CALCILO EJERCICIOS INTEGRADOR

UNIVERCIDAD POLITECNICA SALESIANA

Introducción.

El cálculo diferencial es una materia que estudia las matemáticas.Conceptos tales como vectores, derivadas, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera más formal, alas derivadas con sus diferentes reglas de resolver.

OBJETIVOS:

1) .Resolver ecuaciones aplicando diferentes reglas como la de hospital etc.

2) Aplicación de las derivadas.3) Reconocer los tipos de

intervalos.4) Utilizando procesos resolver

las derivadas con sus respectivas reglas.

Marco teórico.

1. EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LADERIBADA.

1. Costo del Combustible: Unautomóvil viaja 15000 millas alaño y recorre “x” millas porgalón. Suponiendo que el costopromedio del combustible es de$2,76 por galón, calcular el costoanual C del combustible consumidoen función de “x” y utilizar estafunción para completar la tabla:

Tabla 1

COSTO DE COMBUSTIBLE

x 10 15 20 25 30 35 40c 414

02760

2070

1656

1380

1182,85

1035

dsdx

414 184

103,5

66,24

46 33,79

25,87

1.2 RESOLUCION

C= (galones de combustible utilizado)

C=15000millas

X (2,76)

C¿41400x

ddx=

41400x2

(Derivamos utilizando la regla delcociente.)

dcdx=

41400x2

x→ millas recorridas x galón

1) six=10 2¿x=15

C=4140010 =4140 c=

4140015 =2760


dcdx=

41400(10)2

=414 dcdx

=41400(15)2

=184

3) x=20 4) x=25

C=4140020

=2070 c=

4140025 =1656

dcdx=

41400(20)2

=103,5

dcdx=

41400(25)2

=66,24

5) x=30

C=4140030 =1380

dcdx=

41400(30)2

=46

6) x=35

c=4140035 =1182,85

dcdx=

41400(35)2

=33,79

7) x=40

c=4140040 =1035

dcdx=

41400(40)2

=25,87

2. EJERCICIO

Distancia de Frenado: Al momentode aplicar los frenos, un vehículoviaja a 66 pies/s (45 millas porhora). La función posición delvehículo es (𝑡) = −8,25𝑡2 +66𝑡,donde s se mide en pies y t ensegundos. Utilizar esta funciónpara completar la tabla yencontrar la velocidad mediadurante cada intervalo.

Tabla 2

FUENTE: LARSON, Ron, La Derivada,“Derivación y Razón de Cambio”, Diciembre2014.

2.1 DESARROLLO.

2.1.1 PRIMER PASO

Para encontrar S (t) Reemplazamoslos valores en la función que tenemos en el problema

S (t) = S (t) =−8, 25t2+66tS (0) = −8, 25(0)2+66(0)S (0) =0 pies


S (t) =−8, 25t2+66tS (1) = −8, 25(1)2+66(1)S (1) = 57, 75 pies

S (t) =−8, 25t2+66tS (2) = −8, 25(2)2+66(2)S (2) = 99 pies

S (t) =−8, 25t2+66tS (3) = −8, 25(3)2+66(3)S (3) = 123, 75 pies

S (t) =−8, 25t2+66tS (4) = −8, 25(4)2+66(4)S (4) =132 pies

2.1.2 SEGUNDO PASO.Para encontrar V (t) derivamos lafunción.

V (t) =s’ (t)S (t) =−8, 25t2+66tV’ (t) = −16,5t + 66

V (t) = −16,5t + 66V (0) = −16, 5(0) + 66V (0) =66

V (t) = −16,5t + 66V (1) = −16, 5(1) + 66V (1) =49, 5

V (t) = −16,5t + 66V (2) = −16, 5(2) + 66V (2) =33

V (t) = −16,5t + 66V (3) = −16, 5(3) + 66V (3) =16,5

V (t) = −16,5t+66

V (4) = −16, 5(4) + 66V (4) = 0

TERCER PASODerivamos V’ (t)= −16,5t + 66Para encontrar. A’’ (t) = −16, 5

Nos quedaría. A’’ (t) = −16, 5

Esto quiere decir que la aceleración va a ser en todo el tiempo constantet 0 1 2 3 4

S(t)

0 57,75 99 123.5 132

V(t)

66 49,5 33 16,5 0

A(t)

16,5 16,5 16,5 16,5 16,5

CUARTO PASO.

