1

1. Apresentação

Os procedimentos, bem como o estudo, de quantificação e qualificação das forças de atrito

estático e cinético em superfícies revestidas de borracha e madeira dividem-se em 7 capítulos

a saber as principais aplicações do conteúdo: Revisão Bibliográfica sobre a temática abordada

(Capítulo 3); Objetivos Geral e Específicos, e Meios e Processos (Capítulo 4); Análise do

comportamento e das componentes do atrito estático no plano horizontal (Capítulo 5); Análise

do comportamento e das componentes do atrito estático no plano inclinado (Capítulo 6); e

Análise do atrito cinético por meio do plano horizontal (Capítulo 7).

2 .Introdução

O contato entre superfícies no cotidiano define a capacidade de deformação dos corpos, sejam

eles rígidos ou fluídos, o que estabelece, por exemplo, a durabilidade de placas metálicas em

contato uniforme para os projetos de engenharia civil, a frenagem em veículos e a resistência

de máquinas, vigas e treliças, submetidas a condições usuais. Quantificar a variação da força

de atrito em relação à capacidade de deformação dos corpos exige um estudo apurado da

rugosidade dos materiais e como os corpos se comportam em sua interpenetração, no

movimento e na iminência de movimento. Segundo BEER et alii, 1996, este estudo é dado

pela qualificação do atrito, que define como componente horizontal da força de contato que

atua entre dois corpos e têm tendência ou iminência de movimento. As condições macro ou

microscópicas de contato e rugosidade dos materiais, aliados à distribuição de forças,

caracterizam a dissipação e/ou transformação da energia dos corpos em energia térmica, o que

em termos de obras de engenharia configura rendimento e/ou diminuição da qualidade de

instrumentos mecânicos da produção. Para a indústria, tal componente é vital na melhoria das

técnicas produtivas e nas menções de manutenção a fim de consignar ao processo fabril

tecnologias cada vez mais resistentes à exposição dos materiais empregados. Verificar as

condições de atrito e como atuam as forças relativas é importante subsídio na aplicação dos

conceitos de resistência, validade e durabilidade de materiais submetidos às condições

específicas de contato e movimento, ou sua iminência, sendo o objeto deste relatório

quantificar por meio dos modelos de distribuição das forças o coeficiente de atrito estático e

cinético e qualificar a variação do atrito.

2

3. Revisão Bibliográfica

Segundo HALLIDAY et alii (2009) uma força de atrito, é em essência o vetor resultante de

muitas forças que agem entre os átomos da superfície de um corpo e os átomos da superfície

de outro corpo, assim as rugosidades mais elevadas se tocam no contato. Não há uniformidade

no contato e no tempo relativo de movimento. Quando ocorre o atrito também ocorre a

dissipação e conseqüente transformação da energia, convertida em energia térmica e/ou

quebra de moléculas (VILLATE, 2013). Segundo BEER et alii (1996), não existe uma

superfície perfeitamente sem atrito, quando duas superfícies estão em contato forças

tangenciais (de atrito) sempre irão aparecer ao tentarmos mover uma superfície em relação a

outra.Existem dois tipos de atrito e atrito seco ou de Coulomb ou de fluído, sendo abordado

neste estudo apenas o atrito seco. Quando duas superfícies são colocadas em contato, somente

as partes mais altas se tocam a frio, essas partes formam soldas que se desprendem na

iminência de movimento, este fenômeno de forças é denominado de força estática. Partindo

da iminência do movimento e havendo contato entre as partes, as soldas se desprendem e não

possuem força suficiente para manter o sistema estático, então temos a força de atrito cinético.

