1 Estatística Multivariada Vetor Aleatório
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Transcript of 1 Estatística Multivariada Vetor Aleatório
=
px
x
X M
1
Vetor aleatório
Vetor aleatório é um vetor cujas componentes são variáveis aleatórias
xi é uma variável aleatória ∀i= 1,2,...,p
Exemplo: Notas finais obtidas por um aluno nas disciplinas no 6º período
=
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
X
Variáveis aleatórias:
x1 = nota em processos estocásticos IIx2 = nota em planejamento de experimentosx3 = nota em tecnologia da amostragem IIx4 = nota de econometriax5 = nota de estatística multivariada
Vetor aleatório
Vetor aleatório
Vetor de médias
( )( )
( )
=⇒
=
P
X
pxE
xE
XE
µ
µµ MM
11
Vetor de médias:
=
px
x
X M
1
Seja X um vetor aleatório:
Vetor com as médias das variáveis do vetor aleatório X
Matriz de covariâncias
σσσ
σσσσσσ
=Σ
pppp
p
p
X
L
MOM
K
21
22221
11211
Matriz de covariâncias:
=
px
x
X M
1
Seja X um vetor aleatório:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=Σ
ppp
p
p
X
xVarxxCovxxCov
xxCovxVarxxCov
xxCovxxCovxVar
L
MOM
K
21
2212
1211
,,
,,
,,
Matriz pxpsimétrica, σij = σjiMatriz positiva definida, ou seja,
Matriz com as variâncias e covariâncias das variáveis do vetor aleatório X
111 0 pxpxpxpTxp a constantes de vetor aa ∀>Σ
Matriz de covariâncias
σσσ
σσσσσσ
=Σ
pppp
p
p
X
L
MOM
K
21
22221
11211
Variância generalizada(determinante)
Variância total (traço)
Matriz de covariâncias
XΣ
( ) ppXtraço σ++σ+σ=Σ K2211
Matriz de correlação
Matriz de correlação:
=
px
x
X M
1
Seja X um vetor aleatório:
ρρ
ρρρρ
=
1
1
1
21
221
112
L
MOM
K
pp
p
p
XP
Matriz pxpsimétrica, ρij = ρ ji
Matriz com as correlações entre as variáveis do vetor aleatório X ( )
( ) ( )ji
jiij
xVarxVar
xx
⋅=ρ
,cov Coeficiente de correlação entre as variáveis xi e xj
11 ≤ρ≤− ij
Combinações lineares
( ) 11
1
1 pxTxp
P
p Xa
x
x
aay =
= MK
y é uma variável aleatóriappxaxaxay +++= K2211
=
px
x
X M
1
Seja X um vetor aleatório:
Seja a um vetor de constantes: ( )pT aaa K1=
Em notação vetorial:
Combinações lineares
( ) ( ) XT
yT aXEayE µµ =⇒=
( ) 11
1
1 pxTxp
P
p Xa
x
x
aay =
= MK
( ) aayVar XT Σ=
Combinações lineares
Exemplo:
−−
=Σ52
28X
=
2
1
x
xX vetor aleatório com vetor média µX e matriz de covariâncias ΣX
21 21
21
xxz +=
=
2
1Xµ
Qual a média e a variância da variável aleatória z ?
( ) ( ) 5,12
15,05,05,05,0 =
== XZ µµ
( ) ( ) 25,25,0
5,0
52
285,05,0
5,0
5,05,05,02 =
−−
=
Σ= Xzσ
Considere
Combinações lineares
Exemplo:
=Σ
2212
1211
σσσσ
X
=
2
1
x
xX vetor aleatório com vetor média µX e matriz de covariâncias ΣX
2211 xaxaz +=
=
2
1
µµ
µX
Qual a média e a variância da variável aleatória z ?
