Ing. Amabiles Núñez, MSc.

13 Ejercicios resueltos y 12

propuestos con sus soluciones

-1

- 1 -

Transformada inversa de Laplace.

Resumen: Ing. Amabiles Núñez, MSc.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s), es una función f(t) ,

designada por , tal que cumple:

Al igual que en el caso de la transformada directa, también se cumple la linealidad:

El método más común para hallar la transformada inversa de una función F(s) es a través de las tablas. Pero en algunos casos es necesario previamente trasformar la función F(s) mediante algunos métodos clásicos.

* Transformación del trinomio cuadrado (no reductible).

Sea entonces podemos trasformar algebraicamente a

F(s) de la siguiente manera:

Cuya transformada de Laplace se considera inmediata:

* Descomposición en fracciones parciales.

Es el mismo método usado en las integrales indefinidas. Toda función en la

forma fraccionaria , - siendo P(s) y Q(s) polinomios tales que el

grado de P(s) sea menor que el del Q(s), puede expresarse como una suma

de fracciones parciales.

Podemos identificar cuatro casos particulares:

-1 𝐹(𝑠) 𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠)

-1 ∝ 𝐹(𝑠) + 𝛽 𝐺(𝑠) = ∝ 𝐹(𝑠) + 𝛽 𝐺(𝑠)

-1 -1

𝐹(𝑠) =1

𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐

𝐹(𝑠) =1

(𝑠 + ℎ)2 + 𝑘2𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒉 =

𝑏

2 𝑦 𝒌𝟐 = 𝑐 − 𝒉𝟐

𝐹(𝑠) =𝑃(𝑠)

𝑄(𝑠)

-1 𝐹(𝑠) =

1

𝑘𝑒−ℎ𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)

- 2 -

a) El denominador es un producto de factores lineales distintos y

ninguno se repite.

𝑃(𝑥)

𝑥(𝑎1𝑥 + 𝑏1)(𝑎2𝑥 + 𝑏2) =

𝐴

𝑥+

𝐵

(𝑎1𝑥 + 𝑏1)+

𝐶

(𝑎2𝑥 + 𝑏2)

b) El denominador es un producto de factores lineales y algunos

se repiten.

𝑃(𝑥)

(𝑎1𝑥 + 𝑏1)(𝑎2𝑥 + 𝑏2)2 =

𝐴

(𝑎1𝑥 + 𝑏1)+

𝐵

(𝑎2𝑥 + 𝑏2)2+

𝐶

(𝑎2𝑥 + 𝑏2)

c) En el denominador existen factores cuadráticos que no se

repiten.

𝑃(𝑥)

(𝑎1𝑥 + 𝑏1)(𝑎2𝑥2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2) =

𝐴

(𝑎1𝑥 + 𝑏1)+

(𝐵𝑥 + 𝐶)

(𝑎2𝑥2 + 𝑏2𝑥 + 𝑐2)

d) En el denominador existen factores cuadráticos que se

repiten.

𝑃(𝑥)

(𝑎1𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1)3

Los procedimientos para obtener los coeficientes de los numeradores en cada uno de estos cuatro casos, se muestran a continuacion.

= (𝐴𝑥 + 𝐵)

(𝑎1𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1)3+

(𝐶𝑥 + 𝐷)

(𝑎1𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1)2+

(𝐸𝑥 + 𝐹)

(𝑎1𝑥2 + 𝑏1𝑥 + 𝑐1)

- 3 -

Transformada inversa.

Procedimientos para obtener los coeficientes en los distintos casos de la “Descomposición en fracciones parciales” como método para resolver transformadas inversas de Laplace.

FACTORES LINEALES NO REPETIDOS

Por cada factor del tipo (𝒔 − 𝒂𝒋) no repetido, en el denominador de F(s), debe

aparecer el siguiente término en el desarrollo en fracciones parciales

Cuya transformada seria:

Y el cálculo del coeficiente Aj se efectúa multiplicando a F(s) por el factor

(𝒔 − 𝒂𝒋) y evaluando en la raíz 𝒔 = 𝒂𝒋. Obteniéndose

FACTORES LINEALES REPETIDOS

Por cada factor del tipo (𝒔 − 𝒂)𝒏 en el denominador de F(s), deben aparecer los siguientes términos en el desarrollo en fracciones parciales

Cuya transformada seria:

Y el cálculo de los coeficientes Aj se efectúa de la siguiente forma

𝐴𝑛

(𝑠 − 𝑎)𝑛+

𝐴𝑛−1

(𝑠 − 𝑎)𝑛−1+ . . . +

𝐴2

(𝑠 − 𝑎)2+

𝐴1

(𝑠 − 𝑎)

𝐴𝑛

(𝑠 − 𝑎)𝑛+

𝐴𝑛−1

(𝑠 − 𝑎)𝑛−1+ . . . +

𝐴2

(𝑠 − 𝑎)2+

𝐴1

(𝑠 − 𝑎)

-1

𝑨𝒋 =1

(𝑛 − 𝑗)! lim𝑠→𝑎

{ 𝑑[𝑛−𝑗]

𝑑𝑠[𝑛−𝑗] ([(𝒔 − 𝒂)𝒏]𝐹(𝑠))}

= 𝐴𝑛

(𝑛 − 1)!𝑡𝑛−1𝑒𝑎𝑡 +

𝐴𝑛−1

(𝑛 − 2)!𝑡𝑛−2𝑒𝑎𝑡 + . . . +𝐴2 𝑡𝑒

𝑎𝑡 + 𝐴1𝑒𝑎𝑡

𝐴𝑗

(𝑠 − 𝑎𝑗)

{𝐴𝑗

(𝑠 − 𝑎𝑗)} = 𝐴𝑗𝑒

𝑎𝑗𝑡

-1

𝑨𝒋 = lim𝑠→𝑎𝑗

{ (𝒔 − 𝒂𝒋)𝐹(𝑠)}

- 4 -

FACTORES CUADRÁTICOS NO REPETIDOS

Fórmula para la obtención de la Transformada Inversa de Laplace en los casos de Factor Cuadrático irreductible no repetido.

Caso: Binomio cuadrado ( 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐).

Por cada factor del tipo ( 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐) no repetido, en el denominador de F(s), debe aparecer el siguiente termino en el desarrollo en fracciones parciales:

Cuya transformada seria:

Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el

factor ( 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐). Y evaluando en la raíz 𝒔 = 𝒂𝒊. Obteniéndose

Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los coeficientes.

Caso: Trinomio cuadrado irreductible no repetido: (𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐.

Por cada factor del tipo (𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐 en el denominador de F(s), debe aparecer el siguiente termino en el desarrollo en fracciones parciales:

𝐴(𝑠 + ℎ) + 𝑘𝐵

((𝑠 + ℎ)2 + 𝑘2))

𝐴𝑠 + 𝑎𝐵

(𝑠2 + 𝑎2) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) + 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

-1

𝐴𝑠 + 𝑎𝐵

(𝑠2 + 𝑎2)

𝑨𝑎𝑖 + 𝑎𝑩 = lim𝑠→𝑎𝑖

{[( 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)]𝐹(𝑠)}

𝑨 =1

𝑎 𝐼𝑚 [ lim

𝑠→𝑎𝑖{[( 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)]𝐹(𝑠)} ]

𝑩 =1

𝑎 𝑅𝑒 [ lim

𝑠→𝑎𝑖{[( 𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)]𝐹(𝑠)} ]

- 5 -

Cuya transformada seria:

Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el

factor (𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐 y evaluando en la raíz 𝑠 = −ℎ + 𝑘𝑖. Obteniéndose

Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los coeficientes.

FACTORES CUADRÁTICOS REPETIDOS Fórmula para la obtención de la Transformada Inversa de Laplace en los casos de Factor Cuadrático irreductible repetido.

Caso: Binomio cuadrado (𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐.

