ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

127

ΔΕΥΤΕΡΗ ΑΛΛΑΓΗ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ: “ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ”

ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 1

του Αθανάσιου Στράντζαλου

Εκπαιδευτικού - Διδάκτορος του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Εισαγωγή, σελ. 127 – Η οριοθέτηση του καινούργιου πλαισίου, σελ. 128 – Το μεθοδολογικό πλαίσιο που προκύπτει, σελ. 129 – Τα βασικά ευθύγραμμα τμήματα ενός τριγώνου “συγκλίνουν”, σελ. 130 – Σημειακά βάρη και υπο-λογισμοί, σελ. 133 – Ιστορικό σημείωμα, σελ. 136 – Επιλεγόμενα, σελ. 140.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Όσα ακολουθούν έχουν μεθοδολογικό χαρακτήρα: περιγράφουν, με ενδεικτικά παραδείγματα, μια μέθοδο για την επίλυση γεωμετρικών προ-βλημάτων σε ένα πλαίσιο σύζευξης Μαθηματικών και Φυσικής, το οποίο “νομιμοποιείται” στη Θεωρητική Γεωμετρία μέσω του “νόμου ισορροπίας των μοχλών” 2 ως αξιώματος. Προσφέρεται, έτσι, μια αφορμή για να συ-ζητηθεί στην τάξη κατά συγκεκριμένο τρόπο η εμβέλεια μιας μαθηματι-κής μεθόδου που έχει κρίσιμα διδακτικά πλεονεκτήματα, δεδομένου ότι: - είναι “καλά διαγραμμένη”, αφού μπορεί να περιγραφεί γενικά, χωρίς να εκφυλίζεται σε “συνταγή”, - λειτουργεί με βασικό “εργαλείο” το αξίωμα που αποτελεί την ειδοποιό διαφορά του “πλαισίου” που προκύπτει ως προς τα υπόλοιπα και - είναι εξαιρετικά αποτελεσματική, όπου μπορεί να εφαρμοσθεί.

Η μέθοδος που θα μας απασχολήσει απορρέει από την πρωτοπορι-ακή ιδέα του Αρχιμήδη να χρησιμοποιήσει τη “συνθήκη ισορροπίας των μοχλών” για τη σύγκριση εμβαδών και όγκων καμπυλογράμμων σχημάτων! Η ιδέα αυτή και οι εφαρμογές της3 στο γνωστό ως “Μέθοδος” έργο του 1 Το κείμενο είχε προετοιμασθεί στα πλαίσια του πειραματισμού ενός καινούργιου προγράμματος για τη Γεωμετρία του Λυκείου, που άρχισε τον Σεπτέμβριο του 2004 στο Πειραματικό Σχολείο του Πανεπιστημίου Αθηνών και διακόπηκε τρεις -περίπου- μήνες μετά, χωρίς να προλάβει να διδαχτεί η ύλη του, η οποία αντιστοιχεί στην “5η Ενότητα” του προγράμματος που αναλύεται στις σελίδες 67-80 του παρόντος τό-μου. Το κείμενο σχετίζεται και με τη δημοσίευση του υποφαινόμενου: “Μια πρόταση “αλλαγής πλαισί-ου” στις συλλογιστικές διαδικασίες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας του Λυκείου, με αφορμή μέρους του έργου “Περί επιπέδων ισορροπιών” του Αρχιμήδη, Πρακτικά της 4ης Διεθνούς Διημερίδας Διδακτικής Μαθη-ματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Ρέθυμνο 2005, Τόμος Ι, σελ. 287-296”.

2 Πρβλ. το Θεώρημα της σελίδας 108 του παρόντος τόμου.

3 Η ευρηματική μέθοδος του Αρχιμήδη (πρβλ. το “Ιστορικό σημείωμα” στο τέλος του κειμένου) έλυσε προβλήματα, για την αντιμετώπιση των οποίων δεν υπήρχε τότε αποτελεσματική μέθοδος. Σήμερα, τα εμβαδά καμπυλογράμμων σχημάτων υπολογίζονται εύκολα με ολοκληρώματα, την έννοια των οποίων είχε κατα-νοήσει πλήρως, από τότε (πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια πριν), ο Αρχιμήδης.

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

128

Αρχιμήδη αποτελούν, επί της ουσίας, τη “ληξιαρχική πράξη γέννησης” τής (επιστημολογικού χαρακτήρα) έννοιας “αλλαγή παραδείγματος”, η οποία εμπλουτίζει σήμερα τους τομείς της Φιλοσοφίας (T.S. Kuhn, 1962) και της Διδακτικής (R. Douady, 1986). Η ύλη του κειμένου, ως “αλλαγή παραδείγματος” για το “Ευκλείδειο πλαίσιο”, έχει τις αναμενόμενες παιδευτικές - εκπαιδευτικές αρετές:

Όπως θα φανεί στη συνέχεια, αυτή η “αλλαγή μεθοδολογικού πλαισίου” έχει το πλεονέκτημα να επιτρέπει απλές λύσεις σε συγκεκριμένου τύπου γεωμετρικά προβλήματα, με λίγο - πολύ προδιαγεγραμμένη στρατηγική. Οι αρετές αυτές αποτρέπουν περιττές πολυπλοκότητες και βάζουν στο περιθώριο τα “τεχνάσματα”, τα οποία οφείλονται συχνά σε αδυναμία επιλογής της εκάστοτε καταλληλότερης μεθόδου. Εξοικονομείται, έτσι, διδακτικός χρόνος προς όφελος της παροχής “στοιχείων παιδείας”.

Οι ίδιες αρετές αναδεικνύουν το “πλαίσιο” αυτό σε σημαντικό, όσον αφορά την “άσκηση των μαθητών στην επιλογή της εκάστοτε καταλληλό-τερης μεθόδου”, που έχει αυτόνομη παιδευτική αξία και υπηρετείται, κα-τά μοναδικό τρόπο, από τα διακριτά μεταξύ τους “πλαίσια”, στα οποία μπορεί να διαιρεθεί -και για παιδευτικούς λόγους- η Γεωμετρία.

