Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das

Missões – URI

Campus de Santo Ângelo

MATEMÁTICA DISCRETA

Curso: Sistemas de Informação

Disciplina: Matemática Discreta

Semestre: 2º semestre

Professora: Rubia Diana Mantai

Acadêmico(a):

Santo Ângelo, Agosto de 2014

CONCEITOS BÁSICOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS

CONJUNTOS

Conjunto é uma estrutura que agrupa objetos e constitui umabase para construir estruturas mais complexas. Assim,informalmente, um conjunto é uma coleção, sem repetições e semqualquer ordenação, de objetos denominados “elementos”.

Definição: um conjunto é uma coleção de zero ou mais objetosdistintos, chamados elementos do conjunto, os quais não possuemordem associada.

Alguns exemplos de conjuntos podem ser:a) As vogais: a, e, i, i, o, u;b) Os dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;c) Os números pares; 0, 2, 4, 6, 8, ...d) Os alunos do 2º semestre de Ciência da Computação da

URI;e) Todos os brasileiros;

Observe que um conjunto pode ser definido listando-se todos oselementos (como “as vogais: a, e, i, o, u”) ou por propriedadesdeclaradas (como “todos os brasileiros”).A definição de um conjunto listando todos os seus elementos é

denominada “denotação por extensão”, dada pela lista de todosos seus elementos, em qualquer ordem e entre chaves, porexemplo:

Vogais={a,e,i,o,u}Neste caso, as vogais denota o conjunto {a,e,i,o,u } .Já, a definição por propriedade é denominada “denotação por

compreensão”, exemplo: Pares={n /n é numero par }ou seja, o conjunto de todos os elementos n tal que n é umnúmero par.Assim, a forma geral de definição de um conjunto por

propriedade é como segue:{x /p(x) }

e é tal que um determinado elemento a é elemento deste conjuntose a propriedade p é verdadeira para a, ou seja, se p(a) éverdadeira. Exemplo,

B={x / x é brasileiro }Tem-se que Pelé é elemento de B, já Bill Gates não é elementode B.Embora seja possível definir qualquer conjunto por

compreensão, frequentemente é conveniente especificar conjuntosde outra forma;Ex.: Dígitos= {0,1,2,3,...,9 }

Pares={0,2,4,6,... }nos quais os elementos omitidos podem ser facilmente deduzidosno contexto.

ALGUNS CONJUNTOS IMPORTANTES

* Conjunto Vazio:É o conjunto sem elementos {} , representado por φ (mas nunca { φ}.Ex.: o conjunto de todos os números os quais sãosimultaneamente pares e ímpares;

* Conjunto Unitário:

É um conjunto constituído por um único elemento, usualmentedenotado por 1.Ex.: o conjunto denotado pelo jogador de futebol Pelé.

* Conjunto dos Números Naturais:É o conjunto dos números inteiros positivos, denotado por N ;Os números naturais são usados para contar. O símbolo Nusualmente representa este conjunto.

N = {0, 1, 2, 3,...}Pelo diagrama de Venn (Jonh Venn, lógico inglês, 1834-1923),temos:

ou por uma série de pontos alinhados equidistantes, como é oexemplo de uma régua

Vamos operar com esses números:3 + 1 = 44 – 3 = 13 – 4 = ?Como chegamos a uma operação que não podemos resolver, énecessário estender este conjunto.

* Conjunto dos Números Inteiros:É o conjunto dos números inteiros positivos e negativos,

denotado por Z ;O conjunto dos números inteiros usualmente é representado

por Z (do termo alemão Zahlen que significa números).Z

+= {0,1,2,3,... } inteiros não negativos

Z−={...,−3,−2,−1 } inteiros não positivos

Z¿={...,−2,−1,1,2,... } sem o zeroZ

+¿ = {1,2,3,...} positivos sem o zeroZ

−¿ ={...,−3,−2,−1 } negativos sem o zero Obs: Todo número natural é inteiro, isto é N é um subconjuntode Z.

38

11

..

N

Pelo diagrama de Venn, temos:

Vamos operar com estes números:3 – 4 = -12 * 3 = 66 : 2 = 33 : 2 = ?

Como chegamos a uma operação que não podemos resolver, énecessário estender este conjunto.

* Conjunto dos Números Racionais:Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e

negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos númerosracionais, denotado por Q ;

São todos os números que podem ser representados por frações, e são expressos tanto na forma fracionária quanto na forma decimal (por exemplo ¾ ou 0,75). Eles aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo Q usualmente representa este conjunto ( da palavra quociente).

Q={p /q;p∈Z e q∈Z¿ }Q={p sobre , tal que p e q pertencem a Z e q é diferente de zero}Os racionais são:- todos os inteiros: {-1,0,271}- todos os decimais finitos: {0,5, 2,75, -0,25}- todos os decimais infinitos e periódicos (dízimasperiódicas): {0,333...;0,1815555...}

Assim como exemplo, podemos citar: -1/2 , 1 , 2,5, ...

