

EI67.26

3u

ZD

ZZD

100 KN

4/5 m 4 m

A B

240/EIZ

CAδ

BAδ

uC

CAΦ Cθ

Aθ

C A B


739

Relaciones geométricas: CAACCACA ΦθθΦθθ . Reemplazando valores,

encontramos .EI160

EI450

EI640

θZZZ

C

Por aplicación del segundo Teorema de Mohr, tenemos ZZ

CA EI640

34

EI240

441

δ

.

Relaciones geométricas .EI640

EI640

4uuδθ4ZZ

CCCAA

Reemplazando valores

tenemos ).horariosentido(Rad10x6.1θym0192.0u 3CC

6) En la viga que se representa, determinar la

pendiente en el punto D y la máxima deflexión vertical. Considerar constante la rigidez flexional EIZ.

Dependiendo de los valores numéricos, la deflexión máxima puede presentarse en el centro de la luz o en los puntos extremos. Determinamos los momentos flectores reducidos. La deflexión del punto D es (valor absoluto) es .uδu EDED

,EI3Pa

EI8PaL

EI2LPa

3a2

aEIPa

21

4L

a2L

EIPa

δZ

3

Z

2

Z

2

ZZDE

por tanto el valor

de ud es: .3a

2aL

EIPa

EI8PaL

EI3Pa

EI8PaL

EI2LPa

u2

ZZ

2

Z

3

Z

2

Z

2

D

7) Una viga en voladizo tiene 4 m de longitud

y soporta una carga concentrada de 40 KN. (i) Determinar la flecha en el extremo libre. (ii) Cuánto cambiará este valor, si se aplica la misma carga pero en forma repartida en la porción que ocupa 3 m desde el apoyo. Considerar EIZ=65 x 106 N-m2.

a L a A B C

D

P P

Dθ

D’

E DEΦ

L/2

E

-Pa/EIZ

a L a A B C

D

P P

Primer Teorema de Mohr:

aEIPa

21

2L

EIPa

ΦθZZ

DED

).horariosentido(aLEIPa

θZ

D

Segundo Teorema de MOhr:

Z

2

ZCEE EI8

PaL4L

EIPa

2L

δu

(El signo menos indica que el punto C se ubica bajo la recta tangente de referencia trazada por el punto E’).

ZEI8

PaLu

2

E

1 m

B A

P

C

3 m


740

Condición geométrica m10x307.8u 3

C . Finalmente, .m10x3'u)10x23.9)(1(10x077.2'∆ 3

C43

C

( m10x3'u 3C ). Notar que por la carga repartida uniforme en el tramo indicado, la

flecha en el extremo libre se reduce en el 64%. 8) En la viga que se representa, usando los

Teoremas de Mohr, calcular la pendiente en el punto A y la deflexión vertical en el punto C. Considerar el momento de inercia relativo IZ=2,500 pulg2 y el módulo de elasticidad E=29,000 Klb/pulg2.

Distancias: AB = 10’; BC = 10’; CD = 10’; DE = 15’; EF = 10’.

Determinamos el diagrama de momentos flectores reducidos, teniendo en cuenta el cambio de rigidez flexional.

BθuB

uC

-3P/EIZ

B A

P

C

Segundo Teorema de Mohr:

332

EIP3

321

δuZ

BAB

. Reemplazando

valores, tenemos m10x538.5u 3B

. También por el Primer Teorema de Mohr,

Rad10x769.2EI

P33

21

Φθ 3

ZBAB

.

Luego: m10x307.810x769.21uu 33

DC .

9/4 m

C A B

w

-59,998.5/EIZ

Segundo Teorema de Mohr:

m10x077.249

EI5.998,59

331

'u 3

ZB

Primer Teorema de Mohr:

Rad10x23.9EI

5.998,593

31

'θ 4

ZB

E F C

A

2IZ

15 Klb 40 Klb

IZ

B

D

-150/EIZ -200/EIZ

100/EIZ

ED C B F A


741

Debido a la articulación que existe en el punto C, la curva elástica no es derivable en dicho punto. Por tanto, los Teoremas de Mohr deberán ser aplicados en cada tramo de la viga.

Pendiente en el punto D. Relación geométrica 15δ

θ EDD . Aplicando el segundo

Teorema de Mohr, tenemos: ZZ

ED EI625,20

10155021

5.715150EI1

δ

. Por

tanto .EI375,1

EI15625,20

θZZ

D

Deflexión vertical del punto C. Relación geométrica CDDC δθ10u . Donde el valor

CDδ se determina por el Segundo Teorema de Mohr:

.EI

67.666,6320

10EI200

21

δZZ

CD

La deflexión del punto C es por lo tanto .EI

67.416,20EI

67.666,6EI

137510u

ZZZC

Reemplazando valores numéricos tenemos

lgpu488.0)500,2)(000,29(

1267.416,20u

3

C .

Pendiente en el punto A. Relación geométrica .20δu

θ CACA

Donde la desviación

CAδ se determina por el Segundo Teorema de Mohr:

.EI000,10

320

1020EI100

21

δZZ

CA

C’

15’

10’ 20’

10D uC

CD

CA

ED D

A E D

C B F A


742

Luego .EI

84.520,1EI000,10

EI67.416,20

201

θZZZ

A

Reemplazando EIZ obtenemos

finalmente ,Rad003.0

500,2000,291284.520,1

θ3

A en sentido horario.

9) Usando el método del área del diagrama de momentos, encontrar el giro y el desplazamiento horizontal de cada nudo del sistema representado. La viga horizontal tiene rigidez flexional 2IZ. Los elementos verticales tienen IZ como rigidez flexional. El módulo de elasticidad para todo el sistema es E.

Determinamos el diagrama de momentos flectores reducidos. Aplicación del segundo Teorema de Mohr:

.EI

5.187d4

25.23

5.431022

35.12dEI

Z33Z Luego, por una relación

geométrica .EI

25.316d

θZ

32 También

4 m

2

4

3 2

1

1 m

3 m

10 T

3 m

3 m 5 T

+

12.5/EIZ

10/EIZ

20/EIZ

4

3 2

1

20/EIZ +

1

2

3

4

d3 d2

d4

d1

2H∆

4H∆

4

1

2 3

3H∆

d5


743

.EI

5.127d,4

25.12

25.223

5.1310dEIZ

22Z También 4Z

23 θ

EI25.21

6d

θ .

Aplicación del primer Teorema de Mohr:

.

EI80

EI220

EI2420

θZZZ

12 Por una relación geométrica, tenemos 1221 θθθ . De

donde .EI

25.111EI80

EI25.31

θZZZ

1

Aplicación del segundo Teorema de Mohr:

Z11Z EI

67.306d,67.3065220

38

2420

dEI

.

Por relaciones geométricas tenemos

Z44 EI

75.63θ3d . Los desplazamientos pedidos son:

3H

Z51

2H ∆

EI17.494

dd∆ ; z

43H

4H EI

92.557d∆∆ ; .0∆1

H

10) Una viga uniforme AE está unida a dos apoyos situados a una altura Oδ por

encima de una superficie horizontal rígida. Cuando se incrementa la magnitud P de las cargas aplicadas, una parte central FG de la viga es forzada a establecer contacto con la superficie rígida horizontal. Si Oδ es pequeña comparada con la longitud de la viga, expresar P=P(a, Oδ , EIZ), sabiendo que la porción FG de la viga tiene longitud a.

Consideremos la porción AF de la viga (o, equivalentemente por la simetría, la porción EG). Como el tramo FG debe ser recto (contacto con la superficie rígida horizontal), la curvatura en el punto F debe ser cero y, en consecuencia el radio de curvatura en el

punto F, debe ser . Luego 0EI

ρEI

M Z

F

ZF

. Calculemos la reacción en el punto A.

Condición de la curvatura nula: MF=0. Luego, (RA)(3a/2)=(P)(a/2), de donde RA=P/3. Condición geométrica: La desviación tangencial del punto A, medida con

D E

B A

a

G F O

a P P

2a a

-

A

A2 A1

a/2 a

RA B

A

F

O P

Tangente trazada por el punto F

Pa/2EIZ

-Pa/2EIZ


744

respecto a la recta tangente trazada por el punto F, debe ser igual a la distancia O. Por el segundo Teorema de Mohr determinamos AFδ .

La desviación tangencial es 2211AF xAxAδ (*). Las áreas de momentos reducidos son

Z

2

Z1 EI8

Pa3EI2Pa

2a

a21

A

Z

2

Z EI8Pa

EI2Pa

2a

21

2A

(**)

Las distancias centroidales son a2a

a32

x1

, y

3a4

2a

32

ax2

(***)-

Reemplazando (**) y (***) en (*) y simplificando obtenemos Z

3

AF EI24Pa5

δ . Por la

condición geométrica Z

3

O EI24Pa5

δ , de donde obtenemos 3OZ

a5δIE24

P .

11) Una viga de resistencia constante AB

tiene sección rectangular de ancho uniforme b y altura variable h. Expresar la deflexión en el extremo A en función de P, L y la rigidez flexional EIO en la sección B.

El momento de inercia en cualquier sección genérica definida por la distancia x, es IZ=bh3/12. El momento de inercia en la sección de empotramiento es IO=bhO

3/12.

Luego obtenemos la relación 3

O

Z

O II

hh

.

Si la viga es de resistencia constante, entonces Mc/IZ es de valor constante a lo largo

de AB. Por tanto:

O

O

Z I2/hPL

I2/hPx

, de donde obtenemos

O

ZO

II

hh

Lx

. Si

reemplazamos la relación h/hO obtenemos la ley de variación 2/3

OZ Lx

II

.

Para cualquier sección genérica xEI

PL

Lx

EI

PxEIM

O

2/3

2/3

OZ

. Por el Segundo

Teorema de Mohr, tenemos: .EI3PL2

dxxEI

PLxdx

EIM

xδO

3L

0 O

2/3L

0 ZAB

Condición de compatibilidad geométrica: ABA δu .

Finalmente O

3

A EI3PL2

u

h

x

L

A hO

B

P


745

12) La barra AD descansa sobre la barra EF según se indica en el esquema. Sabiendo que la rigidez flexional es EI para ambas barras, determinar (a) La dimensión b para la cual la deflexión del punto C es nula; (b) La deflexión correspondiente del extremo A. Considerar que ambas barras se cruzan ortogonalmente.

Usaremos el Segundo Teorema de Mohr y condiciones geométricas para determinar las deflexiones correspondientes. Independizamos ambas vigas, adicionando la fuerza de interacción RB. Barra AD Por aplicación del segundo Teorema de Mohr, calculamos desviaciones verticales:

EI3Pa4

a232

a2EIPa

21

δ3

BD

. Relación geométrica .

EI3Pa2

a2

δθ

2DB

B

.EI3

Pa3a2

EIPa

a21

δ3

AB

.EI12

Pa53a2

EI2Pa

EIPa

a21

2a

EI2Pa

aδ3

CB

Deflexiones:

DBAB'A δ

21

δu (Geometría)

Reemplazando y simplificando,

P

b

b a a a

F

E

D C

AB

A

4a/3

-Pa/EI

a a aa

B DB CB

AB

RB

D B

A

P P B C

RD

AB

-Pa/2EI

Equilibrio: RB=3P/2 () RD=P/2 ()

uC’

uA’ DC B

A B DBCB

AB AB


746

.EIPa

u3

'A

También:

DBCB'C δ

21

δu .

Reemplazando valores y simplificando obtenemos .EI4

Pau

3'C

Barra EF Determinamos las deflexiones de A y C ocasionadas por el movimiento del apoyo B (asumiendo AD rígida).

.EI8

PbEI4

Pb21

u21

u33

B''C

Por tanto, las deflexiones totales son:

8b3

aEIP

EI8Pb3

EIPa

uuu3

333

''A

'AA .