Η ΟΡΙΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΙΝΟΥΡΓΙΟΥ “ΠΛΑΙΣΙΟΥ”

Οι τρεις έννοιες που οριοθετούν το “πλαίσιο” διευκρινίστηκαν στη σελίδα 113 του παρόντος τόμου, ως “αφαιρέσεις” των εποπτικών εννοι-ών “βάρος”, “υπομόχλιο” και “μοχλός”, και είναι: - το σημειακό βάρος (Α,a) (με σημείο εφαρμογής το Α και “βάρος” a), - το ευθύγραμμο σύστημα, το οποίο αποτελείται από ένα ευθύγραμμο τμήμα [ΑΒ] και από δύο σημειακά βάρη (Α,a), (Β,b) στα άκρα του, και - το κέντρο βάρους του ευθύγραμμου συστήματος: ένα εσωτερικό ση-μείο, Υ, του [ΑΒ], που αντιστοιχεί στο υπομόχλιο του μοχλού ΑΒ.

Ο συσχετισμός της φυσικής με την αφηρημένη υπόσταση των τρι-ών αυτών εννοιών, που έγινε στις σελίδες 103-114 του παρόντος τόμου, μας διευκολύνει να αποδεχθούμε τα δύο αξιώματα που θα τις διέπουν και ακολουθούν. Τα αξιώματα αυτά, μαζί με εκείνα των δύο “πλαισίων” που προηγούνται προγραμματικά, συνδιαμορφώνουν το “πλαίσιό” μας. Το πρώτο αξίωμα είναι το διαδικαστικό “εργαλείο” του “πλαισίου”, που επιτρέπει να συνθέτουμε πολλά σημειακά βάρη σε ένα, ή να αναλύου-με ένα σημειακό βάρος σε περισσότερα (πρβλ. τη Διευκρίνιση στη σελίδα 106 του παρόντος τόμου).

Αξίωμα (Φ1): Το ευθύγραμμο σύστημα με σημειακά βάρη (Α,a), (Β,b) και κέντρο βάρους Υ θεωρείται ισοδύναμο με το σημειακό βάρος (Υ, )+a b : το

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

129

ένα υποκαθιστά το άλλο, είτε όταν θεωρούνται καθ’ εαυτά, είτε όταν συνυπ-άρχουν με άλλα ευθύγραμμα συστήματα ή/και σημειακά βάρη.

Το δεύτερο αξίωμα είναι ο “νόμος ισορροπίας των μοχλών”, που (όπως είδαμε στις σελίδες 103 -114 του τόμου) απέδειξε (με Ευκλείδειες διαδικασίες) ο Αρχιμήδης. Το αξίωμα αυτό θεσμοθετεί τον τρόπο προσ-διορισμού του κέντρου βάρους ενός ευθυγράμμου συστήματος. Πρόκειται για το υπολογιστικό “εργαλείο” του “πλαισίου”:

“Αξίωμα (Φ2)”: Στο προηγούμενο αξίωμα, το κέντρο βάρους, Υ, προσδιο-

ρίζεται από την ισότητα: YA

= .YB

ab

ΤΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ

Θεωρώντας τις πλευρές ενός τριγώνου (και, γενικότερα, ενός ευθυ-γράμμου σχήματος), ως φορείς ευθυγράμμων συστημάτων με κατάλλη-λα επιλεγμένα “βάρη” στις κορυφές του, προκύπτει μια, διαδικαστικά γόνιμη, “αλλαγή παραδείγματος”, η οποία ενεργοποιεί τα προηγούμενα δύο αξιώματα και μας διευκολύνει να διερευνήσουμε “συμπεριφορές” στοιχεί-ων του τριγώνου. Το κέρδος εντοπίζεται, κυρίως, στο (συνολικό) κέντρο βάρους των “βαρών” που επιλέξαμε (συσχετίζοντας δεδομένα και ζητού-μενα) και είναι ευκρινές στις δύο επόμενες κατηγορίες προβλημάτων, διευκρινιστικές λεπτομέρειες των οποίων θα ακολουθήσουν:

1η κατηγορία: Η διερεύνηση του ερωτήματος, αν “συντρέχουν” (: περνά-νε από το ίδιο σημείο) οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι, ή τα ύψη ενός τριγώ-νου, ανήκει στα βασικά της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και εμπίπτει στις “αρμοδιότητες” του “πλαισίου” μας. Για την όποια απάντηση, ενδείκνυ-ται να επιλεγούν “βάρη” στις κορυφές του τριγώνου έτσι, ώστε το κέντρο βάρους τους να συμπέσει με το αναμενόμενο κοινό σημείο.

2η κατηγορία: Ανάλογες διαδικασίες μπορούν να διευκολύνουν και υπο-λογισμούς, που αλλιώς θα γίνονταν δύσκολα, με επίκληση εξειδικευμέ-νων γεωμετρικών συμπερασμάτων ή/και επιλογή “βοηθητικών γραμ-μών”. Ενδεικτικό παράδειγμα:

Με τον συμβολισμό του σχήματος, αν ΑΕ

pΕΓ

=

και ΓΔ

q,ΔΒ

= να υπολογισθούν οι λόγοι: ΑΚ ΒΚ

, .ΚΔ ΚΕ

Υπολογισμοί: Επιλέγουμε τα σημειακά βάρη (Α, )a , (B, )b και (Γ, )c στις κορυφές του τριγώνου έτσι, ώστε το (κρίσιμο για τα δεδομένα και τα

Κ Ε

Δ Γ

Β

Α

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

130

ζητούμενα) σημείο Κ να είναι το κέντρο βάρους τους. Αυτό σημαίνει ότι το Δ θα πρέπει να είναι το κέντρο βάρους των δύο τελευταίων σημεια-κών βαρών, ώστε το σημειακό βάρος (Δ, + ),b c το οποίο θα τα “συνθέ-σει” (: Αξίωμα (Φ1)), να “συνδυάζεται” με το (A, )a σε ένα ευθύγραμμο σύστημα με κέντρο βάρους το Κ. Τότε, από το Αξίωμα (Φ2), έχουμε:

ΓΔ= = q q

ΔΒ⇒ = ⋅

b b cc

και AK + (q +1) .KΔ

= = ⋅b c c

a a

Με το Ε αντί του Δ, βρίσκουμε: ΑΕ

pΕΓ

= =ca

ΑΚ p(q +1).