..1

45N

-

-

-3..

Z

Q+= Racionais não negativos

Q−= Racionais não positivosQ¿= Racionais sem o zeroQ+

¿ = Racionais não negativos sem o zeroQ

−¿ = Racionais não positivos sem o zero

Ex: números decimais exatos são racionais, pois;0,1 = 1/102,3 = 23/10

Ex: números decimais periódicos são racionais.0,1111... = 1/90,3232... = 32/992,3333 = 21/90,2111 = 19/90

Pelo diagrama de Venn, temos:

Vamos operar com estes números:√4=±2 por que (+2)²=(−2)²=4√2=?

Obviamente necessitamos criar um conjunto que agrupe esse tipode número.

* Conjunto dos Números Irracionais:São números decimais que não admitem ser representados na

forma fracionária, são os decimais infinitos e não periódicos,

Q

−1100

75

−38

denotado por I . É o conjunto dos números com representaçõesinfinitas, mas não periódicas. Possui os números que não podemser representados por frações mas que podem ser associados a umponto numa reta, a reta real.Exemplos: √2=1,4142135...√3=1,73205...π=3,1415926...(euler)e=2,7182818...binário=0,1010010001...Os Irracionais ∩ Racionais =φ ou {}

Pelo teorema de Venn, temos:

* Conjunto dos Números Reais:É uma expansão do conjunto dos números racionais que

engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real.

R={x / x ∈Q ou x∈I}

R+= Reais não negativos

R−= Reais não positivosR¿= Reais sem o zeroR+

¿ = Reais não negativos sem o zeroR

−¿ = Reais não positivos sem o zero

Resumindo:

π5√5

√5

−√3....

I

N⊂Z⊂Q⊂RPorém, aqui não terminam os problemas,Por exemplo, se queremos resolver x²=−1

- Conjunto dos números complexos CInclui os números, que resultam de qualquer radiciação

possível, tendo uma parte imaginária e uma parte real. O símbolo C usualmente representa este conjunto.Ex: √−1 ou √−59 ou √−25

PERTINÊNCIA

a∈A ⇒ a pertence ao conjunto Aa∉A ⇒ a não pertence ao conjunto AEx.: a) Relativamente ao conjunto das Vogais={a,e,i,o,u} , tem-se que:

a∈Vogaish∈Vogais

b) Relativamente ao conjunto das B={x /x é brasileiro} , tem-se que:Pelé ∈ BBill Gates ∉ B

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

a) Conjunto finito: pode ser denotado por extensão;Exemplos:φ{a }

Vogais={a,e,i,o,u}Dígitos= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }{casa, mar, caderno, lousa }A={x∈N /x>0 e x<4 }B={x /x é brasileiro}

b) Conjunto infinito: caso contrário;Ex.: ZR{x∈Z /x≥0}Pares={y /y=2x e x∈N}

ALFABETOS, PALAVRAS E LINGUAGENS

* AlfabetoUm alfabeto é um conjunto finito, onde seus elementos sãousualmente denominados de símbolos ou caracteres. Portanto, oconjunto vazio é um alfabeto, e um conjunto infinito não é umalfabeto.

* PalavraUma palavra ou cadeia de caracteres ou sentença, sobre um alfabeto, éuma sequencia finita de símbolos (do alfabeto) justapostos.

Portanto, uma cadeira sem símbolos é uma palavra válida, eo símbolo;ε denota a cadeia vazia, palavra vazia ou sentença vaziaSe Σ representa um alfabeto, então, Σ∗¿ ¿ denota o conjunto detodas as palavras possíveis sobre Σ .Ex.:a) os conjuntos φ e {a,b,c} são alfabetosb) o conjunto N não é um alfabetoc) Σ é uma palavra sobre o alfabeto {a,b,c}

d) Σ é uma palavra sobre o alfabeto φe) a, e, i, o, u, ai, oi, ui são palavras sobre Vogaisf) 001 e 1 são exemplos de palavras distintas sobre Dígitos

g) {a,b }∗¿ {ε,a,b,aa,ab,bb,.... }

h) φ∗¿ {ε }

* LinguagemÉ um conjunto de palavras sobre um alfabetoEx.: Suponha o alfabeto Σ={a,b } . Então,a) O conjunto vazio e o conjunto formado pela palavra vaziasão linguagem sobre Σ

b) O conjunto de palíndromos (palavras que tem a mesma leiturada esquerda para a direita e vice-versa) sobre Σ é um exemplode linguagem (infinita)

Palíndromos = {ε, a, b, aa, bb, aaa, aba, bab, bbb, aaaa, ... }

SUBCONJUNTOS E IGUALDADE DE CONJUNTOS

Se todos os elementos de um conjunto A também são elementos deum conjunto B, então se afirma que A está contido em B edenota-se por:

A⊆Bou B contém A:

B⊇ANeste caso, (A⊆B ou B⊇A ) , afirma-se que A é subconjunto de

B. Porém, se A⊆B , mas existe b ∈ B tal que b ∉ A , então seafirma que A está contido propriamente em B, ou que A ésubconjunto próprio de B, e denota-se por:

A⊂B ou B⊃Aque B contém propriamente A.quando não é fato que A⊆B (A⊂B) , então, denota-se

A⊄B (A⊄B)

Ex.:a) {a,b }⊆ {b,a }

b) {a,b }⊆ {a,b,c } , {a,b }⊂ {a,b,c }

c) {1,2,3 }⊆N , {1,2,3 }⊂N

d) N⊆Z , N⊂Z

e) φ⊆ {a,b,c } , φ⊂ {a,b,c }

* Conjunto UniversoDenotado por U, contém todos os conjuntos que estão sendoconsiderados: A⊆U

* Conjuntos IguaisOs conjuntos A e B são ditos iguais, o que é denotado por A=B,se e somente se, possuem exatamente os mesmos elementos,

A=B se e somente se A⊆B e B⊆AEx.:a) {1,2,3 }={x∈N /x>0 e x<4 }

b) N={x∈Z /x≥0 }

c) {1,2,3 }={3,3,3,2,2,1}

Importante: A relação de pertinência relaciona um elemento a umconjunto, e a relação de inclusão refere-se, sempre a doisconjuntos.Ex.: Considere o conjunto A={1,2,3,φ, {a}, {b,c }} . Então, justifique;a) {1 }∉A , {1 }⊆A

b) φ∈A , φ⊆A

c) {a }∈A , {b,c }∈A

d) {1,2,3 }∉A , {1,2,3 }⊆A

EXERCICIOS

1. Para cada conjunto abaixo: descreva de forma alternativa (usando outra forma de

notação) diga se é finito ou infinito

a) Todos os números inteiros maiores que 10b) {1,3,5,7,9,11,... }c) Todos os países do mundo

2. Para A={1 } , B={1,2 } e C={{1},1} , marque as afirmações corretas:a) A⊂B b) A⊆B c) A∈B d) A=B

e) A⊂C f) A⊆C g) A∈C h) A=C

i) 1∈A j) 1∈C k) {1 }∈A l) {1 }∈C

m) φ∉C n) φ⊆C

3. Sejam a={x/2x=6 } e b=3. Justifique ou refute a seguinteafirmação: a=b

4. Quais são todos os subconjuntos dos seguintes conjuntos?a) A={a,b,c }

b) B={a, {b,c },D} dado que D={1,2 }

5. Sejam A={0,1,2,3,4,5} , B={3,4,5,6,7,8} , C={1,3,7,8} , D={3,4 } , E={1,3 } ,F={1 } e X um conjunto desconhecido. Para cada item abaixo,determine quais dos conjuntos A, B, C, D, E ou F podem seriguais a X:a) X⊆A e X⊆B

b) X⊄B e X⊆C

c) X⊄A e X⊄C

d) X⊆B e X⊄C

6. Sejam A um subconjunto de B e B um subconjunto de C. Suponhaque a∈A , b∈B , c∈C , d∉A , e∉B , f∉C . Quais das seguintesafirmações são verdadeiras?

a) a∈Cb) b∈Ac) c∉Ad) d∈Be) e∈A

f) f∉A

7. Marque quais dos conjuntos são alfabetos:a) Conjunto dos números naturaisb) Conjunto dos números primosc) Conjunto das letras do alfabeto brasileirod) Conjunto dos algarismos arábicose) Conjunto dos algarismos romanosf) Conjunto {a,b,c,d }g) Conjunto das vogais

8. Sejam Σ={a,b,c,...,z} e Dígitos= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } alfabetos. Então,para cada um dos alfabetos abaixo, descreva o correspondenteconjunto de todas as palavras:a) Σ

b) Dígitos

9. Dado o conjunto A={1, {2,3 }, {4 }} , julgue se os itens abaixo sãoverdadeiros ou falsos:a) 1∈A b) {1 }∈A c) 1⊂A d) {1 }⊂A

e) {2,3 }⊂A f) φ∈A g) φ⊂A

10. Considerando que:* A é o conjunto dos números naturais ímpares menores do que10;* B é o conjunto dos dez primeiros números naturais* C é o conjunto dos números primos menores do que 9;Use os símbolos ⊂ ou ⊄ e relacione esses conjuntos na ordemdada:

a) A e B b) C e Ac) C e Bd) A e C

11. Se P={1,2,5,7,8 } , então o número de elementos do conjuntoW={(x,y)∈P²/x<y} é:a) 8 b) 9 c) 10 d) 11

12. Escreva o conjunto expresso pela propriedade:a) x é um número natural par;b) x é um número natural menor do que 8;c) x é um número natural múltiplo de 5 e menor do que 31;d) x é letra da palavra CONJUNTO;

13. Escreva uma propriedade que define o conjunto:a) {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

b) {0,2,4,6 }

c) {5 }

d) {7,8,9,10,11,...}