2b

aEIP

EI8Pb

EI4Pa

uuu3

333

''C

'CC .

Condición del problema uC=0, luego 02b

a3

3 , de donde a2b 3 1.26 a.

La deflexión correspondiente del extremo A, es .EI4

Pa7a2

83

aEIP

u3

33A

B

uB EB

3Pb/4EI

B b b

RB=3P/2 E F

3P/4 3P/4

La desviación vertical EBδ es:

.EI4

Pb3b2

EI4Pb3

21

δ3

EB

Condición geométrica EBB δu .

Luego EI4

Pbu

3

B .

u’’A uB

u’’C C D A B

Relaciones geométricas:

EI8Pb3

EI4Pb

23

u23

u33

B``A


747

13) Usando los Teoremas de Mohr, encontrar

los momentos flectores en los vértices del sistema representado. Considerar todos los elementos con la misma rigidez flexional EI.

Debido a la simetría, el sistema puede ser descompuesto en cuatro elementos. Por las condiciones de nudos rígidos se cumple que 2=1 (a) Resulta cómodo usar el principio de superposición: Para el elemento horizontal, teniendo presente la simetría, por aplicación del primer Teorema de Mohr. Encontramos:

2L

EI4PL

21

2L

EIM

θ0 1 , de donde EI2

MLEI16

PLθ

2

1 .

Para el elemento vertical, teniendo presente la simetría, por aplicación del primer Teorema de Mohr. Encontramos:

L/2

h

L/2

P

P

M 1

P M

P

M 1

P M

M M M

M

M

2

M

PL/4EI

M/EI -

+

M/EI

M

2

M

+

EI2Mh

2h

EIM

θ2

Según la condición (a) tenemos:

Lh8PL

M

dondede,EI2

MLEI16

PLEI2

Mh

2

2


748

6.07) Teorema de los Tres Momentos (Teorema de Clapeyron) 6.07.1) Introducción El Teorema de los Tres Momentos es fundamental en el estudio clásico de sistemas hiperestáticos. Tiene aplicaciones inmediatas en la solución de vigas continuas (vigas con más de dos apoyos). La sustentación más simple de una viga continua de n apoyos consiste en un apoyo articulado fijo y (n-1) apoyos móviles. El número de incógnitas a determinar (fuerzas de reacción) es en total 2+(n-1)=n+1. Puesto que se disponen de tres ecuaciones del equilibrio estático, el problema es hiperestático externo de orden (n-2). El sistema de sustentación puede ser más complejo, incrementándose en estos casos el grado u orden de hiperestaticidad. En el Teorema de los Tres Momentos se desarrolla una relación algebraica entre los Momentos Flectores en tres apoyos consecutivos cualesquiera, siempre que la viga sea continua entre tales puntos de apoyo (es decir, que no existan articulaciones u otros mecanismos que rompan la continuidad interna de la viga). 6.07.2) Ecuación de los Tres Momentos Las vigas continuas son caracterizadas por la “continuidad y derivabilidad” de su curva elástica, que en ningún punto presentará cambios bruscos de inclinación. Al deducir la ecuación de los tres momentos conviene introducir posibles movimientos verticales de los apoyos, que simulen efectos importantes en Mecánica de Sólidos. Los desplazamientos de los apoyos influyen en las fuerzas internas, siempre que no sean iguales en todos los apoyos. Consideremos una porción de viga, comprendida entre tres apoyos consecutivos, en su configuración no deformada.

Articulación M=0

Elástica


749

Las cargas aplicadas en cada tramo generan los denominados Momentos Flectores Libres (Isostáticos). En general, los momentos flectores (reales) en los apoyos no son nulos, sino que tendrán valores Mn-1, Mn, Mn+1 los mismos que determinan un Diagrama de Momentos Flectores Fijos. El diagrama real de momentos flectores será la superposición de los momentos determinados anteriormente (Momentos Libres + Momentos Fijos). Incluyendo los posibles movimientos verticales de los apoyos, la curva elástica tendrá la forma indicada en la gráfica siguiente: Sean Zn y Zn+1 las desviaciones verticales correspondientes a los apoyos n-1 y n+1, respectivamente. Sean n y n+1 los desplazamientos o movimientos (relativos) de los apoyos n-1 y n+1, con respecto al apoyo central n.

EIn

Ln+1 Ln Rn-1

n+1 n n-1

Rn Rn+1

EIn+1

Xn+1 Xn

CGn An

EIn

Ln+1 Ln Rn-1

n+1 n n-1

Rn Rn+1

EIn+1

An+1 CGn+1

Ln+1/3

2Ln+1/3 2Ln/3

Ln/3

n+1 n-1

Mn+1

Mn Mn-1

n


750

El ángulo n indica la pendiente de la curva elástica trazada por el apoyo intermedio n. Para deformaciones infinitesimales, con suficiente aproximación tenemos:

,L

δZδL

Zδθ

1n

n1n1n

n

nnn

expresión que puede escribirse,

(*).LZ

Lδδ

LZ

Lδ

1n

1n

1n

n1n

n

n

n

n

Las desviaciones verticales Zn y Zn+1 se determinan por aplicación del segundo Teorema de Mohr. Al respecto, sabemos que Z = A x/ EIz, donde A es el área del diagrama de momentos flectores reducidos en el tramo donde se calcula Z. Por tanto, para el tramo de longitud Ln, la desviación vertical es

3LM

6LM

xAEI1

3L2

2LM

3L

2LM

xΑEI1

Z2nn

2n1n

nnn

nnnnn1nnn

nn

De manera similar, para el tramo de longitud n+1, la desviación vertical Zn+1, es:

.3LM

6L1M

xAEI

1

3L

2L1M

3L2

2LM

xAEI

1Z

21nn

21nn

1n1n1n

1n1nn1n1nn1n1n

1n1n

Observar que sg(Zn) sg(Zn+1) porque ambas desviaciones son medidas en sentido contrario. Reemplazando Zn y Zn+1 en la ecuación (*), obtenemos:

1n1n

2nn

21n1n

1n1n

1n

n1n

n

n

nn

2n

2n1n

nn

LEI

3LM

6LM

xA

Lδδ

Lδ

LEI

3MnL

6LM

xA

, expresión

que puede transformarse en la siguiente:

n

n

1n

n1n

1n1n

1n1n

nn

nn

1n

1n1n

1n

1n

n

nn

n

n1n

Lδ

Lδδ

E6LIxA

LIxA

6I

LMIL

IL

M2I

LM, (**)

conocida como Ecuación o Teorema de los Tres Momentos (Teorema de Clapeyron).

Tangente a la elástica trazada por el apoyo n

Zn+1

n+1 n

Zn

n

Ln+1; EIn+1 Ln; EIn

n+1 n-1 n


751

Casos Particulares. a. Si la viga es de sección uniforme, es decir In=In+1=I, entonces:

n

n

1n

n1n

1n

1n1n

n

nn1n1n1nnnn1n L

δL

δδEI6

LxA

LxA

6LMLLM2LM (***)

Expresión en la cual 1nn δyδ son los desplazamientos o movimientos relativos de los apoyos (n-1) y (n+1) respecto al apoyo intermedio n. b. Si además los apoyos permanecen en el mismo nivel, tenemos:

1n

1n1n

n

nn1n1n1nnnn1n L

xALxA

6LMLLM2LM (****).

EJEMPLOS 1) Calcular las reacciones en la viga representada, cuya rigidez flexional EIz es

constante. Graficar el diagrama de momento flector. Se trata de una viga hiperestática de segundo orden. Existen cuatro incógnitas y se disponen de dos ecuaciones del equilibrio estático y dos aplicaciones del Teorema de los Tres Momentos. Equilibrio. R1+R2+R3+R4=320 KN (1); 3R2+6.6R3+12.6R4=1,686 KN-m (2). Aplicaciones del Teorema de los Tres Momentos. Primera aplicación: Apoyos 1-2-3. Usaremos la ecuación simplificada (****) para n=2 (apoyo intermedio).

3

33

2

223332221 L

xALxA

6LMLLM2LM , donde M1=0 por ser apoyo simple.

Reemplazando, tenemos

2 1

3 m

100 KN m/KN3

100

3 m 3 m 3.6 m

3 4

R1

100 KN m/KN3

100

R2 R3 R4

2 1 3

2

m/KN3

100

L2=3

1 3

L2=3.6 A2

54

37.5

A3

5.1x2 8.1x3


752

3

33

2

2233322 L

xALxA

6LMLLM2 (3).

Momentos Flectores Isostáticos: Parábolas de segundo grado. Máximos (wL2/8) en el centro de la luz. Se obtienen 37.5 KN-m en el tramo 1-2 y 54 KN-m en el tramo 2-3. Estas gráficas a su vez definen las áreas A2 y A3 así como las abscisas de sus centros de gravedad, mediante las distancias 32 xyx . Reemplazando los respectivos valores en la ecuación (3) encontramos:

6.354

32

6.38.1

5.37332

35.1

66.3M6.33M2 32 , simplificando:

-13.2M2-3.6M3=613.8 (4) Segunda aplicación: Apoyos 2-3-4. Usaremos la ecuación simplificada (****) para n=3 (apoyo intermedio). Los máximos momentos isostáticos son Mmax= wL2/8=54 KN-m en el tramo (2-3) y Mmax= Pab/L = 150 KN-m en el tramo (3-4). Luego, tenemos:

4

44

3

334443332 L

xALxA

6LMLLM2LM . Reemplazando valores y considerando

que M4=0 (apoyo libre), obtenemos:

1506

21

63

546.332

6.38.1

6)6(M66.3M2M6.3 432 , simplificando,

-3.6M2-19.2M3=1738.8 (5). Resolviendo las ecuaciones (4) y (5) tenemos M2=-22.973 KN-m y M3=-86.255 KN-m. Valores con los cuales puede graficarse el diagrama de momento flector (real). Determinación de las reacciones externas.

A4 A3

100/3 Km/m 100 KN

3

L3=3.6

2 4

L4=6 3x

150

54

4x

- + 3 2

1 4

-86.255 KN-m

-22.973 KN-m

+ +

-


753

Trabajando por tramos y usando, por comodidad, el principio de superposición, se calculan rápidamente las reacciones en los apoyos. Por tanto las reacciones totales, son:

R1=42.34 KN; R2=100.082 KN; R3=141.954 KN; R4=35.624 KN. Conocidas las reacciones, puede graficarse el diagrama de fuerza cortante. 2) Calcular los momentos en los apoyos de

la viga que se representa. Considerar constante la rigidez flexional.

Los empotramientos “equivalen” a “tramos imaginarios”, cada uno de longitud cero. Primera aplicación del Teorema de los Tres Momentos: apoyos 0-1-2, (n=1).

2

22

1

11222111O L

xALxA

6LM)LL(M2LM (*)

Determinamos las áreas A1, A2 y las abscisas 21 xyx . Segunda aplicación del Teorema de los Tres Momentos: apoyos 1-2-3, (n=2).

Usando las ecuaciones del equilibrio, se obtienen: R1’= 57.66 KN ( ). R2’= 42.34 KN ( ). 2

R2’ 1

R1’

3 R3’’

2 R2’’

Usando las ecuaciones del equilibrio, se obtienen: R2’’= 42.422 KN ( ). R3’’= 77.578 KN ( ).

4 R4’’’

3 R3’’’

Usando las ecuaciones del equilibrio, se obtienen: R3’’’= 64.378 KN ( ). R4’’’= 35.624 KN ( ).