ΚΔ⇒ =

Εργαζόμενοι ανάλογα, υπολογίζουμε: BK p 1.KE p q

+=

⋅

Κρίσιμη παρατήρηση: Η προηγούμενη διαδικασία “νομιμοποιείται Ευ-κλείδεια” στη Γεωμετρία μας με τα προηγούμενα δύο αξιώματα και

εφαρμόζεται, όπου, βέβαια, μπορεί να λειτουργήσει, χωρίς αλλαγές ως προς τη διαδικασία: το μόνο που χρειάζεται είναι οι κατάλληλες (για το εκάστοτε ζητούμενο) επιλογές σημειακών βαρών, ώστε να λειτουργεί, όπως περιγράψαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, το κέντρο βάρους τους.

ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ “ΣΥΓΚΛΙΝΟΥΝ”

1. Θεώρημα (Μενελάου - Ceva): Με τον συμβολισμό του επόμενου σχή-ματος, η αναγκαία και ικανή συνθήκη (: κριτήριο) ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα [ΑΔ], [ΒΕ], [ΓΖ] να “συντρέχουν” είναι η 1 1 1 2 2 2α β γ α β γ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . Απόδειξη του “αναγκαίου”: Έστω ότι τα ευθύγραμμα τμήματα “συντρέ-χουν” στο Κ (όπως στο επόμενο σχήμα), το οποίο θα αναχθεί σε κέντρο βάρους των σημειακών βαρών που θα επιλέξουμε στις κορυφές του τριγώ-

νου. Επιλέγουμε, λοιπόν: - τα σημειακά βάρη (Α, )a και (B, )b έτσι, ώστε το Ζ να είναι το κέντρο βάρους του ευθυγράμμου συστήματος που ορίζουν, και - το σημειακό βάρος (Γ, )c έτσι, ώστε το Δ να είναι το κέντρο βάρους του ευθυγράμμου συστή-ματος των σημειακών βαρών (B, )b και (Γ, ).c Δεν έχουμε τη δυνατότητα άλλων επιλογών. Ωστόσο, τα τρία ήδη επιλεγμένα σημειακά βάρη καθορίζουν το κέντρο βάρους τους, που είναι το

Κ, ως σημείο τομής των ευθυγράμμων τμημάτων [ΓΖ] και [ΑΔ], αφού, σύμφωνα με το Αξίωμα (Φ1), ορίζεται μονοσήμαντα, είτε από τη σύνθε-

1α Γ Δ

Ε Ζ

Β

Α

2α

1β

2β 1γ

2γ Κ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

131

ση του σημειακού βάρους (Z, )+a b με το (Γ, )c , είτε από τη σύνθεση του (Δ, )+b c με το (Α, )a . Αν συμβολίσουμε με Ε το κέντρο βάρους του ευθυγράμμου συστήματος των σημειακών βαρών (Α, )a και (Γ, )c , το Κ (ως κέντρο βάρους των τριών ήδη επιλεγμένων σημειακών βαρών) θα βρίσκεται επί της ευθείας (ΒΕ). Επομένως, το Ε θα βρίσκεται στην τομή των ήδη γνωστών ευθειών (ΑΓ) και (ΒΚ). Τώρα, το Κ θα είναι και το κέντρο βάρους του ευθυγράμμου συστήματος των σημειακών βαρών (E, )+a c και (B, )b , οπότε, από το Αξίωμα (Φ2), έχουμε:

1 1 1

2 2 2

α β γ, , α β γ

= = =c a bb c a

⇒ 1 1 1

2 2 2

α β γ 1 α β γ

⋅ ⋅= ⇔

⋅ ⋅ 1 1 1 2 2 2α β γ α β γ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Η τελευταία ισότητα αποδεικνύει το “αναγκαίο”.

Απόδειξη του ικανού: Έστω ότι ικανοποιείται η συνθήκη. Θεωρούμε ότι το σημείο Κ ορίζεται ως τομή των ευθυγράμμων τμημάτων [ΑΔ] και [ΓΖ]. Έχουμε τη δυνατότητα να επιλέξουμε τα σημειακά βάρη στις κο-ρυφές του τριγώνου όπως πριν έτσι, ώστε τα Ζ και Δ να είναι τα κέντρα βάρους των ευθυγράμμων συστημάτων που προκύπτουν στις πλευρές [ΑΒ] και [ΒΓ] του τριγώνου. Για το Ε δεν έχουμε, προς το παρόν καμία πλη-ροφορία. Αλλά, από τις αμέσως προηγούμενες επιλογές και με εφαρμο-γή του Αξιώματος (Φ2), βρίσκουμε:

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

γ α α β γ β β και 1 γ α α β γ β β

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⇒ = = ⇒ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅b c c b aa b b a c

.

Η τελευταία ισότητα και το Αξίωμα (Φ2) εξασφαλίζουν ότι το Ε είναι το κέντρο βάρους του ευθυγράμμου συστήματος που ορίζεται στην πλευρά [ΑΓ] του τριγώνου από τα σημειακά βάρη που επιλέξαμε. Από αυτό συν-άγεται, όπως πριν, ότι και το ευθύγραμμο τμήμα [ΒΕ] περνάει από το Κ, το μονοσήμαντα ορισμένο κέντρο βάρους των επιλεγμένων “βαρών”.

Άσκηση: Με τον προηγούμενο συμβολισμό, αν τα σημεία Δ, Ε, Ζ διαι-ρούν τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ σε λόγους p:1, q:1 και r:1, αντί-στοιχα, όπου p,q, r∈ , δείξετε ότι τα [ΑΔ], [ΒΕ] και [ΓΖ] έχουν κοινό σημείο τότε και μόνο τότε, αν ισχύει: p q r = 1.⋅ ⋅

Παρατήρηση: Η αναλυτική απόδειξη του προηγούμενου Θεωρήματος περιγράφει καθαρά μια γενική και, εν γένει, επαναλαμβανόμενη μεθο-δολογία του παρόντος “πλαισίου”. Το συμπέρασμα του Θεωρήματος είναι εξαιρετικά εύχρηστο σε γεωμετρικά προβλήματα όπου ζητείται να διαπι-στωθεί, αν συγκεκριμένα ευθύγραμμα τμήματα “συντρέχουν” ή όχι.

