An introduction to Number Theory§

Niven, Zuckerman, Montgomery§

Soluciones

Eder Contreras Ordenes⋂

Sebastian Jara Cifuentes

{ecordenes@ug.uchile.cl}⋃{sevaseba@hotmail.com}

Resumen

Algunos problemas resueltos del libro Introduccion a la Teorıa de los numerosde los autores Niven, Zuckerman y Montgomery (quinta edicion). Motivacion de unverano pasado, con Sebastian Jara decidimos resolver los problemas de este libroempezando por el primer capıtulo para compartirlos en un pdf hecho especialmenteen espanol para estudiantes de habla hispana.

Actualmente la pereza mantiene unos cuantos problemas fuera de este pdf, perosiempre trato de subir alguno.

Cualquier comentario notificando algun error o desprolijidad se agradecera sernotificado al correo.

Ultima actualizacion: 27/11/2016

Indice

1. Divisibilidad 11.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. El Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Congruencias 192.1. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Raıces primitivas y residuos de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Reciprocidad cuadratica y formas cuadraticas 213.1. Residuos cuadraticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. Reciprocidad cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. El sımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1. Divisibilidad

1.1. Divisibilidad

Problema 1.1.1. Haciendo uso del Algoritmo de la division, halle el maximocomun divisor de:

7469 y 2464

1

2689 y 4001

2947 y 3997

1109 y 4999

Demostracion. Respuestas:

(7469, 2464) = 77.

(2689, 4001) = 1.

(2947, 3997) = 7.

(1109, 4999) = 1.

Problema 1.1.2. Encuentre el maximo comun divisor g de los numeros 1819 y3587, luego encuentre enteros x e y que satisfagan

1819x+ 3587y = g

Demostracion. Utilizando el algoritmo de la division:

3587 = 1819 · 1 + 1768; (1)

1819 = 1768 · 1 + 51; (2)

1768 = 51 · 34 + 34; (3)

51 = 34 · 1 + 17; (4)

34 = 17 · 2 + 0. (5)

Por lo tanto (3587, 1819) = 17. Ahora procedemos a encontrar x e y.Concentremonos en los restos obtenidos en cada paso del Algoritmo de la division.Por (4)

17 = 51− 34.

Reemplazando (2) y (3)

17 = (1819− 1768)− (1768− 51 · 34).

Reemplazando (1) y (2)

17 = 1819− 51 · 34− 2 · 1768,

= 1819 + (1819− 1768) · 34,

= 1819 · 35 + 1768 · (−36),

= 1819 · 35 + (3587− 1819) · (−36),

= 1819 · 71 + (−36) · 3587.

Luego x = 71, y = −36

Problema 1.1.3. Encuentre el mınimo comun multiplo de

2

482 y 1687,

60 y 61.

Demostracion. Usando el algoritmo de la division: 1687 = 482 · 3 + 241; 482 =241 · 2 + 0. Luego (1687, 482) = 241, por lo tanto [1687, 482] = 1687·482

241 = 3374.

Usando el algoritmo de la division: 61 = 60 · 1 + 1; 60 = 1 · 60 + 0. Luego(60, 61) = 1, por lo tanto [60, 61] = 60·61

1 = 3660.

Problema 1.1.4. ¿Cuantos enteros entre 100 y 1000 son divisibles por 7?

Pruebe que la cantidad de enteros menos a x divisibles por k esta dada por ...

Demostracion.

Problema 1.1.5. Demuestre que el producto de tres enteros consecutivos es divi-sible por 6; de cuatro enteros consecutivos es divisible por 24.

Demostracion. Se probara lo siguiente.

Lema: el producto de k enteros consecutivos es divisible por k!.

Primera demostracion:

Se tiene el producto

n · (n+ 1) · . . . · (n+ (k − 1)) = (−1)t ·(n+ k − 1

k

)· k!,

donde t = 1 o t = 2 pues dicho producto podrıa ser negativo o positivo (oincluso 0, pero es un caso trivial). Como

(n+k−1

k

)es un entero, tenemos que

k!|n · . . . · (n+ (k − 1)), lo que se pedıa.

Segunda demostracion:

Induccion.

Habiendo probado el lema, notamos que el problema es nada mas que un coro-lario para k = 3 y k = 4

Problema 1.1.6. Exhiba tres enteros relativamente primos pero no relativamentede a pares.

Demostracion. Tomar 6,10,15.

Problema 1.1.7. Dado dos enteros demuestre que su suma y su diferencia tienenla misma paridad.

3

Demostracion. Sea a y b dos enteros. Si a y b son pares, es decir a = 2k y b = 2k′,entonces a + b = 2k + 2k′ = 2(k + k′) es par y a − b = 2k − 2k′ = 2(k − k′) espar. Si a es par y b es impar, es decir a = 2k y b = 2k′ + 1, entonces a + b =2k + 2k′ + 1 = 2(k + k′) + 1 es impar y a − b = 2k − 2k′ − 1 = 2(k − k′) − 1 esimpar. Finalmente, si a y b son impares, es decir a = 2k+ 1 y b = 2k′ + 1, entoncesa+ b = 2k+ 1 + 2k′+ 1 = 2(k+ k′+ 1) es par y a− b = 2k+ 1− 2k′− 1 = 2(k− k′)es par.

