MECÁNICA
CINEMÁTICA DINÁMICA
GEOMETRÍA DEL
MOVIMIENTO
ESTÁTICA
CAUSAS DEL
MOVIMIENTO EQUILIBRIO
ESPACIO
EUCLÍDEO
(es válido el
teorema de
Pitágoras)
+
TIEMPO
NEWTONIANO =
MECÁNICA
CLÁSICA
ELEMENTOS
SISTEMA DE
REFERENCIA
+
PUNTO MATERIAL
estudia el movimiento desde el punto de vista de la
CONCEPTOS Y DEFINICIONES
POSICIÓN
k z(t) j y(t) i x(t) (t)r
[r] = [L] (dimensiones)
(x(t); y(t); z(t) son funciones escalares . Las unidades S.I. son (m).
TRAYECTORIA
Línea que describe el extremo del vector de posición en el tiempo. Queda descrita por una curva s(t)
DESPLAZAMIENTO
(t)r - t) (t r (t)r
ó diferencia entre el vector de posición en dos instantes de tiempo ( en t y en t + t).
t es el intervalo de tiempo transcurrido entre los dos valores de la POSICIÓN.
VELOCIDAD
Al cociente entre el DESPLAZAMIENTO y t se le llama VELOCIDAD. Dependiendo del tamaño de t,
tendremos: t
(t)r (t)mv
(velocidad media).
Si t 0, entonces se obtiene la velocidad instantánea: (t)r dt
(t)rd
t
(t)r
0tlim (t)v
Δ
Δ
Su módulo se llama CELERIDAD O RAPIDEZ.
Sus dimensiones son [v] = [L]·[T] –1
Sus unidades S.I. son m/s.
ACELERACIÓN
Es la magnitud que se define como el cambio de la velocidad por unidad de tiempo.
Al pasar de una velocidad v a otra v + v en t, tendremos: t
(t) (t)ma
v
(aceleración media).
De nuevo, si t0, obtenemos la aceleración instantánea: (t) r t² d
(t)r d² (t)v
dt
(t)vd
t
(t)v
0tlim (t)a
Δ
Δ
Sus dimensiones son: [a] = L·T –2
Sus unidades S.I. son m·s –2 .
ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LOS ELEMENTOS DE CINEMÁTICA
EL SISTEMA DE REFERENCIA ES IMPRESCINDIBLE PARA DEFINIR LA POSICIÓN DE
UN OBJETO. NO OBSTANTE, SU ELECCIÓN ES ARBITRARIA.
(Dependiendo del sistema de referencia elegido, el movimiento tendrá una “forma” u otra).
NO EXISTE NINGÚN SISTEMA DE REFERENCIA “EN REPOSO”.
EL REPOSO ABSOLUTO NO EXISTE.
TODOS LOS MOVIMIENTOS SON RELATIVOS (RELATIVOS AL S. DE REF. ELEGIDO)
normalmente se utilizan coordenadas cartesianas,
PERO HAY MÁS (COORDENADAS ESFÉRICAS, CILÍNDRICAS, ETC.).
la ecuación de la trayectoria como una función f(x, y, z) se obtiene eliminando el parámetro tiempo t
de las ecuaciones x(t); y(t); z(t) del vector de posición (t) r
(recordar como se eliminaba el parámetro de la ecuación de una recta).
NO SE DEBE CONFUNDIR ARCO DE CURVA ( s) ENTRE DOS PUNTOS P Y Q CON EL
VECTOR DESPLAZAMIENTO ( r) ENTRE P Y Q.
s es una longitud (“trozo” de arco entre P y Q)
r es el vector desplazamiento (que une P con Q).
Si P y Q son dos puntos infinitamente próximos ( t0)entonces
r tiene la dirección del vector tangente a la trayectoria.
EN CONSECUENCIA
LA VELOCIDAD INSTANTÁNEA ES TANGENTE A LA TRAYECTORIA
y así se puede escribir:
tu|·v| (t)v
donde ut es un vector unitario tangente a la trayectoria.
¿CÓMO SE OBTIENE ut?
¡fácil !
|v|
vu
t
(recordar cómo se obtenía la velocidad; derivando)
sin embargo...
LA ACELERACIÓN NO VA DIRIGIDA, EN GENERAL, SEGÚN LA DIRECCIÓN TANGENTE
pero siempre puede expresarse como suma de dos vectores
uno, según la dirección de la tangente a la trayectoria (at; aceleración tangencial).
y otro, según la dirección perpendicular a la trayectoria (aN; aceleración normal).