Frequentemente o movimento de deslizamento de uma superfície em relação a outra provoca

solavancos porque os processos de soldagem e ruptura se alternam, nesse caso a dissipação de

energia também pode ocorrer por meio do ruído provocado na variação de contato

(HALLIDAY et alii, 2009). Considerando a força máxima em estática dos corpos, se os

corpos não se movem em contato, na iminência de movimento, a componente de força normal

(paralela à força peso, mas em sentido oposto) e a componente da força de atrito estático estão

em equilíbrio, ou seja, a resultante das forças é nula e, portanto não há aceleração no sistema,

em tese, porque a aceleração e o movimento ocorrem em magnitudes desprezíveis. Na

iminência do movimento a força de atrito pode ser considerada máxima, partindo do princípio

que a força de atrito diminui gradativamente com a ruptura das soldas e o deslizamento das

superfícies gerando uma força de atrito cinético menor do que a força de atrito estático

(HALLIDAY et alii, 2009). Este fato dá-se pela variação da força normal atuante no sistema,

já que depende do nível de solda entre as partes. Ambos, os atritos, dependem fortemente da

natureza das superfícies que estão em contato. Como eles dependem também da condição

exata das superfícies, seus valores raramente são conhecidos com precisão maior do que 5%.

Os valores correspondentes do coeficiente de atrito cinético seriam algo em torno de 25%

menores. (BEER et alii, 1996).

3

4.1. Objetivo Geral

Verificar a atuação das forças de atrito e os relativos coeficientes de atrito estático e cinético e

sua variação de acordo com a superfície empregada.

4.2. Objetivos Específicos

a) Determinar a variação da força de atrito no emprego no plano inclinado e do plano

horizontal.

b) Quantificar os coeficientes de atrito cinético e estático.

4.3. Método e Procedimentos

O método de análise da qualificação da força de atrito estático e cinético e a quantificação dos

respectivos coeficientes de atrito incluem três etapas, a saber: quantificação do coeficiente de

atrito estático no plano horizontal, quantificação do coeficiente de atrito estático no plano

inclinado e quantificação do atrito dinâmico por tensão.

4.3.1. Quantificação do Atrito Estático no Plano Horizontal

Por meio do contato entre superfícies compostas por rugosidades distintas, determinar

longitudinalmente o coeficiente de atrito estático, aplicando com o dinamômetro disposto em

alinhamento com a peça, uma força horizontal capaz de levar à iminência de movimento a

peça em contato.

4.3.2. Quantificação do Atrito Estático no Plano Inclinado

Por meio do contato entre superfícies compostas por rugosidades distintas, determinar no

plano inclinado coeficiente de atrito estático, elevando a plataforma para obter o ângulo de

atrito estático.

4

4.3.3. Materiais e Medidas

Foram empregados os materiais, a saber:

(a) Plataforma de madeira com cobertura polida.

(b) Bloco de madeira envernizado com dupla superfície, sendo uma livre e outra

emborrachada.

(c) Dinamômetro de mola.

(d) Transferidor.

(e) Suporte vertical ajustável de roldana.

(f) Régua graduada em centímetros (comprimento total de 1 metro).

(g) Peso de Metal com gancho.

(h) Balança Digital de Compressão.

(i) Fio com elasticidade desprezível.

Figura 1: Materiais Empregados nos Experimentos de Qualificação do Atrito Estático e

Cinético e Quantificação de seus respectivos coeficientes de atrito. Fonte: Autoria Própria.

Os dados seguem os padrões do Sistema Internacional de Unidades (S.I.) e para medidas não

condizentes como sistema utilizou-se o padrão do National Institutes of Standards and

Technology (2014). O valor da aceleração da gravidade adotado segue 9,75 m/s².

5

5. Coeficiente de Atrito Estático no Plano Horizontal

Segundo BEER et alii (1996), ao considerar um bloco em contato com uma plataforma de

material de composição diferenciada, ao aplicar uma força horizontal no bloco, esta não move

o objeto, até que aumente e a magnitude da força e esta implique no seu movimento sobre a

plataforma. Se existe uma força aplicada que tem tendência de movimentar o objeto e este não

se movimenta sobre a plataforma, implica que existe outra força contrária, esta força pode ser

denominada de força de atrito estático, que é máxima na iminência do movimento, ou seja,

quanto maior a força aplicada sobre o bloco em repouso, maior será a força de atrito estático

que mantêm a sistema em repouso. Tal repouso é provocado por um estado de compressão ou

solda entre as micro-rugosidades das superfícies, que gradativamente são maiores, na medida

em que aplica-se a força horizontal (HALLIDAY et alii, 2009).

