APLICAC AO DA LOGICA FUZZY EM ESTATÍSTICA-UMA ABORDAGEM EM MODELOS DE REGRESSAO QUADRATICA

APLICACAO DA LOGICA FUZZY EM ESTATISTICA - UMAABORDAGEM EM MODELOS DE REGRESSAO QUADRATICA

Leandro FERREIRA1

Augusto Ramalho de MORAIS2

Danilo Machado PIRES2

Sergio Martins de SOUZA2

Giselle Borges MOURA3

Augusto Maciel da SILVA4

RESUMO: Com o avanco da teoria dos conjuntos fuzzy, muitas pesquisas tem sido

desenvolvidas combinando metodos estatısticos com logica fuzzy. No estudo de modelos

de regressao quadratica, pode haver interesse em obter um intervalo de confianca para

o ponto crıtico. Como o estimador do ponto crıtico envolve um quociente de variaveis

aleatorias, seria necessario encontrar a variancia de tal estimador para a construcao

de intervalos de confianca. Como alternativa a construcao de intervalos de confianca

convencionais, o presente trabalho tem, como objetivo, apresentar diferentes analises do

ponto crıtico de um modelo de regressao quadratica utilizando logica fuzzy. Para tanto,

foram considerados dados de producao de materia seca do sistema radicular de braquiaria

em funcao de diferentes doses de adubacao fosfatada. Na primeira analise fuzzy, por

intermedio do princıpio de extensao de Zadeh, um modelo fuzzy de regressao quadratica

foi encontrado, considerando incertezas presentes nas estimativas dos parametros obtidas

pelo metodo dos mınimos quadrados. Dessa maneira, foram obtidos um ponto crıtico

fuzzy e intervalos de confianca fuzzy por intermedio de operacoes intervalares e α-nıveis.

Uma segunda analise fuzzy foi realizada considerando a metodologia de Buckley, na qual

um estimador fuzzy para o ponto crıtico foi construıdo com base em um intervalo de

confianca convencional. Considerando as incertezas tratadas na primeira analise fuzzy,

1Universidade Federal de Alfenas – UNIFAL, Instituto de Ciencias Sociais Aplicadas – ICSA, CEP:37048-395, Varginha, MG, Brasil. E-mail: [email protected]

2Universidade Federal de Lavras – UFLA, Departamento de Ciencias Exatas – DEX, CaixaPostal: 37, CEP: 37200-000, Lavras, MG, Brasil. E-mail: [email protected] /[email protected] / [email protected]

3Universidade Federal da Grande Dourados – UFGD, Faculdade de Ciencias Agrarias – FCA, CaixaPostal: 533, CEP: 79804-970, Dourados, MS, Brasil. E-mail: [email protected]

4Universidade Federal de Santa Maria – UFSM, Centro de Ciencias Naturais e Exatas –CCNE, Departamento de Estatıstica, CEP: 97105-900, Santa Maria, RS, Brasil. E-mail:[email protected]

Rev. Bras. Biom., Sao Paulo, v.30, n.4, p.461-475, 2012 461

o aumento dos nıveis de confianca, baseados em α-nıveis, resultaram em maiorprecisao dos intervalos de confianca fuzzy. Na segunda analise, a metodologiade Buckley apresentou mais informacoes do que uma estimativa intervalarconvencional.PALAVRAS-CHAVE: Intervalo de confianca; logica fuzzy ; princıpio de extensao de

Zadeh; estimador fuzzy.

1 Introducao

Ao longo dos ultimos anos, muitas pesquisas foram desenvolvidas combinandometodos estatısticos com logica fuzzy, como no estudo de variaveis aleatorias(Gonzalez-Rodrigues et al., 2006), testes de hipoteses (Grzegorzewski e Hryniewicz,1997) e analise de regressao (Bargiela et al., 2007). Uma das principais aplicacoesenvolvendo estatıstica e logica fuzzy, foi introduzida por Zadeh (1968), a qual proposo estudo da probabilidade de um evento fuzzy. Tanaka et al.(1982) apresentaram aprimeira regressao linear fuzzy, na qual consideraram a variavel dependente comofuzzy.

