AULA 01 – MATRIZES

Introdução – História e Aplicações

É comum nos depararmos com conjuntos de números que são operadosessencialmente da mesma maneira. Isto sugere tratá-los em bloco, deforma única. Esta forma de tratamento é possível através do uso dematrizes.Foi apenas em meados do século XIX que as matrizes tiveram suaimportância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiroa lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, por volta de 1826. Ele aschamou de tableau (= tabela).O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigoCayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858,divulgou esse nome e mostrou sua utilidade. O significado coloquial dapalavra matriz, é: local onde algo se gera ou cria. Sylvester as viacomo "...um bloco retangular de termos... o que não representa umdeterminante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemosformar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p eescolher à vontade p linhas e p colunas...". Observe que Sylvesterainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É sócom Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começama suplantar os determinantes em importância. A referência mais antigaa matrizes, entretanto, data de aproximadamente do ano 2500 a.C., nolivro chinês Chui-Chang Suan-Shu (Nove capítulos sobre a artematemática). Este livro apresenta problemas sobre a mensuração deterras, agricultura, impostos, equações, etc. Um destes problemas éresolvido com cálculos efetuados sobre uma tabela, tais como efetuamoshoje com as matrizes. Atualmente, as matrizes são muito utilizadas emvárias áreas de conhecimento. Suas aplicações se dão na Matemática,Física, Engenharia, Estatística e Computação, por exemplo:

Definição de matrizUma matriz real (ou complexa) m x n / m e n ≥ 1 é uma tabela formadapor m linhas e n colunas. Representação: A = (aij)

O elemento genérico da matriz A, é representado por indicando a posição desse elemento na matriz A = ( ).O índice “i” indica a posição na linha do elemento na matriz A = ().O índice “j” indica a posição na coluna do elemento na matriz A = (

).

1

A =

A =

- Qualquer linha da matriz A pode ser escrita em forma de vetor linha. A 1ª linha fica assim representada: ( ).

- Qualquer coluna da matriz A pode ser escrita em forma de vetor coluna.

A 1ª coluna fica assim representada:

Observe uma aplicação de matrizes em linguagem de programação:

Em programação de computadores utiliza-se o conceito de vetorunidimensional, cuja finalidade é armazenar informações em uma únicavariável. Por exemplo, vamos considerar a variável nota, que vaiarmazenar a nota de quatro alunos:

nota = [7,3 5,5 6,1 8,0]

2

a11 a12 a13 a14

Usando a sintaxe própria de cada linguagem é possível acessar umadeterminada nota da tabela, digamos que se deseja a nota do segundoaluno, ter-se-ia nota[2] = 5,5.Perceba que esse vetor unidimensional nada mais é do que uma matrizlinha, em nosso exemplo uma matriz 1 x 4. Cabe ressaltar que é possível realizar operações matemáticas com oselementos do vetor, como, por exemplo, calcular a média dos alunos.

Exemplo:

Jogos Vitórias Empates Derrotas P.G. P.P

Equipe A 3 1 2 0 4 2

Equipe B 5 3 1 1 7 3

Equipe C 4 2 1 1 5 3

Em forma de matriz:

Conceitos básicos e tipos de matrizes

1.Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que aordem da matriz é m×n.

2.Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cadaelemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).

3.Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seuselementos, na forma: A=[a(i,j)].

4.Matriz retangular é a matriz que tem o número de linhas édiferente do número de colunas, i.e., m≠n.

5.Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual aonúmero de colunas, i.e., m=n

6.Diagonal principal: A diagonal principal da matriz quadrada éindicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.

7. Diagonal secundária de uma matriz quadrada A de ordem ( m x m )é o conjunto dos elementos que possuem a soma dos índices igual am + 1, ou seja:

3

A =8. Matriz linha é toda matriz do tipo 1 x n.9. Matriz coluna é toda matriz do tipo m x 1.10. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais

a zero.11. Matriz diagonal é uma matriz quadrada que tem todos os

elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos dadiagonal principal podem ser nulos.

12. Matriz identidade, denotada por In, tem os elementos dadiagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonalprincipal.