Por cada factor del tipo (𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐 en el denominador de F(s), deben aparecer los siguientes términos en el desarrollo en fracciones

Cuya transformada seria:

Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el

factor (𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐 y evaluando en la raíz 𝑠 = 𝑎𝑖. Obteniéndose

𝐴(𝑠 + ℎ) + 𝑘𝐵

((𝑠 + ℎ)2 + 𝑘2)) = 𝐴𝑒−ℎ𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) + 𝐵 𝑒−ℎ𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)

-1

𝑨𝑘𝑖 + 𝑘𝑩 = lim𝑠→−ℎ+𝑘𝑖

{[(𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐]𝐹(𝑠)}

𝑨 =1

𝑘 𝐼𝑚 [ lim

𝑠→−ℎ+𝑘𝑖{[(𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐]𝐹(𝑠)} ]

𝑩 =1

𝑘 𝑅𝑒 [ lim

𝑠→−ℎ+𝑘𝑖{[(𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐]𝐹(𝑠)} ]

𝐴(𝑠2 − 𝑎2) + 2𝑎𝐵𝑠

(𝑠2 + 𝑎2)2+

𝐶𝑠 + 𝑎𝐷

(𝑠2 + 𝑎2)

{𝐴(𝑠2 − 𝑎2) + 2𝑎𝐵𝑠

(𝑠2 + 𝑎2)2+

𝐶𝑠 + 𝑎𝐷

(𝑠2 + 𝑎2)} =

-1

−2𝑎2𝑨 + 2𝑎2𝑩𝑖 = lim𝑠→𝑎𝑖

{[(𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)}

= 𝐴𝑡 𝒄𝒐𝒔(𝑎𝑡) + 𝐵𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) + 𝐶 cos (𝑎𝑡) + 𝐷𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

- 6 -

Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los coeficientes.

Y el cálculo de los coeficientes C y D se efectúa derivando con respecto a s la

ecuación que se obtiene de multiplicar a F(s) por el factor (𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐 . Y posteriormente se evalúa en la raíz 𝑠 = 𝑎𝑖. Obteniéndose

Caso: Trinomio cuadrado irreductible repetido ((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐.

Por cada factor del tipo ((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐 en el denominador de F(s), deben aparecer los siguientes términos en el desarrollo en fracciones

Cuya transformada seria:

Y el cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por el

factor ((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐 y evaluando en la raíz 𝒔 = −𝒉 + 𝒌𝒊. Obteniéndose

𝑨 = −1

2𝑎2 𝑅𝑒 [ lim

𝑠→𝑎𝑖{[(𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)} ]

𝑩 =1

2𝑎2 𝐼𝑚 [ lim

𝑠→𝑎𝑖{[(𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)} ]

(2𝑎𝑩 − 2𝑎2𝑪) + (2𝑎𝑨 + 2𝑎2𝑫)𝑖 = lim𝑠→𝑎𝑖

𝑑

𝑑𝑠([(𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐]𝐹(𝑠))

𝑪 = 𝐵

𝑎 −

1

2𝑎2 𝑅𝑒 [ lim

𝑠→𝑎𝑖 𝑑

𝑑𝑠([(𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)) ]

𝑫 = −𝐴

𝑎+

1

2𝑎2 𝐼𝑚 [ lim

𝑠→𝑎𝑖 𝑑

𝑑𝑠([(𝒔𝟐 + 𝒂𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)) ]

𝐴((𝑠 + ℎ)2 − 𝑘2) + 2𝑘𝐵(𝑠 + ℎ)

((𝑠 + ℎ)2 + 𝑘2)2+

𝐶(𝑠 + ℎ) + 𝑘𝐷

((𝑠 + ℎ)2 + 𝑘2)

{𝐴((𝑠 + ℎ)2 − 𝑘2) + 2𝑘𝐵(𝑠 + ℎ)

((𝑠 + ℎ)2 + 𝑘2)2+

𝐶(𝑠 + ℎ) + 𝑘𝐷

((𝑠 + ℎ)2 + 𝑘2)} =

-1

−2𝑘2𝑨 + 2𝑘2𝑩𝑖 = lim𝑠→−ℎ+𝑘𝑖

{[((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)}

= 𝐴𝑡𝑒−ℎ𝑡 𝒄𝒐𝒔(𝑘𝑡) + 𝐵𝑡𝑒−ℎ𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) + 𝐶𝑒−ℎ𝑡 cos (𝑘𝑡) + 𝐷𝑒−ℎ𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡)

- 7 -

Y finalmente, igualando las partes reales e imaginarias, obtenemos los coeficientes.

Y el cálculo de los coeficientes C y D se efectúa derivando con respecto a s la

ecuación que se obtiene de multiplicar a F(s) por el factor ((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐 . Y posteriormente se evalúa en la raíz 𝒔 = −𝒉 + 𝒌𝒊. Obteniéndose

CASO GENERAL(utilizando factores lineales complejos)

Si en el denominador de F(s) existe un factor del tipo ((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝑵

Una solución sería transformarlo en un producto de factores lineales complejos

Repetidos. Y resolver en consecuencia.

Es decir, por cada factor del tipo ((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝑵 en el denominador de F(s), deben aparecer los siguientes términos en el desarrollo en fracciones

Cuya transformada seria:

𝑨 = −1

2𝑘2 𝑅𝑒 [ lim

𝑠→−ℎ+𝑘𝑖{[((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)} ]

𝑩 = 1

2𝑘2 𝐼𝑚 [ lim

𝑠→−ℎ+𝑘𝑖{[((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)} ]

(2𝑘𝑩 − 2𝑘2𝑪) + (2𝑘𝑨 + 2𝑘2𝑫)𝑖 = lim𝑠→−ℎ+𝑘𝑖

𝑑

𝑑𝑠([((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐]𝐹(𝑠))

𝑪 = 𝐵

𝑘 −

1

2𝑘2 𝑅𝑒 [ lim

𝑠→−ℎ+𝑘𝑖 𝑑

𝑑𝑠([((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)) ]

𝑫 = −𝐴

𝑘+

1

2𝑘2 𝐼𝑚 [ lim

𝑠→−ℎ+𝑘𝑖 𝑑

𝑑𝑠([((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝟐]𝐹(𝑠)) ]

((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝑵 = (𝒔 + 𝒉 + 𝒌𝒊)𝑵(𝒔 + 𝒉 − 𝒌𝒊)𝑵

𝐴𝑁

(𝑠 + ℎ + 𝑘𝑖)𝑁+ . . . +

𝐴1

(𝑠 + ℎ + 𝑘𝑖) +

𝐵𝑁

(𝑠 + ℎ − 𝑘𝑖)𝑁+ . . . +

𝐵1

(𝑠 + ℎ − 𝑘𝑖)

= 𝐴𝑁

(𝑁 − 1)!𝑡𝑁−1𝑒−ℎ𝑡𝑒−𝑘𝑖𝑡 + . . . +𝐴2𝑒

−ℎ𝑡𝑒−𝑘𝑖𝑡 + 𝐴1𝑒−ℎ𝑡𝑒−𝑘𝑖𝑡

+ 𝐵𝑁

(𝑁 − 1)!𝑡𝑁−1𝑒−ℎ𝑡𝑒𝑘𝑖𝑡 + . . . +𝐵2𝑒

−ℎ𝑡𝑒𝑘𝑖𝑡 + 𝐵1𝑒−ℎ𝑡𝑒𝑘𝑖𝑡

- 8 -

Y el cálculo de los coeficientes Aj Y Bj se efectúa multiplicando a F(s) por el

factor ((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝑵 y evaluando en la raíz 𝒔 = −𝒉 + 𝒌𝒊. En el primer caso, y evaluando en la raíz 𝒔 = −𝒉 − 𝒌𝒊. En el segundo caso. Como se indica a continuación.

Y para el resultado final, si se desea expresar el resultado en términos de funciones trigonométricas, se deben utilizar las siguientes identidades:

𝑨𝒋 =1

(𝑁 − 𝑗)! lim𝑠→−ℎ+𝑘𝑖

{ 𝑑[𝑁−𝑗]

𝑑𝑠[𝑁−𝑗] ([((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝑵]𝐹(𝑠))}

𝑩𝒋 =1

(𝑁 − 𝑗)! lim𝑠→−ℎ−𝑘𝑖

{ 𝑑[𝑁−𝑗]

𝑑𝑠[𝑁−𝑗] ([((𝒔 + 𝒉)𝟐 + 𝒌𝟐)𝑵]𝐹(𝑠))}

𝑒𝑘𝑖𝑡 = cos(𝑘𝑡) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡); 𝑒−𝑘𝑖𝑡 = cos(𝑘𝑡) − 𝑖 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡);

cos(𝑘𝑡) =𝑒𝑘𝑖𝑡+𝑒−𝑘𝑖𝑡

2 ; sen(𝑘𝑡) =

𝑒𝑘𝑖𝑡−𝑒−𝑘𝑖𝑡

2𝑖

cosh(𝑘𝑡) =𝑒𝑘𝑡+𝑒−𝑘𝑡

2 ; sen(𝑘𝑡) =

𝑒𝑘𝑡−𝑒−𝑘𝑡

2

𝑒𝑘𝑡 = cos ℎ(𝑘𝑡) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡); 𝑒−𝑘𝑡 = cos ℎ(𝑘𝑡) − 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡);

