Repaso 2

Ejercicios resueltos

1. Dada la siguiente integral 2

1 11

00

( ; ; )y

x

f x y z dz dy dx

.

a. Describa gráficamente la región de integración

b. Escriba otra integral iterada equivalente.

c. Calcule el volumen del sólido descrito en la parte a).

Solución

yzyxxzyxE 10,1,10/);;( 2

yzyxyzyxE 10,0,10/);;(

1

0 0

10

2

);;(y

ydzdxdyzyxf

Para calcular el volumen, 1);;( zyxf luego:

1

0 0

10

2

1y

ydzdxdy

6

1)()1(

1

0

1

00

dyyydxdyyy

y

z

x

1

1

1

yz 1

2xy

2. Calcule C

zdsysen , donde C es la curva de intersección entre las superficies 1: 22

1 yxS y

zxS cos:2 ; z0

Solución

ttsenttt 0;;;cosr

1;cos;sen' ttt r

2' tr

0

sensen2sen dtttzdsyC

0

2sen2 dtt

0

2cos12

2dtt

2

2

2

2sen

2

2

0

tt

3. Calcule C

dsy , donde C es la parte de la circunferencia 422 yx que se encuentra en el primer

cuadrante.

Solución

2

0;2;cos2

tsentttr

ttt cos2;sen2' r

2' tr

2

0

)2(sen2

dttdsy

C

4)(cos4 20

t

2

C

2 x

y

4. Sean las trayectorias C1 y C2 mostradas en la figura.

a. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza

zyzezyx xy 22 ;;0);;(F sobre una partícula que se

mueve desde el punto (1; 1; 0) hasta el punto (0; 1; 1) por la

trayectoria recta C1.

Solución

10;;1;1:1 ttttC r

1;0;1' tr

ttetr t 1;;0)( 21F

dttdtttrd

C

1

0

1

0

)1(')(

1

rFrF

5,12

3

2

11

2

1

0

2

t

t

b. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza 3 zzz xyexeyezyx ;;);;(G sobre una

partícula que se mueve desde el punto (1; 1; 0) hasta el punto (0; 1; 1) por la trayectoria C2.

Solución:

ff

xyexeye

zyx

kji

zzz

FF /0;0;0

3

rot

zyhxyezyxfyezyxf zzx ;;;;;

zgxyezyxf

zgzyhzyhxezyhxezyxf

z

yz

yz

y

;;

;0;;;;

czxyezyxf

czzgzgxyezgxyezyxf

z

zzz

3;;

33'3';;

2130;1;11;1;0

2

ffd

C

rF

5. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza 3;2;1);;( zzz xyexeyezyxF sobre una

partícula que se mueve desde el punto A(2; 0; 0) hasta el punto B(1; 0; 3) por la trayectoria C1- C2- C3 ,de

dos maneras distintas.

Solución:

ff

xyexeye

zyx

kji

zzz

FF /0;0;0

321

rot

Método 1

Hallando una función potencial

zyhxxyezyxfyezyxf zz

x ;;;;;

zgyxxyezyxf

zgyzyhzyhxezyhxezyxf

z

y

z

y

z

y

2;;

2;2;2;;;

czyxxyezyxf

czzgzgxyezgxyezyxf

z

zz

z

32;;

33'3';;

82100;0;23;0;1 ffdC

rF

Método 2

Cambio de trayectoria. Sea C4 al segmento que une A con B:

10;3;0;2:4 ttttC r

3;0;1' tr

3;22;1 3 tettrF

1

0

1

0

891'

4

dttdttdC

rrFrF

A

x

3

C1 2

2 y

C2

C3

z

B

6. Calcule

C

y dyeyxdxyx arctan64))1(ln(sen 35 , donde C es la curva que bordea al

rectángulo 20,10/);( 2 yxyx , orientada en sentido anti horario.

Solución

44))1(ln(sen 5

yx

yy

P

6arctan6 3

yeyxxx

Q

D

DC

y

dA

dAx

Q

x

Qdyeyxdxyx

46

arctan64))1(ln(sen 35

4)2)(1(246 D

dA

7. Calcule C

yx dyyexdxey2

2 , donde C está formada por los segmentos que van del punto

)0;2( a )2;0( luego del punto )2;0( a )0;2(

Solución

21 CCC

Sea 3214 CCCC curva cerrada

3421 CCCC

dddd rFrFrFrF Para hallar la integral sobre

C4 aplicamos el teorema de Green

dAx

Q

x

Qdyexdxey

DC

xx

4

2

2

22

xeyyy

P 1

2

yyexxx

Q

4242

1212

4

2

DDC

xx dAdAdyexdxey

Para hallar la integral sobre C3 paremetrizemos la curva

10;0;42:3 tttC r

0;4' tr

221

0

42

1

0

42

1

0

42 44402

3

eeedtedted ttt

C

rF

25.1142 22

4

2

eedyexdxeyC

xx

C3

y

(2; 0) (-2; 0)

(0; 2)

C2 C1

2

x

y

1

y

x 1

1

-1

-1

8. Evaluar

C

xydxdxx4 , donde C es la curva triangular que une los puntos (0;0), (0;1) y (1;0), orientada

positivamente.