Otra solucion es que: Dado que (a + b) + (a − b) = 2a, es par, entonces tantoa+ b como a− b tienen misma paridad.

Problema 1.1.8. Demuestre que si ac|bc entonces a|b.

Demostracion. Dado que ac|bc, por definicion tenemos que existe k ∈ Z tal quek · (ac) = bc, es decir, k · a = b. Esto ultimo, por definicion, significa que a|b

Problema 1.1.9. Dado que a|b y c|d, demuestre que ac|bd.

Demostracion. Por hipotesis existen x, y ∈ Z tales que

ax = b,

cy = d.

Multiplicando ambas igualdades, tenemos que

(ac) · (xy) = bd.

Ya que xy ∈ Z, esto por definicion es ac|bd

Problema 1.1.10. Demuestre que 4 6 |(n2 + 2) para todo n.

Demostracion. Sea n = 4k + r, 0 ≤ r < 4. Luego n2 + 2 = 4K ′ + r2 + 2, K ′ ∈ Z.Para los distintos valores de r nuestra expresion es de la forma 4k + 2, 4k + 3. Enninguno de esos casos es divisible por 4. Ası 4 6 |(n2 + 2).

Problema 1.1.11. Dado que (a, 4) = 2 y (b, 4) = 2, demuestre que (a+ b, 4) = 4.

Demostracion. Por Algoritmo de la division existen enteros tales que a = 4x + r1,b = 4y+r2, con 0 < ri < 4, pues 4 6 |a y 4 6 |b. Por hipotesis 2|a y 2|b, implicando 2|ri.Ahora, como 0 < ri < 4, se tendra ri = 2. Entonces al sumar, a+ b = 4(x+ y + 1),se consigue 4|(a+ b). En sıntesis

(a+ b, 4) = (4k, 4) = (0, 4) = 4.

Estamos listos

4

Problema 1.1.12. Demuestre que n2−n es divisible por 2 para todo entero n; quen3 − n es divisible por 6; que n5 − n es divisible por 30.

Demostracion. 2|n2−n: obtener lo que nos piden equivale a mostrar que n2−nes par para todo n. Basta analizar la paridad de la expresion en cada caso.

6|n3−n: debemos demostrar que n3−n es divisible por 2 y 3 ya que (2, 3) = 1.Que es divisible por 2 se sigue de lo anterior; que es divisible por 3 es lo queexhibiremos aquı. Por algoritmo de la division existen unicos q, r ∈ N tales quen = 3q + r, con 0 ≤ r ≤ 2. Se sigue entonces que

n3 − n = (n+ 1)n(n− 1),

= (3q + (r + 1))(3q + r)(3q + (r − 1)).

Note que para r = 0, 1, 2 siempre uno de los factores es divisible por 3. Con-cluimos.

n5−n: obtener lo que nos piden equivale a mostrar que n5−n es divisible por2, 3 y 5, ya que (2, 3) = 1, (3, 5) = 1, (2, 5) = 1 y 30 = 2·3·5. Nuestra expresionequivale a (n− 1)n(n+ 1)(n2 + 1). Que es divisible por 2, ya lo sabemos; quees divisible por 3, tambien. Por demostrar entonces que es divisible por 5.Por Algoritmo de la division tenemos que n = 5q + r, con 0 ≤ r ≤ 4. Luego(n−1)n(n+1)(n2+1) = 5K+r5−r. Se verifica entonces que para r = 0, 1, 2, 3, 4dicha expresion es divisible por 5. Concluimos

Problema 1.1.13. Demuestre que si n es impar, n2 − 1 es divisible por 8.

Demostracion. Notar que n2 − 1 = (n− 1)(n+ 1). Si n es impar, entonces n− 1 yn+ 1 son numeros pares consecutivos, entonces n+ 1 = 2k y n− 1 = 2(k− 1) paraalgun k ∈ Z. Luego

n2 − 1 = 2(k − 1)2k,

= 4k(k − 1),

= 8t

para algun t ∈ Z, ya que k o k + 1 es par.

Problema 1.1.14. Demuestre que si x e y son impares, entonces x2 + y2 es par,pero no divisible por 4.

Demostracion. Dado que x e y son impares, tenemos que x = 2m + 1, y = 2n + 1con n,m ∈ Z. Luego

x2 + y2 = 4(m2 + n2 +m+ n) + 2,

expresion evidentemente divisible por 2, pero no por 4

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Problema 1.1.15. Demuestre que si a y b son enteros que satisfacen [a, b] = (a, b),entonces a = b.

Demostracion. Sea (a, b) = [a, b] = d. Por definicion de m.c.d. d|a y por definicionde m.c.m a|d , por lo tanto a = d, pues d > 0. Analogamente se demuestra queb = d

Problema 1.1.16. Calcule (n, n+ 1) y [n, n+ 1] donde n es un entero positivo.

Demostracion. Notemos que

(n, n+ 1) = (n, (n+ 1)− n),

= (n, 1),

= 1.

De esto se sigue que[n, n+ 1] = n(n+ 1).

Problema 1.1.17. Encuentre los valores de (a, b) y [a, b] si a y b son enterospositivos tales que a|b.

Demostracion. Por hipotesis, existe k ∈ Z tal que ak = b. Luego

(a, b) = (a, ak),

= (a, 0),

= a.