Nt a a a
A las componentes de cada uno de estos vectores se les llama
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN.
al vector at se le llama ACELERACIÓN TANGENCIAL y está dirigido según ut.
su descripción es:
ttu ·
t d
|v| d a
donde |v| es el módulo de la velocidad, y ut es el vector unitario tangente.
al vector aN se le denomina ACELERACIÓN NORMAL y tiene la dirección del vector uN.
uN es perpendicular al vector tangente, y se llama VECTOR UNITARIO NORMAL.
uN va dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria
(el caso más sencillo lo tendremos cuando la trayectoria sea circular; el centro de
curvatura será el centro de la circunferencia)
en todo caso, la descripción de aN es:
NNu ·
R
v² a
o también:
tNa - a a
donde v es el módulo de la velocidad y R es el radio de curvatura.
las componentes intrínsecas de la velocidad sirven para clasificar los tipos de movimiento:
así:
sí N
a
= 0 el movimiento es rectilíneo y:
constante. es no a si acelerado
cte. es a si acelerado nteuniformeme
0 a además si uniforme
t
t
t
sí t
a
= 0 la velocidad es constante y el movimiento es
constante. es no a si curvilíneo
cte. a si uniforme circular
N
N
¿Qué condiciones se necesitan para que se dé un M.C.U.A.?
OBTENCIÓN DE LA POSICIÓN CONOCIENDO LA ACELERACIÓN.
si conocemos la aceleración (SEA O NO CONSTANTE), podemos obtener, INTEGRANDO
respecto al tiempo una vez, la velocidad
AD)LA VELOCID DE (ECUACIÓN·t a v (t) v
:obtenemos constante, es a si y,integrando
dt; a vd
dt; a vd dt
vd a
o
t
v
v0
0
(*)
v0 es la velocidad inicial, a es la aceleración y t es el tiempo.
y si conocemos la velocidad, y volvemos a integrar, podemos obtener la posición
POSICIÓN)LA DE (ECUACIÓN ·t²a ·t vr (t) r
:obtenemos constante, es a si ymiembros, dos los en integrando
dt. ·t)a v( ·dt v rd
dt; v rd dt
rd v
o 0
r
r
t
0
t
0
0
2
1
0(*)
r0 es la posición inicial, y el resto de parámetros tienen el significado antes indicado.
*(LAS DOS ECUACIONES ANTERIORES CORRESPONDEN A UN M.R.U.A.)
¡ CUIDADO! si la aceleración no es un vector constante, habría que hacer las integrales
correspondientes.
un tipo especial de movimiento: EL MOVIMIENTO CIRCULAR
características generales
el radio de curvatura R es constante (e igual al radio de la circunferencia descrita).
se desarrolla en un plano (generalmente, el plano XY)
la descripción del movimiento se hará en función de magnitudes angulares. Así:
la posición queda determinada por medio del ángulo girado.(sin dimensiones, sus USI: rad)
y el desplazamiento angular , se relaciona con el arco girado s y con el radio R:
s = R· (arco =ángulo (en radianes)· radio)
se define así mismo una velocidad angular :
dt
d DIMENSIONES [ ] = [T –1]; UNIDADES: rad/s.
y una aceleración angular :
dt
d DIMENSIONES [ ] = [T –2]; UNIDADES: rad/s².
de nuevo, conociendo la expresión de la aceleración angular puede obtenerse la velocidad
angular, mediante una integral:
ANGULAR)ADLA VELOCID DE (ECUACIÓN·t (t)
:obtenemos constante, es si y,integrando
dt; d
dt; d dt
d
o
t
00
(*)
0 es la velocidad angular cuando t =0, es la aceleración angular y t es el tiempo.
y si conocemos la velocidad, y volvemos a integrar, podemos obtener la posición
ANGULAR)POSICIÓNLA DE (ECUACIÓN ·t²·t (t)
:obtenemos constante, es si ymiembros, dos los en integrando
dt. ·t) ( ·dt d
dt; d dt
d
o 0
t
0
t
0
0
2
1
0(*)
0 es la posición angular inicial, y el resto de parámetros tienen el significado antes indicado.
(*) (LAS ECUACIONES ANTERIORES CORRESPONDEN A UN M.C.U.A.)
