Emily Excel Soluciones 1
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SOLUCIONES NUMERICAS Integrantes: Barbara Rojas Emily Martinez I) Para la función x^2 - (cos(x))/2, estimar el valor de la primera der resulta de combinar los dos últimos dígitos de sus números de cédula. II) Encuentre la integral de la función exp(-x) * cos(x) en el interval último dígito del número de sus cédulas (si entre los mismos compañeros tomen el siguiente).
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SOLUCIONES NUMERICAS
Integrantes:Barbara RojasEmily MartinezI) Para la función x^2 - (cos(x))/2, estimar el valor de la primera derivada, tomando el punto que resulta de combinar los dos últimos dígitos de sus números de cédula.
II) Encuentre la integral de la función exp(-x) * cos(x) en el intervalo que resulte de combinar el último dígito del número de sus cédulas (si entre los mismos compañeros se repite el número por favor tomen el siguiente).
SOLUCIONES NUMERICAS
Integrantes:Barbara RojasEmily MartinezI) Para la función x^2 - (cos(x))/2, estimar el valor de la primera derivada, tomando el punto que resulta de combinar los dos últimos dígitos de sus números de cédula.
II) Encuentre la integral de la función exp(-x) * cos(x) en el intervalo que resulte de combinar el último dígito del número de sus cédulas (si entre los mismos compañeros se repite el número por favor tomen el siguiente).
DERIVACIONMÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS
f(x)= x^2 - (cos(x))/2
f´(x)= 2x + (sen(x))/2 fi1=(yi-yi-1)/(xi-xi-1)fi2=(fi1-f(i-1)1)/(xi-x(i-2))
f(0.5575)= -0.11348396373 fI3=[(fi2-f(i-1)2)/(xi-x(i-3))]f´(0.5575)= 1.379533201197 fI4=[(fi3-f(i-1)3)/(xi-x(i-4))]
i x-xi x y fi10 0.5575 0 -0.5 0.312175161 0.3075 0.25 -0.4219562 0.932659722 0.0575 0.5 -0.1887913 1.541787393 -0.1925 0.75 0.19665557 2.132773134 -0.4425 1 0.72984885 2.699959895 -0.6925 1.25 1.40483882 3.239170326 -0.9425 1.5 2.2146314 3.747966517 -1.1925 1.75 3.15162303 4.225801568 -1.4425 2 4.20807342
i x-xi x y fi10 0.5575 0 -0.5 0.312175161 0.3075 0.25 -0.4219562 0.932659722 0.0575 0.5 -0.1887913 1.541787393 -0.1925 0.75 0.19665557 2.132773134 -0.4425 1 0.72984885 2.699959895 -0.6925 1.25 1.40483882 3.239170326 -0.9425 1.5 2.2146314 3.747966517 -1.1925 1.75 3.15162303 4.225801568 -1.4425 2 4.20807342
MÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS(DATOS IGUALMENTE ESPACIADOS)
f(x)= x^2 - (cos(x))/2f´(x)= 2x + (sen(x))/2f(0.5575)=-0.11348396373
f´(0.5575)=1.379533201197
i x-xi x y Dfi1 0.5575 0 -0.5 0.078043792 0.3075 0.25 -0.4219562 0.233164933 0.0575 0.5 -0.1887913 0.385446854 -0.1925 0.75 0.19665557 0.533193285 -0.4425 1 0.72984885 0.674989976 -0.6925 1.25 1.40483882 0.809792587 -0.9425 1.5 2.2146314 0.936991638 -1.1925 1.75 3.15162303 1.056450399 -1.4425 2 4.20807342
i x-xi x y Dfi1 0.5575 0 -0.5 0.078043792 0.3075 0.25 -0.4219562 0.233164933 0.0575 0.5 -0.1887913 0.385446854 -0.1925 0.75 0.19665557 0.533193285 -0.4425 1 0.72984885 0.674989976 -0.6925 1.25 1.40483882 0.809792587 -0.9425 1.5 2.2146314 0.936991638 -1.1925 1.75 3.15162303 1.056450399 -1.4425 2 4.20807342
MÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS
F(X)=A0+A1(X-X0)+A2(X-XO)(X-X1)+A3(X-X0)(X-X1)(X-X2)
fi1=(yi-yi-1)/(xi-xi-1) f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))fi2=(fi1-f(i-1)1)/(xi-x(i-2)) f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))+a4((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)+(x-x0)*(x-x1)(x-x3)+(x-xo)(x-x2)(x-x3))fI3=[(fi2-f(i-1)2)/(xi-x(i-3))]fI4=[(fi3-f(i-1)3)/(xi-x(i-4))]
x=0.5575