Por otro lado

[a, b] = [a, ak],

=a2k

(a, ak),

= ak

= b.

Problema 1.1.18. Demuestre que cualquier conjunto de enteros relativamente pri-mos de a pares, es entonces de enteros relativamente primos entre ellos.

Demostracion. Considere el conjunto A = {a1, . . . , an} donde (ai, aj) = 1, parai, j = 1, . . . n, con i 6= j. Sea (a1, . . . , an) = d, por definicion, d|ai, i = 1, . . . , n,pero como dichos numeros son en pares, basta tomar cualquier par y decir que dlos divide quedando la unica posibilidad de que d = 1. Luego dichos numeros sontodos coprimos entre sı

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Problema 1.1.19. Demuestre cualquier entero es de la forma 3k o 3k+1 o 3k+2.

Demostracion. Notar que los posibles restos que resultan de dividir un numero portres son 0, 1 y 2

Problema 1.1.20. Demuestre que si un entero es de la forma 6k + 5, entoncesnecesariamente es de la forma 3k − 1, pero no recıprocamente.

Demostracion. Empecemos notando que 6k+ 5 = 3[2(k− 1)]− 1, demostrando quees de la forma 3k′−1. El contraejemplo es para refutar el converso es que 2 no es deesa forma pues en ese caso 2 = 6k+ 5, lo que implica que 2|5, una contradiccion

Problema 1.1.21. Sean n ≥ 2 y k enteros positivos cualquiera. Pruebe que (n −1)2|(nk − 1) si y solo si (n− 1)|k.

Demostracion. Supongamos que (n− 1)|(nk − 1). Notemos lo siguiente:

nk − 1 = ((n− 1) + 1)k − 1,

= −1 +k∑j=0

(k

j

)(n− 1)j ,

=k∑j=1

(k

j

)(n− 1)j ,

= k(n− 1) +k∑j=2

(k

j

)(n− 1)j .

Como (n − 1)2|k∑j=2

(k

j

)(n − 1)j , entonces (n − 1)2|k(n − 1). De esto se sigue que

(n− 1)|k.Recıprocamente, supongamos que (n−1)|k. Ası, existe t ∈ N tal que t(n−1) = k.

Equivalentemente

(k

1

)(n− 1) = t(n− 1)2, por lo que

(n− 1)2|(k

1

)(n− 1).

Note tambien que se tiene (n− 1)2|k∑j=2

(k

j

)(n− 1)j , luego se cumple

(n− 1)2|(k

1

)(n− 1) +

k∑j=2

(k

j

)(n− 1)j ,

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por propiedad. Ademas

k∑j=1

(k

j

)(n− 1)j =

k∑j=0

(k

j

)(n− 1)j − 1

= nk − 1.

Luego (n− 1)2|nk − 1

Problema 1.1.22. Pruebe que (a, b) = (a, b, a+b), y mas generalmente que (a, b) =(a, b, xa+ by), para todo entero x, y.

Demostracion. Demostremos que dichos numeros tienen el mismo conjunto de di-visores. Sean D(a,b) y D(a,b,ax+by) los conjuntos de divisores en comun de dichosnumeros, lo que buscamos probar es equivalente a D(a,b) = D(a,b,ax+by). Procedere-mos por doble contencion:

Sea d ∈ D(a,b,ax+by), por esto, d|a y d|b, lo que es suficiente para concluir que d ∈D(a,b). Por lo tanto. D(a,b,ax+by) ⊂ D(a,b). Reciprocamente sea d ∈ D(a,b), por esto,d|a y d|b, luego por propiedad de la divisibilidad, d divide a cualquier combinacionlineal entre a y b, es decir d|(ax+ by)∀x, y ∈ Z. Luego d ∈ D(a,b,ax+by) y ası D(a,b) ⊂D(a,b,ax+by).

Problema 1.1.23. Pruebe que (a, a+ k)|k para todo entero a y k ambos no nulos.

Demostracion. Sea (a, a + k) = d. Por definicion d|a y d|(a + k), ası d divide a laresta (a+ k)− a. Finalmente d|k, como se querıa probar

Problema 1.1.24. Pruebe que (a, a+ 2) = 1 o 2 para cualquier entero a.

Demostracion. Por propiedad del MCD tenemos que (a, a+ 2) = (a, 2). De esto, sia es impar, (a, a+ 2) = 1; si a es par (a, a+ 2) = 2.

Problema 1.1.25. Pruebe que (a, b, c) = ((a, b), c).

Demostracion. Sea (a, b, c) = d, ((a, b), c) = d′ y (a, b) = d′′.Por un lado d/a y d/bentonces d/d′′, y como d/c se tiene que d / d′. Por otro lado, d′/ d′′ entonces d′/a yd′/b, y como d′/c se tiene que d′/d, por lo tanto d = d′.

Problema 1.1.26. Pruebe que (a1, a2, . . . , an) = ((a1, a2, . . . , an−1), an).

Demostracion. D(a1,...,an) ⊂ D((a1,...,an−1),an): sea d ∈ D(a1,...,an), por esto d|ai,i = 1, n. Luego, por caracterizacion del M.C.M. d|(a1, . . . , an−1) d ∈ D((a1,...,an−1),an).Finalmente d ∈ D((a1,...,an−1),an).