Encontrar la velocidad media decada uno de los valores tenemos.

Desarrollo. Sumar el valor queesta antes y después de cadanúmero que se quiera encontrar lavelocidad media en este caso noquedaría así.

Velocidad media en el tiempo (1)

66+49,52

=57,75


49+332

=41,25



33+16,52

=24,75


16,5+0

2=8,25

COMO RESULTADO TENEMOS ESTOSVALORES.[66; 49, 5] Vm= 57,75pies/s[49, 5; 33] Vm=41, 25 pies/s[33; 16, 5] Vm=24, 75 pies/s[16, 5; 0] Vm=8, 25 pies/s

3. EJERCICIO

Resistencias conectadas enparalelo: Si dos resistencias deR1 y R2 ohm están conectadas enparalelo en un circuito eléctricopara formar una resistencia de Rohm; el valor de R se puedeencontrar a partir de la ecuaciónindicada en la figura:

Figura 1.

FUENTE: THOMAS, JR., GEROGE B, LaDerivada, “Razones de Cambio”, Diciembre2014.

Si R1 decrece a razón de 1 ohm/s yR2 aumenta a razón de 0,5 ohm/s,¿a qué razón cambia R cuando R1 =75 ohm y R2 = 50 ohm?

1.2 DESARROLLO.

1.2.1 DATOS,π=amnios

S=segundos

dR1dt

=−1πs

dR1dt

=0.5πs

dRdt

=20

1.2.2 RESOLUCION

R1= 75π R2=50π

1R=

1R1

+21R2


1R=R1+R2R1.R2

R=R1.R2R1+R2

R=uv U=R1.R2

V=R1+R2

dvdt

=R2+R1dt

+R1 dBdt

dvdt

=dR2dt

+dR1dt

dRdt=

dudt

v−udvdt

V2

dRdt

=¿

R2+dR1dt

+R1dR2dt (R2+R1 )−dR2

dt+dR1dt

(R1.R2)

¿¿

dr1dt

=¿

50(−1)+75(0.5) (50+75)−(0.5−1)(75.50)¿¿

dR1dt

=0.02π /S

4. Según la ley de Boyle, si latemperatura de un gas confinado semantiene fija, entonces elproducto de la presión P y elvolumen V es constante. Supongaque, para cierto gas, PV= 800

donde P se mide en libras porpulgada cuadrada y V en pulgadascubicas.

DATOS:

P= Presión

V = Volumen Formato ecuación

DESARROLLO

a) Encuentre la razón de cambiopromedio de P cuando V seincrementa de 300 a 350 pulg3.

- La razón de presión con respectoal volumen.

P v = 800

V=800V

DERIVAMOS.

800V-1 = -800-2 = −800V2

dPdV

=−800V2

Cuando V= 300 pulg3

dPdV

=−800(300 )2= -0,0089 Psi/Pulg3

Cuando V= 350 pulg3

dPdV

= −800(350 )2

=−00065 PsiPul3

dPdV

promedio=−0.0089−0.0065

2 =-

00077 PsiPul3


b) Exprese V como función de P ydemuestre que la razón de cambioinstantáneo de V respecto a P esinversamente proporcional alcuadrado de esta.

PV= 800

dVdP

=−800P2

c) Utilizar la derivada parademostrar que el ritmo de cambiode la presión es inversamenteproporcional al cuadrado delvolumen.

-Demostrado sobre lo que hacereferencia al literal (c)

5. Vaciado de un depósitohemisférico:

De un depósito de formahemisférica de radio 13 m,ilustrado de perfil en la figura2, el agua fluye a razón de 6m3/min. Responda las siguientespreguntas: Dado que el volumen deagua en el depósito hemisférico deRadio R es 𝑉 = (𝜋3 )2(3𝑅 −𝑦)cuando el agua tiene “y” metros deprofundidad.

