EJERCICIOS DE MATE 7
38
PROBLEMA 1 Desarrolle en serie de Fourier-seno -periódica de la función ( ) definida por () { Y usando la serie hallada calcule las sumas de las series ∑ () ∑ ( ) SOLUCIÓN: La función () se expande como una función impar en el intervalo ( ) con período 2. Se calculan los coeficientes tales que () ∑ ( ) 〈() ( )〉 〈 ( ) ( )〉 ∫ () ( ) Para se calculan los coeficientes : 〈() ()〉 〈() ()〉 ∫ () () ∫ () () ∫ () () ∫ () () ∫ () () ∫ () () ∫ () ∫ () () | () | ( ( ) () ( )) ( ( ) () ) Y la serie de Fourier 2-periódica en ( ) para () es: () ∑ ( ( ) () ) () Para calcular ∑ () Se aplica el teorema de la convergencia puntual en ya que la función () es continua en este valor
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PROBLEMA 1
Desarrolle en serie de Fourier-seno -periódica de la función ( ) definida por
( )
{
Y usando la serie hallada calcule las sumas de las series
∑( )
∑
( )
SOLUCIÓN:
La función ( ) se expande como una función impar en el intervalo ( ) con período 2.
Se calculan los coeficientes tales que
( ) ∑ (
)
⟨ ( ) (
)⟩
⟨ (
) (
)⟩
∫ ( )
(
)
Para se calculan los coeficientes :
⟨ ( ) ( )⟩
⟨ ( ) ( )⟩
∫ ( )
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
( )
∫ ( )
∫ ( )
( )
|
( )
|
( (
) ( ) (
))
( (
) ( ) )
Y la serie de Fourier 2-periódica en ( ) para ( ) es:
( ) ∑
( (
) ( ) )
( )
Para calcular
∑( )
Se aplica el teorema de la convergencia puntual en ya que la función ( ) es continua
en este valor
( )
∑
( (
) ( ) )
(
)
Se encuentra una sucesión equivalente
{
( (
) ( ) ) (
)}
{
} {
( )
}
Sustituyendo la sucesión equivalente en la fórmula de sumatoria
∑
( )
∑
( )
∑( )
Para calcular
∑
( )
Se utiliza la igualdad de Parseval
∫ | ( )|
| |
∑(| | | | )
∫ | ( )|
∑| |
∑| |
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ | |
∫ | |
Encontrando una sucesión equivalente para | | :
{| | }
{
} {
( ) }
∑
( )
∑
( )
PROBLEMA 1
Una función cumple ( ) ( ) y para está dada por
( ) {
(a) Encontrar la serie de Fourier de ( )
(b) Calcular
∑
( )
SOLUCIÓN:
(a) La función es una función par, por lo que su serie de Fourier 2-periódica es
una serie de Fourier-coseno y los coeficientes . Los coeficientes se
encuentran a partir de la propiedad de ortogonalidad de las funciones coseno en
:
( )
∑ (
)
⟨ ( ) (
)⟩
⟨ (
) (
)⟩
∫ ( )
(
)
Recordando la fórmula integral de integración por partes:
∫ ( ) ( )
∫
( )
( )
( )
Para un período de se calculan los coeficientes :
⟨ ( ) ( )⟩
⟨ ( ) ( )⟩
∫ ( )
( )
∫ ( )
( )
∫
( )
( ( )
) |
∫
( )
( ( )
)
( )
|
( ( ) )
( )
El término independiente se encuentra evaluando en la sucesión :
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫
|
Y la serie de Fourier 2-periódica en ( ) para ( ) es:
( )
∑
( )
( )
(b) Para calcular la sumatoria se usa la igualdad de Parseval:
∫ | ( )|
| |
∑(| | | | )
∫ | ( )|
| |
∑| |
Se calcula primero el valor de la integral de | ( )| :
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ | |
∫
|
Luego se calcula la serie de | | :
∑| |
| |
(
)
∑ |
( )
|
∑ |
( )
|
∑ |
( )
|
∑ |( )
|
∑(( ) )
((( ) )
) (
(( ) )
) (
(( ) )
)
∑
( )
∑
( )
∑ |
( )
|
(
)
PROBLEMA 2
Sea ( ) la función definida por:
( )
| |
(a) Halle la serie de Fourier para ( ).