( ) ( ) 22112
1215,05,0 µµ
µµ
µµ aaaaXZ +=
==
( ) ( ) 1221222211
21
2
1
2212
121121
2
121
2 2 σσσσσσσ
σ aaaaa
aaa
a
aaa Xz ++=
=
Σ=
Considere
Combinações lineares
1
1
1
1111
pxqxp
Pqpq
p
q
XA
x
x
aa
aa
y
y
Y =
=
= M
K
MOM
K
M
TXY AAΣ=Σ
vetor de médias qx1
pqpqqq
pp
pp
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
+++=
+++=
+++=
K
M
K
K
2211
22221212
12121111
q combinações linearesde p variáveis do vetor aleatório X
Vetor aleatório qx1
XY A µ⋅=µ
matriz de covariâncias qxq
Combinações lineares
Exemplo:
−−
=Σ52
28X
=
2
1
x
xX vetor aleatório com vetor média µX e matriz de covariâncias ΣX
21 2
1
2
1xxz +=
=
2
1Xµ
Qual as médias e variâncias das variáveis aleatórias z e w ? Qual a covariância entre elas ?
=
2
1
75,025,0
5,05,0
x
x
w
z
Considere 21 4
3
4
1xxw +=
Combinações lineares
Exemplo:
Vetor de médias
=
=
=
75,1
5,1
2
1
75,025,0
5,05,0
75,025,0
5,05,0x
w
z µµµ
=Σ
−−
=Σ
Σ
=Σ
5625,2875,1
875,125,2
75,05,0
25,05,0
52
28
75,025,0
5,05,0
75,05,0
25,05,0
75,025,0
5,05,0
,
,
,
wz
wz
xwzMatriz de covariâncias
( ) 875,1,cov
5625,2
25,22
2
==
=
wzw
z
σσ
Estimadores do vetor média e da matriz de covariâncias
Sejam X1, X2, ..., Xn observações multivariadas de uma amostra aleatória de tamanho n.
=
px
x
X
1
11
1 M
=
px
x
X
2
21
2 M
=
np
n
n
x
x
X M
1
...
O vetor média populacional µµµµ é estimado pelo vetor média amostral:
==px
x
X M
1
µ̂ ∑=
=n
kiki x
nx
1,
1i=1,p
Estimadores do vetor média e da matriz de covariâncias
A matriz de covariâncias populacional ΣΣΣΣ é estimada pela matriz de covariãncias amostral:
==Σ
ppp
p
ss
ss
S
K
MOM
K
1
111
ˆ
( )∑=
−−
=n
k
iikii xxn
s1
2
,1
1
( )( )∑=
−−−
=n
k
jjkiikij xxxxn
s1
,,1
1
i=1,p
i≠≠≠≠j i,j=1,p
Estimadores do vetor média e da matriz de covariâncias
Exemplo: Amostra aleatória com quatro observações ( n=4) de uma população trivariada ( p=3)
=9
2
1
1X
=6
1
3
2X
=5
3
2
3X
=1
5
1
4X
=
+++
+++
+++
=25,5
75,2
75,1
4
15694
53124
1231
X
x1<-c(1,2,9)x2<-c(3,1,6)x3<-c(2,3,5)x4<-c(1,5,1)X=rbind(x1,x2,x3,x4)
X[,1] [,2] [,3]
x1 1 2 9x2 3 1 6x3 2 3 5x4 1 5 1
mu=apply(X,2,mean)> mu[1] 1.75 2.75 5.25
Estimadores do vetor média e da matriz de covariâncias
Exemplo: Amostra aleatória com quatro observações ( n=4) de uma população trivariada ( p=3)
sigma=var(X)> sigma
[,1] [,2] [,3][1,] 0.9166667 -1.083333 0.4166667[2,] -1.0833333 2.916667 -4.5833333[3,] 0.4166667 -4.583333 10.9166667
( ) ( ) ( ) ( )9167,0
3
75.1175,1275,1375,11 2222
11 =−+−+−+−=s
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0833,1
3
75,2575,1175,2375,1275,2175,1375,2275,1112 −=−−+−−+−−+−−=s