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D((a1,...,an−1),an) ⊂ D(a1,...,an): sea d ∈ D((a1,...,an−1,an), por esto d|ai, i = 1, n.Condicion suficiente para que d ∈ D((a1,...,an−1),an).

Demostrando lo pedido

Problema 1.1.27. Pruebe que no existen enteros positivos a, b, n > 1 tal que

(an − bn)|(an + bn).

Demostracion. Razonemos por contradiccion. Supongamos que (a, b) = d, es decira = xd y b = yd. Por hipotesis se tiene que

t(an − bn) = an + bn,

tdn(xn − yn) = dn(xn + yn),

t(xn − yn) = (xn + yn).

De esto, xn − yn|xn + yn. Ahora considerando la division de la suma, obtenemosque xn − yn|2yn, pero observe que se tiene lo siguiente:

1 = (x, y),

= (xn, yn)

= (xn − yn, yn)

Es decir, xn − yn 6 |xn + yn, lo que es una contradiccion

Problema 1.1.28. Pruebe que a|bc si y solo si a(a,b) |c.

Demostracion. Supongamos que a|bc. Ası tenemos que existe t ∈ Z tal que at = bc.

Equivalentemente tenemos que t ·(

a

(a, b)

)=

(b

(a, b)

)· c. De esto tenemos que

a

(a, b)| b

(a, b)o

a

(a, b)|c,

pero como

(a

(a, b),

b

(a, b)

)= 1, entonces

a

(a, b)|c. Reciprocamente supongamos que

a(a,b) |c. Luego existe t ∈ Z tal que t

(a

(a, b)

)= c. Equivalentemente tenemos que(

tb

(a, b)

)a = bc, implicando que a|bc.

Problema 1.1.29. Si a y b > 2 son enteros positivos, pruebe que 2a + 1 no esdivisible por 2b − 1.

Demostracion. Si a < b es obvio. Si a > b, razonando por contradiccion, tenemosque 2b − 1|2a + 2b = 2b(2a−b + 1). Como (2b − 1, 2b) = 1, entonces 2b − 1|2a−b + 1.Ahora, por algoritmo de la division a = bq + r, (0 ≤ r < b), si repetimos el primerproceso q veces, entonces tendremos que 2b − 1|2a−bq + 1 = 2r + 1, pero como r < btenemos el primer caso, llegando ası a una contradiccion

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Problema 1.1.30. Pruebe que si m > n entonces a2n + 1 es un divisor de a2m − 1.Muestre que si a,m, n son positivos con m 6= n, entonces

(a2m + 1, a2n + 1) =

{1 , si a es par2 , si a es impar

Demostracion. Suponga sin perdida de generalidad que m > n y observe la siguientefactorizacion

a2m − 1 = (a2m−1+ 1)(a2m−2

+ 1) . . . (a2n + 1)(a2n − 1).

Luego a2m + 1 = (a2n + 1) · q + 2, con q ∈ Z, ası

(a2m + 1, a2n + 1) = (a2n + 1, 2)

que es igual a 2 si a2m + 1 es par, esto es, para a impar; y es igual a 1 en casocontrario

Problema 1.1.31. Muestre que si (a, b) = 1 entonces (a+ b, a2− ab+ b2) = 1 o 3.

Demostracion. Sea d = (a+ b, a2− ab+2) = (a+ b, 3ab) (teorema 1.9). Por un lado,si t = (a, d), entonces t|d y como d|a + b se tiene que t|a + b. De esto se sigue quet|b, ergo t = 1. Analogamente se verifica que (b, d) = 1. Finalmente, d|3ab implicaque d|3, entonces d = 1 o d = 3.

Problema 1.1.32. Muestre que si (a, b) = 1 y p es un primo impar, entonces(a+ b,

ap + bp

a+ b

)Demostracion. Empecemos notando que, como p es impar

ap + bp

a+ b= ap−1 + ap−2b+ . . .+ abp−2 + bp−1.

Seguido de esto, por propiedad de M.C.D:

(a+ b, ap+bp

a+b ) =

(a+ b, ap−1 + ap−2b+ . . .+ abp−2 + bp−1 − (a+ b)(ap−2 + bp−2)) =(a+ b,−2ap−2b+ ap−3b2 + . . .+ a2bp−3 − 2abp−2 − (a+ b)(ap−3b+ abp−3)) =... =

(a+ b, p(ab)p−1

2 ).

Notemos que (a + b, ab) = 1, en caso contrario (a, b) 6= 1, de lo que se sigue que

(a+ b, p(ab)p−1

2 ) = (a+ b, p). Finalmente, si p|(a+ b), (a+ b, p) = p y si p 6 |(a+ b),(a+ b, p) = 1.

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Problema 1.1.33. Suponga que 2n+1 = xy, donde x e y son enteros > 1 y n > 0.Muestre que 2a|(x− 1) si y solo si 2a|(y − 1).

Demostracion. Observe que

2a|x− 1 ⇒ 2a| − y(x− 1),

⇔ 2a| − 2n − 1 + y,

⇒ 2a| − 2n + y − 1 + 2a · 2n−a,⇔ 2a|y − 1.