(b) Calcule la serie
∑( )
(c) Demuestre que
∑
SOLUCIÓN:
(a) La función ( ) no es ni función par ni impar, pero se puede transformar en una
función impar, si se reordena y se define una nueva función ( ) de la siguiente
manera:
( ) ( )
La función ( ) es una función impar, por lo que su serie de Fourier 2-periódica es
una serie de Fourier-seno
( ) ∑ (
)
⟨ ( ) (
)⟩
⟨ (
) (
)⟩
∫ ( )
(
)
Para se calculan los coeficientes :
⟨ ( ) ( )⟩
⟨ ( ) ( )⟩
∫ ( )
( )
∫ ( )
( )
∫
( )
( ( )
) |
∫
( )
( ( )
)
( )
|
( )
( ( ) )
( )
( )
Y la serie de Fourier 2-periódica en ( ) para ( ) es:
( ) ∑( )
( )
Y la serie de Fourier 2-periódica en ( ) para ( ) es:
( )
( )
∑
( )
( )
(b) Para calcular la primera serie, se aplica el teorema de convergencia puntual de la
función ( ) en ya que la función es continua en este valor:
(
)
∑
( )
(
)
Por lo que
∑( )
(
)
Se encuentra una sucesión equivalente
{( )
(
)}
{
} {
( )
}
Se sustituye la sucesión equivalente
∑( )
∑( )
(
)
∑( )
(c) Para calcular la segunda sumatoria, se utiliza la igualdad de Parseval para ( ) :
∫ | ( )|
| |
∑(| | | | )
∫ | ( )|
∑ | ( )
|
Calculando la integral
∫ | ( )|
∫ | |
∫
|
∑| |
∑ | ( )
|
∑
∑
∫ | ( )|
∑| |
∑
∑
PROBLEMA 3
Sea ( ) la función definida por:
( ) | |
(a) Halle la serie de Fourier 2-periódica para ( ).
(b) Usando la parte (a) calcule las series
∑( )
∑
∑
SOLUCIÓN:
La función ( ) ( ) es una función par, por lo tanto se expande en serie de
Fourier coseno 2-periódica en ( ). Se calculan los coeficientes tales que:
( )
∑ (
)
⟨ ( ) (
)⟩
⟨ ( ) (
)⟩
∫ ( )
(
)
Primero se deduce la fórmula de integración del producto de ( ) y coseno realizando dos
veces integración por partes:
∫ ( ) ( )
∫
( )
( )
(
( )
∫
( )
)
( )
( )
( )
⟨ ( ) ( )⟩
⟨ ( ) ( )⟩
∫ ( )
( ) ∫
( )
∫
( ) ( ( )
( )
( )
( )
( ) ) |
( ( )
( )
( )
( )
( ) ) (
( )
( )
( )
( )
( ) )
( ( )
( )
( )
( )
( ) ) (
( )
( )
( ) )
( )
( )
⟨ ( ) ( )⟩
⟨ ( ) ( )⟩
∫ ( )
∫
∫
Y la serie de Fourier 2-periódica en ( ) para ( ) es:
( )
∑
( )
( ) ( )
( )
∑
( )
( ) ( )
∑
( )
∑
( )
∑( )
( )
∑
( )
( ) ( )
∑
( )
( )
∑
( )
∑
∫ | ( )|
| |
∑(| | | | )
∫ | ( )|
| |
∑ |
( )
( ) |
Calculando la integral
∫ | ( )|
∫ | |
∫
∫
Sustituyendo el valor de la integral y despejando la sumatoria
(
)
∑ |
( )
|
∑
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
PROBLEMA 4
Para una cierta función cumpliendo ( ) ( ) y ( ) ( )
resulta que
∫ ( ) ( )
para
Calcular el valor de la integral
∫ | ( )|
SOLUCIÓN:
Como se cumple que ( ) ( ) entonces ( ) es una función impar y la serie de
Fourier ( ) es una serie de Fourier seno ( ), además expandiendo a un intervalo
simétrico:
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
Debido a la ortogonalidad de las funciones seno en el intervalo [ ] se tienen que los
coeficientes se calculan mediante
⟨ ( ) ( )⟩
⟨ ( ) ( )⟩
∫ ( ) ( )
∫ | ( )|
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
Usando la igualdad de Parseval en el intervalo [ ]:
∫ | ( )|
| |
∑(| | | | )
∫ | ( )|
∑| |
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∑| |
∑ |
|
∑| |
∑
∑( )
∑
(( ∑
) )
(∑
)
(
)
(
)
PROBLEMA 4
Sea ( ) . Encuentre la función ( ) tal que
{