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

132

Τα βασικά θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας που ακολου-θούν αποτελούν πορίσματα του προηγούμενου Θεωρήματος. Υπάρχουν, εντούτοις, περιπτώσεις (πρβλ. το 3 στη συνέχεια), όπου το “Ευκλείδειο πλαίσιο” δίνει απλούστερες αποδείξεις σε τέτοιου τύπου ζητούμενα, οπότε ανοίγει ένα παιδευτικό πεδίο δράσης με ζητούμενο την επιλογή της ε-κάστοτε πιο πρόσφορης μεθόδου, μετά από συζήτηση στην τάξη.

2. Θεώρημα: Οι διάμεσοι ενός τριγώνου “συντρέχουν”. Απόδειξη: Το συμπέρασμα είναι άμεση συνέπεια του προηγούμενου Θε-

ωρήματος, αφού εδώ έχουμε: 1 2 1 2 1 2α β γα α , β β , γ γ2 2 2

= = = = = = .

3. Επειδή τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχουν από τις πλευ-ρές της, το “Ευκλείδειο πλαίσιο” δίνει απλούστερη (άρα προτιμητέα) απόδειξη για το επόμενο συμπέρασμα:

Θεώρημα: Οι διχοτόμοι ενός τριγώνου, όπως και οι εξωτερικές διχοτόμοι δύο γωνιών του και η διχοτόμος της τρίτης γωνίας του, “συντρέχουν”.

4. Θεώρημα: Τα ύψη ενός τριγώνου “συντρέχουν” στο ορθόκεντρό του. Απόδειξη: Ενώ το σημείο τομής των διαμέσων, ή των διχοτόμων, ενός τριγώνου βρίσκεται στο εσωτερικό του (γιατί;), το κοινό σημείο (προς το παρόν: αν υπάρχει) των υψών ενός τριγώνου δεν είναι απαραίτητο να είναι εσωτερικό σημείο του, όπως μπορεί να διαπιστώσει εύκολα κανείς θεωρώντας ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο. Θα διακρίνουμε, λοιπόν, περιπτώ-σεις, ανάλογα με το είδος του θεωρούμενου τριγώνου, παραλείποντας την τετριμμένη περίπτωση του ορθογωνίου:

1η περίπτωση: το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. Προκειμένου να εφαρμόσουμε τον χαρακτηρισμό στο 1 και αναφερόμενοι στο επόμενο σχήμα, θα υπο-

λογίσουμε τους λόγους ΒΥΥΓ

, ΓΤΤΑ

, ΑΧΧΒ

:

Ο τύπος του εμβαδού τριγώνων και το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που έχουν ήδη διδαχτεί, δίνουν:

α ΑΥ β ΒΤ γ ΓΧ(ΑΒΓ)

2 2 2⋅ ⋅ ⋅

≡ = = =d ,

τρίγωνο ΑΥΒ: 2 2 2 2

2 22 2 α γ 42ΒΥ γ ΑΥ γ ΒΥα α

− = − = − ⇒ =

dd ,

τρίγωνο ΑΥΓ: 2 2 2 2 2 2

2 2 2

ΒΥα β 4 α γ 4ΥΓ

α ΥΓ α β 4− −

= ⇒ =−

d dd

.

AB = γ, ΒΓ α,= ΓΑ β=

Υ Τ

Χ Β Α

Γ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

133

Ανάλογα: 2 2 2

2 2 2

ΓΤ α β 4ΤΑ β γ 4

−=

−

d

d και

2 2 2

2 2 2

ΑΧ β γ 4ΧΒ α γ 4

−=

−

d

d

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις τρεις τελευταίες ισότητες, βρίσκουμε: ΒΥ ΓΤ ΑΧ

1ΥΓ ΤΑ ΧΒ

⋅ ⋅ = .

2η περίπτωση: το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο. Με τη βοήθεια του επόμενου σχήματος, διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες ΥΑΓ και ΧΓΑ είναι οξείες, οπότε οι ευθείες (ΑΥ), (ΓΧ) τέμνονται στο Ρ. Επειδή και η γωνία ΑΡΓ είναι οξεία, το τρίγωνο ΑΓΡ είναι οξυγώνιο, επομένως εφαρμόζεται σε αυτό η προηγούμενη περίπτωση. Τα ευθύγραμμα τμήματα [ΑΧ] και [ΓΥ] είναι ύ-ψη του τριγώνου αυτού, κατά συνέπεια το τρίτο ύψος του θα περνάει από το σημείο τομής τους, Β, οπότε το [ΡΤ] είναι ύψος του τριγώνου ΑΡΓ, δηλαδή το [ΒΤ] είναι ύψος του αμβλυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Επομένως, τα ύψη του τριγώνου ΑΒΓ “συντρέχουν” στο Ρ (εκτός του τριγώνου), και το Θεώρημα αποδείχθηκε.

Διαπίστωση: Καθεμιά κορυφή και το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζουν τα τρία άλλα σημεία.

Θέμα για συζήτηση αποκλειστικά στην τάξη:4 Το [ΑΥ] είναι ύψος, το [ΒΜ] διάμεσος και το [ΓΔ] διχοτόμος ενός τριγώνου ΑΒΓ: - (α) Διερευνήσετε πότε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα “συντρέχουν”. Μπορεί, τότε, μία από τις γωνίες Β ή Γνα είναι αμβλεία; - (β) Περιγράψετε τον τρόπο “κατασκευής” ενός τέτοιου τρίγωνου, αν γνω-ρίζετε την πλευρά του [ΑΓ] και τη γωνία του Γ. - (γ) Συνοψίσετε σε Θεωρήματα τις απαντήσεις σας στα προηγούμενα ε-ρωτήματα - προβλήματα και τα επιπλέον συμπεράσματα, στα οποία, ενδε-χομένως, θα καταλήξετε.

ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΒΑΡΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

Παράδειγμα 1ο: Το σημείο τομής των διαμέσων ενός τριγώνου διαιρεί καθεμιά τους σε λόγο 2:1. 4 Το θέμα εντάσσεται στο διδακτικό πεδίο “προσομοίωσης στις διαδικασίες του ερευνητή” και (όπως οι διά-σπαρτες στο κείμενο ασκήσεις) στοχεύει στην εμπέδωση βασικών συμπερασμάτων και διαδικασιών που προηγήθηκαν. Είναι σκόπιμο να εντάσσονται στη διδασκαλία τέτοιου τύπου θέματα, που θα συζητούνται στην τάξη, χωρίς να είναι γνωστά από πριν στους μαθητές, ώστε να εξασφαλίζεται η προσωπική τους εμπλοκή και αυτενέργεια, με προφανείς θετικές επιπτώσεις στα “στοιχεία παιδείας” που θα προκύψουν. Το (γ) αφή-νει ανοικτή (και ιδιαίτερα ευκταία) τη δυνατότητα εκπλήξεων, όπως συμβαίνει συχνά στην έρευνα.