- 9 -

Ejercicios Transformada Inversa de Laplace

Encuentre la Transformada Inversa de Laplace para cada F(s) indicada

Ejercicio.1:

Solución:

Así

Ejercicio.2:

Solución:

De acuerdo a la propiedad Traslación en el dominio de t se tiene:

Entonces Realicemos primero la transformada inversa de la derecha

𝐹(𝑠) =4 + 2𝑠

𝑠2 − 8𝑠 + 25

4 + 2𝑠

𝑠2 − 8𝑠 + 25=

4 + 2𝑠

(𝑠 − 4)2 + 9=

2(𝑠 − 4) + 12

(𝑠 − 4)2 + 9

=2(𝑠 − 4)

(𝑠 − 4)2 + 9+

12

(𝑠 − 4)2 + 9

-1

4 + 2𝑠

𝑠2 − 8𝑠 + 25 = 2

-1 (𝑠 − 4)

(𝑠 − 4)2 + 9 + 4

-1 3

(𝑠 − 4)2 + 9

𝐹(𝑠) = 𝑒−4𝑠

𝑠2 + 8𝑠 + 20

-1 1

𝑠2 + 8𝑠 + 20 =

-1 1

(𝑠 + 4)2 + 4

𝐹(𝑠) -1

𝑓(𝑡) =

=𝑒−4𝑡

2 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) =

𝑒−4𝑡

2

-1 2

𝑠2 + 4

= 𝑒−4𝑡 -1 1

𝑠2 + 4

𝑓(𝑡) = 2𝑒4𝑡 cos(3𝑡) + 4𝑒4𝑡 sen(3𝑡)

𝑒−4𝑠

𝑠2 + 8𝑠 + 20 =

-1 𝜇(𝑡 − 4) -1

1

𝑠2 + 8𝑠 + 20 [ ]

𝑡 = (𝑡 − 4)

𝜇(𝑡 − 𝑎) -1 𝐺(𝑠) 𝑒−𝑎𝑠𝐺(𝑠) = -1

𝑡 = (𝑡 − 𝑎) [ ]

- 10 -

Luego, sustituyendo Efectuando la translación en el tiempo y ordenando

𝑓(𝑡) = 𝑒(−4𝑡+16) sen(2𝑡 − 8)

2𝜇(𝑡 − 4)

𝑡 = (𝑡 − 4)

𝑒−4𝑠

𝑠2 + 8𝑠 + 20 =

-1 𝜇(𝑡 − 4) [ ] 𝑒−4𝑡

2 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)

- 11 -

Propiedades de la Transformada inversa de Laplace

a) Transformada inversa del integral de F(s):

Resuelva:

Solución:

Aplicando la propiedad,

Y así

Y si recordamos que Esto puede escribirse, si se desea, de la siguiente manera:

𝐹 𝑠 𝑑𝑠∞

𝑠

=1

𝑡 L

-1 𝐹 𝑠 L -1

𝐹 𝑠 𝑑𝑠∞

𝑠

= 𝑙𝑛 (𝑠 − 3

𝑠 + 1) = 𝑙𝑛 𝑠 − 3 − 𝑙𝑛 𝑠 + 1

𝑙𝑛 (𝑠 − 3

𝑠 + 1) L

-1

𝐹 𝑠 = 1

𝑠 + 1 −

1

𝑠 − 3 = 𝑒−𝑡 − 𝑒3𝑡L

-1 L

-1 L -1

−𝐹 𝑠 = 1

𝑠 − 3 −

1

𝑠 + 1 𝐹 𝑠 =

1

𝑠 + 1 −

1

𝑠 − 3

𝐹 𝑠 𝑑𝑠∞

𝑠

=1

𝑡 L

-1 𝐹 𝑠 =

1

𝑡 𝑒−𝑡 − 𝑒3𝑡 L

-1

𝑙𝑛 (𝑠 − 3

𝑠 + 1) =

𝑒−𝑡 − 𝑒3𝑡

𝑡L

-1

𝑑

𝑑𝑠 𝐹 𝑠 𝑑𝑠

𝑠

= 𝐹 − 𝐹 𝑠 = −𝐹 𝑠

(Propiedad de Transf. Laplace.) 0 Derivando con respecto a s y

aplicando la REGLA DE LEIBNIZ:

Ejercicio.3

:

𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑡 =𝑒2𝑡 − 𝑒−2𝑡

2

𝑙𝑛 (𝑠 − 3

𝑠 + 1) =

−2𝑒𝑡

𝑡𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑡 L

-1

- 12 -

b) Propiedad del desplazamiento en el tiempo:

Resuelva:

Solución:

𝑠𝑒−2𝑠

𝑠2 − 9 L

-1

𝑒−𝑎𝑠𝐹 𝑠 = L -1 𝜇 𝑡 − 𝑎 𝐹 𝑠 L

-1 𝑡 = 𝑡 − 𝑎

{𝑒−2𝑠 (𝑠

𝑠2 − 9)} = 𝜇 𝑡 − 2 L

-1 {𝑠

𝑠2 − 9}L

-1

t = (t-2)

= 𝜇 𝑡 − 2 𝑐𝑜𝑠ℎ 3𝑡

t = (t-2)

= 𝜇 𝑡 − 2 𝑐𝑜𝑠ℎ 3𝑡 − 6

Ejercicio.4

:

- 13 -

Aplicación del Método Heaviside

EJERCICIO 5: Determine la transformada inversa de laplace de:

Obtención de los coeficientes (Ver Factores lineales repetidos - página 3)

Sustituyendo:

𝐴 = lim𝑠→3

{(𝑠 − 3)3𝐹(𝑠)} = lim𝑠→3

{2𝑠3 − 𝑠2 + 9

𝑠3} = 2

𝐹(𝑠) = 𝐴

(𝑠 − 3)3+

𝐵

(𝑠 − 3)2+

𝐶

(𝑠 − 3) +

𝐷

𝑠3+

𝐸

𝑠2+

𝐹

𝑠

-1 {𝐹(𝑠)} = 1

2𝐴𝑡2𝑒3𝑡 + 𝐵𝑡𝑒3𝑡 + 𝐶𝑒3𝑡 +

1

2𝐷𝑡2 + 𝐸𝑡 + 𝐹

𝐹(𝑠) = 2𝑠3 − 𝑠2 + 9

𝑠3(𝑠 − 3)3

𝐹 =1

2lim𝑠→0

{𝑑

𝑑𝑠((6𝑠2 − 2𝑠)(𝑠 − 3)3 − 3(𝑠 − 3)2(2𝑠3 − 𝑠2 + 9)

(𝑠 − 3)6)} = −

5

27

𝐵 = lim𝑠→3

{𝑑

𝑑𝑠[2𝑠3 − 𝑠2 + 9

𝑠3]} = lim

𝑠→3{(6𝑠2 − 2𝑠)𝑠3 − 3𝑠2(2𝑠3 − 𝑠2 + 9)

𝑠6} = −

2

9

𝐶 =1

2 lim𝑠→3

{𝑑

𝑑𝑠((6𝑠2 − 2𝑠)𝑠3 − 3𝑠2(2𝑠3 − 𝑠2 + 9)

𝑠6)} =

5

27

𝐷 = lim𝑠→0

{𝑠3𝐹(𝑠)} = lim𝑠→0

{2𝑠3 − 𝑠2 + 9

(𝑠 − 3)3} = −

1

3

𝐸 = lim

𝑠→0{𝑑

𝑑𝑠[2𝑠3 − 𝑠2 + 9

(𝑠 − 3)3]} = lim

𝑠→0{(6𝑠2 − 2𝑠)(𝑠 − 3)3 − 3(𝑠 − 3)2(2𝑠3 − 𝑠2 + 9)

(𝑠 − 3)6} = −

1

3

𝑓(𝑡) = 𝑡2𝑒3𝑡 −2

9𝑡𝑒3𝑡 +

5

27𝑒3𝑡 −

1

6𝑡2 −

1

3𝑡 −

5

27

{𝐹(𝑠)} -1

𝑓(𝑡) =

- 14 -

EJERCICIO 6: Determine la transformada inversa de laplace de:

a) Método 1 (Ver CASO GENERAL utilizando factores lin. Complejos- pg. 7)

Descomposición en fracciones parciales.