La otra implicancia es analoga

Problema 1.1.34. Muestre que (n! + 1, (n+ 1)! + 1) = 1

Demostracion. Procedemos por propiedad del M.C.M:

(n! + 1, (n+ 1)! + 1) = (n! + 1, n!(n+ 1) + 1),

= (n! + 1, n · n! + (n! + 1)),

= (n! + 1, n · n!),

= (n! + 1, n · n!− n(n! + 1)),

= (n! + 1− n!,−n),

= (1, n),

= 1

Demostrando lo pedido

Problema 1.1.35. Sea a y b enteros positivos tales que (1 + ab)|(a2 + b2). Muestreque el entero (a2 + b2)/(1 + ab) debe ser un cuadrado perfecto.1

Demostracion. Razonemos por contradiccion y supongamos que a2+b2

ab+1 = c no esun cuadrado perfecto, con max(a, b) lo mas pequeno posible. Podemos asumir sinperdida de generalidad que a < b pues si a = b = entonces

0 < k =2a2

1 + a2< 2

implicando que k = 1 que es un cuadrado perfecto. Ahora, a2 + b2 − k(ab+ 1) = 0es una ecuacion cuadratica en b, la cual por relaciones de Cardano Vieta, tiene porsuma de raıces ka y producto de ellas por a2 − k. Sean b1, b dichas raıces, entoncesb1 + b = ka y b1b = a2 − k. Como a, k son enteros positivos, suponiendo que b1 < 0genera una contradiccion con a2 + b21 = k(ab1 + 1). Como k no es un cuadrado

1Este problema aparecio en la XXIX Olimpiada Internacional de Matematica, en 1988. Fue resueltopor solo 11 de 268 participantes y forma parte de los problemas mas famosos que ha sido propuesto endicha competencia.

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perfecto, suponer que b1 = 0 tambien nos genera un problema del mismo tipo.Ademas

b1 =a2 − kb

<b2 − kb

< b

Por lo que hemos encontrado otro entero positivo b1 para el cuala2+b21ab1+1 = k y es

menor que el menor max(a, b). Esto es una contradiccion. Luego k es un cuadradoperfecto

1.2. Primos

Problema 1.2.1. Con a y b en (1.6) ¿Que condiciones deben cumplir los exponentespara que (a, b) = 1?

Demostracion. Si α(p) > 0, entonces β(p) = 0. De la misma forma si β(p) > 0,entonces α(p) = 0. Luego

(a, b) =∏p

pmın{α(p),β(p)} = 1.

Problema 1.2.2. ¿Cual es el numero mas grande de enteros libres de cuadradosconsecutivos? ¿Cual es el numero mas grande de enteros positivos libres de cubosconsecutivos?

Solucion. Afirmamos que el numero mas grande de enteros positivos libres de cua-dradros consecutivos es 3. Sea M el maximo numero de enteros positivos que sonlibres de cuadrados. Al observar que la tripleta (5,6,7) es libre de cuadrados, pode-mos decir que M ≥ 3. Ahora bien, notamos que cada cuatro enteros consecutivosuno de ellos es divisible por 4, es decir, 22. De esto se sigue que M < 4. Finalmente3 ≤M < 4, es decir, M = 3.

Ahora, afirmamos que la cantidad de numeros libres de cubos es 7. Sea M elmaximo numero de enteros positivos que son libres de cubos. Al observar que la tupla(1,2,3,4,5,6,7) es libre de cubos, podemos decir que M ≥ 7. Ahora bien, notamosque cada ocho enteros consecutivos uno de ellos es divisible por 8, es decir, 23. Deesto se sigue que M < 8. Finalmente 7 ≤M < 8, es decir, M = 7.

Generalizamos afirmando que el numero de enteros consecutivos mas grandeque son libres de potencias 2k-esimas es 2k−1 − 1. Sea M definido el numero deenteros consecutivos 2k-libres. Se observa que la tupla (1, 2, . . . , 2k − 1) es 2k libre,ası M ≥ 2k − 1. Luego como cada 2k numeros uno de ellos es divisible por 2k

entonces M < 2k. Por lo tanto M = 2k − 1.

12

Problema 1.2.3. En cualquier entero positivo, como 8347, el ultimo dıgito es lla-mado dıgito de las unidades, el siguiente dıgito de la decena, el siguiente dıgito de lacentena y ası. En el ejemplo, 8347, el dıgito de las unidades es 7, el de las decenases 4, el de las centenas es 3 y el de la unidad de mil es 8.

Pruebe que un numero es divisible por 2 si y solo si el dıgito de las unidadeses divisible por 2; que un numero es divisible por 4 si y solo si el entero formadopor el dıgito de su decena y unidad es un numero divisible por 4; que un numero esdibisible po 8 si y solo si el entero formado por sus tres ultimos dıgitos es divisiblepor 8.

Demostracion. Sea N = anaa−1...a0 un entero positivo cualquiera, donde an, ..., a0

representa sus digitos. Supongamos que 2 divide a N . Note que

N =

n∑j=0

aj10j =

n∑j=1

aj10j + a0.

Como 2|10j para todo 1 ≤ j ≤ n entonces

2|

N − n∑j=1

aj10j

= a0.

Por otro lado, si 2|a0 y 2|10j para todo 1 ≤ j ≤ n entonces

2|a0 +n∑j=1

aj10j = N.