Ρ

Γ

Χ

Β

Τ Α

Υ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

134

Απόδειξη: Με τον συμβολισμό του επόμενου σχήματος, το μέσον, Μ, της πλευράς [ΒΓ], θα είναι το κέντρο βάρους του ευθυγράμμου συστή-ματος στην πλευρά αυτή, με σημειακά βάρη (Β,a) και (Γ,a), για τυχόν “βάρος” a. Το σημείο τομής Κ των διαμέσων του τριγώνου είναι το κέν-

τρο βάρους των σημειακών βαρών (Α,a), (Β,a), (Γ,a). Άρα, το Κ θα είναι το κέντρο βάρους του ευθυγράμμου συστήματος με σημειακά βάρη

(M,2 )⋅a και (Α,a), οπότε: AK 2 2 .KM 1

⋅= =

aa

Άσκηση: Βρείτε (α) την ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε να τέμνονται κάθετα δύο διάμεσοι ενός τριγώνου, και (β) το είδος του τριγώνου με πλευρές τις διαμέσους του τριγώνου, όταν ικανοποιείται η συνθήκη.

Παράδειγμα 2ο: Στο επόμενο σχήμα, τα σημεία Δ, Ε, Ζ διαιρούν τις αντί-στοιχες πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ σε λόγο 1:ν, όπου ν∈ . Ζητάμε το

εμβαδόν (ΣΤΡ) συναρτήσει των (ΑΒΓ)≡E και ν. Όπως προκύπτει από το σχήμα, ισχύει:

(ΣΤΡ) [(ΑΡΓ) (ΓΤΒ) (ΒΣΑ)]= − + +E . Αρκεί, λοιπόν, να υπολογίσουμε τα εμβαδά μέσα στην αγκύλη. Θα υπολογίσουμε το (ΑΡΓ), συγκρί-νοντάς το με το (ΑΔΓ), που συγκρίνεται με το E :

Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΔΓ έχουν κοινό ύψος από το Α, οπότε, από τις ιδιότητες των εμβαδών τριγώνων που έχουν αποδει-χτεί στο “μετρικό πλαίσιο”, μας ενδιαφέρει η σχέση των ΒΓ και ΔΓ : Από την υπόθεση και τις ιδιότητες των αναλογιών, βρίσκουμε:

ΓΔ ΓΔ ΔΓ1 1 1 ΔΒ ν ΔΒ ΓΔ ν +1 ΒΓ ν +1

= ⇒ = ⇒ = ⇒+

ΔΓ(ΑΔΓ) 1 ΒΓ ν 1

⇒ = = ⇒+E

(ΑΔΓ)ν 1

=+E .

Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΑΡΓ έχουν κοινό ύψος από το Γ, οπότε θα

ισχύει ΑΡ(ΑΡΓ)

(ΑΔΓ) ΑΔ= . Ο τελευταίος λόγος υπολογίζεται με τη μέθοδο του

“πλαισίου” μας: Επιλέγουμε τα σημειακά βάρη (Α, ), (Β, ), (Γ, )a b c έτσι, ώστε το Ρ να είναι το κέντρο βάρους τους. Τότε, τα Δ και Ζ θα είναι τα κέντρα βάρους των ευθυγράμμων συστημάτων που δημιουργούνται στις πλευρές [ΒΓ] και [ΑΒ], αντίστοιχα, οπότε (Αξίωμα (Φ2)) υπολογίζουμε:

Β Δ Γ

Ζ

Ε

Α

Τ

Σ

Ρ

(Β,a) (Μ, 2 ⋅a ) (Γ,a)

Κ

(A,a)

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

135

ΒΔ ΑΖν ν και ΔΓ 1 ΖΒ 1

= = = = ⇒c bb a

2ν και ν= ⋅ = ⋅b a c a .

Το Ρ, ως κέντρο βάρους του ευθυγράμμου συστήματος που ορί-ζουν τα (Α, )a , (Δ, ) (Δ,ν(ν+1) )+ ≡ ⋅b c a ικανοποιεί την ισότητα

ΑΡ ν(ν 1) ν(ν 1)ΡΔ 1

+ ⋅ += =

aa

,

με τη βοήθεια της οποίας υπολογίζουμε:

2

ΑΡ ΑΡν(ν 1) ν(ν 1) ΑΡ ΡΔ ν(ν 1) 1 ΑΔ ν ν 1

+ += ⇒ =

+ + + + +.

Επομένως: 2 2 2

ν(ν 1) ν(ν 1) ν(ΑΡΓ) (ΑΔΓ)ν ν 1 ν 1 ν ν 1 ν ν 1

+ + ⋅= ⋅ = ⋅ =

+ + + + + + +E E .

Επειδή το αποτέλεσμα εξαρτάται μόνο από τα E , ν και όχι από το ΑΡΓ, συμπεραίνουμε:

2

ν(ΑΡΓ) (ΓΤΒ) (ΒΣΑ) ν ν 1

⋅= = = ⇒

+ +Ε

2

2 2

3ν (ν 1) (ΣΤΡ) 3(ΑΡΓ) 1ν ν 1 ν ν 1

− ⋅ ⇒ = − = ⋅ − = + + + + EE E .

Άσκηση: Σχετίζεται το προηγούμενο συμπέρασμα με το ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου έχουν κοινό σημείο; Σύμφωνα με την απάντησή σας στο προηγούμενο ερώτημα, χρειάζεται κάποια διάκριση περιπτώσεων στην προηγούμενη υπολογιστική διαδικασία;

Παράδειγμα 3ο 5: Ο Αρχιμήδης θεωρούσε ένα ευθύγραμμο τμήμα και ως “ομογενή ράβδο” με αμελητέο πάχος, οπότε το κέντρο βάρους της θα βρίσκεται στο μέσον του. Με αυτή την έννοια, μπορούμε να θεωρήσουμε τις πλευρές ενός τριγώνου ως σημειακά βάρη με σημείο εφαρμογής τα μέσα τους και “βάρος” ανάλογο προς το μήκος τους: αν ΑΒ α= , το “βάρος” επί της πλευράς [ΑΒ] ισούται με α ,⋅μ όπου μ είναι η μονάδα βάρους.