13. Matriz triangular superior, os elementos abaixo dadiagonal principal são iguais a zero.

14. Matriz triangular inferior, os elementos acima da diagonalprincipal são iguais a zero.

15. Matriz escalar é uma matriz diagonal onde a11 = a22 = a33

= ... = ann

16. Traço T(A), de uma matriz quadrada é a soma dos elementosda diagonal principal.

Matriz transposta e suas propriedades

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos atransposta da matriz A como a matriz

At =[a(j,i)]

e se observa aqui, que as linhas de A se transformam nas colunas deAt.

Propriedades das matrizes transpostasT1: A transposta da transposta da matriz é a própriamatriz.

(At)t =A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por umamatriz é igual ao próprio escalar multiplicado pelatransposta da matriz.

4

(kA)t = k(At)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma dastranspostas dessas matrizes.

(A + B)t = At

+ Bt

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto dastranspostas das matrizes na ordem trocada.

(A B)t = Bt

At

Matrizes simétricas e anti-simétricas

Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

At =A

Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

At = -A

Matrizes iguais

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n,são iguais se todos os seus correspondentes elementos sãoiguais, isto é:

a(i,j) =b(i,j)

Adição de matrizes e suas propriedades

5

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesmaordem m×n, é uma outra matriz C=[c (i,j)], definida por:

c(i,j) =a(i,j) +b(i,j)

Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicadaabaixo.

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesmaordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A +(B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesmaordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B+ A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada comqualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá aprópria matriz A, isto é:

0 + A =A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambasfornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (-A)= 0

6

Multiplicação de um escalar por matriz e suas propriedades

Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos amultiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outramatriz C=k.A, definida por:

c(i,j) =k. a(i,j)

Exemplo: A multiplicação do escalar - 2 pela matriz A, definida por:

Propriedades da multiplicação de escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, istoé:

1.A =A

E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:

0.A =0

E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e Bde mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

k (A+B) = k A +k B

E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A epara quaisquer escalares p e q, tem-se:

(p + q) A = p A+ q A

Multiplicação de matrizes

7

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n é a matriz B=[b(k,j)] de ordemnxp. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz deordem mxp C=A.B, definida por:

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matrizproduto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24

b43

Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes.Basta observar a linha em destaque na primeira matriz, a coluna emdestaque na segunda matriz e o elemento em destaque na terceiramatriz.

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

×

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24

b31 b32 b33 b34

b41 b42 b43 b44

=

c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34

c41 c42 c43 c44

Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número decolunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

Propriedades da multiplicação de matrizesPara todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temosalgumas propriedades:

Exemplo: Calcule A.B para as matrizes:

M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente deB×A, como é o caso do produto que segue:

8

M2: Distributividade da soma à direita

A (B+C) = A B +A C

M3: Distributividade da soma à esquerda

(A + B) C = A C +B C

M4: Associatividade

A (B C) = (AB) C

M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizesseja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizesnulas, como é o caso do produto:

M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC,então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos dematrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

entretanto as matrizes A e B são diferentes.

Por que se calcula o produto de matrizes dessa forma?

A.X = B

A equação matricial acima pode representar um sistema linear:

9

Exercícios:

1) Dadas as matrizes e , calcule se existir:

a) A + Bb) At + Bc) A + Bt

2) Dadas as matrizes , e ,

calcule, se existir:

a) A.Bb) A.Cc) B.Cd) C.Bt

e) C2

f) B.Bt

3) Dadas as matrizes , e

, calcule, se existir:

a) X = 4A - 3B + 5Cb) X = 2B – 3A -6Cc) X = 4C + 2A – 6Bd) At

e) A.Bt

f) B.C

4) Calcular os produtos:

a)

10

b)

c)

5) Sendo calcular A2.

6) Sabendo-se que a matriz é simétrica, calcule os

valores de “a” e “m”.

11

LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATRIZES

1) Escrever a matriz A = (aij) tipo 4 x 3 com aij = 0 para i j e aij =2 para i = j.

2) Escrever uma matriz quadrada de 3 a ordem A = (aij) com aij = 2i + 3j– 1.

3) Sejam as matrizes:

a) Qual o valor de a12, a22

b) Qual o valor de b11, b31

4) Se

encontre a, b, c e d.

5) Sejam as matrizes:

12

Calcule se possível:

a) C + E b) E + C c) A + B d) D – F e) -3C f) 2C – 3Eg) 2B + F

h) 2(D + F) i) 2D + 3D j) AT k) (AT)T l) (C + E)T

6) Dada a matriz

A3x3 = (aij) tal que

A matriz X, para que a equação matricial X + A = seja

verdadeira é :

7) Determine todas as matrizes que multiplicadas com a matriz, comutam.