EL MOVIMIENTO CIRCULAR SE PUEDE EXPRESAR EN COORDENADAS CARTESIANAS
la posición puede expresarse en función del ángulo con el eje OX :
j· sen i cos (t)r
·
la velocidad instantánea v también queda definida en función de :
R·dt
dR·
dt
·R)d(
dt
dr v
( es un vector axial, definido por el sentido de giro y la regla de Maxwell)
aN
at
de un modo similar, existe una relación entre la componente tangencial de la aceleración y
la aceleración angular:
)centrípeta ac. la es R
v² yangular naceleració la es ( u
R
v² u · a
:decir es
uR
²|v| u
dt
|v|d operando yproducto un derivando
dt
u|·vd(|
dt
vd a
Nt
Nt
t)
R·
CUADRO RESUMEN
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
aceleración
aN = 0; at =0 aN = 0; at =cte. (a = at) aN = 0; at cte.
M.R.U. M.R.U.A.
M.R.A.
velocidad
v(t) = cte. v(t) = v0 + a·t
t
adtvtv
0
0)(
posición
r(t) = r0 + v·t r(t) = r0 + v0·t + ½ a·t²
tt
dtadttvrtr
00
00)(·)(
MOVIMIENTO CIRCULAR
aceleración
aN = v²/R; at =0 aN = v²/R; at =cte. (at = ·R)
( = cte.)
aN = v²/R; at cte.
( cte.)
M.C.U. M.C.U.A.
M.C.A.
velocidad
angular
(t) = cte. (t) = 0 + ·t
t
dtt
0
0)(
posición
angular
(t) = 0 + ·t (t) = 0 + 0·t + ½ ·t²
tt
dtdttt
00
00)(·)(
correspondencias entre movimiento rectilíneo y circular
MAGNITUD LINEAL RELACIÓN MAGNITUD ANGULAR
r: posición (m)
a través de R
: posición (rad)
r. desplazamiento (m)
r = · R
: desplazamiento (rad)
v: velocidad (m/s)
v = · R
: velocidad angular (rad/s)
a: aceleración (m/s²)
a = · R
: aceleración angular (rad/s²)
ELEMENTOS DE DINÁMICA (I)
dinámica; análisis/estudio de las causas del movimiento
GLOSARIO:
los elementos básicos son los vectores que se han definido en la parte de cinemática:
sistema de referencia (imprescindible)
r: posición (m); r: desplazamiento (m); v: velocidad (m/s), a: aceleración (m/s²).
añadimos el concepto de partícula material -punto definido por el valor de su masa m (kg)-.
pero hay más. Entre los elementos nuevos, definimos los siguientes:
MOMENTO LINEAL O CANTIDAD DE
MOVIMIENTO:
vector: vm· p
dimensiones: [p] = [M·L·T –1]
unidades SI: kg·m/s.
- vector paralelo al vector velocidad.
- es el vector de la energía cinética de un cuerpo.
- en coordenadas cartesianas se expresa como:
velocidad. vector del
scartesiana scomponente las son v ,v ,v
)kv jv im·(v p
zyx
zyx
FUERZA
vector: am· F
dimensiones: [F] = [M·L·T –2]
unidades SI: kg·m/s² ó NEWTON (N)
(1 N = 1 kg· 1m/s²)
- vector paralelo a la aceleración.
- es la magnitud básica para entender y estudiar la dinámica.
- su efecto dinámico más general es el de variar
(acelerar) el estado de movimiento de uno o
varios cuerpos.
- en ocasiones se presenta con nombres
específicos (tensiones, peso, etc.).
- su expresión en coordenadas cartesianas es:
zzyyxx
zyx
zyxzyx
m·a F ,m·a F ,a m· F n.aceleració vector del
scartesiana scomponente las son a ,a ,a
)F ,F ,(F F ó )ka ja im·(a F
- y en términos de las componentes intrínsecas:
NtF F F
donde Ft es la fuerza PARALELA A LA DIRECCIÓN
DEL MOVIMIENTO y FN es la fuerza
PERPENDICULAR a la dirección anterior.
IMPULSO MECÁNICO
vector: tF· I
dimensiones: [I] = [M·L·T –1]
unidades: kg·m/s ó N·s.
- dimensionalmente es IDÉNTICO al momento lineal.
- cobra sentido mientras haya una fuerza F
actuando sobre un objeto material DURANTE
un intervalo de tiempo t.