Ποιο είναι το κέντρο βάρους των τριών αυτών σημειακών βαρών;

Θα απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό με τη βοήθεια του επόμενου σχήματος, υποκαθιστώντας τις “ράβδους” [ΒΓ], [ΓΑ] και [ΑΒ] με τα σημειακά βάρη (Μ,α )⋅μ , (Ν,β )⋅μ και (Ρ,γ ),⋅μ αντίστοιχα, όπου Μ, 5 Πρόκειται για θέμα που ενδείκνυται να συζητηθεί αποκλειστικά στην τάξη, αφού προηγουμένως οι μαθητές ενημερωθούν σε ό,τι αφορά την ιστορική πλευρά του θέματος, ενδεχομένως επεξεργαζόμενοι “συνθετικές εργασίες” σε εθελοντική βάση και με ευρύτερο περιεχόμενο.

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

136

Ν και Ρ είναι τα μέσα των αντίστοιχων πλευρών του τριγώνου. Το πρό-βλημά μας έγκειται, λοιπόν, στον προσδιορισμό του κέντρου βάρους, Λ, αυτών των τριών σημεια-κών βαρών, που θα προκύψει από τη σύνθεση του σημειακού βάρους (Μ,α )⋅μ με το (Δ,(β γ) )+ ⋅μ , το οποίο “συνθέτει” τα δύο άλλα σημειακά βάρη.

Επομένως, το Λ θα βρίσκεται στο ευθύγραμμο τμήμα [ΜΔ], με το Δ να προσδιορίζεται, σύμφωνα με το Αξίωμα (Φ2), από την αναλογία:

ΡΔ 2 ΡΜ ΡΜβ βΔΝ γ γ 2 ΜΝ ΜΝ

⋅⋅= = = =

⋅ ⋅μμ

.

Από την ισότητα του πρώτου με τον τελευταίο λόγο και το “Θεώ-ρημα των Διχοτόμων” (που αποδεικνύεται στο “μετρικό πλαίσιο”) συν-άγεται ότι το ευθύγραμμο τμήμα [ΜΔ] είναι η διχοτόμος του τριγώνου ΜΝΡ. Εργαζόμενοι ανάλογα, συμπεραίνουμε ότι το Λ θα βρίσκεται και επί των άλλων δύο διχοτόμων του τριγώνου αυτού, δηλαδή ότι:

το Λ είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου ΜΝΡ.

Το σημείο που βρήκαμε δεν είναι απαραίτητο να συμπίπτει με το “κέντρο βάρους” του τριγώνου, το οποίο, όπως είχε αποδείξει (με Ευκλεί-δειο τρόπο) ο Αρχιμήδης, είναι το σημείο τομής των διαμέσων του, οπό-τε γεννάται το ερώτημα: υπάρχουν τρίγωνα, στα οποία τα δύο αυτά ση-μεία ταυτίζονται και, αν ναι, πώς χαρακτηρίζονται6;

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 7

Με διαδικασίες που αντιστοιχούν στην πρωτοτυπία του, ο Αρχιμή-δης είχε “αποδείξει” ότι: το “κέντρο βάρους ενός τριγώνου” είναι το ση-μείο τομής των διαμέσων του. H “απόδειξη” περιέχεται στο έργο του “Περί επιπέδων ισορροπιών” (το πρώτο μέρος του οποίου μας απασχό-λησε διεξοδικά στις σελίδες 103-114 του τόμου) και βασίστηκε σε επο-πτικού χαρακτήρα “αξιώματα” και σε Ευκλείδειες συλλογιστικές.

Σε άλλο έργο του, που είναι γνωστό και ως “Μέθοδος”, ο Αρχιμή-δης αξιοποίησε τον “νόμο ισορροπίας των μοχλών” για να αντιμετωπί- 6 Οι χαρακτηρισμοί - “κατατάξεις” (: classification) αποτελούν πάγιο θέμα της μαθηματικής έρευνας και, ταυτόχρονα, ένα προνομιακό πεδίο για την αξιοποίηση αλγεβρικών μεθόδων, που διέπουν το “μετρικό” και το “πλαίσιό” μας. Το Ερώτημα αυτό αποτελεί απλό δείγμα των σχετικών θεμάτων, τα οποία μπορούν να συζητηθούν -σποραδικά και με οικονομία χρόνου- με τους μαθητές, διευκρινίζοντάς τους “επιστημολογικού χαρακτήρα” πλευρές των Μαθηματικών, με συγκεκριμένα και σχετικά απλά παραδείγματα.

7 Όσα ακολουθούν, σχετίζονται με την αναγκαία Επιμόρφωση των Εκπαιδευτικών στην πορεία προς τη διαμόρφωση του καινούργιου προγράμματος για τη Γεωμετρία που διαγράφηκε στις σελίδες 67-80 του παρόντος τόμου. Σχετικές λεπτομέρειες δίνονται στο βιβλίο “Π. Στράντζαλος, Οι Ευκλείδειες και οι Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες ως Ιστορικό και Επιμορφωτικό Αντικείμενο”, που θα εκδοθεί προσεχώς.

Α

Β Μ Γ

Ρ Δ Ν

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

137

σει το δυσεπίλυτο για την εποχή του πρόβλημα του “τετραγωνισμού κα-μπυλόγραμμων σχημάτων”. “Τετραγωνισμός” ενός τέτοιου σχήματος ση-μαίνει τη σύγκριση του εμβαδού του με το εμβαδόν κατάλληλου ευθυ-γράμμου σχήματος, το εμβαδόν του οποίου συγκρινόταν (και στα “Στοι-χεία”) κατασκευαστικά με το εμβαδόν τετραγώνου.

Στη συνέχεια θα περιγράψουμε την ιδιοφυή διαδικασία, με τη βοή-θεια της οποίας ο Αρχιμήδης “τετραγώνισε τμήμα παραβολής”, αναδει-κνύοντας την ιστορικότητα των μεθόδων που κυριαρχούν στο παρόν κείμε-νο. Το διδακτικό εγχείρημα που σχετίζεται με όσα ακολουθούν έχει τη συνθετότητά του. Ωστόσο, θεωρούμε ότι προσφέρεται για ώρες “ θεμα-τικών μαθημάτων” (που θα παρακολουθούν μόνο ενδιαφερόμενοι μαθη-τές), κυρίως διότι προβάλλει τη μοναδική “μαθηματική αισθητική” της σκέψης του Αρχιμήδη και την απρόσμενη ευρηματικότητά της.