A logica fuzzy, tambem conhecida como logica nebulosa, logica difusa ou teoriadas possibilidades, e uma extensao da logica classica, na qual se baseia na teoriados conjuntos fuzzy. A logica fuzzy foi inicialmente introduzida por Zadeh (1965),tendo como objetivo, trabalhar informacoes imprecisas.

De acordo com Tanaka (1997), um conjunto ou subconjunto fuzzy A de umconjunto universo U e definido por uma funcao de pertinencia µA representada por:

µA : U → [0, 1] ; (1)

na qual µA (x) ∈ [0, 1] e o grau de pertinencia com que o elemento x de U pertenceao conjunto fuzzy A.

De acordo com Tsoukalas e Uhrig (1997), com qualquer conjunto fuzzy Apode-se associar uma colecao de conjuntos classicos denominados de α - nıveis deA. Um α - nıvel e um conjunto classico que consiste de elementos de A na qualpertencem ao conjunto fuzzy com grau de pertinencia maior ou igual a α, isto e:

[A]α= {x ∈ U/µA (x) > α} ; (2)

para 0 < α 6 1.Com o objetivo de se trabalhar com operacoes aritmeticas que envolvem

incertezas, foram definidos os numeros fuzzy. Tanaka (1997) define um conjuntofuzzy A como numero fuzzy quando o conjunto universo na qual µA (x) esta definidae o conjunto dos numeros reais e satisfaz as seguintes condicoes:

• A e um conjunto convexo;

• existe pelo menos um valor de x que admite pertinencia maxima (µA (x) = 1);

• µA (x) e contınua em um dado intervalo.

462 Rev. Bras. Biom., Sao Paulo, v.30, n.4, p.461-475, 2012

Sejam A e B numeros fuzzy com α - nıveis dados, respectivamente, por [A]α=

[aα1 , aα2 ] e [B]

α= [bα1 , b

α2 ]. Conforme Barros e Bassanezi (2010), valem as seguintes

operacoes intervalares:

a) A soma entre A e B e o numero fuzzy A+B, cujos α - nıveis sao

[A+B]α= [A]

α+ [B]

α= [aα1 + bα1 , a

α2 + bα2 ] ; (3)

b) A diferenca entre A e B e o numero fuzzy A−B, cujos α - nıveis sao

[A−B]α= [A]

α − [B]α= [aα1 − bα2 , a

α2 − bα1 ] ; (4)

c) A multiplicacao de λ por A e o numero fuzzy λA, cujos α - nıveis sao

[λA]α= λ[A]

α=

{[λaα1 , λa

α2 ] se λ > 0

[λaα2 , λaα1 ] se λ < 0,

(5)

em que λ ∈ R;

d) A multiplicacao de A por B e o numero fuzzy A.B, cujos α - nıveis sao

[AB]α= [A]

α[B]

α= [minP,maxP ] , (6)

em que P = {aα1 bα1 , aα1 bα2 , aα2 bα1 , aα2 bα2 };

e) A divisao de A por B e o numero fuzzy cujos α - nıveis sao[A

B

]α=

[A]α

[B]α =

[aα1bα2

,aα2bα1

]. (7)

O princıpio de extensao de Zadeh tem como finalidade ampliar operacoesmatematicas do domınio classico ao domınio fuzzy. De acordo com Pedrycz eGomide (1998), sejam X e Y conjuntos e f uma aplicacao de X em Y . Seja Aum conjunto fuzzy em X. O princıpio de extensao afirma que a imagem de A pelafuncao f e um conjunto fuzzy B = f (A) em Y , cuja funcao de pertinencia e dadapor µB (y) = sup

xµA (x).