3 m 2 m 2 m

600 N/m400 N

0

0 3 m 2 m 2 m

600 N/m 400 N

0

1 2 3 4

2x

400 N-m

400 N 2 1 0

L1=0 L2=4 m

MO=0

A1=0; 0x1 . A2=(4)(400)/2; 2x2 . Reemplazamos en la ecuación (*)

2

4800

6)4(M)4(M2 21 , de donde

-2M1-M2=600 (1)


754

3

33

2

223332221 L

xALxA

6LMLLM2LM (**)

Determinamos las áreas A2, A3 y las abscisas 32 xyx . Reemplazando valores en la ecuación (**) y simplificando, obtenemos

-4M1-14M2-3M3=6,450 (2)

L2=4 m L3=3 m Tercera aplicación del Teorema de los Tres Momentos: apoyos 2-3.4, (n=3).

4

44

3

334443332 L

xALxA

6LM)LL(M2LM (***)

Determinamos las áreas A4, A3 y las abscisas 43 xyx , y además M4=0; L3=3m;L4=0. Nota) Si tres apoyos consecutivos de una viga continua sufren asentamientos 1nn1n δ,δ,δ y si la viga es uniforme (EI constante en toda la longitud), la ecuación de los Tres Momentos, se expresa:

1n

n1n

n

n1n

1n

1n1n

n

nn1n1n1nnnn1n L

δδLδδ

6L

xALxA

6LMLLM2LM (I)

2x 3x

675 N-m

400 N-m

3 m 2 m

3 1

600 N/m 400 N

2

2 m

675 N-m

600 N/m

2 2 3 4

m2/3x3

Reemplazando valores en (***) tenemos:

5.1675332

31

6)03(M2M3 23

, de

donde -3M3-6M2=4,050 (3) Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3) obtenemos: M1=-147 N-m; M2=-307 N-m; M3=-522 N-m


755

3) Determinar los momentos en los apoyos interiores de la viga representada en el

esquema, aceptando que los apoyos sufren los asentamientos siguientes: A, 0.0313 m; B, 0.060 m; C, 0.0688 m; D, 0.0275 m. Considerar módulo de

elasticidad E=200 GPa y Momento de Inercia I=3.2 x 10-3m4, en toda la viga. Primera aplicación del Teorema de los Tres Momentos: apoyos A-B-C (apoyo intermedio B). Consideramos MA=0 (apoyo simple en A).

606.00688.0

606.00313.0

102.3102006

300621

63

375621

63

66M66M2

36

CB

Simplificando obtenemos 4MB+MC=1,110.32 (1) Segunda aplicación del Teorema de los Tres Momentos: apoyos B-C-D (apoyo intermedio C). Consideramos MD=0 (apoyo simple).

EI

Ln+1 Ln

n-1 n

n+1

n-1 n n+1

3 m

C D B A

200 KN 200 KN 250 KN

3 m 3 m 3 m 3 m 6 m

3 m 3 m 3 m 3 m

C B

375 KN-m

200 KN 250 KN

300 KN-m

A

6 m 3 m 3 m 3 m

D C

300 KN-m

200 KN 200 KN

400 KN-m

B


756

90688.00275.0

60688.006.0

102.3102006

95

400921

300621

63

696MC26MB

36

Simplificando obtenemos MB+5MC=2,425.2 (2) Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se obtienen

MB=164.55 KN-m; MC=452.13 KN-m

4) Calcular los momentos flectores en los apoyos de la viga representada. Considerar

constante la rigidez flexional EI en toda la viga. Graficar el diagrama de momento flector.

Primera aplicación del Teorema de los Tres Momentos: apoyos 0-1-2 (n=1). Reemplazando en la ecuación de los tres momentos, encontramos

)1(4

wLMM4M

2L

12wL

LI6

IL

MIL

2M2IL

M2

21O

3

21O

.

Segunda aplicación del Teorema de los Tres Momentos: apoyos 1-2-3 (n=2).

En este caso A2=A3=0. Luego )2(0MM4M0MIL

2M2IL

M 321321

Tercera aplicación del Teorema de los Tres Momentos: apoyos 2-3-4 (n=3). En este caso A3=A4=0. Reemplazando en la ecuación de los tres momentos, tenemos

M2+4M3+M4=0 (3).

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2), (3) con las condiciones MO=M4=0,

encontramos 224wL

M;wL2234

M;wL22415

M2

32

22

1 .

3

L L L L

w

0 1 2

4

A2 A1

wL2/8

w

0 1 2

0x;0A

2L

x;12wL

8wL

3L2

ADonde

LIxA

6LIxA

6IL

MIL

IL

M2IL

M

22

1

32

1

221121O


757

Diagrama de momento flector 5) Calcular las reacciones en los apoyos de la viga representada, debidas al

movimiento vertical hacia abajo de los apoyos: A, 0.006 m; B, 0.012 m; C, 0.015 m; D, 0.000 m. Considerar E=2.1 x 107 Ton/m2; I=4 x 10-4 m4.

Primera aplicación: apoyos A-B-C.

51

51

12.05015.0

5006.0

10x1.2x6

4x10x35

M3x10x4

510x45

M210x45

M

7

4C44B4A

Simplificando tenemos 3 MA+8 MB+MC=18.144 (1).

Segunda aplicación: apoyos B-C-D.

51

51

015.05012.0

010x1.2x6

10x4x26

M10x4x2

610x4x3

5M2

10x4x35

M

7

4D44C4B

Simplificando tenemos 5 MB+28 MC+9 MD=468.72 (2) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2) con las condiciones MA=MD=0, encontramos MB=0.18 Ton-m; MC=16.7 Ton-m. Reacciones. Usando las condiciones del equilibrio, encontramos R’A=0.036; R’B=0.036; R’’B=3.304; R’’C=3.304; R’’’C=2.783: R’’’D=2.783 (Ton). En consecuencia, las reacciones totales son:

0.45L

- - + +

0.1016wL2

3

L L L L

w

0 1 2

4

0.0667wL2

0.0177wL2

0.00464wL2

6 m 5 m 5 m

EI

D C B A

3EI 2EI

DC B B

A

C

0.18 0.18 16.7 16.7

R’A R’B R’’B R’’C R’’’C R’’’D


758

783.2R;087.6R;268.3R;036.0R DCBA , en toneladas. Conociendo las reacciones pueden graficarse los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. 6) La viga representada en el esquema tiene rigidez flexional EI en toda su longitud.

Graficar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. Primera aplicación: apoyos 0-1-2 (n=1).

.L2L

24wL2

L2L

24wL2

L6

ML11

3M

L6

M 3321O

Simplificando obtenemos:

2 MO + 8 M1 + 2 M2=-w L2 (1)

Similar para la segunda y tercera aplicaciones. Obtenemos las ecuaciones:

2M1+8M2+2M3=-wL2; (2) y 2M2+8M3+2M4= -wL2 (3) Resolviendo las ecuaciones (1), (2), (3) junto con las condiciones MO=M4=0,

obtenemos: 23

22

21 wL

283

M;wL282

M;wL283

M . Conocidos los momentos

en los apoyos, pueden determinarse las fuerzas de reacción usando las condiciones del equilibrio estático. Encontramos:

wL2811

R;wL2832

R;wL2826

R;wL2832

R;wL2811

R 4321O

0.18 T-m -0.036

D C B A D C B A

-3.304

2.783

-

+ 16.7 T-m

+

wL2/8

3 2 1 0 L

w

L L L 4

Diagrama de Momentos Flectores isostáticos


759

Diagramas de fuerza cortante. Diagrama de momento flector 6.08) Método de los Pesos Elásticos 6.08.1) Introducción El Método del Área del Diagrama de Momentos puede generalizarse y ser expresado como otro procedimiento alternativo denominado Método de las Cargas Elásticas (Pesos Elásticos). El procedimiento proporciona una transición hacia un método más general y potente, denominado Método de la Viga Conjugada.

15wL/28 17wL/28

13wL/28 11wL/28

-13wL/28 -11wL/28

3 2 1 0 L

w

L L L 4

-15wL/28 -17wL/28

- - -

+ +

57wL2/1568 57wL2/1568

121wL2/1568 121wL2/1568

3 2 1 0 L

w

L L L 4

3wL2/28 3wL2/28

2wL2/28

+ ++


760

Consideremos una viga simplemente apoyada, ACB, y su correspondiente diagrama de momentos flectores reducidos, M/EIZ. Seleccionemos una sección genérica C, ubicada a la distancia a del apoyo A. Las variables x, x* y x se explican en la gráfica siguiente. Aplicando los Teoremas de Mohr pueden calcularse las magnitudes representadas en la gráfica siguiente. Para deformaciones infinitesimales son válidas las relaciones indicadas:

A = BA / L (i) uC = a A - CA (ii) C = C - CA (iii) ó C = BA / L - CA (iii)

Aplicando los Teoremas de Mohr determinamos expresiones para transformar las relaciones anteriores. A partir de la ecuación (i) y por el Segundo Teorema de Mohr:

C

x

ZEIMdx

dA

dx x* x

L;EIZ a

A B C

M/EIZ

Elástica

Tangente trazada por C

A

aA

C

A uC

L

a B A C

BA

uC

CA

Tangente trazada por A


761

)1(dxEIM

xL1

θZ

x

xA

B

A

A partir de la ecuación (iii) y por el Primer Teorema de Mohr:

)2(dxEIM

dxEIM

xL1

θC

A

B

A

x

x ZZ

x

xC

A partir de la ecuación (ii)y por el Segundo Teorema de Mohr:

)3(dxEIM

*xdxEIM

xLa

uB

A

B

A

x

x ZZ

x

xC

Deducidas las anteriores expresiones (1), (2) y (3), analizaremos el problema siguiente: “Considerar una viga imaginaria, simplemente apoyada, de la misma longitud que la viga real, sometida al Sistema de Cargas definido por el Diagrama de Momentos Flectores Reducidos, denominado Sistema de Cargas Elásticas o Pesos Elásticos. En dicha viga imaginaria, calcular el Momento Flector y la Fuerza Cortante en la sección genérica C”. Determinamos las fuerzas internas en la sección C. Condiciones del equilibrio:

dxEIM

VB

A

x

x ZAC

de donde obtenemos la Fuerza Cortante en la sección genérica C:

L

a

M/EIZ

A B C

Convenio Si M>0, las cargas elásticas se orientan hacia arriba. Si M<0, las cargas elásticas se orientan hacia abajo. Sean

.ElásticasaccionesRelasy BA

B A

a

dx

xx

M/EIZ

A B C

Equilibrio de la viga imaginaria:

0MB

dondede,0dxEIM

xLB

A

x

x ZA

)4(dxEIM

xL1 B

A

x

x ZA

C

VC dx x* x

a A

A MC


762

A

x

x ZC

B

A

dxEIM

V (5)

0M C

A

x

x ZAC dx

EIM

*xaM , de donde )6(adxEIM

*xM A

x

x ZC

C

A

Reemplazando en las ecuaciones (5) y (6) el valor de la reacción elástica A dado por la ecuación (4), obtenemos

)7(dxEIM

xL1

dxEIM

VB

A

C

A

x

x Z

x

x ZC

)8(dxEIM

xLa

dxEIM

*xMC

A

B

A

x

x

x

x ZZC

Ecuaciones que nos permiten calcular la Fuerza Cortante y el Momento Flector en cualquier sección genérica C de la viga imaginaria. Comparando las ecuaciones (7) y (8) con las ecuaciones (2) y (3), respectivamente, notamos que, salvo los signos, se verifica que “La Fuerza Cortante VC es equivalente al giro C y el Momento Flector MC es equivalente a la flecha uC”. Se establece la siguiente analogía:

CC θV

CC uM Los resultados anteriores conducen al enunciado general del Método de los Pesos Elásticos:

Viga Imaginaria

L

a C

M/EIZ

Viga Real

L; EIZ a

C

Convenio Para lograr coincidencia entre los valores numéricos obtenidos y los signos respectivos, se considerarán positivas las Fuerzas Internas en la Viga Imaginaria, de acuerdo a la distribución siguiente:

B A MC MC C C A B


763

“La pendiente y la flecha en cualquier punto de la curva elástica de una viga simplemente apoyada, están dados, respectivamente, por la Fuerza Cortante y el Momento Flector, que resultan de aplicar como cargas externas el Diagrama de Momentos Flectores Reducidos (diagrama M/EIZ) sobre una viga imaginaria, simplemente apoyada y de igual longitud que la viga real”. EJEMPLOS 1) Usando el método de la carga elástica

calcular la pendiente y la flecha en el centro de la viga representada. Considerar E=200 GPa; IZ=2.7 x 10-4 m4.