Η “παραβολή”, όπως την εννοού-σε ο Αρχιμήδης, ήταν η καμπύλη που (εκτείνεται επ’ άπειρον και) προκύ-πτει ως τομή ενός “ορθογωνίου κυκλι-κού κώνου” (όπως στο διπλανό σχή-μα) με ένα επίπεδο παράλληλο προς την ευθεία μιας “γενέτειράς” του (: της ημιευθείας [ΠΡ)). Ένας τέτοιος κώνος και η επιφάνειά του παράγονται από την περιστροφή περί άξονα (την ευθεία (ΠΣ)) ενός ορθογωνίου ι-σοσκελούς τριγώνου (: ΠΣΡ) και μια ημιευθεία (: [ΠΡ)), αντίστοιχα.

Ένα τμήμα της παραβολής, το διαγραμμισμένο μέρος στο επόμενο σχήμα, ορίζεται από ένα τόξο της, ΑΒ, και μια χορδή της, [ΑΒ].

Εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της Β είναι μία ευθεία (: (ΒΖ)) που έχει ένα κοινό σημείο (: Β) με την παραβολή, ενώ όλα τα άλλα σημεία της βρίσκονται “έξω” από την παραβολή, όπως υποδηλώ-νεται στο σχήμα.

Είμαστε, τώρα, σε θέση να περιγράψουμε τη διαδικασία του τετρα-γωνισμού τμήματος παραβολής, που “σκαρφίστηκε” ο Αρχιμήδης στη “Μέθοδό” του, βασιζόμενος στο «σύμπτωμα της παραβολής», το οποίο (με τον συμβολισμό από το επόμενο σχήμα) δίνεται από την αναλογία

Β παράλληλη προς

τον άξονα

Ζ

Χ Υ

εφαπτομένη της παραβολής

άξονας συμμετρίας της παραβολής

Α

άξονας συμμετρίας της παραβολής

Ρ Σ

Π

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

138

AY YXAB YZ

= , χαρακτηρίζει την παραβολή και αποδεικνύεται εύκολα με

μεθόδους της Αναλυτικής Γεωμετρίας:

Στο επόμενο σχήμα, το Μ είναι το μέσον του [ΑΒ], το Χ είναι τυ-χόν σημείο του ΑΒ, η (ΒΓ) είναι εφαπτομένη της παραβολής στο Β, ενώ οι ευθείες (ΜΡ), (ΥΖ), (ΑΓ) είναι παράλληλες προς τον άξονά της.

Το “σύμπτωμα” για το Μ [ΑΒ]∈ γράφεται 12=

ΑΜΑΒ

=MNMΡ

, οπότε το

Ν είναι το μέσον του [ΜΡ]. Από τα όμοια τρίγωνα που προκύπτουν από τις παράλληλες, συνάγεται ότι το Θ είναι μέσον του [ΑΓ], άρα ότι το ευ-θύγραμμο τμήμα [ΒΘ] είναι διάμεσος του τριγώνου ΒΓΑ.

Από εδώ και πέρα παρελαύνουν οι ιδιοφυείς σκέψεις του Αρχιμήδη:

● Η “αλλαγή παραδείγματος”: Ο Αρχιμήδης θεώρησε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα [ΥΧ], [ΥΖ] έχουν “βάρος” ανάλογο με το μήκος τους, καθόρισε το Λ από την ισότητα [ΘB] [ΘΛ],= από τα όμοια τρίγωνα διαπίστωσε

YX AYYZ AB

=ΘΕΘΒ

=

και κατέληξε στην ισότητα ΥΧ ΘΕΥΖ ΘΛ

= ,

την οποία ερμήνευσε, μέ-σω του “νόμου ισορροπίας των μοχλών”, ως εξής: ο μοχλός με άκρα τα Ε, Λ και υπομόχλιο στο Θ, ισορροπεί

με το “βάρος” [ΥΧ] μεταφερμένο στο Λ, δηλαδή με μοχλοβραχίονα [ΛΘ], και το “βάρος” [ΥΖ] στη θέση του, δηλαδή με μοχλοβραχίονα [ΘΕ]!

Στη συνέχεια συμπέρανε: όταν το Χ διατρέχει το τόξο ΑΒ , του τμή-ματος της παραβολής που θέλουμε να τετραγωνίσουμε, το [ΥΧ] “σαρώνει” το εμβαδόν, D , του τμήματος αυτού και το [ΥΖ] “σαρώνει” το εμβαδόν, (ΑΒΓ), του τριγώνου ΑΒΓ! Επομένως, το εμβαδόν D , νοούμενο ως “βά-ρος” ανάλογο με το μέγεθός του, μεταφερμένο γραμμή - γραμμή στο Λ, θα ισορροπεί το (ΑΒΓ), νοούμενο -επίσης- ως “βάρος” ανάλογο του μεγέθους του, στη θέση του!

• •

• Μ

το βάρος του [ΥΖ] στη θέση του, στο Ε

Α

Κ

Υ

Ε Ν

Λ

Χ Θ

Γ Ζ Ρ Β

το βάρος του [ΧΥ] μεταφερμένο στο Λ

η εφαπτομένη της παραβολής στο Β

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

139

Επειδή το υπομόχλιο Θ και το άκρο Λ του μοχλού παραμένουν σταθερά σε όλη τη διαδικασία, το άλλο άκρο του μοχλού θα είναι, τελι-κά, το “κέντρο βάρους” του τριγώνου ΑΒΓ, στο οποίο εφαρμόζεται το “βάρος” (ΑΒΓ) για να ισορροπήσει ο μοχλός.