Solución:

La gráfica indica la región encerrada por la curva C. Tenemos:

yx

QxyyxQ

y

PxyxP

);(

);( 04

Por lo tanto:

6

11

1

1

0

3

61

21

021

1

0

1

0

1

0

1

0

2

214

x

dxxdxyydydxdAy

P

x

Qxydxdxx

D

x x

C

Nótese que si hubiéramos hecho la integral de línea habríamos tenido que hacer 3 integrales con las

correspondientes parametrizaciones.

9. Determinación de un área mediante una integral de línea. Determine el área de la región limitada por la

hipocicloide que tiene la ecuación vectorial

2033 tttt ;sencos jir

Solución:

De la parametrización de la curva tenemos:

tsen = x==>t sen =y

tcos = x==>t cos =x

22/33

22/33

Sumando miembro a miembro tenemos:

1

1

2/33/21

1

1

1

2/33/23/23/2 12 11

2/33/2

2/33/2dxxdydxAxyyx

x

x

Este cálculo, ejecutado como integral de área, es muy complicado. El teorema de Green nos permite

transformar esta integral en una de línea, usando como trayectoria la hipocicloide del enunciado y

definiendo una función apropiada para la integración. Veamos:

El área de una región D viene dada por D

dAA 1 . Por lo tanto, para aplicar Green deberíamos

encontrar funciones P, Q / 1

y

P

x

Q . Un par de funciones sencillas que cumplen esta condición

son P = 0, Q = x. Si recordamos la parametrización, escribimos:

dtttdy = t y =

t dtt -dxt x =

cossensen

sencoscos

23

23

3

3

Luego:

x

y

1

1

y = 1 - x

8

3

6

2

8

422

2

41

2224

2

2

213

4

23

33

2

0

3

21

83

2

0

2

83

2

0

22

83

2

0

22

0

22

2

0

242

0

23

tttdttt

t

dttttdttt

dtt

t

tdtttdtttQdyPdxdAy

P

x

QA

CD

sensencossen

cos

)cossen(senenscossen

cos

sencoscosenscos

De esta manera contamos con una herramienta más para obtener el área de la región encerrada por

una curva cerrada,

10. Los estudiantes de topografía de la UPC, han hecho un levantamiento de un terreno colindante a la

universidad tal como muestra la figura, el contorno de dicho terreno está definido por la ecuación

vectorial ,20;sencos: 3 ttttC jir medida en

kilómetros. Determine el área de la región acotada por la

curva.

Solución

Utilicemos una de las consecuencias de Green

CD

QdyPdxdARA 1)(

Seleccionemos P y Q de forma tal que 0;1

PxQ

y

P

x

Q,

Entonces

2

2

0

2

0

2

0

2

2

0

22

2

0

2

km4,24

3

8

)4sen(

24

3

2

4cos1

4

32sen

4

3)sencos3

)sencos3(cos)(

tt

dtt

tdttdttt

dttttxdyQdyRAcC

11. Dado el campo jiF2222 yx

x

yx

yyx

);(

a. Calcule su integral de línea sobre el círculo x2 + y

2 = 1

b. Calcule dAy

P

x

Q

D

, donde D es la región encerrada por la curva de la parte a.

c. Discuta si estos resultados están de acuerdo o no con el Teorema de Green.

Solución

a. Parametricemos el círculo.

20 , cossen

sencos

t

tdtdyty

tdtdxtx

tdtQdxtdttt

ttytxQ

tdtPdxtdttt

ttytxP

2

22

2

22

coscoscossen

cos))();((

sensencossen

sen))();((

Integrando tendremos, así:

C

dtttQdyPdx

2

0

22 2cossen

b. Haciendo los cálculos directamente en coordenadas cartesianas es:

00

2)(

2

222

22

222

22

222

22

222

22

dAy

P

x

Q

y

P

x

Q

yx

xy

yx

yyyx

y

P

yx

xy

yx

xxyx

x

Q

D

c. Aparentemente estos resultados contradicen el Teorema de Green. Sin embargo, este último no es

aplicable a la región en cuestión, dado que las funciones P y Q no tienen derivadas parciales

continuas en el punto (0; 0), que está contenido en la región D

12. Calcule la masa de una placa delgada que tiene la forma del paraboloide 22 yxz y está limitada por

los planos 1z y 5z . La densidad (masa por unidad de área) de la placa es

144

1);;(

22

yxzyx .

Solución

SS

dSyx

dSzyxm144

1);;(

22

22 yxz

yy

zx

x

z22

11 22 yxz

55 22 yxz

415

144144

1 22

22

DAdAdAyxyx

m

DD

13. Sea S la parte del paraboloide 22 33),( yxyxf que se encuentra comprendida entre los cilindros

122 yx y 1622 yx . Calcule la masa de S, considerando que la densidad superficial en

SzyxP ,, es igual a 13636);;( 22 yxzyx .