- la relación I <--> p es, para un punto material o
para un sistema con masa constante:
(0))v - (t)vm·( p vm· t ·F I
MOMENTO* ANGULAR O CINÉTICO
vector: p r vm· r L0
dimensiones: [L] = [M·L²·T –2]
unidades SI: kg·m²/s² ó N·m
- es un vector -axial, regla de Maxwell- asociado a giros.
- suele definirse como “el momento del momento lineal”.
- hay que definir el punto O respecto del cual se
calcula (normalmente, el origen del s. de ref.)
*en general, el MOMENTO DE UN VECTOR PQ RESPECTO DE UN PUNTO O de un sistema de referencia {O,X,Y,Z} M0, es el vector
que se define por medio del producto vectorial:
PQ OP M0
y su cálculo en coordenadas cartesianas se realiza mediante un determinante, como tal producto vectorial de dos vectores que es.
PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA DEL PUNTO MATERIAL (LEYES DE NEWTON)
PRINCIPIOS ALGUNOS COMENTARIOS
PRIMERA LEY ( ó DE INERCIA)
“Todo cuerpo sobre el que no actúe una fuerza neta
permanece en reposo o en movimiento rectilíneo y
uniforme, según fuera su estado inicial”.
· Ley descubierta por Galileo(1564-1642) y
reformulada por Newton (1642-1727).
· El “reposo” como un caso más de M.R.U., y no el
único estado natural de los cuerpos, si un cuerpo
frena, es porque sobre él actúa una fuerza de
rozamiento, no por ser el reposo un estado
“natural”, contradiciendo la teoría Aristotélica
hasta entonces vigente.
SEGUNDA LEY (PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA
DINÁMICA)
“La aceleración que adquiere un punto material es
proporcional a la resultante de las fuerzas que
actúan sobre el punto;
am· F FI
”.
donde m es una constante llamada masa del punto material, y F
es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el
punto material (principio de superposición)
· La cualidad masa expresada en la 2ª ley es la llamada masa
inercial: La inercia como la oposición que presentan los
cuerpos a variar su estado de movimiento.
· La masa se obtiene como cociente entre la fuerza neta
aplicada sobre un cuerpo y la aceleración producida.
· Es una magnitud aditiva y que mide la cantidad de materia.
· Dentro del ámbito clásico, la masa es constante. No lo será
(teoría de la Relatividad) a velocidades próximas a c.
· El principio de equivalencia afirma que no existe
diferencia entre la masa inercial y la masa gravitatoria*.
TERCERA LEY (PRINCIPIO DE ACCIÓN Y
REACCIÓN)
“Cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro,
éste actúa sobre el primero ejerciendo una fuerza
igual, pero de sentido contrario”.
· En la interacción entre dos cuerpos, las fuerzas se
presentan siempre por pares.
· Las fuerzas de acción y reacción actúan siempre sobre
cuerpos distintos: son iguales en módulo, pero recuerda que
en la definición de fuerza hay dos términos, la masa y la
aceleración.
masa gravitatoria como masa que interviene en la interacción gravitatoria o agente responsable de que dos cuerpos materiales tiendan a atraerse
mutuamente.
Comentario [LB1]:
EL PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DA PARA MUCHO, ENTRE OTRAS COSAS...
· Un enunciado equivalente del 2º principio lleva a relacionar los conceptos de fuerza y de momento lineal:
dt
pd F
ya que dt
pd )vm·
dt
d
dt
vdm· am· F
(
la consecuencia más evidente de este enunciado es que si cte. vm· p 0 F FI
(conservación de p).
y no sólo eso, sino que también relaciona los conceptos de impulso mecánico y momento lineal ya comentados.
En la expresión anterior, separando variables:
pd ·dt F
e integrando:
p t ·F
· Como ya se indicó, también es posible describir la fuerza neta en términos de las componentes intrínsecas
de la aceleración: la componente tangencial Ft tiene la dirección del movimiento, y la componente normal FN
va dirigida hacia el centro de curvatura. Por eso nos referimos a ella como FUERZA CENTRÍPETA.
)Nt
uu
R
v²
dt
|v|d m·( F F F
Nt
· A la hora de aplicar la 2ª ley de Newton, conviene estudiar por separado las fuerzas resultantes según las
direcciones tangencial y normal:
en la dirección del movimiento: ttam· F
; y en la dirección perpendicular al movimiento: NNam· F
ALGUNOS EJEMPLOS DE FUERZAS
FUERZA PESO O FUERZA GRAVITATORIA
es la que se ejerce sobre un cuerpo de masa m debido a la acción del
CAMPO GRAVITATORIO.
