Ejercicios resueltos

1Apuntes Física II Ejercicios resueltos 2009-2 G. González/D. Física/USON

Apuntes de la materia de Física II: Ejerciciosresueltos de estática y dinámica de fluidos.

Ejercicios originales resueltos para incluir en el temaestática de fluidos, sección densidad de una mezcla desustancias.

1. (*2) Dos fluidos se mezclan en forma inhomogénea quedandoburbujas en la suspensión. La mezcla con las burbujas ocupaun volumen total de 1.2 lit. Si las densidades y masas decada fluido songr/cm3, m1 = 600 gr 0.8 gr/cm3 y m2

= 400 gr, considerando despreciable la masa del aire en lasburbujas, calcule:a) El volumen total de las burbujasb) La densidad de la mezcla.Solución inciso a): El volumen de la mezcla está dado por lasuma de los volúmenes individuales de los fluidos 1, 2 y delas burbujas, B.

Despejando VB, obtenemos

VM = 1200 cm3, el volumen de la mezcla es dato; y los volúmenesde los fluidos 1 y 2 se obtienen de los datos del problema dela siguiente forma:V1 =m1gr/1cm3 = 600 cm3;V2 = m2/400gr/0.8gr/cm3= 500 cm3

Sustituyendo los valores anteriores en (2), obtenemos:

*Indica el grado de dificultad: 3* los más, 1* los menos.


Solución inciso b): La densidad de la mezcla esta dada por la masa de la mezclaentre el volumen de la misma.

2. Se mezclan homogéneamente tres fluidos, cuyas fracciones devolumen y densidades son X1 = 0.435, 1 = 1.2 gr/cm3; X2 =0.46, 2 = 0.85 gr/cm3 y X3 = 0.105, 3 = 1 gr/cm3,respectivamente. Si el volumen de la mezcla es VM = 766.27cm3, calcular:a) La densidad de la mezcla.Solución: La densidad de la mezcla está dada por

Sustituyendo m = V, se obtiene

Ejemplo 5. Se realiza una aleación de oro y cobre, en proporciones desconocidas, para formar un lingote con dimensionesde 20cmx10cmx5cm y masa de 12 Kg. Calcular:

a) La densidad de la aleación,L =?b) El “quilataje” del oro en la aleación

Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación.Respuesta:



a) Utilizando la ecuación 1.1 que define la densidad de un

cuerpo, , donde mM y VM son datos del problema con los

que obtenemos la densidad del lingote formado por oro y cobre.

b) Para obtener el “quilataje” necesitamos saber el porcentajede masa de oro en el lingote, para lo cual utilizamos laecuación 1.10, desarrollada con el propósito de conocer, lafracción de volúmenes de los componentes en la mezcla, yobtener el porcentaje de masa del componente 1, en este casoel oro. Para mayor facilidad nos remitimos al ejemplo 4 deesta misma sección, en donde observamos que hemos hecho estemismo ejercicio, pero sin calcular los quilates de oro enla muestra. Utilizando la ecuación 1.12ª de ese ejercicio,obtenemos que el porcentaje de oro está dado por:

Con las respectivas fracciones de

volumen del oro y del cobre en la aleación.Recordando que XAu + XCu = 1, obtenemos:

Por lo que despejando la fracción de oro en la mezcla, XAu:



Despejando la masa de oro, de la última ecuación:

Por lo que el porcentaje de oro en la muestra será XAu %=5.712Kg/12Kg = 47.6%.es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleación, por lo que susquilates serán:

, entonces, los quilates XK, correspondientes a ese

porcentaje de oro calculado son:

Como puede observarse, al tener como datos la masa y el volumende la mezcla y las densidades de los componentes, la no fuenecesario calcular el porcentaje del cobre para obtener losquilates de oro.