Diagrama M/EIZ Viga imaginaria + Carga elástica

Por equilibrio de la viga imaginaria, determinamos las reacciones elásticas. Usando el método general de las secciones planas determinamos las fuerzas internas en la sección C de la viga imaginaria. Usando las ecuaciones del equilibrio obtenemos VC = - 62.5/EIZ ; MC = 1,293.75/EIZ. Por las analogías establecidas, tenemos que C= - 62.5/EIZ ; uC = 1,293.75/EIZ. Reemplazando valores numéricos, encontramos C= -1.157 x 10-3 rad; uC=0.024 m 2) Usando el método de la carga elástica

calcular la flecha máxima en la viga representada. Considerar E=200 GPa; IZ=5.0 x 10-4 m4 en toda la viga.

Viga imaginaria + Pesos elásticos

A

3 m C

100 KN

6 m

B

+

200/EIZ

A C

100 KN B

4.5 m

200/EIZ

A

C

B

C 400/EIZVC

400/EIZ

4.5 m

200/EIZ

A C

B

500/EIZ

150/EIZ

MC

150/EIZ

1.5 m

150 KN 100 KN

4.5 m 3.0 m


764

Determinamos las ecuaciones para momento flector en los tres tramos típicos de la viga imaginaria. Obtenemos: Tramo AC.

.Adesdemedidam5.1x0xEI200

xEI

75.943)x(M 3

ZZ

Tramo CD.

.Cdesde,5.4x0xEI100

EIx

950

5.0xEI150

x5.1EI

75.943)x(M 2

ZZ

3

ZZ

Tramo DB.

.Bdesdemedida,3x0,xEI175

xEI

75.968)x(M 3

ZZ

Condición de máximo momento flector: .0dx

)x(dM El máximo momento flector en la

viga imaginaria ocurre en el tramo CD, para x = 1.728 m, medida a partir de C.

El máximo momento es m0202.0)10)(200)(10)(9.5(

96.2384EI

96.2384M 64

ZMÁX

Umáx = 0.0202 m, se presenta en el punto x = 1.728 m, medida a partir de C. 6.09) Método de la Viga Conjugada 6.09.1) Introducción En un elemento de eje inicial rectilíneo, sometido a flexión por efectos de una carga transversal distribuida w=w(x), se verifican las relaciones siguientes:

D C A

B

200/EIZ 350/EIZ

1.5 m 4.5 m 3.0 m

A

B

Reacciones elásticas:

ZB

ZA EI

75.968EI

75.943

Para determinar la flecha máxima umáx, se requiere encontrar el máximo momento flector en la viga imaginaria.

x M

V

w=w(x)

x

w=w(x)

(**)0)x(wdx

)x(dV

(*)0)x(Vdx

)x(dM

Similares relaciones se encontrarán al estudiarla pendiente y curvatura de la curva elástica,para deformaciones infinitesimales.

u

x

u

x


765

También son conocidas las relaciones:

**)*(*EI

)x(Mdxθd

*)*(*θdxdu

Z

Las ecuaciones (*) y (***) son análogas entre sí. Similarmente, las ecuaciones (**) y (****) son también similares entre si, salvo los signos respectivos. En vista de la semejanza matemática entre estos dos grupos de ecuaciones, perecería posible que la pendiente () y la flecha (u) de un punto de la curva elástica, pueden calcularse empleando una técnica similar a la empleada en el cálculo de las fuerzas internas (fuerza cortante V y momento flector M) que se desarrollan en las diversas secciones transversales de un elemento sometido a flexión (Recordar el método de los pesos elásticos). Al comparar las ecuaciones anteriores notamos que son análogas matemáticamente, y en consecuencia:

i) El término ZEI)x(M

de la ecuación (****) corresponde al término –w(x) de la

ecuación (**). ii) La pendiente de las ecuaciones (***) y (****) es análoga al término –V(x) de

las ecuaciones (*) y (**). iii) La deflexión u de la ecuación (***) es análoga al término –M(x) de la ecuación (*). Por tanto, si se define una Viga Análoga cargada con el diagrama de momentos flectores reducidos M/EIZ de la viga real, las pendientes y deflexiones de ésta, se determinan, salvo el signo, simplemente calculando la fuerza cortante y el momento flector en la Viga Análoga, que se denomina Viga Conjugada. El método de la Viga Conjugada fue desarrollado por Otto Mohr. Nota) Las deficiencias del método de la carga elástica, que lo hacen aplicable solamente en vigas apoyadas simplemente, puede corregirse si se da una atención adecuada a las condiciones de frontera. 6.09.2) Restricciones de la Viga Conjugada i) La viga conjugada de una viga real tiene la misma longitud y apoyos o conectores

especiales en los puntos correspondientes a los de la viga real, pero no son necesariamente del mismo tipo.

ii) Los apoyos y conectores especiales de la Viga Conjugada se seleccionan de tal

forma que se mantenga la analogía de las pendientes y deflexiones de la Viga Real con las Fuerzas Cortantes y Momentos Flectores de la Viga Conjugada (especial atención en los signos).

Así por ejemplo: Una viga real simplemente apoyada en un extremo puede girar, pero no puede desplazarse en dirección normal a la superficie de apoyo. En consecuencia, la Viga Conjugada debe estar restringida en ese punto de tal modo que se elimine el momento flector pero no la fuerza cortante. Estas condiciones son características de un apoyo simple. Se concluye que el análogo de un apoyo simple en el extremo de una viga real, es un apoyo del mismo tipo en el lugar correspondiente de la Viga Conjugada.


766

Apoyo simple externo (Viga Real) Apoyo simple externo (Viga conjugada) En un extremo empotrado (o fijo) la viga real no puede girar ni desplazarse. Por tanto, en el punto correspondiente de la Viga Conjugada, la fuerza cortante y el momento flector deben anularse ambos. Esta condición corresponde a un extremo libre. Por tanto, un extremo empotrado en la viga real se representa como un extremo libre en la viga conjugada.

Extremo empotrado (Viga Real) Extremo libre (Viga conjugada) (Recordar: CONJUGADAREALCONJUGADALREA MuyVθ

Un extremo libre en la viga real puede girar y desplazarse. Luego, en el extremo correspondiente de la Viga Conjugada debe actuar fuerza cortante y momento flector diferentes de cero. Estas acciones internas se desarrollan si el extremo correspondiente de la Viga Conjugada esta empotrado.

Extremo libre (Viga Real) Extremo empotrado (Viga conjugada) En un apoyo simple intermedio de una viga real se restringe el desplazamiento pero no la rotación, y la pendiente de la curva elástica no cambia súbitamente. Esto significa que en el punto correspondiente de la Viga Conjugada el momento flector debe ser nulo y la fuerza cortante no debe cambiar súbitamente. Por tanto, un apoyo simple intermedio en la viga real, se representa por una articulación intermedia en la Viga Conjugada.

Apoyo simple intermedio (Viga Real) Articulación intermedia (Viga conjugada) Una articulación intermedia de una viga real puede desplazarse y la pendiente de la curva elástica puede cambiar súbitamente en dicho punto. Esto implica que en el punto correspondiente de la Viga Conjugada deben actuar un momento flector y una fuerza cortante. En consecuencia, una articulación intermedia en la viga real se representa por un apoyo simple intermedio en la Viga Conjugada. Articulación intermedia (Viga Real) Apoyo simple intermedio (Viga conjugada) Nota) En la tabla siguiente se esquematizan otras condiciones de apoyo en la viga real y su respectiva representación en la Viga Conjugada.


767

Viga real Viga conjugada

[Giro en la viga real Fuerza cortante en la viga conjugada Flecha en la viga real Momento flector en la viga conjugada]

VIGA REAL VIGA CONJUGADA

Notas) 1) La carga que se aplica a la viga conjugada es la carga elástica (diagrama de

momentos flectores reales reducidos M/EIZ). Se acepta que estas cargas actúan en dirección normal al eje de la viga conjugada. En consecuencia en la viga conjugada son válidas sólo dos ecuaciones del equilibrio.

2) Al definir las restricciones de apoyo para la viga conjugada sólo tienen importancia

las componentes de las reacciones normales al eje de la viga conjugada y los momentos flectores.

3) Si la viga real es determinada estáticamente, entonces su viga conjugada también lo

es. Si la viga real es indeterminada estáticamente, entonces la viga conjugada es inestable. Por ejemplo:

V;M

xO xO

u

m


768

Viga real Viga conjugada El hecho de que la viga conjugada de una viga real estáticamente indeterminada sea inestable, no afecta los cálculos de la pendiente y la deflexión. Una vez que la viga ha sido cargada con las cargas elásticas M/EIZ, el sistema impuesto y las reacciones elásticas deben estar en equilibrio. 4) Nótese que una viga conjugada debe ser determinada, puesto que una viga

conjugada indeterminada requeriría provenir de una viga real inestable. Por ejemplo: 5) Los signos deben ser cuidadosamente analizados e interpretados. Ejemplos 1) En la viga representada en el esquema,

usando el método de la viga conjugada, obtener una expresión para la curva elástica y calcular la máxima pendiente en el tramo AB. Considerar EIZ constante.

Determinamos la viga conjugada y el sistema de carga elástica Para obtener la ecuación de la curva elástica, recordamos que la deflexión en un punto de la viga real, es numéricamente igual al momento flector en el punto equivalente de la viga conjugada. Encontramos la ecuación del momento flector en cada uno de los tramos de la viga conjugada. Estableciendo el equilibrio para cada tramo de la viga conjugada, determinamos las reacciones elásticas en los puntos A, B y C.

Z

3

CZ

2

CZ

2

BZ

2

A EI6PL11

M;EI3PL7

R;EI3PL4

R;EI3PL2

R

Viga real inestable: u=0 0u 0 0

Viga conjugada indeterminada:

0V0M

0V0M

PL/EIZ

C L 4L

B A PL

PL/EIZ PL/EIZ

RC RB RA

C B

A B

RB

MC


769

Resumen: Deflexiones en la viga real Momentos flectores en la viga conjugada Tramo AB. Tramo BC.

La curva elástica estará definida por las ecuaciones:

.Bdesde,Lx0,EI3

xPL4EI2

PLx

.Adesde,L4x0,EI24

PxEI3

xPL2

xu

Z

2

Z

2

Z

3

Z

2

Para determinar uMÁX, hacemos u’(x)=0, luego 0EI24

Px3EI3PL2

Z

2

Z

2


la única raíz aceptable 3/L4x , con lo cual uMÁX= Z

3

EI39PL16

.

2) Usando el método de la viga conjugada calcular la pendiente y la deflexión en el extremo libre de la viga representada. Considerar EIZ=200,000 KN-m2 en toda la viga.

Determinamos la viga conjugada y el sistema de carga elástica.