O princıpio de extensao pode ser facilmente generalizado para funcoesde varias variaveis. Sejam X = X1 × X2 × ... × Xn e Y conjuntosuniversos. Considere os conjuntos Ai em Xi, i = 1, ..., n, e uma funcaof : X → Y . Os conjuntos fuzzy A1, A2,...,An sao entao transformados pelaf produzindo o conjunto fuzzy B = f (A1, A2, ..., An) em Y , cuja funcao depertinencia e µB (y) = sup

xmin [µA1 (x1) , µA2 (x2) , ..., µAn (xn)] para x ∈ X,

x = (x1, x2, ..., xn) ∈ X1 ×X2 × ...×Xn e y = f (x).Uma das etapas importantes que envolve um estudo baseado em logica fuzzy, e

a etapa da defuzzificacao. A defuzzificacao consiste em traduzir um conjunto fuzzyem um numero real. Existem diversos metodos de defuzzificacao, sendo que o mais


utilizado e o metodo do Centro de Gravidade, tambem chamado de Centroide ouCentro de Area (Mamdani, 1974).

Em estatıstica, um intervalo de confianca e traduzido como uma medida deprecisao, denotando incertezas presentes numa estimativa pontual. Nesse contexto,metodos baseados em logica fuzzy surgem como uma alternativa para avaliarincertezas presentes em modelos estatisticos e estimadores (Buckley, 2005; Falsafainet al., 2008). Em modelos de regressao quadratica, intervalos de confianca podem serconstruıdos para o ponto crıtico utilizando diferentes metodologias, como, simulacaoMonte Carlo (Nunes et al., 2004), metodologia bootstrap e inferencia bayesiana(Hirschberg e Lye, 2005).

Seja o modelo de regressao quadratica com uma variavel independente:

yi = β0 + β1xi + β2x2i . (8)

Derivando-se em relacao a xi, obtem-se o estimador do ponto crıtico:

dyidxi

=d(β0 + β1xi + β2x

2i

)dxi

= β1 + 2β2xi = 0 (9)

xi = η = − β1

2β2

; (10)

que representa o quociente entre as variaveis aleatorias β1 e β2. Dessa maneira,e necessario encontrar a variancia de tal quociente para se obter um intervalo deconfianca para o ponto crıtico.

Como alternativa aos intervalos de confianca convencionais, o presentetrabalho tem, como objetivo, apresentar diferentes analises do ponto crıtico de ummodelo de regressao quadratica, utilizando o princıpio de extensao de Zadeh, emque intervalos de confianca fuzzy sao obtidos considerando um ponto crıtico fuzzybaseado na divisao intervalar de numeros fuzzy, e a metodologia de Buckley, emque um estimador fuzzy e obtido para o ponto crıtico baseado em um intervalo deconfianca convencional.

2 Metodologia

2.1 Analise fuzzy 1: Ponto crıtico fuzzy baseado na divisao de numerosfuzzy

Para a analise fuzzy 1, as estimativas dos parametros do modelo de regressaoquadratica foram consideradas como incertas, sendo que para isso, foram definidosos numeros fuzzy β0, β1 e β2 referentes as estimativas β0, β1 e β2, respectivamente.Tais numeros fuzzy foram representados por meio das seguintes funcoes depertinencia triangulares:


µβ0(a) =

0, se a 6 a0 − δ1

a−a0+δ1δ1

, se a0 − δ1 < a 6 a0a0+δ1−a

δ1, se a0 6 a < a0 + δ10, se a > a0 + δ1

; (11)

µβ1(b) =

0, se b 6 b0 − δ2

b−b0+δ2δ2

, se b0 − δ2 < b 6 b0b0+δ2−b

δ2, se b0 6 b < b0 + δ20, se b > b0 + δ2

; (12)

µβ2(c) =

0, se c 6 c0 − δ3

c−c0+δ3δ3

, se c0 − δ3 < c 6 c0c0+δ3−c

δ3, se c0 6 c < c0 + δ30, se c > c0 + δ3

; (13)

em que a0, b0 e c0 sao, respectivamente, as estimativas dos parametros β0, β1 eβ2 obtidas via metodo dos mınimos quadrados que assumem grau de pertinenciamaximo igual a 1 em cada funcao de pertinencia e,δ1, δ2 e δ3 sao, respectivamente,os erros padrao das estimativas β0, β1 e β2.