BEER et alii (1996) afirma que por evidências experimentais o valor máximo da força de

atrito estático é proporcional ao componente normal da reação da superfície. Dada a

configuração da distribuição de forças a seguir e que estão em equilíbrio a fim de manter o

sistema em repouso, é necessário pela averiguar quais componentes mantém a estática.

Figura 2: Distribuição das forças em sistema com atrito estático no plano horizontal. Fe

representa a força de atrito estático, N representa a força normal ao bloco, P representa a força

Peso e Fa representa a força aplicada ao bloco. Fonte: Autoria Própria.

Ao aplicar à força horizontal no bloco as rugosidades permanecem fixas umas às outras até a

iminência máxima do movimento em que se desprendem e uma superfície deforma a outra,

logo o contato e a solda são os elementos causais da força que mantém o sistema em

equilíbrio gerando a força de atrito estático Fe. Se existe proporcionalidade entre as força

Fe

N

P

Fa

6

conhecidas toam-se que segundo HALLIDAY et alii (2009) a força de atrito estático pode ser

dado pela equação:

[E1]

𝐹𝑒 = 𝜇𝑒 . 𝑁

Na equação [E1], 𝜇𝑒 representa o coeficiente de atrito estático entre as superfícies, sendo que

em alguns casos é conhecido .

Tabela 1: Coeficientes de Atrito Estático segundo as Superfícies no plano horizontal

(MERIAM e KREIGE, 2002).

Metal sobre Metal 0,15 a 0,60

Metal sobre Madeira 0,20 a 0,60

Metal sobre Pedra 0,30 a 0,70

Metal sobre Couro 0,30 a 0,60

Madeira sobre Madeira 0,25 a 0,50

Madeira sobre Couro 0,25 a 0,50

Pedra sobre Pedra 0,40 a 0,70

Terra sobre Terra 0,20 a 1

Borracha sobre Concreto 0,60 a 0,90

Isolando o coeficiente temos a equação [E2] em que m representa a massa em Quilograma

(Kg) e g a aceleração da gravidade (m/s²):

[2]

𝜇𝑒 =𝐹𝑒

𝑚. 𝑔

5.1. Aferição do Coeficiente de Atrito Estático no Plano Horizontal

Para aferir o coeficiente de atrito estático entre a plataforma de madeira com cobertura polida

de 0,5 m (metros), o bloco de madeira com dupla face utilizou-se dinamômetro de mola com

precisão de 1 N (Newton) e tração longitudinal do bloco.

O dinamômetro foi tracionado até que o bloco fosse submetido a em movimento sobre a

plataforma, na iminência do deslizamento registrou-se o valor da força empregada conforme a

Figura 3.

7

Figura 3: Aferição da Força empregada para levar o bloco à iminência máxima do

movimento.

Para obter o coeficiente de atrito estático foi aplicada a equação [E2], por meio da

substituição da força horizontal aplicada pela tração do dinamômetro na iminência do

deslizamento, o valor da massa aferido em balança digital de compressão e o valor da

aceleração gravitacional adotado segue 9,75 m/s². Em ambas as faces (superfícies) foram

calculados os coeficientes de atrito.

Os dados aferidos seguem nas Tabelas 2, 3 e 4 com o respectivo cálculo do coeficiente de

atrito estático nas Tabelas 5 e 6. A incerteza (𝛿) e o desvio padrão das equações adotadas no

relatório seguem SANTOS (2008) e VUOLO (1992).

Tabela 2: Aferição do valor de Massa do Bloco com Dupla Face

Amostra 𝒙𝒊 (Kg) 𝜹 (Kg)

1 0,16197 ±0,00001

2 0,16185 ±0,00001

3 0,16190 ±0,00001

4 0,16186 ±0,00001

5 0,16191 ±0,00001

𝒙𝒊 (Kg) = 0,16190 D (Kg) =±0,000047

Na aferição dos valores de força horizontal adotou-se como fator de conversão que 1

N(newton) equivale a 9,81 Kgf (quilograma-força), segundo o National Institutes of

Standards and Technology (2014).