Z

3

EI6PL11

Z

2

EI3PL7

Z

2

EI3PL4

Z

2

EI3PL4

PL/EIZ PL/EIZ

C B

AB

Z

2

EI3PL2

x

M

V

Px/4EIZ

A

Z

2

EI3PL2

.Adesde,L4x0,EI24

PxEI3

xPL2M

Z

3

Z

2

Z

2

EI3PL4

x

M

V

PL/EIZ

B

.Bdesde,Lx0,EI3

xPL4EI2

PLxM

Z

2

Z

2

Nótese que: u(4L) = u(L) = 0

2 m3 m

C B A 75KN/m


770

En la viga real: rad006125.0000,200

225,1EI225,1

θZ

C .

Determinamos el momento flector en la viga conjugada

m022125.0000,200

225,4EI425,4

MZ

C

Nota) Al considerar la fuerza cortante y el momento flector en la viga conjugada, conviene recordar el convenio de signos positivos de acuerdo a la disposición siguiente. 3) En la viga representada, determinar la pendiente y la deflexión en el punto de

aplicación de la carga concentrada. Considerar EIZ=30x106Klb-pulg2 en toda la viga. El tramo AB tiene 4EIZ de rigidez flexional y el tramo BD tiene EIZ.

Viga conjugada y sistema de carga elástica. Como requerimos solamente VC y MC, calculamos la reacción elástica RD.

0MB DZZZ

R30320

10EI400

2021

320

10EI400

21

320

10EI100

21

,

de donde obtenemos Z

D EI000,25

R . Por equilibrio de la porción CD, encontramos

MC

VC

600/EIZ

150/EIZ

2 m 3 m

C B A

75KN/m Determinamos VC y MC, que equivalen a C y uC. Equilibrio:

EI225,1

Vdondede

0EI450

321

EI150

3EI150

231

V

ZC

ZZZC

M M

V V

Deflexiones positivas hacia abajo. Rotaciones positivas en sentido horario.

20‘ 10‘ 10‘ C

D B A 60 Klb

400/EIZ

RD RB 100/EIZ C

D B A

C D 25,000/EIZ

400/EIZ

MC

VC 1386.0M;00587.0V

:tenemosEIvalorelemplazandoRe

.EI

89.888,28M;

EI2.222,1

V

CC

Z

ZC

ZC


771

Las deflexiones buscadas son C=0.00587 rad (horaria); uC=1.664 pulg (hacia abajo). 4) En el sistema representado usar el método de la viga conjugada para determinar: (i)

La flecha en el punto F. (ii) La flecha en el punto B. (iii) La pendiente en el punto B. (iv) La pendiente en el punto C. Considerar E=21x106 Ton/m2; IZ= 8,000 x 10-8 m4.

Definimos la “viga conjugada” y el sistema de carga elástica, teniendo presente que la barra BC es rígida. Por equilibrio de la viga conjugada encontramos las reacciones elásticas en los apoyos y la fuerza en la articulación. (i) La flecha en el punto F de la viga real es numéricamente igual al momento flector

en el punto F de la viga conjugada. Luego, tenemos

m0293.01021108

25.49EI

25.49uM 65

ZFF

(ii) La flecha en el punto B de la viga real es numéricamente igual al momento flector

en el punto B de la viga conjugada. Luego, tenemos

3 m

2EIZ 2EIZ

EIZ

D

A 4.5 TonB

C F

Rígida

3 m 2.4 m

D

5.4/EIZ

10.8/EIZ

F B

C

A

49.25/EIZ

22.68/EIZ

16.2/EIZ 16.2/EIZ

24.3/EIZ

C F

D D

5.4/EIZ

10.8/EIZ

B A

5.4/EIZ


772

(iii) La pendiente de la curva elástica de la viga real en el punto B es numéricamente

igual a la fuerza cortante en la sección B de la viga conjugada. Determinamos la fuerza cortante inmediatamente antes del punto B trabajando con el tramo AB.

.00964.01021108

2.16EI

2.16V 65

ZB Por tanto, la rotación inmediatamente

antes del punto B (por la izquierda) es .aantihorarirad00964.0θB (iv) La pendiente de la curva elástica de la viga real en el punto C es numéricamente

igual a la fuerza cortante en la sección C de la viga conjugada. Determinamos la fuerza cortante inmediatamente antes del punto C trabajando con el tramo AB.

.00482.01021108

1.8EI

1.8V 65

ZB Por tanto, la rotación inmediatamente después

del punto B (por la derecha) es .horariarad00482.0θB 5) Determinar la pendiente y la deflexión en el punto A de la viga representada.

Considerar E=200 GPa; IZ=7.8 x 10-4 m4. Encontramos las fuerzas internas (V y M) en la sección A de la viga conjugada.

A

VA

1200/EIZ

10.8/EIZ

24.3/EIZ

B

VB

A

m0193.0uluego

0193.01021108

4.32EI

4.32M

B

65Z

B

Bθ

Curva elástica

Bθ

450/EIZ

1200/EIZ

150 KN

A

100 KN

3 m 3 m A

3 m 3 m

Viga conjugada

450/EIZ

MA

.rad01586.0108.710200

2475V

tenemos,valoresemplazandoRe

.EI

24753

EI4501200

21

V

46A

ZZA


773

Luego por la analogía de la viga conjugada A= 0.01586 rad. Determinando el momento flector, tenemos

,332

23

EI4501200

23

3EI450

MZZ

A

de donde .

EI4275

MZ

A Reemplazando

valores, encontramos .0274.0108.710200

4275MA 46 Luego por la analogía de la

viga conjugada uA=0.0274 m. 6) Calcular las deflexiones en los puntos B y D de la viga representada. Considerar que

toda la viga tiene rigidez flexional constante EIZ. Determinamos la viga conjugada, el sistema de carga elástica y las reacciones elásticas en los apoyos B y D de la viga conjugada. Calculamos los momentos flectores en los puntos B y D de la viga conjugada aplicando los principios general del equilibrio. Obtenemos los siguientes valores:

,03b2

bEIPb2

2b

2b

bbEIPb

3b2

EIPb

2b

MZZZ

B

de donde se obtiene

Z

3

B EIPb5.3

M .

,03b2

EIPb4

2b2

b2EI4Pb29

MZZ

2

D

de donde obtenemos .

EI6Pb71

MZ

3

D

Luego, por la analogía de la viga conjugada tenemos .EI6Pb71

uyEI

Pb5.3u

Z

3

DZ

3

B

Nota. El cambio de pendiente en la articulación B de la viga real, es igual a la fuerza

cortante en el punto B de la viga conjugada, Z

2

B EI4Pb9

θ .

D

P

2b 4b b b

C B A 3P

Z

2

C EI4Pb29

R

4Pb/EIZ

Pb/EIZ

D C

B A

3Pb/EIZ

Z

2

B EI4Pb9

R


774

7) Determinar la viga conjugada y el sistema de carga elástica para calcular la

deflexión vertical en el punto D de la viga representada, cuya rigidez flexional es constante EIZ=100,000 KN-m2.

Determinamos el diagrama de momentos flectores de la viga real. Viga conjugada y sistema de carga elástica. Para mayor facilidad al desarrollar los cálculos, puede usarse el principio de superposición, reemplazando el sistema de cargas elásticas por otro equivalente.

Curva elástica

B

D C B A

C B A

50 KN/m

2 m 4 m 3 m

D

-225

-52.734 -100

C B A D

-225/EIZ

-52.734/EIZ -100/EIZ

C B A D


775

Los arcos que figuran en los diagramas son arcos de parábolas de segundo grado. Puede verificarse, por equilibrio de la viga conjugada, que la deflexión en el punto D de la viga real es uD=12.1 mm hacia abajo. 8) En el sistema representado, mediante el

procedimiento de la viga conjugada, determinar los momentos en los extremos B y C. El elemento BC tiene EI1 como rigidez flexional. Los elementos AB y DC tienen EI2 como rigidez flexional. El elemento AB tiene L como longitud. Los elementos AB y DC tienen h como longitud.

Por facilidad usaremos el principio de superposición y las condiciones de simetría. Determinamos la viga conjugada y las cargas elásticas para los elementos AB y BC.

-225/EIZ

-100/EIZ

C B A D

100/EIZ

-100/EIZ

L/2B

A

PC

D

P

’’B

’B

B

M M

M M

+

PL/4EI1

C

B

A

h

M/EI2

B

M/EI1


776

Elemento vertical AB Elemento horizontal BC Condición de continuidad geométrica: .θθθ ''

B'BB Por lo tanto:

11

2

2 EI2ML

EI16PL

EI3Mh


12

1

2

I2L

I3h

1I16

PLM .

Obsérvese que si I2 es mucho mayor que I1, el momento M tiende al valor PL/8, es decir, la viga horizontal del sistema se comporta como una viga doblemente empotrada. Si, en cambio, I2 es mucho menor que I1, el momento M tiende a cero, con lo cual la viga horizontal tiende a comportarse como una viga simplemente apoyada en sus extremos A y B. 6.10) Ecuaciones Elásticas (Método de Pendientes y Deflexiones) 6.10.1) Introducción Cuando en un sistema hiperestático se definen como incógnitas redundantes las fuerzas (o los correspondientes esfuerzos) estamos usando el denominado Método de las Fuerzas (o Método de Flexibilidades). De manera alternativa, si como incógnitas redundantes se precisan los desplazamientos (o las correspondientes deformaciones) estamos usando el denominado Método de los Desplazamientos (o Método de Rigideces). El método general de las pendientes y deflexiones (giros y desplazamientos) denominado también Método de las Ecuaciones Elásticas, es un planteamiento en base a rigideces, que proporciona las bases necesarias para el entendimiento de otros temas especiales de la Mecánica y del Análisis Estructural. 6.10.2) Ecuaciones Elásticas (Ecuaciones de Pendientes y Deflexiones) En todo sistema continuo de componentes o elementos estructurales sometido a cargas externas, se desarrollan momentos internos individuales en los extremos de sus elementos componentes.

RB

RA

B

A

h

M/EI2

Equilibrio de la viga conjugada

2BA EI2

MhRR

.03h2

EIM

2h

hR2

B

Resolviendo el

sistema obtenemos B2

B θEI3Mh

R .

RC

PL/4EI1

C B

M/EIZ

RB

Equilibrio de la viga conjugada

LEI4PL

21

EIML

RR11

CB

,RR CB por la simetría. Resolviendo ambas ecuaciones obtenemos

''B

'B

11

2

B θθEI2ML

EI16PL

R


777

Las denominadas ecuaciones de deflexiones y pendientes o ecuaciones pendiente desviación (ecuaciones elásticas) relacionan algebraicamente los momentos en los extremos de un elemento con los desplazamientos y rotaciones inducidos en sus puntos extremos, así como con las cargas actuantes en el referido elemento. Consideremos aislado el elemento AB, de rigidez flexional constante EIZ, integrante de un sistema estructural continuo. Si el elemento está sometido a cargas externas y movimientos de sus apoyos, se deforma y en él se desarrollan momentos internos (momentos de continuidad) en sus puntos extremos. Significado de las variables empleadas. MAB denota el momento de continuidad en el extremo A del elemento AB, en tanto que MBA denota el momento de continuidad en el extremo B del mismo elemento AB. A y B denotan, respectivamente, las rotaciones de los puntos extremos A y B del elemento AB con respecto a la posición inicial (no deformada). D denota la traslación relativa (en dirección normal al eje inicial no deformado) entre los dos puntos extremos del elemento AB.