Los criterios para 4 y 8 se demuestran de forma analoga y de la misma forma segeneraliza para un criterio de divisibilidad por 2k, con k ∈ N

Problema 1.2.4. Pruebe que un entero es divisible por 3 si y solo si la suma desus dıgitos es divisible por 3. Pruebe que un entero es divisible por 9 si y solo si lasuma de sus dıgitos es divisible por 9.

Demostracion. Supongamos que N =∑n

j=0 10jaj, divisible por 3. Note que 3|(10n−1), ∀n ∈ N. De esto notamos que

n∑j=0

10jaj =n∑j=0

(10j + 1− 1)aj,

= 3K +n∑j=0

aj .

Como 3|N , entonces

3|N − 3K =

n∑j=0

aj ,

por lo tanto divide a la suma de los dıgitos de N .

13

Ahora supongamos que si N es un entero de dıgitos a0, a1, . . . , an entonces3|∑n

j=0 aj . Note que 3|∑n

j=1 (10j − 1)aj . La suma de las expresiones anteriores

es divisible por 3, es decir∑n

j=0 10jaj = N .La demostracion para la divisibilidad por 9 es analoga notando que 9|10n − 1

tambien es divisible por 9 para cualquier n ∈ N

Problema 1.2.5. Pruebe que un numero es divisible por 11 si y solo si la diferen-cia entre la suma de los dıgitos en posiciones impares y la suma de los dıgitos enposiciones pares es divisible por 11.

Demostracion. Sea N =∑n

i=0 10iai. Note que 11|102k+1 + 1, pues

102k+1 = (10 + 1)(102k − 102k−1 + . . .− 1),

y 9|102k − 1 pues

102k − 1 = (100− 1)(102k−1 + 102k−2 + . . .+ 1).

Luego

N =∑

10jaj ,

=∑

102ka2k +∑

102k+1a2k+1,

=∑

(102k − 1) + a2k +∑

(102k+1 + 1)a2k+1 +∑

a2k+1 − a2k,

= 11K +∑

a2k+1 − a2k.

Luego es evidente que 11|N si y solo si 11|∑a2k+1 − a2k.

Problema 1.2.6. Demuestre que todo entero n tiene una expresion de forma unican = 2rm, donde r ≥ 0 y m es impar.

Demostracion. Directo del Teorema Fundamental de la Aritmetica

Problema 1.2.7. Muestre que cualquier entero positivo puede ser escrito unıca-mente en la forma n = ab, donde a es libre de cuadrados y b es un cuadrado.Muestre que b es entonces el mayor cuadrado dividiendo a n.

Demostracion. Por Teorema Fundamental de la Aritmetica tenemos que

n =∏

pαii = ab.

Si αi es par lo asociamos como factor de b, en caso contrario por propiedad deexponentes separamos dicho factor en su exponente par y su exponente igual a 1,asociando el factor de exponente par a b y el de exponente 1 a a. Finalmente

a =∏

pi, b =∏

p2kii .

Para mostrar que b es el mayor cuadrado que divide a n supongamos que existe unb′ cuadrado perfecto que divide a n. Dada la condicion de b′, contiene sus factoresde exponente par, es decir, los factores de b, luego b′|b. De esto se sigue que b′ ≤ b,demostrando lo pedido.

14

Problema 1.2.8. Muestre que cualquier primo de la forma 3k + 1 es de la forma6k + 1.

Demostracion. Es claro que k puede ser de la forma k = 2t o k = 2t+ 1, pero estoultimo no es posible pues 3k + 1 siendo primo, serıa par. Luego cada primo de laforma 3k + 1 es de la forma 6k + 1

Problema 1.2.9. Pruebe que todo entero positivo de la forma 3k + 2 tiene unfactor primo de la misma forma; similarmente para cada para cada entero de laforma 4k + 3 y 6k + 5.

Demostracion. Por Teorema Fundamental de la Aritmetica, tenemos que

3k + 2 =∏

pαii .

Cada factor primo puede escribirse de la forma 3ki + ri, donde ri es 1 o 2. Luego

3k + 2 = (3k1 + r1) · . . . · (3kn + rn) = 3K +∏

ri.

Se sigue que no todos los ri pueden ser 1, luego existe j tal que rj = 2, y asıpj = 3kj + 2 es un factor de la forma pedida.

De forma analoga, si tenemos un numero de la forma 4k + 3 por sabiendo quecada uno de sus factores primos pi se puede escribir de la forma 4ki+ri con ri = 1, 2o 3 entonces se obtiene que 4k+ 3 = 4K +

∏ri. Ningun ri puede ser 2, pues 4k+ 3

no es una expresion divisible por 2. Por otro lado tampoco pueden todos los ri ser1, luego existe j tal que pj = 4kj + 3, que tiene la forma pedida.

Problema 1.2.10. Si x e y son impares, pruebe que x2 + y2, no puede ser uncuadrado perfecto.

Demostracion. Razonemos por contradiccion. Como x e y son impares, x2 +y2 es dela forma 4k+ 2. De lo anterior, como x2 + y2 es cuadrado, tenemos que 4k+ 2 = k2,pero 2|k, luego 2k + 1 = 2k′2, contradiccion. Luego x2 + y2 no puede ser cuadradoperfecto

Problema 1.2.11. Si x e y son coprimos a 3, entonces x2 + y2 no es cuadradoperfecto.