Para realizar a discretizacao dos numeros fuzzy, foram considerados ∆, comosendo um passo no intervalo de cada funcao de pertinencia, e n, como o numero depontos a serem analisados, tendo, respectivamente, para β0, β1 e β2:

∆1 =(a0 + δ1)− (a0 − δ1)

n− 1=

2δ1n− 1

; (14)

∆2 =(b0 + δ2)− (b0 − δ2)

n− 1=

2δ2n− 1

; (15)

∆3 =(c0 + δ3)− (c0 − δ3)

n− 1=

2δ3n− 1

. (16)

O princıpio de extensao de Zadeh foi implementado utilizando a linguagemde programacao C++, sendo que as analises graficas foram realizadas por meiodo software GNUPLOT 4.6. Para tanto, foi considerado o seguinte modelo,denominado de modelo fuzzy de regressao quadratica:

y = β0 + F(β1

)+ F

(β2

); (17)

em que:

β0 =

n∑i=1

µβ0(ai)

ai; (18)


F(β1

)=

n∑i=1

µβ1(bi)

bix; (19)

F(β2

)=

n∑i=1

µβ2(ci)

cix2. (20)

Assim, de acordo com Pedrycz e Gomide (1998), obteve-se a seguinte funcaode pertinencia de y:

µ(β0+F(β1)+F(β2)) (z) = max{(a,b,c):a+b+c=z}

min[µβ0

(a) , µβ1(b) , µβ2

(c)]. (21)

Em seguida, para obter uma curva representativa do modelo fuzzy, foi utilizadoo metodo de defuzzificacao do Centro de Gravidade para cada valor de x.

Considerando que as estimativas β1 e β2 sao incertas, surge o ponto crıticofuzzy baseado na divisao de numeros fuzzy, que e dado por:

η = − β1

2β2

. (22)

Com o objetivo de determinar η em termos de α-nıveis, foram realizadasoperacoes intervalares de multiplicacao e divisao conforme Barros e Bassanezi(2010), obtendo:

[η]α= −

[β1

]α2[β2

]α = −

[β(α)11 ;β

(α)12

][2β

(α)21 ; 2β

(α)22

] = −

[β(α)11

2β(α)22

;β(α)12

2β(α)21

]=

=

[− β

(α)12

2β(α)21

;− β(α)11

2β(α)22

].

(23)

Dessa maneira, os α-nıveis obtidos foram denominados de intervalos deconfianca fuzzy com α% de confianca para o ponto crıtico fuzzy.

2.2 Analise fuzzy 2: Estimador fuzzy do ponto crıtico baseado nametodologia de Buckley

A metodologia de Buckley (2005) consiste em considerar uma estimativapontual de um determinado parametro como incerta, sendo que tal incertezae definida com base em um intervalo de confianca convencional. Para isso, eestabelecida uma relacao entre um conjunto composto por todos intervalos deconfianca convencionais 100 (1− β)%, com 0 < β 6 1, e α-nıveis, com 0 < α 6 1 .Dessa maneira, o conjunto de intervalos de confianca convencionais e transformadoem um numero fuzzy, sendo denominado de estimador fuzzy.