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Si es
(a) ( ) ( )
(b) ( )
SOLUCIÓN:
Aplicando separación de variables. Sea
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Se replantea el problema de separación de variables como
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
CASO 1: . Sea
{
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
los autovalores son ( )
Por lo tanto
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( ( ) ( )) ( )
CASO 2: . Sea
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
CASO 3: . Sea
{
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
contradiciendo la hipótesis inicial . Por lo tanto para que no haya una
contradicción, entonces
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Se plantea la superposición de soluciones (se suman todas las soluciones de todos los casos):
( ) ∑( ( ) ( )) ( )
Se encuentran las constantes y con las condiciones de borde ( ) y
( ) ( ) .
Condición de borde ( ) :
( ) ∑( ( ) ) ( )
∑ ( ) ( )
Por lo tanto
( )
Condición de borde ( ) ( ) :
( ) ∑ ( ) ( )
( ) ( ) ∑ ( ) ( )
Para encontrar los coeficientes se plantea la ortogonalidad de autofunciones en el intervalo
[0,1]:
( ) ⟨ ( ) ( )⟩
⟨ ( ) ( )⟩
⟨ ( ) ( )⟩
‖ ( )‖
∫ ( ) ( )
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ ( )
∫ ( )
(
( )
) |
(a) Para ( ) ( )
( ) ∫ ( ) ( )
∫ | ( )|
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
{
{
( )
( ) ( ) ( )
( )|
( ) ( )
( )
(b) Para ( )
( ) ∫ ( ) ( )
∫ | ( )|
∫ ( )
( )
|
( )
|
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
∑
( )
( )
( ) ( )
PROBLEMA 5
Sea . Encuentre la función ( ) tal que
( )
( )
( ) {
( )
( )
SOLUCIÓN:
Aplicando separación de variables. Sea
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Se replantea el problema de separación de variables como
{
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
CASO 1: . Sea
{
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ))
Así
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
La constante no puede ser cero ya que se están buscando soluciones no-triviales. Así
( )
La solución general para este caso queda
( ) ( ) ( )
( ) ( )
CASO 2:
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
La solución general para este caso queda
( ) ( ) ( )
CASO 3: . Sea
{
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
Así
( ) (
)
( )
( ) (
)
Contradiciendo la hipótesis inicial . Por lo que para que se satisfagan las
relaciones anteriores sin contradecir la hipótesis inicial . Así conduciendo a
soluciones triviales
( )
Luego se suman todas las soluciones de todos los casos planteando la superposición en serie
de Fourier
( ) ∑ ( )
Utilizando la condición de borde ( )
( ) {
∑ ( )
Para encontrar las constantes se utiliza la ortogonalidad de las funciones ( )
⟨ ( ) ( )⟩
‖ ( )‖
∫ ( )
( )
∫ ( )
∫ ( )
( ( )
) |
( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫
También se podía calcular como
( )
( )
Así
( ) ∑ ( )
( ) ( )
PROBLEMA 6
Encuentre la función ( ) acotada tal que
{
( )
( )
( )
SOLUCIÓN:
Aplicando separación de variables. Sea
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Se replantea el problema de separación de variables como