(las características de la fuerza de la gravedad se estudiarán en el tema I).
En los problemas de dinámica usuales, y de forma genérica, el peso se expresa como:
gm· P
donde g es la aceleración de la gravedad. En la superficie de la Tierra g = 9,8 m/s².
La fuerza peso tendrá, salvo necesidad de precisión mayor, la dirección vertical (hacia el
centro de la Tierra)
Si el cuerpo no está situado sobre una superficie horizontal, entonces el peso se
descompone en dos COMPONENTES ORTOGONALES, Ft y FN ó (Px y Py).
Ft = F · sen = mg· sen
FN = F· cos =mg·cos g
TENSIONES
Son fuerzas que transmiten movimientos entre partes de un sistema.
En el caso de cables ideales –considerados sin masa e indeformables y de longitud
constante- la fuerza ejercida en uno de sus extremos se transmite íntegramente al otro.
Mientras un cable no sufra otro tipo de aceleración más que el debido a un sistema de dos
masas unidos a sus extremos, la tensión tiene el mismo valor en ambos extremos (fig: 1:1).
T1 T1 T2 T2´
a T1 a´ T2´
T1 T2
fig: 1:1 fig: 1:2
Pero si se introduce una aceleración “extra” como puede ser la debida al giro de una polea,
los valores de la tensión de cada una de las ramas del cable ideal son diferentes (fig:1:2).
En todo caso, a la hora de describir la 2ª ley de Newton hay que incluirlas como fuerzas que son, descomponerlas
en componentes perpendiculares, etc. y operar con ellas como se haría con cualquier otra fuerza.
FUERZAS DE ROZAMIENTO
Una definición que puede servirnos es la siguiente:
Son aquellas fuerzas de contacto que se oponen al movimiento relativo entre un cuerpo y
el medio que lo rodea (rozamiento viscoso) o entre dos cuerpos en contacto por medio de
una superficie áspera (no lisa o rugosa).
En todo caso, sirve admitir que el rozamiento entre superficies tiene su origen en fuerzas
de cohesión interfacial debidas a las irregularidades más o menos grandes que todos los
sólidos presentan a escala microscópica.
Se distingue entre rozamiento estático y rozamiento dinámico. El esquema sería:
aplicamos F paralela a la superficie de contacto el cuerpo no se mueve si el valor de F no
supera un cierto valor crítico FRS ó fuerza de rozamiento estáticosuperado este valor, el
cuerpo comienza a deslizar con una aceleración menor que la correspondiente a F, y si ésta
cesa, el cuerpo acaba frenándose por la acción de una fuerza FRC ó rozamiento dinámico.
estos resultados experimentales cabe resumirlos como sigue: las fuerzas de rozamiento...
son paralelas a las superficies en contacto y proporcionales a la
reacción normal N que actúa sobre el cuerpo.
FRS s·N, donde s es el coeficiente de rozamiento estático. En la
situación de movimiento inminente, se alcanza el valor máximo para el
rozamiento estático, que corresponde al valor (FRS )máx= s·N.
La fuerza de rozamiento dinámico se opone al movimiento. Su valor es
FRC = C·N ( c es el coeficiente de rozamiento cinético) y FRC < FRS máx
Tanto s como C no dependen del área de contacto, pero si de
la naturaleza de las superficies en contacto.
Ambos coeficientes son adimensionales (y menores que 1).
En superficies lubricadas, los coeficientes de rozamiento
disminuyen en uno o dos órdenes de magnitud.
En el rozamiento por rodadura se define un coeficiente de
rozamiento por rodadura (que tiene dimensiones de longitud).
FUERZAS DE INERCIA O FICTICIAS
En la física clásica existe un principio de invarianza básico, el principio de relatividad de
Galileo.
“Las leyes físicas son idénticas en todos los sistemas de referencia que se mueven con
movimiento uniforme unos respecto de otros”.
Esto lleva a clasificar los sistemas de referencia en
INERCIALES ó NO INERCIALES
Genéricamente, son aquellos en los que
son válidas las leyes de Newton.
No están acelerados respecto al
resto del universo.