Um estimador fuzzy do ponto crıtico pode ser obtido de acordo com o seguinteintervalo de confianca convencional:

IC1−β (η) = η ± t(v,β/2)√V (η); (24)

em que v e o grau de liberdade do resıduo do modelo de regressao quadratica e

V (η) = V1

(− β1

2β2

)=

1

4

(µβ1

µβ2

)2V

[β1

]µ2β1

+V[β2

]µ2β2

−2Cov

[β1, β2

]µβ1

µβ2

;

como a variancia do ponto crıtico de acordo com Mood et al. (1974).Com isso, obteve-se o seguinte estimador fuzzy para η em termos de α-nıveis:(

E)α= [E1 (α) ;E2 (α)] ; (25)

(E)α=[η − t(v,α/2)

√V (η); η + t(v,α/2)

√V (η)

]; (26)

para 0 < α 6 1.Dessa maneira, considerando as estimativas obtidas para os parametros via

metodo dos mınimos quadrados, uma estimativa fuzzy do ponto crıtico foi obtidapor meio do software MAPLE 12.

2.3 Aplicacao - Dados de producao de materia seca

Para a realizacao deste trabalho, foram considerados dados adaptados dapesquisa desenvolvida por Santos et al. (2002), na qual avaliaram as respostasde fungo micorrızico arbuscular, adubacoes fosfatada e nitrogenada na producaoe qualidade da forragem de braquiarao e amendoim forrageiro consorciados. Paratanto, foi utilizado o delineamento inteiramente casualizado em um esquema fatorial5x2x2, com 4 repeticoes, perfazendo um total de 20 tratamentos, sendo 5 doses deadubacao fosfatada, 2 tratamentos de inoculacao (inoculado e nao inoculado comfungo micorrızico arbuscular) e 2 tratamentos de adubacao nitrogenada (com e semadubacao nitrogenada em cobertura).

Dentre as variaveis avaliadas, a producao de materia seca do sistema radiculardo braquiarao (g.vaso−1) foi influenciada significativamente pelas doses de adubacaofosfatada (mg.kg−1) quando nao inoculada com fungo micorrızico arbuscular e comadubacao nitrogenada em cobertura. Dessa maneira, foi considerado o seguintemodelo de regressao quadratica:

yi = β0 + β1xi + β2x2i + εi; (27)

em que:yi representa o i-esimo valor observado da producao de materia seca, g.vaso−1;β0, β1 e β2 sao os parametros a serem estimados;


xi representa o i-esimo valor fixo da dose de adubacao fosfatada, mg.kg−1;εi e o erro experimental associado a observacao yi, εi ∼ N

(0, σ2

).

Como suposicao basica para a realizacao do estudo, considerou-se que todosos parametros sao significativamente diferentes de zero, principalmente para β2.

A Figura 1 apresenta o comportamento da producao de materia seca (y) emfuncao de diferentes doses de adubacao fosfatada (x).

Figura 1 - Dados de producao de materia seca (g.vaso−1) em funcao de diferentesdoses de adubacao fosfatada (mg.kg−1).

3 Resultados e discussao

Considerando os dados de producao de materia seca em funcao de diferentesdoses de adubacao fosfatada, o modelo de regressao quadratica ajustado, de acordocom o metodo dos mınimos quadrados, foi igual a y = 73, 1929+1, 1413x−0, 0035x2,com R2 = 0, 9864, que explica 98, 64% da variabilidade dos dados, denotando ummodelo adequado para os dados de producao de materia seca (y) em funcao dasdoses crescentes (x) de adubacao fosfatada, e σ2 = σ2 = 182, 45. A estimativapontual do ponto crıtico foi de 163, 0429 mg.kg−1 de adubo fosfatado, resultandona producao maxima de materia seca.

3.1 Analise fuzzy 1: Ponto crıtico fuzzy baseado na divisao de numerosfuzzy

A Tabela 1 apresenta as estimativas dos parametros do modelo de regressaoquadratica por meio do metodo dos mınimos quadrados e os erros padrao das


estimativas, considerando os dados de producao de materia seca em funcao dediferentes doses de adubacao fosfatada.