8

Tabela 3: Aferição do valor de Força Horizontal aplicado com o Dinamômetro de Mola -

Madeira e Madeira

Amostra 𝒙𝒊 (N) 𝜹 (N) 𝒙𝒊 (Kgf) 𝜹 (Kgf)

1 76 ±1 745,56 ±9,81

2 76 ±1 745,56 ±9,81

3 76 ±1 745,56 ±9,81

4 74 ±1 725,94 ±9,81

5 85 ±1 833.85 ±9,81

𝒙𝒊 (N) = 77,4 D (N) =4,6 𝒙𝒊 (Kgf) = 759,2 D (Kgf) =9,81

Tabela 4: Aferição do valor de Força Horizontal aplicado com o Dinamômetro de Mola -

Borracha e Madeira

Amostra 𝒙𝒊 (N) 𝜹 (N) 𝒙𝒊 (Kgf) 𝜹 (Kgf)

1 46 ±1 451,26 ±9,81

2 50 ±1 490,50 ±9,81

3 48 ±1 470,88 ±9,81

4 44 ±1 431,64 ±9,81

5 50 ±1 490,50 ±9,81

𝒙𝒊 (N) = 47,6 D (N) =2,6 𝒙𝒊 (Kgf) = 466,9 D (Kgf) =25,58

Tabela 5: Coeficiente do Atrito Estático no plano horizontal - Madeira e Madeira - Borracha

e Madeira

Amostra 𝒙𝒊 (𝜇𝑒) -

Madeira e

Madeira

𝜹 (𝜇𝑒 ) - Madeira

e Madeira

𝒙𝒊 (𝜇𝑒 ) -

Borracha e

Madeira

𝜹 (𝜇𝑒 ) -Borracha e

Madeira

1 48,15 ±2,7613 29,14 ±1,6609

2 48,15 ±2,7613 31,67 ±1,6610

3 48,15 ±2,7613 30,41 ±1,6610

4 46,88 ±2,7606 27,87 ±1,6606

5 53,85 ±2,7704 31,67 ±1,6610

9

6. Coeficiente de Atrito Estático no Plano Inclinado

As propriedades do atrito se mantêm para o plano inclinado, todavia, em um tratamento

vetorial das forças, ocorre uma variação na força normal que é perpendicular ao plano. BEER

et alii (1996), considerando um bloco em uma superfície plana com uma força de

interpenetração N oposta à força peso P do bloco, observa que na medida em que o ângulo da

plataforma em relação ao eixo horizontal se amplia uma força se projeta contrária à força peso

(P) colocando em equilíbrio o sistema e impedindo que o bloco se mova, portanto existe uma

força de contato máxima na iminência do movimento, que também pode ser definida como

força de atrito estático (Fe).

Figura 4: Distribuição das forças atuantes no plano inclinado com força de atrito estático

entre as superfícies (N representa a força normal perpendicular à superfície inclinada, Fe

representa a força de atrito estático, P representa a força peso do bloco atuante sobre a

plataforma e b representa o ângulo de inclinação do plano). Fonte: autoria própria.

Em um sistema estático semelhante à Figura 4, a força perpendicular à superfície do bloco (N)

e a força peso (Py) são iguais para que sua resultante seja nula e o sistema esteja em equilíbrio

vertical, do mesmo modo as forças na horizontal do bloco Px e Fe, devem do mesmo modo

ser proporcionais, assim admitimos duas relações importantes para o estudo descritas na

equação [E6] e [E7].

[E6] 𝑁 − 𝑃𝑦 = 0 → 𝑁 = 𝑃𝑦 → 𝑁 = 𝑃. cos 𝛽

[E7] 𝑃𝑥 − 𝐹𝑒 = 0 → 𝑃𝑥 = 𝐹𝑒 → 𝑃. 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝐹𝑒 → 𝑃. 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝜇𝑒 . 𝑁 → 𝜇𝑒 =𝑃.𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑁

Ny

Px

P

Fe N

Py

b

b

10

Considerando as igualdades das equações [E6] e [E7] obtém-se a relação dada na equação

[E8].