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
CASO 1: . Sea
{
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ))
Así
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
La constante no puede ser cero ya que se están buscando soluciones no-triviales. Así
( )
La solución general para este caso queda
( ) ( ) ( ) (
) ( )
es una función no acotada en el intervalo
es una función acotada en el intervalo
Para que ( ) sea una función acotada, la constante tiene que ser cero, por lo tanto la
solución general al problema conduce a la siguiente función
( ) ( ) ( )
CASO 2:
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
La solución general para este caso queda
( ) ( ) ( ) ( )
es una función no acotada en el intervalo por lo que la constante
Para este caso
( ) ( ) ( )
CASO 3: . Sea
{
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
Así
( ) (
)
( )
( ) (
)
Contradiciendo la hipótesis inicial . Por lo que para que se satisfagan las
relaciones anteriores sin contradecir la hipótesis inicial . Así conduciendo a
soluciones triviales
( )
Luego se suman todas las soluciones de todos los casos planteando la superposición en serie
de Fourier
( ) ∑ ( )
Utilizando la condición de borde ( )
( ) ∑ ( )
Para encontrar las constantes se utiliza la ortogonalidad de las funciones ( )
⟨ ( ) ( )⟩
‖ ( )‖
∫
( )
∫
( )
(
) |
∫
|
(( ) )
∫
( )
∑
( )
( )
PROBLEMA 7
Sea . Calcule la transformada de Fourier de la función definida por
( ) ( )
Y exprésela en términos de funciones hiperbólicas.
SOLUCIÓN:
( )
( ) ( )
Sea ( ) la transformada de Fourier de la función ( ) definida por
( ) [ ( )]
∫ ( )
Luego, usando los teoremas operacionales:
[ ]
√
[ ]
√ ( )
[ ]
√ ( )
Sustituyendo las expresiones:
( ) [ ( )]
[
]
[
]
√
( )
√
( )
√ (
)
√ (
)
√
( )
√
√
( )
√
( )
PROBLEMA 8
(a) Halle la función ( ) ( ) que satisfaga
∫ ( )
| |
(b) Aplicando teoremas operacionales, halle la función ( ) que satisface
∫ ( )
| |
SOLUCIÓN:
(a) A partir de la definición de transformada inversa de Fourier
( ) [ ( )] ∫ ( )
| |
Se encuentra ( ) a partir de la transformada de Fourier
( )
∫ ( )
[ | |]
( )
(b) A partir de la definición de transformada inversa de Fourier
( ) [ ( )] ∫ ( )
| |
Se encuentra ( ) a partir de la transformada de Fourier
( )
∫ ( )
[ | |]
( [ | |])
(
( ) )
( ( ) )
PROBLEMA 2
Usando la transformada de Fourier construir ( ) definida en , que
cumple:
{
( )
( )
SOLUCIÓN:
La primera condición de borde ( ) significa que ( ) debe estar ACOTADA.
Se aplican transformadas de Fourier a las ecuaciones:
{
( )
Ahora se puede aplicar la transformada de Fourier respecto a la variable definida por
( ) [ ( )]
∫ ( )
Usando los teoremas operacionales:
[
] ( ) ( ) ( )
[
]
( )
[ ( )] [ ] [
]
√
( )
√
El problema se reescribe en términos de transformadas de Fourier
{
( )
( )
( )
√
Y luego se resuelve la ecuación diferencial:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
Se encuentra la constante ( ) con la condición inicial:
( ) ( ) ( )
√
Sustituyendo la constante se obtiene la solución acotada | ( )| cuya transformada
inversa de Fourier existe por que ( ) ( ) .