Serían inerciales, en la práctica:
*aquellos sistemas que permanecieran
fijos o con movimiento uniforme
respecto a la Tierra.
*todo sistema de referencia que se
mueva con velocidad uniforme respecto
de otro sistema de referencia inercial.
las leyes de Newton verifican el
principio de relatividad, ya que
involucran a aceleraciones y estas son
idénticas en sistemas dotados de
movimiento relativo uniforme.
se desprecian los efectos que
puedan producir los giros debidos a las
órbitas, de la Tierra en torno al Sol, de
éste respecto al centro de la galaxia,
etc.
Caracterizados como aquellos en los
que no son válidas las leyes de
Newton tal cual se han enunciado.
están acelerados respecto al resto
del universo.
Son no inerciales los sistemas que:
*presentan aceleración respecto de
un sistema de referencia inercial.
*están dotados de rotación respecto
de un sistema de referencia inercial.
En un sistema S (INERCIAL), a una
partícula de masa m se le aplica una
fuerza F real, cumpliendo la 2ª ley de
Newton
F = m· as
m · as = F
¡ no coinciden!
pero hay una relación entre
las aceleraciones as, a0 y a
a =as -a0
con lo cual
o la 2ª ley de Newton no
vale en S´
o el observador desde S´
admite que existe una
fuerza “ficticia” F0 = - m·a0
para poder ponerse de
acuerdo con lo que se
percibe en S.
ahora los dos observadores
están de acuerdo
(pero para esto ha habido que
introducir la fuerza “ficticia”)
En un sistema S´ (NO INERCIAL) dotado de
aceleración a0 respecto de S, la misma
partícula anterior se verá sometida a una
aceleración a. La fuerza F se escribe ahora
como
F= m· a
si admite la segunda hipótesis,
podrá aplicar la 2ª ley de Newton,
pero introduciendo la fuerza ficticia
F0 = - m·a0
m· as = F + F0
Fr
F
FUERZAS DE DEFORMACIÓN ELÁSTICA
Se dan en resortes, dentro de unos límites (deformación elástica o intervalo de fuerzas
que producen deformaciones no permanentes)
Son fuerzas del tipo Fr = - k·x (LEY DE HOOKE)
(La fuerza recuperadora Fr es proporcional al alargamiento producido en un resorte)
La constante de proporcionalidad K se llama constante elástica del resorte
K tiene dimensiones: [K] = [M·T-2]
sus USI: N/m.
x es el alargamiento (elongación o contracción) producido.
Al fijar por uno de sus extremos un muelle o resorte de longitud L y aplicar por el otro
extremo una fuerza F, éste ejerce una reacción igual y contraria a la fuerza aplicada
(3ª ley de Newton)
dicha fuerza es ejercida por el resorte y se debe a las reordenaciones moleculares que
ocurren dentro del material.
La fuerza recuperadora Fr tenderá a devolver al muelle a su estado inicial si cesa F.
Justo cuando el muelle recupera su longitud natural, Fr =0, pero en ese momento mantiene
una cierta velocidad
por lo cual
el resorte seguirá contrayéndose
pero al hacerlo
aparece de nuevo la fuerza recuperadora
que frenará al resorte primero
y luego volverá a llevarlo a su longitud natural ...
Este proceso
- perduraría en el tiempo indefinidamente si no existiesen fuerzas de rozamiento
y entonces el movimiento sería un M.A.S.
la frecuencia de la oscilación así producida se llama FRECUENCIA PROPIA O NATURAL.
- se irá amortiguando si existen rozamientos que vayan frenando al resorte en su
movimiento, y si esto ocurre, el movimiento se llama AMORTIGUADO.
Existe una posibilidad más:
la fuerza externa es variable en el tiempo, y tiene una frecuencia propia
en este caso, la fuerza OBLIGA al resorte a estirarse y contraerse a un determinado
ritmo, es decir, con un movimiento periódico pero
con la frecuencia propia de la fuerza externa.
la amplitud de la oscilación dependerá de la relación entre las frecuencias de la fuerza
externa y de la frecuencia propia del resorte.
(algo parecido a lo que ocurre en un columpio cuando alguien nos impulsa desde fuera).
NOTA: Como se verá más adelante, resorte es todo sistema físico que ofrece una fuerza recuperadora de tipo elástico.
x = 0
sdrd
ELEMENTOS DE DINÁMICA (II) TRABAJO Y ENERGÍA, POTENCIA.