Tangente por A’

Tangente por B’

B A

AB

A’

B’

B Posición inicial

MBA MAB

Curva elástica

B A

w=w(x) P

A B

A

BA

D


778

denota el ángulo de rotación de la cuerda del elemento A’B’ (segmento rectilíneo que une los puntos extremos A’ y B’ del elemento deformado) y que es ocasionada por el movimiento relativo de los apoyos D. Nosotros estamos interesados solamente en el caso de las deformaciones pequeñas o

deformaciones infinitesimales, es decir .L∆

ψ

Nota) Es conveniente usar el siguiente convenio de signos: “Los momentos en los extremos del elemento, las rotaciones en los puntos extremos y la rotación de la cuerda, son positivos cuando giran en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj”. Las ecuaciones elásticas de pendientes y deflexiones se pueden deducir mediante razonamientos geométricos y aplicación del principio de superposición y del Segundo Teorema de Mohr. Las desviaciones tangenciales debidas al momento flector libre M (ocasionadas por las cargas que actúan en el tramo) y a los momentos de extremo MAB y MBA, son, respectivamente:

EIt

δEIt

δ B'BA

A'AB

’’’BA

’’BA

Por cargas externas EI

M

MBA/EI

MBA MAB A B

MBA MAB A B

MBA/EI

’AB ’BA

’’AB

’’’AB

Las desviaciones tangenciales indicadas son: Por carga externa

’AB y ’BA

Por el momento de continuidad MAB

’’AB y ’’BA

Por el momento de continuidad MBA

’’’AB y ’’ BA


779

EI3LM

δEI6LM

δ2

AB''BA

2AB''

AB

(*)

EI6LM

δEI3LM

δ2

BA'''BA

2BA'''

AB

Para deformaciones infinitesimales son válidas las relaciones geométricas siguientes

L∆δ

θL∆δ

θ ABB

BAA

Si en ellas reemplazamos ψL∆ , encontramos

ψLδ

θyψLδ

θ ABB

BAA (**)

(En las expresiones anteriores ,δyδ BAAB representan las desviaciones tangenciales totales, debidas a los tres efectos que actúan sobre el elemento AB). De las ecuaciones (**) obtenemos

Lδ

ψθyLδ

ψθ ABB

BAA (1)

Por aplicación del principio de superposición y del segundo Teorema de Mohr se determinan las desviaciones tangenciales totales BAAB δyδ . Obtenemos

EI6LM

EI3LM

EIt

δδδδ

yEI6LM

EI3LM

EIt

δδδδ

2AB

2BAA'''

AB''AB

'ABAB

2BA

2ABB'''

BA''BA

'BABA

(2)

Los valores tA y tB son los momentos estáticos respecto a los extremos A y B, respectivamente, del área del diagrama de momento flector del tramo AB debido exclusivamente a las cargas externas actuantes en dicho tramo. Reemplazando las ecuaciones (1) en las ecuaciones (2) tenemos

EILt

EI3LM

EI6LM

ψθyEILt

EI6LM

EI3LM

ψθ ABAABB

BBAABA

(3)

Para expresar los momentos MAB y MBA en términos de las rotaciones de los extremos del elemento AB, la rotación de la cuerda y la carga externa actuante en el tramo, se resuelve el sistema (3) considerando como incógnitas los momentos MAB y MBA. Se obtienen

AB2BABA

AB2BAAB

t2tL2

ψ3θ2θLEI2

M

ytt2L2

ψ3θθ2LEI2

M

(4)

Como caso particular, consideremos que el elemento en referencia es una viga con sus dos extremos empotrados, sin posibilidades de rotaciones ni traslaciones.


780

Los momentos en los extremos de esta viga se denominan momentos en los extremos fijos o momentos de empotramiento perfecto. Se obtienen a partir de las ecuaciones (4) haciendo en ellas .0ψθθ BA Se obtienen los valores

ABOBAAB2

OAB t2t

L2

Mytt2L2

M (5)

Luego reemplazando en las ecuaciones (4) tenemos:

OBABABA

OABBAAB Mψ3θ2θ

LEI2

MyMψ3θθ2LEI2

M (6)

Las ecuaciones (6) son conocidas como Ecuaciones Elásticas o Ecuaciones de Pendientes y Deflexiones para elementos prismáticos (rigidez flexional EI constante en cada elemento). Son válidas para sistemas estructurales continuos de comportamiento elástico lineal, sometidos a procesos de deformación elástica infinitesimal. Estas ecuaciones (6) sólo incluyen el efecto de las deformaciones por flexión, dejando de lado las deformaciones por fuerza axial y por fuerza cortante. Existen ecuaciones elásticas más generales que las deducidas, que incluyen el efecto de la fuerza axial y de la fuerza cortante, denominadas Ecuaciones de Navier y/o Ecuaciones de Bresse, que son formalizadas en cursos superiores de Mecánica de Sólidos o de Mecánica Estructural. Observar que las ecuaciones elásticas deducidas tienen ambas la misma estructura algebraica. Es decir, una de ellas podría obtenerse a partir de la otra por un apropiado intercambio de los subíndices A y B. 6.10.3) Elementos con Extremos Fijos y con Extremo Articulado Por los métodos estudiados en las secciones anteriores es posible resolver sistemas hiperestáticos en flexión, haciendo uso de ecuaciones del equilibrio y otras ecuaciones adicionales de compatibilidad geométrica. Pueden ser determinados los momentos en los extremos fijos de un elemento componente de un sistema estructural continuo, originados por un sistema de cargas externas aplicadas sobre el elemento considerado. Sin embargo, de manera alternativa, para tal finalidad también pueden usarse las

ecuaciones .t2tL2

Mytt2L2

M AB2OBAAB2

OAB Recordando que los

valores tA y tB significan los momentos estáticos del área del diagrama de momentos flectores libres o isostáticos, respecto de los extremos B y A respectivamente. Así por ejemplo, para el sistema indicado de rigidez flexional constante EI. Longitud L=a+b.

MOAB

A=B==0 A B

MOAB MO

BA

A

Pab/L

OABM

OBAM

P

P

b a

B A

B


781

El valor tB, es

3b2

LPab

b21

b3a

LPab

a21

tB . Simplificando obtenemos:

.b2a6

PabtB De manera similar encontramos .ba2

6Pab

tA

Luego, los momentos de extremo fijo (momentos de empotramiento perfecto) son:

2

2

2AB2OAB L

Pabba2

6Pab

b2a6

Pab2

L2

tt2L2

M

(sentido antihorario).

2

2OBA L

bPaM (el signo menos indica que el sentido es horario).

Las ecuaciones elásticas, ecuaciones (6), han sido deducidas bajo el supuesto de que los elementos están rígidamente conectados entre sí, de modo que las rotaciones A y B en los extremos del elemento son idénticas a las rotaciones respectivas de los nudos del elemento continuo o adyacente. Si uno de los extremos del elemento está conectado con el elemento adyacente mediante una articulación, entonces el momento en el extremo articulado debe anularse. Esta circunstancia modifica las ecuaciones de pendiente y deflexión. Sea, por ejemplo, el elemento AB articulado en el extremo B (por tanto MBA=0). Reemplazando MBA=0 en las ecuaciones (6), obtenemos

.0Mψ3θ2θLEI2

MyMψ3θθ2LEI2

M OBABABA

OABBAAB

De la segunda de las ecuaciones anteriores, obtenemos el giro del elemento AB en el

apoyo articulado B, OBA

AB M

EI4L

2ψ3

2θ

θ . Reemplazando este valor en las

ecuaciones anteriores y simplificando, obtenemos ;2

MMψθ

LEI3

MOBAO

ABAAB

además de MBA=0. De manera similar, si el elemento AB tiene el extremo A articulado, entonces el

momento MAB=0 y .2

MMψθ

LEI3

MOABO

BABBA

Nótese que, para este caso, las ecuaciones para los momentos MAB y MBA pueden escribirse unitariamente

0M;2

MMψθ

LEI3

M ar

OarO

rarra

.

L=a+b

2

2

LbPa

2

2

LPab

b a

P

A A A


782

Donde el subíndice a se refiere al extremo articulado y el subíndice r se refiere al extremo rígidamente empotrado. EJEMPLOS 1) Por el método de las ecuaciones elásticas

de pendientes y deflexiones, calcular los momentos en todos los apoyos del sistema representado. Aceptar constante la rigidez flexional en todo el sistema (I=2,400 cm4; E=2 x 106 Kg/cm2).

Determinamos los momentos de empotramiento perfecto para ambos tramos.

MO12=-wL2/12=-(4)(42)/12=-16/3 T-m (horario).

MO21=wL2/12=(4)(42)/12=16/3 T-m (antihorario).

MO23=-Pab2/L2= -(4)(3)(42)/72=-192/49 T-m (horario).

MO32=Pba2/L2=(4)(4)(32)/72= 144/49 (antihorario).

Mediante aplicación de las ecuaciones elásticas en cada tramo del sistema, se determinarán los momentos en los extremos de cada elemento, considerando además las ecuaciones de condición geométrica y de equilibrio. Para el elemento 1-2:

O212121

O122112 Mψ3θ2θ

LEI2

MyM)ψ3θθ2(LEI2

M

Reemplazando valores e imponiendo la condición 1=0 (puesto que el apoyo 1 anula posibilidad de giros y flechas), obtenemos

316

θEIMy3

16θ

2EI

M 221212 (*)

Similarmente se procede con el elemento 2-3.

O323232

O233223 Mψ3θ2θ

LEI2

MyM)ψ3θθ2(LEI2

M

Reemplazando valores y simplificando, obtenemos

49

144θ2θ

7EI2

My49

192θθ2

7EI2

M 32323223 (**)

Ecuaciones de condición: M21+M23=0 (equilibrio del nudo 2) y M32=0 (el momento en el apoyo simple 3 es nulo). Desarrollando y simplificando las ecuaciones de condición encontramos

)ii(049

144θEI

74

θEI72

y)i(0147208

θEI72

θEI711

3232

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (i) y (ii) y reemplazando el valor de la rigidez flexional (en Ton-m2) encontramos los giros en los apoyos 2 y 3: 2=0.00008 radianes y 3=-0.01076 radianes.

3 m 4 m 4 m

4 T 4 T/m

L=4m

a=3m

MO23 MO

21 MO12

4 T 4 T/m

3 2 2 1

MO32

b=4m


783

Llevando estos valores de los giros a las ecuaciones elásticas (*) y (**), encontramos:

M12 = - 5.333 T-m; M21 = 5.372 T-m; M23= - 5.372 T-m. 2) Determinar los momentos en los nudos de la estructura representada. Considerar

que todos los elementos tienen la misma rigidez flexional EI. Sin incluir el efecto de las fuerzas cortantes y las fuerzas axiales, la organización de la estructura no permite el desplazamiento de los nudos. Determinamos los momentos de empotramiento perfecto en los extremos de cada elemento. Como los otros elementos no tienen carga alguna aplicada transversalmente en sus tramos, los momentos fijos son nulos, es decir:

0MMMM 42

O24

O32

O23

O Aplicamos las ecuaciones elásticas para los tres elementos que conforman el sistema. Elemento 1-2:

O212121

O122112 Mθ2θ

LEI2

MyMθθ2LEI2

M

Reemplazando valores, haciendo 1=0 y simplificando tenemos M12=EI2 -1; y M21=2EI2 +1 (*)

Elemento 2-3:

323232323223 θ2θ3EI2

0θ2θ3EI2

Myθθ23EI2

0θθ23EI2

M

(**) Elemento 2-4:

424242424224 θ2θ3EI2

0θ2θ3EI2

Myθθ23EI2

0θθ23EI2

M

En las últimas imponemos la condición del apoyo empotrado 4: 4=0. Obtenemos:

L=2m

3 T/m

4

3 2

13 m 2 m

3 T/m

3 m

MO12 MO

21

.mT112wL

M

mT11223

12wL

M

2

21O

22O12


784

242224 θ3EI2

Myθ3EI4

M (***)

Condición de equilibrio estático: M21+M23+M24=0, reemplazando los momentos en función de los ángulos de giro, tenemos

01θEI32

θEI3

140θ

3EI4

θθ23EI2

1θEI2 322322

(i)

Condición del apoyo simple 3, M32=0. Luego 2+23=0 (ii) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (i) y (ii) se obtienen los ángulos de giro 2 y 3.