[E8] 𝜇𝑒 =𝑃.𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑃.cos 𝛽 → 𝜇𝑒 = 𝑡𝑔 𝛽

O ângulo b, pela sua relação direta com o coeficiente de atrito estático do bloco em relação

à plataforma (𝜇𝑒), nomeia-se ângulo de atrito estático (BEER et alii, 1996).

6.1. Aferição do Coeficiente de Atrito Estático no Plano Inclinado

Para determinar o coeficiente de atrito estático presente no plano inclinado entre a plataforma

de madeira com cobertura polida, de 0,5 m (metros), e o bloco de madeira com dupla face, a

plataforma foi inclinada até a iminência máxima de movimento do bloco, em ambos os

contatos, madeira e madeira, borracha e madeira, a fim de obter o ângulo de atrito estático

definido no capítulo 6, deste relatório.

Figura 5 e 6: Aferição do Coeficiente de Atrito Estático no Plano Inclinado. Fonte: Autoria

Própria.

Munido de transferidor com o alvo ajustado na articulação de rotação da plataforma, elevou-

se esta até obter o ângulo de atrito estático. Os dados do cálculo do coeficiente de atrito

estático no plano inclinado seguiram o modelo da equação [E8], descritos nas tabelas 6, 7 e 8.

A massa do bloco segue a tabela 2 no capítulo 5.1. O fator de conversão de graus de ângulo

para radianos adota a proporção 1º = 0,01571 rad., conforme o National Institutes of

Standards and Technology (2014).

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Tabela 6: Aferição do valor do ângulo de atrito estático no plano inclinado - Madeira e

Madeira.

Amostra 𝒙𝒊 (Grau de

Ângulo)

𝜹 (Grau de

Ângulo)

𝒙𝒊 (Radianos) 𝜹 (Radianos)

1 48 ±0,5 0,7541 ±0,007855

2 49 ±0,5 0,7698 ±0,007855

3 49 ±0,5 0,7698 ±0,007855

4 53 ±0,5 0,8327 ±0,007855

5 48 ±0,5 0,7541 ±0,007855

𝒙𝒊 (Grau) =

49,4

D (Grau) =2,0736 𝒙𝒊 (Rad.) =

0,7761

D (Rad.) =0,0326

Tabela 7: Aferição do valor do ângulo de atrito estático no plano inclinado - Borracha e

Madeira.

Amostra 𝒙𝒊 (Grau de

Ângulo)

𝜹 (Grau de

Ângulo)

𝒙𝒊 (Radianos) 𝜹 (Radianos)

1 38 ±0,5 0,5970 ±0,007855

2 41 ±0,5 0,6441 ±0,007855

3 41 ±0,5 0,6441 ±0,007855

4 42 ±0,5 0,6598 ±0,007855

5 41 ±0,5 0,6441 ±0,007855

𝒙𝒊 (Grau) =

40,6

D (Grau) =1,5166 𝒙𝒊 (Rad.) =

0,6378

D (Rad.) =0,0238

Tabela 8: Coeficiente do Atrito Estático no plano inclinado - Madeira e Madeira - Borracha

e Madeira

Amostra 𝒙𝒊 (𝜇𝑒) -

Madeira e

Madeira

𝜹 (𝜇𝑒 ) - Madeira

e Madeira

𝒙𝒊 (𝜇𝑒 ) -

Borracha e

Madeira

𝜹 (𝜇𝑒 ) -Borracha e

Madeira

1 1,1106 ±0,5 0,7813 ±0,5

2 1,1504 ±0,5 0,8693 ±0,5

3 1,1504 ±0,5 0,8693 ±0,5

4 1,3270 ±0,5 0,9004 ±0,5

5 1,1106 ±0,5 0,8693 ±0,5

Pode-se considerar como erro diverso o erro de paralaxe na observação do ângulo real de

inclinação da plataforma pelo transferidor.