TRABAJO DESARROLLADO POR UNA
FUERZA F
Al aplicar una fuerza F sobre un punto
material, éste experimentará un
desplazamiento rd
.
Se define el trabajo elemental dW de la
fuerza F al producto escalar:
ds · F·cos r·dF dW
donde es el ángulo entre rd yF
y ds es el
módulo del desplazamiento infinitesimal.
dW es máximo si rd yF
son paralelos ( = 0º)
y nulo si rd F
( = 90º)
El trabajo total entre dos puntos 1 y 2 de
una trayectoria finita se obtiene integrando:
·dsF·cos r·dF W
2
1
2
11,2
(esta integral se llama circulación del vector F entre
los puntos 1 y 2)
De la definición de velocidad
·dtv rd vdt
rd
y así:
1
O·
2
DIMENSIONES: [w] = [M·L²·T-2]
UNIDADES SI: Julio (J); (J ó N·m)
otras unidades: CGS: ergio (erg)
sistema técnico: Kilográmetro (Kp·m)
práctico: kilovatio-hora:
kW·h (1kW·h = 3,6 · 106 J)
CASO PARTICULAR:
Si F es constante, W es el producto
escalar de fuerza y desplazamiento.
2
1
t
t
2
1zyx
2
11,2
·dtv·F dz) F dy F ·dx(F r·dF W
POTENCIA
Se define como el cociente entre las
magnitudes trabajo y tiempo.
DIMENSIONES:
[P] = [M·L²·T-3]
UNIDADES SI: Vatio (W)
otras unidades prácticas:
caballo de vapor (CV) 1CV = 735.5 W.
si el trabajo es constante a lo largo del
tiempo, se define una POTENCIA MEDIA
<P> = Pm = t
W
Y, si el trabajo no es constante, entonces
se define la potencia instantánea P:
v·F dt
r·dF
dt
dW P
En las máquinas, se mide su rendimiento
1 P
P
nominal
útil;
ENERGÍA CINÉTICA. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS.
A partir de la definición de trabajo, y de la 2ª ley de Newton:
v·F v·am· F am·
de donde
m·v²2
1d
2
v·vm·d v·dvm·dt v
dt
vdm· r·dam· r·dF dW ··
El término ½ m·v² se llama ENERGÍA CINÉTICA DE LA PARTÍCULA (Ec), y tiene las
mismas unidades que el trabajo. De hecho, uno de los teoremas más útiles empleados es:
dW = dEc ó, en forma de incremento: W1,2 = Ec(2) – Ec(1)
expresión que constituye el TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS
r
F
OPERADORES HABITUALES (del año que viene en adelante) EN FÍSICA.
OPERADOR “NABLA” ( )
es un vector “simbólico” que sólo cobra sentido al ser
aplicado sobre una función (escalar o vectorial).
En coordenadas cartesianas es:
kz
jy
ix
) ( ) ( ) (
(donde x
) ( significa “derivada de la función ( )
respecto de x, etc.)
OPERADOR LAPLACIANA
se define en coordenadas cartesianas, y en términos
del operador como
²
²
²
²
²
²²
zyx
) ( ) ( ) (
(en ocasiones se le denomina “la divergencia del gradiente”)
LA LAPLACIANA de una función escalar f(x, y, z, t)
es una magnitud escalar:
²
²
²
²
²
²²
zyxf
f f f
LA LAPLACIANA de un vector t) z, y,(x,V es otro
VECTOR:
kz
Vj
y
Vi
x
VV
zyX
²
²
²
²
²
²²
GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
M( x, y, z, t) = 0
es un VECTOR que se define como el resultado de
aplicar el operador sobre la función escalar M:
kz
Mj
y
Mi
x
MM
M grad
DIVERGENCIA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
k· V j· V i· V t) z, y,(x,Vzyx
es un ESCALAR que se obtiene al hacer el
PRODUCTO ESCALAR de y t) z, y,(x,V
z
V
y
V
x
Vzyx
V· V div
ROTACIONAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
k· V j· V i· V t) z, y,(x,Vzyx
es un VECTOR que se obtiene mediante el
PRODUCTO VECTORIAL de y t) z, y,(x,V
zyxVVV
zyx
kji
V
rot V
FLUJO DE UN VECTOR A TRAVÉS DE UNA
SUPERFICIE
en física, a las superficies elementales se les asocia
un vector dS.(perpendicular a la superficie elemental
considerada) y la superficie total es erficie
Sdsup
Se define el FLUJO de un vector E a través de
una superficie S como el producto escalar de E y S.