( )
√
√
( )
Luego se recupera la función ( ) mediante la transformada inversa de Fourier:
( ) [ ( )] ∫ ( )
Usando los teoremas operacionales:
[ ]
√
( )
√ (
)
√
√ (
)
[ ( )] √
[
√
] √
( ) √
(
)
√
La solución ( ) al problema explícitamente es
( ) (
)
√
PROBLEMA 9
Sea . Encuentre el conjunto de funciones ( ) tales que
{
( )
( )
( )
( )
( )
SOLUCIÓN:
Hay que extender la variable a . Para esto, se elimina la condición de borde
nula
( ) y se extiende la función ( ) como una función par:
( ) { ( )
Con la variable extendida a todos los números reales, se replantea el problema como:
{
( )
( )
( )
( )
Ahora se puede aplicar la transformada de Fourier respecto a la variable definida por
( ) [ ( )]
∫ ( )
Usando los teoremas operacionales:
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
[ ( )
]
( )
[ ( )] ( )
[ ( )] [ ] ( ) √
El problema se reescribe en términos de transformadas de Fourier
{
( ) ( )
( )
( ) √
Y luego se resuelve la ecuación diferencial:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Se encuentra la constante ( ) con la condición inicial:
( ) ( ) ( ) ( ) √
( ) √ ( ) √ (
)
Se obtiene la solución acotada | ( )| cuya transformada inversa de Fourier existe por
que ( ) ( ) .
( ) √ ( )
Luego se recupera la función ( ) mediante la transformada inversa de Fourier:
( ) [ ( )] ∫ ( )
Usando los teoremas operacionales:
[ ] √
( ) √ ( )
√
√ ( ) ( )
[ ( )] √
[√ ( ) ( )
]
( ) √
( )
√
La solución al problema es
( )
√
PROBLEMA 10
Sea ( ) una función acotada tal que
{
( )
( )
( )
( )
(a) Demuestre que
( ) ∫
| |
(b) Resuelva la integral de la parte (a) y muestre que
( ) ( )
SOLUCIÓN:
Hay que extender la variable a . Para esto, se elimina la condición de borde
nula ( ) y se extiende la función ( ) ( ) como una función impar:
( )
{
Con la variable extendida a todos los números reales, se replantea el problema como:
{
( )
( )
( ) ( )
Ahora se puede aplicar la transformada de Fourier respecto a la variable definida por
( ) [ ( )]
∫ ( )
Usando los teoremas operacionales:
[ ( )
]
( )
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
[ ( )
] [
( )
]
( )
( )
La solución a esta ecuación es
( ) ( ) | | ( ) | |
Para que la solución ( ) sea acotada, la solución en transformada de Fourier también debe
ser acotada | ( )| . Así, el coeficiente ( ) para que esta solución sea una
función acotada.
( ) ( ) | |
Se determina el coeficiente ( ) utilizando la condición de borde.
( )
{
La derivada generalizada de ( ) es
( ) ( )
Por lo tanto
[ ( )]
[ ( )] [ ( )] ( )
( )
[ ( )] [ ( )] ( ) ( )
( ) ( ) | | ( )
Por lo tanto, la solución en transformada de Fourier es
( )
| |
Se recupera la función ( ) por medio de la transformada inversa de Fourier
( ) [ ( )] ∫ ( )
Así
( ) ∫
| |
∫
| | (
)
∫
| |
∫
| |
(a) La integral del coseno es cero, ya que el integrando es una función impar en y la
integral del seno es una función par, así
( )
∫
| |
∫
| | ∫
| |
(b) Utilizando el teorema de Parseval. Si ( )
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( )
Como
( )
( )
( ) | | ( )
Definiendo la transformada de Fourier respecto a la variable como:
( ) [ ( )]
∫ ( )
Así
[ ( )] [