Με συλλογισμούς ανάλογους προς εκείνους που αναλύσαμε στις σελίδες 103-114 του παρόντος τόμου, ο Αρχιμήδης ήξερε ότι το “κέντρο βάρους” του τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο τομής των διαμέσων του, ε-πομένως θα είναι το σημείο Κ της διάμεσου [ΒΘ] του ΑΒΓ που την χω-ρίζει σε λόγο 2:1 (μια σύγχρονη απόδειξη του συμπεράσματος αυτού δόθηκε προηγουμένως στο Παράδειγμα 1), δηλαδή θα ισχύει:

ΒΚ ΒΘ ΘΛ2 3 3 ΚΘ 1 ΚΘ 1 ΘΚ 1

= ⇒ = ⇒ = ,

οπότε, σε συνδυασμό με τον “νόμο ισορροπίας των μοχλών”, έχουμε:

ΘΚ 1(ΑΒΓ) ΘΛ 3

= = ⇒D (ΑΒΓ) .

3=D

Η τελευταία ισότητα συγκρίνει το εμβαδόν Ε του (καμπυλογράμμου) τμήματος παραβολής με το εμβαδόν του (ευθυγράμμου) τριγώνου ΑΒΓ και οδηγεί στον τετραγωνισμό του τμήματος παραβολής.

Κλείνοντας το Ιστορικό σημείωμα, επισημαίνουμε πως ο Αρχιμή-δης δήλωσε ρητά στο κείμενο της “Μεθόδου” του ότι δεν θεωρούσε την προηγούμενη διαδικασία ως απόδειξη της τελευταίας ισότητας. Δεν είναι απαραίτητο η αιτία γι’ αυτό να ήταν η θεώρηση “βαρών”. Η βασική αι-τία φαίνεται να ήταν το ότι στην προηγούμενη διαδικασία το τμήμα παρα-βολής “σαρώνεται” από ευθύγραμμα τμήματα (τα [ΥΧ]) και όχι από “στοι-χειώδη εμβαδά”, όπως επιτάσσει η σύγχρονη έννοια του “ολοκληρώματος”, την οποία φαίνεται να είχε κατανοήσει πλήρως ο Αρχιμήδης.

Σημαντική παρατήρηση: Αξίζει τον κόπο να συζητηθεί με τους (ενδια-φερόμενους) μαθητές το προτέρημα της, χαρακτηριστικής για την παρα-βολή, αναλογίας που χρησιμοποίησε ο Αρχιμήδης: τα ευθύγραμμα τμή-ματα που υπεισέρχονται σε αυτήν έχουν άκρα που ορίζονται από τομές ευθειών, εκτός από το [ΥΧ], του οποίου το άκρο Χ ορίζεται ως τομή της ευθείας (ΥΖ) και της καμπύλης της παραβολής. Το τελευταίο απομακρύ-νει την αξιοποίηση συμπερασμάτων από τη Θεωρία των Ομοίων Τριγώ-νων, όπου συσχετίζονται πλευρές τριγώνων. Για τούτο, ο Αρχιμήδης,

υποκαθιστά τον λόγο YXYZ

με τον λόγο AYAB

!

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ-ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

140

Με άλλα λόγια, η υπ’ όψιν αναλογία λειτουργεί εδώ όπως οι εξισώ-σεις στην Αναλυτική Γεωμετρία, όπου οι αλγεβρικές μέθοδοι ελαχιστοποι-ούν την αναγκαιότητα της εποπτείας του σχήματος, λειτουργώντας το ίδιο αποτελεσματικά τόσο σε ευθύγραμμα, όσο και σε καμπυλόγραμμα σχήματα.

ΕΠΙΛΕΓΟΜΕΝΑ

Οι σκέψεις του Αρχιμήδη, που περιγράφηκαν στο “Ιστορικό σημεί-ωμα”, συνιστούν ένα από τα κορυφαία παραδείγματα του μαθηματικού τρόπου σκέψης στη διακλαδική του εκδοχή. Η αποτελεσματικότητα -για τότε- των ιδεών αυτών του Αρχιμήδη συνηγορεί -και σήμερα- υπέρ της διακλαδικότητας στην έρευνα και τη διδασκαλία. Η εξαιρετικά ευρηματική “αλλαγή πλαισίου” του Αρχιμήδη συνετέ-λεσε στο πέρασμα από τη συνήθη φορμαλιστική διαδικασία σε έναν “α-νάλαφρο” και ταυτόχρονα αποτελεσματικό τρόπο σκέψης που υπερβαί-νει τα “στυγνά” Μαθηματικά, μένοντας στο μαθηματικό πεδίο, π.χ., μέ-σω των αξιωμάτων του “πλαισίου” μας. Οι σκέψεις αυτές και η μοναδική “μαθηματική αισθητική” του Αρ-χιμήδη, συνηγορούν υπέρ της ένταξης του “πλαισίου” αυτού στο μάθη-μα της Γεωμετρίας. Πολύ περισσότερο, που, έτσι, θα υπηρετηθούν κρί-σιμοι παιδευτικοί - εκπαιδευτικοί στόχοι, όπως: - Η εξοικείωση των μαθητών με μία καλά διαγραμμένη διαδικασία που λειτουργεί αποτελεσματικά και ενιαία σε έναν κύκλο προβλημάτων, ενώ, ταυτόχρονα, προσφέρει, όχι μόνο απλούστερες διαδικασίες, αλλά και πιο σύντομες. Κερδίζεται, έτσι, χρόνος προς όφελος του βασικού στόχου της Γεωμετρίας, που δεν είναι άλλος από την “παροχή στοιχείων παιδείας”. - Η άσκηση των μαθητών στη νοητική - μεθοδολογική διεργασία της “αλ-λαγής πλαισίου”, που διευρύνει το συλλογιστικό φάσμα, με παιδευτική συν-έπεια την “άσκηση στην επιλογή της καταλληλότερης μεθόδου”, και εξά-πτει την ευρηματικότητα και τη φαντασία. Τέτοιου τύπου νοητικές ασκή-σεις εθίζουν τους μαθητές να συλλογίζονται πιο συνθετικά και πιο “ανοι-κτά” και για τα εκτός των Μαθηματικών θέματα που θα τους απασχολή-σουν στο μέλλον. Άλλωστε, η άσκηση της “κριτικής σκέψης” των μαθητών, ώστε να σκέπτονται “όχι στενόκαρδα” και σε βάθος, είναι, μαζί με την ευαισθητο-ποίηση για μέθεξη στον πολιτισμό, από τα βασικά ζητούμενα της συνολικής προ-πανεπιστημιακής εκπαίδευσης, ιδίως στο Λύκειο.