fi2 fi3 fi4 fi5 fi61.24096912612367 -0.0302851 -0.0180934 0.00240635 0.000500235571.21825533278512 -0.0483785 -0.0150855 0.0031567 0.000369389831.18197147995652 -0.0634639 -0.0111396 0.00371079 0.000215577231.13437352186876 -0.0746035 -0.0065011 0.004034161.07842086901878 -0.0811046 -0.00145841.01759238635852 -0.0825631
0.955670094321821
x=0.5575
fi2 fi3 fi4 fi5 fi61.24096912612367 -0.0302851 -0.0180934 0.00240635 0.000500235571.21825533278512 -0.0483785 -0.0150855 0.0031567 0.000369389831.18197147995652 -0.0634639 -0.0111396 0.00371079 0.000215577231.13437352186876 -0.0746035 -0.0065011 0.004034161.07842086901878 -0.0811046 -0.00145841.01759238635852 -0.0825631
0.955670094321821
MÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS(DATOS IGUALMENTE ESPACIADOS)
Dfi=(yi-yi-1) a1i=Dfi/hDfi2=(fi1-f(i-1)1) a2i=Dfi2/(2!*h^2)DfI3=(fi2-f(i-1)2) a3i=Dfi3/(3!*h^3)
DfI4=(fi3-f(i-1)3) a4i=Dfi4/(4!*h^4)
h= 0.3COEFICIENTES DEL POLINOMIO
D2fi D3fi D4fi a1 a20.155121140765458 -0.0028392 -0.0016963 0.26014596 0.861784115360.15228191659814 -0.0045355 -0.0014143 0.77721643 0.84601064777
0.147746434994565 -0.0059497 -0.0010443 1.28482282 0.820813527750.141796690233595 -0.0069941 -0.0006095 1.77731094 0.787759390190.134802608627347 -0.0076036 -0.0001367 2.24996657 0.748903381260.127199048294815 -0.0077403 2.6993086 0.706661379420.119458761790227 3.12330543 0.66365978772
3.5215013
COEFICIENTES DEL POLINOMIOD2fi D3fi D4fi a1 a2
0.155121140765458 -0.0028392 -0.0016963 0.26014596 0.517070469220.15228191659814 -0.0045355 -0.0014143 0.77721643 0.50760638866
0.147746434994565 -0.0059497 -0.0010443 1.28482282 0.492488116650.141796690233595 -0.0069941 -0.0006095 1.77731094 0.472655634110.134802608627347 -0.0076036 -0.0001367 2.24996657 0.449342028760.127199048294815 -0.0077403 2.6993086 0.423996827650.119458761790227 3.12330543 0.39819587263
3.5215013
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
4
5y
y
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
4
5y
y
F(X)=A0+A1(X-X0)+A2(X-XO)(X-X1)+A3(X-X0)(X-X1)(X-X2)
f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))+a4((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)+(x-x0)*(x-x1)(x-x3)+(x-xo)(x-x2)(x-x3))
POLINOMIO INTERPOLACIÓNfi7 fi8 Polinomio Grado ERROR-7.476899E-05 -6.5619631E-06 -0.32596235021 grado 0 0.21247838648-8.789292E-05 -0.1132214617 grado 1 -0.00026250202
-0.11351999051 grado 2 3.6026783E-05-0.11348565772 grado 3 1.69399605E-06-0.11348363721 grado 4 -3.2651325E-07-0.11348392808 grado 5 -3.5645083E-08-0.11348396906 grado 6 5.33043928E-09-0.11348396477 grado 7 1.04204061E-09
DERIVADA APROXIMADAfi7 fi8 Derivada ERROR Grado-7.476899E-05 -6.5619631E-06 0.312175156579 1.06735804 grado 1-8.789292E-05 1.385613450676 -0.0060802 grado 2
1.378915342302 0.00061786 grado 31.379507316923 2.5884E-05 grado 41.379537588934 -4.388E-06 grado 51.379534075243 -8.74E-07 grado 61.379533563978 -3.628E-07 grado 7
F(X)=A0+A1(X-X0)+A2(X-XO)(X-X1)+A3(X-X0)(X-X1)(X-X2)
f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))+a4((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)+(x-x0)*(x-x1)(x-x3)+(x-xo)(x-x2)(x-x3))
x=0.5575
COEFICIENTES DEL POLINOMIO POLINOMIO INTERPOLACIÓNa3 a4 (x-xi)*fi1 Polinomio Grado
-0.0175260751 -0.0087256041 0.145031374827 -0.5grado 0-0.0279968 -0.00727501624 0.147736728127 -0.3549686grado 1
-0.0367268195 -0.00537210311 -0.00017275973 -0.2072319grado 2-0.0431733432 -0.00313517863 1.65570925E-05 -0.2074047grado 3-0.0469355576 -0.00070332393 -0.2073881grado 4-0.0477795463
x=0.5575
COEFICIENTES DEL POLINOMIO DERIVADA APROXIMADAa3 a4 (x-xi)*fi1 Derivada ERROR
-0.0094640806 -0.00565419145 0.260145963816 0.26014596 1.119387237381-0.015118272 -0.00471421052 0.447265955874 0.70741192 0.672121281508