EI263

θyEI133

θ 32

Reemplazando el valor de los giros en las ecuaciones (*), (**) y (***) tenemos:

M12=-1.-23 T; M21=0.538 T; M23=-0.231 T; M32=0; M24=-0.308 T; M42=-0.154 T Nota) El convenio de signos usados para deducir las ecuaciones elásticas de pendientes y deflexiones, no coincide en su integridad con el convenio de signos usados para los momentos flectores. Esta consideración deberá ser tomada en cuenta si quisiéramos graficar el diagrama de momentos flectores. 3) Determinar los momentos en cada extremo de los elementos del marco de nudos

rígidos que se representa en el esquema. Incluir solamente deformaciones por momento flector. Considerar constante la rigidez flexional EI en todo el marco.

Momentos de empotramiento perfecto, puesto que la carga externa está aplicada en el nudo B

MOAB=MO

BA=MOBC=M0

CB=MOCD=MO

DC=0 Giros de las cuerdas (positivos en sentido antihorario)

18δ

ψψ;0ψψ;12δ

ψψ CDDCCBBCBAAB

Condición de apoyos A y D empotrados A=D=0.

B

D

C

A

40 Klb

18’

12’

15’ B

C B’ C’


785

Ecuaciones elásticas de pendiente desviación: Oijijji

ijij Mψ3θθ2

LEI2

M

, para

cada uno de los elementos. Se obtienen las ecuaciones siguientes:

6δ

θ9EI

M

6δ

θ29EI

M

θθ215EI2

M

θθ215EI2

M

4δ

θ26EI

M

4δ

θ6EI

M

CDC

CCD

BCCB

CBBC

BBA

BAB

(*)

Las seis ecuaciones pendiente desviación contienen nueve incógnitas (seis momentos de extremo, dos giros de nudos y un desplazamiento horizontal). Es necesario plantear ecuaciones adicionales (equilibrio estático de los nudos B y C y equilibrio global de fuerzas cortantes).

H

DA )i(VV400F

12MM

V BAABA

)iii(

18MM

V)ii( DCCDD

12’

MAB

MDC

VA

VD

40 Klb

MBA

MBC B

MBC+MBA=0 (**) Reemplazando convenientemente las ecuaciones (*) en la ecuación (**) y simplificando obtenemos:

0δ0417.0θ133.0θ6.0 CB

C

MCB

MCD

MCB+MCD=0 (***) Reemplazando convenientemente las ecuaciones (*) en la ecuación (***) y simplificando obtenemos:

0δ0185.0θ489.0θ133.0 CB

MAB VA

MBA

18’

VD MDC

MCD


786

Reemplazando las fuerzas cortantes VA y VD en la ecuación de equilibrio global (i),

tenemos )iv(018

MM12

MM40 DCCDBAAB

. Reemplazando en esta última

ecuación los valores dados por las ecuaciones (*), encontramos

**)*(*0EI

480δ108.0θ222.0θ5.0 CB .

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (*), (**), (***) y (****) encontramos:

*)***(*EI

02.757,6δ;

EI22.136

θ;EI

05.439θ CB

Reemplazando estos valores en las ecuaciones de los momentos de extremo, ecuaciones (*), tenemos finalmente

MAB=-208.36 MBA=-135.34 MBC= 135.34 MCB = 94.80 MCD=-94.80 MDC=-109.89

4) La estructura que se representa en el esquema es de nudos rígidos y tiene rigidez

flexional EI constante en todos sus elementos. Sin incluir efectos de fuerza cortante ni de fuerza axial, determinar el momento flector en los extremos de cada uno de sus elementos. Graficar el diagrama de momento flector.

Usamos las ecuaciones elásticas: Oijijji

ijij Mψ3θθ2

LEI2

M

(*)

Momentos de empotramiento perfecto: MO12=MO

21=MO23=MO

32=MO34=MO

43=0.

Ángulos de rotación de las cuerdas 6δ

ψψ;0ψψ;6δ

ψψ 433432232112 .

Condición de apoyos 1 y 4 (empotrados): 1=4=0. Reemplazando en las ecuaciones (*) y simplificando tenemos:

3

2 1

60o 6’

6’

P

P

12’

4

43

12

Momentos y rotaciones positivos, en sentido antihorario.


787

3223

221

212

θθ26EI

M

2δ

θ23EI

M

2δ

θ3EI

M

2δ

θ3EI

M

2δ

θ23EI

M

θθ26EI

M

343

334

2332

(**)

Ecuaciones de condición: 0MM0My0MM0M 3432

2 32321 .

Desarrollando estas ecuaciones en función de las rotaciones y del desplazamiento, tenemos:

)ii(0δθθ6y)i(0δθθ6 2332 Condiciones de equilibrio global V1+V2=2P; V1=V2 (simetría). Luego V1=V2=P. También, por el equilibrio del nudo 2:

0P6MM0M 2112

2

Reemplazando en la ecuación de momentos

.0P62δ

θ23EI

2δ

θ3EI

22

Simplificando la ecuación de equilibrio del nudo 2, tenemos )iii(0EI

P18δθ3 2 .

Resolviendo las ecuaciones (i), (ii) y (iii), se encuentran

)iv(EI

P45δ;

EIP9

θ;EIP9

θ 23

Finalmente, reemplazando los valores hallados de las rotaciones y del desplazamiento vertical del nudo 2 en las ecuaciones de los momentos, ecuaciones (**), y luego de simplificar tenemos

M12=-4.5P; M21=-1.5P; M23=1.5P; M32=-1.5P: M34=1.5P; M43=4.5P

De acuerdo a los convenios de signos usados para momentos flectores y momentos de extremo, existe coincidencia de signos solamente en los momentos del lazo derecho de cada elemento. Por tanto, para graficar el diagrama de momentos flectores se consideran:

M1=-4.5P; M2=1.5P; M3=1.5P: M4=-4.5P

V1

M43

M12

V4


788

5) El sistema estructural plano de nudos rígidos ABCD representado en el esquema,

está sometido a la acción de una fuerza horizontal F=100 Klb en el nudo B. La rigidez relativa de cada elemento es: elemento AB: 2EI/L=1; elemento BC: 2EI/L=2; elemento CD: 2EI/L=2. Determinar los momentos en los extremos de cada elemento.

Determinamos los momentos de empotramiento perfecto en ambos nudos de cada elemento. Se obtienen

MOAB=MO

BA=MOBC=MO

CB=MOCD=MO

DC=0 Sin incluir las deformaciones por fuerza axial y por fuerza cortante, el nudo B sufre un desplazamiento horizontal D. Igual desplazamiento horizontal sufrirá el nudo C. Como el nudo C es nudo común a las barras BC y CD, el nudo C también se desplazará de manera perpendicular con la barra inclinada CD.

4

25’

15’

A

B C

D

100 Klb

15’

3

-4.5P

1.5P 1.5P

1.5P

3

2

1

4 -4.5P

1.5P


789

Conociendo los desplazamientos de los nudos B y C, puede definirse los ángulos de rotación de cada barra.

20∆

254∆5

ψ;20∆

154∆3

ψ;15∆

ψ CDBCAB

(De acuerdo al convenio de signos establecido, los ángulos de giro y los momentos son positivos cuando se orientan en sentido antihorario). Como los apoyos A y D son empotrados entonces A=D=0. Determinamos las ecuaciones elásticas para cada extremo de los elementos:

DCO

DCCDDC

DC

CDO

CDDCCD

CD

CBO

CBBCCB

CB

BCO

BCCBBC

BC

BAO

BAABBA

BA

ABO

ABBAAB

AB

Mψ3θθ2LEI2

M

Mψ3θθ2LEI2

M

Mψ3θθ2LEI2

M

Mψ3θθ2LEI2

M

Mψ3θθ2LEI2

M

Mψ3θθ2LEI2

M

(*)

Reemplazando los factores de rigidez relativa, ángulos de rotación de cada barra, ángulos de giro de los apoyos A y D y los momentos de empotramiento perfecto, en las ecuaciones (*), obtenemos

C’’

C’ D D

B’

4

A

B

C

D

100 Klb

3

CC’=D C’C’’=3D/4 CC’’=5D/4


790

10∆3

θ2M20∆

3θ2M

10∆3

θ4M20∆

3θ22M

20∆3

θ4θ2M20∆3

θ2θ2M

10∆3

θ4θ2M20∆3

θ2θ2M

5∆

θ2M15∆

3θ21M

5∆

θM15∆

3θ1M

CDCCDC

CCDCCD

CBCBCBCB

BCBCBCBC

BBABBA

BABBAB

(**)

Ecuaciones de condición del equilibrio estático: Nudo B MBA+MBC=0 Nudo C MCB+MCD=0

Reemplazando las correspondientes expresiones de los momentos de extremo en las ecuaciones anteriores y simplificando, obtenemos

0θ4θ

020∆

θθ3

CB

CB

(***)

La tercera ecuación de condición se obtiene estableciendo el equilibrio global de momentos respecto del punto O (para eliminar el efecto de las fuerzas axiales).

O

25’ 20’

15’

15’

100 Klb

MDC

MAB 15MM BAAB

25MM CDDC

25’


791

0252525

MM2015

15MM

)20(100MM0M CDDCBAABDCABO

Simplificando tenemos 0000,2M2MM37

M34

CDDCBAAB .

Reemplazando las expresiones para los momentos de extremo, ecuaciones (**), en la expresión anterior y simplificando tenemos:

0000,2∆3049

θ10θ6 CB (****)

Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (***) y (****) encontramos los valores siguientes

6.178,1∆;3573.5θ;4292.21θ CB Finalmente, reemplazamos los valores anteriores en las ecuaciones para los momentos de extremo, ecuaciones (**). Obtenemos:

87.342M15.322M15.332M

58.278M58.278M15.257M

DCCDCB

BCBAAB

El ejemplo siguiente muestra una importante aplicación de las ecuaciones elásticas

de pendiente desviación, al estudio de marcos planos de nudos rígidos que pueden desplazarse lateralmente, sin incluir los efectos de las deformaciones por fuerza cortante y por fuerza axial.

6) Determinar las ecuaciones elásticas pendiente / desviación, necesarias para

encontrar los momentos en los extremos de cada elemento del sistema plano de nudos rígidos representado en el esquema. Considerar constante la rigidez flexional EI en todo el sistema. No incluir deformaciones por fuerza cortante ni por fuerza axial.

Momentos de empotramiento. Puesto que las cargas aplicadas horizontalmente actúan en los nudos B y C, todos los momentos de empotramiento perfecto son nulos. Ángulos de rotación de las cuerdas, positivos en sentido antihorario.

D1+D2 D1+D2

D1

D1

F

E

C

B

A

80 KN

40 KN

7 m

5 m

5 m

D

F

E

C

B

A

D


792

0ψψ5∆

ψψ

5∆

ψψ

CDBE

2EDBC

1FEAB

Condiciones de apoyos A y E empotrados: A=F=0.

Ecuaciones elásticas para cada elemento componente Oijijji

ijij Mψθθ2

LEI2

M

Reemplazando los valores correspondientes a cada elemento, se obtienen las doce ecuaciones siguientes:

DEEDDEEDDCED

BEEBEBBE

CDDCDCCD

BCBCCBBCCBBC

ABBBAABBAB

ψ3θθ25EI2

Mψ3θθ25EI2

M

θθ27EI2

Mθθ27EI2

M

θθ27EI2

Mθθ27EI2

M

ψ3θθ25EI2

Mψ3θθ25EI2

M

ψ3θ25EI2

Mψ3θ5EI2

M

(*)

EFEEFFEEFE ψ3θ25EI2

Mψ3θ5EI2

M

(*)

Se han planteado doce ecuaciones con dieciocho incógnitas: doce momentos de extremo, dos desplazamientos horizontales y cuatro giros de nudos. Ecuaciones del equilibrio de los nudos C, D, B y E.