Ejercicios resueltos para incluir en los apuntes del Principiode ArquímedesEjemplo 1. (*3) El objeto metálico homogéneo, O, figura (1)ejercicio 9, está suspendido mediante una cuerda de pesodespreciable, de una balanza de resorte B1 (Dinamómetro), quemuestra una lectura de 7.25 kg., mientras que la balanza B2registra la masa de un líquido, L, (5Kg) y la del vaso que locontiene, V, (1Kg). En la figura (2) el mismo objeto se encuentrasumergido en el líquido. La balanza B1 indica 6.25 Kg, mientrasque la B2 señala 7 Kg. El volumen del objeto, O, es 0.001 m3. Enla figura 3, el objeto, O, se deja reposando en el fondo del



vaso, y labalanza B2registra lamasa del vaso,la masa dellíquido y lamasa delobjeto.a. ¿Cuál esla fuerza deempuje dellíquidosobre elobjeto?

b. ¿Cuál es la densidad del líquido?c. ¿Qué pasócon lasfuerzas deempuje y la fuerza aparente del objeto dentro del fluido, enla situación representada por la figura 3? ¿desaparecieron?

Solución inciso a) Para un objeto que no flota, se tiene que lafuerza de flotación, FL, está dada por la diferencia entre el pesodel objeto fuera del fluido, WO, y el peso dentro del mismo(peso aparente), Wa:

Solución inciso b) Utilizando la fórmula para la fuerza deflotación que proporciona el principio de Arquímedes, obtenemos:

De donde obtenemos la densidad del fluido, que todavía noconocemos, en el que se encuentra el objeto sumergido.


V

B2

B1

O

(1)

L

B1

VLO

B2

(2)

V

B2

B1

LO

(3)

Figura ejemplo 1. (1) Objeto colgando fuera de un vaso con líquido que descansa sobre una balanza B2. La balanza B1 registra el peso real del objeto, mientras que la B2 registra solo los pesos del líquido y del vaso. (2) Mismo objeto suspendido de una cuerda dentro del líquido, la balanza B2 registra el peso del líquido, el peso del vaso y una tercera fuerza que aparece al entrar el objeto en el fluido, mientras que la balanza B1 registra un peso disminuido del objeto. Figura (3) objeto reposando en el fondo del vaso, B1 no registra nada, B2 registra los pesos del agua, del vaso y el peso real del cuerpo.


El resultado sugiere que el líquido enel que se sumerge el objeto es agua.

Solución inciso c) En larepresentación de la figura 3, labalanza B1 no registra nada, mientrasque la balanza B2 Registra el peso delfluido, el peso del vaso y el peso del objeto, pero este últimoes igual al peso aparente mas la fuerza de flotación: WO = WA + FF.

Ejemplo 2. (3*) Se construye una lancha rectangular formada porseis placas de Aluminio, figura, con las siguientes dimensiones:¼ pulgada de espesor, 4.0 m de largo por 1.80 m de ancho y0.70 cm de altura; la cual tiene como armadura unas costillas derefuerzo, compuesta por barras, también de aluminio, condimensiones de ½ pulgada de espesor por 2 pulgadas de peralte yen total suman 40 m de longitud. Si se deposita una masa de 3toneladas dentro de la lancha, calcular:a) La profundidad, h, que se mete la lancha en el agua.

Solución. La profundidad h que la lancha se introduce en el aguadebido al peso total se obtiene del volumen de fluido desplazado,VFd = Ah, cuyo peso es la fuerza de flotación (Principio deArquímedes). Las fuerzas que intervienen con la lancha flotandoson: La fuerza de flotación FF, el peso del aluminio estructuralde la lancha, WAl, y el peso adicional, Wm, proporcionado por lamasa de 3 toneladas, de tal forma que la fuerza de flotación seaigual a la suma de las otras como requisito para que flote.

Con Wm = mg =3000Kgx9.8m/s2= 29400 N,


Figura ejemplo 2: Esquema representando un lanchón de aluminio flotando en agua, con una masa m = 3 toneladas.

m

Nivel del agua h


WAl =mAlg

Para calcular la masa de aluminio obtenemos el volumen total delmismo multiplicado por su densidad:

,

El volumen del aluminio es:

Entonces

Por tanto, la fuerza de flotación queda:

Por el Principio de Arquímedes, :

Finalmente,

Ejercicios resueltos para incluir en el tema dinámica defluidos, ecuación de Bernoulli.