DESARROLLO.

a) ¿A qué razón cambia el líquidocuando el agua tiene 8 m deprofundidad?

π3

+y2 (3R−y )2

dwdt

=π3

¿


dydt

=¿

dydt

=1

144.π(−6)

dydt

=−124π

mmin

dydt

=0.013

b) ¿Cuál es el radio r de lasuperficie del agua cuando éstatiene y m de profundidad?

r2+ (13-y¿2

r2=169-y2

r=√26y−y2m

r= (26y-y2¿1 /2

drqt

=12

¿(26-2y)dydt

drdt=

13−y√26y−y2

dydt

drdty=8=

13−8√26 (8 )−¿¿¿

(−124π)

512(

−124π) =

−5288π= -5,52x10

−3

c) ¿A qué razón cambia el radio rcuando el agua tiene 8 m deprofundidad?

Figura 2.

FUENTE: THOMAS, JR., GEROGE B,Aplicaciones de la Derivada, “Razones deCambio”, Diciembre 2014.

6. Preparación de café: El caféestá pasando a través de un filtrocónico hasta una cafeteracilíndrica (figura 3), a una razónde de 10plg3/min.

DESARROLLO.

a) ¿Qué tan rápido sube el niveldel líquido en la cafetera cuando


el café del cono tiene 5 pg. deprofundidad?

Primero aplicamos la formula.V= πr²hSegundo: la velocidad es de:10 pulg³/minTercero: remplazamos el cubo en lafunción formula de VV= π (3)²hV= π9hDv/dt= 9π dh/dtDh/dt= 1/9π (b)

Dh/dt= b/9π pulg³/min

b) ¿Qué tan rápido disminuye elnivel del cono en ese momento? Primero tenemos que la rapidez quedisminuye es der= h/2V= 1/3π (3)²hV= 1/3π (h/2)²hV= 1/3πh²/4h

Figura 3.

FUENTE: THOMAS, JR., GEROGE B,Aplicaciones de la Derivada, “Razones deCambio o Tasas Relacionadas”, Diciembre2014.

7. En cada una de las siguientesfiguras se genera una ilusiónóptica por intersecciones derectas con una familia de curvas.En todos los casos, las rectasparecen ser curvas. Encontrar elvalor de dy/dx para los valores dex y y.

Figura 4.

a) Circunferencia: x2 + y2 = C2x = 3, y = 4, C = 5


DESARROLLO.

c) Curvas Coseno

Y = Cos (x)

x=π3y=

π3v=

π3

FUENTE: LARSON, Ron, La Derivada,“Derivación y Razón de Cambio”, Diciembre2014.

EJERCICIOS DE OPTIMIZACIÓN

1. Se desea transportar uncargamento de computadoras porvalor de U$S 50000 desde el puertode Manta hacia Cuenca. Se suponeque el viaje se hará a velocidadconstante v en Km / h. Las normasde circulación establecen que: 40Km/h ≤ v ≤ 75 Km/h.


El consumo de combustible vieneexpresado por la relación:

Gc=10+ V2

250∗¿/h

El conductor cobra un salario de12 U$S/h y se supone que noinfringe las normas de velocidad.Si el combustible que necesita elcamión vale 1.037 U$S/ galón tepedimos:

RESOLUCIÓN.

a) Calcula el costo de combustibleCC en U$S / Km. Costo de combustible

¿(10+v2250 )Hh .(0.27v$

h)

=(10+v2250 ).(0.27)

v$h

b) Calcula el costo de salario enU$S / Km y el costo total en U$S /Km en función de v.

(10+v2250 ).(0.27)

v$h

v v$km

= (10v

+v250

)(0.27)v$km

c) Determina cuál es la velocidadmás económica para la empresa y elcosto del viaje si la distanciarecorrida fue de 400 Km.

g (40 )=(1040+40250 )0.27+

1240

g (40 )=0.41 v$km

g (75 )=(1075+75250 )0.27+

1275

g (75 )=0.28 v$hd) ¿Cuánto se gastó en salario ycuánto en combustible?