Tabela 1 - Estimativas dos parametros do modelo de regressao quadratica erespectivos erros padrao das estimativas

Parametro Estimativa Erro padraoβ0 73,1929 6,0839β1 1,1413 0,1441β2 -0,0035 0,0007

Considerando os erros padrao das estimativas como incertezas no modelo fuzzyde regressao quadratica, as seguintes funcoes de pertinencia triangulares foramobtidas:

µβ0(a) =

0, se a 6 67, 1090

a−67,10906,0839 , se 67, 1090 < a 6 73, 1929

79,2768−a6,0839 , se 73, 1929 6 a < 79, 2768

0, se a > 79, 2768

; (28)

µβ1(b) =

0, se b 6 0, 9972

b−0,99720,1441 , se 0, 9972 < b 6 1, 1413

1,2854−b0,1441 , se 1, 1413 6 b < 1, 2854

0, se b > 1, 2854

; (29)

µβ2(c) =

0, se c 6 −0, 0042

c+0,00420,0007 , se −0, 0042 < c 6 −0, 0035

−0,0028−c0,0007 , se −0, 0035 6 c < −0, 0028

0, se c > −0, 0028

. (30)

A Figura 2 apresenta a solucao do modelo fuzzy de regressao quadratica atravesdo princıpio de extensao de Zadeh, em que a escala entre 0 e 1 representa os graus depertinencia de y (producao de materia seca, g.vaso−1), sendo que a regiao amarelarepresenta os valores de y com pertinencia em torno de 1. Pode-se observar que paracada valor de x (dose de adubacao fosfatada, mg.kg−1) tem-se incertezas quanto aovalor de y. Como exemplo, em x = 160, tem-se pertinencia em torno de 0 para y= 120 e, para y = 165, tem-se pertinencia em torno de 1. Ainda pode-se verificarque incertezas quanto a y sao menos presentes para valores menores de x. A Figura3 apresenta a solucao defuzzificada do modelo fuzzy pelo metodo do Centro deGravidade e a solucao classica obtida pelo metodo dos mınimos quadrados.


Figura 2 - Solucao do modelo fuzzy de regressao quadratica, considerando os dadosde producao de materia seca (y) em funcao de diferentes doses deadubacao fosfata (x).

Figura 3 - Solucao defuzzificada do modelo fuzzy de regressao quadratica e solucaoclassica obtida pelo metodo dos mınimos quadrados, considerando osdados de producao de materia seca (y) em funcao de diferentes doses deadubacao fosfata (x).

De acordo com os numeros fuzzy β1 e β2, foi obtido o ponto crıtico fuzzy emtermos de α-nıvel:

[η]α=

[0, 1441α+ 0, 9972;−0, 1441α+ 1, 2854]

[0, 0014α+ 0, 0056;−0, 0014α+ 0, 0084]=

=

[0, 1441α+ 0, 9972

−0, 0014α+ 0, 0084;−0, 1441α+ 1, 2854

0, 0014α+ 0, 0056

].

(31)


Expressando [η]αem termos de funcao de pertinencia, obteve-se:

µη (x) =

0, se x 6 118, 7143

0,9972−0,0084x−0,1441−0,0014x , se 118, 7143 < x 6 163, 04291,2854−0,0056x0,1441+0,0014x , se 163, 0429 6 x < 229, 5357

0, se x > 229, 5357

. (32)

A Figura 4 apresenta a funcao de pertinencia de η, representado as incertezasquanto ao ponto crıtico. Como exemplo, para um ponto crıtico igual a 180, tem-segrau de pertinencia igual a 0,70 no conjunto η, sendo que para um ponto crıticoigual a 125, tem-se grau de pertinencia igual a 0,17.

Figura 4 - Representacao grafica da funcao de pertinencia do ponto crıtico fuzzy.