Transformada inversa.

Obtención de los coeficientes.

Sustituyendo estos valores.

Método 2

Descomposición en fracciones parciales.

𝐹(𝑠) = 2𝑠 − 3

𝑠(𝑠2 + 1)

𝐹(𝑠) = 𝐴

𝑠+

𝐵

(𝑠 − 𝑖)+

𝐶

(𝑠 + 𝑖)

-1 {𝐹(𝑠)} = 𝐴 + 𝐵𝑒𝑖𝑡 + 𝐶𝑒−𝑖𝑡

𝐴 = lim𝑠→0

{𝑠𝐹(𝑠)} = lim𝑠→0

{2𝑠 − 3

(𝑠2 + 1)} = −3

𝐵 = lim𝑠→𝑖

{(𝑠 − 𝑖) 𝐹(𝑠)} = lim𝑠→𝑖

{2𝑠 − 3

𝑠(𝑠 + 𝑖)} =

3

2− 𝑖

𝐶 = lim𝑠→−𝑖

{(𝑠 + 𝑖) 𝐹(𝑠)} = lim𝑠→−𝑖

{2𝑠 − 3

𝑠(𝑠 − 𝑖)} =

3

2+ 𝑖

-1 {𝐹(𝑠)} = −3 + 3

2− 𝑖 𝑒𝑖𝑡 +

3

2+ 𝑖 𝑒−𝑖𝑡

= −3 +3

2(𝑒𝑖𝑡 + 𝑒−𝑖𝑡) − 𝑖(𝑒𝑖𝑡 − 𝑒−𝑖𝑡)

𝑓(𝑡) = −3 + 3 cos(𝑡) + 2 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝐹(𝑠) = 𝐴

𝑠+

𝐵𝑠 + 𝐶

(𝑠2 + 1) =

𝐴

𝑠+

𝐵𝑠

(𝑠2 + 1)+

𝐶

(𝑠2 + 1)

𝐹(𝑠) = 2𝑠 − 3

𝑠(𝑠2 + 1)

- 15 -

Transformada inversa.

Obtención de los coeficientes. [Multipliquemos todo por 𝑠(𝑠2 + 1)]

Sustituyendo estos valores.

EJERCICIO 7:

Determine la transformada inversa de laplace de:

Descomposición en fracciones parciales. (Ver FACTORES CUADRATICOS NO REPETIDOS - pg. 4, a=2, h=-1, k=1.)

Transformada inversa.

-1 {𝐹(𝑠)} = 𝐴 + 𝐵 cos(𝑡) + 𝐶𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝑓(𝑡) = −3 + 3 cos(𝑡) + 2 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

2𝑠 − 3 = 𝐴(𝑠2 + 1) + 𝐵𝑠2 + 𝐶𝑠

[

𝐴 + 𝐵 = 0𝐶 = 2𝐴 = −3

[

𝐴 = −3𝐵 = 3𝐶 = 2

2𝑠 − 3

𝑠(𝑠2 + 1) =

𝐴

𝑠+

𝐵𝑠

(𝑠2 + 1)+

𝐶

(𝑠2 + 1)

2𝑠 − 3 = (𝐴 + 𝐵)𝑠2 + 𝐶𝑠 + 𝐴

𝐹(𝑠) = 20𝑠

(𝑠2 + 4)(𝑠2 − 2𝑠 + 2)

𝐹(𝑠) = 𝐴𝑠 + 2𝐵

(𝑠2 + 4)+

𝐶(𝑠 − 1) + 𝐷

((𝑠 − 1)2 + 1))

-1 {𝐹(𝑠)} = 𝐴 cos(2𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 𝐶 𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 𝐷 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)

= 𝐴𝑠

(𝑠2 + 4)+

2𝐵

(𝑠2 + 4)+

𝐶(𝑠 − 1)

((𝑠 − 1)2 + 1))+

𝐷

((𝑠 − 1)2 + 1))

- 16 -

Obtención de los coeficientes. El cálculo de los coeficientes A y B se efectúa multiplicando a F(s) por

el factor (𝒔𝟐 + 𝟒) y evaluando en la raíz 𝑠 = 2𝑖.

Multipliquemos ambos lados de la ecuación por: (𝑠2 + 4)

Al evaluar 𝑠 = 2𝑖 se anula el último término de la derecha y nos queda

Igualando partes reales e imaginarias

Multipliquemos ambos lados de la ecuación por: ((𝑠 − 1)2 + 1))

Al evaluar 𝑠 = 1 + 𝑖 se anula el primer término del lado derecho de la

ecuación, y nos queda

Igualando partes reales e imaginarias

Sustituyendo estos valores.

𝑓(𝑡) = −2 cos(2𝑡) − 4 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 2𝑒𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑡) + 6𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)

20𝑠

(𝑠2 + 4)(𝑠2 − 2𝑠 + 2)=

𝐴𝑠 + 2𝐵

(𝑠2 + 4)+

𝐶(𝑠 − 1) + 𝐷

((𝑠 − 1)2 + 1))

20𝑠

(𝑠2 − 2𝑠 + 2)= 𝐴𝑠 + 2𝐵 +

𝐶(𝑠 − 1) + 𝐷

((𝑠 − 1)2 + 1))(𝑠2 + 4)

20(2𝑖)

((2𝑖)2 − 2(2𝑖) + 2)= 𝐴(2𝑖) + 2𝐵

40𝑖

−2 − 4𝑖= 2𝐴𝑖 + 2𝐵 ⟹ −8 − 4𝑖 = 2𝐴𝑖 + 2𝐵

[

𝐴 = −2

𝐵 = −4

6 + 2𝑖 = 𝐷 + 𝐶𝑖

[

𝐶 = 2

𝐷 = 6

20𝑠

(𝑠2 + 4)=

𝐴𝑠 + 𝐵

(𝑠2 + 4)((𝑠 − 1)2 + 1)) + 𝐶(𝑠 − 1) + 𝐷

20(1 + 𝑖)

((1 + 𝑖)2 + 4)= 𝐶((1 + 𝑖) − 1) + 𝐷

- 17 -

EJERCICIO 8: Determine la transformada inversa de laplace de:

Descomposición en fracciones parciales.

Transformada inversa.

Obtención de los coeficientes. Multiplicaremos por s y por los factores lineales repetidos. Las raíces son: 0,+𝑖, −𝑖

Sustituyendo estos valores.

𝐹(𝑠) = 1

𝑠(𝑠2 + 1)2

𝐹(𝑠) = 1

𝑠(𝑠 + 𝑖)2(𝑠 − 𝑖)2

-1 {𝐹(𝑠)} = 𝐴 + 𝐵𝑡𝑒−𝑖𝑡 + 𝐶 𝑒−𝑖𝑡 + 𝐷𝑡𝑒𝑖𝑡 + 𝐸 𝑒𝑖𝑡

𝑓(𝑡) = 1 −1

2 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 𝑐𝑜𝑠(𝑡)

= 𝐴

𝑠+

𝐵

(𝑠 + 𝑖)2+

𝐶

(𝑠 + 𝑖)+

𝐷

(𝑠 − 𝑖)2+

𝐸

(𝑠 − 𝑖)

-1 {𝐹(𝑠)} = 1 −

𝑖

4𝑡𝑒−𝑖𝑡 −

1

2 𝑒−𝑖𝑡 +

𝑖

4𝑡𝑒𝑖𝑡 −

1

2 𝑒𝑖𝑡

𝐴 = lim𝑠→0

{𝑠𝐹(𝑠)} = lim𝑠→0

{1

(𝑠 + 𝑖)2(𝑠 − 𝑖)2} = 1

𝐵 = lim𝑠→−𝑖

{(𝑠 + 𝑖)2𝐹(𝑠)} = lim𝑠→−𝑖

{1

𝑠(𝑠 − 𝑖)2} = −

𝑖

4

𝐶 = lim𝑠→−𝑖

{𝑑

𝑑𝑠 (𝑠 + 𝑖)2𝐹(𝑠) } = lim

𝑠→−𝑖{−(𝑠 − 𝑖)2 − 2𝑠(𝑠 − 𝐼)

𝑠2(𝑠 − 𝑖)4} = −

1

2

𝐷 = lim𝑠→𝑖

{(𝑠 − 𝑖)2𝐹(𝑠)} = lim𝑠→𝑖

{1

𝑠(𝑠 + 𝑖)2} =

𝑖

4

𝐸 = lim𝑠→𝑖

{𝑑

𝑑𝑠 (𝑠− 𝑖)2𝐹(𝑠) } = lim

𝑠→𝑖{−(𝑠 + 𝑖)2 − 2𝑠(𝑠 + 𝐼)

𝑠2(𝑠 + 𝑖)4} = −

1

2

- 18 -

Ejercicio 9: ( Ejercicio anterior por otro metodo) Determine la transformada inversa de laplace de:

Descomposición en fracciones parciales.