8) Calcule

9) Um fabricante faz dois tipos de produtos, Pe Q, em cada uma de duasfábricas, X e Y. Ao fazer esses produtos, são produzidos dióxido deenxofre, óxido nítrico e partículas de outros poluentes. Asquantidades de poluente produzidas são dadas (em kg) pela matriz

Dióxido de Óxido Partículas Enxofre nítrico

Produto P

Produto Q

Leis estaduais e federais exigem a remoção desses poluentes. O custodiário para remover cada quilo de poluente é dado (em dólares) pelamatriz

Fábrica X Fábrica Y

Dióxido de enxofre Óxido nítrico

13

Partículas Qual o significado dos elementos do produto matricial A.B ?

10) Sejam A = (aij) 4x3 e B = (bij)3x4 duas matrizes definidas por aij = i+ j e bij = 2i + j,respectivamente.Se A.B = C, então o elemento C32 da matriz C, é:

11) Winecius é um vendedor de tabelas de preços para lanchonetes eadora filmes de vampiro. Tem um hábito estranho; leva moças à noitepara seu apartamento, despeja vinho numa banheira, coloca a moça esuga (o vinho) , aprisionando a moça até o próximo pôr-do-Sol. Numa noite Winecius esteve na Faculdade de Direito de Curitiba paravender tabelas. Enquanto tirava medidas da parede da cantina paracolocar uma tabela de preços, conheceu uma estudante, convidou-a parair até o seu apartamento e ...Na manhã seguinte, a prisioneira, que planejava informar a alguém seuparadeiro, viu uma tabela com letras e números e, enquanto Wineciusescovava os dentes, montou uma mensagem na própria tabela de preços. A moça teve sorte, a tabela ia para a Faculdade de Direito deCuritiba. Winecius queria entregar rapidamente a tabela na Faculdade,pois o desaparecimento da estudante tinha causado um grande alvoroço,e ele não queria estar por perto. Entregou a tabela, sem ver o que amoça tinha escrito, e disse ao chefe da cantina que viria instalá-ladepois.

TABELA DE PREÇOS – SUNAB – 198

. PÃO DE BATATA ...................... 1,50

. REFRIGERANTE ....................... 1,50

. SALGADO ...................................2,00

. CHOCOLATE QUENTE ..............3,00

..............................................................

- e levou-a imediatamente ao responsável pela investigação, o qualconseguiu encontrar a moça por meio da diagonal principal do produtodas matrizes da mensagem. (Este é um texto de ficção científica.Qualquer semelhança com a realidade terá sido mera coincidência.)

Com base no texto, avalie as afirmativas.

A. ( ) A moça estava num lugar próximo ao edifício Scala, no 9 0

andar do edifício.B. ( ) O vampiro só atacava de boné e no começo do mês.

14

C. ( ) A moça estava na praça Osório.D. ( ) A moça estava no 50 andar de um prédio onde existe uma ótica.E. ( ) A moça estava no cine Scala, no salão n0 5.

12) Uma companhia manufatura três produtos. Suas despesas de produçãosão divididas em três categorias. Em cada categoria é feita umaestimativa do custo de produção de um item de cada produto. Essasestimativas do custo de produção de um item de cada produto. Essasestimativas são dadas nas tabelas 1 e 2. Na reunião de acionistas, acompanhia gostaria de apresentar uma simples tabela mostrando custototal para cada trimestre em cada uma das três categorias: matérias-primas, mão de obra e outras despesas.

Tabela 1 – Custo de Produção por item (dólares)

Despesas A B CMatérias-primas 0,1 0,3 0,15Mão de obra 0,3 0,4 0,25Outras despesas 0,1 0,2 0,15

Tabela 2 – Quantidade produzida por trimestre

Produto Verão Outono Inverno PrimaveraA 4000 4500 4500 4000B 2000 2600 2400 2200C 5800 6200 6000 6000

15

RESPOSTAS

1)

2)

3) a) – 3 ; - 5 b) 4 ; 5

4) a = 0 b = 2 c = 1 d = 2

5) a) b) igual c) d) e)

f) g) h) i) j)

k)

l)

6) 7) 8) (1)

16

9) 10) c32 = 94 11) A – F ; B – F ; C – V ;

D – V ; E – F

12)

17