A Tabela 2 apresenta intervalos de confianca fuzzy para o ponto crıticofuzzy para α-nıveis entre 0,20 e 1,00 . Tem-se, por exemplo, de acordo coma definicao de α-nıvel, valores de x entre 160,4095 e 165,7294 pertencem aoconjunto classico [η]

0,95; nesse caso, o intervalo [η]

0,95= [160, 4095; 165,7294] e

definido como um intervalo de confianca fuzzy com 95% de confianca para o pontocrıtico fuzzy. Com isso, tem-se 95% de possibilidade de obter aproximadamente aproducao maxima de materia seca considerando doses entre 160,4095 e 165,7294mg.kg−1 de adubacao fosfatada. Para α = 1, 00, em que se tem a pertinenciamaxima, [η]

1,00= [163, 0429; 163, 0429] representa um intervalo de confianca

fuzzy com 100% de confianca para o ponto crıtico fuzzy, sendo que diante dasincertezas consideradas, uma dose igual a 163,0429 mg.kg−1 de adubacao fosfatadaproporciona aproximadamente a producao maxima de materia seca, sendo que taldose corresponde a estimativa pontual obtida utilizando o metodo dos mınimosquadrados. Como a maior dose de adubacao fosfatada utilizada no experimento foiigual a 200 mg.kg−1, os intervalos de confianca fuzzy com α-nıveis menores do que0,40 nao fazem sentido pratico, pois extrapolam o limite superior utilizado.

Diante dos resultados apresentados, operacoes intervalares fuzzy se mostramcomo uma alternativa apropriada para analisar estimadores, como verificado porLee (2001).


Tabela 2 - Limites inferior (ηα1 ) e superior (ηα2 ) do intervalo de confianca fuzzy para

o ponto crıtico fuzzy, considerando α-nıveis entre 0,20 e 1,00

[η]α

α ηα1 ηα20,20 126,3571 213,70410,25 128,3509 209,97900,30 130,3797 206,34050,35 132,4444 202,78570,40 134,5459 199,31170,45 136,6853 195,91570,50 138,8636 192,59520,55 141,0819 189,34770,60 143,3413 186,17080,65 145,6429 183,06220,70 147,9879 180,01980,75 150,3776 177,04140,80 152,8132 174,12500,85 155,2961 171,26880,90 157,8277 168,47080,95 160,4095 165,72941,00 163,0429 163,0429

3.2 Analise 2: Estimador fuzzy do ponto crıtico baseado na metodologiade Buckley

De acordo com as estimativas dos parametros do modelo de regressaoquadratica, considerando os dados de producao de materia seca em funcao dediferentes doses de adubacao fosfatada, obteve-se a estimativa fuzzy do ponto crıticoem termos de α-nıveis:(

E)α=[163, 0429− t(15,α/2).14, 3653; 163, 0429 + t(15,α/2).14, 3653

]; (33)

em que t(v,α/2) e o valor crıtico da distribuicao t de Student para v = 15.Por exemplo, para α = 0, 95, tem-se que:(

E)0,95

= [162, 1269; 163, 9589] ;

na qual, com grau de possibilidade igual a 0, 95, valores do ponto crıtico entre162,1269 e 163,9589 mg.kg−1 de adubacao fosfatada fornecem aproximadamente a

producao maxima da cultura. A Tabela 3 apresenta a estimativa fuzzy(E)αdo

ponto crıtico considerando α-nıveis entre 0,65 e 1,00.A Figura 5 apresenta a funcao de pertinencia da estimativa fuzzy, na qual

pode-se observar que a estimativa pontual do ponto crıtico obtida pelo metodo dos


mınimos quadrados, x = η = 163, 0429, apresenta grau de pertinencia igual a 1,00.Dessa maneira, a estimativa fuzzy oferece, com certo grau de pertinencia, valoresdo ponto crıtico que resultam aproximadamente na producao maxima da cultura.