] ( )
( )( )
[ ( )] [ | |] [ ( ) ] ( )
( )
Luego, se aplica el teorema de Parseval
∫
| |
∫
( )( )
∫
∫
( )
(
) |
(
)
(
)
(
(
)) (
)
Por lo tanto la solución es
( ) (
)
PROBLEMA 11
Halle ( ) acotada tal que
{
( )
( )
SOLUCIÓN:
Primero se extiende el intervalo de valores de la variable x a todos los números reales, para
luego aplicar transformadas de Fourier. Esto se hace eliminando la condición de borde
( ) y redefiniendo la condición inicial con una extensión par de la siguiente manera
( )
{
( )
Y se replantea el problema de ecuaciones de derivadas parciales
{
( )
Luego de haber extendido la variable x, se aplican transformadas de Fourier a todos los
términos de la EDP y condición inicial respecto a la variable x definiendo esta como
( ) [ ( )]
∫ ( )
[ ( )
]
( )
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
[ ( )] [
] ( )
( )( )
Así
[
] [
]
( )
( ) ( ) ( )
La solución en transformadas de Fourier es
( ) ( )
Se obtiene ( ) a partir de la condición inicial
( )
( )( ) ( )
Obteniendo
( )
( )( )
Como | ( )| para entonces la función ( ) también será
acotada en su dominio, por lo que ( ) ( ) donde D es el semiplano positivo
. Recuperando ( ) a través de la transformada inversa de Fourier
definida por
( ) [ ( )] ∫ ( )
( ) ∫
( )( )
∫ ( )( )
∫ ( )( )
( ( ) ( ))
∫ ( ( ) ( ))
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
La integral que contiene la función seno se anula por ser una función impar y se reescribe la
integral del coseno en el intervalo [0,1] por ser una función par. Esta integral no se puede
resolver analíticamente, por lo tanto la solución al problema se expresa como
( ) ∫ ( )
PROBLEMA 12
Sea y las funciones . Sea ( ) una función que satisface la ecuación de
la onda
{
( ) ( )
( ) ( )
Muestre que la solución a este problema es la fórmula de D'Alembert:
( ) ( ) ( )
∫ ( )
SOLUCIÓN:
Aplicando transformadas de Fourier a la ecuación diferencial y a las condiciones iniciales
definiendo la transformada de Fourier como
( ) [ ( )]
∫ ( )
[ ( )] ( )
[ ( )
]
( )
[ ( )
] ( ) ( ) ( )
[ ( )] [ ( )] ( ) ( )
[
( )] [ ( )]
( ) ( )
La ecuación diferencial en términos de transformadas de Fourier se expresa como
{
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Luego se recupera la función mediante la transformada inversa de Fourier definida por
( ) [ ( )] ∫ ( )
Obteniendo la transformada inversa de Fourier al primer factor:
( ) ( ) ( )
( )
( )
[
( )
( ) ]
( )
( )
Se obtiene la transformada inversa de Fourier al segundo factor con el teorema de Parseval:
[ ( ) ( )
] ∫ ( )
( )
∫ ( ) ( )
∫ [ ( )] [
( )
]
∫ ( )
( )( )
∫ ( ) ( )( )
∫ ( ) ( )( )
∫ ( )
∫ ( )
[ ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )
]
( )
( )
( )
∫ ( )
PROBLEMA 13
Calcule la integral
∫ (
)
SOLUCIÓN:
(
)
(
)
⏟ ( )
⏟ ( )
( ) ( )
( ) (
)
( )
( )
( )
Como ( ), se puede aplicar el teorema de Parseval donde
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( )
[ ( )] [ (
)
] ( )
( )( )
[ ( )] [
] [ ( ) ] ( )
| | ( )
Así
∫ (
)
∫
( )( )
| |
∫ | |
∫ | |
∫ | |
∫
|
( ) ( )
PROBLEMA 14
Sea una función definida por
( ) { | |
(a) Calcule la transformada de Fourier de .