Demostracion. Dado que (x, y, 3) = 1, entonces x e y son de la forma 3u + r1 y3v + r2, con 0 < ri < 3. De lo anterior, x2 + y2 es de la forma 3k + (r2

1 + r22). Los

posibles valores de que r21 + r2

2 son 2, 5, 8 en ambos casos x2 + y2 es de la forma3k′ + 2 lo cual es una contradiccion pues los cuadrados no divisibles por 3 no sonde la forma 3k + 2

15

Problema 1.2.12. Si (a, b) = p, un primo, ¿cuales son los posibles valores de(a2, b)?¿Y de (a3, b) y (a2, b3)?

Demostracion. Por Teorema Fundamental de la Aritmetica, tenemos que a =∏pαii

y b =∏qβii . De la hipotesis se sigue que existe un unico j tal que pj = qj = p y que

mın(αj , βj) = 1. Si βj = 1 entonces (a2, b) = p. Si αj = 1 entonces mın {2αj , βj} = 1o bien 2. De aquı los posibles valores de (a2, b) son p o p2.

Razonando de forma analoga para (a3, b), sus posibles valores son p, p2 o p3.Igualmente para (a3, b2), sus posibles valores son p, p2 y p3

Problema 1.2.13. Encuentre un entero n tal que n/2 sea cuadrado, n/3 sea cuboy n/5 una potencia quinta.

Respuesta. n = 215 · 310 · 56

Problema 1.2.14. Demuestre que n|(n− 1)!, para todo n > 4 compuesto.

Demostracion. Dado que n es compuesto, por Teorema Fundamental de la Aritmeti-ca n =

∏pαii . Es claro que 2 ≤ pαi

i ≤n2 < n − 1 < n (desigualdad gracias a que

n > 4 y es compuesto). Luego, en el producto (n − 1)! aparece cada uno de losfactores pαi

i . Se concluye que n|(n− 1)!.

Problema 1.2.15. Demuestre que el numero n4 + 4 es compuesto para n > 1.

Demostracion.

n4 + 4 = n4 − 4n2 + 4− 4n2,

= (n2 + 2)2 − (2n)2,

= (n2 + 2n+ 2) · (n2 − 2n+ 2).

Se observa que para n = 1 uno de los factores es igual a 1. Luego para n > 1 estosson mayores que 1 y por ende, n4 + 4 es compuesto.

Problema 1.2.16. Demuestre que n4 + n2 + 1 es compuesto para n > 1.

Demostracion.

n4 + n2 + 1 = n4 + 2n2 + 1− n2,

= (n2 + 1)2 − n2,

= (n2 + n+ 1) · (n2 − n+ 1).

Se concluye de forma similar al problema anterior.

16

Problema 1.2.17. Demuestre que si m4 + 4n es primo entonces m es impar y nes par, excepto cuando m = n = 1.

Demostracion. Si m4 + 4 es primo entonces 2 6 |m o es caso contrario 4|m4 + 4n.Ahora, note que m4 + 4n = (m2 + 2)2−m2 · 2n+1, por lo que si n es impar entoncesdicha expresion es una diferencia de cuadrados y por ende factorizable. Luego ndebe ser par.

Problema 1.2.18. Muestre que existen enteros no negativos x e y tales que x2 −y2 = n si y solo si n es impar o multiplo de 4.

Demostracion. Sean x, y ∈ Z+ tales que x2 − y2 = n, es decir (x+ y) · (x− y) = n.Si x e y tienen paridad distinta entonces n es impar. Si x e y tiene misma paridad,entonces (x+ y)(x− y) = 4(x′ + y′)(x′ − y′) por lo que n es multiplo de 4.

Si n es impar, entonces n = 2k+1 = (k+1)2−k2, por lo que tomando x = k+1e y = k estamos. Si n es multiplo de 4 entonces

n = 4k = 2k + 1 + 2k − 1 = (k + 1)2 − (k − 1)2.

Problema 1.2.19. Pruebe que 2 +√−6 y 2 −

√−6 son primos en la clase C de

numeros a+ b√−6

Demostracion. Si se escribe 2 +√−6 = (x1 + y1

√−6)(x2 + y2

√−6), aplicando

norma 10 = N(x1 + y1

√−6)N(x2 + y2

√−6). Luego N(x1 + y1

√−6) = 1, 2, 5, 10.

Supongase que N(x1 + y1

√−6) = 5, es decir x2

1 + 6y21 = 5 lo cual es imposible. Por

otro lado, si N(x1 + y1

√−6) = 5, este caso es imposible por un argumento similar

al caso anterior. Por lo tanto N(x1 + y1

√−6) = 1, 10, en ambos caso se satisface la

definicion de primo para 2 +√−6 en el anillo Z[

√−6]. El caso 2−

√−6 es analogo.