12

7. Coeficiente de Atrito Cinético no Plano Horizontal

A força de atrito estático que mantém em equilíbrio dois corpos em contato submetido a uma

força horizontal crescente sofre movimento quando ocorre o desprendimento das soldas frias

entre as superfícies e uma desliza em relação a outra. Ao considerar um bloco lançado sobre

uma superfície rugosa o bloco não permanece em movimento seguindo o princípio da inércia,

em que um corpo sem ação de forças permanece em repouso ou movimento retilíneo

uniforme. Na medida em que o bloco desliza sobre a superfície ele também perde velocidade,

desacelera partindo do instante em que a força pontual de impulso atua sobre o bloco e entra

em repouso. Pelo próprio princípio da inércia o corpo não poderia entrar em repouso caso não

houvesse uma força contrária atuando sobre ele. Esta força admite a mesma concepção da

força de atrito estático em que ocorre a solda entre as superfícies dos corpos, ou seja, durante

o deslizamento a resistência gradativa das rupturas forma novas soldas frias que exercem uma

força contrária desacelerando o corpo e restaurando o equilíbrio. A esta força denominamos

força de atrito cinético (HALLIDAY et alii, 2009).

a) b) c)

Figura 7: Representação das Forças atuantes nos corpos durante o movimento horizontal. N

(força perpendicular à superfície) permanece em equilíbrio com a força P (peso). a) O corpo

em repouso na iminência do movimento pela aplicação da força de impulso (Fa) permanece

em equilíbrio com a força de atrito cinético (Fe); b) A força de impulso ultrapassa a força de

atrito estático e coloca o corpo em movimento. O corpo desacelera pela força de atrito

cinética (Fc) contrária à força aplicada; c) As forças se igualam e o corpo entra em repouso e

equilíbrio novamente atuando apenas as forças normal (N) e peso (P). Fonte: Autoria Própria.

N N N

P P P

Fa Fc Fe Fa

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A força de atrito estático atinge seu valor máximo e junto com a força normal contrabalança

as forças aplicadas, a seguir a força aumenta de tal modo a ponto de colocar o corpo em

movimento. Até o instante da iminência do movimento a força cresce de forma não-linear e

na ruptura das soldas desliza com módulo de força de atrito constante até que o corpo entra

em estado de equilíbrio novamente quando a força de impulso diminui (BEER et alii, 1996).

Analogamente a força de atrito cinético pode ser calculada por meio de um coeficiente de

atrito cinético conforme a equação [E9]:

[E9] 𝜇𝑐 =𝐹𝑐

𝑚 .𝑔

Para determinar o coeficiente de atrito dinâmico é possível estabelecer a tração entre dois

corpos que balanceiam suas forças no momento em que os corpos entram em repouso

novamente, ou seja, o atrito é tal que deixa de ser cinético e retorna a colocar o corpo em

estática pela diminuição da força tensora. O esquema descrito pode ser representado pelo

sistema da Figura 8.

Figura 8: Esquema proposta para aferição do coeficiente de atrito cinético (𝜇𝑐). Fc representa

a força de atrito cinético, N a força normal ao corpo A, Pa a força peso do corpo A, T a força

que traciona os corpos, Pb a força peso do corpo B, Dh a altura de queda do corpo B quando

o sistema é liberado e Da o deslocamento do corpo A. Fonte: Autoria Própria.

A

B

repouso repouso

Da Dh

N

Pa

Fc

T

T

Pb

Polia de atrito desprezível

14

Consoante a Figura 8, as forças dispostas sobre corpo B atuam de modo a colocar em

movimento retilíneo uniformemente variado o corpo A. Na iminência do movimento a força

de tração é equilibrada pela força oposta de atrito estático deixando o corpo em repouso.

Quando a tensão ultrapassa o limite da força de atrito estático e desequilibra o sistema o corpo

A é posto em movimento atuando sobre ele uma força que desacelera o sistema até entrar em

repouso quando o corpo B toca o chão e a tensora afrouxa, sendo esta força de atrito cinético.

O deslocamento Da e a altura de queda Dh é aferição importante no estudo do atrito

cinético das superfícies entre o corpo A e a plataforma.

A relação das forças na Figura 8 é dada pelas equações [E10] e [E11].