De acordo com Buckley (2005), a estimativa fuzzy do ponto crıtico contemmais informacoes do que uma simples estimativa pontual ou intervalar convencional,sendo que a estimativa fuzzy contem a estimativa pontual η e todos os 100 (1− β)%.Tal resultado tambem e enfatizado por Parchami e Mashinchi (2007), na qualutilizaram a metodologia de Buckley em ındices de capacidade de processos nocontrole da qualidade de produtos e servicos.

Tabela 3 - Estimativa fuzzy(E)αdo ponto crıtico considerando α-nıveis entre 0,65

e 1,00

α(E)α

0,65 [156, 3916; 169, 6942]0,70 [157, 4004; 168, 6854]0,75 [158, 3807; 167, 7052]0,80 [159, 3383; 166, 7475]0,85 [160, 2788; 165, 8070]0,90 [161, 2069; 164, 8789]0,95 [162, 1269; 163, 9589]1,00 [163, 0429; 163, 0429]

Figura 5 - Representacao grafica da funcao de pertinencia da estimativa fuzzy doponto crıtico, utilizando a metodologia de Buckley.

Conclusoes

As incertezas incorporadas no modelo de regressao quadratica proporcionarama obtencao do ponto crıtico fuzzy considerando o princıpio de extensao de Zadeh,na qual, por meio de operacoes aritmeticas intervalares, resultou na construcao deintervalos de confianca fuzzy satisfatorios. Diante da metodologia apresentada, o


pesquisador pode analisar incertezas advindas de especialistas e dados estatısticosno modelo de regressao, e avaliar nıveis de possibilidade para se obter um intervalopara o ponto crıtico.

Com base num estimador fuzzy para o ponto crıtico, de acordo com ametodologia de Buckley, uma analise mais completa de um intervalo de confiancaconvencional pode ser realizada. Dessa maneira, o pesquisador pode avaliar ocomportamento de tal estimador diante de diferentes incertezas.

FERREIRA, L.; MORAIS, A. R.; PIRES, D. M.; SOUZA, S. M.; MOURA, G. B.;SILVA, A. M. Application of fuzzy logic in statistics - an approach in quadraticregression models. Rev. Bras. Biom., Sao Paulo, v.30, n.4, p.461-475, 2012.

ABSTRACT: With the advancement of fuzzy set theory, many researches have been

developed by combining statistical methods with fuzzy logic. In the study of quadratic

regression models, there may be interest in obtaining a confidence interval for the

critical point. As the critical point estimator involves a quotient of random variables,

would be necessary to find the variance estimator for constructing such confidence

intervals. Alternatively the construction of conventional confidence intervals, this paper

has as a main goal to present different analyzes of the critical point of a quadratic

regression model using fuzzy logic. Therefore, were considered data from dry matter

production of signal grass at different doses of phosphorus. In the first analysis, by the

Zadeh’s extension principle, a fuzzy quadratic regression model was found considering

uncertainties on estimates of the parameters obtained by the least squares method.

Thus, a fuzzy critical point and fuzzy confidence intervals were obtained using interval

operations and α-cuts. A second fuzzy analysis was performed considering the Buckley’s

methodology, in which a fuzzy estimator to the critical point was constructed based on a

conventional confidence interval. Considering the uncertainties treated in the first fuzzy

analysis, the increased levels of confidence, based on α-cuts, resulted in better accuracy

of the fuzzy confidence intervals. In the second analysis, the Buckley’s methodology

provided more information than a conventional point estimate or interval.

KEYWORDS: Confidence interval; fuzzy logic; Zadeh’s extension principle; fuzzy

estimator.

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Recebido em 26.06.2012.

Aprovado apos revisao em 25.04.2013.


APLICAC AO DA LOGICA FUZZY EM ESTATÍSTICA-UMA ABORDAGEM EM MODELOS DE REGRESSAO QUADRATICA

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