Ejemplo 1. (3*) (Teorema de Torricelli). En la figura adjunto semuestra una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litrospor segundo, en un tanque, A, que tiene un diámetro de 120 cm, elcual a su vez descarga a través de una llave de paso con undiámetro de ½ pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de diámetro y90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra sobre un



pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobreel nivel del suelo. El tanque B seencuentra sobre el suelo. Calcular:

a) La altura a la cual el nivel delagua en el tanque A se estabiliza.

b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B.c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.

Solución inciso a) Aunque la ecuación para la velocidad dedescarga de un tanque (Teorema de Torricelli) la obtuvimos ya,lo haremos nuevamente para recordar el procedimiento. Aplicandola ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 (carga) y 2(descarga), se tiene:

Es un hecho que el área de sección transversal del tanque, A1, esmucho mayor que el área de descarga en el punto 2, A2, y deacuerdo con la ecuación de continuidad la velocidad dedesplazamiento del nivel de líquido en el tanque, v1, será muchomenor que la velocidad de descarga del fluido, v2, resultando quedespreciable la primera, por lo que la ecuación de Bernoulli sereduce a:

En donde hicimos P1 = P2 = PATM y v1 = 0.Despejando v2 de la ecuación 2, obtenemos:

Con h = h1 – h2.Aplicando la condición de equilibrio que sucede cuando


h

1

2

3 h1 h2

h3

1A

B


Sustituyendo (3) en (4), se obtiene la altura h a la cual seestabiliza el nivel de fluido en el tanque.

Finalmente,

Solución inciso b) Calcularemos ahora la velocidad con la que elagua que descarga por el punto 2 llega a la boca del tanqueidentificada con el punto 3. Aplicando la ecuación de Bernoullientre los puntos 2 y 3, obtenemos:

Con P2 = P3 = PATM y sustituyendo v2 de la ecuación (3), laecuación anterior queda:

Despejando v3:

Solución inciso c) El tiempo de llenado del tanque B, se calculaa partir de la definición de gasto: Q = V/t en m3/s.Donde V es el volumen del tanque y Q es el gasto de descarga(mismo que el de carga). Por lo tanto el tiempo de llenado deltanque es:

Ejemplo 2. (3*) Por un tubo de Vénturi, que tiene un diámetro de1 pulgada por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha,circula agua. El Vénturi tiene conectados dos tubos manométricosque marcan una diferencia de alturas del agua H = 30 cm.Calcule:



a) ¿Cuántos metros cúbicos de aguapor segundo circulan por eltubo?

Solución. El gasto de agua que circula através del tubo de Vénturi está representado por laecuación de continuidad:

A1, v1 y A2, v2 representan las áreas y velocidades en la parteancha y angosta de la tubería, respectivamente. Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una delas dos velocidades en la ecuación anterior, por lo que esnecesario utilizar una segunda ecuación que las contenga, para locual utilizamos la ecuación de Bernoulli:

El término correspondiente a la diferencia de alturas no apareceporque es una tubería horizontal, por lo que h1 y h2 están a lamisma altura.Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas y P1 – P2 secalcula a partir de la diferencia de alturasH que es dato,entre los dos tubos manométricos instalados para tal propósito enel tubo de Vénturi, utilizando para ello la ecuaciónrepresentativa para un fluido estático, P1 – P2 = gH, como es elcaso de los dos tubos manométricos midiendo la diferencia depresión entre dos puntos para un flujo en movimientoestacionario. Despejando v1 de la ecuación (1) y sustituyendo en la (2),obtenemos:


H

Figura ejemplo 2

1 2


, por lo que y la ecuación (2) queda:

Despejando v2 de la ecuaciónanterior:

Entonces el gasto, ecuación (1), será:

Ejemplo 3 (3*) Una bomba manual de rociado absorbe líquido de undepósito, que se encuentra conectado al tramo más angosto de labomba, a través de un tubo que tiene una altura, h =8 cm,como se muestra en la figura. El diámetro en la parte ancha esde 2.5 cm, el diámetro del tubo en la parte angosta es de 3 mm yel líquido en el depósito tiene una densidad de 0.75 gr/cm3.Considerando una densidad de 1.3x10-3 gr/cm3 para el aire en labomba, calcular:

a) La diferencia de presiones entre las partes ancha y angosta,P, mínima para elevar el líquido desde el depósito a una altura h.

b) Las velocidades mínimas v1 y v2 entre las partes ancha y estrecha de la bomba.