(b) Usando la parte (a) calcule las integrales
∫ (
)
∫ (
)
( )
SOLUCIÓN:
( ) ( ) {
| |
( ) (
) (
) ( )
( ) ( ) { | |
( ) ( ) ( )
Por lo tanto ( ) satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas generalizadas
( ) ( ) ( ) ( )
Sea la transformada de Fourier de ( ) definida por
( ) [ ( )]
∫ ( )
Aplicando los teoremas operacionales de las transformadas de Fourier
[ ( )] ( ) ( ) ( )
[ ( )]
[ ( )]
Se sustituyen las expresiones y se despeja la transformada de Fourier
[ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
) ( )
(
)
( ) es una función analítica en todo su dominio:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
a partir de la definición de transformada inversa de Fourier
( ) [ ( )] ∫ ( )
( ) ∫
(
)
( ) ( ) ∫
(
)
∫
(
)
∫ (
)
∫ (
)
∫ (
)
Para encontrar el valor de la segunda integral se usa el teorema de Parseval, donde la función
( ) :
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( )
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ |
(
)
|
∫ | |
∫
(
( )
) |
(
)
∫ |
(
)
|
∫ |
( )
|
∫
( )
( )
PROBLEMA 15
Sea una función definida por
( )
{
(c) Calcule la transformada de Fourier de .
(d) Usando la parte (a) calcule las integrales
∫ (
)
∫ (
)
SOLUCIÓN:
(a) Calculando las primeras dos derivadas generalizadas de :
( )
{
( )
{
( ) ( ) ( ) ( )
Sea la transformada de Fourier de ( ) definida por
( ) [ ( )]
∫ ( )
Aplicando los teoremas operacionales de las transformadas de Fourier
[ ( )] ( ) ( ) ( )
[ ( )]
[ ( )]
[ ( )]
[ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( )
Despejando la transformada de Fourier de la expresión anterior
( )
(
⏟ ( )
) ( )
( )
(
)
(b) A partir de la definición de la transformada inversa de Fourier se calcula la primera
integral
( ) [ ( )] ∫ ( )
( ) ∫
(
)
( )
∫ (
)
∫ (
)
Como el integrando es una función par entonces
∫ (
)
∫ (
)
∫ (
)
∫ (
)
Para encontrar el valor de la segunda integral se usa el teorema de Parseval, donde la función
( ) :
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( )
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ | ( )|
∫ |
(
)
|
∫ | ( )|
∫ | |
∫ | ( )|
∫
∫ ( )
∫
(
)
∫ (
)
∫ (
)
Como el integrando es una función par entonces
∫ (
)
∫ (
)
∫ (
)
∫ (
)
PROBLEMA 16
(a) Sea y sea una función definida por:
( )
| | ( )
Usando transformadas de Fourier, encuentre el valor de las siguientes integrales
∫ ( )
∫ ( )
(b) Calcule la integral
∫
( )
SOLUCIÓN:
(a) La primera integral se calcula con el teorema de Parseval
∫ ( )
∫
| | ( )
∫ | | ( )
| | ( )
| |⏟
( )
( )
⏟ ( )
( ) ( )
( ) | | ( )
( ) ( )
( )
Como ( ), se puede aplicar el teorema de Parseval donde
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( )
[ ( )] [ | |] ( )
[ ( )] [ ( )
] [ ( ) ] ( )
( )( ) ( )
∫ | | ( )
∫ [ | |] [ ( )
]
∫
( )( )
∫
(
) |
(
) (
) ( ) (
)
∫ ( )
∫
| | ( )
∫ | | ( )
A partir de la definición de la transformada de Fourier
( ) [ | |]
∫ | |
∫ | |
( ( ) ( ))
∫ | |
( )
∫ | |
( )
∫ | |
( )
Aplicando teoremas operacionales se calcula
[ | |]
[ | |]
( [ | |])
(
)
( )
∫ | |
( ) [ | |]
( )
∫ | |
( )
( )
( )
Evaluando en :
∫ | |
( )
( )
(b) Para encontrar el valor de la segunda integral se usa el teorema de Parseval, donde la
función
( ) :
∫ ( )
( ) ∫ ( ) ( )
∫ | ( )|
∫ | ( )|
[
]
| |
∫
( )
∫ |
|
∫ |
| ||
(
)
∫ ( | |)
∫ | |
∫
(
)
(
)
∫
( )
∫
( )
∫
( )