Obtención de los coeficientes. [Multiplicamos todo por 𝑠(𝑠2 + 1)2]

Sustituyendo estos valores.

Transformada inversa.

𝐹(𝑠) = 1

𝑠(𝑠2 + 1)2

𝐹(𝑠) = 𝐴

𝑠+

𝐵𝑠 + 𝐶

(𝑠2 + 1)2+

𝐷𝑠 + 𝐸

(𝑠2 + 1)

𝑓(𝑡) = 1 −1

2𝑡 sen(t) − cos (𝑡)

[

𝐴 + 𝐷 = 0𝐸 = 0

2𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 0𝐶 + 𝐸 = 0𝐴 = 1

[ 𝐴 = 1𝐵 = −1𝐶 = 0𝐷 = −1𝐸 = 0

1 = 𝐴(𝑠2 + 1)2 + (𝐵𝑠 + 𝐶)𝑠 + (𝐷𝑠 + 𝐸)(𝑠2 + 1)𝑠

= (𝐴 + 𝐷)𝑠4 + 𝐸𝑠3 + (2𝐴 + 𝐵 + 𝐷)𝑠2 + (𝐶 + 𝐸)𝑠 + 𝐴

𝐹(𝑠) = 1

𝑠−

𝑠

(𝑠2 + 1)2−

𝑠

(𝑠2 + 1)

{𝐹(𝑠)} = {1

𝑠} −

1

2 {

2𝑠

(𝑠2 + 1)2} − {

𝑠

(𝑠2 + 1)}

-1 -1

-1 -1

- 19 -

Ejercicios de Transformada inversa de Laplace utilizando el

Teorema de la Convolución

EJERCICIO 10:

Resuelva: Solución

Y así

En lo sucesivo, haremos uso de las tablas de Convolución de funciones.

= ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑡 − 𝑥) 𝑑𝑥 𝑡

0

= 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑡) ∫ cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 𝑡

0

𝑡

0

= 𝑠𝑒𝑛(𝑡) [1

2𝑡 +

1

2𝑠𝑒𝑛(𝑡) cos(𝑡)] − 𝑐𝑜𝑠(𝑡) [

1

2 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)]

=1

2𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝑠

(𝑠2 + 1)2

-1

Teorema de Convolución

Teorema de la Convolución

𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) la operacion de convolucion entre las funciones 𝒇 𝑦 𝒈

Y Sea,

Entonces,

𝐺(𝑠) = 𝑔(𝑡)

𝐹(𝑠)𝐺(𝑠) = 𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) -1

𝐹(𝑠) = 𝑓(𝑡)

𝑠

(𝑠2 + 1)2

-1

= cos(𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑠

𝑠2 + 1

1

𝑠2 + 1

-1 𝑠

(𝑠2 + 1)2 =

-1

=1

2𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

- 20 -

EJERCICIO 11: Resuelva: Solución

Luego,

EJERCICIO 12: Resuelva utilizando el teorema de la convolucion:

Solución

Completando cuadrados en el numerador,

Que puede ser escrito como

1

𝑠4(𝑠2 + 1)

= 1

6𝑡3 − 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

𝑌 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟏𝟎𝐁 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝒏 = 𝟑 𝑦 𝒂 = 𝟏 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒: 𝑡3 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 𝑡3 − 6𝑡 + 6𝑠𝑒𝑛(𝑡)

=1

6𝑡3 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

1

𝑠4

1

𝑠2 + 1

-1 1

𝑠4(𝑠2 + 1) =

-1

-1

1

𝑠4(𝑠2 + 1)

-1

Y de la Tabla_10A (línea 7) de Convolución de funciones se extrae:

= 1 − 2 [𝑠𝑒𝑛2 (𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡)]

𝑎 = 1 𝑠𝑒𝑛2(𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) =

−𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 2𝑠𝑒𝑛2(𝑡)

4

-1

𝑠4 + 8𝑠2 + 8

𝑠(𝑠2 + 4)2

-1

𝑠4 + 8𝑠2 + 8

𝑠(𝑠2 + 4)2 =

-1

(𝑠2 + 4)2 − 8

𝑠 (𝑠2 + 4)2 =

-1

1𝑠 −8

𝑠 (𝑠2 + 4)2

=-1

2

𝑠(𝑠2 + 4)

2

(𝑠2 + 4)

-1

1𝑠 − 2

(Ver la Tabla_6_TL)

(Teorema de Convolución Y la Tabla_8)

- 21 -

Luego,

Y así

Que pudiera ser escrito como:

EJERCICIO 13 Resuelva utilizando el teorema de la convolucion:

Solución

Y así

-1

𝑠4 + 8𝑠2 + 8

𝑠(𝑠2 + 4)2 = 𝑐𝑜𝑠2(𝑡) +

1

2𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡)

= 1 − 2−𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 2𝑠𝑒𝑛2(𝑡)

4= 1 +

𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡)

2− 𝑠𝑒𝑛2(𝑡)

-1

𝑠4 + 8𝑠2 + 8

𝑠(𝑠2 + 4)2

= 1 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2( 3𝑡)

-1

𝑠2 − 6

𝑠2(𝑠2 − 12) =

-1

1𝑠

𝑠2 − 6

𝑠(𝑠2 − 12)

(Ver la Tabla_6_TL)

-1

𝑠2 − 6

𝑠2(𝑠2 − 12) =

3

12 𝑠𝑒𝑛ℎ 2 3 𝑡 +

1

2𝑡

-1

𝑠2 − 6

𝑠2(𝑠2 − 12)

𝑌 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐭𝐚𝐛𝐥𝐚 𝟏𝟎𝐂 (𝑐𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑)

𝑐𝑜𝑛 𝒂 = 𝟑 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑒: 1 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2 ( 3𝑡) = 𝑠𝑒𝑛ℎ 2 3 𝑡 + 2 3 𝑡

4 3

= 1

2[1 + cos (2𝑡) + 𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡)]

- 22 -

Se efectuó una conversión

trigonométrica

Ejercicios Propuestos TI_1

Calcule la transformada inversa de Laplace indicada.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

RESPUESTAS

1 𝑒2𝑡 (

17

10cos(3𝑡) +

1

10𝑠𝑒𝑛(3𝑡)) + 𝑒𝑡 (5t −

17

10)

2 1

2(t − 2)2𝜇(𝑡 − 2)

3 −𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝜇(𝑡 − )

4 𝑒−2𝑡 cos(𝑡) − 3𝑒−2𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)

5 (1 − 𝑒−(𝑡−1))𝜇(𝑡 − 1)

6 (1 − 𝑡 + 𝑒𝑡−2) 𝜇(𝑡 − 2)

7 2𝑡2𝑒−𝑡 + 4𝑡𝑒−𝑡 + 5𝑒−𝑡 + 𝑡 − 5

8 (1 − cos(𝑡))𝜇(𝑡 − 2)

9

𝑓(𝑡) = 3

2+3

2𝑒2𝑡 − 2𝑒𝑡

10

𝑓(𝑡) = 𝑒2𝑡

4(8 𝑐𝑜𝑠(4𝑡) + 7𝑠𝑒𝑛(4𝑡))

11 𝑓(𝑡) = 𝑡 𝑒2𝑡

12 𝑓(𝑡) =

𝑒2𝑡

2(4𝑡 + 3) −

𝑒2𝑡

2

-1 (7𝑠2 − 41𝑠 + 84

(𝑠 − 1)2(𝑠2 − 4𝑠 + 13)

-1 𝑒−2𝑠

𝑠3

-1 𝑒−𝜋𝑠

𝑠2 + 1

-1 s − 1

(𝑠2 + 4𝑠 + 5)

-1 𝑒−𝑠

𝑠(𝑠 + 1)

-1 𝑒−2𝑠

𝑠2(𝑠 − 1)

-1 (𝑠2 − 2𝑠 + 1

𝑠2(𝑠 + 1)3

-1 𝑒−2 𝑠

𝑠(𝑠2 + 1)

-1

𝑠2 + 4𝑠 − 4

(𝑠 − 2)2(𝑠 + 2)

-1 𝑠2 − 2𝑠 + 3

𝑠(𝑠2 − 3𝑠 + 2)

-1 2𝑠 + 3

(𝑠2 − 4𝑠 + 20)

-1 𝑠2 + 4𝑠 + 4

(𝑠2 − 4)2

- 23 -

𝑠

𝑠2 − 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎 𝑡

-1 𝑠 𝑒−𝑡0𝑠

𝑠2 − 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎(𝑡− 𝑡0) µ(𝑡− 𝑡0)

-1

Tabla 8

Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace

Linealidad:

Traslación en el dominio de s:

Traslación en el dominio de t:

Propiedad Escalar Transformada de

Transformada Inversa de algunas funciones

En las siguientes identidades:

𝜆𝐹(𝑠) + 𝛽𝐺(𝑠) = 𝜆 𝐹(𝑠) + 𝛽 𝐺(𝑠)

-1

-1 -1

𝑒𝑎𝑡 𝐹(𝑠) -1 𝐹(𝑠 − 𝑎) =

-1

𝟏/𝒔𝒏

1

𝑠𝑛 =

𝑡𝑛−1

(𝑛 − 1)!