E,S = E· S
en general, habrá que acudir a una integral
superficie
Sd ·E
SE , , y si la superficie es cerrada,
entonces se representa por
superficie
SdESE
·,
CIRCULACIÓN DE UN VECTOR A LO LARGO DE UN
CAMINO O CURVA
Si disponemos de una curva C y la recorremos en un
sentido determinado, en todo momento estaremos
siguiendo al vector ld
, tangente a la curva en cada
punto.
Se define la circulación de un vector E a lo largo del
camino C como el valor de la integral
C curv a
l·dE
CE ,
y de nuevo, si la curva C es cerrada, se suele usar
esta otra notación:
curvaC
CEldE
·,
ESTOS OPERADORES, ESTAS OPERACIONES, SIRVEN PARA DEFINIR ALGUNOS
CONCEPTOS IMPORTANTES Y PARA OBTENER ALGUNOS RESULTADOS MUY
IMPORTANTES
ENTRE OTROS, LOS SIGUIENTES
DEFINICIÓN CONSECUENCIA FUERZAS CONSERVATIVAS
F ES UN VECTOR
F ES CONSERVATIVA SI SE CUMPLE ALGUNA DE
ESTAS PREMISAS:
- EXISTE UNA FUNCIÓN ESCALAR Ep TAL QUE
F
E grad
p
(a Ep se le llama función ENERGÍA POTENCIAL)
- 0·,
curvaC
CFldF
(sea cual sea el camino cerrado tomado)
(En la práctica, si F es una fuerza conservativa, el trabajo
realizado en un ciclo completo es cero)
-
B. final A yinicial puntos los de depende sólo
elegido, camino del nteindependie es
B
A
ldF
·
(En la práctica, si F es una fuerza conservativa, el trabajo,
dado por la integral anterior, entre dos puntos A y B se
puede expresar como una diferencia entre los valores de
ENERGÍA POTENCIAL en los puntos A y B)
- una fuerza es conservativa si SE PUEDE DEFINIR
UNA ENERGÍA POTENCIAL ASOCIADA
ejemplos:
fuerza gravitatoria )²
´·(
r
mmGF
fuerzas elásticas que cumplan la ley de Hooke ( F = - k·x)
fuerzas electrostáticas )²
´·(
r
qqkF
en estas circunstancias es posible definir,
respectivamente:
una energía potencial gravitatoria )´·
(r
mmG *; (mgh)*
una energía potencial elástica acumulada por un resorte
(½ k·x²)*
una energía potencial electrostática )´·
(r
qqk *
- si F es conservativa, entonces
0 Frot F - si F es conservativa, entonces
F
E grad
p o también:
r·dF dEp
en consecuencia: si F es conservativa, existe una función llamada energía potencial Ep tal que:
r·dF dEp
y por tanto existe una relación entre el trabajo total entre 1 y 2 debido a F y la energía potencial Ep en esos puntos:
2
1
· rdFdEp
2
1
p
:integrando r·dF dE
1,2pp
W E E
:Barrow de regla la aplicando y
)2()1(
es decir, existe una relación genérica entre el trabajo y la energía cinética
(teorema de las fuerzas vivas)
W1,2 = Ec(2) – Ec(1)
y, SÓLO en el caso EN QUE F SEA CONSERVATIVA*, una relación entre trabajo y energía
potencial:
W1,2 = Ep(1) – Ep(2)
conjugando ambas expresiones, SÓLO CUANDO ES POSIBLE, OBTENEMOS el
teorema de la conservación de la energía mecánica en efecto, si igualamos las dos últimas expresiones y separamos :
Ec(2) – Ec(1) = Ep(1) – Ep(2) Ec(1) + Ep(1) = Ec(2) + Ep(2)
E mecánica (1) = E mecánica (2)
*si ADEMÁS de fuerzas de fuerzas conservativas existieran fuerzas no conservativas, el trabajo
W*r debido a estas fuerzas (de rozamiento, disipativas...) se TRANSFORMA EN CALOR (energía no
aprovechable mecánicamente). NO HAY CONSERVACIÓN PERO SÍ EXISTE BALANCE ENERGÉTICO:
E mecánica final = E mecánica inicial – W*r