Costo de combustible=

Costo de combustible=

(10+V2

250 )(0.27)v$k

v kmhCosto de combustible=

(10v +

V2

250)(0.27)

v$km


2. Una empresa cuencana que sededica a la producción de tarjetaselectrónicas recibe un pedido de800000 unidades de cierto tipo detarjeta con una complejidad mediapara el ensamblaje de dispositivoselectrónicos. La fábrica posee 10máquinas, cada una de las cualespuede producir 10000 tarjetas deltipo solicitado por hora. El costode poner en funcionamiento lasmáquinas es de U$S 250 pormáquina. Una vez puestas enfuncionamiento la operación estácompletamente automatizada deforma que sólo necesita de dos


supervisores de producción cuyosalario es de 4.80 U$S por hora.

DATOS:

Tarjeta electrónica 800000 Maquina cada/maquina produce 10000 Tarjetas /h

Costo de funcionamiento 250 $/h

Salario de supervisor 4,80 $/h

Horas trabajadas = H

Maquinas Ocupadas = M.o.

# Supervisor’s = S

Salario= C/S =CS =4.80 $/h

Ganancia del supervisor =Gs

Costo de producción =CP

X=#tarjetas por pedidos

Tm= Tarjetas por cada Maquina por hora

Cf =Costo de Funcionamiento porcada Maquina

DESARROLLO

PRIMER LITERAL.

a) ¿Cuántas máquinas deberánponerse en funcionamiento para queel costo de producción sea mínimo?

- Deben ponerse en funcionamientodiez maquinas.

SEGUNDO LITERAL

b) ¿Cuántas horas trabajarán lasmáquinas para cumplir con el

pedido y cuánto ganará elsupervisor?

HORAS QUE TRABAJARAN LAS MAQUINAS

H=x

MO (Tm)H

H=800.000

MO(10.000)

H=8GANANCIA DEL SUPERVISOR

GS= H.CS

Gs=8(4,80)

Gs=$38,4

c) ¿Cuál es el costo de puesta enfuncionamiento del número óptimode máquinas?

CP=Cf .MO .H + H.S.CS

CP=250PIES/H .(10).(8H)+8H(2)(4.80$/H)

CP= 20000 + 76,8

CP= 20 076.80 cent.

d) ¿Usted como gerente de estaempresa debe asignar un precio porla venta de cada tarjeta, cuálsería el porcentaje de utilidadque elegiría? Explique surespuesta.

20 076.80 /8000 000= 0.025

0.025x0.12 =3x10^3

3x10^3+0.025=0.028


30%

Este porcentaje Para mí esfavorable para obtener másganancias. En menos tiempo

e) Obtenga las respectivasgráficas de las funciones eidentifique sus respuestas sobrelas gráficas.

REPRESENTACIONES GRAFICAS

PRIMERA FUNCIO

F(X)=8000.000X10.0000

SEGUNDA REPRESENTACION GRAFICA

Y=4,8x

3. Doblado de Papel: Se coloca unahoja de papel de 8,5 por 11pulgadas sobre una superficieplana. Una de las esquinas secoloca sobre el lado opuesto máslargo, como se muestra en lafigura 4, y se mantiene ahíconforme se aplana el papelsuavemente. El problema es hacerla longitud del pliegue tanpequeña como sea posible. LlamamosL a la longitud. Inténtelo conpapel.

a) Demuestre que

l2=2x2

2x−8,5b) ¿Qué valor de x minimizal2?

c) ¿Cuál es el valor mínimo de L?

Figura 4.

FUENTE: THOMAS, JR., GEROGE B,Aplicaciones de la Derivada,“Optimización”, Diciembre 2014.


4. La cantidad de iluminación deuna superficie es proporcional ala intensidad de la fuenteluminosa, inversamenteproporcional al cuadrado de ladistancia desde la fuenteluminosa, y proporcional a sen(θ), donde θ es el ángulo al cualla luz incide sobre la superficie.Un cuarto rectangular mide 10 por24 pies, con un techo de 10 pies.

Figura 5.