-1

𝜇(𝑡 − 𝑎) -1 𝐺(𝑠) 𝑒−𝑎𝑠𝐺(𝑠) = -1

𝑡 = (𝑡 − 𝑎) [ ]

𝑎𝑅

𝑡0 > 0

𝑓 𝑡

𝜆 =

1

𝜆 𝐹(𝜆𝑠) =

-1 𝟏

𝑡 = 𝑡/ -1 𝐹(𝑠) [ ]

𝑛 > 0

1

𝑠𝑛 =

𝑡(𝑛−1)

(𝑛 − 1)!

-1 𝑒−𝑡0𝑠

𝑠𝑛 =

(𝑡 − 𝑡0)𝑛−1

(𝑛 − 1)! µ(𝑡 − 𝑡0)

-1

1

(𝑠 + 𝑎) = 𝑒−𝑎𝑡

-1

𝑒−𝑡0𝑠

(𝑠 + 𝑎) = 𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0) µ(𝑡− 𝑡0)

-1

1

(𝑠 + 𝑎)𝑛 =

1

(𝑛 − 1)!𝑒−𝑎𝑡𝑡𝑛−1

-1

𝑒−𝑡0𝑠

(𝑠 + 𝑎)𝑛 =

(𝑡 − 𝑡0)𝑛−1

(𝑛 − 1)!𝑒−𝑎(𝑡−𝑡0) µ(𝑡 − 𝑡0)

-1

𝑡0 > 0

𝑎 > 0

1

𝑠2 − 𝑎 =

𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎 𝑡

𝑎

-1 𝑒−𝑡0𝑠

𝑠2 − 𝑎 =

𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎(𝑡− 𝑡0)

𝑎 µ(𝑡− 𝑡0)

-1

1

𝑠2 + 𝑎 =

𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑡

𝑎

-1 𝑒−𝑡0𝑠

𝑠2 + 𝑎 =

𝑠𝑒𝑛 𝑎(𝑡− 𝑡0)

𝑎 µ(𝑡− 𝑡0)

-1

𝑠

𝑠2 + 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑡

-1

𝑠 𝑒−𝑡0𝑠

𝑠2 + 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎(𝑡− 𝑡0) µ(𝑡− 𝑡0)

-1

- 24 -

Tabla 9

Transformada Inversa de Laplace Transformadas del binomio cuadrado

2𝑎𝑠

(𝑠2 + 𝑎2)2 = 𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

-1

2𝑎𝑠

(𝑠2 − 𝑎2)2 = 𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

-1

2𝑎(𝑠 − 𝑠0)

((𝑠 − 𝑠0)2 + 𝑎2)2 = 𝑡 𝑒𝑠0𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

-1

2𝑎(𝑠 − 𝑠0)

((𝑠 − 𝑠0)2 − 𝑎2)2

= 𝑡 𝑒𝑠0𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

-1

𝑠2 − 𝑎2

(𝑠2 + 𝑎2)2 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)

-1

𝑠2 + 𝑎2

(𝑠2 − 𝑎2)2 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡)

-1

(𝑠 − 𝑠0)

2 − 𝑎2

((𝑠 − 𝑠0)2 + 𝑎2)2 = 𝑡 𝑒𝑠0𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)

-1

(𝑠 − 𝑠0)

2 + 𝑎2

((𝑠 − 𝑠0)2 − 𝑎2)2 = 𝑡 𝑒𝑠0𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡)

-1

𝑎

(𝑠2 + 𝑎2) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

-1

𝑎

((𝑠 + 𝑠0)2 + 𝑎2) = 𝑒−𝑠0𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

-1

𝑎

((𝑠 − 𝑠0)2 + 𝑎2) = 𝑒𝑠0𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

-1

𝑠

(𝑠2 + 𝑎2) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)

-1

(𝑠 + 𝑠0)

((𝑠 + 𝑠0)2 + 𝑎2) = 𝑒−𝑠0𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)

-1

(𝑠 − 𝑠0)

((𝑠 − 𝑠0)2 + 𝑎2) = 𝑒𝑠0𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)

-1

𝑎

((𝑠 + 𝑠0)2 − 𝑎2) = 𝑒−𝑠0𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

-1

𝑎

((𝑠 − 𝑠0)2 − 𝑎2)

= 𝑒𝑠0𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

-1

(𝑠 + 𝑠0)

((𝑠 + 𝑠0)2 − 𝑎2) = 𝑒−𝑠0𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡)

-1

(𝑠 − 𝑠0)

((𝑠 − 𝑠0)2 − 𝑎2)

= 𝑒𝑠0𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡)

-1

- 25 -

Tabla 10A Convolución de Funciones

Trigonométrica*Trigonométrica

𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 1

2𝑎[𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) − 𝑎𝑡 cos (𝑎𝑡)]

𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 1

(𝑎2 − 𝑏2)[𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) − 𝑏 sen (𝑎𝑡)]

𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 1

2𝑡 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) 𝑎

(𝑎2 − 𝑏2)[𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) − cos (𝑎𝑡)]

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 1

2𝑎[𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) + 𝑎𝑡 cos (𝑎𝑡)]

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) 1

(𝑎2 − 𝑏2)[𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) − 𝑏 sen (𝑏𝑡)]

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑎𝑡) −𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 2 𝑠𝑒𝑛2(𝑎𝑡)

4𝑎

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝑏𝑡) 𝑏2𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑡) − 2𝑎2𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) + (2𝑎2 − 𝑏2)

𝑏(4𝑎2 − 𝑏2)

𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑎𝑡)

𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 2 𝑠𝑒𝑛2(𝑎𝑡)

4𝑎

𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛 (𝑏𝑡)

−𝑏2𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑡) − (2𝑎2 − 𝑏2)𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) + 2𝑎2

𝑏(4𝑎2 − 𝑏2)

𝑐𝑜𝑠2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠 (2𝑎𝑡)

2𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑎𝑡) + 3 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡)

8𝑎

𝑐𝑜𝑠2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝑏𝑡) 𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + (2𝑎2 − 𝑏2)𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)

𝑏(4𝑎2 − 𝑏2)

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠 (2𝑎𝑡)

−2𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑎𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡)

8𝑎

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝑏𝑡) −𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 2𝑎2𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)

𝑏(4𝑎2 − 𝑏2)

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝑎𝑡)

−3𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 2𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑎𝑡) + 4𝑎𝑡

16𝑎

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝑏𝑡) 𝑏3𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) − 𝑎3𝑠𝑒𝑛(2𝑏𝑡) + 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 − 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏2)

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑡)

−𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) − 2𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑎𝑡) + 4𝑎𝑡

16𝑎

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠2(𝑏𝑡) −𝑏(2𝑎2 − 𝑏2)𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 𝑎3𝑠𝑒𝑛(2𝑏𝑡) + 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 − 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏2)

𝑐𝑜𝑠2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑡)

5 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 2𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑎𝑡) + 4𝑎𝑡

16𝑎

- 26 -

𝑐𝑜𝑠2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠2(𝑏𝑡) 𝑎(𝑎2 − 2𝑏2)𝑠𝑒𝑛(2𝑏𝑡) + 𝑏(2𝑎2 − 𝑏2)𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 − 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏2)

Hiperbólica*Hiperbólica

𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) − 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

2𝑎

𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑏𝑡) 1

(𝑎2 − 𝑏2)[𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) − 𝑎 senh(𝑏𝑡)]

𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

2

𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑏𝑡) 𝑎

(𝑎2 − 𝑏2)[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) − cosh (𝑏𝑡)]

𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

2𝑎

𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑏𝑡) 1

(𝑎2 − 𝑏2)[𝑎 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) − 𝑏 senh (𝑏𝑡)]

𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ senh (2𝑎𝑡) 𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑎𝑡)

4𝑎

𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ senh (𝑏𝑡) 𝑏2𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑎𝑡) − 2𝑎2𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑏𝑡) + (2𝑎2 − 𝑏2)

𝑏(4𝑎2 − 𝑏2)

𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑎𝑡) ∗ senh (2𝑎𝑡)

𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) + 2𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑎𝑡)

4𝑎

𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑎𝑡) ∗ senh (𝑏𝑡) 𝑏2𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑎𝑡) + (2𝑎2 − 𝑏2)𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑏𝑡) − 2𝑎2

𝑏(4𝑎2 − 𝑏2)

𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ (2𝑎𝑡)

2𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑎𝑡) + 3 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡)

8𝑎

𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑏𝑡) 𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) + (2𝑎2 − 𝑏2)𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑏𝑡)

𝑏(4𝑎2 − 𝑏2)

𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ (2𝑎𝑡)

2𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑎𝑡) − 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡)

8𝑎

𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑏𝑡) 𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) − 2𝑎2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑏𝑡)

𝑏(4𝑎2 − 𝑏2)

𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(2𝑎𝑡)

𝑠𝑒𝑛ℎ(4𝑎𝑡) + 4𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) − 12𝑎𝑡

48𝑎

𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑏𝑡) 𝑏(2𝑎2 − 𝑏2)𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) − 𝑎3𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡) − 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 − 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏2)

𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ2(2𝑎𝑡)

𝑠𝑒𝑛ℎ(4𝑎𝑡) − 8𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) + 12𝑎𝑡

48𝑎

𝑠𝑒𝑛ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑏𝑡) 𝑏3𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) − 𝑎3𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡) + 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 − 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏2)

- 27 -

𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(2𝑎𝑡) 7𝑠𝑒𝑛ℎ(4𝑎𝑡) + 4𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) + 12𝑎𝑡

48𝑎

𝑐𝑜𝑠ℎ2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑏𝑡) 𝑎(𝑎2 − 2𝑏2)𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡) + 𝑏(2𝑎2 − 𝑏2)𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) + 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 − 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 − 𝑏2)

Trigonométrica - Hiperbólica

sen (𝑎𝑡) ∗ senh (𝑏𝑡) 1

(𝑎2 + 𝑏2)[−𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) + 𝑎 senh (𝑏𝑡)]

sen (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑏𝑡) 𝑎2𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑏𝑡) + 4𝑏2cos (𝑎𝑡) − (𝑎2 + 4𝑏2)

2𝑎(𝑎2 + 4𝑏2)

sen (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠h (𝑏𝑡)

𝑎

(𝑎2 + 𝑏2)[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑏𝑡) − cos (𝑎𝑡)]

sen (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑏𝑡) 𝑎2𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑏𝑡) − (2𝑎2 + 4𝑏2) cos(𝑎𝑡) + (𝑎2 + 4𝑏2)

2𝑎(𝑎2 + 4𝑏2)

cos (𝑎𝑡) ∗ senh (𝑏𝑡)

𝑏

(𝑎2 + 𝑏2)[𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑏𝑡) − cos (𝑎𝑡)]

cos (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑏𝑡) −2𝑏2𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) + 𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡)

𝑎(𝑎2 + 4𝑏2)

cos (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠h (𝑏𝑡)

1

(𝑎2 + 𝑏2)[𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) + 𝑏 senh (𝑏𝑡)]

cos (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑏𝑡) (𝑎2 + 2𝑏2)𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) + 𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡)

𝑎(𝑎2 + 4𝑏2)

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ senh (𝑏𝑡)

𝑏2𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑡) + 2𝑎2𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑏𝑡) − (2𝑎2 + 𝑏2)

𝑏(4𝑎2 + 𝑏2)

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑏𝑡)

𝑏3𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 𝑎3𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡) − 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 + 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏2)

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠h (𝑏𝑡)

−𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 2𝑎2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑏𝑡)

𝑏(4𝑎2 + 𝑏2)

𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑏𝑡)

−𝑏(2𝑎2 + 𝑏2)𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 𝑎3𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡) + 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 + 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏2)

𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑡) ∗ senh (𝑏𝑡)

−𝑏2𝑐𝑜𝑠2(𝑎𝑡) + (2𝑎2 + 𝑏2)𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑏𝑡) − 2𝑎2

𝑏(4𝑎2 + 𝑏2)

𝑐𝑜𝑠2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑏𝑡)

𝑎(𝑎2 + 2𝑏2)𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡) − 𝑏3𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) − 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 + 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏2)

𝑐𝑜𝑠2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠h (𝑏𝑡)

𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + (2𝑎2 + 𝑏2)𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑏𝑡)

𝑏(4𝑎2 + 𝑏2)

𝑐𝑜𝑠2 (𝑎𝑡) ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑏𝑡)

𝑎(𝑎2 + 2𝑏2)𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡) + 𝑏(2𝑎2 + 𝑏2)𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 2𝑎𝑏𝑡(𝑎2 + 𝑏2)

8𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏2)

- 28 -

Exponencial - Trigonométrica

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑡) 1

(𝑎2 + 𝑏2)[𝑎𝑒𝑎𝑡 + 𝑏 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) − 𝑎 𝑐𝑜𝑠 (𝑏𝑡)]

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 1

(𝑎2 + 𝑏2)[𝑏𝑒𝑎𝑡 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) − 𝑏 𝑐𝑜𝑠 (𝑏𝑡)]

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝑏𝑡) 4𝑏2𝑒𝑎𝑡 + 𝑎2𝑐𝑜𝑠(2𝑏𝑡) − 2𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛(2𝑏𝑡) − (𝑎2 + 4𝑏2)

2𝑎(𝑎2 + 4𝑏2)

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠2(𝑏𝑡)

(2𝑎2 + 4𝑏2)𝑒𝑎𝑡 − 𝑎2𝑐𝑜𝑠(2𝑏𝑡) + 2𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛(2𝑏𝑡) − (𝑎2 + 4𝑏2)

2𝑎(𝑎2 + 4𝑏2)

Exponencial - Hiperbólica

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 1

2𝑎[𝑎𝑡𝑒𝑎𝑡 + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)]

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑏𝑡) 1

(𝑎2 − 𝑏2)[𝑎𝑒𝑎𝑡 − 𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑏𝑡) − 𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑏𝑡)]

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 1

2𝑎[𝑎𝑡𝑒𝑎𝑡 − 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)]

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑏𝑡) 1

(𝑎2 − 𝑏2)[𝑏𝑒𝑎𝑡 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑏𝑡) − 𝑏 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑏𝑡)]

𝑒2𝑎𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑎𝑡) 1

8𝑎[(2𝑎𝑡 − 2) cosh(2𝑎𝑡) + (2𝑎𝑡 − 1) senh(2𝑎𝑡) + 2]

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑏𝑡) 4𝑏2𝑒𝑎𝑡 − 𝑎2𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑏𝑡) − 2𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡) + (𝑎2 − 4𝑏2)

2𝑎(𝑎2 − 4𝑏2)

𝑒2𝑎𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑎𝑡)

1

8𝑎[(2𝑎𝑡 + 2) cosh(2𝑎𝑡) + (2𝑎𝑡 + 3) senh(2𝑎𝑡) − 2]

𝑒𝑎𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑏𝑡) (2𝑎2 − 4𝑏2)𝑒𝑎𝑡 − 𝑎2𝑐𝑜𝑠ℎ(2𝑏𝑡) − 2𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑏𝑡) − (𝑎2 − 4𝑏2)

2𝑎(𝑎2 − 4𝑏2)

- 29 -

Tabla 10B Convolución de Funciones

𝑡𝑛 ∗ 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 − 𝑡𝑛 ∗ 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

𝒇(𝒕)𝒈(𝒕))

𝒇(𝒕) ∗ 𝒈(𝒕))

𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 1

𝑎2[𝑎𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑡)]

𝑡2 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 1

𝑎3[𝑎2𝑡2 + 2cos (𝑎𝑡) − 2]

𝑡3 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 1

𝑎4[𝑎3𝑡3 − 6𝑎𝑡 + 6𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑡)]

𝑡4 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 1

𝑎5[𝑎4𝑡4−12𝑎2𝑡2 − 24 cos(𝑎𝑡) + 24]

1

𝑎𝑛+1((−1)

𝑛+22 𝑛! cos(𝑎𝑡) + (𝑎𝑡)𝑛 + ∑ [

(−1)𝑘𝑛!