[E10] 𝑇 − 𝐹𝑐 = 𝑚𝐴. 𝑎

[E11] 𝑃𝑏 − 𝑇 = 𝑚𝐵. 𝑎

(mA representa a massa do corpo A, MB representa a massa do corpo B, a representa a

aceleração do sistema)

Admitindo a equação [E12] temos a relação da equação [E13].

[E12] 𝐹𝑐 = 𝜇𝑐. 𝑁 → 𝐹𝑐 = 𝜇𝑐. 𝑚𝐴. 𝑔

[E13] 𝑚𝐵. 𝑔 − 𝜇𝑐. 𝑚𝐴. 𝑔 = ( 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵)𝑎

A distância dada pelo deslocamento Da pode ser empregada na expressão de Torricelli para o

cálculo da velocidade horizontal (V) do bloco A, considerando sua velocidade inicial v dada

pelo repouso, conforme a equação [E14], útil para estabelecer a relação do Teorema do

Trabalho-energia para a cinética da equação [E15].

[E14] 𝑉² = 𝑣² + 2. 𝑎.Da → 𝑉² = 2. 𝑎.Da

[E15] 𝐹𝑐. Da.cos 180 = −1

2𝑚𝐴. 𝑉² → 𝜇𝑐.𝑚𝐴.𝑔.Dh =

1

2𝑚𝐴. 𝑉² → 𝑉² = 2.𝜇𝑐.𝑔.Dh

Da equação [E15] obtêm-se a relação da equação [E16] e [E16.2].

[E16] 2.𝜇𝑐.𝑔.Dh = 2.𝑎.Da → 𝑎 =𝜇𝑐 .𝑔.Δ𝜂

Δ𝛼

[E16.2] 𝑚𝐵 .𝑔− 𝜇𝑐 .𝑚𝐴 .𝑔

𝑚𝐴+𝑚𝐵=

𝜇𝑐.𝑔.Δ𝜂

Δ𝛼 → 𝜇𝑐 =

Δ𝛼 .𝑚𝐵

Δ𝜂 .𝑚𝐴+ 𝑚𝐴+𝑚𝐵 Δ𝛼

15

A equação [E16.2] mostra que o cálculo do coeficiente de atrito estático independe da

aceleração da gravidade no sistema podendo ser aplicado às condições diversas desta.

7.1. Aferição do Coeficiente de Atrito Cinético

A proposta adotada para aferição do coeficiente de atrito cinético segue os procedimentos do

capítulo 7. Aplicou-se o uso da plataforma de madeira com cobertura polida de 0,5 m

(metros), o bloco de madeira com dupla face, fio com elasticidade desprezível, peso com

gancho e suporte vertical ajustável de roldana. O esquema adotado segue o plano da Figura 8.

Para a aferição o peso vertical foi lançado até tocar o chão, ocorrer o afrouxamento do tensor

(fio), e o bloco voltar ao estado de repouso inicial. Como base para o cálculo do coeficiente de

atrito cinético foram coletados os dados referentes à equação [E16.2], a saber: altura entre o

peso e o chão (Dh), deslocamento do bloco na liberação do sistema (Da), massa dos corpos

em tração (mA e mB).

A definição do valor de massa dos corpos em tração está descrito nas tabelas 2 e 9 com as

respectivas incertezas e desvio padrão seguindo o referencial das equações propostas em

VUOLO (1992) e SANTOS (2008).

Tabela 9: Aferição do valor de Massa do Peso em suspensão.