-0.0198324825 -0.00348112282 -0.00327616894 0.70413575 0.675397450444-0.0233136054 -0.00203159575 -1.5991644E-06 0.70413415 0.675399049608-0.0253452011 -0.00045575391-0.025800955
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
4
5y
y
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
4
5y
y
f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))+a4((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)+(x-x0)*(x-x1)(x-x3)+(x-xo)(x-x2)(x-x3))
F(X)=A0+A1(X-X0)+A2(X-XO)(X-X1)+A3(X-X0)(X-X1)(X-X2)
f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))+a4((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)+(x-x0)*(x-x1)(x-x3)+(x-xo)(x-x2)(x-x3))
ERROR-0.386516
-0.2414847-0.0937479-0.0939207-0.0939041
Gradogrado 1grado 2grado 3grado 4
f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))+a4((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)+(x-x0)*(x-x1)(x-x3)+(x-xo)(x-x2)(x-x3))
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
4
5
y
y
0 0.5 1 1.5 2 2.5-1
0
1
2
3
4
5
y
y
MÉTODO DE EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
f(x)= x^2 - (cos(x))/2
f´(x)= 2x + (sen(x))/2
f(0.5575)= -0.113483963727f´(0.5575)= 1.37953320119687
i h x-h0 0.5 0.05751 0.25 0.30752 0.125 0.43253 0.0625 0.4954 0.03125 0.526255 0.015625 0.5418756 0.0078125 0.54968757 0.00390625 0.553593758 0.001953125 0.5555468759 0.0009765625 0.5565234375
x+h y(xi-h)1.0575 -0.4958674152100920.8075 -0.3819903698207710.6825 -0.266904116618962
0.62 -0.1949593549181020.58875 -0.155409312248006
0.573125 -0.1347430690018610.5653125 -0.124187562438107
0.56140625 -0.1188542668039330.559453125 -0.116173740215772
0.5584765625 -0.114830008086132
F(X)=A0+A1(X-X0)+A2(X-XO)(X-X1)+A3(X-X0)(X-X1)(X-X2)
f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))+a4((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)+(x-x0)*(x-x1)(x-x3)+(x-xo)(x-x2)(x-x3))
x=0.5575
y(xi+h) y'i Extp1 ERROR0.872780529714914 1.36864790.306402752839986 1.3767862 1.379499012120 3.20E-05
0.0778070960425587 1.3788449 1.379531052421 2.01E-06-0.022539228331267 1.379361 1.379533066711 1.26E-07-0.069191178012688 1.3794901 1.379533192789 7.88E-09-0.091632992831712 1.3795224 1.379533200671 4.93E-10-0.102632398215698 1.3795305 1.379533201164 3.08E-11-0.108076668925381 1.3795325 1.379533201195 1.91E-12-0.110784939305572 1.379533 1.379533201197 1.21E-13-0.112135607384666 1.3795332 1.379533201197 -1.38E+00
F(X)=A0+A1(X-X0)+A2(X-XO)(X-X1)+A3(X-X0)(X-X1)(X-X2)
f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))+a4((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)+(x-x0)*(x-x1)(x-x3)+(x-xo)(x-x2)(x-x3))
f'(X)=a1+a2(X-X0+X-X1)+A3((X-X1)(x-x2)+(x-x0)(x-x2)+(x-x0)(x-x1))+a4((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)+(x-x0)*(x-x1)(x-x3)+(x-xo)(x-x2)(x-x3))
NEWTON COTES
f(x)= x^2 - (cos(x Intervalo de 5,7
Función integrada.X^3/3-(sen( x))/2
Intervalo42.1461288Intervalo 114.00484Valor exa71.8587112
a=5b=7n=6
x fi coef coef*fi5 24.8581689 1 24.8581689072684
5.33333333 28.1535427 3 84.46062809854465.66666667 31.703163 3 95.1094888641304
6 35.5199149 3 106.5597445700246.33333333 39.6117397 3 118.835219056496.66666667 43.9807606 3 131.942281778757
7 48.6230489 1 48.6230488728283
Integral=76.29857251851
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80
10
20
30
40
50
60
h= (b-a)/nh= 0.33333333
ERROR4.439861
REGLA TRAPEZOIDAL
f(x)= x^2 - (cos Intervalo de 5,7
Función integrada. derivadaX^3/3-(sen( x))/2 2x+Sen(x)/2
Intervalo a 21.7117346Intervalo b 72.1397077Valor exacto 50.4279732
a=4b=6n=5
x fi coef coef*fi5 24.8581689 1 24.85816890727
5.4 28.8426536 2 57.685307124065.8 33.1972402 2 66.394480483066.2 37.941729 2 75.883457902986.6 43.0848837 2 86.169767408047 48.6230489 2 97.24609774566