(𝑛 − 2𝑘)!(𝑎𝑡)𝑛−2𝑘]

𝑛/2

𝑘=1

)

1

𝑎𝑛+1((−1)

𝑛+12 𝑛! 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) + (𝑎𝑡)𝑛 + ∑ [

(−1)𝑘𝑛!

(𝑛 − 2𝑘)!(𝑎𝑡)𝑛−2𝑘]

(𝑛−1)/2

𝑘=1

)

𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 1

𝑎2[1 − 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑡)]

𝑡2 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 2

𝑎3[𝑎𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)]

𝑡3 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 3

𝑎4[𝑎2𝑡2 + 2cos (𝑎𝑡) − 2]

𝑡4 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) 4

𝑎5[𝑎3𝑡3 − 6𝑎𝑡 + 6𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑡)]

𝑡𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

n Impar

n Par

𝑡𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡) = 𝑛

𝑎[ 𝑡𝑛−1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)]

𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 ≥ 1; 𝑎 ≠ 0

- 30 -

𝒇(𝒕)𝒈(𝒕))

𝒇(𝒕) ∗ 𝒈(𝒕))

𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝑎𝑡) 1

4𝑎2[𝑎2𝑡2 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝑎𝑡)]

𝑡2 ∗ sen2 (𝑎𝑡) 1

24𝑎3[4𝑎3𝑡3 + 3𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) − 6𝑎𝑡]

𝑡3 ∗ sen2 (𝑎𝑡) 1

8𝑎4[𝑎4𝑡4 − 3𝑎2𝑡2 + 3 sen2(𝑎𝑡)]

𝑡4 ∗ sen2 (𝑎𝑡) 1

40𝑎5[4𝑎5𝑡5 − 20𝑎3𝑡3 − 15𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + 30𝑎𝑡]

(−1)𝑛+2

2𝑛!

2𝑛+2𝑎𝑛+1𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡) + ∑ [

(−1)𝑛−2𝑘+2

2 𝑛!

(2𝑘 − 1)! 2𝑛−2𝑘+3𝑎𝑛−2𝑘+2𝑡2𝑘−1]

(𝑛+2)/2

𝑘=1

(−1)𝑛+1

2𝑛!

2𝑛+1𝑎𝑛+1sen2(𝑎𝑡) + ∑ [

(−1)𝑛−2𝑘+1

2 𝑛!

(2𝑘)! 2𝑛−2𝑘+2𝑎𝑛−2𝑘+1𝑡2𝑘]

(𝑛+1)/2

𝑘=1

𝑡 ∗ e𝑎𝑡 1

𝑎2[𝑒𝑎𝑡 − 𝑎𝑡 − 1]

𝑡2 ∗ e𝑎𝑡 1

𝑎3[2𝑒𝑎𝑡 − 𝑎2𝑡2 − 2𝑎𝑡 − 2]

𝑡3 ∗ e𝑎𝑡 1

𝑎4[6𝑒𝑎𝑡 − 𝑎3𝑡3 − 3𝑎2𝑡2 − 6𝑎𝑡 − 6]

𝑡𝑛 ∗ e𝑎𝑡 =

𝑡𝑛 ∗ sen2(𝑎𝑡)

n Impar

n Par

𝑡𝑛 ∗ cos2(𝑎𝑡) = 𝑡𝑛+1

𝑛 + 1 − 𝑡𝑛 ∗ sen2(𝑎𝑡)

𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 ≥ 1; 𝑎 ≠ 0

𝑛!

𝑎𝑛+1[𝑒𝑎𝑡 − ∑

(𝑎𝑡)𝑛−𝑘

(𝑛 − 𝑘)!

𝑛

𝑘=0

]

𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 ≥ 0; 𝑎 ≠ 0

- 31 -

Tabla 10C Convolución de Funciones

𝑡𝑛 ∗ 𝐻𝑖𝑝𝑒𝑟𝑏𝑜𝑙𝑖𝑐𝑎𝑠

𝒇(𝒕)𝒈(𝒕))

𝒇(𝒕) ∗ 𝒈(𝒕))

𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 1

𝑎2[−𝑎𝑡 + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)]

𝑡2 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 1

𝑎3[−𝑎2𝑡2 + 2cosh(𝑎𝑡) − 2]

𝑡3 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 1

𝑎4[−𝑎3𝑡3 − 6𝑎𝑡 + 6𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)]

𝑡4 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) 1

𝑎5[−𝑎4𝑡4−12𝑎2𝑡2 + 24 cos ℎ(𝑎𝑡) − 24]

1

𝑎𝑛+1(𝑛! cosh(at) − (𝑎𝑡)𝑛 −∑[

𝑛!

(𝑛 − 2𝑘)!(𝑎𝑡)𝑛−2𝑘]

𝑛/2

𝑘=1

)

1

𝑎𝑛+1(𝑛! 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡) − (𝑎𝑡)𝑛 − ∑ [

𝑛!

(𝑛 − 2𝑘)!(𝑎𝑡)𝑛−2𝑘]

(𝑛−1)/2

𝑘=1

)

𝑡 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 1

𝑎2[−1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡)]

𝑡2 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 2

𝑎3[−𝑎𝑡 + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)]

𝑡3 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 3

𝑎4[−𝑎2𝑡2 + 2cosh(𝑎𝑡) − 2]

𝑡4 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) 4

𝑎5[−𝑎3𝑡3 − 6𝑎𝑡 + 6𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)]

𝑡𝑛 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

n Impar

n Par

𝑡𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) = 𝑛

𝑎[𝑡𝑛−1 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)]

𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 ≥ 1; 𝑎 ≠ 0

- 32 -

𝒇(𝒕)𝒈(𝒕))

𝒇(𝒕) ∗ 𝒈(𝒕))

𝑡 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑎𝑡) 1

4𝑎2[−𝑎2𝑡2 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑎𝑡)]

𝑡2 ∗ senh2(𝑎𝑡) 1

24𝑎3[−4𝑎3𝑡3 + 3𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) − 6𝑎𝑡]

𝑡3 ∗ senh2(𝑎𝑡) 1

8𝑎4[−𝑎4𝑡4 − 3𝑎2𝑡2 + 3𝑠𝑒𝑛ℎ2(𝑎𝑡)]

𝑡4 ∗ senh2(𝑎𝑡) 1

40𝑎5[−4𝑎5𝑡5 − 20𝑎3𝑡3 + 15𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) − 30𝑎𝑡]

𝑛!

2𝑛+2𝑎𝑛+1𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) − ∑ [

𝑛!

(2𝑘 − 1)! 2𝑛−2𝑘+3𝑎𝑛−2𝑘+2𝑡2𝑘−1]

(𝑛+2)/2

𝑘=1

𝑛!

2𝑛+1𝑎𝑛+1senh2(𝑎𝑡) − ∑ [

𝑛!

(2𝑘)! 2𝑛−2𝑘+2𝑎𝑛−2𝑘+1𝑡2𝑘]

(𝑛+1)/2

𝑘=1

Convolución con la unidad

1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡) 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑡)

𝑎 1 ∗ 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎𝑡) − 1

𝑎

1 ∗ cos(𝑎𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑡)

𝑎 1 ∗ cosh(𝑎𝑡)

𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑎𝑡)

𝑎

1 ∗ sen2(𝑎𝑡) 2𝑎𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡)

4𝑎 1 ∗ senh2(𝑎𝑡)

𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) − 2𝑎𝑡

4𝑎

1 ∗ cos2(𝑎𝑡) 2𝑎𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑎𝑡)

4𝑎 1 ∗ cosh2(𝑎𝑡)

𝑠𝑒𝑛ℎ(2𝑎𝑡) + 2𝑎𝑡

4𝑎

1 ∗ t𝑛 𝑡𝑛+1

𝑛 + 1 1 ∗ e𝑎𝑡

𝑒𝑎𝑡 − 1

𝑎

𝑡𝑛 ∗ senh2(𝑎𝑡)

n Impar

n Par

𝑡𝑛 ∗ cosh2(𝑎𝑡) = 𝑡𝑛+1

𝑛 + 1+ [𝑡𝑛 ∗ senh2(𝑎𝑡)]

𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 ≥ 1; 𝑎 ≠ 0