Figura ejemplo 3.Bomba manual para rociar.

AAire h

Líquido

Aire


Solución inciso a) La alturah que sube el líquido desde el depósito está directamente relacionada con la diferencia de presiones entre la parte ancha y estrecha de la bomba.

Donde I es la densidad del insecticida líquido en el depósito. Entonces,

Como puede observarse la mínima diferencia de presiones es suficiente para subir el líquido y mezclarse con el flujo de aire. Por esa razón uno puede sacar el líquido de un refresco con un popote al hacer un poco de vacío con la boca.

Solución inciso b) Si etiquetamos con el No. 1 a la parte ancha yel 2 a la estrecha, la diferencia de presiones, de acuerdo con laecuación de Bernoulli es:

Debido a que v1 y v2 son incógnitas, tenemos que usar otra ecuación que las contenga y esta es la ecuación de continuidad

Despejando v1 de esta última y sustituyendo en la anterior (2) obtenemos:

Y

Despejando v2:



Para calcular v1 recurramos a la ecuación de continuidad (3):

Como puede observarse de los resultados, la velocidad en la parteestrecha de la tubería, v2, es tal que la presión debe ser muy baja y se presenta el fenómeno de cavitación que permite que las gotas de líquido se pulvericen.Se deja como ejercicio para el alumno calcular la presión en P1 yrecopilar información sobre el fenómeno de cavitación debido a labaja presión en un tubo de Vénturi.

Ejercicios resueltos paraincluir en el tema FluidosReales (laminares-viscosos: Ecuación dePoiseuille).

Ejemplo 1 (2*) Por unatubería de 1/8 de pulgada (0.3175cm) de diámetro pasa aceite demotor. El aceite tiene una viscosidad = 30x10-3 N.s/m2,temperatura de 20°C y densidad de 0.8 gr/cm3, descargando a laatmósfera con un gasto de 0.1ml/s. Para medir la caída depresión en la tubería se colocan dos tubos manométricos separadosuna distancia de 30 cm como se indica en la figura. Calcule:

a) El No. de Reynolds.b) La caída de presión en cm de altura equivalentes entre los

dos tubos manométricos.

Solución inciso a): El No. de Reynolds.


30 cm

h

Figura ejemplo 1. Distancia entre dos tubos manométricos y la diferencia de alturas debido a la caída de presión de un fluido laminar viscoso.


Lo que muestra un flujo bajo régimen laminar.

La velocidad del flujo la obtenemos del gasto y el área de sección transversal de latubería:

v = Q/A = (0.1x10-6 m3/s)/(7.92x10-6m2) = 1.26x10-2m/s = 1.26 cm/s

Donde, A = R2 = (0.0015875m)2 = 7.92x10-6m2

Solución inciso b): La caída de presión entre los dos puntos dela tubería está dada por

La diferencia de altura debida entre los dos tubos manométricoses, entonces:

h = P/g = (360Pa)/(800Kg/m3)(9.8m/s2) = 0.045 m = 4.5 cm

Ejemplo 2. (2*) Por una tubería lisa de 8” de diámetro continuo yuna longitud de 1 Km, se bombea agua a una temperatura de 20 °C hasta una altura de 30.9 m. La tubería descarga en un tanque abierto a la presión atmosférica con una rapidez de 0.4 lt/s. Calcule:

a) El tipo de régimen del fluido en la tuberíab) La caída de presión en la tubería c) La potencia de la bomba, necesaria para subir el agua con elgasto indicado



Solución inciso a) Para saber si el flujo de agua que corre porla tubería es laminar, calculamos el No. de Reynolds.

,

Donde es la densidad del agua, v la velocidad de descarga, D eldiámetro de la tubería y la viscosidad del agua a 20°C.Para conocer v aplicamos la ecuación del gasto:

A es el área de sección transversal de la tubería, por lo que lavelocidad de descarga es

, régimen no turbulento.