Amostra 𝒙𝒊 (Kg) 𝜹 (Kg)

1 0,143310 ±0,00001

2 0,143330 ±0,00001

3 0,143300 ±0,00001

4 0,143310 ±0,00001

5 0,143310 ±0,00001

𝒙𝒊 (Kg) = 0,14331 D (Kg) =±0,00001095

Tabela 10: Aferição do valor do ângulo de atrito cinético - Borracha e Madeira

Amostra 𝒙𝒊 (Dh) m 𝜹 (Dh) m 𝒙𝒊 (Da) m 𝜹 (Da) m

1 0,221 ±0,05 0,273 ±0,05

2 0,221 ±0,05 0,269 ±0,05

3 0,221 ±0,05 0,264 ±0,05

4 0,221 ±0,05 0,265 ±0,05

5 0,221 ±0,05 0,285 ±0,05

𝒙𝒊 (Dh) = 0,221 D (Dh) =0 𝒙𝒊 (Da) = 0,271 D (Da) =0,0085

16

Tabela 10: Aferição do valor do ângulo de atrito cinético - Borracha e Madeira

Amostra 𝒙𝒊 (Dh) m 𝜹 (Dh) m 𝒙𝒊 (Da) m 𝜹 (Da) m

1 excel ±0,05 0,259 ±0,05

2 0,221 ±0,05 0,275 ±0,05

3 0,221 ±0,05 0,260 ±0,05

4 0,221 ±0,05 0,279 ±0,05

5 0,221 ±0,05 0,284 ±0,05

𝒙𝒊 (Dh) = 0,221 D (Dh) =0 𝒙𝒊 (Da) = 0,271 D (Da) =0,0113

Tabela 11: Coeficiente do Atrito Cinético - Madeira e Madeira - Borracha e Madeira

Amostra 𝒙𝒊 (𝜇𝑐) -

Madeira e

Madeira

𝜹 (𝜇𝑐 ) - Madeira

e Madeira

𝒙𝒊 (𝜇𝑐 ) -

Borracha e

Madeira

𝜹 (𝜇𝑐 ) -Borracha e

Madeira

1 0,3285 0,054339 0,3232 0,053470

2 0,3270 0,054097 0,3292 0,054458

3 0,3251 0,053788 0,3236 0,053534

4 0,3255 0,053850 0,3306 0,054693

5 0,3327 0,055036 0,3323 0,054980

Podem-se considerar como erros diversos correspondentes à natureza dos materiais e o espaço

da experimentação: erro de paralaxe, roldana com atrito, rotação no bolso do peso, prumagem

da plataforma e da bancada.

17

9. Considerações Finais

Os métodos empregados que se utilizam de força de tração se apresentam como um modelo

pouco complexo, de rápida obtenção dos dados com índices satisfatórios, porém apresentam

erros diversos correspondentes às propriedades dos materiais utilizados e à natureza do espaço

em que foi realizada a experimentação. O coeficiente de atrito estático no plano horizontal

entre madeira e borracha, madeira e madeira, varia entre 27,8700+1,6606 e 31,6700+1,6610,

46,8800+2,7606 e 53,8500+2,7704, respectivamente. No plano inclinado o coeficiente de

atrito estático para madeira e madeira, borracha e madeira, entre 1,1106+0,5000 e

1,3270+0,5000, e 0,7813+0,5000 e 0,9004+0,5000 respectivamente. O valor do coeficiente de

atrito cinético varia entre, 0,325100+0,053788 e 0,332700+0,055036, 0,323200+0,053470 e

0,332300+0,054980, para madeira em contato com madeira, e borracha em contato com

borracha, respectivamente.

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10. Referências Bibliográficas

BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, Russel; REISENBERG, Eliot R.. Mecânica Vetorial para

Engenheiros - Estática. 7ª Edição, São Paulo, 1996.

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. WALKER, Jearl. Fundamentos da Física. Volume 1,

8ª Edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 2008.

VILLATE, Jaime E.; Eletricidade e Magnetismo. 1ª Edição, Rio de Janeiro, 2013.

VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. Ed. Edgard Blücher, São Paulo-SP, 1992.

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ . Manual para Elaboração de

Trabalhos Acadêmicos. Sistema de Bibliotecas, Curitiba-PR, 2008.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6028. Rio de Janeiro-RJ,

2003b.

SANTOS, M. N. Berberan. Análise e Tratamento de Dados Experimentais. Instituto Superior

Técnico, 2008.

NIST, www.physics.nist.gov, acesso realizado em 05/01/2014.

http://www1.bipm.org/ , Sistema Internaciona de Unidades (S.I.), acesso realizado em

29/01/2014