FUENTE: LARSON, Ron, La Derivada,“Ejerciciocios de optimización”, Diciembre2014.

a) Determinar una función quepermita calcular la cantidad deluz en función de la altura (x) dela fuente luminosa.

b) Determinar la altura a la cualla luz debe ubicarse para permitirque las esquinas del piso recibanla mayor cantidad posible de luz.

c) Si se cuenta con una lámparaincandescente de 100W queproporciona una intensidadluminosa de 130cd y una lámparafluorescente (“Foco Ahorrador”) de40W que mantiene una intensidadluminosa de 200cd, ¿cuál sería suselección para colocar en elcuarto descrito en el problema?Justifique su respuesta de acuerdocon la información obtenida en elpunto anterior y grafique lafunción de cantidad lumínica paracada tipo de lámpara.


5. Diseño de una maleta: Se doblaen dos una hoja de cartulina de 24por 36 pulgadas para formar unrectángulo de 24 por 18 pulgadas,como se muestra en la figurasiguiente. Después se cortan, delas esquinas del rectángulodoblado, cuatro cuadradoscongruentes de longitud x porlado. Se desdobla la hoja y lasseis cejas se doblan hacia arribapara formar una caja con lados yuna tapa.

a) Escriba una fórmula para elvolumen V(x) de la caja.

b) Encuentre el dominio de V parala situación del problema, ygrafique V en su dominio.

c) Use un método gráfico paraencontrar el volumen máximo y elvalor de x que lo da.

d) Confirme analíticamente elresultado que obtuvo en el inciso(c).

e) Encuentre el valor de x que daun volumen de 1120 plg3.

f) Escriba un párrafodescribiendo los temas quesurgieron en el inciso (b).

Figura 6

FUENTE:THOMAS, JR.,GEROGE B,Aplicaciones de la Derivada,“Optimización”, Diciembre 2014.


6. El comedero de la figura 7 sedebe hacer con las dimensiones quese muestran. Solamente se puedevariar en el ángulo ϑ. ¿Qué valorde ϑ maximizará el volumen delcomedero?

Figura 7.

FUENTE:THOMAS, JR.,GEROGE B,Aplicaciones de la Derivada, “Ejercicios deOptimización”, Diciembre 2014.


7. El mecanismo de pistón ycigüeñal de un vehículo se modelacomo se observa en la figura 8

Figura 8.

FUENTE:LARSON, Ron, La Derivada,“Optimización”, Diciembre 2014.

El cigüeñal está girando convelocidad angular constante de𝛳 ̇=150 rad/s. determinar la

a) Ecuación de velocidad delpistón

b) Velocidad del pistón P en elinstante ϴ=300

c) Posición del pistón en ϴ=450

d) Trace la gráfica de lavelocidad del pistón

e) Haga una descripción delcomportamiento de la gráfica develocidad f) En qué posición delpistón la velocidad es cero, enqué posición del pistón lavelocidad es máxima y/o mínima.


8. Una ventana tiene forma derectángulo como lo indica lafigura 9, y está coronada con unsemicírculo. El rectángulo es devidrio claro, mientras que elsemicírculo es de vidrio de color,y transmite solamente la mitad deluz por unidad de área encomparación con el vidrio claro.El perímetro total es fijo.Encuentre las proporciones de laventana que admitan la mayorcantidad de luz. Desprecie elespesor del marco.

Figura 9.

FUENTE:THOMAS, JR.,GEROGE B,Aplicaciones de la Derivada, “Ejercicios deOptimización”, Diciembre 2014.

DESARROLLO.

Perímetro de la ventana es.

P = 2r + 2h + π r

R= Radio del semicírculo.


H = altura del semicírculo

La cantidad de luz transmitida esproporcional a.

A = 2rh r ¼ π r2 = r (?-2y- πr)+1/ π πr2

A= rp- 2r2-3/4 πr2

dAdR

=P−4r 32 π r = 0

DONDE

r=+2p8+3π

2h=P+ 4P8+3π

2Pπ8+3π

=(4+π)P8+3π

POR LO TANTO

2rh

=84π

ESTAS SON LAS PORPOSIONES QUEADMITEN LA MAYOR CANTIDAD DE LUZDESDE:

d2Adr2=−4−

32π

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