MCB+MCD=0 MDE+MDC=0

MBA+MBE+MBC=0 MEF+MED+MEB=0

MBC

MCB

C MCD D

MDE

MDC

B

MBA

MBE E

MEF

MED

MEB

(**)


793

Ecuaciones del equilibrio de la fuerza cortante en la base de los elementos verticales (columnas) de ambos niveles que deberán balancear las fuerzas horizontales aplicadas. 6.11) Teorema de los Desplazamientos Recíprocos (Teorema de Maxwell) El Teorema de Maxwell denominado también Teorema o Principio de Reciprocidad de los Desplazamientos es un importante teorema general en Mecánica de Sólidos Deformables. Se deduce a partir de las definiciones del trabajo generado por cargas externas y se aplica en todos los sistemas elásticos en que son válidos los principios de linealidad y superposición. A fin de ilustrar este teorema, consideremos, como ejemplo, una viga en voladizo AB de rigidez flexional constante EIZ, sometida a una carga concentrada P aplicada verticalmente en su extremo libre B.

5 m

VFE

80 KN

40 KN

5 m

40 KN

VBC VED

)1*.*(*05

MM5

MM40

0F

DECDCBBC

H

VAB

5 m

)2*.*(*05

MM5

MM8040

0F

FEEFBAAB

H

Deberán reemplazarse las ecuaciones (*) en las (**) y (***) para así conformar un sistema algebraico (tridiagonal) de seis ecuaciones con seis incógnitas (dos giros de las cuerdas y cuatro giros de los nudos). Con los resultados obtenidos, será posible, luego de reemplazar en las ecuaciones (*), obtener los momentos en los extremos de cada elemento del marco plano.

-PL/EIz

-PL/2EIz

L/2 L/2

CA B

P Sea CBδ la deflexión vertical del punto C de la viga,ocasionada por una carga vertical P actuante en elpunto B. La flecha en el punto C puede calcularse, porejemplo por el método del área del diagrama demomentos.

Z

3

ZZ

ZCB

EL48PL5

2L

32

EI2PL

EIPL

2L

21

4L

2L

EI2PL

δ


794

Consideremos ahora la misma viga AB cargada con la fuerza vertical P aplicada en el punto C. Del valor de las deflexiones calculadas, observamos que BCCB δδ , es decir: La flecha en el punto C, producida por la carga P que actúa en el punto B, es igual a la flecha en el punto B, producida por la carga P que actúa en el punto C. 6.11.1) Demostración del Teorema de Maxwell Consideremos un sistema elástico con una fuerza P1 aplicada en el punto A y otra fuerza P2 aplicada en el punto B. Ambas fuerzas aplicadas gradualmente. Determinaremos el trabajo realizado por las fuerzas en dos estados o alternativas: i) En primer lugar actúa la fuerza P1 y luego actúa la fuerza P2. ii) En primer lugar actúa la fuerza P2 y luego actúa la fuerza P1. Caso (i) Después de generado 1Aδ aplicamos la carga P2 en el punto B. Se realiza el trabajo

22 BδP21

más un trabajo adicional realizado por P1 (que se mantiene constante).

-PL/2EIz

L/2 L/2

CA B

P Sea BCδ la deflexión vertical del punto B de la viga,ocasionada por una carga vertical P actuante en elpunto C. La flecha en el punto B puede calcularse, porejemplo por el método del área del diagrama demomentos.

Z

3

ZBC EL48

PL56L2

2L

21

2L

EI2PL

δ

A B

P2 P1

1Aδ A

P1

La fuerza aplicada gradualmente en el punto

A realiza el trabajo 11 AδP21

, siendo 1Aδ el

desplazamiento del punto A en dirección de la la fuerza P1 generado por la propia fuerza P1.


795

Las otras variables indicadas en el esquema son:

2Bδ que indica el desplazamiento del punto B en dirección de la fuerza P2 y que es generado por la propia fuerza P2.

2Aδ que indica el desplazamiento del punto A en dirección de la fuerza P1 y generado por la fuerza P2. (Tener presente que durante todo el desplazamiento 2Aδ , la fuerza P1 tiene valor constante).

El trabajo realizado es 2221111 BδP21

AδPAδP21

Τ (i)

Caso (ii) Si se invierte el orden de aplicación de las cargas se genera el trabajo T2.

B1

B2

A1 B

A A2

P1

P2

P

P1

A1 A2

P

P2

B2

B2

A1 B

A

P1

P2

P

P1

A1 A2

P

P2

B2


796

Las otras variables indicadas en el esquema son:

1Aδ que indica el desplazamiento del punto A en dirección de la fuerza P1 y que es generado por la propia fuerza P1.

2Bδ que indica el desplazamiento del punto B en dirección de la fuerza P2 y generado por la fuerza P2. (Tener presente que durante todo el desplazamiento 1Bδ , la fuerza P2

tiene valor constante).

El trabajo realizado es 1112222 AδP21

BδPBδP21

Τ (ii)

Por el principio general del trabajo realizado sobre sólidos elásticos lineales, el trabajo generado es independiente desorden en que se aplican las cargas, es decir T1=T2. Luego,

222111 BδP21

AδPAδP21

= 111222 AδP21

BδPBδP21

, de simplificando obtenemos

21 AδP = 12 BδP (*)

La ecuación (*) expresa el principio general de los Trabajos Recíprocos: “El trabajo realizado por la fuerza P1 durante el desplazamiento de su punto de aplicación debido a la acción de la fuerza P2 es igual al trabajo realizado por la fuerza P2 durante el desplazamiento de su punto de aplicación debido a la acción de la fuerza P1”.

Si P1=P2, tenemos 12 BδAδ (**) Igualdad que constituye el Principio General de los Desplazamientos Recíprocos, que se expresa: “El desplazamiento del punto A originado por una fuerza aplicada en el punto B, es igual al desplazamiento del punto B originado por una fuerza igual aplicada en el punto A”. En muchas situaciones el uso del principio de reciprocidad simplifica el cálculo de desplazamientos en sistemas elásticos lineales. Por ejemplo en los siguientes casos:

ABBA δδ

AB

P

P2

B2 B1

P

P1

A1

A P

B

BA

A

P

B


797

BAABAB δδentonces,PPSi

Si, numéricamente, PB=MA, entonces BAAB δθ , numéricamente. El principio de reciprocidad de desplazamientos es bastante útil en la formulación de los denominados coeficientes de flexibilidad, cuyo uso es definitivo en los estudios de Análisis Estructural. Se considera un sólido elástico deformable, sujeto a la acción de las fuerzas P1 y P2 aplicadas gradualmente. Los puntos de aplicación de las fuerzas indicadas sufren los desplazamientos D1 y D2, respectivamente. Para estos casos fij=fji . El principio de reciprocidad de los desplazamientos expresa que: “Para un sistema elástico lineal el desplazamiento en el punto i debido a una carga unitaria en el punto j es igual al desplazamiento en el punto j debido a una carga unitaria en el punto i”. El principio de reciprocidad de los desplazamientos es un caso particular de una ley de la Mecánica de Sólidos Deformables mucho más general, el Teorema de Betti o de la Reciprocidad de los Trabajos. EJEMPLOS 1) Verificar la validez del principio de reciprocidad en el sistema cuya rigidez flexional

es constante EI, sometido a los dos estados de carga que se indican.

D2 D1

P2 P1

PB

A B

AB BB

A

PA

B

AA BA

MA

AB

PB

A B A

B

BA

Puesto que el sólido es linealmente elástico, los desplazamientos totales se expresan:

2221212

2121111

PfPf∆

PfPf∆

Expresiones donde fij es el coeficiente de flexibilidad, que define el desplazamiento en el punto i resultante de una carga unitaria aplicada en el punto j.


798

Si las cargas son unitarias, es decir P=1 y m=1, entonces

2a

LEIa

uy2a

LEIa

θ BA

Igualdad que comprueba la validez del principio de reciprocidad de desplazamientos. 2) La fuerza PR=1,200 Kg aplicada en el punto R provoca en los puntos A, B y C

descensos de 3, 8 y 5 mm, respectivamente. Determinar el descenso provocado en el punto R por las cargas PA=1,500 Kg; PB=700 Kg y PC=1,000 Kg, que actúan en los puntos A, B y C.

Si en el punto R actuase una carga unitaria (1 Kg) se generarían los siguientes desplazamientos verticales:

cm200,15.0

δ;cm200,18.0

δ;cm200,1

3.0δ CBA (*)

Por el principio de reciprocidad de los desplazamientos, los descensos verticales indicados en (*) son, respectivamente iguales al descenso del punto R cuando en los puntos A, B y C actúen fuerzas unitarias.

uB

A

a A

P=1 L A

B

La rotación en el punto A. es

A=

2a

LEIPa

2Pa

PaLEI1 2

a

m=1

B

La flecha del punto B. es

uB=

2a

LEIma

2aL

m2L

mEI1 22

5 mm 8 mm

3 mm

A B C

R

PR=1,200 Kg

A B C R

PA=1,500 Kg

DR

PB=700 Kg Pc=1,000 Kg


799

Si en A actuase PA=1,500 Kg el descenso del punto R sería D’R= cm500,1200,1

3.0

Si en B actuase PB=700 Kg, el descenso del punto R sería D” cm500,1200,18.0

Si en C actuase PC=1,000 Kg, el descenso del punto R sería D’” cm500,1200,15.0

Cuando simultáneamente actúen las fuerzas PA, PB y PC, el descenso del punto R será

cm26.1000,1200,15.0

700200,18.0

500,1200,1

3.0∆R

Nota) El principio de reciprocidad ha permitido resolver rápidamente problemas importantes en Mecánica de Sólidos que, de otra manera, presentaban dificultades notorias. Uno de ellos es determinar el cambio de volumen de un sólido elástico lineal. 3) Determinar la variación de volumen de un

cuerpo elástico de configuración arbitraria, sometido a la acción de dos fuerzas iguales y de sentidos contrarios P. La distancia entre los puntos de aplicación de las fuerzas es H. El material del sólido tiene constantes elásticas E, u.

A B C R

1

0.3/1,200

A B C R

1

0.8/1,200

A B C R

1

0.5/1,200

P

PH


800

Es importante considerar el grado de dificultad del problema enunciado de manera muy general. Por el principio de reciprocidad de los trabajos, la solución del problema se simplifica notoriamente. Analizamos simultáneamente a la condición de carga dada, el estado de carga del cuerpo sometido a una carga uniformemente repartida actuante sobre la superficie del mismo. Se definen entonces dos estados de fuerzas en el sólido (fuerzas en el sentido generalizado), el sistema de las dos fuerzas concentradas P, como un estado y la presión uniforme q, como el otro estado. Según el principio de reciprocidad de los trabajos, se afirma que

Pq V∆qH∆P (*)

donde qH∆ es el desplazamiento relativo de los puntos de aplicación de las dos cargas

P originado por la presión q y PV∆ es la variación buscado del volumen del cuerpo originado por las fuerzas P. Al cargar el cuerpo con una presión uniformemente distribuida, en cada elemento de volumen aparece el estado de compresión triaxial. La deformación unitaria según

cualquier dirección es, por la Ley de Hooke generalizada, E1

ε [s-u(s+s)], donde el

esfuerzo normal s es igual a la presión q. Luego Eq

ε [1-2u].

Los puntos de aplicación de las fuerzas se acercarán bajo la acción de la presión q la

cantidad HEq

HεH∆ P [1-2u].

Reemplazando este valor en la expresión de reciprocidad de los trabajos, ecuación (*),

obtenemos EPH

V∆ q [1-2u].

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