Problema 1.2.20. Pruebe que

(ab, cd) = (a, c)(b, d)

(a

(a, c),

d

(b, d)

)(c

(a, c),

b

(b, d)

)

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Demostracion. Utilizando las propiedades del MCD y recordando que xy = (x, y)[x, y],entonces:

(a, c)(b, d)

(a

(a, c),

d

(b, d)

)(c

(a, c),

b

(b, c)

)=(

a,

(d

(b, d)

)(a, c)

)·((

c

(a, c)

)(b, d), b

)=(

a

((c

(a, c)

)(b, d), b

),

((c

(a, c)

)(b, d), b

)(d

(b, d)

)(a, c)

)=(((

ac

(a, c)

)(b, d), ab

)(cd,

(bd

(b, d)

)(a, c)

))=

((ab, [a, c](b, d)), (cd, (a, c)[b, d])) =

(ab, cd, [a, c](b, d), (a, c)[b, d]) =

(ab, cd, ([a, c](b, d), (a, c)[b, d])) =

(ab, cd, [a, c][b, d](ac, bd)) =

(ab, cd).

Esto ultimo, pues ab|[a, c][b, d](ac, bd) y cd|[a, c][b, d](ac, bd). Demostrando lo pedido

Problema 1.2.21. Muestre que 24 es el entero mas grande divisible por todos losenteros menores que su raız.

Demostracion.

Problema 1.2.22. Sea π(x) la funcion que denota el numero de primos menoresa x. Muestre que: ∑

p≤x

1

p=

pi(x)

x+

∫ x

2

pi(u)

u2du.

Demostracion. Sea π(x) = n. Interpretando la parte derecha de la identidad que sedesea probar tenemos que:

π(x)

x+

∫ x

2

π(u)

u2du =

π(x)

x+

n−1∑k=1

∫ pk+1

pk

π(u)

u2du+

∫ x

pn

π(u)

u2du

Note que la funcion π(x) en los intervalos [pk, pk+1[ es constante y su valor esπ(pk) = k.

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=π(x)

x+

n−1∑k=1

π(pk)

∫ pk+1

pk

1

u2du+ π(pn)

(−1

u

)∣∣∣∣xpn

=n

x+n−1∑k=1

k

(−1

u

)∣∣∣∣pk+1

pk

+ n

(−1

x+

1

pn

),

=n−1∑k=1

k

(− 1

pk+1+

1

pk

)+ n

1

pn,

=

n−1∑k=1

(k

pk− k

pk+1

)+ n

1

pn,

=n−1∑k=1

(k

pk− k + 1− 1

pk+1

)+ n

1

pn,

=n−1∑k=1

(k

pk− k + 1

pk+1

)−n−1∑k=1

1

pk+1+ n

1

pn,

=

n−1∑k=0

1

pk+1,

=∑p≤x

1

p.

1.3. El Teorema del Binomio

2. Congruencias

2.1. Congruencias

Problema 2.1.1. Liste todos los enteros x en el rango de 1 ≤ x ≤ 100 que satisfacenx ≡ 7 (mod 17).

Demostracion. x = 7, 24, 41, 58, 75, 92

Problema 2.1.2. Pruebe que si p es primo y a2 ≡ b2 (mod p) entonces p|(a+ b) op|(a− b).

Demostracion. Por definicion tenemos que p|(a2 − b2) = (a+ b)(a− b). Como p esprimo se concluye

19

Problema 2.1.3. Muestre que si f(x) es un polinomio con coeficientes enteros ysi f(a) ≡ k (mod m), enonces f(a+ tm) ≡ k (mod m) para todo t ∈ Z

Demostracion.

f(a+ tm) =

n∑i=0

ai(a+ tm)i,

≡n∑i=0

aiai (mod m),

≡ k (mod m).

2.2. Raıces primitivas y residuos de potencias

Problema 2.2.1. Encuentre una raız primitiva de 3; del primo 5; del primo 7; delprimo 11 del primo 13.

Demostracion. Para p = 3 tenemos que 2 es raız primitiva. Para p = 5 tenemos2 tambien es raız primitiva. Para p = 7 tenemos que 3 es raız primitiva. Parap = 11 tenemos que 2 es raız primitiva. Para p = 13 tambien tenemos que 2 es raızprimitiva.

Problema 2.2.2. Sea p un primo impar. Pruebe que a pertenece al exponnte 2modulo p si y solo si a ≡ −1 (mod m).

Demostracion. Si a pertenece al exponente 2 modulo p entonces a2−1 ≡ 0 (mod p),por lo que p|(a + 1)(a − 1). Ası, p 6 |a − 1 pues eso serıa una contradiccion con lahipotesis. Luego p|a + 1, y por ende a ≡ −1 (mod p). Por otra lado, si a ≡ −1(mod p), entonces a2 ≡ 1 (mod p), por lo que pertenece al exponente 2

Problema 2.2.3. Si a pertenece al exponente h modulo m, prueebe que ninguno delos a, a2, a3, . . . , ah son congruentes entre sı modulo m.

Demostracion. Supongamos que existen i, j tales que ai ≡ aj (mod m) y 0 < i <j < h. Ası ai−j+h ≡ 1 (mod m), donde i− j + h < h contradiccion.

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3. Reciprocidad cuadratica y formas cuadrati-

cas

3.1. Residuos cuadraticos

3.2. Reciprocidad cuadratica

3.3. El sımbolo de Jacobi

Eder Contreras Ordenes Estudiante de Licenciatura en matematicas, Uni-versidad de chile.

Sebastian Jara Cifuentes Profesor, Licenciado y Magister en matematicaspor la Pontificia Universidad Catolica de Valparaiso. Actualmente cursa elprograma de Magister en Fısica por esa misma casa de estudios.

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