7.4 54.5407263 1 54.54072633621
Integral= 92.55560118145
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80
10
20
30
40
50
60
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80
10
20
30
40
50
60
segund derivada2+Cos (x) / 22.49827105
h= (b-a)/nh= 0.4
ERROR42.127628
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80
10
20
30
40
50
60
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80
10
20
30
40
50
60
REGLA SIMPSONS
f(x)= x^2 - (cos(x))Intervalo de 5,7
Función integrada.X^3/3-(sen( x))/2
Intervalo a 21.7117Intervalo b 72.1397Valor exacto 50.428
a=4b=6n=5
x fi coef coef*fi5 24.8582 1 24.8582
5.4 28.8427 4 115.3715.8 33.1972 2 66.39456.2 37.9417 4 151.7676.6 43.0849 2 86.16987 48.623 4 194.492
7.4 54.5407 1 54.5407
Integral= 92.4790492
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80
10
20
30
40
50
60
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 80
10
20
30
40
50
60
h=(b-a)/nh= 0.4
ERROR42.0511
ROMBERG
f(x)= x^2 - (cos(x)) Intervalo de 5,7
a=3b=4
h = 0.50000
h x fi coef coef*fi0.5000 -0.188791 1 -0.188791
0.5000 1 0.7298488 2 1.45969771.5000 2.2146314 1 2.21463140.5000 -0.188791 1 -0.1887910.7500 0.1966556 2 0.3933111
0.25 1.0000 0.7298488 2 1.45969771.2500 1.4048388 2 2.80967761.5000 2.2146314 1 2.21463140.5000 -0.188791 1 -0.1887910.6250 -0.014857 2 -0.0297130.6250 -0.014857 2 -0.0297130.6250 -0.014857 2 -0.029713
0.125 0.6250 -0.014857 2 -0.0297130.6250 -0.014857 2 -0.0297130.6250 -0.014857 2 -0.0297130.6250 -0.014857 2 -0.0297130.6250 -0.014857 1 -0.014857
0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Función integrada.X^3/3-(sen( x))/2
Intervalo a 8.92944Intervalo b 21.711735Valor exacto 12.782295
Estimacion 1 ERROR 13.171105
0.8713844531
0.824293
0.8360658226-0.388811
-0.312992
-0.02572748
0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
CUADRATURA GAUSSIANA
f(x)= x^2 - (cos(x)) Intervalo de -1,1
4.4240359
((B-A)/2)*(W1*f(2t1)+W2*f(2t2))
f(2t1) 1.1312371f(2t2) 1.1312371
n t w f(2t)2 0.5773502692 1 1.1312371
-0.5773502692 1 1.1312371
3 0.77459667 0.5555555 2.38919940 0.8888889 -0.5
-0.77459667 0.5555555 2.3891994
4 -0.86113631 0.3478549 3.0416718-0.33998104 0.6521452 0.07355010.33998104 0.6521452 0.07355010.86113631 0.3478549 3.0416718
CUADRATURA GAUSSIANAFunción integrada.
a=-2 X^3/3-(sen( x))/2b=2 Intervalo -2.212018
Intervalo 2.212018t1= 0.5773503 Valor exac4.4240359t2= -0.57735n=2
W1=W2=1
I= 4.5249484
W*f(2t) I ERROR1.1312371 4.5249484 01.1312371
1.3273328-0.444444 4.4204425 0.10450591.3273328
1.05806030.0479654 4.4241027 0.10084570.04796541.0580603
Función integrada.X^3/3-(sen( x))/2
CONCLUSIONES:
Podemos observar que en los métodos de derivación el metodo mas confiable es el metodo de extrapolacion de Richrson, ya que la misma se aproxima efectivamente l valor real en el menos numero de iteracciones
Por otro lado en los metodo de integrción, los métoso de regla de trapezoidal y simpsons son bastantes confiables, ya que su valor en el erro son mínimos, de igual forma podemos nombrar a el método de newton cotes, que tienen un valor de error pequeño y el numero de iterciones posee la misma carcteristica.
Podemos observar que en los métodos de derivación el metodo mas confiable es el metodo de extrapolacion de Richrson, ya que la misma se aproxima efectivamente l valor real en el menos numero de iteracciones
Por otro lado en los metodo de integrción, los métoso de regla de trapezoidal y simpsons son bastantes confiables, ya que su valor en el erro son mínimos, de igual forma podemos nombrar a el método de newton cotes, que tienen un valor de error pequeño y el numero de iterciones posee la misma carcteristica.