Solución

dSzyxmS

),,(

dAx

z

x

zdS 1

22

dAyxdAyxdS 2222361166

dAyxyxm

xyD

2222 361361

Describiendo la región en coordenadas polares

41;20/, rrDxy

Reemplazando la densidad y el diferencial en coordenadas

polares

46054

36

22361

4

1

2

0

4

1

422

rrrdrdrm

z

x

y

S

D

5

1

14. Sea la superficie S la parte del paraboloide 224 yxz que se encuentra en el primer octante y sea

C la curva frontera de S. (C es la intersección de S con los planos coordenados). Considere una

orientación de C en sentido anti horario si se observa desde arriba. Calcule

C

drF , donde

2;2;5);;( yyzyzyx F .

a. En forma directa

b. Mediante el teorema de Stokes.

Solución:

a. 2

0;0;sen2;cos2:1

ttttC r

0;cos2;2' tsentt r

tttr 2sen4;0;sen10F

52

210sen20

2

0

2

0

2

1

tsentdttd

C

rF

20;4;;0: 2

2 ttttC r

tt 2;1;0' r

22 );4(2;5 tttttr F

04482)4(22

0

42

2

0

32

2

02

ttdtttdttttdC

rF

20;4;0;: 2

3 ttttC r

tt 2;0;1' r

0;0;0trF

03

C

drF

5005 C

drF

b.

5;0;0

25

rot

2

yyzy

zyx

kji

F

55rot DSC

dAdd SFrF

y

z

x

C3 C2

C1

D

15. Sea la superficie S parte del cilindro 042 zx que se encuentra en el primer octante limitado por el

plano 4

zy . Sea C la curva frontera de S. (C es la intersección de S con los planos coordenados y el

plano dado), considere una orientación de C en sentido

anti horario si se observa desde arriba. Calcule

C

drF ,

donde kjiFzx xexzzezyx 2,, .

Solución:

4

4

4

04 22

xyz

y

zx

04;; 2 zxzyxg

1;0;2;; xzyxg

zeex

xexzze

zyx

kji

zx

zx

2;;2

2

rot

F

S

zx

SC

dzeexdd SSFrF 2;;2rot

DDD

zx

S

dAxdAzxdAx

zeexd 22 342241

1;0;22;;2rot SF

4

40;20/;

2xyxyxD

2

0

4

4

0

22

15

64342342

2

dydxxdAx

x

D

x

y

x

z

2

1

4

4 2xy

4

D

S

C

16. Sea E el sólido del primer octante que está debajo del semicono 22 yxz y acotado por la esfera

1222 zyx y los planos 0x , 0y y 0z . Sea S la superficie frontera de E.

Calcule

S

SF d , donde yxzyexezyx zz cos3;1;);;( 2F .

Solución:

E

dVd FSF divS

EE

zz dVdVeed 33S

SF

10;24

;2

0/;;

E

ddddVE

2

0

2

4

1

0

2 sen3

4

2sen

2sen

333

2

4

1

0

32

0

2

4

ddddVE

17. Dado el campo vectorial kjiF xyzxzyyzxzyx ,, ,

a. Determine el flujo de campo en la superficie cerrada por la semiesfera superior zzyx 4222 y

el semicono 22 yxz

b. Determine el flujo de campo sólo en el semicono mencionado, orientado hacia abajo.

Solución:

. 242)2(3

1)2(

3

233div 23

EE

dVdVd FSFS

2222

22 ;yx

y

y

z

yx

x

x

zyxz

DDS

dAxyzyx

xxzy

yx

xyzxdAR

y

zQ

x

zPd

2222

2

SF

DS

dAxyd

2

SF

20;20/; rrD

2

0

2

0

2 cossen

2

rdrdrdAxydDS

SF

2

0

2

0

4

cossen4

2

dr

d

r

rS

SF

02

sen

4

162

0

2

2

S

dSF

S2

S1

z

2

y

2

x

4

y

z

x

18. Dado el campo vectorial kjiF21cos2sen,, zxyyyexzyezyx xx ,

a. Determine el flujo de campo en la superficie cerrada por la semiesfera inferior 9222 zyx y el

plano z = 0

b. Determine el flujo de campo sólo en la semiesfera mencionada, orientada hacia abajo.

Solución:

a. 18)3(3

2div 3

EE

dVdVd FSFS

b.

2121 SSSS

dddddd SFSFSFSFSFSFSS

DS

dAxyd )1(

2

SF

30;20/; rrD

2

0

3

0

2 cossen1)1(

2

rdrdrdAxydDS

SF

2

0

3

0

42

cossen42

2

drr

d

r

rS

SF

92

sen

4

81

2

92

0

2

2

S

dSF

9918

1

S

dSF

y

S1

z

3 x

S2