Solución inciso b) En este ejercicio se presentan dos caídas depresión: la primera debida a la viscosidad, el diámetro, el gasto y la longitud de la tubería,representada por la ecuación dePoiseuille, y la segunda debida a la diferencia de alturas entrela bomba y el punto de descarga.


0 0

0

Figura ejemplo 2, sección 5.4. Los manómetros indican la caída de presión de un fluido viscoso, en los diversos tramos de la tubería, que descarga a la atmósfera a una altura de 30.9 m.

1 Km30.9m


De acuerdo con la ecuación de Poiseuille, la caída de presión enla tubería, PP, debido a la viscosidad, = 10-3 N.s/m2, lalongitud, L = 1 Km, el gasto Q = 0.4x10-3 m3/s, y el diámetrode la misma D = 20 cm, está dada por:

Por otro lado, la caída de presión debida exclusivamente a laaltura que tiene que vencer la bomba, es:

, que equivale a 3 atmósferas.

La caída de presión que tendrá que compensar la bomba Estará dada, de acuerdo con la igualdad (1), por:

Es decir, bajo las condiciones de flujo laminar, y un diámetro de20 cm en la tubería, la caída de presión debida a la viscosidades despreciable para agua.Si aumentamos el gasto a valores más prácticos, digamos de 4lt/s, la velocidad aumenta a 0.127m/s y según el Reynolds el tipode régimen sería turbulento, Re = 25400. En conclusión laecuación de Poiseuille tiene una aplicación muy reducida y solose emplea en casos especiales donde el flujo es laminar, lo quegeneralmente implica gastos pequeños para tuberías que no tienendiámetros grandes.

Solución inciso c) La presión de la bomba está dada por elproducto de la caída de presión por el gasto, es decir



Ejemplo 3. (3*) Un tubo capilar de 1 piede largo y 1/64 pulgadas de diámetrointerno está conectado al fondo de undepósito cilíndrico, que tiene una alturade 1 pie y diámetro de 6 pulgadas, llenode agua, se muestra en la figura adjunto.Calcular:a) El gasto de descarga Q = dV/dt (m3/s,cm3/hr )b) La rapidez de caída del nivel del agua en el depósito, dh1/dt. Considere un valor de 0.01 poise para laviscosidad del agua. c) La rapidez de movimiento, dh2/dt, del nivel de agua en elcapilar cuando esta se agota en el depósito (L1 = 0).

De acuerdo con la ecuación de Poiseuille, el gasto de fluido através del área de sección transversal de un tubo cilíndrico delongitud L y radio R, es:

Donde P es la diferencia de presión entre los puntos separadospor la distancia L.

Solución inciso a). El flujo de agua a través del capilar se debe a la presiónejercida por el nivel de agua en el depósito más la presión de lacolumna de agua en el propio capilar, dando lugar a la aplicaciónde la ecuación de Poiseville en el depósito más la misma en elcapilar, lo que se representa de la siguiente forma:


Figura ejemplo 3. Depósito con capilar al fondo.

L1

L2


1º. La presión de la columna de agua en el depósito sobre laparte superior del capilar contribuye a que se genere un gastodado por:

Con R el radio del capilar y L2 la longitud del mismo. Como puedeobservarse en el problema, la diferencia de presiones esproporcionada por la altura de la columna de fluido, P = gL1

en este caso.2º. La contribución al gasto en el capilar debida a la presión

de su propio peso, está dada por

De tal forma que el gasto total a través del capilar es:

Entonces,

Solución inciso b): Como , donde A es el área del

depósito y dh1/dt la rapidez con que se baja el nivel de líquidoen el mismo.

La ecuación (4) queda:



Donde R es el radio del capilar y A 1 el área del depósito, por loque, sustituyendo valores, la rapidez de bajada del nivel de aguaen el depósito para L1 = 12 pulgadas y L2 = 12 pulgadas, queda:

Solución inciso c): Cuando el depósito se vacía, L1 = 0, y L2 =12 pulgadas, la rapidez de bajada del nivel de líquido en elcapilar está dada por:

Donde R es el radio del capilar y A2 su área de seccióntransversal.


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